2.1 控制系统的时域数学模型
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拉普拉斯变换 例题解析
2、
线性系统特性──满足齐次性、可加性
z 线性系统便于分析研究。 z 在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。 z 非线性元部件微分方程的线性化。 例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点 α 0 处的线性化增量方程
y(α ) = E 0 cosα
解：在 α = α 0 处线性化展开，只取线性项：
& m + f mω m = M m ┈牛 力矩方程： J m ⋅ ω
顿 变量关系： u a
i − Mm ωm E b −− −
消去中间变量有：
&m + ωm = kmua Tmω
⎧T = J m R [R ⋅ f m + C e C m ] ⎪ m ⎨ ⎪k m = C m [R ⋅ f m + C e C m ] ⎩
0 0 -st − st =⎡ ⎣e f ( t ) ⎤ ⎦ − ∫ f ( t )de 0 0 − st =⎡ ⎣0-f ( 0 ) ⎤ ⎦ + s ∫ f ( t )e dt ∞ ∞ ∞
∞
∞
= sF ( s ) − f ( 0 ) =右
0
(n) ( n-2 ) n-1 n-2 ⎤ n ′ 进一步：L ⎡ ( 0 ) − f ( n −1) ( 0 ) ⎣ f ( t ) ⎦ = s F ( s ) − s f ( 0 ) − s f ( 0 ) − L − sf
s + 0.4
( s + 0.4 )
2
+ 12
2
=
s + 0.4 s + 0.8s + 144.16
2
6).已知F(s) =
3s 2 + 2s + 8 求f ( ∞ ) = ? f(0) = ? f(∞) = 1, f(0) = 0 s ( s + 2 ) ( s 2 + 2s + 4 )
自动控制理论 控制系统的数学模型2.1概要
Monday, November 12, 2018
2
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3
2.1 控制系统的时域数学模型
Monday, November 12, 2018
4
微分方程
[数学模型]：描述控制系统变量（物理量）之间动态关系的数 学表达式。常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图， 信号流图，频率特性以及状态空间描述等。 例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程 求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行 分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第 一步也是最重要的一步。 控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线 性系统，定常系统和时变系统。
根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下： fx kx F m x 这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m,f和k的单位分别为： kg, N .s / m, N / m
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控制系统的微分方程
见例2-4
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3、线性系统的特性
(1)、线性系统是指用线性微分方程描述的系统， 其重要性质是可以应用叠加原理。 (2)、叠加原理具有可叠加性和均匀性。
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4、线性定常微分方程的求解
直接求解法、 换域求解法（Laplace 变换方法） 用拉氏求解线性定常微分方程的过程可归结如 下： 1)考虑初始条件，对微分方程中的每一项分 别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量，的 代数方程； 2)由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表 达式； 3)对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输 出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。
2-1控制系统的时域数学模型
(2)消去中间变量 i(t) (2) (t)
duo (t ) ui (t ) = RC + uo (t ) dt
(3)标准化
duo (t ) RC + uo (t ) = ui (t ) dt
例2 对两级RC无源网络，列写以ui(t)为输入 量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
由基尔霍夫电压定律
机械力学系统的数学模型： 机械力学系统的数学模型：
d 2 y (t ) dy (t ) m + f + ky (t ) = F (t ) 2 dt dt
相似系统 相似系统便于用一个简单的系统去研究与其相似的 复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。 复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。
小结
取一次近似， 取一次近似，且令
∆y( x) = y( x) − y( x0 ) ≈ −E0 sin x0 ⋅ ( x − x0 )
既有
∆y = −E0 sin x0 ⋅ ∆x
例：单摆系统的运动方程为
试列写其线性化方程。 试列写其线性化方程。 解：运动方程中的非线性项为
预定工作点为 [θ0 ,ϕ0 ]
Class is over. ByeBye-bye!
