北师大数学七年级下册第二章相交线与平行线拔高题(附答案详解)
北师大数学七年级下第二章拔高题一．选择题（共7小题）1．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE与∠D的关系是（）A．∠ABE＝3∠D B．∠ABE+∠D＝90°C．∠ABE+3∠D＝180°D．∠ABE＝2∠D2．如图，将含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，已知∠A＝30°，∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°3．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（）A．60°B．65°C．72°D．75°5．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（）A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短6．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝150°，则∠BCD＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．如图，图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°，则图2中∠AEF的度数为（）A．120°B．108°C．126°D．114°二．填空题（共8小题）8．将一块60°的直角三角板DEF放置在45°的直角三角板ABC上，移动三角板DEF使两条直角边DE、DF恰分别经过B、C两点，若EF∥BC，则∠ABD＝°．9．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C落在AB边上的点G处，点D落在点H处．若∠1＝62°，则图中∠BEG的度数为．10．如图，已知DE∥BC，2∠D＝3∠DBC，∠1＝∠2．则∠DEB＝度．11．如图，已知AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝28°，则∠C的度数为．12．如图，BE∥CF，则∠A+∠B+∠C+∠D＝度．第9题第10题第11题第12题13．如图，若OP∥QR∥ST，则∠1，∠2，∠3的数量关系是：．14．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是．15．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，此时∠ODE＝∠ADC，且反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是．第13题第14题第15题三．解答题（共11小题）16．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD交于点G，H，GM⊥GE，∠BGM＝20°，HN 平分∠CHE，求∠NHD的度数．17．如图，直线AB∥CD，并且被直线MN所截，MN分别交AB和CD于点E、F，点Q在PM 上，且∠AEP＝∠CFQ．求证：∠EPM＝∠FQM．18．如图，已知AB∥CD，∠A＝40°．点P是射线AB上一动点（与点A不重合），CE、CF 分别平分∠ACP和∠DCP交射线AB于点E、F．（1）求∠ECF的度数；（2）随着点P的运动，∠APC与∠AFC之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；（3）当∠AEC＝∠ACF时，求∠APC的度数．19．【探究】如图①，∠AFH和∠CHF的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．（1）若∠AFH＝60°，∠CHF＝50°，则∠EOF＝度，∠FOH＝度．（2）若∠AFH+∠CHF＝100°，求∠FOH的度数．【拓展】如图②，∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．若∠AFH+∠CHF＝α，直接写出∠FOH的度数．（用含a的代数式表示）20．如图，AB∥CD，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE交CD于点F．（1）求证：∠1+∠2＝90°；（2）如果∠EDF＝36°，那么∠BFC等于多少度？21．如图，AB∥CD，点E在线段AB上，连接EC、ED、AD，且ED平分∠CEB，AD⊥EF，若∠ADC＝42°，∠A﹣∠B＝8°，求∠BDE的度数．22．（1）如图1，已知AB∥CD，求证：∠BED＝∠1+∠2．（2）如图2，已知AB∥CD，写出∠1、∠EGH与∠2、∠BEG之间数量关系，并加以证明．（3）如图3，已知AB∥CD，直接写出∠1、∠3、∠5、与∠2、∠4、∠6之间的关系．23．已知AB∥CD，点E为平面内一点，BE⊥CE于E．（1）如图1，请直接写出∠ABE和∠DCE之间的数量关系；（2）如图2，过点E作EF⊥CD，垂足为F，求证：∠CEF＝∠ABE；（3）如图3，在（2）的条件下，作EG平分∠CEF，交DF于点G，作ED平分∠BEF，交CD 于D，连接BD，若∠DBE+∠ABD＝180°，且∠BDE＝3∠GEF，求∠BEG的度数．24．（1）如图①，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1的度数？（2）如图②，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1+∠E2的度数？（3）如图③，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1+∠E2+∠E3的度数？（4）如图④，若AB∥CD，猜想∠B+∠D+∠E1+∠E2+…+∠E n的度数？25．如图，已知直线l1∥l2，点A、B分别在l1与l2上．直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在直线CD上有一点P．（1）如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠P AC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？26．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，F是BC延长线上一点，且∠DBC ＝∠F，求证：EC∥DF．一．选择题（共7小题）1．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE与∠D的关系是（）A．∠ABE＝3∠D B．∠ABE+∠D＝90°C．∠ABE+3∠D＝180°D．∠ABE＝2∠D【解答】证明：如图，延长DE交AB的延长线于G，∵AB∥CD，∴∠D＝∠G，∵BF∥DE，∴∠G＝∠ABF，∴∠D＝∠ABF，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠ABF＝2∠D，即∠ABE＝2∠D．故选：D．2．如图，将含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，已知∠A＝30°，∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵EF∥MN，∠1＝40°，∴∠1＝∠3＝40°，∵∠A＝30°，∴∠2＝∠A+∠3＝70°，故选：D．3．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（）A．60°B．65°C．72°D．75°【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠1，∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠AEF＝2x＝72°，故选：C．4．在下列图形中，由∠1＝∠2一定能得到AB∥CD的是（）A．B．C．D．【解答】解：如下图，∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故选：A．5．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（）A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【解答】解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：垂线段最短，故原命题错误；B、两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短，正确；C、一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，正确；D、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确．故选：A．6．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝150°，则∠BCD＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：反向延长DE交BC于M，∵AB∥DE，∴∠BMD＝∠ABC＝80°，∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；又∵∠CDE＝∠CMD+∠BCD，∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝150°﹣100°＝50°．故选：C．7．如图，图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°，则图2中∠AEF的度数为（）A．120°B．108°C．126°D．114°【解答】解：如图，设∠B′FE＝x，∵纸条沿EF折叠，∴∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF，∴∠BFC＝∠BFE﹣∠CFE＝x﹣18°，∵纸条沿BF折叠，∴∠C′FB＝∠BFC＝x﹣18°，而∠B′FE+∠BFE+∠C′FE＝180°，∴x+x+x﹣18°＝180°，解得x＝66°，∵A′D′∥B′C′，∴∠A′EF＝180°﹣∠B′FE＝180°﹣66°＝114°，∴∠AEF＝114°．故选：D．二．填空题（共8小题）8．将一块60°的直角三角板DEF放置在45°的直角三角板ABC上，移动三角板DEF使两条直角边DE、DF恰分别经过B、C两点，若EF∥BC，则∠ABD＝15°．【解答】解：∵将一块60°的直角三角板DEF放置在45°的直角三角板ABC上，∴∠E＝30°，∠ABC＝45°，∵EF∥BC，∴∠DBC＝∠E＝30°，∴∠ABD＝45°﹣30°＝15°，故答案为：159．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C落在AB边上的点G处，点D落在点H处．若∠1＝62°，则图中∠BEG的度数为56°．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠1＝∠FEC＝62°，由翻折可得：∠FEG＝∠FEC＝62°，∴∠BEG＝180°﹣62°﹣62°＝56°，故答案为：56°10．如图，已知DE∥BC，2∠D＝3∠DBC，∠1＝∠2．则∠DEB＝36度．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠E＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝∠B，设∠1＝∠2＝∠B＝x，∵2∠D＝3∠DBC，∴∠D＝3x，∴5x＝180°，∴x＝36°故答案为36．11．如图，已知AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝28°，则∠C的度数为22°．【解答】解：∵AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝28°，∴∠CBD＝∠1＝130°，∠CDB＝∠2＝28°，∴∠C＝180°﹣∠CBD﹣∠CDB＝180°﹣130°﹣28°＝22°．故答案为：22°12．如图，BE∥CF，则∠A+∠B+∠C+∠D＝180度．【解答】解：如图所示，由图知∠A+∠B＝∠BPD，∵BE∥CF，∴∠CQD＝∠BPD＝∠A+∠B，又∵∠CQD+∠C+∠D＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，故答案为：180．13．如图，若OP∥QR∥ST，则∠1，∠2，∠3的数量关系是：∠2+∠3﹣∠1＝180°．【解答】解：如图，延长TS，∵OP∥QR∥ST，∴∠2＝∠4，∵∠3与∠ESR互补，∴∠ESR＝180°﹣∠3，∵∠4是△FSR的外角，∴∠FSR+∠1＝∠4，即180°﹣∠3+∠1＝∠2，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故答案为：∠2+∠3﹣∠1＝180°．14．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是∠α﹣∠β＝90°．【解答】解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1＝∠β，∠α＝180°﹣∠2，∴∠α﹣∠β＝180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣∠BCD＝90°，故答案为∠α﹣∠β＝90°．15．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，此时∠ODE＝∠ADC，且反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是74°．【解答】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．∵入射角等于反射角，∴∠1＝∠3，∵CD∥OB，∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）；∴∠2＝∠3（等量代换）；在Rt△DOF中，∠ODF＝90°，∠AOB＝37°，∴∠2＝90°﹣37°＝53°；∴在△DEF中，∠DEB＝180°﹣2∠2＝74°．故答案为：74°．三．解答题（共11小题）16．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD交于点G，H，GM⊥GE，∠BGM＝20°，HN平分∠CHE，求∠NHD的度数．【解答】解：∵GM⊥GE∴∠EGM＝90°∵∠BGM＝20°∴∠EGB＝∠EGM﹣∠BGM＝70°∴∠AGH＝∠EGB＝70°∵AB∥CD∴∠AGH+∠CHG＝180°∴∠CHG＝110°∵HN平分∠CHE∴∠NHC＝∠CHG＝×110°＝55°∴∠NHD＝180°﹣∠CHN＝180°﹣55°＝125°17．如图，直线AB∥CD，并且被直线MN所截，MN分别交AB和CD于点E、F，点Q在PM上，且∠AEP＝∠CFQ．求证：∠EPM＝∠FQM．【解答】解：∵AB∥CD∴∠AEM＝∠CFM，∵∠AEP＝∠CFQ，∴∠MEP＝∠MFQ，∴EP∥FQ，∴∠EPM＝∠FQM．18．如图，已知AB∥CD，∠A＝40°．点P是射线AB上一动点（与点A不重合），CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP交射线AB于点E、F．（1）求∠ECF的度数；（2）随着点P的运动，∠APC与∠AFC之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；（3）当∠AEC＝∠ACF时，求∠APC的度数．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠A+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝180°﹣40°＝140°，∵CE平分∠ACP，CF平分∠DCP，∴∠ACP＝2∠ECP，∠DCP＝2∠PCF，∴∠ECF＝∠ACD＝70°；（2）不变．数量关系为：∠APC＝2∠AFC．∵AB∥CD，∴∠AFC＝∠DCF，∠APC＝∠DCP，∵CF平分∠DCP，∴∠DCP＝2∠DCF，∴∠APC＝2∠AFC；（3）∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD，当∠AEC＝∠ACF时，则有∠ECD＝∠ACF，∴∠ACE＝∠DCF，∴∠PCD＝∠ACD＝70°，∴∠APC＝∠PCD＝70°．19．【探究】如图①，∠AFH和∠CHF的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．（1）若∠AFH＝60°，∠CHF＝50°，则∠EOF＝30度，∠FOH＝125度．（2）若∠AFH+∠CHF＝100°，求∠FOH的度数．【拓展】如图②，∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．若∠AFH+∠CHF＝α，直接写出∠FOH的度数．（用含a的代数式表示）【解答】解：【探究】（1）∵∠AFH＝60°，OF平分∠AFH，∴∠OFH＝30°，又∵EG∥FH，∴∠EOF＝∠OFH＝30°；∵∠CHF＝50°，OH平分∠CHF，∴∠FHO＝25°，∴△FOH中，∠FOH＝180°﹣∠OFH﹣∠OHF＝125°；故答案为：30，125；（2）∵FO平分∠AFH，HO平分∠CHF，∴∠OFH＝∠AFH，∠OHF＝∠CHF．∵∠AFH+∠CHF＝100°，∴∠OFH+∠OHF＝（∠AFH+∠CHF）＝×100°＝50°．∵EG∥FH，∴∠EOF＝∠OFH，∠GOH＝∠OHF．∴∠EOF+∠GOH＝∠OFH+∠OHF＝50°．∵∠EOF+∠GOH+∠FOH＝180°，∴∠FOH＝180°﹣（∠EOF+∠GOH）＝180°﹣50°＝130°．【拓展】∵∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，∴∠OFH＝∠AFH，∠OHI＝∠CHI，∴∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH＝（∠CHI﹣∠AFH）＝（180°﹣∠CHF﹣∠AFH）＝（180°﹣α）＝90°﹣α．20．如图，AB∥CD，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE交CD于点F．（1）求证：∠1+∠2＝90°；（2）如果∠EDF＝36°，那么∠BFC等于多少度？【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC＝180°，∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，∴∠1＝∠ABD，∠2＝∠BDC，∴∠1+∠2＝（∠ABD+∠BDC）＝90°，（2）∵DE平分∠BDC，∴∠2＝∠EDF＝36°，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠1＝54°，又∵AB∥CD，∴∠BFC＝180°﹣∠1＝180°﹣54°＝126°．