解析几何与平面几何选讲.
高三数一轮复习课件：第九章 平面解析几何. .ppt..
kBP＝ 03－－10＝－ 3， 所以 k∈(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)． 故填(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．
2019年5月30日
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类型二 求直线方程
根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为 1100； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为 5.
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类型一 直线的倾斜角和斜率
(1)设直线 2x＋my＝1 的倾斜角为 α，若 m∈(－∞， －2 3)∪[2，＋∞)，则角 α 的取值范围是________．
解：据题意知 tanα＝－m2 ，因为 m<－2 3或 m≥2.
所以 0<tanα< 33或－1≤tanα<0.
(3)过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 ①若 x1＝x2，且 y1≠y2 时，直线垂直于 x 轴，方程为____________； ②若 x1≠x2，且 y1＝y2 时，直线垂直于 y 轴，方程为____________； ③若 x1＝x2＝0，且 y1≠y2 时，直线即为 y 轴，方程为____________； ④若 x1≠x2，且 y1＝y2＝0，直线即为 x 轴，方程为____________．
x＝
，
y＝
.
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2．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴____________与 直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴________或________ 时，我们规定它的倾斜角为 0°.因此，直线的倾斜角 α 的取值范围为 __________________． (2)斜率：一条直线的倾斜角 α 的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母 k 表示，即 k＝______(α≠______)．当直线平行于 x 轴或者与 x 轴重合时，k______0； 当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为 ______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示 直线的倾斜程度．
《平面解析几何》课件
向量运算
向量的加法和减法
向量加法和减法是向量运 算中的基本运算，包括向 量的平移、旋转和拉伸等。
向量的数量积和向量 积
在所有的线性代数中，向 量的数量积和向量积是最 常用的向量积运算之一。
向量的投影
向量的投影是计算向量在 投影方向上的长度的一种 方法，是一种常用的数学 概念，应用广泛。
二次曲线
椭圆 双曲线 抛物线
《平面解析几何》PPT课 件
本课程介绍平面解析几何，一门研究平面上点、直线、圆、二次曲线等图形 的位置关系和相互运算的学科。
简介
什么是平面解析几何
是最基础的空间几何的入门课，学习解析几何可以帮助你更好地理解各种数学问题。
历史发展
解析几何的提出是十七世纪科学革命时期的一项重要成就。
坐标系
直角坐标系
由平面上到定点F1、F2的距离之和为定常值 2a。
双曲线也由平面上到定点F1、F2的距离之差 为定常值2a。
抛物线是是一个平面曲线，因其具有完美的抛 物线形状而得名。
结论
平面解析几何的应用
平面解析几何是现代数学的一个分支，它对于计 算机科学、物理学、经济学、心理学等学科都有 非常重要的应用。
本课程的主要内容回顾
截距法是三种构图法之一，大大简化了复 杂的运算。
3 法线式
4 点斜式
数学中，直线的法线式是表示某直线在某 点处垂直的一条直线的代数式。
在点斜式中，直线上任意一点的坐标及其 方向与坐标平面上已知一点相对应的斜率 确定。
圆的方程
标准式
以坐标系原点为圆心，以半 径长为圆的方程。
一般式
圆的一般式是用Ax2 + Ay2 + Bx + By + C = 0的形式表示 的。
解析几何课件(吕林根许子道第四版)(精)
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第一章 向量与坐标
§1.3 数乘向量
表示与非零向量 设ea a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | ea
a . ea |a |
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
上一页下一页ຫໍສະໝຸດ §1.2 向量的加法定 义1.2.1 设 已 知 矢 量 a、 b ，以空间任意一点 O为 始 点 接连作矢量 OA a， AB b得 一 折 线 OAB， 从 折 线 的 端 点 O到 另 一 端 点 B的 矢 量 OB c , 叫 做 两 矢 量 a与b的 和 ， 记 做 cab
（2）结合律： a b c (a b ) c a (b c ). （3） a ( a ) 0.
