江苏省苏州市高二数学上学期期末统考试题苏教版

2013~2014学年第一学期期末考试高二数学 2014.1

正 题

一．填空题

1．直线10x y -+=的倾斜角为 ▲ 2．抛物线24y x =的准线方程为 ▲

3．若直线()2140x m x +++=与直线340mx y ++=平行，

则m = ▲

4．若函数()cos f x x x =，则()f x '= ▲

5．在正方体1111ABCD A B C D -中，既与AB 也与1CC 共面

的棱的条数为 ▲

6．函数()2x f x x e =-的单调减区间是 ▲

7．若直线3y x b =-+是曲线3232y x x =-+的一条切线，则实数b 的值是 ▲

8．若圆()2220x y m m +=>与圆2268110x y x y ++--=相交，则实数m 的取值范围是 ▲

9．已知,αβ是不重合的平面，,m n 是不重合的直线，下列命题正确的序号为 ▲ ①//,////m n n m αα⇒； ②,//m m αβαβ⊥⊥⇒

③,//,////n m m m n αβαβ=⇒I ④,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⇒⊥

10．双曲线的中心在原点，焦点在Y 轴上，焦距为16，一条渐近线方程为7y x =

，则双曲线方程为 ▲

11．设,,,P A B C 是球O 表面上的四点，满足,,PA PB PC 两两相互垂直，且1,PA PB == 2PC =，则球O 的表面积极是 ▲

12．点P 是椭圆22

12516

x y +=上的动点，1F 为椭圆的左焦点，定点()6,4M ，则1PM PF + 的最大值为 ▲

13．函数()()32,,f x x ax bx c a b c R =+++∈在区间[]1,0-上是单调减函数，则22

a b +的最小值为 ▲

14．函数()()21ln ,22

f x x h x x x ==-，当1x >时，不等式()()()12k x xf x

g x '-<+3+

恒成立，则整数k 的最大值为 ▲

二．解答题

15．（14分）圆C 的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别为()()1,1,3,5A B - （I ）求圆C 的方程

（II ）若过点()2,0M -的直线与圆C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程

16．（14分）在三棱锥P ABC -中，已知,PA PB ABC =∠为直角，点,D E 分别为,PB BC

的中点

（I ）求证：AD ⊥平面PBC

（II ）若F 在线段AC 上，且12

AF FC =，求证：//AD 平面PEF

17．（14分）已知一种圆锥型金属铸件的高为h ，底面半径为a ，现要将它切割为圆柱体模

型（如图所示），并要求圆柱的体积最大，求圆柱的最大体积及此时圆柱的底面半径和高

18．（16分）如图，在矩形ABCD 中，已知3,,AB AD E F =为AB 的两个三等分点，,AC DF

交于点G

（I ）建立适当的平面直角坐标系，证明：EG DF ⊥

（II ）设点E 关于直线AC 的对称点为E '，问点E '是否在直线DF 上，并说明理由

19．（16分）已知椭圆()2222:10x y C

a b a b

+=>>过点()1,1A -，离心率为63 （I ）求椭圆C 的方程

（II ）设点B 是点A 关于原点的对称点，P 是椭圆C 上的动点（不同于,A B ），直线

,AP BP 分别与直线3x =交于点,M N ，

问是否存在点P 使得PAB ∆和PMN ∆的面积相等，若存在，求出点P 的坐标，若不存在请说明理由

20．（16分）函数()()1ln f x x a x a R =--∈

（I ）求函数()f x 的极值

（II ）若0a <，对于任意(]12,0,1x x ∈，且12x x ≠，都有()()1212

114

f x f x x x -<-，求实数a 的取值范围

理科附加题（每题10分）

21．求曲线2sin3y x =在4x π=

处的切线方程

22．在平面直角坐标系中，已知()()1,0,1,0A B -，求满足224PA PB -=且在圆22x y + 4=上的点P 的坐标

23．在直三棱柱111ABC A B C -中，,2AB AC AB AC ⊥==

14A A =，点D 是BC 的中点

（I ）求异面直线11,A B AC 所成角的余弦值

（II ）求直线1AB 与平面1C AD 所成角的正弦值

24．如图，投抛物线()2

20x py p =>，M 为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为,A B ．求证：,,A M B 三点的横坐标成等差数列