21．如图，AB∥CD，点E在线段AB上，连接EC、ED、AD，且ED平分∠CEB，AD⊥EF，若∠ADC＝42°，∠A﹣∠B＝8°，求∠BDE的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ADC＝∠A＝42°，∵∠A﹣∠B＝8°，∴∠B＝34°，∵AD⊥EF，∴∠AFE＝90°，∴∠AEF＝48°，∴∠BEC＝132°，∵DE平分∠BEC，∴∠BED＝∠BEC＝66°，∴∠BDE＝180°﹣66°﹣34°＝80°．22．（1）如图1，已知AB∥CD，求证：∠BED＝∠1+∠2．（2）如图2，已知AB∥CD，写出∠1、∠EGH与∠2、∠BEG之间数量关系，并加以证明．（3）如图3，已知AB∥CD，直接写出∠1、∠3、∠5、与∠2、∠4、∠6之间的关系．【解答】解：（1）证明：如图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，∴∠3+∠4＝∠1+∠2，即∠BED＝∠1+∠2；（2）∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG，理由如下：如图，分别过点E、G作EF∥AB，GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥GH∥CD，∴∠1＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠2，∴∠1+∠5+∠6＝∠3+∠4+∠2，即∠1+∠EGH＝∠2+∠BEG；（3）由题可得，向左的角度数之和与向右的角度数之和相等，∴∠1、∠3、∠5与∠2、∠4、∠6之间的关系为：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4+∠6．23．已知AB∥CD，点E为平面内一点，BE⊥CE于E．（1）如图1，请直接写出∠ABE和∠DCE之间的数量关系；（2）如图2，过点E作EF⊥CD，垂足为F，求证：∠CEF＝∠ABE；（3）如图3，在（2）的条件下，作EG平分∠CEF，交DF于点G，作ED平分∠BEF，交CD 于D，连接BD，若∠DBE+∠ABD＝180°，且∠BDE＝3∠GEF，求∠BEG的度数．【解答】解：（1）结论：∠ECD＝90°+∠ABE．理由：如图1中，从BE交DC的延长线于H．∵AB∥CH，∴∠ABE＝∠H，∵BE⊥CE，∴∠CEH＝90°，∴∠ECD＝∠H+∠CEH＝90°+∠H，∴∠ECD＝90°+∠ABE．（2）如图2中，作EM∥CD，∵EM∥CD，CD∥AB，∴AB∥CD∥EM，∴∠BEM＝∠ABE，∠F+∠FEM＝180°，∵EF⊥CD，∴∠F＝90°，∴∠FEM＝90°，∴∠CEF与∠CEM互余，∵BE⊥CE，∴∠BEC＝90°，∴∠BEM与∠CEM互余，∴∠CEF＝∠BEM，∴∠CEF＝∠ABE．（3）如图3中，设∠GEF＝α，∠EDF＝β．∴∠BDE＝3∠GEF＝3α，∵EG平分∠CEF，∴∠CEF＝2∠FEG＝2α，∴∠ABE＝∠CEF＝2α，∵AB∥CD∥EM，∴∠MED＝∠EDF＝β，∠KBD＝∠BDF＝3α+β，∠ABD+∠BDF＝180°，∴∠BED＝∠BEM+∠MED＝2α+β，∵ED平分∠BEF，∴∠BED＝∠FED＝2α+β，∴∠DEC＝β，∵∠BEC＝90°，∴2α+2β＝90°，∵∠DBE+∠ABD＝180°，∠ABD+∠BDF＝180°，∴∠DBE＝∠BDF＝∠BDE+∠EDF＝3α+β，∵∠ABK＝180°，∴∠ABE+∠B＝DBE+∠KBD＝180°，即2α+（3α+β）+（3α+β）＝180°，∴6α+（2α+2β）＝180°，∴α＝15°，∴∠BEG＝∠BEC+∠CEG＝90°+15°＝105°．24．（1）如图①，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1的度数？（2）如图②，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1+∠E2的度数？（3）如图③，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1+∠E2+∠E3的度数？（4）如图④，若AB∥CD，猜想∠B+∠D+∠E1+∠E2+…+∠E n的度数？【解答】解：（1）如图①，过E1作E1F∥AB，则E1F∥CD，∴∠B+∠1＝180°①，∠D+∠1＝180°②，①+②得∠B+∠1+∠D+∠2＝360°，即∠B+∠D+∠E1＝360°；（2）如图②，分别过E1，E2作E1F∥AB，E2G∥AB，则E1F∥E2G∥CD，∴∠1+∠B＝∠2+∠3＝∠4+∠D＝180°，∴∠B+∠D+∠E1+∠E2＝∠1+∠B+∠2+∠3+∠4+∠D＝540°＝3×180°；（3）如图③，分别过E1，E2，E3作E1F1∥E2F2∥E3F3∥AB，则E1F1∥E2F2∥E3F3∥CD，∴∠B+∠BE1E2＝180°，∠E2E1F1+∠E1E2F2＝180°，∠E3E2F2+∠E2E3F3＝180°，∠DE3F3+∠D＝180°，∴∠B+∠D+∠E1+∠E2+∠E3＝720°；（4）由（1）（2）（3）知，拐点的个数n与角的和之间的关系是（n+1）?180°，∴∠B+∠D+∠E1+∠E2+…+∠E n＝（n+1）?180°．25．如图，已知直线l1∥l2，点A、B分别在l1与l2上．直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在直线CD上有一点P．（1）如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠P AC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？【解答】解：（1）如图，当P点在C、D之间运动时，则有∠APB＝∠PAC+∠PBD．理由如下：过点P作PE∥l1，∵l1∥l2，∴PE∥l2∥l1，∴∠P AC＝∠1，∠PBD＝∠2，∴∠APB＝∠1+∠2＝∠P AC+∠PBD；（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则有两种情形：①如图，当点P在在l2下方时，有结论：∠APB＝∠P AC﹣∠PBD．理由是：过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC，又∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠BPE＝∠PBD，∵∠APE＝∠APB+∠BPE，∴∠P AC＝∠APB+∠PBD，∴∠APB＝∠PAC﹣∠PBD；②如图，当点P在l1上方时，有结论：∠APB＝∠PBD﹣∠P AC．理由是：过点P作PE∥l2，则∠BPE＝∠PBD，又∵l1∥l2，∴PE∥l1，∴∠APE＝∠PAC，∵∠BPE＝∠APE+∠APB，∴∠PBD＝∠P AC+∠APB，∴∠APB＝∠PBD﹣∠P AC．26．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，F是BC延长线上一点，且∠DBC ＝∠F，求证：EC∥DF．【解答】证明：∵∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB．∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF．。
北师大版七年级下册数学第二章相交线与平行线测试题(附答案)
北师大版七年级下册数学第二章相交线与平行线测试题(附答案)北师大版七年级下册数学第二章相交线与平行线测试题（附答案）一、单选题1.如图，已知直线l1∥l2，将一块直角三角板ABC按如图所示方式放置，若∠1＝39°，则∠2等于（）A。
39° B。
45° C。
50° D。
51°2.如图.直线a∥b，直线L与a、b分别交于点A，B，过点A作AC⊥b于点C.若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A。
130° B。
50° C。
40° D。
25°3.如图，三点共线A、B、C，D、E、F三点共线，且AD∥CF，BE∥CD，下列结论错误的是（）A。
∠ABE＝∠XXX∠ABE＝∠CDEC。
∠ABE＝∠XXX∠ABE＝∠BDF4.如图，平行线AB∥CD，EF⊥CD，垂足为G，图中∠AGE＝（）A。
90° B。
45° C。
30° D。
60°5.如图，互余的角有（）A。
1个 B。
2个 C。
3个 D。
4个6.如图，AB∥CD，EF∥GH，则下列等式正确的是（）A。
∠AEF＝∠GHF B。
∠AEF＝∠HGFC。
∠XXX∠GHF D。
∠XXX∠HGF7.已知同一平面内的三条直线AB，CD，EF，AB∥CD，CD∥EF，则下列结论错误的是（）A。
AB∥EF B。
AB∥CD C。
EF∥CD D。
AB∥EF8.如果a＜b，且a＋b＝5c，如果c＜a，b＜c，比a与b 的和的3倍少2，那么a与b的位置关系是（）A。
a＜b B。
a＞b C。
a＝b D.无法确定9.如图，已知AB∥CD，AE＝2cm，EC＝3cm，则图中互相平行的线段是（）A。
AB//CD B。
AE//DC C。
BE//CD D。
AB//EC10.如图，AB∥CD，点E在直线AD上，且∠AEC＝34°，则∠BED的大小为（）A。
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元拔尖卷(含答案)
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元拔尖卷（含答案）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．已知P 是直线l 外一点，以P 为一个端点作线段PQ ，使端点Q 在直线l 上，并且使线段PQ 的长为5cm ，这样的线段可以作的条数是（）．A ．0或1B ．1或2C ．0或2D ．非以上答案2．将一副三角板按如图放置，则下列结论①13∠=∠；②如果230∠= ，则有//AC DE ；③如果245∠=o ，则有//BC AD ；④如果4C ∠=∠，必有230∠= ，其中正确的有（）A ．①②③B ．①②④C ．③④D ．①②③④3．如图，//////AB CD EF GH ，//AE DG ，点C 在AE 上，点F 在DG 上，设与α∠相等的角的个数为m （不包括α∠本身），与∠β互补的角的个数为n ．若αβ≠，则m n +的值是（）A ．8B ．9C ．10D ．114．如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN 上，镜面AB 的调节角()ABM ∠的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG 射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF ）的夹角30EPG ∠=︒，则反射光束GH 与天花板所形成的角()PHG ∠不可能．．．取到的度数为（）A ．129°B ．72°C ．51°D ．18°5．如图，AB ∥CD ，OE 平分BOC ∠，OF 平分BOD ∠，OP CD ⊥，40ABO ∠=︒，则下列结论：①90BPO ∠=︒；②OF OE ⊥；③2BOE BOD ∠=∠；④POE DOF ∠=∠；⑤25POB DOF ∠=∠；⑥2ABO BOF ∠=∠．其中正确结论有（）个．A ．5B ．4C ．6D ．26．如图，△OAB 为等腰直角三角形（∠A ＝∠B ＝45°，∠AOB ＝90°），△OCD 为等边三角形（∠C ＝∠D ＝∠COD ＝60°），满足OC ＞OA ，△OCD 绕点O 从射线OC 与射线OA 重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法错误的是（）A ．当α＝15°时，DC ∥ABB ．当OC ⊥AB 时，α＝45°C ．当边OB 与边OD 在同一直线上时，直线DC 与直线AB 相交形成的锐角为15°D ．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB 与△OCD 有一条边平行7．如图所示，将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中45︒和30︒的两个角顶点O 重合在一起．三角板COD 保持不动，将三角板AOB 绕点O 顺时针方向旋转一周的过程中，若OA CD ∥，则BOD ∠的大小为（）A ．15︒或165︒B ．60︒或120︒C ．30︒或150︒D ．75︒或105︒8．如图1，将一条对边互相平行的围巾折叠，并将其抽象成相应的数学模型如图2，AB ∥CD ，折痕分别为AD ，CB ，若2DAB GCB ∠=∠，DF ∥CG ，则ADF ∠等于（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．80︒9．如图，6AB =，点A 到直线BC 的距离为3，若在射线BC 上只存在一个点P ，记AP 的长度为d ，则d 的值可以是（）A ．7B ．2C ．5D ．610．如图，AC BD ⊥于C ，E 是AB 上一点，CE CF ⊥，DF AB ，BEC n BEH ∠=∠，BDG n HDG ∠=∠，则与H ∠与ACF ∠之间的数量关系为（）A ．180H n ACF ∠+∠=︒B ．()()11180n H n ACF -∠+-∠=︒C ．180n H ACF ∠+∠=︒D ．360n H n ACF ∠+∠=︒二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）O15．已知，如图AB平行CDEGF=°16．已知直线AB DE∥，射线∠之间的数量关系：H∠，C17．在一副三角尺中∠BPA与量角器的0°刻度线重合，边逆时针旋转，同时三角尺ABP合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间18．直线//AB CD ，点E 是直线AB 上一点，在直线EF 另一侧，点M 是直线AB 和CD 之间的一点，若CFM =．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）已知：如图，直线AB 与直线CD 交点O ，OE DC ⊥，OE 平分AOF ∠．（1）如图1，求证：OC 平分BOF ∠；（2）如图2，OG OP OK ，，，在直线AB 的下方，若OK 平分COG ∠，OP 平分BOG ∠，25KOP ∠=︒，求AOF ∠的度数．∠②在点P 运动的过程中，当点P 到直线l 的距离最大时，BDP ∠的度数是________（用含α的式子表示）．（3）如图3，AC 平分OAB ∠，将直角三角尺AOB 绕着点O 旋转，当AC l ∥时，请直接写出OB 与直线l 所成锐角的度数．23．（10分）已知四边形ABCD 中，∠B =∠C =90°，E 是边AB 上一点，F 为边BC 上一点（不与B ，C 两点重合），连接EF ，DF ，且EF ⊥DF ．（1）如图1，若∠DFC =∠A ，求证：AD ⊥FD（2）如图2，∠BEF 和∠CDF 的平分线相较于点O ，当点F 在边BC 上运动时，探究∠O 的大小是否发生变化？若不变，求出∠O 的度数；若变化，写出其变化范围．②当OD 为AOC ∠的“分补线”时，请画出图形并求出此时AOB ∠的度数．参考答案：1．D【分析】本题考查了点到直线的距离，根据垂线段最短分三种情况解答即可求解，掌握垂线段最短是解题的关键．解：当P 与l 的距离小于5cm 时，这样的线段可作2条；当P 与l 的距离等于5cm 时，这样的线段可作1条；当P 与l 的距离大于5cm 时，这样的线段可作0条；综上，这样的线段可作2条或1条或0条，故选：D ．2．D【分析】根据∠1+∠2=∠3+∠2即可证得①；根据230∠= 求出∠1与∠E 的度数大小即可判断②；利用∠2求出∠3，与∠B 的度数大小即可判断③；利用4C ∠=∠求出∠1，即可得到∠2的度数，即可判断④.解：∵∠1+∠2=∠3+∠2=90︒，∴∠1=∠3，故①正确；∵230∠= ，∴190260∠=-∠=∠E=60︒，∴∠1=∠E ，∴AC ∥DE ，故②正确；∵245∠=o ，∴345∠= ，∵45B ∠= ,∴∠3=∠B,∴//BC AD ,故③正确；∵4C ∠=∠45= ，∴∠CFE=∠C 45= ，∵∠CFE+∠E=∠C+∠1，∴∠1=∠E=60 ,∴∠2=90︒-∠1=30 ，故④正确，故选：D.【点拨】此题考查互余角的性质，平行线的判定及性质，熟练运用解题是关键.3．D【分析】设BA 的延长线为AM ,由//////AB CD EF GH 和//AE DG ，根据平行线的性质得到与α∠相等的角有,,,,,EFG AEF D ACD MAC ∠∠∠∠∠因为180,EFG β∠+∠=︒，即可推出与∠β互补的角的个数，即可求出答案．解：设BA 的延长线为AM ，如图，∵//////AB CD EF GH ，和AE//DG ，∴,EFG AEF D ACD MAC α∠=∠=∠=∠=∠=∠180,EFG β∠+∠=︒∴与α∠相等的角有,,,,,EFG AEF D ACD MAC ∠∠∠∠∠与∠β互补的角有,,,,,,EFG AEF D ACD MAC α∠∠∠∠∠∠∴5,6,m n ==∴5611,m n +=+=故选：D ．【点拨】本题主要考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，理解和掌握平行线的性质是解决问题的关键．4．C【分析】分当1260ABM ︒≤≤︒∠时，如图1所示，当6069ABM ︒<≤︒∠时，如图2所示，两种情况，利用平行线的性质求解即可．解：当1260ABM ︒≤≤︒∠时，如图1所示，过点G 作GQ MN ∥，∵,MN EF MN GQ ∥∥，∴MN EF GQ ∥∥，∴∠PGQ =∠EPG =30°，∠BGQ =∠ABM ，∴∠PGB =∠PGQ +∠BGQ =30°+∠ABM ，由反射定理可知，∠AGH =∠PGB =30°+∠ABM ，∴∠PGH =180°-∠AGH -∠PGB =120°-2∠ABM ，∴∠HGQ =∠PGH +∠PGQ =150°-2∠ABM ，∴∠PHG =180°-∠HGQ =30°+2∠ABM ，∴54150PHG ︒≤≤︒∠当6069ABM ︒<≤︒∠时，如图2所示，过点G 作GQ MN ∥，同理可得∠PGQ =∠EPG =30°，∠BGQ =∠ABM ，∠PHG =∠HGQ ，∴∠AGP =∠HGB =∠HGQ +∠QGB =∠PHG +∠ABM ，∴∠PGH =180°-∠AGP -∠HGB =180°-2∠PHG -2∠ABM ，∴∠HGP =∠PGQ -∠PGH =2∠PHG +2∠ABM -150°，平行时，之后OC 可以和AB 平行，OD 可以和AB 平行，可以得到5个位置，这5个位置再旋转180度又是平行的，所以可以得到10不同的位置．