【赢在课堂】高考数学一轮复习 8.1空间几何 体的结构、三视图和直观图配套课件 理 新人教A版
【答案】B
【解析】侧视图为
,实线为 AD1,虚线为 B1D.
T 题型四多 面体与球
例 4 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过 该球球心的一个截面如图所示,求图中三角形(正四面体的截面)的面积.
截面过正四面体的两顶点及球心,则必过对边的中点.
【解】如图所示,设△ABE 为题中的三角形,
3.简单组合体 简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成;一 种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,有多面体与多面体、 多面体与旋 转体、旋转体与旋转体的组合体.
4. 三视图 几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图 , 分别是从几何体的 正前方、正左方为 D 选项,则正视图为: 故不可能是 D 选项.
对三视图的考查,在高考中有可能要求由三视图去画空间几何体, 因此观察三视图,想象几何体是至关重要的,这类题目只要把握三视图和几 何体之间的关系是不难解决的.
3.将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该 几何体的侧视图为( )
1.多面体的结构特征
多面体 棱柱 棱锥 棱台 结构特征 有两个面互相平行,每相邻两个面的交线都平行且相等 有一个面是多边形,而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分叫做棱台
2.旋转体的形成
几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 旋转轴 任一边所在的直线 一条直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线
第八章
立体几何
第1讲
空间几何体的结构、三视 图和直观图
考纲展示
1. 认识柱 、锥、 台、球 及其 简单组 合 体 的 结 构 特征 , 并 能 运用 这 些 特 征描述现实生活中简单物体的结 构. 2. 能画出简单空间图形( 长方体、 球、圆柱、圆锥、棱柱等 的简易组 合) 的三 视图 , 能 识别 上述 三视 图 所 表 示 的 立 体 模型 , 会 用 斜二 测 画 法 画出它们的直观图. 3. 会用平 行投影 与中心 投影 两种方 法画出简单空间图形的三 视图与直 观图, 了 解 空间 图 形 的 不同 表 示 形 式. 4. 会画某 些建筑 物的视 图与 直观图 ( 在不 影响 图形 特征的 基础 上, 尺 寸、线条等不做严格要求) .
4.(2012·辽宁卷,16)已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3的正方形.若 PA=2 6,则△OAB 的面积 为 . 【答案】3 3
【解析】如图所示,∵ PA⊥平面 ABCD,∴ PA⊥AC. 故可知 PC 为球 O 直径,则 PC 的中点为 O,取 AC 的中点为 O',
考纲解读
空间几何体的结构 和三视图部分 重点考 查柱、锥、台、球 的定义和以三 视图为 载体考查柱、锥、 台、球的表面 积和体 积, 难度 不大. 空间几 何体的 性质是 基础, 以它们为载体考查 线线、线面、 面面间 的 关 系 是 重点 . 三 视图 的 还 原在 各 地 高 考 试 题 中 频繁 出 现 , 已 经 成 为高 考 的 热 点 问 题, 题型 多以 选择 题和 填空 题为 主 , 有时也会作为解答题的背景出现.
由图②可知,A'B'=AB=a,O'C'= OC= a. 在图②中作 C'D'⊥A'B'于点 D', 则 C'D'= O'C'= a. 故S = A'B'·C'D'= ×a× a= a2.
1 2 1 2 6 8 6 16 2 2 6 8
1 2
3 4
△A'B'C'
求直观图面积的关键是依据斜二测画法,求出相应的直 观图的底边和高,也就是在原来实际图形中的高线,在直观图中变为与水平 直线成 45° 角且长度为原来的一半的线段,以此为依据来求出相应的高线即 可. 将水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形,其作法就是 逆用斜二测画法,也就是使平行于 x'轴的线段的长度不变,而平行于 y'轴的 线段长度变为原来的 2 倍.
3.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆,则这个几何体一定是 ( ) A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 【答案】C 【解析】当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截面分别为矩形和三角形,只 有球满足任意截面都是圆面.
4.(2012·安徽合肥模拟)如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶 角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( A.30° 【答案】C
根据几何体的结构特征进行判断.
【答案】②④
图(1)
【解析】 对于①,平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相 平行,故①假; 对于②,两截面的交线平行于侧棱,且垂直于底面,故②真; 对于③,作正四棱柱的两个平行菱形截面,可得满足条件的斜四棱柱 〔如图(1)〕,故③假;
对于④,四棱柱一个对角面的两条对角线,恰为四棱柱的对角线,故对角 面为矩形,于是侧棱垂直于底面的一对角线,同样侧棱也垂直于底面的另一 对角线,故侧棱垂直于底面,故④真.〔如图(2)〕.
三视图的长度特征: “ 长对正, 宽相等, 高平齐” , 即正视图和侧 视图一样高, 正视图和俯视图一样长, 侧视图和俯视图一样宽. 若相邻两物 体的表面相交, 表面的交线是它们的分界线, 在三视图中, 要注意实、 虚线的 画法 .
5. 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画, 其规则是: (1) 原图形中 x轴、 y轴、 z轴两两垂直, 直观图中, x' 轴、 y' 轴的夹角为 45° , z' 轴与 x' 轴和 y' 轴所在平面垂直. (2) 原图形中平行于坐标轴的线段, 在直观图中仍分别平行于坐标轴. 平 行于 x轴和 z轴的线段在直观图中保持原长度不变, 平行于 y轴的线段长度 在直观图中变为原来的一半. 6. 中心投影与平行投影 (1) 平行投影的投影线互相平行, 而中心投影的投影线相交于一点. (2) 从投影的角度看, 三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行 投影下画出来的图形.
图(2)
几种常见的多面体的结构特征 (1)直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱.特别地,当底面是正多边形时,叫正 棱柱(如正三棱柱,正四棱柱).
(2)正棱锥:底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥. 特别地,各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体.
1.设有以下四个命题: ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体是长方体; ③直四棱柱是直平行六面体; ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点 其中真命题的序号是 . 【答案】①④ 【解析】命题①符合平行六面体的定义,故命题①是正确的.底面是矩 形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题②是错误的. 因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故命题③是错误的.命题④ 由棱台的定义知是正确的.
2.如图,△O'A'B'是△OAB 水平放置的直观图,则△OAB 的面积 为 .
