空间力系。重心讲解
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有各力在任意相互垂直的三个坐标轴的每一个轴上的
投影的代数和等于零，以及力系对于这三个坐标轴的
矩的代数和分别等于零。
Fx 0 Fy 0
Fz 0
Mx F 0 My F 0 Mz F 0
§5.4 空间平行力系的中心和物体的重心
一、空间平行力系的中心
若空间力系各合力的作用线相互平行称为空间平行 力系。若力系为一合力，合力的作用点，即是平行力系 的中心。
式中，Rx、Ry、Rz表示合力在各轴上的投影。
已知各力在坐标轴上的投影，则合力的大小和方 向可按下式求得
R Rx2 Ry2 Rz2
2
2
2
Fx Fy Fz
cos Fx / R cos Fy / R
cos Fz / R
式中，α、β、γ分别表示合力与x、y、z轴正向 的夹角。
二、重心的概念
重力的作用点即是空间平行力系的中心，称为物体 的重心。
三、重心和形心的坐标公式
物体重心C的坐标公式为
xC
x i .Wi W
yC
y i .Wi W
zC
z i.Wi W
四、求重心的方法
几种常用的方法：
1.对称法 2.积分法 3.组合法
（按照右手螺旋法则决定之）
空间力对轴的矩等于零的条件
1、力通过轴线
FLeabharlann Fz2、力与轴线平行
Fy Fx
二、合力矩定理
力对轴的矩的解析表示式为
Mx F Fz.yA Fy.zA My F Fx.zA Fz.xA
Mz F Fy.xA Fx.yA
§ 5.3 空间力系的平衡方程及应用
空间任意力系平衡的必要和充分条件是:力系中所
可求出力F 的大小和方
工程力学 第三章 空间力系与重心重点
课时授课计划X=cosαcoscos与坐标轴间的夹角不易确定时，可把力上，得到力在三个坐标轴上的投影分别为sinsincos、、=+在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢量间的关系可表示为=X，=,,,沿向sin=向sincos沿各轴的分力为=-，称为轴向力，对点。
即力矩的大小为h=2的模等于三角形一致。
因此可得=分别为=X=的大小和方向都与矩心，轴的分力(在垂直于不能使静止的门绕表示力对作用线的距离。
因此，力==±=0)==+=zX-xZ对两个分力，其中=Fsin==-(AB+CD)=-F(l+a)cos==-BC=-Flcos==-?=yZ-zY=(l+a)(-Fcos=zX-xZ=0-(-l)(-Fcos=xY-yX=0-(l+a)(Fsin在三个坐标轴上的投影，即=yZ-zY=zX-xz=xY-yX===表示该力对点。
将力投影到通过对==2在轴上的投影，可用=与+=i+、、(4-8)，四个力汇交于点=O, sin45°=0=O, cos45°cos30°cos45°cos30°=0=0, cos45°sin30°+oos30°==3.54kN=8.66kN为正值，说明图中所设。
工程力学——空间力系和重心
图5.2
5.1.2 力在空间直角坐标轴的投影
根据已知条件的不同，空间力F在直角坐标轴上的 投影，一般有两种计算方法。
1. 直接投影法
如果已知力 F 与空间直角坐标系 Oxyz 的三个轴的
正向夹角分别为 ， 和 ，如图 5.2 所示，以 F 为对
角线，以 x，y 和 z 轴为棱作直角六面体，由图中看出，
第5章 空间力系和重心
第5章 空间力系和重心
5.1 力沿空间直角坐标轴的分解和投影 5.2 空间汇交力系的平衡方程及其应用 5.3 力对轴之矩 5.4 空间任意力系的平衡方程及应用 5.5 空间任意力系的平衡问题转化为平
面问题的解法 5.6 物体重心和平面图形的形心
5.1 力沿空间直角坐标轴的分解和投影
图 5.4 中 为压力角， 为斜齿轮的螺旋角。试计算圆
周力 F 、径向力 Fr 和轴向力 Fa 的大小。 分析：求解 F 、Fr 和 Fa 的大小，实质上就是求力
F 在空间 3 个坐标轴上的投影。因为只知道 和 ，故
使用二次投影法求解。
图5.4
解：(1) 建立如图 5.4(a)所示直角坐标系 Axyz。 (2) 将啮合力 FN 向平面 Axy 投影得 Fxy，如图 5.4(b), 其大小为
