数学建模中的有价证券投资
数学建模在投资风险管理中的应用
数学建模在投资风险管理中的应用一、引言在现代金融市场中，投资风险是不可避免的。
因此，如何有效地管理风险，达到更好的投资效果，一直是金融工作者们需要解决的核心问题。
数学建模作为一种工具，可以通过对金融数据进行分析、预测和优化，从而帮助投资者更好地管理风险。
二、基础数学知识在投资分析中的应用在投资分析中，基础数学知识如统计学、概率论、线性方程组、微积分等都有着重要的应用。
例如，在股票价格的分析中，投资者可以利用概率分布函数和统计方法来预测股票价格的走势。
同时，利用线性代数和微积分等数学方法，可以对多个股票进行组合投资的裸跑分析。
此外，在金融衍生品的定价分析中，利用微积分和概率论可以推导出定价公式，帮助投资者更好地进行衍生品的买卖和对冲。
三、数据分析在投资管理中的应用随着现代技术的不断发展，大量的投资数据也得到了收集和分析。
在投资管理中，数据分析可以帮助投资者更好地理解市场的趋势和动向，从而做出更为准确的投资决策。
例如，通过对历史股票价格的分析，可以发现股市的波动是有一定规律的，因此投资者可以利用这一规律制定相应的投资策略。
同时，在量化投资中，数据分析技术也被广泛应用，例如通过构建多因子模型来挖掘市场的潜在机会，从而达到更好的投资效果。
四、金融风险管理中的数学模型金融风险是投资过程中需要面对的一个重要挑战，而数学建模可以帮助我们更好地管理这些风险。
例如，在对冲基金风险管理中，利用随机过程和蒙特卡罗模拟等数学方法，可以帮助投资者更好地估计风险值。
同时，利用协方差矩阵和极值理论等数学工具，可以对股票组合进行风险分析和优化配置。
此外，金融市场中还存在着利率风险和信用风险等多种风险，针对不同类型的风险，数学模型也可以提供相应的解决方案。
五、结论综上所述，数学建模在投资风险管理中有着广泛的应用，基础数学知识可以帮助投资者更深入地理解市场的运作机制，数据分析技术可以帮助投资者更好地把握市场的趋势和动向，而金融风险管理中的数学模型则可以帮助投资者更好地管理和控制风险，从而达到更好的投资效果。
有价证券数学建模竞赛C题答
承诺书我们仔细阅读了西安铁路职业技术学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：西安铁路职业技术学院（龙首校区）参赛队员 (打印并签名) ：1. 张玉辇（组长）2. 张斌3. 崔超指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：日期： 2011 年 6 月 17 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：学院统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：学院评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：有价证券投资决策优化模型摘要针对有价证券投资的决策问题，我们在充分理解题意的基础上，提出合理的假设并采用了连续线性规划模型对本题进行了讨论和求解，解决了以下问题。
对于问题一，该问题的目标是有价证券回收的利息为最高，要做的决策是投资计划，即应购买的各种证券的数量的分配。
综合考虑：特定证券购买、资金限制、平均信用等级、平均年限等条件，按照题目所求，依据决策变量、决策目标和约束条件指定0-1变量建立0-1规划模型，并用LINGO软件求得应向市政1(X1=万元）、政府1（X3=万元）、市政2(X5=万元)投资,才能获得最大收益(Z=万元)。
对于问题二，在引入借贷资金的情形下我们进一步假设约束条件，建立了连续性优化模型，并与问题一进行比较得出借贷资金利息比收益金额还要高，所以对于问题二用借贷资金投资是不划算的。
数学建模：投资方案选择
二.层次法分析建模
（一）问题分析
选定的三种资产（公司债券、股 票、政府债券），受到多种因素 的影响，并且具有共通性和层次 性，因而用层次分析法来比较三 种方案的优度是可行的。我们选 择4个影响因素---收益率、风险 、到期期限、交易费用来进行分 析。这4个因素与资产的受欢迎 度分别成正相关、负相关、负相 关、负相关。
假设市场是有效的； 投资者的资金总量是一定的，不会随着
投资方案的改变而改变； 只存在三种单个资产可供投资者选择，
投资者不能进行资产组合。
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三.定量定性分析法建模
（三）模型建立
1.提出基本模型准则
最佳的投资方案必须是定量与定性因素的最佳平衡方 案，在此，我们必须再次引入优度（Munificent）的 概念，我们引入优度表达如下：
M Ej ----第j方案定量因素的优度； M Nj ----第j方案定性因素的优度；
----定量因素的权重 (0 1)
二.层次分析法建模
（三）模型建立
一致性检验
K
(3)
wk
k
CIk
1 0.290 0.660 0.050 3.170 0.085
2 0.334 0.076 0.590 3.073 0.036
3 0.107 0.663 0.260 3.083 0.019
4 0.193 0.083 0.724 3.067 0.034
三.定量定性分析法建模
数学建模线性规划上机题
例1 (任务安排)某厂计划在下月内生产4种产品B1，B2，B3，B4。
每种产品都可用三条流水作业线A1，A2，A3中旳任何一条加工出来．每条流水线（Ai）加工每件产品（Bj）所需旳工时数(i＝1,2,3,j=1,2,3,4)、每条流水线在下月内可供运用旳工时数及多种产品旳需求均列表于4.1中．又A1，A2，A3三条流水线旳生产成本分别为每小时7，8，9元。
现应怎样安排各条流水线下月旳生产任务，才能使总旳生产成本至少？例2 (外购协议)某企业下月需要B1，B2，B3，B4四种型号旳钢板分别为1000，1200，1500，2023吨。
