天津市河西区2019-2020学年高一下学期期中数学试题
一、单选题天津市河西区2019-2020学年高一下学期期中数学试题
1.
如果，
是两个单位向量，则与一定（ ）
A ．相等
B ．平行
C ．方向相同
D ．长度相等2. 若复数
为纯虚数，则实数的值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．或
3. 在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如表：
观看场数
01234567观看人数占调查人数的
百分比
8% 10% 20% 26% m % 12% 6% 2%
从表中可以得出正确的结论为（ ）
A ．表中m 的数值为8
B ．估计观看比赛不低于4场的学生约为360人
C ．估计观看比赛不低于4场的学生约为720人
D ．估计观看比赛场数的众数为2
4. 甲、乙两个元件构成一串联电路，设=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为( ) A．B．C．D．
5. 若为虚数单位，且，则
A．B．C．D．
6. 小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支分布如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为
A．30%B．10%C．3%D．不能确定
7. 设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（）
A．事件A⊆B，则P（A）＜P（B）
B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立
C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥
D． P（A）+P（B）≤1
8. 设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
9. 已知向量，是两个不共线的向量，且向量m 3与（2﹣m ）共线，则实数m的值为（）
A．﹣1或3B ．C．﹣1或4D．3或4
二、填空题
10. i 是虚数单位，复数___________.
11. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．
12. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．则事件“x+y≤3”的概率为_____．
13. 在三角形ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a，b，c，若a=2，B=，c=2，则b=
14. 已知，是夹角为的两个单位向量，＝－2，＝k ＋，若·＝0，则实数k的值为________．
三、解答题15.
如图，在平面四边形中，，
，
，.若点为上的动点，则的最小值为__
____.
16.
随机观测生产某种零件的某工厂名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：
、
、
、
、
、、
、、、、
、
、
、
、
、、
、
、、、
、、、、，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数
频率
（1）确定样本频率分布表中、、和的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3
）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取人，至少有人的日加工零件数落在区间的概率.
17. 在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．
18. 在△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝30°，b，c＝2，解这个三角形．
19. 已知（2，1），（1，7），（5，1），设C是直线OP上的一点（其中O为坐标原点）（1）求使取到最小值时的；
（2）根据（1）中求出的点C，求cos∠ACB．
20. 设z1是虚数，z2＝z1是实数，且﹣1≤z2≤1．
（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；
（2）若ω，求证ω为纯虚数；
（3）求z2﹣ω2的最小值．。
2019-2020学年天津市河西区高一下学期期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共9小题）.f f _ _________________ . 如、，,、， 一 一-、1.如果？？ ？那两个单位向量，则 ？力？受定（）A.相等B.平行C.方向相同D.长度相等2,若复数z= （x 2-1） + （x-1） i 为纯虚数，则实数 x 的值为（ ）3.在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50,将数据分组整理后，列表如表:从表中可以得出正确的结论为（ ）A.表中m 的数值为8B.估计观看比赛不低于 4场的学生约为360人C.估计观看比赛不低于4场的学生约为720人5 .若a, b 贝，i 为虚数单位，且（a+i ） i=b+i,则（）A. a=1, b= 1B. a=- 1, b= 1C. a = 1, b= _1 D. a=-1, b=一 6 .小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图 2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）A. 一 1B. 0C. 1D. T 或 1 观看场数0123456 观看人数占调查人数的8%百分比10%20%26% m% 12%6%72%D.估计观看比赛场数的众数为24.甲、乙两个元件构成一并联电路，设示电路故障的事件为（）A.EUFB.EA??E= "甲元件故障”，F= "乙元件故障“，则表C. ??u??D. En F7 .设A 、B 是两个概率大于 0的随机事件，则下列论述正确的是（ ）A.事件 A? B,则 P （A ） v P （B ） 8 .若A 和B 互斥，则A 和B 一定相互独立 C.若A 和B 相互独立，则 A 和B 一定不互斥 D. P (A) +P (B) < 1的形状为（的值为（11 .某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向,名学生.12 .将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为 x,第二次出现的点数为 y.则事件“x+yw3”的概率为.?? c 一13 .在三角形ABC 中，角A, B, C 所对应的长分别为 a, b, c,若a= 2, B= 6? c = 2v??贝 U b =.14 .已知 游 石髭夹角为2??勺两个单位向量，??=谆-痴? ??= k?!?+流 若?? ??=0, 一 一 3则实数k 的值为.15 .如图，在平面四边形 ABCD 中，AB ± BC , ADXCD, / BAD = 120。
2019-2020学年人教A版天津市部分区高一上学期期末数学试卷及答案 (解析版)
2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝（）A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8} 2．下列函数中既是奇函数，又在R上单调递增的是（）A．B．y＝sin x C．y＝x3D．y＝lnx3．函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（）A．（4，5）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．在平面直角坐标系中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，则sinα的值为（）A．B．C．D．5．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c6．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若，则不等式f（2x﹣1）＜0的解集为（）A．B．C．D．8．若α、β都是锐角，且sinα＝，cos（α+β）＝﹣，则sinβ的值是（）A．B．C．D．9．下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∃x∈R，使得2x≥x2”B．若a＞b，c＜0，则C．若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则k≤2D．“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件10．已知函数在区间上单调递增，且存在唯一使得f（x0）＝1，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题11．幂函数f（x）的图象经过（2，4），则f（3）＝．12．函数的定义域为．13．已知lga+lg（2b）＝1，则a+b的最小值是．14．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则整数t的值为（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}．（1）求A∪B，A∩B；（2）已知集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．16．已知函数．（1）在给出的直角坐标系中，画出y＝f（x）的大致图象；（2）根据图象写出f（x）的单调区间；（3）根据图象写出不等式f（x）＞0的解集．17．已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝，β∈（0，）．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）求tan（2β+）的值．18．已知函数．（1）判断f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．19．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（3）若关于x的不等式mf（x）+3m≥f（x）在R上恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.第I卷（选择题共40分）1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝（）A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8} 【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，∴∁U B＝{2，5，8}，则A∩∁U B＝{2，5}．故选：A．2．下列函数中既是奇函数，又在R上单调递增的是（）A．B．y＝sin x C．y＝x3D．y＝lnx【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可．解：A．f（x）是奇函数，在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不单调，不满足条件．B．f（x）是奇函数，则R上不是单调函数，不满足条件．C．f（x）是奇函数，在R上是增函数，满足条件．D．函数的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．故选：C．3．函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（）A．（4，5）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f（x）＝lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数，再通过计算f（1）、f（2）、f（3）的值，发现f（2）•f（3）＜0，即可得到零点所在区间．解：∵f（x）＝lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝ln2﹣1＜0，f（3）＝ln3＞0∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（2，3）故选：C．4．在平面直角坐标系中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，则sinα的值为（）A．B．C．D．【分析】利用三角函数定义直接求解．解：在平面直角坐标系中，角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，∴，r＝＝1，∴sinα＝＝．故选：D．5．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．解：∵a＝log20.3＜0，b＝20.3＞1，0＜c＝0.30.2＜1，∴b＞c＞a．故选：B．6．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【分析】由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解：∵y＝sin（2x﹣）＝sin[2（x﹣）]，∴将函数y＝sin2x的图象上所有的点向右平移个单位，即可得到函数y＝sin（2x﹣）的图象．故选：C．7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若，则不等式f（2x﹣1）＜0的解集为（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，∴若，则不等式f（2x﹣1）＜0等价为f（|2x﹣1|）＜f（），即|2x﹣1|＜，即﹣＜2x﹣1＜，得＜x＜，即不等式的解集为（，），故选：A．8．若α、β都是锐角，且sinα＝，cos（α+β）＝﹣，则sinβ的值是（）A．B．C．D．【分析】利用同角三角函数间的关系式的应用，可求得sin（α+β）与cosα的值，再利用两角差的正弦函数，可求得sinβ＝sin[（α+β）﹣α]的值．解：∵cos（α+β）＝﹣，α、β都是锐角，∴sin（α+β）＝＝；又sinα＝，∴cosα＝＝，∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝×﹣（﹣）×＝．故选：A．9．下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∃x∈R，使得2x≥x2”B．若a＞b，c＜0，则C．若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则k≤2D．“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件【分析】A由命题的否命题，既要对条件否定，也要对结论否定，注意否定形式，可判断；B由条件，注意举反例，即可判断；C由二次函数的图象，即可判断；D先求出不等式x2﹣5x+6＞0的解集，再由充分必要条件的定义，即可判断．解：对于A，命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∀x∈R，使得2x≥x2”，故A错误；对于B，由条件知，比如a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，则＝﹣＜＝，故B错误；对于C，若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则≤1或≥4，故k≤2或k≥8，故C错误；对于D，x2﹣5x+6＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}，故“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件，正确．故选：D．10．已知函数在区间上单调递增，且存在唯一使得f（x0）＝1，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由函数f（x）在[﹣，]上单调递增求出0＜ω≤，再由存在唯一使得f（x0）＝1求出≤ω＜3；由此求得ω的取值范围．解：由于函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在[﹣，]上单调递增；x∈[﹣，]，ωx+∈[﹣ω+，ω+]，﹣≤﹣ω+且ω+≤，解得ω≤且ω≤，所以0＜ω≤；又存在唯一使得f（x0）＝1，即x∈[0，]时，ωx+∈[，ω+]；所以≤ω+＜，解得≤ω＜3；综上知，ω的取值范围是[，]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共20分.11．幂函数f（x）的图象经过（2，4），则f（3）＝9 ．【分析】设幂函数f（x）＝x a，由幂函数f（x）的图象经过（2，4），解得f（x）的解析式，由此能求出f（3）．解：设幂函数f（x）＝x a，∵幂函数f（x）的图象经过（2，4），∴2a＝4，解得a＝2，∴f（x）＝x2，∴f（3）＝32＝9．故答案为：9．12．函数的定义域为（﹣1，4）．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0且对数式的真数大于0联立不等式组求解．解：由，得﹣1＜x＜4．∴函数的定义域为（﹣1，4）．故答案为：（﹣1，4）．13．已知lga+lg（2b）＝1，则a+b的最小值是2．【分析】利用对数运算性质可得ab，再利用基本不等式的性质即可得出．解：∵lga+lg（2b）＝1，∴2ab＝10，即ab＝5．a，b＞0．则a+b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时取等号．因此：a+b的最小值是2．故答案为：2．14．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则整数t的值为 5 （参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）【分析】100ml血液中酒精含量达到60ml，由题意得则60（1﹣20%）t＜20由此利用对数的性质能求出整数t的值．解：某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，则100ml血液中酒精含量达到60ml，在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则60（1﹣20%）t＜20，∴0.8t＜，∴t＞＝﹣＝﹣＝≈＝4.8．