命题逻辑及命题演算

(2) (p q )(q p) 解 (p q) (q p) (p q) ( q p) （蕴涵等值式） (p q )(p q) （交换律） 1 由最后一步可知，该式为重言式.
(3) ((p q) (p q ))r) 解 ((p q) (p q ))r) (p (q q ))r （分配律） p1r （排中律） p r （同一律） 这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式 的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它 的成假赋值.
的等价式 A B 为重言式，则称 A, B 是等值的，记
作A B。
练习：1） 2）
p (q r ) ( p q) r
与 与
( p q) r ( p q) r
等值演算公式：
双重否定律 : AA 等幂律： AAA, AAA 交换律: ABBA, ABBA 结合律: (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) 分配律: A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC)
(5) 今夜你若敢去公墓，那么我就咬掉我的鼻子或咬掉我的耳 朵 P：今夜你敢去公墓。 Q：咬掉我的鼻子。 R: 咬掉我的耳朵
P →(Q∨R)
1-1.2 复合命题的符号化

例 将下列命题符号化
(6) 王乐是计算机系的学生，生于1980年或1981年,是三好学 生。 P：王乐是计算机系的学生。 Q：生于1980年。 R: 生于1981年. S: 是三好学生.
概述和计算机科学联系

和计算机科学联系紧密
是计算机科学的支撑学科之一，也是信息科学的数学基础。 在计算机理论研究及软硬件开发的各个领域都有广泛的应用。 在计算机科学发展的过程中，各种理论问题的研究交错地使 用着近代数学中的不同论题，这些论题构成了离散数学。
学习离散数学的重要性
一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两 人前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个人带 进一间漆黑的屋子里，他打开灯后说：“这张桌子上有五顶帽 子，两顶是红色的，三顶是黑色的，现在，我把灯关掉，而且 把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在自 己头上，在我开灯后，请你们尽快说出自己头上戴的帽子是什 么颜色的。”说完后，商人将电灯关掉，然后三人都摸了一顶 帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶帽子藏了起来，接着把 灯打开。这时，那两个应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子， 其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽子。” 请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？
（3）若A, B 是合式公式，则
A B, A B, A B, A B也是合式公式；
（4）将1-3有限次的联结起来也是合式公式。 注：合式公式的运算规则: ,,, , 例 (( p q) r ) (r )
五、合式公式的真值 引例：
pq
定义：设 p1 , p2 ,, pn 是出现在公式
1-1.2 复合命题的符号化

例 将下列命题符号化
(3)小明或者小华能解够出这道题 P：小明能够解出这道题; Q：小华能够解出这道题 P∨Q (4)小王或者小李中的一个能够当上班长 P：小王能够当上班长; Q：小李能够当上班长
((┐P)∧Q) ∨(P∧(┐Q))
1-1.2 复合命题的符号化

例 将下列命题符号化
1) 找出各个原子命题，并逐个符号化； 2) 找出各个连接词，符号成相应联结词； 3) 用联结词将原子命题逐个联结起来；
1-1.2 复合命题的符号化