式中，Fix，Fiy，Fiz 分
别为 Fi 在 x，y，z 轴
的投影。
图5.5
合力
FR= Fi = Fixi + Fiy j + Fizk
(5-7)
式中，i，j，k 的系数应分别为合力 FR 在各坐标轴上 的投影。
FRx= Fix FRy= Fiy FRz= Fiz
(5-8)
即合力在某一坐标轴上的投影等于力系中所有分 力在同一坐标轴上的投影的代数和，这就是空间力系 的合力投影定理。
理论力学-空间力系与重心
右手螺旋法则：
拇指指向与z轴一致为正，反之为负。
1、定义
参见动画：力对轴的矩(2)
动画
力对轴的矩
力对轴的矩等于零的情形 ： 力和轴平行； 力的作用线与轴相交。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。
参见动画：力对轴的矩等于零
力对轴的矩之解析表达式 如力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx，Fy，Fz，力作用点A的坐标为x，y，z，则 参见动画：力对轴的矩解析表达式
（2）若 ，则力系可合成为一个合力，主矢 等于原力系合力矢 ，合力 通过简化中心O点。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
（3）若 此时分三种情况讨论。
②
即：①
既不平行也不垂直时
③
可进一步简化为一合力。
O
R
M
d
F
=
¢
r
合力作用线距简化中心为d
①若
②若
参见动画：空间力在正交轴上的投影
2.二次投影法
先将力投影到对应的坐标面上，然后再投影到相应的坐标轴上，这种方法称为二次投影法（间接投影法）。 Fx=Fsin cos Fy = Fsin sin Fz =Fcos Fxy=Fsin 参见动画：二次投影法
例题
三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面ABED上作用有一力F，力F与OAB平面夹角为30º，求力F在三个坐标轴上的投影。
空间力系简化的实际意义
—俯仰力矩
飞机仰头
—偏航力矩
飞机转弯
—滚转力矩
飞机绕x轴滚转
—侧向力
飞机侧移
—有效升力
飞机上升
—有效推进力
飞机向前飞行
参见动画：空间力系简化的实际意义
2、空间任意力系的简化结果分析
拇指指向与z轴一致为正，反之为负。
1、定义
参见动画：力对轴的矩(2)
动画
力对轴的矩
力对轴的矩等于零的情形 ： 力和轴平行； 力的作用线与轴相交。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。
参见动画：力对轴的矩等于零
力对轴的矩之解析表达式 如力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx，Fy，Fz，力作用点A的坐标为x，y，z，则 参见动画：力对轴的矩解析表达式
（2）若 ，则力系可合成为一个合力，主矢 等于原力系合力矢 ，合力 通过简化中心O点。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
（3）若 此时分三种情况讨论。
②
即：①
既不平行也不垂直时
③
可进一步简化为一合力。
O
R
M
d
F
=
¢
r
合力作用线距简化中心为d
①若
②若
参见动画：空间力在正交轴上的投影
2.二次投影法
先将力投影到对应的坐标面上，然后再投影到相应的坐标轴上，这种方法称为二次投影法（间接投影法）。 Fx=Fsin cos Fy = Fsin sin Fz =Fcos Fxy=Fsin 参见动画：二次投影法
例题
三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面ABED上作用有一力F，力F与OAB平面夹角为30º，求力F在三个坐标轴上的投影。
空间力系简化的实际意义
—俯仰力矩
飞机仰头
—偏航力矩
飞机转弯
—滚转力矩
飞机绕x轴滚转
—侧向力
飞机侧移
—有效升力
飞机上升
—有效推进力
飞机向前飞行
参见动画：空间力系简化的实际意义
2、空间任意力系的简化结果分析
空间力系 重心
（2）方向:转动方向
（3）作用面：力矩作用面.