∴整数t的值为5．故答案为：5．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}．（1）求A∪B，A∩B；（2）已知集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∪B，A∩B．（2）当C＝∅时，a≥2a+1，a≤﹣1，当C≠∅时，，由此能求出实数a的取值范围．解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}＝{x|x＞3或x＜﹣2}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}＝{x|1＜x＜5}，∴A∪B＝{x|x＜﹣2或x＞1}，A∩B＝{x|3＜x＜5}．（2）∵集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，C⊆B，∴当C＝∅时，a≥2a+1，a≤﹣1，当C≠∅时，，解得1≤a≤2，综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，2]．16．已知函数．（1）在给出的直角坐标系中，画出y＝f（x）的大致图象；（2）根据图象写出f（x）的单调区间；（3）根据图象写出不等式f（x）＞0的解集．【分析】根据各段函数的解析式作图即可解：（1）如图，（2）由图可知f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，1）；单调递减区间为（﹣2，0），（1，+∞）；（3）由图可知f（x）＞0时，x∈（﹣4，﹣1）．17．已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝，β∈（0，）．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）求tan（2β+）的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求得结果．（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，求得结果．解：（1）∵已知sinα＝，α∈（，π），∴cosα＝﹣＝﹣．∵cosβ＝，β∈（0，），∴sinβ＝＝，∵cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣•+•＝＝﹣．（2）由以上可得tanβ＝＝2，∴tan2β＝＝＝﹣，tan（2β+）＝＝＝﹣．18．已知函数．（1）判断f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）根据函数单调性的定义进行证明即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．解：（1）函数的定义域为R，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣﹣+＝﹣＝＝，∵x1＜x2，∴＜，则﹣＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2），即函数f（x）为增函数．（2）f（x）＝＝，则f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），即f（x）是奇函数．19．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（3）若关于x的不等式mf（x）+3m≥f（x）在R上恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据f（x）＝sin（2x﹣）可求最小正周期；（2）利用x∈以及正弦函数单调区间即可求出最大最小值；（3）令t＝sin（2x﹣），将不等式化成m≥＝1﹣对∀t∈[﹣1，1]恒成立，即可求出m取值范围．解：f（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），（1）T＝＝π，即f（x）的最小正周期为π；（2）当x∈时，则2x﹣∈[﹣，π]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，所以f（x）∈[﹣，2]，即f（x）最大值为2，最小值为﹣；（3）mf（x）+3m≥f（x）即2m sin（2x﹣）+3m≥2sin（2x﹣），令t＝f（x）＝sin（2x﹣），则t∈[﹣1，1]，所以2t+3∈[1，5]根据题意得2mt+3m≥2t对∀t∈[﹣1，1]恒成立，即有m≥＝1﹣对∀t∈[﹣1，1]恒成立，因为1﹣最大为1﹣＝，所以m≥．。
2019-2020学年天津市河西区八年级(上)期中数学试卷-(解析版)
2019-2020学年天津市河西区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．D．C．2．要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（）A．一条B．两条C．三条D．四条:3．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45°，则下列判断错误的是（）A．△ABC是直角三角形C．△ABC是等腰三角形B．△ABC是锐角三角形D．∠A和∠B互余4．由下列长度组成的各组线段中，不能组成三角形的是（）A．1cm，3cm，3cm C．8cm，6cm，4cm B．2cm，5cm，6cm D．14cm，7cm，7cm5．已知等腰三角形的两边长分别是5和11，则这个等腰三角形的周长为（）A．21B．16C．27D．21或27(6．在下面的四组全等的三角形中，可以看作把△ABC经过翻折（轴对称）而得到△DEF的是（）A．B．D．C．7．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）A．180°B．360°C．540°D．720°8．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（）@A．△ABC三边中线的交点B．△ABC三个角的平分线的交点C．△ABC三边高线的交点D．△ABC三边垂直平分线的交点9．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（）A．∠DAB′＝∠CAB′C．AD＝AE B．∠ACD＝∠B′CD D．AE＝CE;10．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝C D＝D E，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE 的度数是（）A．60°B．65°C．75°D．80°二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．11．点M（3，3）关于x轴对称的点的坐标为．12．有一角为60°的等腰三角形是．13．如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是．；14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为．15．如图，A（m，0），B（0，n），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC，则C点的坐标为．（用字母m、n表示）16．如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于．三、解答题：本大题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示．·（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法）；（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′（），B′（），C′（）．18．已知：∠α．求作：∠CAB，使得∠CAB＝∠α．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）19．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB．…（Ⅰ）若∠A＝60°，则∠BOC的度数为（Ⅱ）若∠A＝100°，则∠BOC的度数；；（Ⅲ）若∠A＝α，求∠BOC的度数，并说明理由．20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°．（Ⅰ）求∠BCD的度数；（Ⅱ）若BD＝a，求AB的长度（用a表示）．/21．在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，3）和点C（0，2）．（Ⅰ）请直接写出OB的长度：OB＝；（Ⅱ）如图：若点D在x轴上，且点D的坐标为（﹣3，0），求证：△AOB≌△COD．22．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，AD交CE于点P，且BD＝AE．求证：（Ⅰ）AD＝CE；（Ⅱ）求∠DPC的度数．—23．已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE＝CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．2019-2020学年天津市河西区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）@1．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误；B、不是轴对称图形，故错误；C、是轴对称图形，故正确；D、不是轴对称图形，故错误．故选：C．。
2019-2020学年上海交大附中高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年上海交大附中高一（下）期中数学试卷试题数：36，总分：1501.（填空题，4分）若2arcsin（54 x-2）= π3，则x=___ ．2.（填空题，4分）在公差d不为零的等差数列{a n}中，a6=17，且a3，a11，a43成等比数列，则d=___ ．3.（填空题，4分）已知等比数列{a n}中，a n＞0，a1a6=4，则log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=___ ．4.（填空题，4分）前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是___ ．5.（填空题，4分）在△ABC中，a2+b2-mc2=0（m为常数），且cosAsinA + cosBsinB= cosCsinC，则m的值是___ ．6.（填空题，4分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，S n为其前n项和，若S4=8，S8=24，则S16=___ ．7.（填空题，4分）已知函数f（x）=3sinx+4cosx，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）-f（x2）的最大值是___ ．8.（填空题，4分）在△ABC中，角A、B、C所对应边分别为a、b、c，∠ABC=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2 √2，则a+4c的最小值为___9.（填空题，4分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n2-12n，数列{|a n|}的前n项和T n，则T nn的最小值___ ．10.（填空题，4分）在等差数列{a n}中，若S10=100，S100=910，S110=___ ．11.（填空题，4分）设函数f（x）= {|sinx|，x＜02x，x≥0，函数g（x）= {lg(−x)，x＜0x2，x≥0，则方程f（x）=g（x）根的数量为___ 个．12.（填空题，4分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n = 7n+36n+2，则使得a2kb k为整数的正整数k有___ 个．13.（填空题，4分）设等差数列{a n}的各项都是正数，公差为d，前n项和为S n，若数列{√S n}也是公差为d的等差数列，则{a n}的前6项和为___ ．14.（填空题，4分）若等差数列{a n}满足a12+a2012≤10，则M=a201+a202+a203+…+a401的最大值为___ ．15.（单选题，3分）已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=5π，则cos（a2+a8）的值为（）A.- 12B.- √32C. 12D. √3216.（单选题，3分）△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a=6，b=2 √3，B，A，C成等差数列，则B=（）A. π6B. 5π6C. π6或5π6D. 2π317.（单选题，3分）若等差数列{a n}和{b n}的公差均为d（d≠0），则下列数列中不为等差数列的是（）A.{λa n}（λ为常数）B.{a n+b n}C.{a n2-b n2}D.{a n•b n}18.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a=15，b=24，A=60°，则这样的三角形解的个数为（）A.1B.2C.0D.不确定19.（单选题，3分）已知函数f(x)=−2tan(π2x+π3)，下列说法中错误的是（）A.函数f（x）的定义域是{x|x≠2k+13，k∈Z}B.函数f（x）图象与直线x=2k+13，k∈Z没有交点C.函数f（x）的单调增区间是(−53+2k，13+2k)，k∈ZD.函数f（x）的周期是220.（单选题，3分）函数y=cos（2x+ π3），x∈[0，π2]的值域为（）A.[0，1]B.[-1，12]C.[- √32，12]D.[- 12，12]21.（单选题，3分）函数y=sinx，x ∈[π2，3π2]的反函数为（）A.y=arcsinx，x∈[-1，1]B.y=-arcsinx，x∈[-1，1]C.y=π+arcsinx，x∈[-1，1]D.y=π-arcsinx，x∈[-1，1]22.（单选题，3分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S=b2+c2-4，a=2，则△ABC外接圆的面积为（）A. π4B. π2C.2πD.4π23.（单选题，3分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+ 2π3），则下面结论正确的是（）A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C224.（单选题，3分）已知f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象关于直线x= π6对称，若存在x1，x2∈R，使得对于任意x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），且|x1-x2|的最小值为π2，则φ等于（）A. π12B. π6C. π4D. π325.（单选题，3分）若等比数列{a n}的前n项和S n=3（2n+m），则a12+a22+…+a n2=（）A. 4n−13B.4n-1C.3（4n-1）D.无法确定} 26.（单选题，3分）已知等差数列{a n}的首项为4，公差为4，其前n项和为S n，则数列{ 1S n的前n项和为（）A. n2(n+1)B. 12n(n+1)C. 2n(n+1)D. 2nn+127.（单选题，3分）已知函数f（x）是定义在R上的单调递减函数，且f（x）为奇函数，数列{a n}是等差数列，a158＞0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a313）+f（a314）+f（a315）的值（）A.恒为负数B.恒为正数C.恒为0D.可正可负28.（单选题，3分）已知函数f（x）=asinx+cosx的一条对称轴为x= π，则函数g（x）11=sinx-acosx的一条对称轴可以为（）A.x= 9π22B.x= 13π22C.x= 10π11D.x= 13π1129.（单选题，3分）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（）A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸30.（单选题，3分）已知等差数列{a n}、{b n}，其前n项和分别为S n、T n，a nb n =2n+33n−1，则S11T11=（）A. 1517B. 2532C.1D.231.（单选题，3分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，若存在m∈N+满足S2mS m =9，a2ma m=5m+1m−1，则数列{a n}的公比为（）A. √2B.2C.3D.432.（单选题，3分）已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A.若a1+a2＞0，则a1+a3＞0B.若a1+a3＞0，则a1+a2＞0C.若a1＞0，则S2021＞0D.若a1＞0，则S2020＞033.（单选题，3分）设等比数列{a n}的公比为q，其前n项之积为T n，并且满足条件：a1＞1，a2019a2020＞1，a2019−1a2020−1＜0，给出下列结论：① 0＜q＜1；② a2019a2021-1＞0；③ T2019是数列{T n}中的最大项；④ 使T n＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（）A. ① ②B. ① ③C. ① ③ ④D. ① ② ③ ④34.（单选题，3分）对于无穷数列{a n}，给出下列命题：（）① 若数列{a n}既是等差数列，又是等比数列，则数列{a n}是常数列．② 若等差数列{a n}满足|a n|≤2020，则数列{a n}是常数列．③ 若等比数列{a n}满足|a n|≤2020，则数列{a n}是常数列．④ 若各项为正数的等比数列{a n}满足1≤a n≤2020，则数列{a n}是常数列．其中正确的命题个数是（）A.1B.2C.3D.435.（问答题，16分）已知函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，满足f（9π）=13-94√2．