【答案】12 【解析】还原为原三角形,易知 OB=4,OA=6,OA⊥OB,从而可得 S△OAB=12.
T 题型三几 何体的三视图
例 3 某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的
俯视图不可能是( )
图1
T 题型二几 何体的直观图
例 2 已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么△ABC 的平面直观图
△A'B'C'的面积为( A. a2
3 4
) B. a2
3 8
C. a2
6 8
D. a2
6 16
先根据题意画出直观图,然后根据直观图△A'B'C'的边长及 夹角求解. 【答案】D
【解析】作出如图①、②所示的实际图形和直观图.
������ ������ 1 2
) C.60° D.90°
B.45°
【解析】设母线为 l,底面半径为 r,则 πl=2πr. 从而可得 = . 因此母线与高的夹角为 30° . 故所求圆锥的顶角为 60° .
5.一梯形的直观图是一个如下图所示的等腰梯形,且该梯形的面积为 2,则 原梯形的面积为( )
1 2
1 2
几何体的截面问题的求解方案
例 1 用任一个平面去截正方体,下列平面图形可能是截面的是
(填序号). ①正方形;②长方形;③等边三角形;④直角三角形;⑤菱形;⑥六边形. 【答案】①②③⑤⑥
【解析】如图所示正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,平行于 ABCD 的截面为 正方形;截面 AA1C1C 为长方形;截面 AB1D1 为等边三角形;取 BB1,DD1 的中 点 E,F,则截面 AEC1F 为菱形;取 B1C1,D1C1,AB,AD 的中点 M,N,P,Q,过这四 点的截面为六边形;截面不可能为直角三角形.
利用截面研究几何体,贯彻了空间问题平面化的思想,截面可以把 几何体的性质、画法及证明、计算融为一体.常见截面有过棱柱、棱锥、棱 台的两条侧棱的截面、 平行于底面的截面、 旋转体中的轴截面,球中一般作 过球心的截面.
例 2 如图所示,在透明塑料制成的长方体 ABCD-A1B1C1D1 容器 中灌进一些水,将容器底面一边 BC 固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜
A.2 C.2 2
B. 2 D.4
【答案】D 【解析】直观图为等腰梯形,则上底设为 x,高设为 y, 则 S 直观图= y(x+2y+x)= 2,因原梯形为直角梯形, 故其面积 S= ·2 2y(x+2y+x)=2 2 × 2=4.
1 2 1 2
T 题型一几 何体的结构、几何体的定义
例 1 下面是关于四棱柱的四个命题: ①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱; ④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱. 其中,真命题的序号是 (写出所有真命题的序号).
高考数学一轮复习第八章立体几何8.1空间几何体的结构特征、三视图、直观图课件文新人教A
考点 2 空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用_正__投__影___得到，这种投影下与投影 面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是 _完__全__相__同___的，三视图包括__正__视__图__、__侧_视 __图___、_俯__视__图___.
三视图：注意三个视图之间的长度关系． 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 ___4_8____．
[点石成金] 解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几 何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，要说明一个命 题是错误的，只需举一个反例即可． (2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时 要注意用好轴截面中各元素的关系． (3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的，所以在解决棱(圆)台问题 时，要注意“还台为锥”的解题策略．
(1)[教材习题改编]一个几何体由 5 个面围成，其中两个面是 互相平行且全等的三角形，其他面都是全等的矩形，则该几何体 是_三__棱__柱___；一个等腰直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周 后形成的封闭曲面所围成的几何体是___两__个__同__底__的__圆__锥_____．
解析：根据多面体和旋转体的概念知，第一个几何体是三棱 柱，第二个几何体是两个同底的圆锥．
(2)[教材习题改编]如图所示，图①②③是图④表示的几何体 的 三 视 图 ， 若 图 ① 是 正 视 图 ， 则 图 ② 是 _侧__视__图___ ， 图 ③ 是 __俯_视__图___．
解析：根据三视图的概念知，图②是侧视图，图③是俯视图.
空间几何体的认识误区． 给出下面四种说法：①有两个面平行，其余各面都是四边形 的几何体叫棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的 几何体叫棱柱；③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几 何体叫棱锥；④棱台各侧棱的延长线交于一点．其中错误说法的 序号为_①__②__③___．
旧教材适用2024高考数学一轮总复习第八章立体几何第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图
第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面相互□01平行且□02全等多边形相互□03平行且□04相像侧棱□05平行且相等相交于□06一点，但不肯定相等延长线交于□07一点侧面形态□08平行四边形□09三角形□10梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线相互平行且相等，□11垂直于底面相交于□12一点延长线交于□13一点—轴截面全等的□14矩形全等的□15等腰三角形全等的□16等腰梯形□17圆侧面绽开图□18矩形□19扇形□20扇环—(3)特殊的四棱柱2．直观图(1)画法：常用□21斜二测画法．(2)规则①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为□2245°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面□23垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍□24平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度□25不变，平行于y轴的线段长度在直观图中□26变为原来的一半．3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的□27正前方、□28正左方、□29正上方视察几何体画出的轮廓线．说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．(2)三视图的画法①基本要求：□30长对正，□31高平齐，□32宽相等．②画法规则：□33正侧一样高，□34正俯一样长，□35侧俯一样宽；重叠的线只画一条，看不到的线画□36虚线．1．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．2．三视图的绘制在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．在三视图的推断与识别中要特殊留意其中的虚线．3．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角变更，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形变更.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不变更，与x ，z 轴平行的线段的长度不变更，相对位置不变更.4．直观图与原图形面积的关系S 直观图＝24S 原图形(或S 原图形＝22S 直观图)．1．下列结论正确的是( )A ．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B ．六条棱长均相等的四面体是正四面体C ．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D ．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 答案 B解析 底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A 错误；斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，C 错误；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D 错误．2．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④答案 C解析 由几何体的结构可知，如题图放置的圆锥、正四棱锥各自的正视图和侧视图相同，且其不与俯视图相同；正方体的三个视图都相同；正三棱台的三个视图都不相同，故选C.3. (2024·天水模拟)一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为( )A．2 3 B．2 2C．4 3 D．8 2答案 D解析由斜二测画法可知，原平面图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对边长为2.在斜二测画法画出的直观图中，∠B′O′A′＝45°且O′B′＝22，那么在原图形中，∠BOA＝90°且OB＝42，因此，原平面图形的面积为2×42＝8 2.故选D.4．(2024·全国Ⅱ卷)如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为( )A．E B．FC．G D．H答案 A解析依据三视图，画出多面体立体图形，如图所示，正视图中M点即为端点所在位置，其在侧视图中所对应的点为E.故选A.5．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )答案 D解析由三视图知该几何体的上半部分是一个三棱柱，下半部分是一个四棱柱．故选D.6．(2024·全国乙卷)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________(写出符合要求的一组答案即可)．答案②⑤(或③④)解析依据“长对正，高平齐，宽相等”及图中数据，可知②③只能是侧视图，④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图的编号依次是②⑤或③④.