解：设OC 与AB 交点为M ，OD 与AB 交点为N ，当α＝15°时，∠OMN ＝α＋∠A ＝60°，∴∠OMN ＝∠C ，∴DC ∥AB ，故A 说法正确，不符合题意；当OC ⊥AB 时，α＋∠A ＝90°或α﹣180°＝90°﹣∠A ，∴α＝45°或225°，故B 说法错误，符合题意；当边OB 与边OD 在同一直线上时，此时，45EBO ABO ︒∠=∠=，61180100280EDB ODC ∠︒=︒︒︒==-∠-，∴18045E EBO EDB ∠=︒-∠-∠=︒；当边OB 与边OD 在同一直线且不重合时，此时，818245,1010600EBD EDB ODC ︒∠︒-︒︒︒∠-==∠==，∴85011E EBD EDB ︒︒∴∠=-∠-∠=故C 说法正确，不符合题意；整个旋转过程，其中DC 边可以与OB ，OA ，AB 分别平行时，之后OC 可以和AB 平行，OD 可以和AB 平行，可以得到5个位置，这5个位置再旋转180度又是平行的，所以可以得到10不同的位置，所以D 说法正确不符合题意，故选B ．【点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．7．D【分析】由题意，作图如图1，2，根据平行线的性质、三角板的度数进行计算求解即可．解：如图1，OA CD ∥，∴60AOD D ∠=∠=︒，∴105BOD BOA AOD ∠=∠+∠=︒，如图2，OA CD ∥，∴90AOC C ∠=∠=︒，∴45BOC AOC AOB ∠=∠-∠=︒，∴75BOD BOC COD ∠=∠+∠=︒，综上，BOD ∠的度数为75︒或105︒；故选：D ．【点拨】本题考查了平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．8．C【分析】根据折叠的性质得出4GCB ∠=∠，7ADF ∠=∠，根据已知条件得出32=α∠=∠，进而得出7FDC FDA α∠=∠=∠=解：如图所示，根据折叠可得4GCB ∠=∠，7ADF ∠=∠，设7ADF α∠=∠=∵AB CD ∥，∴142GCB GCB ∠=∠+∠=∠，37=α∠=∠，6=FDC ∠∠，∴3=ADF α∠=∠，∵,,AE DF CG BH DF CG ∥∥∥，∴CG AE ∥，25∠=∠，∴122GCB ∠=∠=∠，∵2DAB GCB ∠=∠，∴32=α∠=∠，∴52FDC α∠=∠=∠=即7FDC FDA α∠=∠=∠=又∵7+180ADF FDC ∠∠+∠=︒，即3=180α︒解得：60α=︒,∴60ADF ∠=︒故选：C ．【点拨】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．9．A【分析】根据垂线段最短进行分类讨论即可得到答案．解：根据题意可画图如下：∵6AB =，3AD =，∴d 的最小值为3，根据题意分类讨论：当3d <时，射线BC 上不存在满足条件的点P ；当3d =时，射线BC 上存在一个点P ；当36d <≤时，射线BC 上存在两个点P ；当6d >时，射线BC 上存在一个点P ；结合选项7d =时，在射线BC 上只存在一个点P ，故选：A ．【点拨】本题考查垂线段最短，熟练运用垂线段最短，能够根据题意进行分类讨论是解此题的关键．10．C【分析】利用DF AB 可以证明DHE BEH HDG ∠=∠+∠，DCE BEC BDG ∠=∠+∠，从而得到DCE n DHE ∠=∠，再由AC BD ⊥，CE CF ⊥，推出180DCE ACF ∠+∠=︒，从而得到180n DHE ACF ∠+∠=︒，继而选出选项.解：过点H 作PH AB ∥∵PH AB ∥，∴EHP BEH∠=∠∵DF AB ，PH AB∥∴DF PH∥∴DHP HDG∠=∠∴DHE EHP DHP BEH HDG∠=∠+∠=∠+∠同理可得：DCE BEC BDG∠=∠+∠又∵BEC n BEH ∠=∠，BDG n HDG∠=∠∴()DCE n BEH n HDG n BEH HDGn DHE ∠=∠+∠=∠+∠=∠∵AC BD ⊥，CE CF ⊥，∴90,90ACD ECF ∠=︒∠=︒，∴180DCE ACF ACE ACF DCF ACF ECF ACD ∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒∴180n DHE ACF ∠+∠=︒故选：C ．【点拨】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．11．30︒或150︒【分析】根据题意分两类情况，根据垂直定义可得90EOC ∠=︒，然后利用角的和与差可得答案．解：分两种情况：如图，EO CD ⊥ ，90EOC ∴∠=︒，60AOC ∠=︒ ，906030AOE ∴∠=︒-︒=︒；如图，EO CD ⊥ ，90EOC ∴∠=︒，9060150AOE ∴∠=︒+︒=︒．故答案为：30︒或150︒．【点拨】本题考查了垂线的性质及角的计算，熟练掌握垂线的性质及角的计算的方法进行计算是解答此题的关键．12．130°或50°解：【分析】作图分析，若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答．解：如图∵β的两边与α的两边分别垂直，∴α+β=180°故β=130°，在上述情况下，若反向延长∠β的一边，那么∠β的补角的两边也与∠α的两边互相垂直，故此时∠β=50；综上可知：∠β=50°或130°，故正确答案为：【点拨】本题考核知识点：四边形内角和.解题关键点：根据题意画出图形，分析边垂直的2种可能情∴BEO EON ∠=∠，DFO NOF ∠=∠，∵40EOF EON FON ∠=∠+∠=︒，∴40BEO DFO ∠+∠=︒，∴NOE AEO ∠=∠，CFO NOF ∠=∠，∵40EOF FON NOE ∠=︒=∠-∠，∴40CFO AEO ∠-∠=︒，∵,BEO DFO ∠∠的角平分线相交于G 点，设2BEO x ∠=，2DFO y ∠=，∴1802,1802CFO y AEO x ∠=︒-∠=︒-，∴2240x y -=︒，即20x y -=︒，过G 作GH AB ∥，则GH AB CD ∥∥，∴180HGM AEM x ∠=∠=︒-，HGF DFG y ∠=∠=，∴()180180160EGF x y x y ∠=︒-+=︒--=︒；故答案为：20︒或160︒【点拨】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，清晰的分类讨论是解本题的关键．16．2180H C ∠+∠=︒【分析】分别过点C ，H 作∥MN AB ，PQ AB ∥，根据AB DE ∥，可得MN AB DE PQ ∥∥∥，根据平行线性质可得180ABC BCM ∠+∠=︒，ABF PHF ∠=∠，根据角平分线定义可得2ABC ABF ∠=∠，进而证出2180PHF BCM ∠+∠=︒，同理2180QHG DCN ∠+∠=︒，根据平角定义可得=180PHF QHG FHG ∠+∠︒-∠，180BCM DCN BCD ∠+∠=︒-∠，由此证出()()2+=360PHF QHG BCM DCN ∠+∠+∠∠︒，进而证出结论．解：分别过点C ，H 作∥MN AB ，PQ AB ∥∵∥MN AB ，∴180ABC BCM ∠+∠=︒∵射线BF 平分ABC∠∴2ABC ABF∠=∠∵PQ AB∥∴ABF PHF∠=∠∴2180PHF BCM ∠+∠=︒∵AB DE∥∴MN DE∥∴180EDC DCN ∠+∠=︒∵射线DG 平分EDC∠∴2DEC DEG∠=∠∵∥MN AB ，PQ AB ∥，∴MN PQ∥∴DE PQ∥∴DEG QHG∠=∠∴2180QHG DCN ∠+∠=︒∴()()2+=360PHF QHG BCM DCN ∠+∠+∠∠︒∵180PHF FHG QHG ∠+∠+∠=︒∴=180PHF QHG FHG∠+∠︒-∠同理：180BCM DCN BCD∠+∠=︒-∠∴()()2180180360FHG BCD ︒-∠+︒-∠=︒∴2180FHG BCD ∠+∠=︒故答案为：2180H C ∠+∠=︒【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识点，能熟记平行线的性质是解本题的关键．17．6或9或15或33【分析】分五种情形分别构建方程即可解决问题．∴∠MPA+∠APC+∠CPD+∠NPD解得：t=6（秒）；∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°解得：t=9（秒）；当CD∥AB时，即PB与PC重合，∠∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°解得：t=15（秒）；当CP∥AB时，则四边形BECP为长方形，∠∴∠D=∠BPD=30°，∴∠APD=∠APB-∠BPD=45°-30°=15°∴∠MPA+∠APD+∠NPD=180°，即解得：t=33（秒）；当CD∥PA时，则∠D=∠APD=30°，∴∠MPA+∠NPD-∠APD=180°，即2t+3t-30=180，解得：t=42>40，不符合题意；综上，当运动时间t为6或9或15或33秒时，两块三角尺有一组边平行．故答案为：6或9或15或33．【点拨】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18．50︒或70︒【分析】分两种情况，利用平行线的性质计算即可解：当点M在EF左侧时，作MG∥AB∵AB∥CD，又MG∥AB∴CD∥MG∴∠AEM=∠EMG，∠CFM=∠FMG∵∠EMF=∠EMG+∠FMG∴∠EMF=∠AEM+∠CFM∵2∠CFM=∠AEM∴∠EMF=3∠CFM∴3∠CFM=150°∴∠CFM =50°②当点M 在EF 右侧时，作AB ∥M G '∵AB ∥M G '，AB ∥CD∴MG '∥CD∴∠EMG '=180°-∠AEM∠CFM +∠G 'MF =180°∴∠G 'MF =180°-∠CFM∵∠EMF =∠EMG '+∠FM G '∴∠EMF =180°-∠AEM +180°-∠CFM∵2∠CFM =∠AEM∴150°=360°-3∠CFM∴∠CFM =70°故答案为：50︒或70︒【点拨】本题考查平行线的性质、添加辅助线、角的和差关系、分类讨论是关键，正确添加辅助线是重点19．（1）见详解；（2）80︒【分析】该题主要考查了角的和差倍分运算以及角平分线的定义、垂直定义、对顶角相等，解题的关键是找到图中角度之间的关系，列出等式；（1）根据垂直的定义得出90,COE DOE ∠=∠=︒根据角平分线的定义得出,AOE EOF ∠=∠等量代换即可证明；（2）根据角平分线的定义得出2,2COG COK BOG BOP ∠=∠∠=∠，再根据角的和差倍分计算即可得出250COB KOP ∠=∠=︒，结合（1）即可求解；解：（1） OE DC ⊥，90,COE DOE ∴∠=∠=︒ OE 平分AOF ∠，,AOE EOF ∴∠=∠ 90EOF COF AOE DOA ∠+∠=∠+∠=︒，COF DOA ∴=∠∠，DOA COB ∠=∠ ，COF COB ∴∠=∠，CO ∴平分BOF ∠．（2）OK Q 平分COG ∠，OP 平分BOG ∠，2,2COG COK BOG BOP ∴∠=∠∠=∠，,,COK COB BOK BOP KOP BOK ∠=∠+∠∠=∠+∠Q ()22()COG BOG COK BOP COB KOP ∴∠-∠=∠-∠=∠-∠，COG BOG COB ∠-∠=∠Q ，2()COB COB KOP ∴∠=∠-∠，250COB KOP ∴∠=∠=︒，由（1）知,,AOE EOF COF COB ∠=∠∠=∠9090905040AOE EOF COF COB ∴∠=∠=︒-∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴24080AOF ∠=⨯︒=︒．20．（1）见分析；（2）3；（3）见分析【分析】（1）过点D 作DP AM ∥，可得MED EDP ∠∠=，根据MED NCD EDC ∠∠∠+=即可证明；（2）设,AEF BCG ∠α∠β==，过点H 在右侧作HQ AM ∥，根据条件可得2DEH DCH EHC ∠∠∠+=，求解即可；（3）通过证明90MED NCD ∠∠+= 即可．解：（1）证明：DP AM ∥MED EDP∠∠∴=MED NCD EDC∠∠∠+= EDP NCD EDC∠∠∠∴+=EDP PDC EDC∠∠∠+= EDP NCD EDP PDC∠∠∠∠∴+=+NCD PDC∠∠∴=DP BN∴∥DP AM∥AM BN∴∥（2）解：由题意可得：设,AEF BCG ∠α∠β==，则,AED n BCD n ∠α∠β==(1)DEH AED AEF n ∠∠∠α∴=-=-(1)DCH BCD BCG n ∠∠∠β=-=-过点H 在右侧作HQ AM∥HQ AM∥EHQ AEF ∠∠α∴==AM BN∥HQ BN∴∥QHC BCG ∠∠β∴==EHC EHQ QHC ∠∠∠αβ∴=+=+2DEH DCH EHC∠∠∠+= ()()()112n n αβαβ∴-+-=+()()()12n αβαβ∴-+=+0αβ+≠ 12n ∴-=3n ∴=（3）证明：由（2），得,3,,3AEF AED BCG BCD ∠α∠α∠β∠β====90AEF BCG ∠∠+=90αβ∴+=33270AED BCD ∠∠αβ∴+=+=180,180AED MED BCD NCD ∠∠∠∠+=+=360AED MED BCD NCD ∠∠∠∠∴+++=︒90MED NCD ∠∠∴+=MED NCD EDC∠∠∠+= 90EDC ∠∴=DE DC ⊥∴；【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，灵活运用所学知识是关键．21．（1）见分析；（2）①点M 在直线CD 的上方时，2360BDM BDP ∠+∠=︒；点M 在直线CD 的下方时，2120BDM BDP ∠-∠=︒；②90α-︒．【分析】（1）作PQ AC ∥，根据平行线的性质证明即可；（2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；②先确定点P 到直线l 的最大距离就是线段CD 的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可．解：（1）证明：补全图形如图所示，作PQ AC ∥，∵将线段AC 沿AB 平移得到线段BD ，∴,BD AC BD AC =∥，∴PQ BD ∥，∴,PCA CPQ PDB DPQ ∠=∠∠=∠，∴CPD CPQ DPQ PCA PDB ∠=∠+∠=∠+∠，即CPD PCA PDB∠=∠+∠（2）解：①分两种情况：由平移的性质得：,AC BD CD ∥∴180CDB B CAB ∠=︒-∠=∠∵12MDC CDP ∠=∠，∴MDC BDM BDC ∠=∠-∠=120BDP BDC CDP ∠=∠-∠=120MDC BDC BDM ∠=∠-∠=︒-∴120BDP BDC CDP ∠=∠-∠=整理，得2120BDM BDP ∠-∠=︒②作DE l ⊥，如图所示：∵l PD ∥，∴点P 到直线l 的距离就是线段∵DE CD ≤，∴点P 到直线l 的最大距离就是线段CD 的长，此时DP CD ⊥，作PG l ⊥于点G ，如图所示：由平移的性质得：,AC BD CD AB ∥∥，∴180CDB B CAB α∠=︒-∠=∠=，∵DP CD ⊥，∴90CDP ∠=︒，∴90BDP CDB CDP α∠=∠-∠=-︒故答案为：90α-︒．【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画出图形是解题的关键．22．（1）1290∠+∠︒＝，理由见分析；（2）1,2OBD OAC ∠∠∠∠＝＝，理由见分析；（3）60︒，理由见分析．【分析】（1）由平角的定义可得1∠、2∠和AOB ∠的和为180︒，可求得1∠与2∠的关系，（2）由直角三角形的两锐角互余，再由（1）和结论可得出结论，（3）由平行线的性质可得1OAC ∠=∠，再利用（1）中的关系可求出2∠的大小即可，解：（1）1290*∠+∠=，理由如下：点O 在直线l 上，12180AOB ∴∠+∠+∠=︒，90AOB ∠=︒，121809090∴∠+∠=︒-︒=︒，故答案为：1290∠+∠=︒．（2）1OBD ∠=∠，2OAC ∠=∠，理由如下：由（1）得1290∠+∠=︒，BD l ⊥ ，290OBD ∴∠+∠=︒，122OBD ∠+∠=∠+∠ ，1OBD ∴∠=∠，AC 平分OAB ∠，OAB ∠1302OAC OAB ∴∠=∠=︒，l AC ∥，1OAC ∴∠=∠，当180AOC COD ∠+∠=︒∴(180180COD AOC AOB ∠=︒-∠=︒-∠。
北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线必考点解析试题(含详细解析)