（1）求a的值；（2）求f（x）的最小正周期；）内恰有2020个根．若存在，求出n （3）是否存在正整数n，使得f（x）=0在区间[0，nπ4的值，若不存在，请说明理由．36.（问答题，18分）已知{a n}，{b n}，前n项和分别记为S n，T n．（1）若{a n}，{b n}都是等差数列，且满足b n-a n=2n，T n=4S n，求S30；（2）若{a n}是等比数列，{b n}是等差数列，b n-a n=2n，a1=1，求T30（3）数列{a n}，{b n}都是等比数列，且满足n≤3时，b n-a n=2n，若符合条件的数列{a n}唯一，则在数列{a n}、{b n}中是否存在相等的项，即a k=b1（k，l∈N*），若存在请找出所有对应相等的项，若不存在，请说明理由．2019-2020学年上海交大附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：36，总分：1501.（填空题，4分）若2arcsin（54 x-2）= π3，则x=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：直接利用反正弦函数的计算法则即可求解结论．【解答】：解：因为2arcsin（54 x-2）= π3，所以sin[arcsin（54 x-2）]= 12，即54 x-2= 12，所以x=2．故答案为：2．【点评】：本题考查反三角函数的应用，反三角函数的运算法则，考查计算能力，是基础题．2.（填空题，4分）在公差d不为零的等差数列{a n}中，a6=17，且a3，a11，a43成等比数列，则d=___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差．【解答】：解：a6=17，即为a1+5d=17，a3，a11，a43成等比数列，可得a3a43=a112，即为（a1+2d）（a1+42d）=（a1+10d）2，化为2d=3a1，解得a1=2，d=3，故答案为：3．【点评】：本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．3.（填空题，4分）已知等比数列{a n}中，a n＞0，a1a6=4，则log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：利用等比数列的性质求得a2a5与a3a4，再利用对数的运算法则求出结果．【解答】：解：∵a1a6=4，∴由等比数列的性质可得：a2a5=a3a4=4，∴log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2（a2a3a4a5）=log216=4．故填：4．【点评】：本题主要考查等比数列的性质与对数的运算，属于基础题．4.（填空题，4分）前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是___ ．【正确答案】：[1]765【解析】：前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列，利用求和公式即可得出．【解答】：解：前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列．令100=2+7（n-1），解得n=15．∴前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和= 15×(2+100)2=765．故答案为：765．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.（填空题，4分）在△ABC中，a2+b2-mc2=0（m为常数），且cosAsinA + cosBsinB= cosCsinC，则m的值是___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：由已知的等式，可得sinAsinBcosC=sin2C，然后根据正弦定理化简得出abcosC=c2，再由余弦定理求出cosC代入化简，即可求出m的值．【解答】：解：∵ cosAsinA + cosBsinB= cosCsinC，∴sinAsinBcosC=sinC•sin（A+B）=sin2C根据正弦定理上式可化简为：abcosC=c2①根据余弦定理可知cosC= a 2+b2−c22ab②由① ② 得a2+b2=3c2∵a2+b2=mc2∴m=3故答案为：3．【点评】：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，把角的关系转化为边的关系，是解题的关键．6.（填空题，4分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，S n为其前n项和，若S4=8，S8=24，则S16=___ ．【正确答案】：[1]120【解析】：由等比数列的性质得：S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等比数列，由此能求出S16．【解答】：解：∵等比数列{a n}的各项都是正数，S n为其前n项和，S4=8，S8=24，由等比数列的性质得：S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等比数列，∴8，24-8，S12-24，S16-S12成等比数列，∴S12-24=32，S16-S12=64，解得S12=56，S16=120．故答案为：120．【点评】：本题考查等比数列的前16项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（填空题，4分）已知函数f（x）=3sinx+4cosx，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）-f（x2）的最大值是___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：本题先将函数f（x）转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值，从而得出结果．【解答】：解：由题意，可知：f（x）=3sinx+4cosx=5•（35 sinx+ 45cosx）=5sin（x+θ），其中sinθ= 45，cosθ= 35．∵sinθ= 45，可知sin π4= √22≤45≤1=sinπ2，∴ π4≤θ≤π2对于函数f（x）=5sin（x+θ），可知：sinx向左平移θ个单位得到sin（x+θ），再将sin（x+θ）的图象沿y轴伸长到原来的5倍得到5sin（x+θ）．由题意，可知求f（x1）-f（x2）的最大值就是求函数f（x）=5sin（x+θ）在区间[0，π]上的最大值与最小值之差．又函数f（x）=5sin（x+θ）在区间[0，π]上的图象如下：由图象可知，在区间[0，π]上，当x= π2−θ时，f（x）取最大值5，当x=π时，f（x）取最小值5sin（π+θ）=-5sinθ=-4．∴在区间[0，π]上，f（x1）-f（x2）的最大值是5-（-4）=9．故答案为：9．【点评】：本题考查了三角函数的转化以及函数图象的变换知识，本题要特别注意细节点不能粗心大意．属中档题．8.（填空题，4分）在△ABC中，角A、B、C所对应边分别为a、b、c，∠ABC=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2 √2，则a+4c的最小值为___【正确答案】：[1]18【解析】：根据三角形面积公式找到a，c的关系，结合基本不等式即可求得最小值．【解答】：解：根据题意，S△ABC= 12 acsinB= 12ac，因为∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2 √2，所以S△ABD= 12×BD×c×sin∠ABD=c，S△CBD= 12×BD×a×sin∠CBD=a，而S△ABC=S△ABD+S△CBD，所以12 ac=c+a，化简得2a+2c=1，则a+4c=（a+4c ）（ 2a + 2c ）=10+2a c+8c a ≥10+2 √2a c×8ca=18， 当且仅当a=2c ，即c=3，a=6时取等号，即最小值为：18． 故答案为：18．【点评】：本题考查了三角函数面积公式的应用，基本不等式在求最值中的用法，属于难题．9.（填空题，4分）已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-12n ，数列{|a n |}的前n 项和T n ，则 Tnn 的最小值___ ． 【正确答案】：[1]5【解析】：根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式，然后利用分组求和法进行求和．【解答】：解：数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-12n ，易知数列{a n }为等差数列． ∴a n =S n -S n-1=2n 2-12n-2（n-1）2-12（n-1）=4n-14， n≥4时，a n ＞0； n≤3时，a n ＜0．∴T n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+…|a n |=-a 1-a 2-a 3+a 4+…a n ， ∴ T n ={−S n =−2n 2+12n ，n ≤3S n −2S 3=2(n 2−6n +18)，n ≥4，n≤3时， T nn=−2n 2+12nn=−2n +12 ，当n=3时， Tnn 的最小值为-2×3+12=6；n≥4时， Tnn =2(n 2−6n+18)n= 2(n +18n−6) ，∵n∈N *，n=4时， Tnn 的最小值为 2(4+184−6)=5 ．综上所述，则 Tnn 的最小值是5．故答案为：5．【点评】：本题主要考查数列通项公式和前n 项和的求解，以及含绝对值的前n 项和的求解，做题时注意n 必须为正整数，属于中档题．10.（填空题，4分）在等差数列{a n }中，若S 10=100，S 100=910，S 110=___ ． 【正确答案】：[1]990【解析】：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 10=100，S 100=910，利用求和公式可得：10a 1+10×92 d=100，100a 1+ 100×992d=910，解得a 1，d ，即可得出．【解答】：解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 10=100，S 100=910， ∴10a 1+10×92 d=100，100a 1+ 100×992 d=910， 解得a 1= 1009100 ，d=- 150 ， S 110=110× 1009100 - 150 × 110×1092=990， 故答案为：990．【点评】：本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11.（填空题，4分）设函数f （x ）= {|sinx |，x ＜02x ，x ≥0 ，函数g （x ）= {lg (−x )，x ＜0x 2，x ≥0，则方程f （x ）=g （x ）根的数量为___ 个． 【正确答案】：[1]7【解析】：分别作函数f （x ）与g （x ）的图象，转化为图象的交点，从而利用数形结合的方法求解．【解答】：解：作函数f （x ）=）= {|sinx |，x ＜02x ，x ≥0 与g （x ）= {lg (−x )，x ＜0x 2，x ≥0的图象如下，，结合图象可知，y=|sinx|与y=lg （-x ）在（-∞，0）上有5个交点， 在[0，+∞）上，y=x 2与y=2x 有两个交点， 分别为（2，4），（4，16）；故方程f （x ）=g （x ）根的个数为7个； 故答案为：7．【点评】：本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，注意基本初等函数的图象的作法及图象变换．12.（填空题，4分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n = 7n+36n+2，则使得a2kb k为整数的正整数k有___ 个．【正确答案】：[1]3【解析】：两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n = 7n+36n+2，不妨设S n=n（7n+36），T n=n（n+2），n≥2时，a n=S n-S n-1=14n+29，n=1时也成立．同理可得：b n=2n+1．可得：a2kb k =14+ 152k+1，进而得出结论．【解答】：解：两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n = 7n+36n+2，不妨设S n=n（7n+36），T n=n（n+2），n≥2时，a n=S n-S n-1=n（7n+36）-（n-1）（7n+29）=14n+29，n=1时也成立．同理可得：b n=2n+1．a2k b k = 28k+292k+1=14+ 152k+1，只有2k+1=3，5，15，即k=1，2，7时，使得a2kb k为整数．故答案为：3．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、整除理论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.（填空题，4分）设等差数列{a n}的各项都是正数，公差为d，前n项和为S n，若数列{√S n}也是公差为d的等差数列，则{a n}的前6项和为___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：由题意可得，化简，n≠1时可得：a1=（n-1）d2+2 √a1 d- n2d．分别令n=2，3，解得即可．【解答】：解：由题意可得：S n=na1+ n(n−1)2d，a n＞0，√S n = √a1 +（n-1）d，可得：S n=a1+（n-1）2d2+2 √a1（n-1）d．∴na1+ n(n−1)2d=a1+（n-1）2d2+2 √a1（n-1）d．n≠1时可得：a1=（n-1）d2+2 √a1 d- n2d．分别令n=2，3，可得：a1=d2+2 √a1 d-d，a1=2d2+2 √a1 d- 32d．解得a1= 14，d= 12．∴S6=6× 14 + 12×5×6× 12=9．故答案为：9【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.（填空题，4分）若等差数列{a n}满足a12+a2012≤10，则M=a201+a202+a203+…+a401的最大值为___ ．【正确答案】：[1]1005【解析】：令a1=m，a201=n，将M=a201+a202+a203+…+a401转化为求关于m和n的式子最值，根据圆与直线的位置关系，求得32n−12m的最值，代入即可得结果．【解答】：解：∵a12+a2012≤10，令a1=m，a201=n，即m2+n2≤10，等差数列{a n}中，d= n−m200，M=a201+a202+a203+…+a401=（401-201+1）• a201+a4012=201a301=201（m+300d）=201（m+300 •n−m200）=201（m+ 3n2−32m）=201（32n−12m），令p= 32n−12m，则m-3n-2p=0，可得圆m2+n2=10上一点（m，n）也在直线m-3n-2p=0，即圆心到直线m-3n-2p=0的距离小于等于半径，∴ d=√12+(−3)2≤r=√10，解得p≤5，∴M=a201+a202+a203+…+a401≤201×5=1005．故答案为：1005．【点评】：本题考查了等差数列的求和公式，考查了点到直线的位置关系，属于综合考查类题目，需要学生有综合分析的能力和转化的思想，属于中档题．15.（单选题，3分）已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=5π，则cos（a2+a8）的值为（）A.- 12B.- √32C. 12D. √32【正确答案】：A【解析】：利用等差数列的性质和三角函数的诱导公式即可求出．【解答】：解：∵{a n}为等差数列，∴a1+a9=2a5，∵a1+a5+a9=5π，∴3a5=5π，∴a5= 5π3，∴cos（a2+a8）=cos（2a5）=cos 10π3 =- 12故选：A．【点评】：本题考查了等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质和三角函数的诱导公式是解题的关键．16.（单选题，3分）△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a=6，b=2 √3，B，A，C成等差数列，则B=（）A. π6B. 5π6C. π6或5π6D. 2π3【正确答案】：A【解析】：由B，A，C成等差数列，利用三角形内角和定理求出A的值，再利用正弦定理求出sinB和B的值．【解答】：解：△ABC中，由B，A，C成等差数列，则2A=B+C=π-A，解得A= π3；所以sinB= bsinAa = 2√3×√326= 12，又a＞b，所以B为锐角．所以B= π6．故选：A．【点评】：本题考查了正弦定理与等差数列的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．17.（单选题，3分）若等差数列{a n}和{b n}的公差均为d（d≠0），则下列数列中不为等差数列的是（）A.{λa n}（λ为常数）B.{a n+b n}C.{a n2-b n2}D.{a n•b n}【正确答案】：D【解析】：运用等差数列的定义和通项公式，对选项一一判断差是否为常数，即与n无关，即可判断．【解答】：解：等差数列{a n}和{b n}的公差均为d（d≠0），对于A，由λa n+1-λa n=λ（a n+1-a n）=λd为常数，则该数列为等差数列；对于B，由a n+1+b n+1-a n-b n=（a n+1-a n）+（b n+1-b n）=2d为常数，则该数列为等差数列；对于C，由a n+12-b n+12-（a n2-b n2）=（a n+1-a n）（a n+1+a n）-（b n+1-b n）（b n+1+b n）=d（2a1+（2n-1）d）-d（2b1+（2n-1）d）=2d（a1-b1）为常数，则该数列为等差数列；对于D，由a n+1b n+1-a n b n=（a n+d）（b n+d）-a n b n=d2+d（a n+b n）不为常数，则该数列不为等差数列．故选：D．【点评】：本题考查等差数列的定义和通项公式，注意定义法的运用，考查判断能力和推理能力，属于基础题．18.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a=15，b=24，A=60°，则这样的三角形解的个数为（）A.1B.2C.0D.