若为②⑤，则如图1；若为③④，则如图2.考向一空间几何体的结构特征例1 (1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相像，但侧棱长肯定相等．其中正确命题的个数是( )A．0 B.1 C.2 D.3答案 A解析①不肯定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不肯定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相像且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不肯定相等．(2)给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③存在每个面都是直角三角形的四面体；④棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．答案②③④解析①不正确，依据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不肯定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知．识别空间几何体的两种方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的状况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，依据定义进行判定．(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可．1.下列结论正确的是( )A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C ．正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上随意一点的连线都是母线 答案 D解析 由图1知，A 错误；如图2，当两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，B 错误；若六棱锥的全部棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必定要大于底面边长，C 错误；由母线的概念知，D 正确．考向二 平面图形与其直观图的关系例2 (1)(2024·四川泸州诊断考试) 如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，则原图形OABC 的面积为( )A ．24 2B ．12 2C ．48 2D ．20 2答案 A解析 解法一：由题意知原图形OABC 是平行四边形，且OA ＝BC ＝6，设平行四边形OABC 的高为OE ，则OE ×12×22＝O ′C ′，∵O ′C ′＝2，∴OE ＝42，∴S ▱OABC ＝6×42＝24 2.故选A.解法二：由题意可知，S四边形O ′A ′B ′C ′＝O ′A ′·O ′C ′＝2×6＝12，∴S原＝22S四边形O ′A ′B ′C ′＝24 2.故选A.(2)在等腰梯形ABCD 中，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________．答案22解析 解法一：因为OE ＝22－12＝1，所以O ′E ′＝12，E ′F ′＝24，所以直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.解法二：如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，∵CD ＝1，AD ＝CB ＝2，AB ＝3，∴CH ＝1，∴S 四边形ABCD ＝12×(1＋3)×1＝2.∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ＝24×2＝22.画几何体的直观图一般采纳斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y 轴的线段长度减半，平行于x 轴和z 轴的线段长度不变)来驾驭．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．2.已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A.34a 2B ．38a 2 C.68a 2 D ．616a 2 答案 D解析 解法一：如图①②所示的平面图形和直观图．可知A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2. 解法二：由题意可知，S △ABC ＝34a 2，∴S △A ′B ′C ′＝34a 2×24＝616a 2. 3. 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB 平行于y ′轴，BC ，AD 平行于x ′轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2，则原平面图形的面积为________．答案8 cm2解析解法一：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上、下底的长分别与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.解法二：依题意可知，S直观图＝2 2 cm2，故S原图形＝22S直观图＝8 cm2.精准设计考向，多角度探究突破考向三空间几何体的三视图角度由空间几何体的直观图识别三视图例3 (1)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )答案 A解析视察图形易知卯眼处应以虚线画出，俯视图为，故选A.(2)(2024·黄山一模)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )答案 B解析截去两个三棱锥后的几何体的侧视图可以望见的实线段为AD1，AD，DD1，D1B1，AB1，而线段B1C被遮住，在侧视图中为虚线，所以侧视图为B.角度由空间几何体的三视图还原直观图例4 (1)(2024·九江模拟)如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )答案 D解析先视察俯视图，由俯视图可知B和D中的一个正确，由正视图和侧视图，可知D 正确．(2)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的全部面中直角三角形的个数是( )A．2 B．3C．4 D．5答案 C解析由三视图知，将此几何体还原在正方体中，为如图所示的四棱锥P－ABCD.易知四棱锥P－ABCD的四个侧面都是直角三角形，所以此几何体的全部面中直角三角形的个数是4，故选C.角度由两个视图补画第三个视图例 5 (1)(2024·绵阳模拟) 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正(主)视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )答案 B解析由几何体的正(主)视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示．从左侧视察直观图，可知截面体现为从左上到右下的虚线．故选B.(2)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．答案③解析由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图，所以该几何体的俯视图为③.三视图问题的常见类型及求解策略(1)在分析空间几何体的三视图时，先依据俯视图确定几何体的底面，然后依据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形态，即可得到结果．(2)在由三视图还原空间几何体的实际形态时，要从三个视图综合考虑，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．(3)常见的三视图对应的几何体①三视图为三个三角形，对应三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱柱；⑤三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱．4.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是( )答案 A解析该几何体是正方体的一部分，结合侧视图可知直观图为A中的图．故选A.5．(2024·全国甲卷) 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A－EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是( )答案 D解析 依据已知条件作出所得多面体的直观图如图所示，由直观图可知该多面体的侧视图为D.6．(2024·成都模拟)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图的面积之和为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 设点P 在平面A 1ADD 1的射影 为P ′，在平面C 1CDD 1的射影为P ″，如图所示．所以三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图分别为△P ′AD 与△P ″CD ，因此所求面积S ＝S △P ′AD ＋S △P ″CD＝12×1×2＋12×1×2＝2.故选B.1. 如图所示，从三棱台A ′B ′C ′－ABC 中截去三棱锥A ′－ABC ，则剩余部分是( )A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．三棱台答案 B解析剩余部分是四棱锥A′－BB′C′C，故选B.2．(2024·江西新余模拟)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为( )答案 A解析由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.3．如图，直观图所表示的平面图形是( )A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形答案 D解析直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后如图，AC∥y轴，BC∥x轴．所以△ABC是直角三角形．故选D.4. (2024·甘肃白银模拟)如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是( )答案 C解析该几何体的侧视图是从左边向右边看．故选C.5．(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为2，其侧面绽开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A．2 B．2 2C．4 D．