它准备向生产这些钢板旳A1，A2，A3三家工厂订货。
该企业掌握了这三家工厂生产多种钢板旳效率（吨/小时）及下月旳生产能力（小时），如表4.2所示。
而它们销售多种型号钢板旳价格如表4.3所示。
该企业当然但愿能以至少旳代价得到自己所需要旳多种钢板，那么，它应当向各钢厂订购每种钢板各多少吨？假设该企业订购时采用如下原则，要么不订购，要么至少订购100吨以上。
该怎样处理这个问题。
若至少订购50吨，怎样处理？例3 (广告方式旳选择) 中华家电企业近来生产了一种新型洗衣机．为了推销这种新产品，该企业销售部决定运用多种广告宣传形式来使顾客理解新洗衣机旳长处。
通过调查研究，销售部经理提出了五种可供选择旳宣传方式．销售部门并搜集了许多数据。
如每项广告旳费用，每种宣传方式在一种月内可运用旳最高次数以及每种广告宣传方式每进行一次所期望得到旳效果等．这种期望效果以一种特定旳相对价值来度量、是根据长期旳经验判断出来旳．上述有关数据见表4．8中华家电企业拨了20230元给销售部作为第一种月旳广告预算费、同步提出，月内至少得有8个电视商业节目，15条报纸广告，且整个电视广告费不得超过12023元，电台广播至少隔日有一次，现问该企业销售部应当采用怎样旳广告宣传计划，才能获得最佳旳效果?例4 长城家电企业近来研制了一种新型电视机．准备在三种类型旳商场即一家航空商场、一家铁路商场和一家水上商场进行销售．由于三家商场旳类型不同样，它们旳批发价和推销费都不同样。
基于数学建模的投资选择问题
基于数学建模的投资选择问题理财顾问需要帮助客户选择股票投资。
客户希望购买总值为10万元的6支不同股票。
以下是各国期望收益率：日本：5.3%，英国：6.2%，法国 5.1%，美国：4.9%，德国：6.5%，法国：3.4%。
（1）客户不希望向顾问所给出的的每支股票都投资。
如果购买了一个公司的股票，则至少要投资5000元，否则将完全不购买此股票。
如何投资回报最高？（2）如果购买第i支股票的风险损失率为，各支股票的风险损失率如下：股票编号1：1.5%,2: 1.9%,3: 1.1%,4: 0.9%,5: 1.2%,6: 0.5%如何分配此资金，使投资回报尽量高，总体风险最小？2问题一模型建立与求解2.1问题一的模型建立根据题目要求我们设置0 1变量Yi，要使回报最高，则目标函数为:此外还要求将一半的资金投入到欧洲的股票中，并且至多30%的资金用于购买技术股。
则应有约束条件：那么投资最大回报率可通过以下模型来计算：2.2问题一的求解结果得出结果最高回报即投资股票编码(1)40000元和股票编码(2) 10000元和股票编码(3) 0元和股票编码(4) 10000元和股票编码(5) 40000元和股票编码(6)0元得到最高回报5830元。
3问题二模型建立与求解3.1 问题二分析我们建立三个模型对应三种情况。
（1）不同风险偏好对应不同组合。
（2）固定收益。
（3）固定最高风险率。
在此基础上求出组合和最高回报。
3.2问题二的模型建立根据题目要求我们设置风险偏好为50%，要使回报Z最高，则要使得A最小。
则目标函数为:则约束条件为:那么投资最大回报率可通过以下模型来计算：3.3问题二的模型求解结果得出结果最高回报即投资 (1)1000元和 (2) 10000元和 (3)0元和 (4) 40000元和 (5) 40000元和(6) 0元得到最高回报5710元.3.4问题二的模型二建立根据题目要求我们固定为5000元，要使回报Z最高，则要使得A最小。
建模大队
题目: 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资问题摘要1、研究目的：在进行投资前，需要确定这个投资的目标，此次投资，需要达到的目标在风险损失最小的情况下达到最大收益。
2、建立模型思路：首先，本文针对目前流行的各种不同的证券发行方案，建立；了三个线性规划模型，得出最佳的证券组合投资方案。
3、在第一个模型中，本文对承受风险的程度，收益进行简化，利用线性代数与线性规划知识将多目标规划变成一个目标的线性规划；在第二个模型中，本文固定盈利水平，极小化风险，利用线性代数与线性规知识建立了线性规划模型；在第三个模型中，利用相同的约束条件建立线性规划模型。
利用MATLAB 工具箱中的linprog 函数对模型一和二进行求解。
模型三实质上是对模型一中系数税前收益（ ）进行灵敏度分析，利用LINGO 软件包对模型进行求解，程序编制见附录4、本文在建模时考虑了风险损失、净收益和需要满足的限制条件用MATLAB 进行了精确的数据处理，并且使用LINGO 软件进行灵敏度分析和检验，讨论了上述模型的精度和稳定性5、最后，本文通过改变，得出简化后的模型。
（1）)()1(max 44332205511x p x p x p r x p x p ∙+∙+∙∙-+∙+∙ （2）}}max{min{R i i x q ∙= （3）)}}()1(){1(}max{{min 44332205511x p x p x p r x p x p s x q s i i ∙+∙+∙∙-+∙+∙--∙关键词：线性规划、简化、固定、极小化、MATLAB 、灵敏度、LINGO一、问题重述内容要点：1、问题背景：改革开放以来，中国经济社会取得了巨大的进展。
尤其是改革开放以后，经济发展速度之快，成就之高，有目共睹。
进入新世纪，中国政治稳定，经济持续增长，通货膨胀率较低，货币坚挺，外债结构合理，国际收支平衡有余，进口类关税不断降低，投资环境不断改善，最近中国已经成功加入世界贸易组织(WTO)，加上国家已经开始实施西部大开发战略，这将更进一步促使投资环境的改善，中国可望成为世界各国投资者青睐的比较理想的投资场所。
投资问题数学建模(Word最新版)