北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，AB∥CD，AE∥CF，∠A=41°，则∠C的度数为（）A．139°B．141°C．131°D．129°2、如图所示，AB∥CD，若∠2是∠1的2倍，则∠2等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°3、一个角的补角比这个角的余角大（ ）．A ．70°B ．80°C ．90°D ．100°4、如图，若要使1l 与2l 平行，则1l 绕点O 至少旋转的度数是（ ）A ．38︒B ．42︒C ．80︒D ．138︒5、点P 是直线l 外一点，,,A B C 为直线l 上三点，4cm,5cm,2cm PA PB PC ===，则点P 到直线l 的距离是（ ）A ．2cmB ．小于2cmC ．不大于2cmD ．4cm6、一副三角板摆放如图所示，斜边FD 与直角边AC 相交于点E ，点D 在直角边BC 上，且FD ∥AB ，∠B ＝30°，则∠ADB 的度数是（ ）A ．95°B ．105°C ．115°D ．125°7、∠A 的余角是30°，这个角的补角是（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°8、如图，直尺的一条边经过直角三角尺的直角顶点且平分直角，它的对边恰巧经过60°角的顶点．则∠1的大小是（ ）A．30°B．45°C．60°D．75°9、如图，直线b、c被直线a所截，则1∠与2∠是（）A．对顶角B．同位角C．内错角D．同旁内角10、若∠α＝55°，则∠α的余角是（）A．35°B．45°C．135°D．145°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，∠C＝90°，线段AB＝10cm，线段AD＝8cm，线段AC＝6cm，则点A到BC的距离为_____cm．2、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，点F在BC的延长线上，CE平分∠DCF交AD的延长线于点E，已知∠E＝35°，则∠A＝___．3、如图，已知AB ∥CD ，120ABE ∠=︒，35DCE ∠=︒，则BEC ∠=____．4、如图，直线l 分别与直线AB 、CD 相交于点E 、F ，EG 平分∠BEF 交直线CD 于点G ，若∠1=∠BEF =68°，则∠EGF 的度数为_______．5、若α∠=27°，则α∠的补角是____________三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1，将一副三角尺的直角顶点O 叠放在一起．若三角尺AOB 不动，将三角尺COD 绕点O 按顺时针方向转动α（0°<α<180°）．（1）如图2，若∠BOC=55°，则∠AOD=_______，∠AOC_____∠BOD（填“>”、“<”或“=”）；（2）如图3，∠BOC=55°，则∠AOD=_______，∠AOC_____∠BOD（填“>”、“<”或“=”）．（3）三角尺COD在转动的过程中，若∠BOC=β，则∠AOD=________________（用含β的代数式表示），∠AOC_____∠BOD（填“>”、“<”或“=”）．（4）借助（3）中的结论，在备用图中利用画直角的工具画出一个与∠AOC相等的角．2、在如图所示55的网格中，每个正方形的边长都是1，横纵线段的交点叫做格点，线段AB的两个端点都在格点上，点P也在格点上；（1）在图①中过点P作AB的平行线；（2）在图②中过点P作PQ⊥AB，垂足为Q；连接AP和BP，则三角形ABP的面积是．3、如图，OA⊥OB于点O，∠AOD：∠BOD＝7：2，点D、O、E在同一条直线上，OC平分∠BOE，求∠COD 的度数．4、问题情境：如图1，AB CD ∥，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒，求APC ∠的度数．小明的思路是：如图2，过P 作PE AB ∥，通过平行线性质，可得APC ∠=______．问题迁移：如图3，AD BC ∥，点P 在射线OM 上运动，ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．（1）当点P 在A 、B 两点之间运动时，CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系？请说明理由．（2）如果点P 在A 、B 两点外侧运动时（点P 与点A 、B 、O 三点不重合），请你直接写出CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系．5、已知：点O 是直线AB 上一点，过点O 分别画射线OC ，OE ，使得OC OE ⊥．（1）如图，OD 平分AOC ∠．若40BOC ∠=︒，求DOE ∠的度数．请补全下面的解题过程（括号中填写推理的依据）．解：∵点O 是直线AB 上一点，∴180AOC BOC ∠+∠=︒．∵40BOC ∠=︒，∴140AOC ∠=︒．∵OD 平分AOC ∠．∴12COD AOC ∠=∠（ ）．∴COD ∠= °．∵OC OE ⊥，∴90COE ∠=︒（ ）．∵DOE ∠=∠ +∠ ，∴DOE ∠= °．（2）在平面内有一点D ，满足2AOC AOD ∠=∠．探究：当()0180BOC αα∠=︒<<︒时，是否存在α的值，使得COD BOE ∠=∠．若存在，请直接写出α的值；若不存在，请说明理由．-参考答案-一、单选题1、A【分析】如图，根据AE CF ，得到∠CGB =41°，根据AB CD ，即可得到∠C =139°．．【详解】解：如图，∵AE CF ，∴∠A =∠CGB =41°，∵AB CD，∴∠C=180°-∠CGB=139°．故选：A【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题关键．2、C【分析】先由AB∥CD，得到∠1=∠CEF，根据∠2+∠CEF=180°，得到∠2+∠1＝180°，再由∠2＝2∠1，则3∠1=180°，由此求解即可．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠CEF，又∵∠2+∠CEF=180°，∴∠2+∠1＝180°，∵∠2＝2∠1，∴3∠1=180°，∴∠1=60°，∴∠2＝120°，故选C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，领补角互补，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．3、C【分析】根据互补即两角的和为180°，互余的两角和为90°，设这个角为x，即可求出答案．【详解】解：设这个角为x，则这个角的补角为180°-x，这个角的补角为90°-x，根据题意得：180°-x-（90°-x）=90°，故选：C．【点睛】本题主要考查了余角和补角的概念与性质．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180°．4、A【分析】根据“两直线平行，内错角相等”进行计算．【详解】解：如图，∵l1∥l2，∴∠AOB=∠OBC=42°，∴80°-42°=38°，即l1绕点O至少旋转38度才能与l2平行．故选：A．【点睛】考查了旋转的性质和平行线的性质，根据平行线的性质得到∠AOB=∠OBC=42°是解题的关键，难度不大．5、C【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答．【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，且245<<，∴点P到直线l的距离不大于2cm，故选：C．【点睛】本题考查了垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．6、B由题意可知∠ADF＝45°，则由平行线的性质可得∠B+∠BDF＝180°，求得∠BDF＝150°，从而可求∠ADB的度数．【详解】解：由题意得∠ADF＝45°，∵FD AB∥，∠B＝30°，∴∠B+∠BDF＝180°，∴∠BDF＝180°﹣∠B＝150°，∴∠ADB＝∠BDF﹣∠ADF＝105°．故选：B【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．7、C【分析】根据一个角的补角比这个角的余角大90︒列式计算即可得解．【详解】解：一个角的余角是30，∴这个角的补角是3090120︒+︒=︒．故选：C．【点睛】本题考查了余角和补角，解题的关键是熟记概念并理清余角和补角的关系．8、D由AC平分∠BAD，∠BAD=90°，得到∠BAC=45°，再由BD∥AC，得到∠ABD=∠BAC=45°，∠1+∠CBD=180°，由此求解即可．【详解】解：∵AC平分∠BAD，∠BAD=90°，∴∠BAC=45°∵BD∥AC，∴∠ABD=∠BAC=45°，∠1+∠CBD=180°，∵∠CBD=∠ABD+∠ABC=45°+60°=105°，∴∠1=75°，故选D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．9、B【分析】根据对顶角、同位角、内错角、同旁内角的特征去判断即可．【详解】∠1与∠2是同位角【点睛】本题考查了同位角的含义，理解同位角的含义并正确判断同位角是关键．10、A【分析】根据余角的定义即可得．【详解】由余角定义得∠α的余角为90°减去55°即可．解：由余角定义得∠α的余角等于90°﹣55°＝35°．故选：A．【点睛】本题考查了余角的定义，熟记定义是解题关键．二、填空题1、6【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案．【详解】解：因为∠C＝90°，所以AC⊥BC，所以A到BC的距离是AC，因为线段AC＝6cm，所以点A到BC的距离为6cm．故答案为：6．【点睛】本题考查了点到直线的距离，明确定义是关键．2、110︒度【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质可得结论．【详解】解：∵AD//BC∴35ECF E∠=∠=︒∵CE平分∠DCF∴35DCE ECF∠=∠=︒∴270∠=∠=︒DCF ECF∵AB//CD∴70∠=∠=︒B DCF∵AD//BC∴180∠+∠=︒B A∴180********∠=︒-∠=︒-︒=︒A B故答案为：110︒【点睛】本题主要考查了角的平分线以及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．3、95°【分析】过点E作EF∥AB，可得∠BEF+∠ABE=180°，从而得到∠BEF=60°，再由AB//CD，可得∠FEC=∠DCE，从而得到∠FEC=35°，即可求解．【详解】解：如图，过点E作EF∥AB，∵EF//AB，∴∠BEF+∠ABE=180°，∵∠ABE=120°，∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-120°=60°，∵EF//AB，AB//CD，∴EF//CD，∴∠FEC=∠DCE，∵∠DCE=35°，∴∠FEC=35°，∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+35°=95°．故答案为：95°【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．4、34°【分析】根据角平分线的性质可求出BEG ∠的度数，然后由平行线的判定与性质即可得出EGF ∠的度数．【详解】解：EG 平分,68BEF BEF ︒∠∠=，1342BEG BEF ︒∴∠=∠= 又1=BEF ∠∠//AB CD ∴34EGF BEG ︒∴∠=∠=故答案为34︒【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，灵活应用平行线的判定与性质是解题的关键．5、153°【分析】根据补角的定义求解即可．【详解】解：∵α∠=27°，则α∠的补角＝180°－27°＝153°故答案为：153°【点睛】本题考查了补角的定义，熟练求补角的方法是解题的关键．三、解答题1、（1）125°，=（2）125°，=（3）180°-β，=（4）见解析【分析】（1）求出AOC ∠，再加上COD ∠即可得出∠AOD，再判断出AOC BOD ∠=∠即可；（2）根据角的和差求出AOD ∠，AOC ∠以及BOD ∠，从而可判断出AOC BOD ∠=∠；（3）方法同（2）；（4）借助（3）的结论画出图形即可．（1）∵90,55AOB BOC ∠=︒∠=︒∴905535AOC AOB BOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴3590125AOD AOC COD ∠=∠+∠=︒+︒=︒又905535BOD COD BOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴AOC BOD ∠=∠故答案为：125°，=（2）（2）∵90,55AOB COD BOC ∠=∠=︒∠=︒∴360360909055125AOD AOB COD BOC ∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-=︒又90,5590145AOC AOB BOC BOD BOC COD ∠=∠+∠=︒∠=∠+∠=︒+︒=︒∴∠AOC=∠BOD故答案为：125°，=（3）如图，∵∠BOC =β，90,AOB COD ∠=∠=︒∴∠AOD =3603609090180AOB COD BOC ββ︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-=︒-∴90,90AOC AOB BOC BOD BOC COD ββ∠=∠+∠=︒+∠=∠+∠=+︒∴AOC BOD ∠=∠故答案为：180°-β，=（4）如图所示，BOD ∠即为所作的角．【点睛】本题主要考查了互补、互余的定义，垂直的定义以及三角形内角和定理等知识的综合运用，解决本题的关键是掌握：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角．2、（1）见解析；（2）见解析，5．【分析】（1）根据平行线的画法即可得；（2）根据垂线的画法即可得，再利用1个长方形的面积减去3个直角三角形的面积即可得．【详解】解：（1）如图①，PC即为所求．（2）如图②，PQ即为所求．三角形ABP的面积为111 343131425 222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故答案为：5．【点睛】本题考查了平行线和垂线的画法等知识点，熟练掌握平行线和垂线的画法是解题关键．3、100°【分析】由垂直的定义结合两角的比值可求解∠BOD的度数，即可求得∠BOE的度数，再利用角平分线的定义可求得∠BOC 的度数，进而可求解∠COD 的度数．【详解】解：∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，∵∠AOD ：∠BOD ＝7：2，∴∠BOD ＝29∠AOB ＝20°，∴∠BOE ＝180°﹣∠BOD ＝160°．∵OC 平分∠BOE ，∴∠BOC ＝12∠BOE ＝80°，∴∠COD ＝∠BOC +∠BOD ＝80°+20°＝100°．【点睛】本题考查了角度的计算，垂直的定义，角平分线的定义，结合垂直的定义和两角的比值求出∠BOD 的度数是解题的关键．4、问题情境：110︒；问题迁移：（1）CPD αβ∠=∠+∠；理由见解析；（2）当点P 在B 、O 两点之间时，CPD αβ∠=∠-∠；当点P 在射线AM 上时，CPD βα∠=∠-∠.【分析】问题情境：理由平行于同一条直线的两条直线平行得到 PE ∥AB ∥CD ，通过平行线性质来求∠APC ；（1）过点P 作PQ AD ∥，得到PQ AD BC ∥∥理由平行线的性质得到ADP DPE ∠=∠，BCP CPE ∠=∠，即可得到CPD DPE CPE ADP BCP ∠=∠+∠=∠+∠；（2）分情况讨论当点P 在B 、O 两点之间，以及点P 在射线AM 上时，两种情况，然后构造平行线，利用两直线平行内错角相等，通过推理即可得到答案．【详解】解：问题情境：∵AB∥CD，PE∥AB，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°；∠=∠+∠；（1）CPDαβ∥，过点P作PQ AD∥∥，又因为AD BC∥，所以PQ AD BC则ADP DPE∠=∠，∠=∠，BCP CPE所以CPD DPE CPE ADP BCP∠=∠+∠=∠+∠；（2）情况1：如图所示，当点P在B、O两点之间时，过P作PE∥AD，交ON于E，∵AD∥BC，∴AD∥BC∥PE，∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β，情况2：如图所示，点P在射线AM上时，过P作PE∥AD，交ON于E，∵AD∥BC，∴AD∥BC∥PE，∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α【点睛】本题主要考查了借助辅助线构造平行线，利用平行线的性质进行推理，准确分析证明是解题的关键．5、（1）角平分线的定义；70；垂直的定义；DOC；EOC；110；（2）存在，=120α︒或144°【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直定义，结合所给解题过程进行补充即可；（2）分点D在AB上方和下方两种情况画出图形，用含有α的式子表示出COD∠和∠BOE，由COD BOE∠=∠列式求解即可．【详解】解：（1）∵点O是直线AB上一点，∴180AOC BOC∠+∠=︒．∵40BOC∠=︒，∴140AOC∠=︒．∵OD平分AOC∠．∴12COD AOC∠=∠（角平分线的定义）．∴COD∠= 70 °．∵OC OE⊥，∴90COE∠=︒（垂直的定义）．∵DOE∠=∠DOC+∠EOC，∴DOE∠= 110 °．故答案为：角平分线定义；70；垂直的定义；DOC；EOC；110；（2）存在，=120α︒ 或144°①点D 在AB 上方时，如图，∵BOC α∠=，90COE ∠=︒∴180,90AOC BOE αα∠=︒-∠=-︒∵2AOC AOD ∠=∠ ∴1(180)2COD AOD α∠=∠=︒-∵COD BOE ∠=∠ ∴1(180)902αα︒-=-︒∴120α=︒②当点D 在AB 的下方时，如图，∵,90BOC BOE αα∠=∠=-︒∴180180AOC BOC α∠=︒-∠=︒-∵2AOC AOD ∠=∠ ∴11(180)22AOD AOC α∠=∠=︒-∴1180(180)2COD AOC AODαα∠=∠+∠=︒-+︒-∵BOE COD ∠=∠∴1180(180)902ααα︒-+︒-=-︒∴144综上，α的值为120°或144°【点睛】本题主要考查角平分线和补角，熟练掌握角平分线的定义和补角的定义是解题的关键．。
北师大版七年级下第2章相交线与平行线练习题及答案解析
第二章 相交线与平行线练习题（带解析）考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一 二 三 四 五 总分 得分注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上分卷I分卷I 注释评卷人得分一、单选题(注释)1、如图，直线a 、b 、c 、d ，已知c ⊥a ，c ⊥b ，直线b 、c 、d 交于一点，若∠1=500，则∠2等于【 】A ．600B ．500C ．400D ．3002、如图，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，∠EBC ＝∠BCF ，那么，∠ABE 与∠DCF 的位置与大小关系是 （ ）A ．是同位角且相等B ．不是同位角但相等;C ．是同位角但不等D ．不是同位角也不等3、如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角只能（ ）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．相等且互补4、下列说法中，为平行线特征的是（ ）①两条直线平行，同旁内角互补; ②同位角相等, 两条直线平行;③内错角相等, 两条直线平行; ④垂直于同一条直线的两条直线平行.A．①B．②③C．④D．②和④5、如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝50°，∠CEF＝150°，则∠BCE＝（）A．60°B．50°C．30°D．20°6、如图，如果AB∥CD，则角α、β、γ之间的关系为（）A．α+β+γ＝360°B．α-β+γ＝180°C．α+β-γ＝180°D．α+β+γ＝180°7、如图，由A到B 的方向是（）A．南偏东30°B．南偏东60°C．北偏西30°D．北偏西60°8、如图，由AC∥ED，可知相等的角有（）A．6对B．5对C．4对D．3对9、如图，直线AB、CD交于O，EO⊥AB于O，∠1与∠2的关系是( )A.互余B.对顶角C.互补D.相等10、若∠1和∠2互余，∠1与∠3互补，∠3=120°，则∠1与∠2的度数分别为( ) A．50°、40°B．60°、30°C．50°、130°D．60°、120°11、下列语句正确的是( )A．一个角小于它的补角B．相等的角是对顶角C．同位角互补，两直线平行D．同旁内角互补，两直线平行12、图中与∠1是内错角的角的个数是( )A．2个B．3个C．4个D．5个13、如图，直线AB和CD相交于点O，∠AOD和∠BOC的和为202°，那么∠AOC的度数为( )A．89°B．101°C．79°D．110°14、如图，∠1和∠2是对顶角的图形的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．0个15、如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1=∠5，②∠1=∠7，③∠2+∠3=180°，④∠4=∠7，其中能判定a∥b的条件的序号是( )A．①②B．①③C．①④D．③④分卷II分卷II 注释评卷人得分二、填空题(注释)16、如图，∠ACD＝∠BCD，DE∥BC交AC于E，若∠ACB＝60°，∠B＝74°，则∠EDC ＝___°，∠CDB＝____°。