4 2答案 B解析设圆锥的母线长为l，底面半径为r，因为圆锥的侧面绽开图为一个半圆，所以2πr ＝πl.所以l＝2r＝2 2.故选B.6．如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥A－BCD的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)( )答案 A解析正视图中棱AD看不见，俯视图中棱BD看不见，均为虚线，故选A.7. 某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如右图所示，则该几何体的俯视图肯定不行能是( )答案 D解析几何体的正视图和侧视图完全相同，则该几何体从正面看和从侧面看的长度相等，只有等边三角形不行能．故选D.8．(2024·江西吉安模拟)如图甲，将一个正三棱柱ABC－DEF截去一个三棱锥A－BCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正(主)视图是( )答案 C解析由于三棱柱为正三棱柱，故侧面ADEB⊥底面DEF，△DEF是等边三角形，所以CD 在面ADEB上的投影为AB的中点与D的连线，CD的投影与底面DEF不垂直．故选C.9．一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为( )答案 D解析该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD.故选D.10. 在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②答案 D解析在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2，2,2)，则空间几何体ABCD即为满意条件的四面体，得出其正视图和俯视图分别为④和②，故选D.11. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )A．217 B．2 5C．3 D．2答案 B解析依据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽、圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为42＋22＝25，故选B.12．(2024·安徽马鞍山模拟) 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A．10 B．12C．14 D．6答案 B解析由多面体的三视图还原直观图如图所示．该几何体由上方的三棱锥A－BCE和下方的三棱柱BCE－B1C1A1构成，其中侧面CC1A1A和侧面BB1A1A是梯形，则梯形的面积之和为2×2＋4×22＝12.故选B.13．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形态多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形态是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的全部顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．答案26 2－1解析先求面数，有如下两种解法．解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26个面．解法二：一般地，对于凸多面体，有顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2.(欧拉公式)由题图知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24.故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱长．作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为棱长．连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，则AM＝MH＝NG＝NF＝22x.又AM＋MN＋NF＝1，∴22x＋x＋22x＝1.∴x＝2－1，即半正多面体的棱长为2－1.14．(2024·河南六校联考)现有编号为①，②，③的三个三棱锥(底面水平放置)，其俯视图分别为图1，图2，图3，则至少存在一个侧面与其底面相互垂直的三棱锥的全部编号是________．答案①②解析编号为①的三棱锥，其直观图可能是图①，侧棱VC⊥底面ABC，则侧面VAC⊥底面ABC，满意题意；编号为②的三棱锥，其直观图可能是图②，侧面PBC⊥底面ABC，满意题意；编号为③的三棱锥，顶点的投影不在底面边上(如图③)，不存在侧面与底面垂直．故答案为①②.15．若已知△ABC 的直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求△ABC 的面积． 解 如图所示是△ABC 的直观图△A ′B ′C ′.作C ′D ′∥y ′轴交x ′轴于点D ′，则C ′D ′对应△ABC 的高CD ，∴CD ＝2C ′D ′＝2×2×C ′O ′＝22×32a ＝6a . 而AB ＝A ′B ′＝a ，∴S △ABC ＝12a ·6a ＝62a 2.16. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正(主)视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧(左)视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .解 由正视图和侧视图的三角形，结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥，如图．(1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)四棱锥的两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，取BC 的中点E ，连接OE ，VE ，则△VOE 为直角三角形，VE 为△VBC 的边BC 上的高，VE ＝ VO 2＋OE 2＝4 2.同理，侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高h ＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5.所以S ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2. 17．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是多少？解 由三视图可知，该多面体是一个三棱锥，其直观图如图三棱锥A －BCD .将其放入棱长为2的正方体模型中，可求得AC ＝2，BC ＝BD ＝5，AD ＝22，AB ＝ 12＋22＋22＝3，故最长的棱的长度为3.18. 一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的表面积S .解 (1) 由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为 3.所以V ＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形．所以S＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.。
高考数学一轮复习第八章立体几何第1节空间几何体的结构三视图直观图课件理
棱锥．(
)
(2)圆柱的侧面展开图是矩形．(
)
(3) 水 平 放 置 的 圆 柱 的 正 视 图 和 侧 视 图 均 为 全 等 的 矩
形．(
)
(4)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三
角形．(
)
(5)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯
形．(
)
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
个几何体为(
)
A．圆锥 C．三棱柱
B．三棱锥 D．三棱台
[解析] 根据俯视图与侧视图，可得该几何体为三棱柱． [答案] C
6.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体 积为 2 3，它的三视图中的俯视图如右图所示，侧(左) 视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．
[解析] 设棱柱的底面边长(侧棱长)为 a， 据题意，12a2×sin60°×a＝2 3，
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可
能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
(2)设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是 矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点． 其中真命题的序号是________．
(1)圆柱可以由_矩_形____绕其任一边旋转得到． (2)圆锥可以由直角三角形绕其_直__角_边_____旋转得 旋 到． 转 (3)圆台可以由直角梯形绕_直__角_腰____或等腰梯形 体 绕 _上__下_底__中_点__连__线_____ 旋 转 得 到 ， 也 可 由 __平__行_于__圆_锥__底_面________的平面截圆锥得到． (4)球可以由半圆或圆绕_直__径___旋转得到.
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图和直观图课件 理
考点(kǎo di空ǎn)间1(kōngjiān)几何体的结构特征
例 1：(1)如图 8-1-3，模块①～⑤均由 4 个棱长为 1 的小正
方体构成，模块⑥由 15 个棱长为 1 的小正方体构成.现从模块
①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为(chéngwéi)一个棱长为
3 的大正方体，则下列方案中，能够完成任务的为(
第四页，共四十页。
1.在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两
顶点的连线称为它的对角线，那么一个(yī ɡè)正五棱柱对角线的条数
共有(ɡònɡ yDǒu)( )
A.20
B.15
C.12
D.10
2.某空间(kōngjiān)几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是
(A ) A.圆柱
B.圆锥
( D)
A.12＋
2 2
C.1＋ 2
B.1＋
2 2
D.2＋ 2
第三十三页，共四十页。
易错、易混、易漏
⊙将三视图还原成几何体时对数据的判断产生(chǎnshēng)错误 例题(lìtí)：(1)某三棱锥的三视图如图 8-1-13，则该三棱锥最长 棱的棱长为________.