投资问题数学建模通过整理的投资问题数学建模相关文档，渴望对大家有所扶植，感谢观看！数学模型第一次探讨作业问题：某部门现有资金10万元，五年内有以下投资项目供选择：项目A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%；项目B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投资额为4万元；项目C：其次年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投资额为3万元；项目D：每年初投资，年末收回本金且获利6%；问如何确定投资策略使第五年末本息总额最大？问题分析：用表示第i年对第j个项目的投资金额要使第五年年末本息总额最大，应当在每年将全部可用资金都用于投资，以确保资金的充分利用，由于项目投资均发生在年初，故以下只探讨年初的投资状况：第一年：其次年：手上资金（即第一年年末收回资金）为，全部用来对可投资项目投资，则有= 第三年：同理，有= 第四年：= 第五年：= 第五年年末本息和为（即第五年所能收回的全部资金）建立模型：= = = = ，求解模型：Lingo解法：可编写lingo程序如下：model: max=1.06*x54+1.15*x41+1.25*x32+1.4*x23;!目标函数; x11+x14=10;!以下约束条件表示每年资金全部用于投资;1.06*x14=x21+x23+x24; 1.15*x11+1.06*x24=x31+x32+x34;1.15*x21+1.06*x34=x41+x44; 1.15*x31+1.06*x44=x54; x23<=3;!限制B,C项目的最大投资额; x32<=4; end 运行结果如下：Global optimal solution found. Objective value: 14.37500 Infeasibilities:0.000000 Total solver iterations:1 Variable Value Reduced Cost X54 0.000000 0.000000 X41 4.500000 0.000000 X32 4.000000 0.000000 X23 3.000000 0.000000 X11 7.169811 0.000000 X14 2.830189 0.000000 X21 0.000000 0.000000 X24 0.000000 0.3036000E-01 X31 0.000000 0.000000 X34 4.245283 0.000000 X44 0.000000 0.2640000E-01 Row Slack or Surplus Dual Price1 14.37500 1.0000002 0.000000 1.4018503 0.000000 -1.3225004 0.000000 -1.2190005 0.000000 -1.1500006 0.000000 -1.0600007 0.000000 0.7750000E-018 0.000000 0.3100000E-01 所得最优值为14.375万元，对应的最优解为: x11=7.169811,x14=2.830189,x23=3,x32=4,x34=4.245283,x41=4.5,其余值为0 即第一年对A项目投资7.169811万元，对D项目投资2.830189万元；其次年对C项目投资3万元；第三年对B项目投资4万元，对D项目投资4.245283万元；第四年对A项目投资4.5万元。
数学建模——公司投资问题
公司最优投资方案的数学模型摘要本文解决的是某公司在未来5年内最优的投资方案问题,通过对该公司财务分析人员提供的数据〔附录一到四〕的统计分析,我们建立了三个最优化模型.对于问题一,在考虑该公司现有资本与收益的情况下,以第五年末所得利润的最大值作为目标函数,以每年的投资上限和各项目投资方式限制作为约束条件,建立了单目标最优化模型.然后利用Lingo编程求得该公司在第五年末可以获利大,我们采用将灰色预测和时间序列模型的二次指数平滑法组合的预测方式进行预测,预测了今后五年各项目独立投资与项目之间相互影响下的投资的到期利润率,以样本数据的方差值作为各项目的风险损失率,运用Matlab编程求出到期利润率,并利用Excel求出风险损失率,其具体结果见表十、十一和十二.对于问题三,结合问题二的预测结果,考虑该公司争取到的资金捐赠,建立了与问题一相同的目标函数,即第五年末所得利润的最大值,改变了约束条件.然后利用Lingo编程求得该公司在第五年末可以获利润38.1238亿元,最佳的投资方案见表十三.对于问题四,建立了与问题三相同的模型,即目标函数相同.问题四是在问题三的基础上考虑了风险投资率,即增加了约束条件.依照该模型求得该公司在第五年末可以获利润13.2814亿元,最佳的投资方案见表十四.对于问题五,根据题目要求,采用同样的思想建立模型五,以第五年末还贷款后回收的总金额〔包括投资本利和,存款本金与利息〕作为目标函数,建立新的约束条件〔考虑投资风险率〕.利用Lingo求得该公司在第五年末可以获利润33.9814亿元,最佳的投资方案见表十五.关键词：单目标最优化灰色预测模型二次指数平滑法组合预测1.问题重述1.1 问题背景某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金,市场上有8个投资项目〔如股票、债券、房地产、…〕可供公司作投资选择.其中项目1、项目2每年初投资,当年年末回收本利〔本金和利润〕；项目3、项目4每年初投资,要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资,要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资,到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资,到第五年末回收本利.