MO ( F ) r F
第六章 空间力系 重心
§6–3 力对点的矩和力对轴的矩
力对轴的矩
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力 对该轴的矩为零。
重心C的矢径
Pi ri rC Pi
式中的ΔPi可以是物体中任一部分的重量，而不仅限于微元体。 对由简单形体组成的物体，可用这种方法求重心，称为分割法。
第六章 空间力系 重心
1．计算重心坐标的公式 对y轴用合力矩定理
P xC P x1 P x2 .... P xn P xi 1 2 n i
（1)实际重心偏后，飞机拉起时尾部摩擦跑道导致起火； （2)实际重心偏前，飞机冲到跑道尽头仍然拉起困难；
（3)直升机重心偏离旋翼轴心，使飞行员难以操纵飞机。
第六章 空间力系 重心
•重心：物体所受的重力是一种体积 分布力。不论物体如何放置，其重力 的合力作用线相对于物体总是通过一 个确定的点，这个点称为物体的重 心 。
如一空间力系由F1、F2、…、Fn组成，其合
力为FR，则合力FR对某轴之矩等于各分力对同
一轴之矩的代数和。
M z ( FR ) M z ( Fi )
i
第六章 空间力系 重心
§6–4 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
•简化过程：
将力系向已知点 O 简化 —— O 点称为简化中心。
R
z
Rx
第六章 空间力系 重心
活页铰
第六章
空间力系 重心
滑动轴承
第六章
第六章 空间力系 重心
z
F5 O x F4 m2 y F2 F1 m1
F6 F3
M z ( R) m z ( F i ) ( a F a 2a F a ) ( a F a a F a ) 2a F a a F a a F a (0 m3) a F a m3
三、空间力系平衡的充要条件 力系中诸力在坐标轴上的投影的代数和为零，对各轴 之矩代数和为零。 四、空间一般力系的平衡方程
§ 6-3
一、力对点之矩
力对点之矩和力对轴之矩
z F
mO(F) = r×F
力矩是(定位于矩心的) 定位矢量，其方向由右 手螺旋定则确定。 设r=xi+yj+zk， F=Fxi+Fyj+Fzk，
i j y Fy k z Fz
x
O
y
mO(F) 在坐标轴上 的投影为：
[mO ( F )]x yFz zFy [mO ( F )]y zFx xFz [mO ( F )]z xFy yFx
【例6-4】不计杆件和圆盘自重，求图示结构中夹紧端 A处的约束反力。
【解】1)对结构作受力分析。
2)列平衡方程：
F iz P F A 0 m x ( F i ) Pl m Ax 0 m y ( F i ) m Ay P (l D 2) 0
m (F ) 0 m (F ) 0
x i
y i
z
O未知数 其平衡方程为： F iy 0 m z ( F i ) 0
空间平行力系是空间一般力系的特例。 即： F ix 0
y
F
iz
0
m (F ) 0
mz (F xy) mz (F x) mz (F y)
第六章 空间力系和重心
F
x
0, Fy 0, Fz 0,
例6-2
已知：物重P=10kN，CE=EB=DE；
30
0
求：杆受力及绳拉力 解：画受力图，列平衡方程
F
x
0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
FFy0源自FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
z
0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
F1 F2 3.54kN
FA 8.66kN
例6-3 已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力. 解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受 力图。
F F
M O ( F , F ) (rA rB ) F M
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转 ，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体 的作用效果不变.
=
=
=
) rBA FR rBA ( F1 F2 ) M ( FR , FR rBA F1 rBA F2 rBA F1 M ( F1 , F1)
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另 一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变.
=
=
F1 F1 F2
F2 F3 F3
=
=
定位矢量 滑移矢量 自由矢量 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩矢相等的力偶等效——空间力 偶等效定理 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
例6-4 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削力 偶矩均为80N·m. 求：工件所受合力偶矩在 x, y, z 轴上的投影 解：把力偶用力偶 矩矢表示，平行移 到点A .