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第一章 向量与坐标
§1.2 向量的加法
有限个矢量 a1 , a2 ,an 相 加 可 由 矢 量 的 三 角 求 形和 法则推广
解析几何课件(第四版)
吕林根 许子道等编
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究 几何,为将代数运算引导几何中,采用的最根本最 有效的做法----有系统的把空间的几何结构代数 化,数量化.
第一章 第二章 第三章 第四章 向量与坐标 轨迹与方程 平面与空间直线 柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
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第一章 向量与坐标
§1.4向量的线性关系与向量的分解
定理1.4.2 如果向量 e1 , e 2 不共线，那么向量 r与 e1 , e2 共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示， 或者说向量 r可以分解成 e1 , e2的线性组合，即 r x e1 y e2 并且系数 x , y被 e1 , e2 , r唯一确定 . 这时 e1 , e 2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量 e1 , e 2 , e 3 不共面，那么空间 任意向量 r可以由向量 e1 , e 2 , e 3线性表示，或说空间 （ ） 1.4－2
平面几何与解析几何
平面几何与解析几何平面几何和解析几何都是数学中重要的分支，它们分别从不同的角度研究几何学问题。
平面几何着重于研究二维平面上的图形和性质，而解析几何则运用代数的方法研究几何学问题。
本文将分别介绍平面几何和解析几何的基本概念和应用，以及它们之间的联系和区别。
一、平面几何平面几何是几何学的一个重要分支，它研究的对象是平面上的点、线、面及其相互之间的关系。
在平面几何中，我们研究的主要内容包括几何图形的性质、相似、全等、共线关系、垂直关系等。
1.1 点、线、面的定义与性质在平面几何中，点是最基本的概念，它没有大小和形状，只有位置。
线由无数个点连成，具有长度但没有宽度。
面由无数条线相互交织而成，具有长度和宽度。
在平面几何中，我们还研究了点、线、面的性质。
例如点到点之间可以连接成线段，线段有长度；线与线之间可以相交、平行或垂直；平面内直线和平面之间可以相交、平行或垂直。
1.2 图形的性质在平面几何中，我们研究了各种几何图形的性质。
例如，矩形的对角线相等且互相垂直；正方形的四条边相等，对角线相等且互相垂直；圆的任意一条弧都等于其半径乘以对应的角度。
1.3 相似与全等在平面几何中，我们还研究了相似和全等的概念。
两个图形相似意味着它们的形状相似但大小不同，而全等意味着它们形状和大小完全相同。
二、解析几何解析几何是代数与几何的结合，它运用了坐标系和代数的方法来研究几何学问题。
解析几何将平面几何问题转化为代数问题，通过代数运算来求解。
2.1 坐标系与点的表示在解析几何中，我们使用坐标系来表示平面上的点。
坐标系由横轴和纵轴组成，将平面分为四个象限。
每个点可以用一个有序数对(x, y)来表示，其中x表示点在横轴上的位置，y表示点在纵轴上的位置。
2.2 直线方程与曲线方程在解析几何中，我们研究了直线和曲线的方程。
通过求解方程，我们可以确定直线和曲线在平面上的位置和形状。
例如，直线的一般方程可以表示为Ax + By = C，其中A、B、C为常数；曲线的方程可以通过方程的形式来确定，例如圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)表示圆心坐标，r表示半径。
平面与立体几何的解析几何方法
平面与立体几何的解析几何方法在数学中，平面几何和立体几何是解析几何的重要分支。
解析几何是运用代数和分析工具来研究几何问题的数学学科。
平面几何研究平面上的图形和性质，立体几何则研究三维空间中的图形和性质。
本文将介绍平面与立体几何中常用的解析几何方法。
一、平面几何中的解析几何方法1. 坐标系和坐标表示在平面几何中，我们通常会使用坐标系来描述平面上的点和图形。
一般来说，平面上的点可以用两个坐标值表示，通常以x轴和y轴为基准。