北师大版七年级数学下册第二章相交线和平行线练习(含答案)
第二章相交线与平行线、单选题1如图，直线AB,CD相交于点O, AOC 50,OE AB，则C. 70 D• 902. 如图CD丄AB, / C=90° ,线段AC?BC?CD中最短的是（）3. 如图，下列说法正确的是（）A . A与/ 1与是内错角C .Z 1与2是内错角4. 在下列图形中，由/ 1 =Z 2能得到AB // CD的是（DOE的大小是（A. ACB. BC C . CD D .不能确定B . A与2是同旁内角D. A与3是同位角A •两直线平行，同位角相等B. 两直线平行，内错角相等C. 同位角相等，两直线平行D. 内错角相等，两直线平行6.如图，AB// DE , // B+// C+//D=（C. 540 °D. 27045。
角的直角三角尺放在两条平行线m、n上，已知/ a=120 °,则/ 3 7.如图，将一个含有的度数是（）9.下列属于尺规作图的是（）A .用刻度尺和圆规作△ ABCB .用量角器画一个 300的角C .用圆规画半径2cm 的圆D .作一条线段等于已知线段10 .如图, AB // CD , BF,DF 分另U 平分/ABE 和/ CDE , BF // DE ，/ F 与/ ABE 互补，则A . 30 °B . 35C . 36D .45 B . 60 C . 65 °D . 75 8如图，将一张矩形纸片折叠，若/1 = 80°，则/ 2的度数是（A . 50°B . 60C . 70°D . 80°、填空题11 •同一平面内，两条直线的位置关系有_____________________________12•如图，AB//ED，贝U A C D ______________ •13. 如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：① 1③ 2= 8 :④ 5+ 8 = 180°，其中能判断a// b的条件是： _______________________ .（把你认为正确的序号全部填在空格内）、14. 一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点B,D重合，若固定三角形AOB，将三角形ACD绕点A顺时针旋转一周，共有______________ 次出现三角形ACD的一边与三角形AOB 的某一边平行.三、解答题15. 如图1,/ AOC和/ BOD都是直角.2 ;② 1 +3 = 180°；1 图2(1)若/ DOC 28，则/ AOB= ____________ 度；(2)__________________________________________ 写出图1中所有相等的角：;(3)若/ DOC逐渐变小，则/ AOB将如何变化？答: _______________________________________________ ；(4)在图2中利用画直角的工具再画一个与/ COB相等的角.16. 如图，已知AB// DC , AE平分/ BAD , CD与AE相交于点F，/ CFE = Z E.试说明AD // BC,并写出每一步的根据.A DA/丄/\_£—E17.填空：如图，AD BC 于点D, EF BC 于点E, 1 2 , BAC 70，求AGD的度数.B D E解：••• AD BC, EF BC (已知)ADC 90 FEC 90 ( )ADC FEC ( )()//()( )1 ( )( )1 2( )2 DAC ( )()//()( )AGD BAC 180 ( )BAC70 ( )AGD180 ()=( )(等式性质)18•如图，AB// CD，定点E, F分别在直线AB, CD上，平行线AB , CD之间有一动点P .(1) 如图1,当P点在EF的左侧时，/ AEP，/ EPF , / PFC满足数量关系为___________________ 如图2,当P点在EF的右侧时，/ AEP,/ EPF,/ PFC满足数量关系为_______________________ •(2) 如图3,当/ EPF = 90°, FP平分/ EFC时，求证：EP平分/ AEF ；(3) 如图4, QE , QF分别平分/ PEB和/PFD，且点P在EF左侧.//若/ EPF = 60°，则/ EQF//猜想/ EPF与/ EQF的数量关系，并说明理由BF 却D%1：l>D答案1．A 2．C3．D 4．B5. C6．B7．D8．A9．D10．C11．相交或平行12．360°13•①④14．815. (1 )•••/ AOC 和/BOD 都是直角，•••/ AOC = Z BOD = 90°•••/ DOC = 28°•••/ AOD = 90° 28°= 62°•••/ AOB = Z AOD +/ BOD = 90°+ 62° = 152 故答案为：152°；(2)•••/ AOC =Z BOD = 90°•••/ AOD +Z COD = Z BOC + Z COD , •••/ AOD =Z BOC故答案为：/ AOD =Z BOC;(3)Z DOC变小，则/ AOB变大；•••/ AOD +/ DOC + / DOC + / BOC = 180°•••/ AOB + / DOC = 180°•••当/ DOC变小，则/ AOB变大故答案为：/ DOC变小，则/ AOB变大；(4)如图所示：/ AOD为所求.16. 证明：T AB // DC （已知）•••/ 1 = Z CFE （两直线平行，同位角相等）•/ AE平分/ BAD （已知）•••/ 1 = 7 2 （角平分线的定义）•••/ CFE = 7 2 （等量代换）•••/ CFE = 7 E （已知）•••7 2=7 E （等量代换）• AD // BC （内错角相等，两直线平行）.17. 解：// AD BC , EF BC （已知）// ADC 90 FEC 90 （垂直定义）// ADC FEC （等角的定义） // （AD ）// （EF）（同位角相等，两直线平行）// 1 （DAC ）（两直线平行，同位角相等）// 1 2 （已知）// 2 DAC （等量代换）// （GD）// （AC）（内错角相等，两直线平行）// AGD BAC 180 （两直线平行，同旁内角互补）// BAC 70 （已知）// AGD 180 （BAC ）= （110 ° （等式性质）18. （1）如下图，过点P作PQ// AB•/ PQ // AB , AB // CD ,••• PQ // CD•••/ AEP/ EPQ，/ QPF/ PFC又•••/ EPF=// EPQ/ QPF.•./ EPF=// AEP+/ PFC如下图，过点P作PQ// AB同理，AB // QP // CD•••/ AEP+/ QPE=180 ，/ QPF+/ PFC=180•••/ AEP+/ EPF+// PFC/ AEP+/ EPQ+/ QPF+/ PFC=360(2)根据(1)的结论知：/ AEP+/ PFC=/ EPF=90•/ PF是/ CFE的角平分线，•/ PFC/ PFE在^ PEF 中，I/ EPF=90，•/ PEF+// PFE=90•••/ PEF+// PFE= / AEP+/ PFC•••/ PEF=/ AEP ,••• PE 是/ AEF 的角平分线(3) //根据(1)的结论知：/ AEP+/ PFC/ EPF=60•••/ BEP+/ PFD=180 -/ AEP+180 -/ PFC=300••• EQ、QF分别是/ PEB和/ PFD的角平分线•••/ PEQ=QEB，/ PFQ/ QFD•••/ PEQ+/ PFQ=150在四边形PEQF 中，/ EQF=360 -/ EPF —(/ PEQ+/ PFQ)=360 —60 ° —150 ° =150°②根据(1)的结论知：/ AEP+/ PFC/ EPF•••/ BEP+/ PFD=180 —/ AEP+180 —/ PFC=360 —/ EPF••• EQ、QF分别是/ PEB和/ PFD的角平分线2•••/ PEQ=/ QEB ，/ PFQ=/ QFD1 1 •••/ PEQ+/ PFQ= _ 360 — EPF =180 °—— EPF2 2•••在四边形PEQF 中:1 -EPF / EQF=360 —Z EPF — (/ PEQ+/ PFQ)=360 EPF — (180。
北师版七年级下学期数学第2章相交线与平行线重点题型复习题(10题含参考答案)
北师版七年级下学期数学第2章相交线与平行线重点题型复习题（10题含参考答案） 知识点：基础概念、平行线判定与性质、证明过程补充一、单选题1．（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）下列说法：①射线AB 和射线BA 是同－条射线；①锐角和钝角互补；①若－个角是钝角，则它的一半是锐角；①一个锐角的补角比这个角的余角大90度．①若线段AC =BC ，则C 是线段AB 的中点；其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2021·黑龙江牡丹江·七年级期末）如图AB //CD ，若①B =120°，①C =25°则①1=（ ）A ．75°B ．80°C ．85°D ．95°3．（2021·广东梅州·七年级期末）如图所示，结论中正确的是（ ）A ．1∠和4∠是内错角B ．3∠和5∠是同旁内角C ．5∠和6∠是同位角D ．1∠和2∠是同旁内角4．（2021·天津滨海新·七年级期末）如图，点E 在AC 的延长线上，下列条件能判断AB ①CD 的是（ ）A ．①1=①2B ．①3=①4C ．①D =①DCED ．①D +①ACD =180°二、填空题 5．（2021·吉林四平·七年级期末）如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的①1与①2，若①1＝52°，则①2的度数是__________ 度．6．（2022·福建厦门·八年级期末）如图，将一副三角板如图叠放，且EF∥BC，则①BFD=_______度．7．（2022·福建泉州·七年级期末）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）如图，已知：CD平分ACB∠吗？∠，AC①DE，CD①EF，那么EF平分DEB解：CD平分ACB∠（已知），∴1∠=2∠（），AC①DE（已知），∴∠=∠，1∴∠=∠（等量代换），23CD①EF（已知），∴43∠=∠（），25∠=∠（），∴45∠=∠（等量代换）．∠．∴平分DEBEF三、解答题8．（2019·四川阿坝·七年级期末）看图填空:已知：如图,E为DF上的点，B为AC上的点，①1 =①2，①C =①D．求证:AC①DF证明:①①1 =①2（）①1 =①3，①2 =①4（）①①3 =①4（）①_______①_______（）①①C=①ABD（）又①①C =①D（）① ①D=①ABD（）①AC①DF（）9．（2022·四川资阳·七年级期末）完成下面的证明过程：如图，已知①1+①2=180°，①B=①DEF，求证：DE∥BC．证明：①①1+①2=180°（已知），又①2=①3（）①①1+①3=180°①______∥______（）①①B=______（）①①B=①DEF（）①①DEF=______（）①DE∥BC（）10．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校七年级期中）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明．如图，①E=①1，①3+①ABC=180°，BE是①ABC的角平分线，求证：DF∥AB．证明：①BE是①ABC的角平分线①①1=①2（________________）又①①E=①1①①E=①2（___________）①____∥____（____________________）①①A+①ABC=180°（____________________）又①①3+①ABC=180°①____=____（________________）①DF∥AB（____________________）．参考答案：1．B【解析】【分析】根据射线的定义、补角的定义、线段中点定义分别判断．【详解】解：①射线AB 和射线BA 不是同－条射线，故原说法不正确；①和为180°的锐角和钝角互补，故原说法不正确；①若－个角是钝角，则它的一半是锐角，故原说法正确；①一个锐角的补角比这个角的余角大90度，故原说法正确；①若线段AC =BC ，则C 不一定是线段AB 的中点，故原说法不正确；故选：B ．【点睛】此题考查了射线的定义，补角的定义，线段中点的定义，熟记各定义并正确理解是解题的关键．2．C【解析】【分析】首先过点E 作//EF AB ，由//AB CD ，可得////AB EF CD ，利用平行线的性质，即可求得CEF ∠与BEF ∠的度数，继而求得答案．【详解】解：过点E 作//EF AB ，//AB CD////AB EF CD ∴，25CEF C ∴∠=∠=︒，180********BEF B ∠=︒-∠=︒-︒=︒，185BEF CEF ∴∠=∠+∠=︒，【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是注意掌握数形结合进行求解．3．D【解析】【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义结合图形进行判断即可．【详解】解：如图，1∠与4∠并不属于同位角、内错角或同旁内角，因此选项A 不符合题意； 3∠与5∠是直线c 与直线d 被直线b 所截的同位角，因此选项B 不符合题意；5∠与6∠是直线c 与直线d 被直线b 所截的内错角，因此选项C 不符合题意；1∠与2∠是直线a 与直线b 被直线c 所截的同旁内角，因此选项D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角的意义，掌握同位角、内错角、同旁内角的意义是正确判断的前提，判断两个角是由哪两条直线被第三条直线所截所得到的角是判断的关键． 4．A【解析】【分析】直接利用平行线的判定进行逐一判断即可．【详解】A 、12∠=∠，利用内错角相等，两直线平行，即可判断出AB CD ，故A 正确； B 、34∠=∠，利用内错角相等，两直线平行，即可判断出BD AC ∥，故B 错误； C 、①D 与①A 非同位角，内错角，同旁内角，故不能判断直线平行，故C 错误 ； D 、180D ACD ∠+∠=︒，利用同旁内角互补，两直线平行，即可判断出BD AC ∥，故D 错误，故选A ．【点睛】本题考查平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键．5．38【分析】设刀柄左下角顶点为A，过A作直线l平行于刀片边缘线，根据两直线平行内错角相等；再计算角的差即可.【详解】解：如图设刀柄左下角顶点为A，过A作直线l平行于刀片边缘线，l与垂直方向夹角为①3，l与水平方向夹角为①4，①l平行于刀片边缘线，①①1=①3=52°，①2=①4，①①3+①4=90°，①①4=90°-52°=38°，①①2=38°，故答案为：38.【点睛】本题考查了由平行线的性质探究角的关系；掌握平行线的性质是解题关键．6．15【解析】【分析】首先根据两直线平行，内错角相等得到∠BFE＝45°，再利用角的和差可得答案．【详解】解：由题意得，∠ABC＝45°，∠DFE＝30°，∵EF∥BC，∴∠BFE＝∠ABC＝45°，∴∠BFD＝45°﹣30°＝15°．故答案为：15．本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得到∠BFE＝45°是解题关键．∠；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等7．角平分线的定义；3【解析】【分析】根据平行线的性质和平行线的判定及等量代换等来完成解答即可．【详解】解：CD平分ACB∠（已知），1∴∠=2∠（角平分线的定义），∥（已知），AC DE∠，1∴∠=3∴∠=∠（等量代换），23CD EF∥（已知），∴43∠=∠(两直线平行，内错角相等)，∠=∠(两直线平行，同位角相等)，25∴45∠=∠（等量代换），∠．EF∴平分DEB【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；明确平行线的性质定理与判定定理是解题的关键．8．已知；对顶角相等；等量代换；DB；EC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行【解析】【分析】根据平行线的判定与性质，结合上下文求解即可．【详解】①①1 =①2（已知）①1=①3，①2=①4（对顶角相等）①①3=①4（等量代换）①BD①CE（内错角相等，两直线平行）①①C=①ABD（两直线平行，同位角相等）又①①C=①D（已知）①①D=①ABD（等量代换）①AC①DF（内错角相等，两直线平行）故答案为：已知；对顶角相等；等量代换；BD；CE；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．9．对顶角相等；EF；AB；同旁内角互补，两直线平行；①CFE；两直线平行，同位角相等；已知；①CFE；等量代换；内错角相等，两直线平行【解析】【分析】由对顶角相等可得：①2=①3，结合①1+①2=180°，于是根据等量代换可得：①1+①3=180°，然后根据同旁内角互补两直线平行可得：EF①AB，然后根据两直线平行同位角相等可得：①B=①CFE，结合①B=①DEF，根据等量代换可得：①CFE=①DEF，最后根据内错角相等两直线平行证出：DE①BC即可．【详解】证明：①①1+①2=180°（已知），而①2 =①3（对顶角相等），①①1+①3 =180°①EF①AB（同旁内角互补，两直线平行）①①B =①CFE（两直线平行，同位角相等）①①B =①DEF（已知）①①DEF =①CFE（等量代换）①DE①BC（内错角相等，两直线平行）．【点睛】考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．10．见详解【解析】【分析】根据角平分线定义求出①1＝①2，求出①E＝①2，根据平行线的判定得出AE①BC，根据平行线的性质得出①A十①ABC＝180°，求出①A＝①3，根据平行线的判定得出即可．【详解】证明：①BE是①ABC的角平分线，①①1=①2（角平分线的定义），又①①E=①1，①①E=①2（等量代换），①AE∥BC（内错角相等，两直线平行），①①A+①ABC=180°（两线平行，同旁内角互补），又①①3+①ABC=180°，①①A=①3（同角的补角相等），①DF∥AB（同位角相等，两直线平行）.【点睛】本题考查了平行线的判定和性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．。
北师大版七年级数学下《相交线与平行线》附答案