不确定【正确答案】：C【解析】：利用正弦定理求得sinB 的值，再根据三角函数的有界性判断B 的值不存在，即三角形无解．【解答】：解：△ABC 中，a=15，b=24，A=60°， 由正弦定理得， 15sin60° = 24sinB ， ∴sinB= 85 sin60°= 85 × √32 ≈1.39＞1， ∴B 的值不存在，此三角形无解． 故选：C ．【点评】：本题考查了利用正弦定理解三角形的应用问题，是基础题．19.（单选题，3分）已知函数 f (x )=−2tan (π2x +π3) ，下列说法中错误的是（ ） A.函数f （x ）的定义域是 {x|x ≠2k +13，k ∈Z} B.函数f （x ）图象与直线 x =2k +13，k ∈Z 没有交点 C.函数f （x ）的单调增区间是 (−53+2k ，13+2k)，k ∈Z D.函数f （x ）的周期是2 【正确答案】：C【解析】：利用正切函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】：解：已知函数f （x ）=-tan （ π2 x+ π3 ），则 π2 x+ π3 ≠ π2 +kπ，k∈Z ；∴函数的定义域为{x |x≠2k+ 13 ，k∈Z}；故A 正确；B 正确；函数f （x ）的单调减区间是 (−53+2k ，13+2k)，k ∈Z ，故C 错误； 函数f （x ）的周期是T= ππ2=2，故D 正确．所以说法错误的是：C ； 故选：C ．【点评】：本题主要考查正切函数的图象和性质，命题真假判断，属于中档题． 20.（单选题，3分）函数y=cos （2x+ π3 ），x∈[0， π2 ]的值域为（ ） A.[0，1] B.[-1， 12 ] C.[- √32 ， 12 ]D.[- 12，12]【正确答案】：B【解析】：先根据x的范围，求出2x+ π3的范围，再借助于余弦函数的性质即可求解结论．【解答】：解：∵x∈[0，π2]，∴2x+ π3∈[ π3，4π3]，∴y=cos（2x+ π3）∈[-1，12]．故选：B．【点评】：本题考查了余弦函数的定义域和值域的求法，属于基础题．21.（单选题，3分）函数y=sinx，x ∈[π2，3π2]的反函数为（）A.y=arcsinx，x∈[-1，1]B.y=-arcsinx，x∈[-1，1]C.y=π+arcsinx，x∈[-1，1]D.y=π-arcsinx，x∈[-1，1] 【正确答案】：D【解析】：由于x ∈[π2，3π2]时，-1≤sinx≤1，而arcsinx，x∈[-1，1]，表示在区间[- π2，π2]上，正弦值等于x的一个角，从而得到函数y=sinx，x ∈[π2，3π2]的反函数．【解答】：解：由于x ∈[π2，3π2]时，-1≤sinx≤1，而arcsinx，x∈[-1，1]，表示在区间[- π2，π2]上，正弦值等于x的一个角，故函数y=sinx，x ∈[π2，3π2]的反函数为y=π-arcsinx，x∈[-1，1]，故选：D．【点评】：本题主要考查反正弦函数的定义，求一个函数的反函数，属于中档题．22.（单选题，3分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S=b2+c2-4，a=2，则△ABC外接圆的面积为（）A. π4B. π2C.2πD.4π【正确答案】：C【解析】：由已知利用三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可得tanA=1，结合范围A∈（0，π），可求A= π4 ，利用正弦定理可求△ABC 外接圆的半径即可求△ABC 外接圆的面积．【解答】：解：∵△ABC 的面积为S ，且4S=b 2+c 2-4，a=2， ∴可得：4S=b 2+c 2-a 2，∴4× 12bcsinA=2bccosA ，可得：tanA=1， ∵A∈（0，π）， ∴A= π4 ，∴则△ABC 外接圆的半径R= a2sinA =2×√22= √2 ，∴则△ABC 外接圆的面积S=πR 2=2π． 故选：C ．【点评】：本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．23.（单选题，3分）已知曲线C 1：y=cosx ，C 2：y=sin （2x+ 2π3 ），则下面结论正确的是（ ）A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π6 个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π12 个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 12 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π6 个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 12 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π12 个单位长度，得到曲线C 2 【正确答案】：D【解析】：利用诱导公式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】：解：曲线C2：y=sin（2x+ 2π3）=cos（2x+ π6），把C1：y=cosx上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y=cos2x的图象；再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，可以得到曲线C2：y=cos（2x+ π6）=sin（2x+ 2π3）的图象，故选：D．【点评】：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．24.（单选题，3分）已知f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象关于直线x= π6对称，若存在x1，x2∈R，使得对于任意x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），且|x1-x2|的最小值为π2，则φ等于（）A. π12B. π6C. π4D. π3【正确答案】：B【解析】：由题意可得函数的半周期，代入周期公式求得ω，再利用正弦函数的单调性，结合φ的范围即可求得φ值．【解答】：解：对于函数f（x）=2sin（ωx+φ），∵对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），且|x1-x2|的最小值为π2．∴ T 2 = π2，则T=π，∴ω= 2πT = 2ππ=2，可得f（x）=2sin（2x+φ），又∵f（x）=2sin（ωx+φ）的图象关于直线x= π6对称，∴2× π6+φ=2kπ+ π2，k∈Z，可得φ=2kπ+ π6，k∈Z，∵0＜φ＜π2，∴φ= π6，故选：B．【点评】：本题考查正弦函数的图象和性质，考查了函数思想和数形结合思想的应用，属于基础题．25.（单选题，3分）若等比数列{a n}的前n项和S n=3（2n+m），则a12+a22+…+a n2=（）A. 4n−13B.4n-1C.3（4n-1）D.无法确定【正确答案】：C【解析】：等比数列{a n}的前n项和S n=3（2n+m），求出a1=S1=3（2+m）=6+3m，a2=S2-S1=6，a3=S3-S2=12，由a1，a2，a3是等比数列，解得m=-1，从而a n=3×2n-1．进而a n2=9×4n-1，由此能求出a12+a22+…+a n2．【解答】：解：∵等比数列{a n}的前n项和S n=3（2n+m），∴a1=S1=3（2+m）=6+3m，a2=S2-S1=3（22+m）-3（2+m）=6，a3=S3-S2=3（23+m）-3（22+m）=12，∵a1，a2，a3是等比数列，∴ a22=a1a3，∴36=12（6+3m），解得m=-1，∴a n=3×2n-1．∴ a n2 =9×4n-1，=3（4n-1）．则a12+a22+…+a n2= 9(1−4n)1−4故选：C．【点评】：本题考查等比数列的各项的平方的和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．} 26.（单选题，3分）已知等差数列{a n}的首项为4，公差为4，其前n项和为S n，则数列{ 1S n的前n项和为（）A. n2(n+1)B. 12n(n+1)C. 2n(n+1)D. 2nn+1【正确答案】：A【解析】：利用等差数列的前n项和即可得出S n，再利用“裂项求和”即可得出数列 { 1S n}的前n项和．【解答】：解：∵S n=4n+ n(n−1)2×4 =2n2+2n，∴ 1 S n =12n2+2n=12(1n−1n+1)．∴数列 { 1S n }的前n项和= 12[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)] = 12(1−1n+1) = n 2(n+1)．故选：A．【点评】：熟练掌握等差数列的前n项和公式、“裂项求和”是解题的关键．27.（单选题，3分）已知函数f（x）是定义在R上的单调递减函数，且f（x）为奇函数，数列{a n}是等差数列，a158＞0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a313）+f（a314）+f（a315）的值（）A.恒为负数B.恒为正数C.恒为0D.可正可负【正确答案】：A【解析】：由函数f（x）是R上的奇函数且是减函数，可得：f（0）=0，且当x＞0，f（x）＜0；当x＜0，f（x）＞0．∵由列{a n}是等差数列，a158＞0，故f（a158）＜0．再根据a1+a315=2a158＞0，可得f（a1）+f（a315）＜0．……，进而得出结论．【解答】：解：∵函数f（x）是R上的奇函数且是减函数，∴f（0）=0，且当x＞0，f（x）＜0；当x＜0，f（x）＞0．∵数列{a n}是等差数列，a158＞0，故f（a158）＜0．再根据 a1+a315=2a158＞0，∴f（a1）+f（a315）＜0．同理可得，f（a2）+f（a314）＜0，f（a3）+f（a313）＜0，…，∴f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a315）＜0，故选：A．【点评】：本题考查了等差数列的性质、函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．28.（单选题，3分）已知函数f （x ）=asinx+cosx 的一条对称轴为x= π11 ，则函数g （x ）=sinx-acosx 的一条对称轴可以为（ ） A.x= 9π22 B.x= 13π22 C.x= 10π11 D.x=13π11 【正确答案】：B【解析】：利用辅助角公式分别将f （x ）和g （x ）进行化简，结合正弦函数和余弦函数的对称性进行求解即可．【解答】：解：f （x ）= √a 2+1 （ √a 2+1sinx+√a 2+1cosx ），令cosθ=√a 2+1，sinθ=√a 2+1则f （x ）= √a 2+1 （sinxcosθ+cosxsinθ）= √a 2+1 sin （x+θ）， ∵f （x ）的一条对称轴为x= π11， ∴ π11+θ=kπ+ π2，即θ=kπ+ 9π22 ，k∈Z ， g （x ）=sinx-acosx= √a 2+1 （ √a 2+1sinx-√a 2+1cosx ）= √a 2+1 （sinxsinθ-cosxcosθ）=-√a 2+1 cos （x+θ）， 由x+θ=mπ，m∈Z ，得x=mπ-θ=mπ-kπ+ 9π22 =（m-k ）π- 9π22 ，m ，k∈Z ， 当m-k=1时，对称轴为x=π- 9π22 = 13π22 ， 故选：B ．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．难度中等．29.（单选题，3分）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A.一尺五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸D.四尺五寸 【正确答案】：B【解析】：由题意结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．【解答】：解：由题意可知，日影长构成等差数列，设为{a n }， 则 {a 1+a 4+a 7=31.59a 1+36d =85.5解可得，d=-1，a 1= 272 ， 根据题意即求a 12= 272−11 =2.5 故选：B ．【点评】：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题求解中的应用，属于基础试题．30.（单选题，3分）已知等差数列{a n }、{b n }，其前n 项和分别为S n 、T n ， a n b n=2n+33n−1 ，则 S11T 11=（ ） A. 1517B. 2532C.1D.2【正确答案】：A 【解析】：S 11= 11(a 1+a 11)2 =11a 6，同理可得：T 11=11b 6．即可得出 S 11T 11 = a 6b 6．【解答】：解：S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6， 同理可得：T 11=11b 6． ∴S 11T 11 = 11a 611b 6 = a 6b 6 = 2×6+33×6−1 = 1517． 故选：A ．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．31.（单选题，3分）已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m∈N +满足 S 2m S m=9， a2m a m=5m+1m−1，则数列{a n }的公比为（ ）A. √2B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：利用等比数列的通项公式及前n项和公式即可得出．【解答】：解：设等比数列{a n}的公比为q．当公比q≠1时，∵存在m∈N+满足S2mS m=9，∴ a1(q2m−1)q−1a1(q m−1)q−1=9，∴q m+1=9，∴q m=8．又a2ma m = 5m+1m−1，∴ a1q2m−1a1q m−1= 5m+1m−1，即q m= 5m+1m−1=8，解得m=3．∴q3=8，解得q=2．q=1不满足题意．故选：B．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．32.（单选题，3分）已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A.若a1+a2＞0，则a1+a3＞0B.若a1+a3＞0，则a1+a2＞0C.若a1＞0，则S2021＞0D.若a1＞0，则S2020＞0【正确答案】：C【解析】：利用等比数列的性质直接求解．【解答】：解：由数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，知：在A中，若a1+a2＞0，则a1+a3可能小于0，例如等差数列-3，6，-12，24，……中，a1+a2=-3+6=3＞0，则a1+a3=-3-12=-15＜0，故A错误；在B中，若a1+a3＞0，则a1+a2可能小于0，例如等差数列3，-6，12，-24，……中，a1+a3=3+12=15＞0，则a1+a2=3-6=-3＜0，故B错误；＞0，在C中，∵a1＞0，∴当q＜0时，S2021= a1(1−q2021)1−q＞0，当0＜q＜1时，S2021= a1(1−q2021)1−q当q=1时，S2021=2021a1＞0，＞0，故C正确；当q＞1时，S2021= a1(1−q2021)1−q有可能小于或等于0，在D中，∵a1＞0，∴当q≠1时，S2020= a1(1−q2020)1−q=0，例如q=-1时，S2020= a1(1−q2020)1−q＜0，故D错误．q＜-1时，S2020= a1(1−q2020)1−q故选：C．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．33.（单选题，3分）设等比数列{a n}的公比为q，其前n项之积为T n，并且满足条件：a1＞1，a2019a2020＞1，a2019−1＜0，给出下a2020−1列结论：① 0＜q＜1；② a2019a2021-1＞0；③ T2019是数列{T n}中的最大项；④ 使T n＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（）A. ① ②B. ① ③C. ① ③ ④D. ① ② ③ ④【正确答案】：B【解析】：由题意可得a2019＞1，a2020＜1，结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案．＜0，【解答】：解：∵a1＞1，a2019a2020＞1，a2019−1a2020−1∴a2019＞1，a2020＜1．∴0＜q＜1，故① 正确；a2019a2021= a20202＜1，∴a2019a2021-1＜0，故② 不正确；∵a2020＜1，∴T2019是数列{T n}中的最大项，故③ 正确；T4039=a1a2•…•a4038•a4039= a20204039＜1，T4038=a1a2•…•a4037•a4038= (a2019a2020)2019＞1，∴使T n＞1成立的最大自然数等于4038，故④ 不正确．∴正确结论的序号是① ③ ．故选：B．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．34.（单选题，3分）对于无穷数列{a n}，给出下列命题：（）① 若数列{a n}既是等差数列，又是等比数列，则数列{a n}是常数列．② 若等差数列{a n}满足|a n|≤2020，则数列{a n}是常数列．③ 若等比数列{a n}满足|a n|≤2020，则数列{a n}是常数列．④ 若各项为正数的等比数列{a n}满足1≤a n≤2020，则数列{a n}是常数列．其中正确的命题个数是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：C【解析】：根据等差，等比数列的定义即可判断各选项的真假．【解答】：解：对于① ，设数列{a n}的首项为a1（a1≠0），公差为d，公比为q（q≠0），依定义有，2a2=a1+a3，即2a1q=a1+a1q2，解得q=1，所以① 正确；对于② ，若公差d＞0，等差数列{a n}是递增数列，存在n=N，当n＞N时，|a N|＞2020，若公差d＜0，等差数列{a n}是递减数列，存在n=N，当n＞N时，|a N|＞2020，所以d=0，即② 正确；）n，满足|a n|≤2020，但是数列{a n}不是常数列，所以③ 对于③ ，若等比数列{a n}，a n=（12错误；对于④ ，若各项为正数的等比数列{a n}满足1≤a n≤2020，设公比为q（q＞0），当0＜q＜1时，等比数列为递减数列，所以存在n=N，当n＞N时，a n＜1，当q＞1时，等比数列为递增数列，所以存在n=N，当n＞N时，a n＞2020，所以q=1，即④ 正确．