式中：
T1 = R1C1
T2 = R2C2
T3 = R1C2
牛顿定律约束
机械系统
例3 一个由弹簧、质量、 阻尼器组成的做直线运动的 力学系统。图中，m为物体 的质量，k为弹簧系数，f为 粘性摩擦系数，F(t)为物体受 到的外作用力，y(t)为物体的 位移。试列写质量m在外力 F(t)作用下，位移y(t)的运动 方程。
元件约束
d 2uo (t ) duo (t ) R1C1 R2C2 + ( R1C1 + R2C2 + R1C2 ) + uo (t ) = ui (t ) 2 dt dt dt
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
自动控制原理第2章(2)
(3) 按信号流向将各框图连起来
Ur(s) + _ I1(s) 1/R1
Uc(s)
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
方框图等效变换 基本连接方式：串联、并联、反馈 基本连接方式：串联、并联、
1.串联方框的等效变换 1.串联方框的等效变换
R(s) C(s) G1(s) G2(s) R(s) C(s) G1(s) G2(s)
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
例3 试化简如下系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s) 试化简如下系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)
H2(s) R(s)
_ _
G1(s)
G2(s)
_
G3(s) H3(s)
G4(s)
C(s)
H1(s)
解：①将G3(s)输出端的分支点后移得： (s)输出端的分支点后移得： 输出端的分支点后移得
x1 = xr gxc x2 = ax1 fx4 x3 = bx2 exc x4 = cx3 xc = dx4
xr x1
a x2 b -f
x3 c
-g
x4 d
-e
xc
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控制系统的结构图与信号流图
2、由系统结构图绘制信号流图 在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号， ①在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号，得到节点 用标有传递函数的线段代替结构图中的方框， ②用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，得到支路
G(s) H(s)
R(s)
C(s) G(s) 1m G(s)H(s)
化简一般方法：移动分支点或相加点 化简一般方法： 交换相加点 合并
大学_自动控制原理第一版(滕青芳著)课后答案
自动控制原理第一版（滕青芳著）课后答案自动控制原理第一版（滕青芳著）课后答案下载出版说明前言第1章绪论1.1 开环控制系统和闭环控制系统1.1.1 开环控制系统1.1.2 闭环控制系统1.1.3 闭环控制系统示例1.2 闭环控制系统的基本组成1.3 自动控制系统的分类1.3.1 恒值控制系统、随动系统和程序控制系统1.3.2 线性控制系统和非线性控制系统1.3.3 连续控制系统和离散控制系统1.3.4 确定性系统和不确定性系统1.3.5 单输入单输出系统与多输入多输出系统1.3.6 集中参数系统和分布参数系统1.4 自动控制系统的分析和设计1.4.1 控制系统分析1.4.2 控制系统设计1.5 自动控制理论的发展简史1.5.1 经典控制理论阶段1.5.2 现代控制理论阶段小结习题第2章控制系统的数学模型2.1 控制系统的`时域数学模型2.1.1 线性系统微分方程的建立2.1.2 微分方程建立举例2.1.3 线性常系数微分方程的求解2.2 控制系统的复域数学模型2.2.1 传递函数的定义2.2.2 传递函数的一般表达式2.2.3 传递函数的性质2.3 典型环节的传递函数2.3.1 比例环节(Proportional Element) 2.3.2 积分环节(Integrating Element)2.3.3 理想微分环节(Ideal Derivative Element)2.3.4 惯性环节(Inertial Element)2.3.5 比例微分环节(Proportional-Derivative Element) 2.3.6 振荡环节(Oscillating Element)2.3.7 延迟环节2.4 控制系统的结构图2.4.1 功能框图(Block Diagram)2.4.2 系统框图的画法2.4.3 典型自动控制系统的框图2.4.4 框图的等效变换2.5 信号流图2.5.1 信号流图的基本概念2.5.2 信号流图的绘制2.5.3 信号流图的简化2.5.4 梅逊(Mason)公式及应用小结习题第3章控制系统的时域分析3.1 典型输入信号3.1.1 阶跃信号3.1.2 斜坡信号3.1.3 等加速度信号3.1.4 脉冲信号3.1.5 正弦信号3.2 线性系统的时域性能指标3.3 一阶系统的时域分析3.3.1 单位阶跃响应3.3.2 单位速度响应3.3.3 单位加速度响应3.3.4 单位脉冲响应3.4 二阶系统的时域分析3.4.1 传递函数的推导3.4.2 二阶系统的单位阶跃响应3.4.3 二阶系统阶跃响应的动态性能指标 3.4.4 具有零点的二阶系统分析3.4.5 二阶系统的性能改善3.5 高阶系统的时域响应3.5.1 高阶系统的单位阶跃响应3.5.2 闭环零、极点对系统性能的影响3.5.3 利用ZHU导极点估算系统的动态性能指标3.6 控制系统的稳定性3.6.1 稳定性概念3.6.2 线性系统稳定的充要条件3.6.3 线性系统稳定的必要条件3.6.4 代数稳定性判据3.6.5 劳斯稳定判据的应用3.7 控制系统的稳态误差3.7.1 误差和稳态误差3.7.2 给定作用下的稳态误差3.7.3 给定作用下动态误差系数3.7.4 扰动作用下的稳态误差3.7.5 扰动作用下动态误差系数3.8 用MATLAB对线性系统进行时域响应分析小结习题自动控制原理第一版（滕青芳著）：内容简介点击此处下载自动控制原理第一版（滕青芳著）课后答案自动控制原理第一版（滕青芳著）：目录本书全面地阐述了自动控制的基本理论与应用。