在本文中,我们考虑提出该公司最优的投资方案.该公司的财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据时发现,在具体对这些项目投资时,实际还会出现项目之间相互影响等情况.而在未来5年的投资计划中,还包含了对投资项目1,公司管理层争取到一笔资金捐赠,若在项目1中投资超过20000万,则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠,用于当年对各项目的投资；项目5的投资额固定为500万,可重复投资以与各投资项目都有投资上限〔见附录四〕的情况.1.2 需要解决的问题问题一：根据附录一给出的数据,确定五年内如何安排该公司的投资计划,并使得第五年末所得利润最大.问题二：根据附录二和三提供的数据,预测今后五年各项目独立投资与项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率.问题三：考虑到未来5年的投资计划中的其他情况,根据问题二预测结果,确定5年内如何安排20亿的投资并使得第五年末所得利润最大.问题四：将投资风险考虑到问题三中的投资问题,又该如何决策.问题五：为了降低投资风险,公司可拿一部分资金存银行,为了获得更高的收益,公司可在银行贷款进行投资,在此情况下,公司又应该如何对5年的投资进行决策？2.模型的假设与符号说明2.1 模型的假设假设一：在投资期内,我们只考虑不可预测因素引起的平均风险损失；假设二：投资项目以与银行的利润率在预测期内是稳定不变的；假设三：附录一中给定的数据真实可靠,具有较好的代表性.假设四：只考虑项目3、4、5、6和5、6、8同时投资时之间存在相互影响,其他情况不做考虑.假设五：当用20亿资金投资若干种项目时,总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量假设六：银行未来五年内的存款年利润率和贷款年利润率不变3.问题分析此题研究的是某公司未来5年内的投资资金的使用问题,属于经济模型中的决策模型.虽然我们针对问题一、三和四建立的三个单目标最优化模型的目标函数相同,但由于各个项目都有投资要求和回收本利的时间限制,所以对于不同的情况,就具有不同的约束条件.针对问题一,考虑到项目1、2每年初投资,当年年末回收本利；项目3、4每年初投资,要到第二年末才可回收本利；项目5、6每年初投资,第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资,到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资,到第五年末回收本利作为约束条件,以与初始资金共20亿.以第五年末所得利润最大为目标函数,建立了一个单目标最优化模型.针对问题二,要对各项目独立投资与项目之间相互影响下的投资的到期利润率进行预测,首先,要求出历年来的各项目独立投资与项目之间相互影响下的投资的到期利润率,然后考虑采用插值拟合对附录二、三的缺省值进行预测,在选择适合本问题精度较高的预测模型,进行对比后,我们采用了综合灰色预测模型和二次指数平滑法的预测方式.对于风险投资率,以样本数据的方差值作为各项目的风险损失率.针对问题三,在问题一的模型上改变了约束条件,即各项目的投资上限,项目5的投资额固定为500万且可重复投资和资金捐赠问题.结合问题二的预测结果,和问题一相同的目标函数的单目标最优化问题.针对问题四,是在问题三的投资问题上增加了风险投资率.也就是将问题三中的到期利润率换成实际利润率即可求解.即目标函数不变,增加了约束条件的单目标最优化问题.针对问题五,考虑到降低风险投资,该公司决定拿出一部分资金存入银行.为了获得更高的收益,当投资风险率高时,公司应选择在银行存大部分资金,而用小部分资金投资；当投资风险率低时,应选择在银行贷款进行投资.所以,我们以第五年末还贷款后回收的总金额〔包括投资本利和,存款本金与利息〕最大作为目标函数的单目标最优化模型.4.数据分析4.1 数据处理题目附录四中给出了各种投资项目的方案以与投资上限,我们利用Excel软件和Matlab编程对这些数据进行了相关统计分析和处理.首先,我们根据附录二、三求出项目独立投资与项目之间相互影响下的投资的到期利润率.其中,整理求得后的数据见附录五、六〔相关程序见附录〕.4.2 数据预测为方便分析以与组合预测法预测,我们对附录二、三的到期利润率的缺省值进行预测,采用多项式插值拟合的方式.4.2.1 多项式插值拟合的建立所谓插值,就是由有限个已知数据点,构造一个解析表达式,由此计算数据点之间的函数值.曲线拟合就是计算出两组数据之间的一种函数关系,由此可描绘其变化曲线与估计非采集数据对应的变量信息.我们选择项目一历年的到期利润率利用Excel软件对其分析,见下图.可见历年来,项目一的利润率变化波动比较大,同样的操作,发现所有项目的到期利润率波动都比较大.而且经过我们统计分析,这8个项目不管是独立投资还是同时投资时,历年来到期利润率的波动性都比较大.所以,我们采用三次多项式的插值拟合对数据进行预测.通过对每组数据,使用matlab构造解析表达式,再进行预测<相关程序见附录>.在本题中,我们将年份即从1986年开始到20##之间的时间作为自变量,设为t；到期利润率作为因变量,设为y.其中时间t,从1986年开始,即设为单位1,以此类推.4.2.2 预测结果通过插值拟合对各投资项目独立投资和一些项目同时投资时历年的到期利润率的缺省值进行预测的结果记录于下表〔具体数据见附录五、六〕：表一：各投资项目独立投资时03—05年的到期利润率与预测值〔加粗斜体为预测值〕5.问题一的解答问题一要求确定5年内的投资方案使得第五年末所得利润最大,且属于无风险投资.这是线性规划中的最优解问题.针对问题一,我们建立了模型一. 