故选：C．【点评】：本题主要考查数列的定义，单调性的应用，以及无穷数列的性质应用，属于中档题．）=13-9 35.（问答题，16分）已知函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，满足f（9π4√2．（1）求a的值；（2）求f（x）的最小正周期；）内恰有2020个根．若存在，求出n （3）是否存在正整数n，使得f（x）=0在区间[0，nπ4的值，若不存在，请说明理由．【正确答案】：时f（x）的值，从而解得a的值；【解析】：（1）计算x= 9π4（2）根据f（x+π）=f（x），求得f（x）的一个周期为π，再结合反证法证明π是最小正周期；（3）根据f（x）的最小正周期为π，先分类讨论求出函数在一个周期内有多少个零点，进而分析判断求解．【解答】：解：（1）函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，，得√2 a+4+9=13-9 √2，解得a=-9；令x= 9π4（2）f（x+π）=-9[|sin（x+π）|+|cos（x+π）|]+4sin2（x+π）+9=-9（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9=f（x），所以，π是函数f（x）的一个周期．下证π是 f（x）的最小正周期：（反证法），假设存在 0＜T＜π，使得 f（x+T）=f（x）对x∈R 恒成立，取 x=0，则 f（T）=f（0）=0，即 4sin2T+9-9（|sinT|+|cosT|）=0（*）)，t∈[1，√2]，则sin2T=t2-1令t=sinT+cosT=√2sin(T+π4；于是（*）式即 4（t2-1）+9-9t=0，解得 t=1 或t=54，由 t=1，可解得T=π2由t=54可解得T=arcsin5√28−π4∈(0，π4)或T=3π4−arcsin5√28∈(π4，π2)当T∈(π2，π)时，4sin2T+9-9（sinT-cosT）=0 令t=sinT−cosT=√2sin(T−π4)，t∈(1，√2]，则sin2T=1-t2，于是（*）式即 4（1-t2）+9-9r=0，解得 t=1 （舍）或t=−134（舍）∴T 的可能值为T=π2或T=arcsin5√28−π4或T=3π4−arcsin5√28，检验：① T=π2时，f(π4)=13−9√2，f(−π4)=5−9√2≠f(π4)，∴ T=π2不是 f（x）的周期，② T=arcsin5√28−π4时，f（T）=0，f（T）+f（-T）=18-18cosT⇒f（-T）≠0，即 f（-T）≠f（T），∴ T=arcsin5√28−π4不是 f（x）的周期；③ T=3π4−arcsin5√28时，f（T）=0，f（T）+f（-T）=18-18sinT⇒f（-T）≠0，即 f（-T）≠f（T），∴ T=3π4−arcsin5√28不是 f（x）的周期；假设不成立，故π是 f（x）的最小正周期．（3）当x∈[0，π2]时，f（x）=4sin2x+9-9（sinx+cosx）令t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，t∈[1，√2]，则sin2x=t2-1于是 f（x）=0⇒4t2-9t+5=0，得 t=1 或t=54∈[1，√2]由 t=1，可解得 x=0 或x=π2，由t=54，可解得x=arcsin5√28−π4∈(0，π4)或x=3π4−arcsin5√28∈(π4，π2)当x∈(π2，π)时，f（x）=4sin2x+9-9（sinx-cosx）令t=sinx−cosx=√2sin(x−π4)，t∈(1，√2]，则sin2x=1-t2，于是 f（x）=0⇒4t2+9t-13=0，得 t=1 或t=−134∉(1，√2]，∴f（x）=0 在x∈(π2，π)无解综上，f（x）=0 在[kπ，kπ+π2](k∈Z)上有4个根，在[kπ，kπ+π）（k∈Z）上有4个根，在[kπ，kπ+π]（k∈Z）上有5个根，而 2020=4×505，∴f（x）=0 在[0，1009π2]内有2020个根，在[0，505π]内有2020个根，在[0，505π]内有2021个根由题意，1009π2＜nπ4⩽505π⇒2018＜n⩽2020，又n∈N*∴n=2019 或 n=2020．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．36.（问答题，18分）已知{a n}，{b n}，前n项和分别记为S n，T n．（1）若{a n}，{b n}都是等差数列，且满足b n-a n=2n，T n=4S n，求S30；（2）若{a n}是等比数列，{b n}是等差数列，b n-a n=2n，a1=1，求T30（3）数列{a n}，{b n}都是等比数列，且满足n≤3时，b n-a n=2n，若符合条件的数列{a n}唯一，则在数列{a n}、{b n}中是否存在相等的项，即a k=b1（k，l∈N*），若存在请找出所有对应相等的项，若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，分别令n=1，n=2，运用等差数列的通项公式可得a1，d，由等差数列的求和公式可得所求和；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，由等比数列的通项公式和等差数列的性质，可得q=1，求得b n，进而得到所求和；（3）设数列{a n}的公比为q1，数列{b n}的公比为q2，分别令n=1，2，3，运用等比数列的通项公式和性质，转化为a1，q1的方程，将上式中的a1看做常数，q1为变量，方程（*）的根或是相等的实根，或其中一个为0，求得首项和公比，运用等比数列的通项公式，化简整理，可得所求项．【解答】：解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，且满足b n-a n=2n，T n=4S n，可得b1-a1=2，b2-a2=4，T1=4S1，即b1=4a1，解得a1= 23，b1= 83，T2=4S2，即b1+b2=4（a1+a2），即83 +4+a2=4（23+a2），解得a2= 43，即d=a2-a1= 23，可得a n= 23 + 23（n-1）= 23n，则S30= 12×30×（23+ 603）=310；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，b n-a n=2n，a1=1，可得a n=q n-1，b n=2n+q n-1，则q=1，（若q≠1，则{b n}不为等差数列）则b n=2n+1，T30= 12×30×（3+61）=960；。
2023-2024学年天津市河西区高一上册期末数学试题(含解析)
2
2
2
2
3
sin
2 x
π 3
，
所以 T π ；
【小问 2 详解】
故选：C.
7. 设 a ， b ， c 都是正数，且 3a 4b 6c ，那么（ ）
A. 1 1 1
B. 2 2 1
C. 1 2 2
D.
c ab
c ab
c ab
212 c ab
【正确答案】B
【分析】令 3a 4b 6c M ，根据指数与对数的关系将指数式化为对数式，再由换底公
式及对数的运算法则计算可得.
因为
f
( 4
)
2 sin 4
1 | |
2 1
0 ，所以排除 C
4
4
故选：A
本题主要考查了函数图像的识别，属于中等题.
9.
下述四条性质：①最小正周期是 π ，②图象关于直线 x
π 3
对称，③图象关于点
π 12
,
0
对
称，④在
-
π 6
,
π 3
上是增函数.下列函数同时具有上述性质的一个函数是（
所以 为第二象限角， tan 0 ，
1
由三角函数的定义可得 tan
2 3
3 3 ，故答案为
3. 3
2
本题主要考查任意角的正切函数值,意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.
12. 函数 y log0.5 4x 3 的定义域为_________.
【正确答案】{x | 3 x 1} 4
32 42
logM 144 ，
所以 1 2 2 ，故 C 错误； c ab
对于
D：
1 a
2020-2021学年天津市河西区高一上学期期中数学试卷(Word版 含解析)
2020-2021学年天津市河西区高一（上）期中数学试卷一、选择题（共9小题）.1．（4分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩（∁U B）＝（）A．{5}B．{2，4}C．{2，4，5，6}D．{1，2，3，4，5，7}2．（4分）设p：“两个三角形相似”，q：“两个三角形的三边成比例”，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（4分）命题p：“∃n∈N，则n2＞2n”的否定是（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∀n∈N，n2＜2n 4．（4分）下列不等式中成立的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＜5．（4分）一元二次不等式﹣x2+2x﹣3＞0的解集是（）A．∅B．（﹣3，1）C．（﹣1，3）D．（﹣3，﹣1）6．（4分）下列函数中与函数y＝x相等的函数是（）A．B．C．D．7．（4分）函数f（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|的最大值和最小值分别是（）A．4和0B．4和﹣4C．0和﹣4D．既无最大值，也无最小值8．（4分）已知奇函数y＝f（x）在（﹣∞，0）为减函数，且f（2）＝0，则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集为（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1}B．{x|﹣3＜x＜1或x＞2}C．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}D．{x|﹣1＜x＜1或1＜x＜3}9．（4分）已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（x+1）|＜1的解集的补集是（）A．（﹣1，2）B．（1，4）C．（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）二、填空题（共6小题）.10．已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁A（A∪B）＝．11．幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则f（x）的解析式为．12．函数f（x）＝的定义域是．13．已知实数x＞0，则2﹣3x﹣的最大值是．14．若不等式ax2+2x+a＜0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．15．已知函数f（x）是定义在[﹣2b，b+1]上的偶函数，且在[﹣2b，0]上单调递增，则f（x ﹣1）≤f（2x）的解集为．三、解答题：本大题共3小题，共34.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（10分）已知a，b＞0，且ab＝a+b+3．（Ⅰ）求ab的取值范围；（Ⅱ）求4a+b的最小值，并求取得最小值时a，b的值．17．（12分）已知函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8．（Ⅰ）若函数f（x）满足f（x﹣）＝f（﹣x﹣），求k的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[5，20]上具有单调性，求实数k的取值范围．18．（12分）某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期望电价为0.4元/kW•h经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）．该地区电力的成本为0.3元/kW•h．（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；（2）设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？（注：收益＝实际用电量×（实际电价﹣成本价））参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩（∁U B）＝（）A．{5}B．{2，4}C．{2，4，5，6}D．{1，2，3，4，5，7}【分析】由全集U及集合B，找出不属于B的元素，确定出B的补集，找出A和B补集的公共元素，即可确定出所求的集合．解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，B＝{1，3，5，7}，∴∁U B＝{2，4，6}，又A＝{2，4，5}，则A∩（∁U B）＝{2，4}．故选：B．2．（4分）设p：“两个三角形相似”，q：“两个三角形的三边成比例”，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据所给命题，判断出能否得到p⇔q，从而得到p是否为q的充要条件，得到答案．解：两个三角形相似⇔两个三角形的三边对应成比例，故p是q的充要条件，故选：C．3．（4分）命题p：“∃n∈N，则n2＞2n”的否定是（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∀n∈N，n2＜2n 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题为特称命题，则命题p：“∃n∈N，则n2＞2n”的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．4．（4分）下列不等式中成立的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＜【分析】利用不等式的基本性质即可得出．解：A．c＝0时不成立；B．成立．C．a＜b＜0，则a2＞ab＞b2．因此不成立．D．a＜b＜0，则＞．因此不成立．故选：B．5．（4分）一元二次不等式﹣x2+2x﹣3＞0的解集是（）A．∅B．（﹣3，1）C．（﹣1，3）D．（﹣3，﹣1）【分析】配方，可得﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2＜0，从而得解．解：因为﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2≤﹣2＜0恒成立，所以不等式的解集为∅．故选：A．6．（4分）下列函数中与函数y＝x相等的函数是（）A．B．C．D．【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．解：对于A，函数y＝＝|x|的对应法则与y＝x不相同，不是相等函数；对于B，函数y＝＝x（x∈R），定义域和对应法则与y＝x相同，是相等函数；对于C，函数y＝＝x（x≥0），定义域与y＝x不相同，不是相等函数；对于D，函数f（x）＝＝x（x≠0），定义域与y＝x不相同，不是相等函数．故选：B．7．（4分）函数f（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|的最大值和最小值分别是（）A．4和0B．4和﹣4C．0和﹣4D．既无最大值，也无最小值【分析】通过对x＜﹣1，当﹣1≤x≤3与x＞3的讨论，将函数f（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|中的绝对值符号去掉，求得该函数的值域，从而可得答案．解：∵f（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|，∴当x＜﹣1时，x﹣3＜﹣4＜0，x+1＜0，f（x）＝﹣（x﹣3）﹣[﹣（x+1）]＝3﹣x+x+1＝4；当﹣1≤x≤3时，x﹣3≤0，x+1≥0，f（x）＝﹣（x﹣3）﹣（x+1）＝﹣x+3﹣x﹣1＝﹣2x+2；∴f（x）在x＝﹣1时取最大值f（x）max＝﹣2×（﹣1）+2＝4；在x＝3时取最小值f（x）min＝﹣2×3+2＝﹣4；当x＞3时，x﹣3＞0，x+1＞0，f（x）＝（x﹣3）﹣（x+1）＝﹣4；终上所述：f（x）＝．其值域是[﹣4，4]，即最小值是﹣4，最大值是4．故选：B．8．（4分）已知奇函数y＝f（x）在（﹣∞，0）为减函数，且f（2）＝0，则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集为（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1}B．{x|﹣3＜x＜1或x＞2}C．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}D．{x|﹣1＜x＜1或1＜x＜3}【分析】首先由奇函数的图象关于原点对称及f（x）在（﹣∞，0）为减函数且f（2）＝0画出f（x）的草图，然后由图形的直观性解决问题．解：由题意画出f（x）的草图如下，因为（x﹣1）f（x﹣1）＞0，所以（x﹣1）与f（x﹣1）同号，由图象可得﹣2＜x﹣1＜0或0＜x﹣1＜2，解得﹣1＜x＜1或1＜x＜3，故选：D．9．（4分）已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（x+1）|＜1的解集的补集是（）A．（﹣1，2）B．（1，4）C．（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）【分析】因为A（0，﹣1），B（3，1）是函数f（x）图象上的两点，可知f（0）＝﹣1，f（3）＝1，所以不等式|f（x+1）|＜1可以变形为﹣1＜f（x+1）＜1，即f（0）＜f（x+1）＜f（3），再根据函数f（x）是R上的增函数，去函数符号，得0＜x+1＜3，解出x的范围就是不等式|f（x+1）|＜1的解集M，最后求M在R中的补集即可．解：不等式|f（x+1）|＜1可变形为﹣1＜f（x+1）＜1，∵A（0，﹣1），B（3，1）是函数f（x）图象上的两点，∴f（0）＝﹣1，f（3）＝1，∴﹣1＜f（x+1）＜1等价于不等式f（0）＜f（x+1）＜f（3），又∵函数f（x）是R上的增函数，∴f（0）＜f（x+1）＜f（3）等价于0＜x+1＜3，解得﹣1＜x＜2，∴不等式|f（x+1）|＜1的解集M＝（﹣1，2），∴其补集∁R M＝（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分请将答案填在题中横线上.10．