北师大版七年级数学下册第二章——余角、补角、邻补角和相交线一．选择题（共9小题）1．（2012•孝感）已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β﹣∠γ的值等于（）A．45°B．60°C．90°D．180°2．（2012•北京）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于（）A．38°B．104°C．142°D．144°3．（2011•柳州）如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（）A．∠2和∠3 B．∠1和∠3 C．∠1和∠4 D．∠1和∠24．（2008•资阳）如图，CA⊥BE于A，AD⊥BF于D，下列说法正确的是（）A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DAC C．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补5．（2008•湘西州）如图，直线AB，CD相交于O点，若∠1=30°，则∠2，∠3的度数分别为（）A．120°，60°B．130°，50°C．140°，40°D．150°，30°6．（2008•西宁）如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③（∠α+∠β）；④（∠α﹣∠β）．正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．（2007•襄阳）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠COE=55°，则∠BOD的度数是（）A．40°B．45°C．30°D．35°8．（2007•济南）已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（）A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角9．（2006•西岗区）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB，若∠COB=135°，则∠MOD等于（）A．45°B．35°C．25°D．15°二．填空题（共16小题）10．（2012•泰州）已知∠α的补角是130°，则∠α=_________度．11．（2012•厦门）已知∠A=40°，则∠A的余角的度数是_________．12．（2011•梧州）如图，直线a、b相交，∠1=65°，则∠2的度数是_________°．13．（2011•芜湖）一个角的补角是36°5′，这个角是_________．14．（2011•江西）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示，∠1+∠2=_________度．15．（2010•娄底）如图，直线AB、CD相交于点O．OE平分∠AOD，若∠BOD=100°，则∠AOE=_________度．16．（2009•资阳）若两个互补的角的度数之比为1：2，则这两个角中较小角的度数是_________度．17．（2009•营口）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，在图中标记的所有角中，与∠2互余的角是_________．18．（2008•十堰）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，如果∠EOD=42°，则∠AOC= _________度．19．（2006•海南）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则图中所有与∠B互余的角_________．20．（2004•南平）如图，将两块三角板的直角顶点重合后重叠在一起，如果∠1=40°，那么∠2=_________度．21．（2002•岳阳）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=76°，则∠BOD=_________．22．若∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∠1=40°，则∠3=_________°，依据是_________．23．已知∠1与∠2互补，∠1与∠3互余，若∠2=130°，则∠3=_________．24．一个角的余角比它的补角的多1°，则这个角的度数为_________度．25．已知∠1与∠2互补，∠1又与∠3互补，若∠2=150°，则∠3=_________．三．解答题（共5小题）26．如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB=40°，∠COD=28°，OD平分∠COE．（1）求∠COB的度数（2）求∠AOD的度数．27．如图所示，直线AB、CD相交O，OE⊥AB于O，且∠DOE=3∠COE，求∠AOD的度数．28．如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．29．一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角．30．如图，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠AOB=150°，求∠COD的度数．参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2012•孝感）已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β﹣∠γ的值等于（）A．45°B．60°C．90°D．180°考点：余角和补角．专题：计算题．分析：根据互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，结合题意即可得出答案．解答：解：由题意得，∠α+∠β=180°，∠α+∠γ=90°，两式相减可得：∠β﹣∠γ=90°．故选C．点评：此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，是解答本题的关键．2．（2012•北京）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于（）A．38°B．104°C．142°D．144°考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．专题：常规题型．分析：根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．解答：解：∵∠BOD=76°，∴∠AOC=∠BOD=76°，∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠AOC=×76°=38°，∴∠BOM=180°﹣∠AOM=180°﹣38°=142°．故选C．点评：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键．3．（2011•柳州）如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（）A．∠2和∠3 B．∠1和∠3 C．∠1和∠4 D．∠1和∠2考点：对顶角、邻补角．分析：两条直线相交后，所得的只有一个公共顶点，且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角．解答：解：根据同位角、同旁内角、邻补角、对顶角的定义进行判断，A、∠2和∠3是对顶角，正确；B、∠1和∠3是同旁内角，错误；C、∠1和∠4是同位角，错误；D、∠1和∠2的邻补角是内错角，错误．故选A．点评：解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．4．（2008•资阳）如图，CA⊥BE于A，AD⊥BF于D，下列说法正确的是（）A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DAC C．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补考点：垂线；对顶角、邻补角．分析：根据余角、补角、邻补角的定义来判断．解答：解：∵∠α+∠DAC=90°，∴选项A错误；α的邻补角为∠DAE，∴选项B错误；由同角的余角相等知∠α=∠ACD，而∠ACF+∠ACD=180°，∴∠ACF是α的补角，不是余角．∴选项C错误，选项D正确．故选D．点评：主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180°．解此题的关键是把握余角、补角、邻补角的定义，同时应注意认真审图，准确找出两个角之间的数量关系，从而判断出两角之间的关系．5．（2008•湘西州）如图，直线AB，CD相交于O点，若∠1=30°，则∠2，∠3的度数分别为（）A．120°，60°B．130°，50°C．140°，40°D．150°，30°考点：对顶角、邻补角．专题：计算题．分析：首先判断所求角与∠1的关系，然后利用对顶角、邻补角的性质求解．解答：解：∵∠1与∠3是对顶角，∴∠3=∠1=30°，∵∠1与∠2是邻补角，即∠1+∠2=180°，∴∠2=180°﹣30°=150°．故选D．点评：熟练掌握邻补角及对顶角的性质．6．（2008•西宁）如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③（∠α+∠β）；④（∠α﹣∠β）．正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：余角和补角．分析：根据角的性质，互补两角之和为180°，互余两角之和为90，可将，①②③④中的式子化为含有∠α+∠β的式子，再将∠α+∠β=180°代入即可解出此题．解答：解：∵∠α和∠β互补，∴∠α+∠β=180度．因为90°﹣∠β+∠β=90°，所以①正确；又∠α﹣90°+∠β=∠α+∠β﹣90°=180°﹣90°=90°，②也正确；（∠α+∠β）+∠β=×180°+∠β=90°+∠β≠90°，所以③错误；（∠α﹣∠β）+∠β=（∠α+∠β）=×180°﹣90°=90°，所以④正确．综上可知，①②④均正确．故选B．点评：本题考查了角之间互补与互余的关系，互补两角之和为180°，互余两角之和为90度．7．（2007•襄阳）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠COE=55°，则∠BOD的度数是（）A．40°B．45°C．30°D．35°考点：垂线；对顶角、邻补角．专题：计算题．分析：由已知OE⊥AB，∠COE=55°，利用互余关系求∠AOC，再利用对顶角相等求∠BOD的度数．解答：解：∵OE⊥AB，∠COE=55°，∴∠AOC=90°﹣∠COE=35°；∵∠BOD与∠AOC是对顶角，∴∠BOD=∠AOC=35°．故选D．点评：此题主要考查了余角和对顶角的关系．8．（2007•济南）已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（）A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角考点：垂线；余角和补角；对顶角、邻补角．分析：根据图形可看出，∠2的对顶角∠COE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余．解答：解：图中，∠2=∠COE（对顶角相等），又∵AB⊥CD，∴∠1+∠COE=90°，∴∠1+∠2=90°，∴两角互余．故选B．点评：本题考查了余角和垂线的定义以及对顶角相等的性质．9．（2006•西岗区）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB，若∠COB=135°，则∠MOD等于（）A．45°B．35°C．25°D．15°考点：垂线；对顶角、邻补角．分析：已知∠COB与∠BOD是邻补角，且∠COB=135°，可求∠BOD，再利用互余关系求∠MOD．解答：解：∵∠COB与∠BOD是邻补角，∠COB=135°，∴∠BOD=180°﹣∠COB=180﹣135°=45°．又∵OM⊥AB，∴∠MOD=90°﹣∠BOD=45°．故选A．点评：本题先根据平角的定义求出∠BOD的度数，再根据余角的定义求出∠MOD的度数．二．填空题（共16小题）10．（2012•泰州）已知∠α的补角是130°，则∠α=50度．考点：余角和补角．分析：根据补角的和等于180°列式计算即可得解．解答：解：∵∠α的补角是130°，∴∠α=180°﹣130°=50°．故答案为：50．点评：本题考查了余角与补角的定义，熟记补角的和等于180°是解题的关键．11．（2012•厦门）已知∠A=40°，则∠A的余角的度数是50°．考点：余角和补角．分析：设∠A的余角是∠B，则∠A+∠B=90°，再根据∠A=40°求出∠B的度数即可．解答：解：设∠A的余角是∠B，则∠A+∠B=90°，∵∠A=40°，∴∠B=90°﹣40°=50°．故答案为：50°．点评：本题考查的是余角的定义，即如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．12．（2011•梧州）如图，直线a、b相交，∠1=65°，则∠2的度数是65°．考点：对顶角、邻补角．分析：根据对顶角相等解答即可．解答：解：∵∠1=65°，∴∠2=∠1=65°．故答案为：65．点评：本题主要考查了对顶角相等的性质，熟记性质并认准对顶角是解题的关键，是基础题，比较简单．13．（2011•芜湖）一个角的补角是36°5′，这个角是143°55′．考点：余角和补角；度分秒的换算．专题：计算题．分析：根据补角的定义，用180°减36°5′即可得到该角．解答：解：180°﹣36°5′=143°55′．故答案为：143°55′．点评：此题考查了补角的定义，属于基础题，较简单，主要记住互为补角的两个角的和为180度．14．（2011•江西）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示，∠1+∠2=90度．考点：对顶角、邻补角；余角和补角．专题：计算题．分析：根据对顶角相等得到∠1=∠3，∠2=∠4，而三角形尺为直尺，即可得到∠1+∠2=90°．解答：解：如图，∵∠1=∠3，∠2=∠4，而∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°．故答案为：90．点评：本题考查了对顶角的性质：对顶角相等．15．（2010•娄底）如图，直线AB、CD相交于点O．OE平分∠AOD，若∠BOD=100°，则∠AOE=40度．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．专题：计算题．分析：首先利用邻补角互补求出∠AOD，再利用角平分线的定义计算．解答：解：∵∠AOD与∠BOD互为邻补角，∠BOD=100°，∴∠AOD=180°﹣∠BOD=80°，又OE平分∠AOD，∴∠AOE=40°．点评：本题考查了利用邻补角和角平分线的定义，在相交线中角的度数的求解方法．16．（2009•资阳）若两个互补的角的度数之比为1：2，则这两个角中较小角的度数是60度．考点：余角和补角．专题：计算题．分析：根据补角定义列方程解答．解答：解：设这两个角的度数为x°、2x°．列方程得：x°+2x°=180°，解得x=60°．即较小的角的度数是60°．点评：此题比较容易，考查了互补的概念，是送分题．17．（2009•营口）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，在图中标记的所有角中，与∠2互余的角是∠4，∠5，∠6．考点：余角和补角．分析：本题要注意到∠2与∠4互余，并且直尺的两边互相平行，可以考虑平行线的性质．解答：解：与∠2互余的角有∠4，∠5，∠6；一共3个．点评：正确观察图形，由图形联想到学过的定理是数学学习的一个基本要求．18．（2008•十堰）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，如果∠EOD=42°，则∠AOC= 48度．考点：垂线；对顶角、邻补角．专题：计算题．分析：由OE⊥AB，∠EOD=42°，利用互余关系求∠BOD，再利用对顶角相等求∠AOC．解答：解：∵OE⊥AB，∠EOD=42°，∴∠BOD=90°﹣∠EOD90°﹣42°=48°，∵∠BOD与∠AOC是对顶角，∴∠BOD=∠AOC=48°．点评：利用垂直的定义及对顶角相等求解．19．（2006•海南）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则图中所有与∠B互余的角∠A与∠2．考点：余角和补角．分析：利用“直角三角形两锐角之和为90°”的性质来解题．解答：解：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°；又∵CD⊥AB于D，∴∠2+∠B=90°．根据互余定义，与∠B互余的角为∠A、∠2．点评：根据互余定义，找出与∠B和为90°的角即可．其间，要利用直角三角形的性质．20．（2004•南平）如图，将两块三角板的直角顶点重合后重叠在一起，如果∠1=40°，那么∠2=40度．考点：余角和补角．专题：计算题．分析：由于∠1与∠2都与∠AOB互余，根据余角的性质可知∠2=∠1，从而得出∠2的度数．解答：解：∵∠1+∠AOB=90°，∠2+∠AOB=90°，∴∠1=∠2．∵∠1=40°，∴∠2=40°．故答案为40．点评：本题主要考查了余角的性质：同角或等角的余角相等．21．（2002•岳阳）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=76°，则∠BOD=38°．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．专题：计算题．分析：根据角平分线的定义可判断∠AOC=∠EOC=×76°=38°，根据对顶角的定义可知∠BOD=∠AOC=38°．解答：解：∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=∠EOC=×76°=38°，∴∠BOD=∠AOC=38°．故答案为38°．点评：本题考查了对顶角、角平分线的定义，知道角平分线平分一个角、对顶角相等即可解答．22．若∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∠1=40°，则∠3=40°，依据是同角的余角相等．考点：余角和补角．分析：若∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，根据余角的性质可知，∠1=∠3，由∠1的度数可以求出∠3的度数．解答：解：∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3（同角的余角相等），∵∠1=40°，∴∠3=40°．故答案是40°，同角的余角相等．点评：本题重点考查了余角的性质，即同角的余角相等，等角的余角也相等．23．已知∠1与∠2互补，∠1与∠3互余，若∠2=130°，则∠3=40°．考点：余角和补角．分析：根据∠2=150°，∠1与∠2互补可先求出∠1．再根据∠1又与∠3互补求出∠3的度数．解答：解：∵∠2=130°，∠1与∠2互补，∴∠1=180°﹣∠2=50°，又∵∠1又与∠3互余，∴∠3=90°﹣∠1=40°．点评：此题属于基础题，较简单，互补即两角的和为180°，互余即两角的和为90°，先求出∠1是解题的关键．24．一个角的余角比它的补角的多1°，则这个角的度数为63度．考点：余角和补角．专题：计算题．