5.1 模型一的建立 5.1.1 确定目标函数该模型是为了解决公司在五年内如何安排投资和在第五年末所获得的最大利润.为解决此问题,我们将公司在第五年末所得利润的最大值作为目标函数. 该公司第一年年初只能对前六个项目〔项目1,项目2项目6〕进行投资,且6个投资项目预计到期利润率都大于0〔见附录一〕,所以第一年20亿全用于投资.当第一年年末将本金和利息都回收后再在第二年利用该资金对一部分项目进行再次投资即可,所以建立了如下的目标函数〔第五年末所得利润值〕： 5.1.2 确定约束条件〔1〕对于这8个项目,每年年初该公司的投资金额应不大于其各自的投资上限〔见附录一〕,即：〔2〕每年年初总投资金额应不大于所有可投资的金额〔前一年回收的本金利润和〕,即：其中,第一年的总投资金额不应大于20亿,则j Z 为： 注：1Z =20亿元表示第一年年初可用于投资的总金额〔3〕对于项目1,2,每年初投资,当年年末回收本利；对于项目7只能在第二年年初投资,到第五年末回收本利；对于项目8只能在第三年年初投资,到第五年末回收本利；则： 特别地,〔4〕对于项目3,4,每年年初投资,第二年末回收本利,则：,1(1)i j i j i y x p -=+,3,4i =,2,3,4,5j = 〔5〕对于项目5,6每年年初投资,第三年末回收本利,则：,2(1)i j i j i y x p -=+,5,6i =,3,4,5j =综合〔1〕、〔2〕、〔3〕、〔4〕和〔5〕可得到,问题一的约束条件.5.1.3 综上所述,得到问题一的单目标最优化模型 5.2 模型一的求解根据上述的目标函数,我们利用Lingo 编程〔相关程序见附录八〕,求出了该公司5年内最佳的投资方案〔投资金额〔单位：亿元〕〕,具体数据见下表：数据的灵敏度分析同样适用Lingo 求解,具体结果见附录八.6.问题二的解答对于问题二,要预测今后五年各项目独立投资与项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率,首先要对提供的数据进行处理.我们已经通过插值拟合对附录表二、三的数据的缺省值进行了预测,见附录五、六. 6.1 模型二的准备首先对今后五年各项目独立投资与项目之间相互影响下的投资的到期利润率进行灰色预测,得到的结果误差较大〔最高的百分绝对误差为5.3704%〕, 又利用时间序列预测模型中的一、二、三次指数平滑预测法进行预测,结果也都不理想.通过用一、二、三次的指数平滑法来预测1986—20##的到期利润率,与真实值比较后发现,二次指数平滑法的预测效果要好于其他两种〔具体对比数据见附录七〕.所以我们采用组合预测方法,组合预测方法就是先利用两种或两种以上不同的单项预测法对同一预测对象进行预测,然后对各个单独的预测结果做适当的加权平均,最后取其加权平均值作为最终的预测结果的一种预测方法. 6.2 模型二的建立在本题中,我们采用灰色GM<1,1〕法和二次指数平滑法的组合预测模型来预测今后五年各项目独立投资与项目之间相互影响下的投资的到期利润率.这里采用均方误差确定加权系数.首先,我们把1986-20##分为两个时间段,即：前十年为一段,后十年为一段.然后,我们分别用灰色GM<1,1〕法和二次指数平滑法根据1986-1995年到期利润率预测1996-20##的到期利润率. 6.2.1 灰色预测模型的建立⑴原始数据,原始数据1986-1995年的到期利润率数据〔即〕表示为⑵ 计算生成序列(1)X ,用GM<1,1>建模时,首先我们对原始数据(0)X作一次累加得到(1)X序列(1)(0)1()()(1,2...)i m x i x m i n == =∑可以得到相应的K的递增系列()()()()(1)(1)(1)(1)1,2,,X x x xn = ⑶得到模型的白化方程,首先对(1)X 计算紧邻均值生成(1)jZ：接着我们根据GM<1,1>建模,写出灰色函数：()()()()01x k a z k b +=根据最小二乘参数估计法估计参数矩阵再利用离散数据系列建立近似的微分方程模型,得到GM<1,1>的白化方程即：()()()()11d x t a x t b d t+=⑷ 白化方程的求解,得到预测值(0)^X表达式,其白色方程的解为时间响应函数()()()()()1011a t b b x k x e a a--⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭通过改变k 的值我们可以得出原始数据序列(0)X 的预测值为：6.2.2 灰色模型的预测在已知各投资项目独立投资和一些同时投资的项目从1986年到20##到期利润率的前提下,应用灰色预测对06—10年的到期利润率进行预测.预测结果见表四、五.[1]原始数据,原始数据1986-1995年设为时间序列为T t y y y y ,,,,21,[2]取移动平均的项数T N <,则移动平均数的递推公式有 以)1(t M 作为N t y -的最佳估计,则有)1(1)1(1)1(1)1()11(----+=-+=t t t t t tM NN y N M y MM；[3]计算一次指数平滑公式,令N1=α,α为加权系数,对于该模型我们采用.20=α〔通过比较8.0,6.0,2.0分别取α后的预测结果,我们采用误差较小的0.2作为加权系数〕,以t S 代替)1(t M ,即得:∑∞=----=-+=0)1(1)1()1()1(j j t jt t ty S y Sαααα,其中,1)1(1)1(0=--=-∑∞=ααααj j得到一次指数平滑公式为：[4]建立二次平滑指数公式,根据一次指数平滑公式,再做二次指数平滑,利用滞后偏差的规律建立直线趋势模型,计算公式为当时间序列{}t y ,从某时期开始具有直线趋势时,可用直线趋势模型进行预测.由于时间序列的数据较多,为20个,初始值对以后的预测值影响较小,所以,我们选用第一个数据为初始值. 