第二章_控制系统的数学模型
+
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
自动控制原理(胡寿松)第六版-第二章-控制系统的数学模型--2
if=常数
dia La Ra ia Ea ua dt
ua
ia
Ra Ea La
M
电动机轴上机械运动方程：
d J MD ML dt
J — 负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD — 电枢电流产生的电磁转矩; ML — 合到电动机轴上的总负载转矩。 （4）列写辅助方程 Ea = ke
Ra J Tm 令机电时间常数Tm : ke k m 二阶系统 La 令电磁时间常数Ta : Ta Ra 2 Tm TaTm dML d d 1 TaTm 2 Tm ua ML dt dt ke J J dt
1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：
Ta 0
第二章 控制系统的数学模型
前言 数学模型基础
2.1 控制系统的时域数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图与信号流图
2.4 控制系统建模实例
End
前言 数学模型基础
2.2 2.3 2.4 2.5
1.定义：数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态 关系的表达式。 2.建立数学模型的目的
d nc d n1c dc d mr d m 1r dr a0 n a1 n1 an1 an c b0 m b1 m 1 bm 1 bm r dt dt dt dt dt dt
式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：
统 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合 理
3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析
4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数
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绝对的线性元件和线性系统不存在
非线性微分方程的线性化
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实际物理元件或系统都是非线性的，构成系 统的元件都具有不同程度的非线性。
建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸 多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。
线性化:在满足一定条件的前提下，用近似的线性系统代 替非线性方程。
y y0 K ( x x0 ) 或写为 y Kx
即：线性化方程
式中，
y0
f ( x0 )，K
df dx
，y
x x0
y
y0，x
x x0
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严格地说，经过线性化后的所得的系统微分方程式，只 是近似地表征系统的运动情况。
实践证明，对于绝大多数的控制系统，经过线性化后所 得的系统数学模型，能以较高的精度反映系统的实际运动过 程，所以线性化方法是很有实际意义的。
微分方程求解方法
微分方程形式的数学模型在实际应用中一般会遇到如下的困难： 1）微分方程式的阶次一高，求解就有难度，且计算的工作量
大。 2）对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号作用下的
输出响应，而且更重视系统的结构、参数与其性能间的关系。对 于后者的要求，显然用微分方程式去描述是难于实现的。
例为分2-别2 为弹K1簧,K—2 （阻N尼/m器) 系，统阻,尼求器xi的与阻xo尼的系关数系为。f设（弹N·簧s的/m弹);性系数
取中间变量xm,分别对A、B两点受力分析
Fi K1(xi xm )
Fm f (xm xo ) K1(xi xm ) f (xm xo ) K2xo
三．线性元件微分方程的建立
例2-1 下图为由一RC组成的四端无源网络。试列写以 U1（t）为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。
解：设回路电流i1、i2，由基尔霍夫定律可列写方程组如下：
U1 R1i1 U c1
(1)
R1
R2
U c1
1 C1
(i1 i2 )dt
(2)
U c1 R2i2 U c2
在控制工程中，一般并不需要精确地求系统微分方程式的 解，作出它的输出响应曲线，而是希望用简单的办法了解系统 是否稳定及其在动态过程中的主要特征，能够判别某些参数的 改变或校正装置的加入对系统性能的影响。