图 D63
第十三页，共四十页。
(3)如图 8-1-4(1)，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别 是AA1，C1D1的中点(zhōnɡ diǎn)，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的投影可能是图 8-1-4(2) 中的
____________.
(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.
第三页，共四十页。
2.三视图与直观图 三视图 画法规则：长对正，高平齐，宽相等
高考数学第一轮复习08-空间几何体结构、三视图和直观图
§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图2014高考会这样考1.几何体作为线面关系的载体，其结构特征是必考内容；2.考查三视图、直观图及其应用．复习备考要这样做1.重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型；2.熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图．1．多面体的结构特征(1)棱柱的上下底面平行，侧棱都平行且长度相等，上底面和下底面是全等的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形相似．2．旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆或圆绕其直径旋转得到．3．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．4．空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)．(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于x′轴、y′轴．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．[难点正本疑点清源]1．正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．2．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．3．三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．1．利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是__________．(写出所有正确的序号)①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形．2．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是() A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体4．(2012·湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是()5. 如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是() 题型一空间几何体的结构特征例1设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为() A．0 B．1 C．2 D．3题型二几何体的三视图例2 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()题型三空间几何体的直观图例3已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．典例：(5分)一个空间几何体的三视图，如图所示，则这个空间几何体的表面积是________．方法与技巧1．棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决．2．旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．3．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)理解“长对正、宽平齐、高相等”．4．直观图画法：平行性、长度两个要素．失误与防范1．台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．2．注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．3．能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图，提升空间想象能力．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．给出四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是() A．0 B．1 C．2 D．32．(2012·福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是() A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱3．(2011·课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()4．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()二、填空题(每小题5分，共15分)5．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．6. 如图所示，E、F分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投影是________．(填序号)7．图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h＝________cm.三、解答题(共22分)8．(10分)一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积．9．(12分)已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2011·山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．02. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图为()3．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：①四边形BFD1E有可能为梯形；②四边形BFD1E有可能为菱形；③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；⑤四边形BFD1E面积的最小值为6 2.其中正确的是() A．①②③④B．②③④⑤C．①③④⑤D．①②④⑤二、填空题(每小题5分，共15分)4. 在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO为________，面积为________ cm2.5．用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是________．6. 如图，点O为正方体ABCD—A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影可能是________(填出所有可能的序号)．三、解答题7．(13分)已知正三棱锥V—ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．古今名言敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子己所不欲，勿施于人——孔子读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦书犹药也，善读之可以医愚——刘向莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。
高考数学一轮总复习 第八单元 立体几何 课时1 空间几何体的结构及三视图、直观图教案 文(含解析)新
空间几何体的结构及三视图、直观图1．了解柱、锥、台、球的定义、性质及它们之间的关系．2．掌握柱、锥、台、球的结构特征．3．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等及其简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．知识梳理1．柱、锥、台、球的结构特征名称结构特征图例棱柱两底面相互平行，其余各面都是平行四边形，侧棱平行且相等棱锥底面是多边形，各侧面均是三角形，各侧面有一个公共顶点续表名称结构特征图例棱台两底面相互平行；是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分(1)正视图是光线自物体的前面向后面正投影所得的投影图．俯视图是光线自物体的上面向下面正投影所得的投影图．侧视图是光线自物体的左面向右面正投影所得的投影图．(2)三视图的排列规则：先画正视图，俯视图画在正视图的下方，长度与正视图相等，侧视图则安排在正视图的正右方，高度与正视图相同.3．直观图空间几何体的直观图常用斜二测法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于O′点，且使∠x′O′y′＝45°(或135°).②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中，分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．③在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段在直观图中仍平行于z′轴且长度相等.(3)成图根据实际图形，顺次连接线段的端点，并整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改为虚线)，就得到了几何体的直观图．1．根据三视图确定直观图的常用结论(1)三视图为三个三角形，对应三棱锥；(2)三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；(3)三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥；(4)三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱柱；(5)三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱．2．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24.热身练习1．下列四个命题：①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②各个面都是三角形的几何体是三棱锥；③用一个平面去截棱锥，棱锥的底面与截面之间的部分是棱台；④两个面互相平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台．其中正确的命题有(A)A．0个 B．1个C．2个 D．3个①假，如棱台有两个面互相平行，其余各面是四边形；由图1至图3可知②、③、④都是错误的．2．下列说法正确的是(C)A．以直角三角形的一边为轴旋转所得到的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．以半圆的直径为轴旋转一周所得到的旋转体是球D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径A是错误的，以直角三角形的直角边．．．为轴旋转所得到的旋转体才是圆锥；B是错误的．以直角梯形的垂直于底的腰．．．．．．