6.2.4 二次指数平滑法的预测应用二次指数平滑法对2006—20##的到期利润率进行预测.预测结果见表六、七.应用两种预测法对1996-20##的到期利润率进行预测.这10年的实际值与预测值见附录五.由1996-20##预测值与实际值的均方误差〔MSE 〕确定加权系数. 〔1〕设n x y t t ,,〔nt ,2,1=〕分别表示预测值,实际值和预测数据个数,那么由公式 ∑=-⋅=n t tt x y n 12)(1MSE 可分别求出灰色GM<1,1〕法和二次指数平滑法的均方误差1MSE ,2MSE .故 ：灰色GM<1,1〕法的权系数： 211MSE MSE MSE 1+-=α二次指数平滑法的权系数： 212MSE MSE MSE 1+-=β〔2〕设21,y y 分别表示灰色GM<1,1〕法和二次指数平滑法的预测值,则组合预测值为21y y y βα+=. 6.2.6组合预测模型的预测应用Excel 求出灰色GM<1,1〕法和二次指数平滑法的均方误差1MSE ,2MSE 与权系数α,β见下表八,表九：为了检验预测效果,我们引入均方根误差〔Root Mean Squared Error,简称RMSE 〕对预测性能进行评价,它是一种常用的误差度量标准,其计算公式为： 其中,i x 是实测值,'i x 为预测值,n 为预测检验个数.显然,该指标的值越小说明预测精度越高.我们采用均方根误差对组合预测法进行精度检验,使用的数据中,预测值为对1996—20##五年的组合预测法计算出的数据,实测值是这五年的真实数据.采用EXCEL 软件对数据统计分析,将计算得到结果记录于下表中：从上表可以看出得到的均方差的值都较小,将其与灰色预测模型和二次指数平滑法相比较,发现其效果稍好.说明检验效果很好. 6.3 模型二的求解 〔1〕对该公司从2006—20##的各项目独立投资与项目之间相互影响下的投资的到期利润率的组合预测值为：由于投资越分散.总的风险越小,预测风险损失率可以通过方差分析来实现.由此建立了如下的方差模型：根据该方差模型可分别计算出今后五年各项目独立投资与项目之间相互影响下的投资的风险损失率. 6.4 问题二的结果最终今后五年各项目独立投资与项目之间相互影响下的投资的到期利润率的预测结果见表十、十一；风险损失率的预测结果见表十二.7.问题三的解答问题三是在问题二的预测结果基础上,利用公司争取到的资金捐赠,确定合理的投资方案,使得第五年年末公司所得利润最大,且属于无风险有捐赠投资.模型三同模型一,建立以公司在第五年末所得利润的最大为目标的单目标最优化模型.7.1 模型三的建立 7.1.1 确定目标函数由于问题三与问题一的目标函数相同,即使第五年末所得利润值最大,我们建立了如模型一的目标函数： 7.1.2 确定约束条件由问题三可知,模型三与模型一在各项目的投资回收要求上具有相同的约束条件,再结合问题二的预测结果,得到关于各项目投资回收的新约束条件为： 〔1〕对于项目1,2,7,8：(1)i j i j i j y x p =+,1,2,7,8i =,1,2,3,4,5j = 特别地,70,1,3,4,5j x j ==；80,1,2,4,5j x j ==〔2〕对于项目3,4：,1(1)i j i j i j y x p -=+,3,4i =,2,3,4,5j = 〔3〕对于项目5,6：,2(1)i j i j i j y x p -=+,5,6i =,3,4,5j =而对于问题三,该公司未来5年的投资计划中,还包含以下情况：〔4〕项目5的投资额固定,为500万,可重复投资,即：〔5〕对投资项目1,公司管理层争取到一笔资金捐赠,若在项目1中投资超过20000万,则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠,用于当年对各项目的投资.为方便建模,我们定义了一个判别函数：即当在项目1中投资超过20000万时,1)(=t f ；反之,0)(=t f .则对各项目投资的总金额和到期回收的本利总金额,有：第一年,对于投资项目1,2,3,4,5,6,有 第二年,对于投资项目1,2,3,4,5,6,8 ,有 第三年,对于投资项目1,2,3,4,5,6,8 , 第四年,对于投资项目1,2,3,4,有 第五年,对于投资项目1,2,有综合〔1〕、〔2〕、〔3〕、〔4〕和〔5〕可得到,问题三的约束条件. 7.1.3 综上所述,得到问题三的单目标最优化模型 7.2 模型三的求解根据上述的目标函数,我们利用Lingo 编程〔相关程序见附录八〕,求出了该公司5年内最佳的投资方案〔投资金额〔单位：亿元〕〕,具体数据见下表十三：8.问题四的解答问题四是在问题三的基础上,考虑投资风险,即问题四是有风险有捐赠的投资.目标函数相同,针对问题四,我们建立了模型四. 8.1 模型四的建立 8.1.1 确定目标函数为使第五年末所得利润值最大,我们建立了目标函数： 8.1.2 确定约束条件对于问题四,当考虑投资风险时,那么投资时就要考虑投资风险率,即实际利润率=到期利润率—风险损失率；表示为：所以,对于问题四,是在问题三的基础上考虑了风险投资率；所以问题四只需在问题三的模型中,将到期利润率换成实际利润率即可求解.得到关于各项目投资回收的新约束条件为：〔1〕对于项目1,2,7,8：(1)i j i j i j y x R =+,1,2,7,8i =,1,2,3,4,5j = 特别地,70,1,3,4,5j x j ==；80,1,2,4,5j x j ==〔2〕对于项目3,4：,1(1)i j i j i j y x R -=+,3,4i =,2,3,4,5j = 〔3〕对于项目5,6：,2(1)i j i j i j y x R -=+,5,6i =,3,4,5j =特别地,50.05,1,2,3,4,5j x j == （4）对于问题四,考虑投资项目1的捐赠问题,同问题三,使用判别函数)(t f ,即：对于第一年,投资项目1,2,3,4,5,6,有对于第二年,投资项目1,2,3,4,5,6,7 ,有 对于第三年,投资项目1,2,3,4,5,6,8 ,有 对于第四年,投资项目1,2,3,4,有 对于第五年,投资项目1,2,有 综合〔1〕、〔2〕、〔3〕和〔4〕可得到,问题四的约束条件. 