已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁A（A∪B）＝∅．【分析】根据条件先求出A∪B，然后再求出∁A（A∪B）即可．解：∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，∴A∪B＝{x|2＜x＜10}，∴∁A（A∪B）＝∅．故答案为：∅．11．幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则f（x）的解析式为．【分析】由题意设幂函数y＝f（x）＝x a，从而解得a．解：设y＝f（x）＝x a，则2a＝，故a＝﹣，故答案为：．12．函数f（x）＝的定义域是[4，5）∪（5，+∞）．【分析】利用分式的分母不等于0．偶次根式的被开方数大于或等于0，解方程组求得自变量的取值范围．解：由，解可得x≥4 且，x≠±5，故函数的定义域为[4，5）∪（5，+∞），故答案为[4，5）∪（5，+∞）．13．已知实数x＞0，则2﹣3x﹣的最大值是2﹣2．【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．解：x＞0，则2﹣3x﹣＝2﹣（3x+）＝2﹣2，当且仅当3x＝即x＝时取等号，此时取得最大值2﹣2．故答案为：2﹣2．14．若不等式ax2+2x+a＜0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．【分析】依题意可得a＜0且4﹣4a2＜0，解之即可得到答案．解：∵不等式ax2+2x+a＜0对任意x∈R恒成立，∴a＜0且4﹣4a2＜0，解得：a＜﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1），故答案为：（﹣∞，﹣1）．15．已知函数f（x）是定义在[﹣2b，b+1]上的偶函数，且在[﹣2b，0]上单调递增，则f（x ﹣1）≤f（2x）的解集为{x|﹣1≤x≤}．【分析】由偶函数定义域的对称性可求b＝﹣1，从而可得f（x）在[﹣2，0]上为增函数，在[0，2]上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，将不等式转化为|x﹣1|≥|2x|，且﹣2≤x﹣1≤2，﹣2≤2x≤2，解之即可得结论．解：∵f（x）是定义在[﹣2b，b+1]上的偶函数，∴（﹣2b）+b+1＝0，解得b＝1，∴函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，∵f（x）在[﹣2，0]上单调递增，∴f（x）在[0，2]上单调递减，距离对称轴越远，函数值越小，由f（x﹣1）≤f（2x）可得|x﹣1|≥|2x|，且﹣2≤x﹣1≤2，﹣2≤2x≤2，解得﹣1≤x≤，故不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．故答案为：{x|﹣1≤x≤}．三、解答题：本大题共3小题，共34.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（10分）已知a，b＞0，且ab＝a+b+3．（Ⅰ）求ab的取值范围；（Ⅱ）求4a+b的最小值，并求取得最小值时a，b的值．【分析】（I）由已知结合基本不等式a+b即可求解，（II）由已知可利用b表示a，代入所求式子后进行分离，然后结合基本不等式可求．解：（I）ab＝a+b+3，当且仅当a＝b时取等号，解得≥3或≤﹣2（舍），故ab≥9，（II）∵a，b＞0，且ab＝a+b+3，∴b＝＞0，∴a＞1，∴4a+b＝4a+＝4a+＝1+4a+＝5+4（a﹣1）+＝13，当且仅当4（a﹣1）＝即a＝2时取等号，此时4a+b取得最小值9．17．（12分）已知函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8．（Ⅰ）若函数f（x）满足f（x﹣）＝f（﹣x﹣），求k的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[5，20]上具有单调性，求实数k的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的对称轴，得到关于k的方程，解出即可；（Ⅱ）根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．解：（Ⅰ）若函数f（x）满足f（x﹣）＝f（﹣x﹣），故对称轴是x＝＝﹣＝，解得：k＝﹣4；（Ⅱ）由题意得：≤5，或≥20，解得：k≤40或k≥160，故实数k的取值范围是（﹣∞，40]∪[160，+∞）．18．（12分）某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期望电价为0.4元/kW•h经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）．该地区电力的成本为0.3元/kW•h．（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；（2）设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？（注：收益＝实际用电量×（实际电价﹣成本价））【分析】（1）先根据题意设下调后的电价为x元/kw•h，依题意知用电量增至，电力部门的收益即可；（2）依题意：“电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%”得到关于x的不等关系，解此不等式即得出电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．解：（1）：设下调后的电价为x元/kw•h，依题意知用电量增至，电力部门的收益为（2）依题意有（9分）整理得解此不等式得0.60≤x≤0.75答：当电价最低定为0.6元/kw•h仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．。
天津市河西区2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)
天津市河西区2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.在时刻9：30时，时钟上的时针与分针间的夹角是()A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°2.下列图形不是轴对称图形的是()A. 线段B. 等腰三角形C. 角D. 有一个内角为60°的直角三角形3.已知点(a,8)在抛物线y=x2上，则a值为()A. 2B. −2C. ±2D. ±2√24.二次函数y=x2+2x−3的顶点坐标是()A. (−1,−3)B. (1,−4)C. (−1,−2)D. (−1,−4)5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC=55°，分别连接AC、BD，若AC=AD，则∠DBC的度数为()A. 50°B. 60°C. 65°D. 70°6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，则∠BOC的度数为()A. 50°B. 80°C. 90°D. 100°7.用配方法解下列方程，配方正确的是()A. 2y2−4y−4=0可化为(y−1)2=4B. x2−2x−9=0可化为(x−1)2=8C. x2+8x−9=0可化为(x+4)2=16D. x2−4x=0可化为(x−2)2=48.抛物线y=3x2+2x−1向上平移3个单位长度后的函数解析式为：()A. y=3x2+2x−4B. y=3x2+2x−4C. y=3x2+2x+2D. y=3x2+2x+39.等边△ABC如图放置，A(1,1)，B(3,1)，等边三角形的中心是点D，若将点D绕点A旋转90°后得到点D′，则D′的坐标()A. (1+√33,0) B. (1−√33,0)或(1+√33,2)C. (1+√33,0)或(1−√33,2) D. (2+√33,0)或(2−√33,0)10.如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为80米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为()A. 40米B. 30米C. 20米D. 10米11.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是()A. AD=DCB. AD⏜=DC⏜C. ∠ADB=∠ACBD. ∠DAB=∠CBA12.关于二次函数y=ax2−4ax−5(a≠0)的三个结论：①对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2−m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则−43<a≤−1或1≤a<43；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a<−54或a≥1.其中正确的结论是()A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.已知点M与点N(−1,3)关于原点对称，则M的坐标是______．14.请写出一个开口向上，且与y轴交于(0,−1)的二次函数的解析式______．15.将二次函数y=12x2+3x−52化为y=a(x−ℎ)2+k的形式，其结果是______．16.如图，⊙O的半径为13，弦AB的长为24，ON⊥AB，垂足为N，则ON的长为______．17.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，△ABC绕点B逆时针旋转，当点C的对应点C1落在边AC上时，设AC的对应边A1C1与AB的交点为E，则∠BEC1=______°.18.如图，∠A=90°，∠BFE=90°，AF=3，EF=12，正方形BCDE的面积为169，则AB=________．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.已知抛物线y=x2+4x+k−1．(1)若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围．(2)若抛物线的顶点在x轴上，求k的值．四、解答题（本大题共6小题，共58.0分）20.画出将△ABC绕点O按顺时针方向旋转180°后的对应△A′B′C′．21.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E.连接ED ，若．(1)求证：AB=AC；(2)填空：①若AB=6，CD=4，则BC=______ ；②连接OD，当∠A的度数为______ 时，四边形ODEB是菱形．22.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4.求弦CD的长．23.某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：(1)若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；(2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？24.如图：△ABC绕点A逆时针方向旋转得到△ADE，其中∠B=50°，∠C=60°．(1)若AD平分∠BAC时，求∠BAD的度数．(2)若AC⊥DE时，AC与DE交于点F，求旋转角的度数．25.已知抛物线y=ax2+bx经过点A(−4,−4)和点B(m,0)，且m≠0．(1)若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请根据观察图象说明此时y的最小值及m的值；(2)若m=4，求抛物线的解析式(也称关系式)，并判断抛物线的开口方向．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了钟面角，利用了时针的旋转角减去分针的旋转的角等于时针与分针的夹角．根据时针旋转的速度乘以时针旋转的时间，可得时针的旋转角，根据分针旋转的速度成分针旋转的时间，等于分针旋转的角度；再根据时针的角减去分针旋转的角等于时针与分针的夹角，可得答案．−6×30°=105°，解：9：30时，时钟上的时针与分针间的夹角9×30°+30°×12故选：C．2.答案：D解析：本题考查了中心对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的概念结合各图形的特点求解．解：A、是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，符合题意．故选：D．3.答案：D解析：解：∵点(a,8)在抛物线y=x2上，∴8=a2，解得a=±2√2，故选D．把点的坐标代入抛物线解析式可得到关于a的方程，可求得a的值．本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．4.答案：D解析：解：∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，∴抛物线顶点坐标为(−1,−4)，故选D．把二次函数化为顶点式可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k)．5.答案：D解析：解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC=∠EBC=55°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=55°，∴∠DAC=70°，由圆周角定理得，∠DBC=∠DAC=70°，故选：D．根据圆内接四边形的性质求出∠ADC，根据等腰三角形的性质、圆周角定理计算即可．本题考查的是圆内接四边形、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．6.答案：D解析：解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°．故选：D．由⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数．此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．7.答案：D解析：解：A、2y2−4y−4=0可化为(y−1)2=3，故选项错误；B、x2−2x−9=0可化为(x−1)2=10，故选项错误；C、x2+8x−9=0可化为(x+4)2=25，故选项错误；D、x2−4x=0可化为(x−2)2=4，故选项正确．故选：D．利用完全平方公式的结构特点判断即可得到结果．此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．8.答案：C解析：本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握平移规律是解本题的关键．利用平移规律“上加下减”，即可确定出平移后解析式．解：抛物线y=3x2+2x−1向上平移3个单位长度的函数解析式为y=3x2+2x−1+3=3x2+ 2x+2，故选C．9.答案：C解析：本题考查坐标与图形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．如图作D′H⊥AB于H.DE⊥AB于E，构造全等三角形即可解决问题即可．解；如图作DE⊥AB于E，D′H⊥AB于H．在Rt△ADE中，∵∠DAE=30°，AE=1，∴DE=√3，3∵AD=AD′，∠DAE=∠D′，∠AED=∠D′HA=90°，∴△ADE≌△D′AH，∴AH=DE=√3，D′H=1，3∵A(1,1)，,0)，∴D′(1+√33,2)同法当逆时针旋转时，D′(1−√33故选：C．10.答案：C解析：本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数，学会利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据矩形的面积公式，即可构建二次函数解决问题．解：设矩形ABCD的边AB为x米，则宽为(80−2x)米，S=(80−2x)x=−2x2+80x=−2(x−20)2+800，∵−2<0，S有最大值，且0<x<40，∴x=20时，矩形ABCD面积最大，即x的长为20米．故选C．11.答案：D解析：解：∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD，∴AD⏜=DC⏜，AD=DC，故A、B正确；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，故C正确；∵无法确定∠DAB=∠CBA，故D错误，符合题意．故选：D．根据圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一分析即可．本题考查的是圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．12.答案：D=2，解析：解：∵二次函数y=ax2−4ax−5的对称轴为直线x=−4a2a∴x1=2+m与x2=2−m关于直线x=2对称，∴对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2−m对应的函数值相等；故①正确；当x=3时，y=−3a−5，当x=4时，y=−5，若a>0时，当3≤x≤4时，−3a−5<y≤−5，∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，∴1≤a<4，3若a<0时，当3≤x≤4时，−5≤y<−3a−5，∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，<a≤−1，∴−43故②正确；若a>0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，∴△>0，25a−20a−5≥0，∴{16a2+20a>05a−5≥0，∴a≥1，若a<0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，∴△>0，25a−20a−5≥0，∴{16a2+20a>05a−5≤0，∴a<−5，4或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．综上所述：当a<−54故选：D．=2，由对称性可判断①；分a>0或由题意可求次函数y=ax2−4ax−5的对称轴为直线x=−4a2aa<0两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分a>0或a<0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③；即可求解．