为轴旋转所得的旋转体是圆台；C是正确；D是错误的，圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长．故选C.3．下列几何体的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(D)A．①② B．①③C．①④ D．②④圆锥和正四棱锥的正视图和侧视图都是等腰三角形．4．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼．图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(A)由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.5．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，那么这个平面图形的面积是(C)A ．1＋22B ．1＋ 2C ．2＋ 2 D.12＋22先画出直观图：图(1)对应的平面图形：图(2)，可知平面图形是一个直角梯形，其中AD ＝2，DC ＝1，AB ＝2＋1，所以其面积S ＝1＋2＋12×2＝2＋ 2.空间几何体的结构特征(经典真题)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值 A ．至多等于3 B ．至多等于4C．等于5 D．大于5根据n的取值构造相应的几何图形或几何体求解．n＝2时，可以；n＝3时，为正三角形，可以；n＝4时，为正四面体，可以；n＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长不可能相等．B本题考查了空间想象能力和推理论证能力，试题有较大的难度．根据题目特点善于构造几何图形和空间几何体是解决这类问题的关键．1．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何体是①③④⑤.(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．作出正方体ABCD－A′B′C′D′.①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面直线对角线的四个端点构成的四面体，如B′－ACD′；⑤取D －B′BC时各面均为直角三角形．空间几何体的三视图如图，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图分别是(①②③④⑤⑥代表图形)( )A．①④③ B．①②③C．⑤④③ D．①④⑥由四面体ABCD四个顶点是长方体的四个顶点，可得四面体ABCD的正视图为①，侧视图为②，俯视图为③.故四面体ABCD的三视图分别为①②③.B(1)解决三视图问题，要从以下几个方面加以把握：①搞清正视、侧视、俯视的方向，同一物体由于正视、侧视的方向不同或放置的位置不同，所画的三视图可能不同．②遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．③注意几何体中与投影面垂直或平行的线段在三视图中的特点．④要注意实线、虚线的画法，可视轮廓线画成实线，不可视的画成虚线．(2)画三视图时，要注意所给几何体与熟知的几何体的联系，如将几何体放置在正方体(或长方体)中或补形成正方体等，有利用发现线、面与投影面的位置关系，从而准确作出相应的三视图．2．(1)在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(D)A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②(2)已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为(C)A.34B.32C.34 D ．1(1)在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设A (0,0,2)，B (2,2,0)，C (1,2,1)，D (2,2,2)，则ABCD 即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为④和②.(2)由图可知其侧视图为三角形，根据三视图的“高平齐”得侧视图的高为3，又由“宽相等”可知侧视图的宽度和俯视图的宽度相等，得侧视图的底为1×sin 60°＝32. 所以侧视图的面积为S ＝12×32×3＝34.由三视图得到空间几何体的直观图(2017·卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A ．3 2B ．2 3C ．2 2D ．2在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD为该四棱锥的最长棱．由三视图可知正方体的棱长为2，故SD＝22＋22＋22＝2 3.B将三视图还原为直观图时，若能将其放置到“正方体”或“长方体”中去研究，不仅能较易得到直观图，同时还能发现各元素之间的数量关系与位置关系，便于问题的解决．3．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(B)A．10 B．12C．14 D．16将三视图还原为直观图，如图：可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2.因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2.故这些梯形的面积之和为2×12×(2＋4)×2＝12.1．与柱、锥、台、球有关的概念题，要结合其定义和结构特征，作出准确的判断，若说明命题是假命题，只需要举出一个反例即可．2．画三视图要注意“长对正、高平齐、宽相等”．3．三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化．。
2018版高考数学理一轮复习文档：第八章 8-1 空间几何
1．多面体的结构特征2．旋转体的形成3.空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段在直观图中长度变为原来的一半． 【知识拓展】1．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形． 2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．( × ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( × ) (5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( × ) (6)菱形的直观图仍是菱形．( × )1．(教材改编)下列说法正确的是( ) A ．相等的角在直观图中仍然相等 B ．相等的线段在直观图中仍然相等 C ．正方形的直观图是正方形D ．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 答案 D解析 由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变． 2．(2016·天津)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为()答案 B解析由正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图所示，故该几何体的侧视图为选项B.3．(教材改编)如图，直观图所表示的平面图形是()A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形答案 D解析由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后原图AC∥y轴，BC∥x轴．直观图还原为平面图形是直角三角形．故选D.4．(2016·长春三模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A ．20B ．18C ．14＋2 3D ．14＋2 2 答案 A解析 由三视图可得该几何体的直观图如图所示，其为一个正方体截掉4个角后形成的几何体，故该几何体的表面积为S ＝2×2＋2×2＋4×12×2×2＋4×12×2×22＋12＝20.5．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是________．答案143解析 由四棱台的三视图可知，台体上底面面积S 1＝1×1＝1，下底面面积S 2＝2×2＝4，高h ＝2，代入台体的体积公式V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h ＝13×(1＋1×4＋4)×2＝143.题型一 空间几何体的结构特征 例1 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③存在每个面都是直角三角形的四面体； ④棱台的侧棱延长后交于一点． 其中正确命题的序号是________．答案②③④解析①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知．思维升华(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．(1)以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3(2)给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正确的命题为________．答案(1)B(2)①②③解析(1)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，故选B.(2)对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，侧棱垂直于底面，故④正确．综上，命题①②③不正确．题型二 简单几何体的三视图 命题点1 已知几何体，识别三视图例2 (2016·济南模拟)如图，多面体ABCD －EFG 的底面ABCD 为正方形，FC ＝GD ＝2EA ，其俯视图如图所示，则其正视图和侧视图正确的是( )答案 D解析 正视图的轮廓线是矩形DCFG ，点E 在平面DCFG 上的投影为DG 的中点，且边界BE ，BG 可视，故正视图为选项B 或D 中的正视图，侧视图的轮廓线为直角梯形ADGE ，且边界BF 不可视，故侧视图为选项D 中的侧视图，故选D. 命题点2 已知三视图，判断几何体的形状例3 (2016·全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π 答案 A解析 由该几何体的三视图可知，这个几何体是把一个球挖掉它的18得到的(如图所示)．设该球的半径为R ，则78×43πR 3＝283π，得R ＝2.所以它的表面积为4π×22－18×4π×22＋3×14×π×22＝17π.故选A.命题点3 已知三视图中的两个视图，判断第三个视图例4 (2016·石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该棱锥的侧视图可能为( )答案 D解析 由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD ⊥平面BCD ，故选D.思维升华 三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(1)(2016·全国丙卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A．18＋36 5 B．54＋18 5C．90 D．81(2)如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，则该几何体的侧视图为()答案(1)B(2)B解析(1)由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3,3，45，几何体的表面积S＝3×6×2＋3×3×2＋3×45×2＝54＋18 5.(2)由直观图、正视图和俯视图可知，该几何体的侧视图应为面P AD，且EC投影在面P AD 上，故B正确．