第三章 空间力系-重心形心
Ai xi xC Ai
Ai yi yC Ai
<2>负面积法： 方法与分割法同，只是除去的面积看作负值。
第三章 空间力系
例1: 已知：Z 形截面，尺寸如图， 求：该截面的形心位置。
解：(1)组合法: 将该截面分割为三部分，
取Oxy直角坐标系，如图
x1 1.5 cm , y1 4.5 cm , A1 3.0 cm2
机械设备中高速旋转的构件，如电机转子、砂轮、飞轮等，都要求
它的重心位于转动轴线上，否则就会使机器产生剧烈的振动，甚至引 起破坏，造成事故。因此，重心与平衡稳定、安全生产有着密切的关
系。另一方面，有时也利用重心的偏移形成振源来制造振动大夯机、
混凝土捣实机等，从而满足了生产上的需要。因此，重心应为有关工 程技术人员所必备的知识之一。
yc
A y ;
A
第三章 空间力系
二、重心的求法：
1、简单几何形状物体的重心(对称法） 若均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，不难看出， 该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称中 心上。 简单形状均质物体的重心就是它的几何形状的形心。
第三章 空间力系
2、实验法 如物体的形状复杂或源自量分布不均匀， A第三章 空间力系
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重心和形心的概念
重心 任何物体都可视为由许多微小部分所组成，每一微小部分上都 作用一个指向地球中心的力，这些引力原本应是一空间汇交力系，但 由于地球的半径比所研究物体的尺寸大得多，故可认为这些力为一空 间平行力系(如图)。此力系的合力G为物体的重力，并称重力的作用 点C为物体的重心。 对刚体而言，物体的重心是一个不变的点。 形心 物体几何形状的中心点称为形心。
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8
力对轴的矩 的符号规定
右手法则
+
--
二、合力矩定理
与平面力系情况类同，空间力系的合力矩定理为：
mz
R
mz
F1
mz
F2
mz
Fn
mz
Fi
空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中各分力
对同一轴的矩的代数和。称为空间力系的合力矩定理
空间合力矩定理可以用来确定物体的重心位置
9
[例1] 已知P=2000N, C点在Oxy平面内。求力P对三个坐标 轴的矩。
x
F2
F1
13
对于空间平行于 z 轴的平行力系：
mz F 0
则 X 0
成为恒等式
Y 0
故空间平行于 z 轴的
F3
平行力系的平衡方程为：
Z 0
mx F 0 my F 0
x
z
Fn
F1 y O
F2
14
几种典型的空间约束
1、球形铰链
15
2、向心轴承，蝶铰链，滚珠(柱)轴承
16
平行力系的中心，称为物体的重心
Wi W
Wi W
二、研究物体重心的意义 重心位置会影响物体的平衡和稳定 例如：不倒翁玩具、飞机和船舶、高速旋转的转子等
23
§6-6 重心坐标公式
一、平行力系的中心 空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是 空间平行力系的中心 由合力矩定理可得：
Fz
g
b
O
Fy
Fx Fz
g
O
Fx
Fy
Fxy
5
三、由坐标轴上的投影量求力F：
若以 Fx ,向： Fz
F Fx2 Fy2 Fz2
cos
Fx
Fx2 Fy2 Fz2
cos b
Fy
Fx2 Fy2 Fz2
cos g
Fz
Fx2 Fy2 Fz2
各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对此三轴 力矩的代数和都必须分别等于零。
共六个独立方程，可以求解独立的六个未知量。
12
对于空间汇交力系：（选取汇交点为原点）
mx F 0
则
my
F
0
成为恒等式
mz F 0
F3 z
Fn
故空间汇交力系的平衡方程为：
y
X 0 Y 0
O
Z 0
设作用在刚体上有 空间一般力系
F1 ,F2 ,F3 Fn
11
如果该物体平衡，则必须要使该物体不能沿x、y、z三
轴移动，也不能绕x、y、z三轴转动。即满足:
X 0, mx F 0
Y 0,
my
F
0
Z 0, mz F 0
空间力系一般的平衡方程
空间一般力系平衡的充要条件：
mx 0， 200ZB 300Pz 50Q sin 20 0
ZB 2040N Z 0， ZA ZB Pz Q sin 20 0，Z A 385N
22
§6-5 重心的概念
一、物体重心的概念 物体的每个微小部分都受到重力作 用，可认为该力系是空间平行力系 平行力系的合力，称为物体的重力
3、滑动轴承
17