线性系统的基本特性
叠加原理：可叠加性和齐次性
m
d
2 x(t dt 2
)
＋f
dx(t ) Kx(t ) dt
f (t)
当f(t)=f1(t)时，上述方程的解为x1(t)； 当f(t)=f2(t)时，上述方程的解为x2(t)； 如果f(t)=f1(t)+ f2(t) ,方程的解为x(t)= x1(t)+x2(t),这就是叠加性 当f(t)=Af1(t)时，上述方程的解为x1(t)=Ax1(t),这就是齐次性
线性化的基本条件:非线性特性必须是非本质的，系统各 变量对于工作点仅有微小的偏离。
小偏差线性法/切线法/微偏法: 若非线性函数不仅连续，而且其各阶导数均存在，则由级 数理论可知，可在给定工作点邻域将此非线性函数展开为 泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性 化方程代替原有的非线性方程。
第二章 线性系统的数学模型
2.1 控制系统的时域数学模型
2.1 线性系统的时域数学模型
本节主要研究描述 线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的建
立和求解方法
线性元件的微分方程
一．微分方程：
给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统输出 的一种系统描述方法
单变量线性定常系统微分方程
c(n) (t) a1c(n1) (t) a2c(n2) (t) an1 c(t) anc(t)
B1
Xr
R2 C2 Ur
图(a)输入为Xr，输出为Xc，B1，B2 为粘性阻尼系数，K1,K2为弹性系数
R1 Uc
C1 根据力平衡，列出其运动方程式，得
K2 B2
Xc
(b) 电气系统
(B1 B2 ) Xc (K1 K2 ) X c B1 Xr K1X r
(a) 机械系统
对电气网络(b)，列写电路方程得
b0r(m) (t) b1r(m1) (t) b2r(m2) (t) bm1 r(t) bmr(t)
输出量在左，输入量在右，降阶排列。
二．列写线性系统微分方程的主要步骤：
• 分析系统工作原理，明确输入量、输出量 • 列写各元件的运动方程式 • 消除中间变量，只保留输入与输出量及导数 • 化为标准形式
Fo K2 x0
消去中间变量x m
K1xm
K1xi
K2 xo
xm
xi
K2 K1
xo
K2 f
xo
xo
xo
f
K1K2 (K1 K2
)
xo
K1 K1 K2
xi
例2-3 求图2-2(a)、(b)所示机、电系统的微分方程并 图2-证2 机明电相似它系统们是相似系统(即两系统具有相同的数学模型)
K1
(R1
R2
)U c
(1 C1
1 C2
)U
c
R1 U r
1 C1
U
r
相同的数学模型！
相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。
为利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械 系统提供了方便。一般来说，电或电子的系统更容易， 通过试验进行研究。
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线性化的方法:
设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间 的关系如图所示，相应的数学表达式为
在给定工作点 ( x0，y0 )附近，将上式展开泰勒级数：
y
f (x)
df1 d2 f来自f ( x0 ) dx xx0 ( x x0 ) 2! dx2
(x x0 )2
x x0
若在工作点 ( x0，y0 ) 附近增量 x x0 的变化很小，则可略去式中 (x x0 )2 项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为：
(3)
U1 i1 C1
i2 C2
U2
U c2
1 C2
i2dt
U 2 U c2
(4) (5)
RC四端网络
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R1R2C1C2
d 2U2 dt 2
(R1C1
R1C2
R2C2 )
dU2 dt
U2
U1
这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶 线性微分方程。
非线性微分方程的线性化
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实际物理元件或系统都是非线性的，构成系 统的元件都具有不同程度的非线性。
建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸 多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。
线性化:在满足一定条件的前提下，用近似的线性系统代 替非线性方程。
y y0 K ( x x0 ) 或写为 y Kx
即：线性化方程
式中，
y0
f ( x0 )，K
df dx
，y
x x0
y
y0，x
x x0
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严格地说，经过线性化后的所得的系统微分方程式，只 是近似地表征系统的运动情况。
实践证明，对于绝大多数的控制系统，经过线性化后所 得的系统数学模型，能以较高的精度反映系统的实际运动过 程，所以线性化方法是很有实际意义的。
微分方程求解方法
微分方程形式的数学模型在实际应用中一般会遇到如下的困难： 1）微分方程式的阶次一高，求解就有难度，且计算的工作量