8.1.3综上所述,得到问题四的单目标最优化模型 8.2 模型四的求解根据上述的目标函数,我们利用Lingo 编程〔相关程序见附录八〕,求出了该公司5年内最佳的投资方案〔投资金额〔单位：亿元〕〕,具体数据见下表十四：9.问题五的解答在问题五中,为了降低投资风险,该公司选择拿出一部分资金存银行.针对该问题,我们建立了模型五. 9.1 模型五的准备为了获得更高的收益,当投资风险率高时,公司应选择在银行存大部分资金,而用小部分资金投资；当投资风险率低时,公司应选择在银行贷款进行投资.我们在网上查得银行的存款利润率为3.50%〔取中国人民银行一年定期存款年利率〕,设为k ,银行的贷款利润率为6.40%〔取中国人民银行中长期贷款年利率〕,设为l . 9.2 模型五的建立 9.2.1 确定目标函数模型五的目标函数是在模型一的基础上考虑了存款本息以与利息,即第五年末还贷款后回收的总金额〔包括投资本利和,存款本金与利息〕,所以建立了如下的目标函数：9.2.2 确定约束条件 〔1〕对于项目1,2,7,8：(1)i j i j i j y x R =+,1,2,7,8i =,1,2,3,4,5j =特别地,70,1,3,4,5j x j ==；80,1,2,4,5j x j ==〔2〕对于项目3,4：,1(1)i j i j i j y x R -=+,3,4i =,2,3,4,5j = 〔3〕对于项目5,6：,2(1)i j i j i j y x R -=+,5,6i =,3,4,5j =特别地,〔4〕考虑到投资项目的风险损失率与银行存款和贷款,为方便建模,定义了如下的判别函数：11,0.5()0,0.5i i q g t q >⎧=⎨≤⎩,21,0.5()0,0.5i i q g t q ≤⎧=⎨>⎩它们分别表示当投资风险率高时,公司应选择在银行存大部分资金,而用小部分资金投资；当投资风险率低时,公司应选择在银行贷款进行投资.则对各项目投资金额和存款金额的总和以与还贷款后回收的总金额,有： 第一年,对于投资项目1,2,3,4,5,6,有 第二年,对于投资项目1,2,3,4,5,6,8 ,有 第三年,对于投资项目1,2,3,4,5,6,8 ,有 第四年,对于投资项目1,2,3,4,有 第五年,对于投资项目1,2,有 综合〔1〕、〔2〕、〔3〕和〔4〕可得到,问题五的约束条件. 9.2.3 综上所述,得到问题五的单目标最优化模型 9.3 模型五的求解根据上述的目标函数,我们利用Lingo 编程〔相关程序见附录八〕,求出了该公司5年内最佳的投资方案〔投资金额〔单位：亿元〕〕,具体数据见下表十五：10.模型的评价、改进与推广10.1模型的评价优点：〔1〕我们考虑各个项目都有投资要求和回收本利的时间限制这些要求以与该公司现有的资本,综合以上,建立的模型在一定程度上可使该公司在第五年末获得利润.〔2〕在预测分析中,现有的很多方法预测结果往往不够准确,问题二中我们采用了由预测精度都较高的灰色模型和时间序列模型中的二次指数平滑法组成的预测法,使预测结果较为理想.缺点：〔1〕没有对所有模型进行模拟仿真.〔2〕由于所给数据太少且1986—20##之间的到期利润率的波动较大,在统计数据时不是很准确,也给提高预测的精确度带来了困难.〔3〕问题五中,由于没有提供银行每年的贷款利润率与存款利润率,所以我们假定该值在这五年内没有变化.然而,事实上银行的利润率根据情况每年是有所改变的.所以,导致我们的投资计划具有不合理性.10.2 模型的改进〔1〕查询更多的数据,可以将年到期率提高为月到期率,以使得统计数据和预测值更准确.〔2〕所见模型是针对当前数据给出的,而银行贷款以与利润都是不断变化的,所以,如果建立了动态模型,能得出更加合理化的投资方案.10.3模型的推广本文针对公司投资这一随机变化的动态系统,提出的组合预测法可以应用与工程项目投资和股票预测的中长期预测,且预测率精度较高.参考文献[1] 宋来忠,王志明,数学建模与实验,：科学,2005.[2] 张志宇, 亢政刚,马尔可夫灰色模拟模型与其程序实现,##商学院学报,第21卷,第3期,20##5月.[3]平平,刘大有,杨博等,组合预测模型在猪肉价格预测中的应用研究,计算机工程与科学, 第32卷,第5期,20##3月.附录附录七：一、二、三次的指数平滑法来预测1986—20##的到期利润率和真实值的图表附录八：程序<1>Matlab 程序〔求到期利润率〕各项目独立投资以与一些项目同时投资时的到期利润率的计算程序：a1=[4791261338910-79555586225918987353749204115487044-2291-396914570403787000000];72326886507079297480546330414830 53086272633367494034739264424092 7403503368596707537747835202635530825083000000];c1=a1./b120502778344447330021549108203005244831810874750-17914000201526095168-29303170-2351446015101724-1248984-4299330710170320424887598-4722-96814900-2294325826468671-655111460-4521-80393047368200000];5070792974805463748054634830633367494034739240347392409254746473507363455073634530446859670753774783537747836355487738447434422274344222596062556925659860436598604379886471776000000];c2=a2./b2<2>三次多项式插值拟合的求解代码:x=1:1:20;y=[%到期利润率];n=3;p=polyfit<x,y,n>xi=linspace<0,1,100>;z=polyval<p,xi>; %多项式求值plot<x,y,’o’,xi,z,’k:’,x,y,’b’>legend<‘原始数据’,’3阶曲线’><3>问题一用lingo求解的代码:model:sets:lr/1..8/:p;。