4、 止 推 轴 承
My
Mx
18
5、带有销子的夹板
19
6、空间固定端
20
[例1] 已知:RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N。求平衡时力Q和轴承A , B处的约束反力？ (Q力作用在C轮的最低点） 解：①选研究对象 ②作受力图 ③选坐标列方程
解：
Pz P sin 45
Px P cos 45 sin 60
Py P cos 45 cos 60
mx P mx Px mx Py mx Pz 0 0 6Pz
6P sin 45 84.8Nm
my P my Px my Py my Pz 0 0 5Pz
例如： Z1
P1
Z2
P2 z
(a) 空间汇交力系； (b) 空间平行力系；
y (c) 空间一般力系。
X1
X2
x
迎面 风力
侧面 风力
3
b
§6-2 力在空间坐标轴上的投影
一、力在空间的表示：
g b
O
q
Fxy
力的三要素：
大小、方向、作用点
大小： F F
作用点：
在物体的哪点就是哪点
方向：
由力与坐标轴或平面的
最好每一个方程有一 个未知量，方便求解
Y 0， YA Py 0， YA Py 352N
my 0， Pz 50 100Q cos 20 0
Q 746N
21
mz 0， 300Px 50Py 200X B 50Q cos 20 0
X B 437N X 0， X A X B Px Q cos 20 0，X A 729N
1
第六章 空间力系 重心
§6–1 工程中的空间力系问题
§6–2 力在空间坐标轴上的投影
§6–3 力对轴的矩
§6–4 空间力系的平衡方程
§6–5 重心的概念
§6–6 重心坐标公式
§6–7 物体重心的求法
习题课
2
§6-1 工程中的空间力系问题
空间力系：作用在物体上的力系，其作用线分布在空间，而且
不能简化到某一平面时，这种力系称为空间力系。
方位角确定。
4
二、力在空间坐标轴上的投影 1、一次投影法（直接投影法）
X Fx F cos Y Fy F cos b Z Fz F cos g
2、二次投影法（间接投影法） 先将 F 投影到xy面上，然后再 投影到x、y轴上。
X Fx F sing cos
Y Fy F sing sin Z Fz F cos g
g
b
O
Fy
Fx
6
§6-2 力对轴的矩
一、力对轴的矩的概念
7
由实例可知：力F与轴共面时，力对轴之矩为零。
力对z轴的矩定义：
F
Fz — 平行于Z轴的分量 Fxy — 垂直于Z轴的平面内分量
mz F mO Fxy Fxy d
2OA' B' 的 面 积
力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是 代数量。其大小等于力在垂直于转轴的平面内的投影与力 臂d （轴与平面的交点到力在平面内投影的垂直距离）的 乘积，其符号按右手法则确定。
5Psin 45 70.7Nm
mz P mz Px mz Py mz Pz
6P cos 45 sin 60 5P cos 45cos 60 38.2N m
10
§6-4 空间力系的平衡方程
建立空间任意力系平衡方程的方法与平面力系的方法相同， 都是采取力系简化的方法。只是对于空间力系推导平衡条件的 过程比较复杂。这里只用比较直观的方法得出空间一般力系平 衡方程。
力对轴的矩 的符号规定
右手法则
+
--
二、合力矩定理
与平面力系情况类同，空间力系的合力矩定理为：
mz
R
mz
F1
mz
F2
mz
Fn
mz
Fi
空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中各分力
对同一轴的矩的代数和。称为空间力系的合力矩定理
空间合力矩定理可以用来确定物体的重心位置
9
[例1] 已知P=2000N, C点在Oxy平面内。求力P对三个坐标 轴的矩。
x
F2
F1
13
对于空间平行于 z 轴的平行力系：
mz F 0
则 X 0
成为恒等式
Y 0
故空间平行于 z 轴的
F3
平行力系的平衡方程为：
Z 0
mx F 0 my F 0
x
z
Fn
F1 y O
F2
14
几种典型的空间约束
1、球形铰链
15
2、向心轴承，蝶铰链，滚珠(柱)轴承
16
平行力系的中心，称为物体的重心
Wi W
Wi W
二、研究物体重心的意义 重心位置会影响物体的平衡和稳定 例如：不倒翁玩具、飞机和船舶、高速旋转的转子等
23
§6-6 重心坐标公式
一、平行力系的中心 空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是 空间平行力系的中心 由合力矩定理可得：
Fz
g
b
O
Fy
Fx Fz
g
O
Fx
Fy
Fxy
5
三、由坐标轴上的投影量求力F：
若以 Fx ,向： Fz
F Fx2 Fy2 Fz2
cos