本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点等知识，理解题意列出不等式(组)是本题的关键．13.答案：(1,−3)解析：解：∵点M与点N(−1,3)关于原点对称，∴M的坐标是：(1,−3)．故答案为：(1,−3)．两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，因而点Q(a,b)关于原点对称的点是(−a,−b)，可得答案．本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，因而点Q(a,b)关于原点对称的点是(−a,−b)是解题关键．14.答案：y=x2+2x−1解析：根据题意写出满足题意二次函数解析式即可．此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．解：根据题意得：y=x2+2x−1，故答案为：y=x2+2x−1(答案不唯一)(x+3)2−715.答案：y=12解析：此题主要考查了二次函数的三种形式，正确运用配方法是解题关键．直接利用配方法表示出二次函数的顶点坐标进而得出答案．解：y=12x2+3x−52=12(x2+6x)−52=12(x+3)2−92−52=12(x+3)2−7．故答案为：y=12(x+3)2−7．16.答案：5解析：解：∵ON⊥AB，∴AN=BN=12AB，∵AB=24，∴AN=BN=12，在Rt△OAN中，ON2+AN2=OA2，∴ON=√OA2−AN2=√132−122=5，故答案为：5根据垂径定理得出AN=BN=12AB，利用勾股定理得出ON即可．本题考查了垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．17.答案：72解析：本题主要考查了等腰三角形的性质，以及旋转的性质，正确确定旋转角，找到旋转前后的相等线段，是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C=72°，根据旋转的性质得到BC=BC1，从而得出∠BC1C=∠C，根据三角形的内角和得到∠CBC1的度数，求得∠EBC1的度数，根据旋转的性质得到∠A1C1B=∠C=72°，最后利用三角形内角和进行计算得到结论．解：∵AB=AC，∠C=72°，∴∠ABC=∠C=72°，∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△A1BC1，∴BC=BC1，∴∠BC1C=∠C=72°，∴∠CBC1=180°−∠BC1C−∠C=180°−72°−72°=36°，∴∠EBC1=∠ABC−∠CBC1=72°−36°=36°，∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△A1BC1，∴∠A1C1B=∠C=72°，∴∠BEC1=180°−∠A1C1B−∠EBC1=180°−72°−36°=72°，故答案为72．18.答案：4解析：本题考查了正方形的性质和勾股定理.利用正方形的性质得BE=13，再利用勾股定理计算得结论．解：如图：因为正方形BCDE的面积为169，所以BE=13．在Rt△BFE中，EF=12，所以BF=√BE2−EF2=5．在Rt△AFB中，AF=3，所以AB=2−AF2=4．故答案为4．19.答案：解：(1)∵二次函数y=x2+4x+k−1的图象与x轴有两个交点，∴b2−4ac=42−4×1×(k−1)=20−4k>0，∴k<5，则k的取值范围为k<5；(2)根据题意得：b2−4ac=42−4×1×(k−1)=20−4k=0，解得k=5．解析：此题主要考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断以及图象顶点在坐标轴上的性质，熟练掌握其性质是解题关键．(1)根据抛物线y=x2+4x+k−1与x轴有两个不同的交点，得出b2−4ac>0，进而求出k的取值范围．(2)根据顶点在x轴上，所以抛物线与x轴只有1个交点，据此求出即可．20.答案：解：如图所示，图中△A′B′C′即为所求．解析：三角形的各顶点都绕点O顺时针旋转180°后得到对应点，顺次连接即可．本题主要考查了旋转变换作图，解题的关键是准确找出对应点的位置，属于中考常考题型．21.答案：(1)证明：∵ED=EC，∴∠EDC=∠C，∵∠EDC=∠B，∴∠B=∠C，∴AB=AC；(2)4√3；60°解析：本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．(1)由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆内接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；(2)连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由(1)知AB=AC，证明△CDE∽△CBA后即可求得BC 的长；(3)根据等边三角形的性质得到∠BAE=30°，根据直角三角形的性质得到BE=12AB=BO，由菱形的判定定理即可得到结论．(1)见答案；(2)解：①连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由(1)知AB=AC=6，∵∠C=∠C，∠CDE=∠B，∴△CDE∽△CBA，∴CDCB =CEAC，∴4BC =12BC6，∴BC=4√3，故答案为：4√3；②当∠A=60°时，四边形ODEB是菱形，∵∠A=60°，∴∠BAE=30°，AB=AC=BC，∵∠AEB=90°，∴BE=12AB=BO=12BC=EC=ED，∴BE=DE=OB=OD，∴四边形ODEB是菱形，故答案为：60°．22.答案：解：∵∠A=15°，∴∠COB=30°．∵AB=4，∴OC=2．∵弦CD⊥AB于E，∴CE=12CD．在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠COB=30°，OC=2，∴CE=1．∴CD=2．解析：根据∠A=15°，求出∠COB的度数，再求出CE的长．根据垂径定理即可求出CD的长．此题考查了垂径定理和圆周角定，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是本题的关键．23.答案：(1)0≤x<20；(2)降价2.5元时，最大利润是6125元．解析：[分析](1)根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由“确保盈利”可得x的取值范围；(2)将所得函数解析式配方成顶点式可得最大值．[详解]解：(1)根据题意得y=(70−x−50)(300+20x)=−20x2+100x+6000，∵70−x−50>0，且x≥0，∴0≤x<20．(2)∵y=−20x2+100x+6000=−20(x−2.5)2+6125，∴当x=2.5时，y取得最大值，最大值为6125，答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．[点睛]本题考查的知识点是二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用．24.答案：解：(1)∵∠B=50°，∠C=60°，∴∠BAC=180°−50°−60°=70°，∵AD平分∠BAC，∠BAC=35°；∴∠BAD=12(2)∵△ABC旋转得到△ADE，∠C=60°，∴∠E=∠C=60°，∵AC⊥DE，∴∠AFE=90°，∴∠CAE=90°−∠E=90°−60°=30°，∵∠CAE是旋转角，∴旋转角的度数为30°．解析：本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义及旋转的性质．(1)可利用三角求出形的内角和定理求出∠BAC的度数，再利用角平分线的定义即可求解；(2)根据旋转的性质可求∠E得度数，再利用直角三角形的性质可求解∠CAE，即为所求的旋转角的度数．25.答案：解：(1)∵该抛物线的对称轴经过点A，∴点A(−4,−4)为抛物线的顶点，对称轴为直线x=−4，∴此时y的最小值为−4；∵点B和原点为抛物线的对称点，∴B(−8,0)，∴m=−8；(2)当m=4时，即B(4,0)，设抛物线解析式为y=ax(x−4)，把A(−4,−4)代入得−4=a×(−4)×(−4−4)，解得a=−18，∴抛物线解析式为y=−18x(x−4)，即y=−18x2+12x，∵a<0，∴抛物线开口向下．解析：(1)根据二次函数的性质得此时y的最小值，利用对称性得到B(−8,0)，从而确定m的值；(2)设交点式y=ax(x−4)，再把A(−4,−4)代入求得a=−18，从而得到抛物线解析式，利用二次函数的性质确定抛物线开口方向．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．。
2019-2020学年市第六中学高一上学期期中数学试题（解析版）
2019-2020学年市第六中学高一上学期期中数学试题（解析版）2019-2020学年市第六中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．设集合M＝[1,2]，N＝{x∈Z|-1A．[1,2]B．(－1,3)C．{1}D．{1,2}【答案】D【解析】集合N为整数集，所以先用列举法求出集合N，然后根据交集的定义求出即可.【详解】解：，.故选：D.【点睛】本题考查交集的概念和运算，解题的关键是先分析出集合中的代表元素是整数，属于基础题.2．已知集合A＝{x|x>2}，B＝，则B∩∁RA等于（）A．{x|2≤x≤5}B．{x|－1≤x≤5}C．{x|－1≤x≤2}D．{x|x≤－1}【答案】C【解析】已知集合A，B，则根据条件先求出，然后根据交集的定义求出即可.【详解】解：集合A＝{x|x>2}，所以，又集合，则.故选：C.【点睛】本题考查交集和补集的概念和计算，属于基础题.3．函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是（）A．(－∞，1)B．C．【答案】B【解析】函数f(x)的定义域即：即被开方数大于等于0，分母不为0，且对数函数的真数有意义，根据条件列出方程组，解出的范围即为所求.【详解】解：函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是，解得：，所以函数f(x)的定义域是.故选：B.【点睛】本题考查求复合函数的定义域，解题的关键是保证每部分都有意义，属于基础题.4．已知f()＝x－x2，则函数f(x)的解析式为（）A．f(x)＝x2－x4B．f(x)＝x－x2C．f(x)＝x2－x4(x≥0)D．f(x)＝－x(x≥0)【答案】C【解析】令（），解出，利用换元法将代入解析式即可得出答案.【详解】解：令（），则，所以（），所以f(x)＝x2－x4（）.故选：C.【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，解题的关键是注意换元之后的定义域，属于基础题.5．与函数相同的函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：A中对应关系不同；B中定义域不同；C中定义域不同；D中对应关系，定义域均相同，是同一函数【考点】函数是同一函数的标准6．下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因为函数是奇函数，所以选项A不正确；因为函为函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项B不正确；函数的图象抛物线开口向下，对称轴是轴，所以此函数是偶函数，且在区间上单调递减，所以，选项C正确；函数虽然是偶函数，但是此函数在区间上是增函数，所以选项D不正确；故选C。
高一数学复习考点知识专题提升练习5--- 函数的概念及其表示(解析版)
高一数学复习考点知识专题提升练习精练05函数的概念及其表示1．【广东省深圳市红岭中学2019-2020学年高一期末】下列各组函数中，表示同一函数的是() A ．()() ln xf x eg x x ＝，＝B ．()()24,22x f x g x x x -+＝＝－C ．()()sin 2,sin 2cos xf xg x x x＝＝D ．()()f x x g x ＝，【答案】D 【详解】选项A:函数()f x 的定义域是0x >，函数()g x 的定义域是全体实数，故这两个函数不是同一函数； 选项B:函数()f x 的定义域是2x ≠-，函数()g x 的定义域是全体实数，故两个函数不是同一函数； 选项C: 函数()f x 的定义域是()2x k k Z ππ≠+∈,函数()g x 的定义域是全体实数，故两个函数不是同一函数；选项D:函数()f x 和()g x 的定义域都是全体实数，且()g x x =，对应关系相同，所以是同一函数，故本题选D.2．【浙江省杭州市学军中学（学紫）2019-2020学年高一上学期期中】下列选项中两个函数，表示同一个函数的是（）A ．()4ln f x x =，()4ln g x x =B ．()2f x x =，()g x =C ．()1f x x =-，()g x =D ．()f x x =，()2g x =【答案】B对于A 选项，函数()4ln f x x =的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，函数()4ln g x x =的定义域为()0,∞+，故()4ln f x x =与()4ln g x x =不是同一函数；A 排除对于B 选项，函数()2f x x =与()g x =R ，且()2==g x x ，所以()2f x x =与()g x =B 正确；对于C 选项，函数()1f x x =-的定义域为R ，函数()1g x x ==-,定义域为R ，因此()1f x x =-与()g x =C ；对于D 选项，函数()f x x =的定义域为R ，函数()2g x =的定义域为[)0,+∞，因此()f x x=与()2g x =不是同一函数，排除D.故选B3．与函数()f x x =相等的是（）A ．()2x f x x=B ．()2ln ln x f x x =C ．()22xf x =D ．()22xf x =【答案】C 【详解】()f x x =的定义域为R,而A 中0x ≠，B 中0x >，C 中x ∈R ，D 中x ∈R ， 又C 中()22x f x x ==，D 中()22xf x x =≠， 故选：C.4．【山东省青岛市第二中学2019-2020学年高一上学期期末】下列哪个函数的定义域与函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域相同（） A ．2x y =B ．1y x x=+C ．12y x =D ．ln y x x =-【详解】指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是(0,)+∞ A 选项定义域是R ； B 选项定义域是{}|0x x ≠； C 选项定义域是{}|0x x ≥；D 选项定义域是{}|0x x >，满足题意。
2019-2020学年天津市河西区八年级(下)期中数学试卷 解析版
2019-2020学年天津市河西区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算的结果为（）A．10B．5C．3D．22．下列图案中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．由下列长度组成的各组线段中，不能组成直角三角形的是（）A．cm，cm，2cm B．1cm，2cm，cmC．4cm，3cm，6cm D．cm，cm，1cm4．下列计算正确的是（）A．+＝B．2+＝2C．3﹣＝2D．＝65．下列命题中，是真命题的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形6．如图，点A（﹣4，4），点B（﹣3，1），则AB的长度为（）A．2B．C．2D．7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列判断错误的是（）A．△ABO≌△ADO B．△ABC≌△CDAC．△ABO和△CDO的面积相等D．△ABC和△ABD的面积相等8．若a，b，c为直角三角形的三边，则下列判断错误的是（）A．2a，2b，2c能组成直角三角形B．10a，10b，10c能组成直角三角形C．能组成直角三角形D．能组成直角三角形9．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使得其面积为原矩形面积的一半，则平行四边形ABCD的内角∠BCD的大小为（）A．100°B．120°C．135°D．150°10．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，连接AB，AC，BC．有下列结论：①BC＝AD；②△ABC是直角三角形；③∠BAC＝45°．其中，正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分，）11．化简的结果是．12．边长为a的正方形的对角线的长度为．13．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较小的内角为．14．如图，每个小正方形的边长都为1，则△ABC的周长为．15．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为．16．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ABC的顶点A在△ECD的斜边上，若AE＝，AD＝，则AC的长为．三、解答题：（本大题共7小题，共52分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）17．（6分）计算：（I）（+）+（﹣）；（II）2×÷5．18．（6分）已知x＝2﹣，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．19．（8分）已知；四边形ABCD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D．求证：四边形ABCD是矩形．20．（8分）如图，菱形花坛ABCD的一边长AB为20m，∠ABC＝60°，沿着该菱形的对角线修建两条小路AC和BD．（I）求AC和BD的长；（II）求菱形花坛ABCD的面积．21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，M是斜边的中点．（I）若BC＝1，AC＝3，求CM的长；（II）若∠ACD＝3∠BCD，求∠MCD的度数．22．