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某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。
按照规定，市政证券的收益可以免税，其它证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有以下限制：（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4信用等级数字越小，信用程度越高；
（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。
（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？
（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
问题（1）分析
问题分析这个优化问题的目标是有价证券回收的利息为最高,要做的决策是投资计划。
即应购买的各种证券的数量的分配。
综合考虑：特定证券购买、资金限制、平均信用等级、平均年限这些条件，按照题目所求，将决策变量、决策目标和约束条件构成的优化模型求解问题便得以解决。
模型建立
决策变量用X1、X2、X3、X4、X5、分别表示购买A、B、C、D、E证券的数值，单位：百万元
目标函数以所给条件下银行经理获利最大为目标。
则，由表可得：
MAX Z=0.043X1+0.027X2+0.025X3+0.022X4+0.045X5 （1）
约束条件为满足题给要求应有：
X2+X3+X4> = 4 (2)
X1+X2+X3+X4+X5<=10 (3)
2X1+2X2+X3+X4+5X5<1.4*(X1+X2+X3+X4+X5) (4)
9X1+15X2+4X3+3X4+2X5<5(X1+X2+X3+X4+X5) (5)
且X1、X2、3X、X4、X5均非负。
模型求解
将（1）（2）（3）（4）（5）构成的线性规划模型输入LINDO如下：
MAX 0.043X1+0.027X2+0.025X3+0.022X4+0.045X5
St
X2+X3+X4> = 4
X1+X2+X3+X4+X5<=10
6X1+6X2-4X3-4X4+36X5<=0
4X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0
End
求解并进行灵敏度分析，得到：
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 0.2983637
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 2.181818 0.000000
X2 0.000000 0.030182
X3 7.363636 0.000000
X4 0.000000 0.000636
X5 0.454545 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 3.363636 0.000000
3) 0.000000 0.029836
4) 0.000000 0.000618
5) 0.000000 0.002364
NO. ITERATIONS= 0
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X1 0.043000 0.003500 0.013000
X2 0.027000 0.030182 INFINITY
X3 0.025000 0.017333 0.000560
X4 0.022000 0.000636 INFINITY
X5 0.045000 0.052000 0.014000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 4.000000 3.363636 INFINITY
3 10.000000 INFINITY 4.567901
4 0.000000 105.714287 20.000000
5 0.000000 10.000000 12.000000
即A，C，E证券分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.455百万元。
最大税后收益为0.298百万元。
问题（2）分析
问题分析
由（1）中的“影子价格”可知，若投资增加100万元，收益可增加0.0298百万元。
大于以2.75%的利率借到100万元的利息，所以应借贷。
模型建立
故可安（1）的模型将第2个约束右端改为11，求解即可。
模型求解
得到：证券A、C、E分别投资2.40百万元,8.10百万元,0.50百万元，最大收益为0.3007百万元问题（3）分析及求解
由(1)的结果中目标系数的允许范围可知,证券A的税前收益可增加0.35%，故证券A的税前收益增加4.5%，投资不应改变；证券C的税前收益了减0.112%（按50%纳税），故证券C的税前收益可减4.8%，故投资应改变。