分析：根据余角、补角的定义计算．解答：解：设这个角为x°，则它的余角为（90﹣x）°，补角为（180﹣x）°．根据题意有：（90﹣x）=（180﹣x）+1解得x=63，故这个角的度数为63度．点评：此题综合考查余角与补角，属于基础题中较难的题，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求解．25．已知∠1与∠2互补，∠1又与∠3互补，若∠2=150°，则∠3=150°．考点：余角和补角．专题：计算题．分析：互补即两角的和为180°，根据∠2=150°，∠1与∠2互补可先求出∠1．再根据∠1又与∠3互补求出∠3的度数．解答：解：∵∠2=150°，∠1与∠2互补，∴∠1=180°﹣∠2=30°，又∵∠1又与∠3互补，∴∠3=180°﹣∠1=150°．故答案为150°．点评：此题属于基础题，较简单，先求出∠1是解题的关键．三．解答题（共5小题）26．如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB=40°，∠COD=28°，OD平分∠COE．（1）求∠COB的度数（2）求∠AOD的度数．考点：角平分线的定义；余角和补角．专题：探究型．分析：（1）先根据OD平分∠COE得出∠DOE=∠COD，再由∠COD=28°可得出∠DOE=28°，再根据平角的性质即可得出∠COB的度数；（2）根据∠AOD=180°﹣∠DOE即可得出答案．解答：解：（1）∵OD平分∠COE，∴∠DOE=∠COD，∵∠COD=28°，∴∠DOE=28°，∵∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOE=180°，∴∠BOC=180°﹣（∠AOB+∠COD+∠DOOE），=180°﹣（40°+28°+28°），=84°；（2）∠AOD=180°﹣∠DOE，=180°﹣28°，=152°．点评：本题考查的是角平分线的定义及补角的性质，解答此题的关键是熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．27．如图所示，直线AB、CD相交O，OE⊥AB于O，且∠DOE=3∠COE，求∠AOD的度数．考点：角的计算；余角和补角；垂线．专题：计算题．分析：先根据∠DOE=3∠COE，和平角等于180°，可求出∠DOE，又OE⊥AB，故可得出∠DOB，再根据平角关系，即可得出∠AOD的度数．解答：解：∵∠DOE=3∠COE，∠DOE+∠COE=180°，∴∠DOE=135°，∵OE⊥AB，∴∠BOD=45°，∵∠AOB=180°，∴∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=135°．点评：此题主要考查角的计算，注意垂直和平角的灵活运用．28．如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．考点：余角和补角；角平分线的定义．专题：计算题．分析：解此类题目关键在于：结合图形，根据余角、补角的定义，有时还需考虑角平分线的性质，分析并找到角与角之间的关系，再进行计算得出答案．解答：解：设∠AOB=x°，因为∠AOC与∠AOB互补，则∠AOC=180﹣x°．由题意，得．∴180﹣x﹣x=80，∴﹣2x=﹣100，解得x=50故∠AOB=50°，∠AOC=130°．点评：此题结合图形考查余角、补角的定义；涉及了角平分线的性质，及角的运算．在图形中，找补角、余角关系时，除了借助图形外，还需考虑等量关系即有没有相等的角．29．一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角．考点：余角和补角．专题：计算题．分析：首先根据余角与补角的定义，设这个角为x，则它的余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），再根据题中给出的等量关系列方程即可求解．解答：解：设这个角为x，则它的余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），根据题意可，得90°﹣x=（180°﹣x）﹣20°，解得x=75°．故答案为75°．点评：此题综合考查余角与补角，属于基础题中较难的题，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求解．30．如图，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠AOB=150°，求∠COD的度数．考点：余角和补角．专题：计算题．分析：由于∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠AOB=150°，可求出∠AOD=60°，进而可以求出∠COD=30°．解答：解：∵∠BOD是直角，∴∠BOD=90°，∵∠AOB=150°，∴∠AOD=60°，又∵∠AOC是直角，∴∠AOC=90°，∴∠COD=30°．故答案为30°．点评：本题主要考查角余角和补角的知识点，比较简单．。
A4版打印北师大版七年级下册数学第二章 相交线与平行线含答案
北师大版七年级下册数学第二章相交线与平行线含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）A.第一次向右拐50° ，第二次向左拐130°B.第一次向右拐50° ，第二次向右拐130°C.第一次向左拐50° ，第二次向左拐130° D.第一次向左拐30° ，第二次向右拐30°2、如图，直线a∥b，∠1＝60°，∠2＝40°，则∠3等于（）A.40°B.60°C.80°D.100°3、将一块直角三角板ABC按如图方式放置，其中∠ABC＝30°，A、B两点分别落在直线m、n上，∠1＝20°，添加下列哪一个条件可使直线m∥n( )A.∠2＝20°B.∠2＝30°C.∠2＝45°D.∠2＝50°4、如图，a∥b，∠1=130°，则∠2=（）A.50°B.130°C.70°D.120°5、如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（）A.∠A＋∠2＝180ºB.∠A＝∠3C.∠1＝∠4D.∠1＝∠A6、如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由甲A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（）A.甲＜乙＜丙B.乙＜丙＜甲C.丙＜乙＜甲D.甲=乙=丙7、如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A.1个B.2个C.3个D.0个8、下列命题中，真命题的个数是（）①同位角相等②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行③长度相等的弧是等弧④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形．A.1个B.2个C.3个D.4个9、如图所示，已知AD∥BC，∠C=30°，∠ADB：∠BDC=1：2，那么∠ADB等于（）A.45°B.30°C.50°D.36°10、如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝32°，∠AGF＝76°，FH平分∠EFG，则∠PFH的度数是( )A.54°B.44°C.32°D.22°11、如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于（）A.20°B.30°C.50°D.80°12、一把直尺和一块三角板(含、角)如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点和点，另一边与三角板的两直角边分别交于点和点，且，那么的大小为（）A. B. C. D.13、如图，有以下3个条件：①AC=AB，②AB∥CD，③∠1=∠2，从这3个条件中任选2个作为题设，另1个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是（）A.0B.C.D.114、如图，△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=35°，则∠B的度数为（）A.25°B.35°C.55°D.65°15、如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，若使AB∥CD，需要添加的条件是________（填一个你认为合适的条件即可）.17、如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′＝________°．18、将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠ACE的度数为________．19、如图，AB∥CD，DE⊥CE，∠1=34°，则∠DCE的度数为________。
北师大版七年级下册数学第二章 相交线与平行线含答案【通用】
北师大版七年级下册数学第二章相交线与平行线含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知两个角的两边分别平行，并且这两个角的差是90°，则这两个角分别等于（）A.60°，150°B.20°，110°C.30°，120°D.45°，135°2、如图，AB//CD，∠1+∠2=110°，则∠GEF+∠GFE的度数为（）A.110°B.70°C.80°D.90°3、下列命题是真命题的是（）A.邻补角相等B.对顶角相等C.内错角相等D.同位角相等4、下列命题中，是假命题的是（）.A.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.B.同旁内角互补，两直线平行.C.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.D.两条直线被第三条直线所截，同位角相等.5、如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC=65°，则∠BCD的度数等于（）A.20°B.25°C.35°D.50°6、如图，给出如下推理：①∠1＝∠3.∴AD∥BC；②∠A+∠1+∠2＝180°，∴AB∥CD；③∠A+∠3+∠4＝180°，∴AB∥CD；④∠2＝∠4，∴AD∥BC其中正确的推理有（）A.①②B.③④C.①③D.②④7、如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=60°，则∠1等于（）A.30°B.40°C.50°D.60°8、如图，已知直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=110°，∠2=40°，则∠3=（）A.40°B.50°C.60°D.70°9、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为（）A. B. C. D.1210、如图，CD∥AB，∠1＝120°，∠2＝80°，则∠E的度数是( )A.40°B.60°C.80°D.120°11、如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1＝80°，则∠2的度数是（）A.50°B.60°C.70°D.80°12、下列条件不能够证明a∥b的是（）A.∠2+∠3=180°B.∠1=∠4C.∠2+∠4=180°D.∠2=∠313、下列命题中，为真命题的是（）A. 是13的算术平方根B.三角形的一个外角大于任何一个内角C. 是最简二次根式D.两条直线被第三条直线所截，内错角相等14、将一副三角板和一张对边平行的纸条按图所示方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是（）度A.5B.10C.15D.2015、如图是一张足够长的长方形纸条ABCD，沿点A所在直线折叠纸条，使点B 落在边AD上，折痕与边BC交于点E；然后将其展平，再沿点E所在直线折叠纸条，使点A落在边BC上，折痕EF交边AD于点F，则∠AFE的大小是( )A.22.5°B.45°C.60°D.67.5°二、填空题(共10题，共计30分)16、某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示：已知AB∥CD，∠BAE=87°，∠DCE=121°，则∠E的度数是________．17、如图所示，已知∠A=∠F，∠C=∠D，把下面的空填写完整.解：因为∠A=∠F(已知)所以DF∥AC(________)所以∠D=∠ABD(________)又因为∠D=∠C(已知)所以∠C=∠ABD(________)所以________∥________(________)18、如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOD，若∠BOE＝42°，则∠AOF的度数是________.19、小明在玩“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题，如图，若AB∥CD，∠BAE=92°，∠DCE=121°，则∠AEC=________°。
(完整word)北师大数学七年级下册第二章相交线与平行线拔高题
北师大数学七年级下第二章拔高题．选择题（共7 小题）1．如图，AB∥CD ，BF 平分∠ ABE，且BF∥DE，则∠ ABE 与∠ D 的关系是（A ．∠ ABE＝3∠D B．∠ ABE+∠D ＝90°）C．∠ ABE+3∠ D＝180 D．∠ ABE＝2∠ D2．如图，将含30°角的直角三角板∠ 1＝40°，则∠ 2 的度数为（ A ．55° B ．60°3．如图，ABCD 为一长条形纸带，ABC 的直角顶点 C 放在直尺的一边上，已知∠ A＝30° ）C．65°D．70°AB∥CD，将ABCD 沿EF折叠，A、D 两点分别与A′D ′对应，若∠ 1＝2∠2，则∠ AEF 的度数为（）A ．60°B ．65°C．72°5．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（）D．75A ．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短6．如图，已知AB∥DE，∠ ABC＝80°，∠ CDE ＝150°，则∠ BCD＝（）A ．30°B ．40°C．50°D．60°7．如图，图1是AD∥ BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF 折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠ CFE＝18°，则图2中∠ AEF 的度数为A ． 120 °B ．108C ．126°D ．114二．填空题（共 8 小题）8．将一块 60°的直角三角板 DEF 放置在 45°的直角三角板 ABC 上，移动三角板两条直角边 DE 、DF 恰分别经过 B 、 C 两点，若 EF ∥ BC ，则∠ ABD ＝ABCD 沿 EF 折叠后，点 C 落在 AB 边上的点 G 处，点 D 落在点 H 处．若∠ 1＝62°，则图中∠ BEG 的度数为 ．10．如图，已知 DE ∥BC ，2∠D ＝3∠DBC ，∠ 1＝∠ 2．则∠ DEB ＝ 度． 11．如图，已知 AE ∥BD ，∠ 1＝ 130°，∠ 2＝28°，则∠ C 的度数为 ．12．如图， BE ∥CF ，则∠ A+∠B+∠C+∠D ＝度．13．如图，若 OP ∥QR ∥ST ，则∠ 1，∠ 2，∠ 3 的数量关系是：14．如图，∠ BCD ＝ 90°， AB ∥ DE ，则 α与 β一定满足的等式是15．如图，∠ AOB 的一边 OA 为平面镜，∠ AOB ＝ 37°，在 OB 上有一点 E ，从 E 点射出一束光线经 OA 上一点 D 反射，此时∠ ODE ＝∠ ADC ，且反射光线 DC 恰好与 OB 平行，则∠ DEB 的度数平分∠ CHE ，求∠ NHD的度数．9．如图，将一张矩形纸片第 13 题题三．解答题（共 11 小题）16．如图， AB ∥CD ，直线 EF 与 AB ，CD 交于点第 15G ，H ，GM ⊥GE ，∠ BGM ＝20°， 第 10 题第 12 题HN17．如图，直线AB∥CD，并且被直线MN所截，MN分别交AB和CD于点E、F，点Q在PM 上，且∠ AEP＝∠ CFQ．求证：∠ EPM＝∠ FQM ．18．如图，已知AB∥ CD ，∠ A＝40°．点P 是射线AB 上一动点（与点A 不重合），CE、CF分别平分∠ ACP 和∠DCP 交射线AB 于点E、F．（1）求∠ ECF 的度数；（2）随着点P的运动，∠APC与∠AFC 之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；3）当∠ AEC ＝∠ ACF 时，求∠ APC 的度数．19．【探究】如图① ，∠AFH 和∠CHF 的平分线交于点O，EG 经过点O且平行于FH ，分别与AB、CD 交于点E、G．（1）若∠ AFH ＝60°，∠ CHF ＝50°，则∠ EOF＝度，∠ FOH ＝度．（2）若∠ AFH +∠CHF ＝100°，求∠ FOH 的度数．【拓展】如图② ，∠ AFH 和∠CHI 的平分线交于点O，EG 经过点O 且平行于FH ，分别与AB、CD 交于点E、G．若∠ AFH +∠CHF ＝α，直接写出∠ FOH 的度数．（用含 a 的代数式表示）20．如图，AB∥CD ，∠ ABD 和∠BDC 的平分线交于点E，BE交CD于点F．（1）求证：∠ 1+∠ 2＝90°；（2）如果∠ EDF ＝36°，那么∠ BFC 等于多少度？21．如图，AB∥CD ，点E在线段AB上，连接EC、ED、AD，且ED平分∠ CEB，AD⊥EF，若∠BDE 的度数．22．（1）如图 1，已知 AB ∥ CD ，求证：∠ BED ＝∠ 1+∠2．2）如图 2，已知 AB ∥CD ，写出∠ 1、∠ EGH 与∠ 2、∠ BEG 之间数量关系，并加以证明． 3）如图 3，已知 AB ∥ CD ，直接写出∠ 1、∠3、∠5、与∠ 2、∠ 4、∠ 6 之间的关系．23．已知 AB ∥ CD ，点 E 为平面内一点， BE ⊥CE 于 E ．1）如图 1，请直接写出∠ ABE 和∠ DCE 之间的数量关系；2）如图 2，过点 E 作 EF ⊥CD ，垂足为 F ，求证：∠ CEF ＝∠ ABE ；（3）如图 3，在（ 2）的条件下，作 EG 平分∠ CEF ，交 DF 于点 G ，作 ED 平分∠ BEF ，交CD 于 D ，连接 BD ，若∠ DBE+∠ABD ＝180°，且∠ BDE ＝ 3∠ GEF ，求∠ BEG 的度数．24．（1）如图 ① ，若 AB ∥ CD ，求∠ B+∠D+∠E 1 的度数？（2）如图 ② ，若 AB ∥CD ，求∠ B+∠D+∠E 1+∠E 2 的度数？ （3）如图 ③ ，若 AB ∥CD ，求∠ B+∠D+∠E 1+∠E 2+∠E 3 的度数？ （4）如图 ④ ，若 AB ∥CD ，猜想∠ B+∠D+∠E 1+∠E 2+⋯+∠E n 的度数？CD 上有一点 P．25．如图，已知直线 l 1∥l 2，点 A 、B 分别在 l 1与 l 2 上．直线 l 3和直线 l 1、l 2交于点 C 和D ，在直线1）如果 P 点在 C 、D 之间运动时， 问∠PAC ，∠APB ，∠PBD 有怎样的数量关系？