（8分）如图，已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合）．（I）若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形；（II）在（I）的条件下，根据题意填空：若四边形ABCD的对角线AC和BD满足时，四边形EFGH是矩形；若四边形ABCD的对角线AC和BD满足时，四边形EFGH是菱形；若四边形ABCD的对角线AC和BD满足时，四边形EFGH是正方形．（III）判断对错：①若已知的四边形ABCD是任意矩形，则存在无数个四边形EFGH是菱形；（）②若已知的四边形ABCD是任意矩形，则至少存在一个四边形EFGH是正方形．（）23．（8分）如图，将一个正方形纸片AOBC放置在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（6，0），动点E在边AO上，点F在边BC上，沿EF折叠该纸片，使点O的对应点M始终落在边AC上（点M不与A，C重合），点B落在点N处，MN与BC交于点P．（I）求点C的坐标；（II）当点M落在AC的中点时，求点E的坐标；（III）当点M在边AC上移动时，设AM＝t，求点E的坐标（用t表示）．2019-2020学年天津市河西区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算的结果为（）A．10B．5C．3D．2【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：＝5．故选：B．2．下列图案中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形．B、是轴对称图形．C、不是轴对称图形．D、不是轴对称图形．故选：B．3．由下列长度组成的各组线段中，不能组成直角三角形的是（）A．cm，cm，2cm B．1cm，2cm，cmC．4cm，3cm，6cm D．cm，cm，1cm【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、（）2+（）2＝22，故是直角三角形，故此选项不符合题意；B、12+（）2＝22，故是直角三角形，故此选项不符合题意；C、42+32≠62，故不是直角三角形，故此选项符合题意；D、（）2+12＝（）2，故是直角三角形，故此选项不符合题意．故选：C．4．下列计算正确的是（）A．+＝B．2+＝2C．3﹣＝2D．＝6【分析】根据同类二次根式的概念、合并同类二次根式法则、二次根式的性质逐一判断即可得．【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B．2与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C．3﹣＝2，此选项正确；D．＝＝，此选项计算错误；故选：C．5．下列命题中，是真命题的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形【分析】根据特殊四边形的判定定理进行判断即可．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；B、对角线相等的四边形是矩形，还可能是等腰梯形，错误；C、对角线互相垂直的四边形是菱形，还可能是梯形，错误；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误；故选：A．6．如图，点A（﹣4，4），点B（﹣3，1），则AB的长度为（）A．2B．C．2D．【分析】根据题意，可以得到AC和BC的长，然后利用勾股定理，即可得到AB的长，本题得以解决．【解答】解：作BC∥x轴，作AC∥y轴交BC于点C，∵点A（﹣4，4），点B（﹣3，1），∴AC＝3，BC＝1，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝，故选：B．7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列判断错误的是（）A．△ABO≌△ADO B．△ABC≌△CDAC．△ABO和△CDO的面积相等D．△ABC和△ABD的面积相等【分析】根据平行四边形的性质分别判断得出答案即可．【解答】解：A、∵AB不一定等于AD，∴△ABO≌△ADO错误，故此选项符合题意；B、△ABC≌△CDA正确，故此选项不符合题意；C、∵△ABO≌△CDO，∴△ABO和△CDO的面积相等正确，故此选项不符合题意；D、△ABC和△ABD的面积都是△ABO面积的2倍，所以△ABC和△ABD的面积相等正确，故此选项不符合题意；故选：A．8．若a，b，c为直角三角形的三边，则下列判断错误的是（）A．2a，2b，2c能组成直角三角形B．10a，10b，10c能组成直角三角形C．能组成直角三角形D．能组成直角三角形【分析】根据勾股定理得出a2+b2＝c2（设c为最长边），再逐个判断即可．【解答】解：∴a，b，c为直角三角形的三边，设c为最长边，∴a2+b2＝c2，A．∵a2+b2＝c2，∴4a2+4b2＝4c2，即（2a）2+（2b）2＝（2c）2，∴以2a，2b，2c为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵a2+b2＝c2，∴100a2+100b2＝100c2，即（10a）2+（10b）2＝（10c）2，∴以10a，10b，10c为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵a2+b2＝c2，∴a2+b2＝c2，即（）2+（）2＝（）2，∴以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵（）2+（）2≠（）2，∴以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．9．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使得其面积为原矩形面积的一半，则平行四边形ABCD的内角∠BCD的大小为（）A．100°B．120°C．135°D．150°【分析】作AE⊥BC于点E．根据面积的关系可以得到AB＝2AE，进而可得∠ABE＝30°，再根据平行四边形的性质即可求解．【解答】解：如图，作AE⊥BC于点E．∵矩形的面积＝BC•CF＝2S平行四边形ABCD＝2BC•AE，∴CF＝2AE，∴AB＝2AE，∴∠ABE＝30°，∵AB∥CD，∴∠BCD＝180°﹣∠ABE＝150°．故选：D．10．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，连接AB，AC，BC．有下列结论：①BC＝AD；②△ABC是直角三角形；③∠BAC＝45°．其中，正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】设正方形的边长为1，根据勾股定理求出AB，AC，BC，再逐个判断即可．【解答】解：如图，连接AQ，AQ交BD于W，过B作BE⊥QF于E，设10个完全相同的三角形的边长是1，∵图中的三角形都是正三角形，∴边长都是1，则AW＝BE＝WQ＝＝，在Rt△AMB、Rt△BEF，Rt△AQC中，由勾股定理得：AB2＝AM2+BM2＝（）2+（1+1+）2＝7，AC2＝AQ2+CQ2＝（+）2+12＝4，BC2＝（1+）2+（）2＝3，∵AD＝1，BC＝，∴BC＝AD，故①正确；∵AB2＝7，AC2＝4，BC2＝3，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，故②正确；∵AC≠BC，∴∠BAC≠45°，故③错误；即正确的个数是2个，故选：C．二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分，）11．化简的结果是．【分析】根据二次根式的性质解答．【解答】解：＝＝．12．边长为a的正方形的对角线的长度为a．【分析】根据勾股定理即可求出边长为a的正方形的对角线的长度．【解答】解：边长为a的正方形的对角线的长度为：＝a．故答案为：a．13．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较小的内角为60°．【分析】首先设平行四边形中两个内角的度数分别是x°，2x°，由平行四边形的邻角互补，即可得方程x+2x＝180，继而求得答案．【解答】解：设平行四边形中两个内角的度数分别是x°，2x°，则x+2x＝180，解得：x＝60，∴其中较小的内角是：60°．故答案为：60°．14．如图，每个小正方形的边长都为1，则△ABC的周长为2．【分析】根据题意和勾股定理，可以求得AB、BC、AC的长，然后即可得到△ABC的周长．【解答】解：由题意可得，AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝2，∴△ABC的周长为：＝2，故答案为：2．15．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为36．【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD，进而判断出△BCD是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：如图，连接BD，∵在Rt△ABD中，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，根据勾股定理得，BD＝5，在△BCD中，BC＝12，CD＝13，BD＝5，∴BC2+BD2＝122+52＝132＝CD2，∴△BCD为直角三角形，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+BC•BD＝×3×4+×12×5＝36．故答案为：36．16．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ABC的顶点A在△ECD的斜边上，若AE＝，AD＝，则AC的长为．【分析】连接BD，根据等腰直角三角形性质和全等三角形的性质可得AE＝BD＝，根据勾股定理可求BC的长，即可求解．【解答】解：如图，连接BD，∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴CE＝CD，AC＝BC，∠ECD＝∠ACB＝90°，∠CED＝∠EDC＝45°，∴∠ACE＝∠DCB，且CE＝CD，AC＝BC，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD＝，∠CED＝∠CDB＝45°，∵∠ADB＝∠EDC+∠CDB，∴∠ADB＝90°，∴AB2＝AD2+DB2＝3+7＝10，∴AB＝，∵AC2+BC2＝AB2，∴AC＝BC＝，故答案为．三、解答题：（本大题共7小题，共52分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）17．（6分）计算：（I）（+）+（﹣）；（II）2×÷5．【分析】（I）直接化简二次根式进而合并得出答案；（II）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：（I）（+）+（﹣）＝2+2+﹣＝3+；（II）2×÷5＝4×÷5＝3×＝．18．（6分）已知x＝2﹣，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．【分析】首先计算x2的值，然后代入所求的式子利用平方差公式计算，最后合并同类二次根式即可．【解答】解：x2＝（2﹣）2＝7﹣4，则原式＝（7+4）（7﹣4）+（2+）（2﹣）+＝49﹣48+1+＝2+．19．（8分）已知；四边形ABCD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】证出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，直接利用三个角是直角的四边形是矩形，进而得出即可．【解答】证明：∵四边形ABCD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形．20．（8分）如图，菱形花坛ABCD的一边长AB为20m，∠ABC＝60°，沿着该菱形的对角线修建两条小路AC和BD．（I）求AC和BD的长；（II）求菱形花坛ABCD的面积．【分析】（Ⅰ）由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABD＝∠ABC＝30°，由直角三角形的性质可得AO＝AB＝10m，BD＝AO＝10cm，即可求解；（Ⅱ）由菱形的面积公式可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴AO＝AB＝10m，BD＝AO＝10cm，∴AC＝20m，BD＝20m；（Ⅱ）∵菱形花坛ABCD的面积＝AC×BD，∴菱形花坛ABCD的面积＝×20×20＝200m2．21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，M是斜边的中点．（I）若BC＝1，AC＝3，求CM的长；（II）若∠ACD＝3∠BCD，求∠MCD的度数．【分析】（I）先利用勾股定理求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质即可得到CM的长；（Ⅱ）先求出∠BCD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠B，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AM＝MC，根据等边对等角可得∠ACM＝∠A，再求出∠MCD ＝45°．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝3，∴AB＝＝，∵M是斜边的中点，∴CM＝AB＝；（Ⅱ）∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD＝3∠BCD，∴∠ACD＝90°×＝67.5°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠A＝22.5°，∵CM＝AB＝AM，∴∠ACM＝∠A＝22.5°，∴∠MCD＝∠ACD﹣∠ACM＝67.5°﹣22.5°＝45°．22．（8分）如图，已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合）．（I）若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形；（II）在（I）的条件下，根据题意填空：若四边形ABCD的对角线AC和BD满足AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形；若四边形ABCD的对角线AC和BD满足AC＝BD时，四边形EFGH是菱形；若四边形ABCD的对角线AC和BD满足AC⊥BD且AC＝BD时，四边形EFGH是正方形．（III）判断对错：①若已知的四边形ABCD是任意矩形，则存在无数个四边形EFGH是菱形；（√）②若已知的四边形ABCD是任意矩形，则至少存在一个四边形EFGH是正方形．（×）【分析】（I）由三角形中位线定理即可得出结论；（II）根据菱形的判定和性质，矩形的判定与性质，正方形的判定，平行四边形的判定1与性质分别进行判断即可；（III）①由矩形的性质和菱形的判定即可得出结论；②由矩形的性质和正方形的判定即可得出结论．【解答】（I）证明：连接BD、AC交于点O，如图1所示：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，EF是△ABC的中位线，GH是△ACD 的中位线，∴EH∥BD，EH＝BD，FG∥BD，FG＝BD，EF∥AC，GH∥AC，∴EH∥FG，EF∥GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（II）解：若四边形ABCD的对角线AC和BD满足AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形；若四边形ABCD的对角线AC和BD满足AC＝BD时，四边形EFGH是菱形；若四边形ABCD的对角线AC和BD满足AC⊥BD且AC＝BD时，四边形EFGH是正方形．理由如下：∵由（I）得：四边形MONH是平行四边形，当AC⊥BD时，∠MON＝90°，∴四边形MONH是矩形，∴∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是矩形．当AC＝BD时，由（I）得：HG＝AC，EH＝BD，∴EH＝GH，∴四边形EFGH是菱形；当AC⊥BD且AC＝BD时，四边形EFGH既是矩形又是菱形，∴四边形EFGH是正方形．故答案为：AC⊥BD；AC＝BD；AC⊥BD且AC＝BD；（III）解：①若已知的四边形ABCD是任意矩形，则存在无数个四边形EFGH是菱形；（√）；理由如下：如图2所示：当EG＝HF时，四边形EFGH是矩形，故存在无数个四边形EFGH是矩形；故①正确；故答案为：√；②若已知的四边形ABCD是任意矩形，则至少存在一个四边形EFGH是正方形；（×）；理由如下：∵当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH是正方形，∴若已知的四边形ABCD是任意矩形，则存在一个四边形EFGH是正方形；故②错误；故答案为：×．23．（8分）如图，将一个正方形纸片AOBC放置在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（6，0），动点E在边AO上，点F在边BC上，沿EF折叠该纸片，使点O的对应点M始终落在边AC上（点M不与A，C重合），点B落在点N处，MN与BC交于点P．（I）求点C的坐标；（II）当点M落在AC的中点时，求点E的坐标；（III）当点M在边AC上移动时，设AM＝t，求点E的坐标（用t表示）．【分析】（I）根据正方形的性质可得AC⊥OA，CB⊥OB，结合A，B两点坐标可求解；（II）根据中点的定义可得AM＝3，设OE＝x，则EM＝OE＝x，AE＝6﹣x，利用勾股定理可求解x值，进而求解E点坐标；（III）设点E的坐标为（0，a），由勾股定理可求解a值，进而求解E点坐标．【解答】解：（I）∵正方形AOBC，A（0，6），B（6，0），∴OA＝AC＝CB＝OB＝6，且每个内角都是90°，即AC⊥OA，CB⊥OB，∴C（6，6）；（II）∵M为AC的中点，∴AM＝AC＝3，设OE＝x，则EM＝OE＝x，AE＝6﹣x，在Rt△AEM中，EM2＝AM2+AE2，∴（6﹣x）2+32＝x2，解得x＝，∴E（0，）；（III）设点E的坐标为（0，a），由题意得OE＝EM＝a，AE＝6﹣a，AM＝t，在Rt△EAM中，EM2＝AM2+AE2，∴a2＝（6﹣a）2+t2，解得a＝，∴点E的坐标为（0，）．。