Fx
Fx2 Fy2 Fz2
cos b
Fy
Fx2 Fy2 Fz2
cos g
Fz
Fx2 Fy2 Fz2
各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对此三轴 力矩的代数和都必须分别等于零。
共六个独立方程，可以求解独立的六个未知量。
12
对于空间汇交力系：（选取汇交点为原点）
mx F 0
则
my
F
0
成为恒等式
mz F 0
F3 z
Fn
故空间汇交力系的平衡方程为：
y
X 0 Y 0
O
Z 0
设作用在刚体上有 空间一般力系
F1 ,F2 ,F3 Fn
11
如果该物体平衡，则必须要使该物体不能沿x、y、z三
轴移动，也不能绕x、y、z三轴转动。即满足:
X 0, mx F 0
Y 0,
my
F
0
Z 0, mz F 0
空间力系一般的平衡方程
空间一般力系平衡的充要条件：
mx 0， 200ZB 300Pz 50Q sin 20 0
ZB 2040N Z 0， ZA ZB Pz Q sin 20 0，Z A 385N
22
§6-5 重心的概念
一、物体重心的概念 物体的每个微小部分都受到重力作 用，可认为该力系是空间平行力系 平行力系的合力，称为物体的重力
3、滑动轴承
17
4、 止 推 轴 承
My
Mx
18
5、带有销子的夹板
19
6、空间固定端
20
[例1] 已知:RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N。求平衡时力Q和轴承A , B处的约束反力？ (Q力作用在C轮的最低点） 解：①选研究对象 ②作受力图 ③选坐标列方程
解：
Pz P sin 45
Px P cos 45 sin 60
Py P cos 45 cos 60
mx P mx Px mx Py mx Pz 0 0 6Pz
6P sin 45 84.8Nm
my P my Px my Py my Pz 0 0 5Pz
例如： Z1
P1
Z2
P2 z
(a) 空间汇交力系； (b) 空间平行力系；
y (c) 空间一般力系。
X1
X2
x
迎面 风力
侧面 风力
3
b
§6-2 力在空间坐标轴上的投影
一、力在空间的表示：
g b
O
q
Fxy
力的三要素：
大小、方向、作用点
大小： F F
作用点：
在物体的哪点就是哪点
方向：
由力与坐标轴或平面的
最好每一个方程有一 个未知量，方便求解
Y 0， YA Py 0， YA Py 352N
my 0， Pz 50 100Q cos 20 0
Q 746N
21
mz 0， 300Px 50Py 200X B 50Q cos 20 0
X B 437N X 0， X A X B Px Q cos 20 0，X A 729N
1
第六章 空间力系 重心
§6–1 工程中的空间力系问题
§6–2 力在空间坐标轴上的投影
§6–3 力对轴的矩
§6–4 空间力系的平衡方程
§6–5 重心的概念
§6–6 重心坐标公式
§6–7 物体重心的求法
习题课
2
§6-1 工程中的空间力系问题
空间力系：作用在物体上的力系，其作用线分布在空间，而且
不能简化到某一平面时，这种力系称为空间力系。
方位角确定。
4
二、力在空间坐标轴上的投影 1、一次投影法（直接投影法）
X Fx F cos Y Fy F cos b Z Fz F cos g
2、二次投影法（间接投影法） 先将 F 投影到xy面上，然后再 投影到x、y轴上。
X Fx F sing cos
Y Fy F sing sin Z Fz F cos g
g
b
O
Fy
Fx
6
§6-2 力对轴的矩
一、力对轴的矩的概念
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由实例可知：力F与轴共面时，力对轴之矩为零。
力对z轴的矩定义：
F
Fz — 平行于Z轴的分量 Fxy — 垂直于Z轴的平面内分量
mz F mO Fxy Fxy d
2OA' B' 的 面 积
力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是 代数量。其大小等于力在垂直于转轴的平面内的投影与力 臂d （轴与平面的交点到力在平面内投影的垂直距离）的 乘积，其符号按右手法则确定。
5Psin 45 70.7Nm
mz P mz Px mz Py mz Pz
6P cos 45 sin 60 5P cos 45cos 60 38.2N m
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§6-4 空间力系的平衡方程
建立空间任意力系平衡方程的方法与平面力系的方法相同， 都是采取力系简化的方法。只是对于空间力系推导平衡条件的 过程比较复杂。这里只用比较直观的方法得出空间一般力系平 衡方程。