例 将下列命题符号化
(1)北京不是村庄 P: 表示“北京是村庄” ┐P:北京不是村庄 (2)小王是游泳冠军和百米赛跑冠军 P：小王是游泳冠军; Q：小王百米赛跑冠军 P∧Q: 小王是游泳冠军和百米赛跑冠军
总结：A为矛盾式当且仅当A0 A为重言式当且仅当A1 说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些
二、析取范式与合取范式
定义 文字：命题变项及其否定统称为文字。 如：p , q 简单析取式：仅有有限个文字组成的析取式。 如：p , q , p ∨ q , p ∨ q ∨ r 简单合取式：仅有有限个文字组成的合取式。 如：p , q , p ∧ q , p ∧ q ∧ r
定义：设
A 为任一命题公式.
A为重言式
(1)若 A 在它的各种赋值下取值为真，则称 或永真式；
（2）若 A 在它的各种赋值下取值为假，则称 A 为矛盾式 或永假式； （3）若A 不是矛盾式，则称 A 为可满足式。
第二章 命题逻辑等值演算 一、等值式 引例：( p q) 与
p q
定义：设 A, B是两个命题公式，若 A, B 构成
P∧(Q∨R)∧S
四、命题公式及其赋值 1.命题常项（命题常元）：简单命题
2.命题变项（命题变元） 3.合式公式（命题公式）：将命题变元用联
结词或圆括号按一定的逻辑关系联结起来的符
号串称为合式公式或命题公式。（A，B…）
定义：
（1）单个命题变项可被称为合式公式；
（2）若 A 是合式公式，则 A 也是合式公式；
见假为假， 全真为真。
p∧q读作“p并且q”或“p且q”
（3）析取式：两个命题P和Q的析取是一个复合 命题，记作P ∨ Q。当且仅当P、Q同时为F时， P ∨ Q 为F，其他情况下， P ∨ Q的真值都 是T。析取联结词 “∨ ”表示自然语言中的 “ 或”（or ）。
p F（0） F（0） T（1） T（1） q F（0） T（1） F（0） T（1） p ∨q F（0） T（1） T（1） T（1）
合取范式 它是这样一种标准形式，在此式内不出现联结词 及 ，否定符号只出现在命题变元前。它是一个合 取式，式中的每个合取项是个析取式，每个析取式中 只包含命题变元或命题变元的否定。 例如 p ∧(p∨q) ∧ (q ∨ r) 此式即具有合取范式之形式 注意:一个公式的合取范式并不唯一， 如 p ∧ (r ∨ q) 可以写成(p ∨ p) ∧(r ∨ q)
德· 摩根律 : (AB)AB (AB)AB
吸收律:
零律: 同一律:
A(AB)A,
A11, A0A,
A(AB)A
A00 A1A
排中律:
矛盾律:
AA1
AA0
蕴涵等值式: 等价等值式: 假言易位:
ABAB AB(AB)(BA) ABBA
等价否定等值式: ABAB
归谬论: (AB)(AB) A
注意: A,B,C代表任意的命题公式
等值演算的用途一：证明等值式。 例1.10 验证 p( q r) (p ∧ q) r 右 (p ∧ q) ∨ r 蕴涵等值式 p ∨q∨r 德摩根律 p ∨ ( q ∨ r) 结合律 p ∨ ( q r) 蕴涵等值式 p ( q r) 蕴涵等值式 注:A B A∨B
见真为真， 全假为假。
p∨q读作“p或者q”、“p或q”。
（4）蕴涵式：给定两个命题P和Q，其条件命题 是一个复合命题，记作P → Q。当且仅当P的真 值为T，Q的真值为F时， P → Q 的真值为F，其 他情况下， P → Q的真值都是T。条件联结词 “→ ”表示自然语言中的“如果…，那么…”。
命题）。
否则，某命题是由简单命题通过联结词连接在 一起的命题，称之为复合命题。
例： 2是偶数是不对的；2是偶素数；2或4是 素数；如果2是素数，则3也是素数；2是素数 当且仅当3也是素数。 解：
p : 2是偶数；q : 2是素数；r : 4是素数；
s:
非
3是素数。
p ；p 且 q q当且仅当 s
；
要回答这样的问题，实际上就是看由一些诸如“商人戴的是红帽子”这 样的前提能否推出“猜出答案的应试者戴的是黑帽子”这样的结论来。这 又需要经历如下过程： (1) 什么是前提？有哪些前提？
(2) 结论是什么？
(3) 根据什么进行推理？ (4) 怎么进行推理；
5 是无理数；
命题公式是千变万化的，这给研究命题演算带来困难，这 里我们研究如何由一个命题公式化归为一个标准形式的问题， 这样命题演算的研究问题就归结为对标准形式的研究问题，这 种标准形式就叫范式。 析取范式 它是这样一种标准形式，在此式内不出现联结词 及，否定符号只出现在命题变元前。它是一个析取式，式 中的每个析取项是个合取式，每个合取式中只包含命题变元或 命题变元的否定。 例如 p ∨(p∧ q)∨ (q ∧r) 此式即具有析取范式之形式 注意:一个公式的析取范式并不唯一，如p ∨(r∧q) ,可以写成(p∧ p )∨(r∧q)
方法三
用等值演算先化简两个公式，再观
察
例 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q(pq) 解 q(pq) q(pq) （蕴涵等值式） q(pq) （德摩根律） p(qq) （交换律，结合律） p0 （矛盾律） 0 （零律） 由最后一步可知，该式为矛盾式.
。
q或 r
；如果
q则 s
；
三、联结词 (1)否定式：（negation ）设P为一命题，P的否定 是一个新命题，记作“┐P”。若P为T， ┐P为F； 若P为F， ┐P为T。联结词“ ┐ ”表示自然语 言中的“并非”（not ）。
p
┐p
T（1） F（0）
F（0） T（1）
“见假为真，见真为假” ┐p读作“并非p”或“非p”。
p F（0） F（0） T（1） T（1） q F（0） T（1） F（0） T（1） p→q T（1） T（1） F（0） T（1）
前真后假为假， 其他为真。
p→q中的p称为条件前件，q称为条件后件
（5）等价式：给定两个命题P和Q，其复合命
题P Q称作双条件命题。当P和Q的真值相同时，
P Q 的真值为T，否则， P Q的真值都是F。
A
中的全
部的命题变项，给 p1 , p2 ,, pn 各指定一个真值