请说明理由．2）若点 P 在 C 、D 两点的外侧运动时（ P 点与点 C 、D 不重合），试探索∠ PAC ，∠ APB ，∠解答】 证明：如图，延长 DE 交 AB 的延长线于 ∵AB ∥CD ， ∴∠ D ＝∠ G ， ∵BF ∥DE ，∴∠ G ＝∠ ABF ， ∴∠ D ＝∠ ABF ，CE 平分∠ ACB ，F 是 BC 延长线上一点， 且∠DBCD ． ∠ ABE ＝ 2∠ DG ，．选择题（共 7 小题）∠ ABE+∠D ＝90°则∠ ABE 与∠ D 的关系是C ．∠ ABE+3∠D ＝ 180°应，若∠ 1＝ 2∠ 2，则∠ AEF 的度数为（ ）∵ BF 平分∠ ABE ，∴∠ ABE ＝2∠ABF ＝2∠D ，即∠ ABE ＝2∠D ．∵ EF ∥ MN ，∠ 1＝40 ∴∠ 1＝∠3＝ 40 ∵∠ A ＝ 30∴∠ 2＝∠ A+∠3＝70°， 故选： D ．AB ∥CD ，将 ABCD 沿 EF 折叠， A 、D 两点分别与 A ′、 D ′2．如图，将含 30°角的直角三角板 ABC 的直角顶点 C 放在直尺的一边上，已知∠ A ＝ 30°，∠ 1＝解答】 解：C ．65°D ．70°3．如图， ABCD 为一长条形纸带， 故选： D ．40°，则∠ 2 的度数为（）对应，若∠ 1＝2∠ 2，则∠ AEF 的度数为（）∵AB ∥CD ，∵∠ 1＝2∠2，设∠ 2＝x ，则∠ AEF ＝∠ 1＝∠∴5x ＝180°， ∴x ＝ 36°， ∴∠ AEF ＝2x ＝ 72°，解答】 解： C ．72° D ．75由翻折的性质可知：∠ AEF ＝∠ FEA ′，故选： C ． AB ∥4． 解答】 解：如下图，CD 的是(∴∠ AEF ＝∠ 1，FEA ′＝ 2x ，∴AB ∥CD ， 故选： A ．5．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（）A ．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有 一条直线垂直于已知直线B ．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短C ．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线D ．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上 各点的所有线段中，垂线段最短【解答】 解： A 、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：垂线段最短，故原 命题错误；B 、两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短，正确；C 、一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，正确；D 、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上 各点的所有线段中，垂线段最短，正确． 故选： A ．∴∠ CMD ＝180°﹣∠ BMD ＝100°；，∠ CDE ＝ 150°，则∠ BCD ＝（A ．30°B ． 40°C ． 50° 【解答】 解：反向延长 DE 交 BC 于 M ，D ．60°∵AB ∥DE ，∴∠ BMD ＝∠ ABC ＝80°，∠ ABC ＝80又∵∠ CDE＝∠ CMD +∠BCD，∴∠ BCD＝∠ CDE﹣∠ CMD ＝150°﹣100°＝50°7．如图，图1是AD∥ BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF 折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠ CFE＝18°，则图2中∠ AEF 的度数为（）A ．120°B ．108°C．126°D．114【解答】解：如图，设∠ B′ FE ＝x，∵纸条沿EF 折叠，∴∠BFE＝∠B′FE＝x，∠ AEF＝∠A′EF，∴∠ BFC ＝∠ BFE ﹣∠ CFE＝x﹣18°，∵纸条沿BF 折叠，∴∠ C′FB＝∠ BFC＝x﹣18°，而∠ B′ FE+∠ BFE+∠C′FE＝180°，∴x+x+x﹣18°＝180°，解得x＝66°，∵A′D′∥ B′C′，∴∠ A′ EF＝180°﹣∠ B′FE＝180°﹣66°＝114∴∠ AEF ＝114故选： D ．8．将一块60°的直角三角板DEF 放置在45°的直角三角板ABC 上，移动三角板DEF 使两条直角边DE、DF 恰分别经过B、C 两点，若EF∥BC，则∠ ABD＝15 °．【解答】解：∵将一块60°的直角三角板DEF 放置在45°的直角三角板ABC 上，∴∠ E＝30°，∠ ABC ＝45°，∵EF∥BC，∴∠ DBC＝∠ E＝30°，∴∠ ABD ＝45°﹣30°＝15°，故答案为：159．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C落在AB边上的点G处，点D 落在点H处．若∠ 1＝62°，则图中∠ BEG 的度数为56° ．【解答】解：∵ AD∥BC ，∴∠ 1＝∠ FEC＝62°，由翻折可∠ FEG＝∠ FEC＝∴∠ BEG＝180°﹣62°﹣62°＝56故答案为：5610．如图，已知 DE ∥BC ，2∠D ＝3∠DBC ，∠1＝∠2．则∠ DEB ＝ 36 度．【解答】 解：∵ DE ∥BC ，∴∠ E ＝∠ 1 ，∵∠ 1＝∠ 2，∴∠ 1＝∠ 2＝∠ B ，设∠ 1＝∠ 2＝∠ B ＝ x ，∵2∠D ＝3∠DBC ，∴∠ D ＝ 3x ，∴5x ＝180°，∴x ＝ 36°故答案为 36．【解答】 解：∵ AE ∥BD ，∠ 1＝130°，∠ 2＝28°，∴∠ CBD ＝∠ 1＝ 130°，∠ CDB ＝∠ 2＝ 28°，∴∠ C ＝180°﹣∠ CBD ﹣∠ CDB ＝180°﹣130°﹣28°＝ 22° 故答案为： 22 °22°180 度．解答】解：如图所示，由图知∠ A+∠ B＝∠ BPD，∵BE∥CF，∴∠ CQD＝∠ BPD＝∠ A+∠B，又∵∠ CQD +∠C+∠D＝180°，∴∠ A+∠B+∠C+∠D＝180°，故答案为：180．13．如图，若OP∥QR∥ST，则∠ 1，∠ 2，∠ 3的数量关系是：∠2+∠3﹣∠ 1＝180°【解答】解：如图，延长TS，∵OP∥ QR∥ ST，∴∠ 2＝∠ 4，∵∠ 3 与∠ ESR互补，∴∠ ESR＝180°﹣∠ 3，∵∠ 4 是△ FSR的外角，∴∠ FSR+∠ 1＝∠ 4，即180°﹣∠ 3+∠ 1＝∠ 2，∴∠ 2+∠3﹣∠ 1＝180 °．故答案为：∠ 2+∠3﹣∠ 1＝180°．14．如图，∠ BCD ＝90°，AB∥ DE，则α与β一定满足的等式是∠ α﹣∠β＝90°【解答】解：过 C 作CF∥AB ，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1 ＝∠β，∠α＝180°﹣∠2，∴∠α﹣∠β＝180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣∠BCD＝90°，故答案为∠ α﹣∠β＝90°．15．如图，∠ AOB 的一边OA 为平面镜，∠ AOB＝37°，在OB 上有一点E，从E点射出一束光线经OA 上一点D反射，此时∠ ODE ＝∠ ADC ，且反射光线DC 恰好与OB 平行，则∠ DEB的度数是74 ° ．【解答】解：过点 D 作DF⊥AO 交OB 于点F．∵入射角等于反射角，∴∠ 1 ＝∠ 3，∵CD∥ OB，∴∠ 1＝∠ 2（两直线平行，内错角相等）；∴∠ 2＝∠ 3（等量代换）；在Rt△ DOF 中，∠ ODF ＝90°，∠ AOB ＝37°∴∠ 2＝90°﹣37°＝53°；∴在△ DEF 中，∠ DEB＝180°﹣2∠2＝74故答案为： 74三．解答题（共 11 小题）16．如图，AB ∥CD ，直线 EF 与 AB ，CD 交于点 G ，H ，GM ⊥GE ，∠BGM ＝20°，HN 平分∠ CHE ， 求∠NHD 的度数．【解答】解 ：∵ GM ⊥ GE∴∠ EGM＝ 90°∵∠ BGM＝ 20°∴∠ EGB ＝ ∠ EGM ﹣∠ BGM＝7 ∴∠ AGH ＝∠ EGB ＝ 70°∵AB ∥CD∴∠ AGH+∠CHG ＝180°∴∠ CHG ＝ 110∵ HN 平分∠ CHE55∴∠ NHD ＝ 180°﹣∠ CHN ＝180°﹣ 55°＝ 125°∴∠ NHC ＝CHG ＝ × 110且∠ AEP＝∠ CFQ ．求证：∠ EPM ＝∠ FQM ．【解答】解：∵ AB∥CD∴∠ AEM＝∠ CFM ，∵∠ AEP＝∠ CFQ ，∴∠ MEP＝∠ MFQ ，∴EP∥FQ，∴∠ EPM＝∠ FQM ．18．如图，已知AB∥ CD ，∠ A＝40°．点P是射线AB 上一动点（与点A不重合），CE、CF 分别平分∠ ACP和∠ DCP交射线AB于点E、F．（1）求∠ ECF 的度数；（2）随着点P 的运动，∠ APC 与∠ AFC 之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；（3）当∠ AEC＝∠ ACF时，求∠ APC 的度数．解答】解：（1）∵ AB∥ CD，∴∠ A+∠ACD ＝180°，∴∠ ACD＝180°﹣40°＝140∵CE 平分∠ ACP，CF 平分∠ DCP ，MN 分别交AB和CD 于点E、F，点Q在PM 上，MN 所截，∴∠ ACP＝2∠ECP，∠DCP ＝2∠ PCF ，∴∠ ECF＝∠ ACD＝70°；（2）不变．数量关系为：∠ APC＝2∠AFC ．∵AB∥CD，∴∠ AFC ＝∠ DCF ，∠ APC＝∠ DCP ，∵CF 平分∠ DCP ，∴∠ DCP＝2∠DCF ，∴∠ APC＝2∠ AFC；（3）∵ AB∥CD ，∴∠ AEC＝∠ ECD ，当∠ AEC＝∠ ACF 时，则有∠ ECD＝∠ ACF，∴∠ ACE＝∠ DCF ，∴∠ PCD＝∠ACD ＝70°，19．【探究】如图① ，∠AFH 和∠CHF 的平分线交于点O，EG 经过点O且平行于FH ，分别与AB、CD 交于点E、G．（1）若∠ AFH ＝60°，∠ CHF ＝50°，则∠ EOF＝30 度，∠ FOH＝125 度．（2）若∠ AFH +∠CHF ＝100°，求∠ FOH 的度数．【拓展】如图② ，∠ AFH 和∠CHI 的平分线交于点O，EG 经过点O 且平行于FH ，分别与AB、CD 交于点E、G．若∠ AFH +∠CHF ＝α，直接写出∠ FOH 的度数．（用含 a 的代数式表示）【解答】 解：【探究】（1）∵∠ AFH ＝60°， OF 平分∠AFH ， ∴∠ OFH ＝30°，又∵ EG ∥FH ，∴∠ EOF ＝∠ OFH ＝ 30°；∵∠ CHF ＝ 50 °， OH 平分∠ CHF ，∴∠ FHO ＝25°， ∴△FOH 中，∠ FOH ＝ 180°﹣∠ OFH ﹣∠OHF ＝125°； 故答案为： 30， 125；2)∵ FO 平分∠ AFH ， HO 平分∠ CHF ，∵∠ AFH+∠CHF ＝100°，∴∠ OFH+∠OHF ＝ (∠AFH +∠CHF )∵EG ∥ FH ，∴∠ EOF ＝∠ OFH ，∠ GOH ＝∠ OHF ．∴∠ EOF+∠GOH ＝∠ OFH +∠OHF ＝50°．∵∠ EOF+∠GOH+∠FOH ＝180°，∴∠ FOH ＝ 180°﹣(∠ EOF+∠GOH )＝ 180°﹣ 50°＝ 130°【拓展】∵∠ AFH 和∠ CHI 的平分线交于点 O ，∴∠ OFH ＝ ∠ AFH ，∠ OHI ＝ ∠CHI ，∴∠ FOH ＝∠ OHI ﹣∠OFH＝ (∠ CHI ﹣∠ AFH )＝ (180°﹣∠ CHF ﹣∠ AFH ) ∴∠ OFH ＝ ∠AFH ，∠OHF∠CHF ．×100°＝50°＝(180 °﹣α)＝90 °﹣α．20．如图，AB∥CD ，∠ ABD 和∠BDC 的平分线交于点E，BE交CD于点F．1）求证：∠ 1+∠ 2＝90°；∵BE、DE 平分∠ ABD、∠ BDC，∴∠ 1＝∠ABD，∠ 2＝∠ BDC，∴∠ 1+∠2＝(∠ ABD+∠BDC)＝90(2)∵ DE平分∠ BDC，∴∠ 2＝∠ EDF ＝36°，又∵∠ 1+∠ 2＝90°，∴∠ 1＝54°，又∵ AB∥ CD，∴∠ BFC ＝180°﹣∠ 1＝180°﹣54°＝126°∠5、与∠ 2、∠ 4、∠ 6 之间的关系．连接 EC 、ED 、AD ，且 ED 平分∠ CEB ，AD ⊥EF ，若∠∵∠ A ﹣∠ B ＝8∴∠ B ＝ 34°，∵AD ⊥ EF ，∴∠ AFE ＝ 90°，∴∠ AEF ＝ 48°，∴∠ BEC ＝132 °∵ DE 平分∠ BEC ，∴∠ BED ＝ ∠BEC ＝66°，∴∠ BDE ＝180°﹣66°﹣34°＝ 80° 22．（1）如图 1，已知 AB ∥CD ，求证：∠ 2）如图 2，已知 AB ∥CD ，写出∠ 1、∠ EGH 与∠ 2、∠ BEG 之间数量关系，并加以证明．∵AB ∥CD， ∴AB ∥CD ∥EF ，∴∠ 3＝∠ 1，∠ 4＝∠2，∴∠ 3+∠4＝∠ 1+∠ 2，BDE的度数． ∴∠ ADC ＝∠ A ＝42°， BED ＝∠ 1+∠2． 解答】 解：（1）证明：如图，过点 E 作 EF ∥AB ，（ 2）∠ 1+∠ EGH ＝∠ 2+∠BEG ， 理由如下：如图，分别过点 E 、G 作 EF ∥AB ，GH ∥AB ， ∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF ∥GH ∥CD ，∴∠ 1 ＝∠ 3，∠ 4＝∠ 5，∠ 6 ＝∠ 2 ，∴∠ 1+∠5+∠6＝∠ 3+∠ 4+∠2，即∠ 1+∠EGH ＝∠ 2+∠ BEG ；（3）由题可得，向左的角度数之和与向右的角度数之和相等， ∴∠ 1、∠ 3、∠ 5与∠ 2、∠ 4、∠ 6之间的关系为： ∠1+∠3+∠5＝∠ 2+∠4+∠6．23．已知 AB ∥ CD ，点 E 为平面内一点， BE ⊥CE 于 E ．（1）如图 1，请直接写出∠ ABE 和∠ DCE 之间的数量关系；（2）如图 2，过点 E 作 EF ⊥CD ，垂足为 F ，求证：∠ CEF ＝∠ ABE ；（3）如图 3，在（ 2）的条件下，作 EG 平分∠ CEF ，交 DF 于点 G ，作 ED 平分∠ BEF ，交 CD 于 D ，连接 BD ，若∠ DBE+∠ABD ＝180°，且∠ BDE ＝ 3∠ GEF ，求∠ BEG的度数．【解答】解：（1）结论：∠ ECD ＝90°+∠ABE．理由：如图 1 中，从BE 交DC 的延长线于H ．∵AB∥CH，∴∠ ABE＝∠ H，∵BE⊥CE，∴∠ CEH＝90°，∴∠ ECD＝∠ H+∠CEH＝90°+∠H，∴∠ ECD＝90°+∠ ABE．2）如图 2 中，作EM∥ CD，∴AB∥CD∥EM，∴∠ BEM＝∠ ABE，∠ F +∠ FEM ＝180°，∵EF⊥CD，∴∠ F＝90°，∴∠ FEM ＝90°，∴∠ CEF 与∠ CEM 互余，∵BE⊥CE，∴∠ BEC ＝90°，∴∠ BEM 与∠ CEM 互余，∴∠ CEF ＝∠ BEM ，∴∠ CEF＝∠ ABE．3）如图 3 中，设∠ GEF ＝α，∠EDF＝β．∴∠BDE ＝3∠GEF＝3α，∵EG 平分∠ CEF ，∴∠CEF ＝2∠FEG ＝2α，∴∠ABE＝∠CEF ＝2α，∵AB∥CD∥EM，∴∠MED ＝∠EDF ＝β，∠KBD ＝∠BDF ＝3α+β，∠ABD+∠BDF＝180 ∴∠BED＝∠BEM+∠MED＝2α+β，∵ ED 平分∠ BEF，∴∠BED＝∠FED＝2α+β，∴∠DEC＝β，∵∠BEC ＝90°，∴2α+2β＝90°，∵∠DBE+∠ABD＝180°，∠ABD +∠BDF ＝180°，∴∠DBE＝∠BDF ＝∠BDE +∠EDF ＝3α+β，∵∠ ABK ＝180°，∴∠ABE+∠B＝DBE+∠KBD ＝180°，即2α+ （3α+β）+（3α+β）＝180°，∴6α+（2α+2β）＝180°，∴α＝15 °，∴∠BEG＝∠BEC+∠CEG ＝90°+15 °＝105 24．（1）如图① ，若AB∥ CD，求∠B+∠D+∠E1 的度数？（2）如图② ，若AB∥CD，求∠ B+∠D+∠E1+∠E2 的度数？（3）如图③ ，若AB∥CD，求∠ B+∠D+∠E1+∠E2+∠E3 的度数？（4）如图④ ，若AB∥CD，猜想∠ B+∠D+∠E1+∠E2+⋯+∠E n 的度数？【解答】解：（1）如图① ，过E1 作E1F ∥ AB，则E1F∥CD，∴∠ B+∠1＝180° ① ，∠D+∠ 1＝180°② ，① +② 得∠ B+∠1+∠D+∠2＝360°，即∠ B+∠D+∠E1＝360°；（2）如图② ，分别过E1，E2 作E1F∥AB，E2G∥AB，则E1F∥E2G∥CD，∴∠ 1+∠B＝∠ 2+∠3＝∠ 4+∠D＝180°，∴∠ B+∠D+∠E1+∠E2＝∠1+∠B+∠2+∠3+∠4+∠D＝540°＝3× 180°；（3）如图③ ，分别过E1，E2，E3 作E1F1∥E2F2∥E3F3∥AB，则E1F1∥E2F2∥E3F3∥CD，∴∠ B+∠ BE1E2＝180°，∠ E2E1F1+∠E1E2F2＝180°，∠ E3E2F2+∠E2E3F3＝180°，∠ DE 3F3+ ∠D＝180°，∴∠ B+∠D+∠ E1+∠E2+∠E3＝720°；4）由（ 1）（ 2）（3）知，拐点的个数 n 与角的和之间的关系是（ n+1）?180°， ∴∠ B+∠D+∠E 1+∠E 2+⋯+∠E n ＝（ n+1）?180°点 A 、B 分别在 l 1与 l 2上．直线 l 3和直线 l 1、l 2交于点 C 和D ，在直线 1）如果 P 点在 C 、D 之间运动时， 问∠PAC ，∠APB ，∠PBD 有怎样的数量关系？请说明理由．2）若点 P 在 C 、D 两点的外侧运动时（ P 点与点 C 、D 不重合），试探索∠ PAC ，∠ APB，∠APB ＝∠ PAC+∠ PBD ．理由如下：CD 上有一点 P ．过点P 作PE∥l1，∵l1∥l2，∴PE∥l2∥l1，∴∠ PAC＝∠ 1，∠ PBD ＝∠ 2，∴∠APB＝∠1+∠2＝∠ PAC+∠PBD ；2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D 不重合），则有两种情形：① 如图，当点P 在在l2下方时，有结论：∠ APB＝∠ PAC﹣∠ PBD ．理由是：过点P作PE∥l1，则∠ APE＝∠ PAC，又∵ l1∥ l2，∴PE∥l 2，∴∠ BPE＝∠ PBD ，∵∠ APE＝∠APB+∠BPE，∴∠ PAC＝∠当点P在l1上方时，有结论：∠ APB＝∠ PBD ﹣∠ PAC．理由是：过点 P 作 PE ∥l 2，则∠ BPE ＝∠ PBD ， 又∵ l 1∥ l 2， ∴PE ∥l 1，∴∠ APE ＝∠ PAC ，∵∠ BPE ＝∠ APE+∠APB ，∴∠ PBD ＝∠ PAC+∠APB ， ∴∠ APB ＝∠ PBD ﹣∠ PAC ． 已知∠ABC ＝∠ACB ，BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，F 是 BC 延长线上一点，且∠DBC ∵∠ DBC ＝∠ F ，∴∠ ECB ＝∠ F ，∴EC ∥DF ．26．如图， BD 平分∠ ABC ， CE 平分∠ ACB ，∠ACB ， ∴∠ DBC ＝∠ ECB ．∴∠ DBC ＝ ∠ABC ，∠ ECB ＝。