题型三空间几何体的直观图例5(1)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a2(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形 答案 (1)D (2)C解析 (1)如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.故选D.(2)如图，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42(cm)，CD ＝C ′D ′＝2 cm.∴OC ＝OD 2＋CD 2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形．故选C. 思维升华 用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．如图所示，△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，且△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，则△ABC 的面积为________．答案62a 2 解析 建立如图所示的坐标系xOy ″，△A ′B ′C ′的顶点C ′在y ″轴上，边A ′B ′在x 轴上，把y ″轴绕原点逆时针旋转45°得y 轴，在y 轴上取点C 使OC ＝2OC ′，A ，B 点即为A ′，B ′点，长度不变．已知A ′B ′＝A ′C ′＝a ，在△OA ′C ′中， 由正弦定理得OC ′sin ∠OA ′C ′＝A ′C ′sin 45°，所以OC ′＝sin 120°sin 45°a ＝62a ，所以原三角形ABC 的高OC ＝6a ， 所以S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2.10．空间几何的三视图典例 将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )错解展示解析 结合正方体中各顶点投影，侧视图应为一个正方形，中间两条对角线． 答案 C 现场纠错解析 侧视图中能够看到线段AD 1，应画为实线，而看不到B 1C ，应画为虚线．由于AD 1与B1C不平行，投影为相交线，故应选B.答案 B纠错心得确定几何体的三视图要正确把握投影方向，可结合正方体确定点线的投影位置，要学会区分三视图中的实虚线.1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是()A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d答案 A解析当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.2．(2016·全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π 答案 C解析 由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l ＝(23)2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S 锥侧＝12×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S 柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S ＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.3．(2016·大连一模)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥P －A 1B 1A 的侧视图是( )答案 D解析 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，从左侧看三棱锥P －A 1B 1A ，B 1、A 1、A 的投影分别是C 1、D 1、D ；AB 1的投影为C 1D ，且为实线，P A 1的投影为PD 1，且为虚线．故选D. 4．(2015·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A．1 B. 2 C. 3 D．2答案 C解析根据三视图，可知该几何体的直观图为如图所示的四棱锥V－ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝ 3.5．(2017·黄山质检)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为()答案 C解析根据一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图可得几何体的直观图为所以侧视图为故选C.6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是________．(填序号)答案 ①解析 由题意知，平面图形的直观图为正方形，且边长为1，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y 轴上的对角线长为2 2.7.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P －ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为________．答案 1解析 设正方体的棱长为a ，则三棱锥P －ABC 的正视图与侧视图都是三角形，且面积都是12a 2，故面积的比值为1. 8．(2015·北京改编)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是________．答案 2＋2 5解析 由三视图可得该三棱锥的直观图如图所示，其中P A ＝1，BC ＝2，取BC 的中点M ，连接AM ，MP ，则AM ＝2，AM ⊥BC ，故AC ＝AB ＝BM 2＋AM 2＝1＋4＝5，由正视图和侧视图可知P A ⊥平面ABC ，因此可得PC ＝PB ＝P A 2＋AB 2＝1＋5＝6，PM ＝P A 2＋AM 2＝1＋4＝5，所以三棱锥的表面积为S △ABC ＋S △P AB ＋S △P AC ＋S △PBC ＝12×2×2＋12×5×1＋12×5×1＋12×2×5＝2＋2 5.9．某几何体的三视图如图所示．(1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．解 (1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体．(2)直观图如图所示．10．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，求a ＋b 的最大值．解 如图，把几何体放到长方体中，使得长方体的体对角线刚好为几何体的已知棱，则长方体的体对角线A 1C ＝7，则它的正视图投影长为A 1B ＝6，侧视图投影长为A 1D ＝a ，俯视图投影长为A 1C 1＝b ，则a 2＋b 2＋(6)2＝2·(7)2，即a 2＋b 2＝8，又a ＋b 2≤a 2＋b 22，当且仅当“a ＝b ＝2”时等号成立．所以a ＋b ≤4，即a ＋b 的最大值为4.*11.已知正三棱锥V －ABC 的正视图和俯视图如图所示．(1)画出该正三棱锥的侧视图和直观图； (2)求出侧视图的面积． 解 (1)如图．(2)侧视图中VA ＝ 42－(23×32×23)2＝12＝23，则S △VBC ＝12×23×23＝6.。
北师大版2021高考数学一轮复习统考第8章立体几何第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图学案含解析
第八章立体几何第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图基础知识整合1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相01平行且02全等多边形互相03平行且04相似侧棱05平行且相等相交于06一点，但不一定相等延长线交于07一点侧面形状08平行四边形09三角形10梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，11垂直于底面相交于12一点延长线交于13一点—轴截面全等的14矩形全等的15等腰三角形全等的16等腰梯形17圆侧面18矩形19扇形20扇环—展开图(3)特殊的四棱柱2．直观图(1)画法：常用21斜二测画法．(2)规则①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为2245°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面23垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍24平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度25不变，平行于y轴的线段长度在直观图中26变为原来的一半．3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的27正前方、28正左方、29正上方观察几何体画出的轮廓线．说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．(2)三视图的画法①基本要求：30长对正，31高平齐，32宽相等．②画法规则：33正侧一样高，34正俯一样长，35侧俯一样宽；重叠的线只画一条，看不到的线画36虚线．1．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．2．在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线．3．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变. 4．直观图与原图形面积的关系S 直观图＝24S 原图形(或S 原图形＝22S 直观图)．1．下列结论正确的是( )A ．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B ．六条棱长均相等的四面体是正四面体C ．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D ．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 答案 B解析 底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A 错误；斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，C 错误；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D 错误．2．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④答案 C解析 由几何体的结构可知，如图放置的圆锥、正四棱锥各自的正视图和侧视图相同，且其不与俯视图相同；正方体的三个视图都相同；正三棱台的三个视图都不相同，故选C.3．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为( )A．2 3 B．2 2C．4 3 D．8 2答案 D解析由斜二测画法可知，原平面图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对边长为2.在斜二测画法画出的直观图中，∠B′O′A′＝45°且O′B′＝22，那么在原图形中，∠BOA＝90°且OB＝42，因此，原平面图形的面积为2×42＝82，故选D.4．(2019·广州期末)用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是( )答案 B解析俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.5．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )答案 D解析由三视图知该几何体的上半部分是一个三棱柱，下半部分是一个四棱柱．