大。 2）对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号作用下的
输出响应，而且更重视系统的结构、参数与其性能间的关系。对 于后者的要求，显然用微分方程式去描述是难于实现的。
例为分2-别2 为弹K1簧,K—2 （阻N尼/m器) 系，统阻,尼求器xi的与阻xo尼的系关数系为。f设（弹N·簧s的/m弹);性系数
取中间变量xm,分别对A、B两点受力分析
Fi K1(xi xm )
Fm f (xm xo ) K1(xi xm ) f (xm xo ) K2xo
三．线性元件微分方程的建立
例2-1 下图为由一RC组成的四端无源网络。试列写以 U1（t）为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。
解：设回路电流i1、i2，由基尔霍夫定律可列写方程组如下：
U1 R1i1 U c1
(1)
R1
R2
U c1
1 C1
(i1 i2 )dt
(2)
U c1 R2i2 U c2
在控制工程中，一般并不需要精确地求系统微分方程式的 解，作出它的输出响应曲线，而是希望用简单的办法了解系统 是否稳定及其在动态过程中的主要特征，能够判别某些参数的 改变或校正装置的加入对系统性能的影响。
线性系统的基本特性
叠加原理：可叠加性和齐次性
m
d
2 x(t dt 2
)
＋f
dx(t ) Kx(t ) dt
f (t)
当f(t)=f1(t)时，上述方程的解为x1(t)； 当f(t)=f2(t)时，上述方程的解为x2(t)； 如果f(t)=f1(t)+ f2(t) ,方程的解为x(t)= x1(t)+x2(t),这就是叠加性 当f(t)=Af1(t)时，上述方程的解为x1(t)=Ax1(t),这就是齐次性
线性化的基本条件:非线性特性必须是非本质的，系统各 变量对于工作点仅有微小的偏离。
小偏差线性法/切线法/微偏法: 若非线性函数不仅连续，而且其各阶导数均存在，则由级 数理论可知，可在给定工作点邻域将此非线性函数展开为 泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性 化方程代替原有的非线性方程。
第二章 线性系统的数学模型
2.1 控制系统的时域数学模型
2.1 线性系统的时域数学模型
本节主要研究描述 线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的建
立和求解方法
线性元件的微分方程
一．微分方程：
给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统输出 的一种系统描述方法
单变量线性定常系统微分方程
c(n) (t) a1c(n1) (t) a2c(n2) (t) an1 c(t) anc(t)
B1
Xr
R2 C2 Ur
图(a)输入为Xr，输出为Xc，B1，B2 为粘性阻尼系数，K1,K2为弹性系数
R1 Uc
C1 根据力平衡，列出其运动方程式，得
K2 B2
Xc
(b) 电气系统
(B1 B2 ) Xc (K1 K2 ) X c B1 Xr K1X r
(a) 机械系统
对电气网络(b)，列写电路方程得
b0r(m) (t) b1r(m1) (t) b2r(m2) (t) bm1 r(t) bmr(t)
输出量在左，输入量在右，降阶排列。
二．列写线性系统微分方程的主要步骤：
• 分析系统工作原理，明确输入量、输出量 • 列写各元件的运动方程式 • 消除中间变量，只保留输入与输出量及导数 • 化为标准形式
Fo K2 x0
消去中间变量x m
K1xm
K1xi
K2 xo
xm
xi
K2 K1
xo
K2 f
xo
xo
xo
f
K1K2 (K1 K2
)
xo
K1 K1 K2
xi
例2-3 求图2-2(a)、(b)所示机、电系统的微分方程并 图2-证2 机明电相似它系统们是相似系统(即两系统具有相同的数学模型)
K1
(R1
R2
)U c
(1 C1
1 C2
)U
c
R1 U r
1 C1
U
r
相同的数学模型！
相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。
为利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械 系统提供了方便。一般来说，电或电子的系统更容易， 通过试验进行研究。
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线性化的方法:
设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间 的关系如图所示，相应的数学表达式为
在给定工作点 ( x0，y0 )附近，将上式展开泰勒级数：
y
f (x)
df1 d2 f来自f ( x0 ) dx xx0 ( x x0 ) 2! dx2
(x x0 )2
x x0
若在工作点 ( x0，y0 ) 附近增量 x x0 的变化很小，则可略去式中 (x x0 )2 项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为：
(3)
U1 i1 C1
i2 C2
U2
U c2
1 C2
i2dt
U 2 U c2
(4) (5)
RC四端网络
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R1R2C1C2
d 2U2 dt 2
(R1C1
R1C2
R2C2 )
dU2 dt
U2
U1
这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶 线性微分方程。