故选D.6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4答案 C解析根据三视图，还原四棱锥，如图．在四棱锥S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC.AB＝1，AD＝DC＝SD＝2.显然△SDA，△SDC是直角三角形．另外SD⊥AB，AB⊥AD，SD∩AD＝D，∴AB⊥平面SAD.又SA⊂平面SAD，∴AB⊥SA，即△SAB是直角三角形．又计算△SBC的三边长并由勾股定理知其不是直角三角形．故选C.核心考向突破考向一空间几何体的结构特征例1 下列说法正确的是( )A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点答案 B解析A错误，如图1；B正确，如图2，其中PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是矩形，可以证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错误，如图3；D错误，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．识别空间几何体的两种方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定．(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可．[即时训练] 1.下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线答案 D解析如图1知，A不正确；如图2，当两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，B不正确；若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C 错误；由母线的概念知，D 正确．考向二 平面图形与其直观图的关系例2 (1)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，则原图形OABC 的面积为( )A ．24 2B ．12 2C ．48 2D ．20 2答案 A解析 由题意知原图形OABC 是平行四边形，且OA ＝BC ＝6，设平行四边形OABC 的高为OE ，则OE ×12×22＝O ′C ′，∵O ′C ′＝2，∴OE ＝42，∴S ▱OABC ＝6×42＝24 2.故选A. (2)在等腰梯形ABCD 中，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________．答案22解析 因为OE ＝22－12＝1，所以O ′E ′＝12，E ′F ′＝24，所以直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y 轴的线段长度减半，平行于x 轴和z 轴的线段长度不变)来掌握．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．[即时训练] 2.(2019·桂林模拟)已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A.34a 2 B.38a 2 C.68a 2 D.616a 2 答案 D解析 如图①、②所示的平面图形和直观图．由②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a . 所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.3.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB 平行于y 轴，BC ，AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2，则原平面图形的面积为________．答案 8 cm 2解析 解法一：依题意可知∠BAD ＝45°，则原平面图形为直角梯形，上、下底的长分别与BC ，AD 相等，高为梯形ABCD 的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm 2.解法二：依题意可知，S 直观图＝2 2 cm 2， 故S 原图形＝22S 直观图＝8 cm 2. 精准设计考向，多角度探究突破 考向三 空间几何体的三视图角度1 由空间几何体的直观图识别三视图例 3 (1)(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )答案 A解析观察图形易知卯眼处应以虚线画出，俯视图为，故选A.(2)(2019·南昌联考)已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( )答案 C解析由题意，得该四棱锥的直观图如图1所示，则其三视图如图2.角度2 由空间几何体的三视图还原直观图例4 (1)(2019·广州二模)如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )答案 D解析先观察俯视图，由俯视图可知B和D中的一个正确，由正视图和侧视图，可知D正确．(2)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的所有面中直角三角形的个数是( )A．2 B．3C．4 D．5答案 C解析由三视图知，可将此几何体还原在正方体中，为如图所示的四棱锥P－ABCD.易知四棱锥P－ABCD的四个侧面都是直角三角形，所以此几何体的所有面中直角三角形的个数是4，故选C.角度3 由两个视图补画第三个视图例 5 (1)(2019·天津模拟)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正(主)视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )答案 B解析由几何体的正(主)视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示．从左侧观察直观图，可知截面体现为从左上到右下的虚线．故选B.(2)(2019·沈阳模拟)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )答案 C解析若俯视图为C，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高32，所以俯视图不可能是C.故选C.三视图问题的常见类型及求解策略(1)在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．(2)在由三视图还原空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．(3)常见的三视图对应的几何体 ①三视图为三个三角形，对应三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥； ③三视图为两个三角形，一个圆，对应圆锥； ④三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱柱； ⑤三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱．[即时训练] 4.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是( )答案 A解析 该几何体是正方体的一部分，结合侧视图可知直观图为A 中的图．故选A. 5．(2019·广州市综合测试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )答案 D解析 由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，其底面为正方形，面积为2×2＝4，因为该几何体的体积为13×4×2＝83，满足条件，所以该几何体的俯视图可以为一个直角三角形．6．(2019·石河子模拟)如图，点E ，F 分别是正方体的侧面ADD 1A 1和侧面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的各面上的正投影可能是图中的________．(要求把可能的序号都填上)答案 ②③解析 其中②可以是四边形BFD 1E 在正方体的下底面ABCD 上的投影；③可以是四边形BFD 1E 在正方体的侧面BCC 1B 1上的投影．如图是一正方体被过棱的中点M ，N 和顶点A ，D ，C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为( )答案 B解析还原正方体，如图所示，由题意可知，该几何体的主视图是选项B.答题启示不规则的几何体实际上是规则几何体利用“割”“补”出来的，所以识别其三视图时，常用的思路是“复原”，即把这个放在规则几何体(如正方体、长方体)中去认识几何体的特征．对点训练正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为( )答案 C解析过点A，E，C1的平面与棱DD1相交于点F，且F是棱DD1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如图所示，则其正视图应为选项C.1、在最软入的时候，你会想起谁。
【赢在高考】2014届高考数学第一轮复习配套课件：8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图
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第 1 讲 空间几何体的结构、 三视图和直观图
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考 纲 展 示
1.认识柱、锥、台、球及其简单组 合体的结构特征, 并能运用这些特 征描述现实生活中简单物体的结 构. 2.能画出简单空间图形( 长方体、 球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易 组合)的三视图,能识别上述三视 图所表示的立体模型, 会用斜二测 法画出它们的直观图. 3.会用平行投影方法画出简单空 间图形的三视图与直观图, 了解空 间图形的不同表示形式.
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1.无论怎么放置, 其三视图完全相同的几何体是( A.正方体 B.长方体 C.圆锥 D.球 【答案】 D 【解析】 球的三视图完全相同.
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2.一个棱柱是正四棱柱的条件是( ) A.底面是正方形, 有两个侧面是矩形 B.底面是正方形, 有两个侧面垂直于底面 C.底面是正方形, 且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱 【答案】 C 【解析】 根据正四棱柱的结构特征加以判断.
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T 题型一几何体的结构、几何体的定义
例 1 下面是关于四棱柱的四个命题: ①若有两个侧面垂直于底面, 则该四棱柱为直四棱柱; ②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面, 则该四棱柱为直四 棱柱; ③若四个侧面两两全等, 则该四棱柱为直四棱柱; ④若四棱柱的四条对角线两两相等, 则该四棱柱为直四棱柱. 其中, 真命题的序号是 ( 写出所有真命题的序号) . 根据几何体的结构特征进行判断. 【答案】 ②④
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3.用任意一个平面截一个几何体, 各个截面都是圆, 则这个几何体一 定是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 【答案】 C 【解析】 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时, 截面分别为矩形和三 角形, 只有球满足任意截面都是圆面.