以直角坐标系为例，任意点P的坐标可以表示为P(x, y)，其中x 表示距离x轴的水平距离，y表示距离y轴的垂直距离。
2. 距离和中点公式解析几何中，我们可以通过坐标计算两点之间的距离，并且可以得到线段的中点坐标。
对于平面上两点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，它们之间的距离可以用以下公式表示：d(P, Q) = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)同样地，线段PQ的中点坐标可以通过以下公式得到：M((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)3. 直线的斜率和方程在平面几何中，直线是研究的重点之一。
解析几何中，我们可以通过直线上的两个点的坐标来求解直线的斜率。
对于两点P(x1, y1)和Q(x2, y2)所确定的直线，它的斜率可以通过以下公式得出：k = (y2 - y1)/(x2 - x1)另外，在解析几何中，我们还可以通过已知直线上的一点和它的斜率来确定直线的方程。
以点P(x, y)和斜率k为例，直线的方程可以表示为：y - y1 = k(x - x1)二、立体几何中的解析几何方法1. 坐标系和坐标表示与平面几何类似，立体几何中也可以使用坐标系来描述三维空间中的点和图形。
一个常用的坐标系是笛卡尔坐标系，其中三个坐标轴x、y、z相互垂直。
一个点P的坐标可以表示为P(x, y, z)，其中x表示距离x轴的水平距离，y表示距离y轴的水平距离，z表示距离z轴的垂直距离。
[课件]解析几何中的平面几何PPT
![[课件]解析几何中的平面几何PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/52a33a0058fb770bf68a5517.png)
圆锥曲线发展史
古希腊数学家希波克拉底（ Hippocrates of Chios 公元前460），在解决“立方倍积”问题 时，发现圆锥曲线。另外一位古希腊数学家梅内 克缪斯（Menaechmus 公元前375 ~ 公元前325 ），用平面截不同的圆锥，发现圆锥曲线。
阿波罗尼（Apollonius 公元前260 ~ 公元前190）
B
D A
F2
F2
O
F1
F1
图1.1
图1.2
图1.3
解析几何的创立
勒内· 笛卡尔（Rene Descartes） 公元1596～公元1650 Descartes认为，以往的几何、 代数研究都存在很大缺陷：欧氏几 何中没有那种普遍适用的证明方法 ；代数的方法具有一般性，但它完 全受法则和公式的控制。所以，代 数与几何必须互相取长补短。不 过，他推崇代数的力量，认为代数方法在提供广泛的 方法论方面要高出几何方法，因此代数具有作为一门 普遍的科学方法的潜力。所以他把精力集中在研究怎 样把代数方法用于解决几何问题，其结果是创立了解 析几何。
欧几里德（约公元前330年—前275年 ） 古希腊数学家，被称为“几何之父”。 欧几里德几何：把人们公认的一些 几何知识作为定义和公理，在此基 础上研究图形的性质，推导出一系 列定理，组成演绎体系。
阿波罗尼采用欧几里德几何方法即用演绎、推理 的方法研究圆锥曲线
几何法
圆锥曲线
在阿波罗尼的《圆锥曲线》问世后的 13 个世纪里，除了古希腊数学家帕普斯（Pappus 约 4 世纪）在《数学汇编》证明：与定点及 定直线的距离成定比例的点的轨迹是圆锥曲线 外，整个数学界对圆锥曲线的研究几乎没有什 么进展。
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高中数学--平面解析几何课件ppt
目录
3．直线方程的几种形式
名称
方程的形式
已知条件
局限性
点斜式
_y_－__y_1＝__k_(_x－__x_1_)
(x1，y1)为直线上 一定点，k为斜 率
不包括垂直于x轴的 直线
斜截式
___y_＝__k_x_＋_b____
k为斜率，b是直 线在y轴上的截 距
不包括垂直于x轴的 直线
目录
名 方程的形式
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法二：由题意，所求直线的斜率存在且 k≠0， 设直线方程为 y－2＝k(x－3)， 令 y＝0，得 x＝3－2k，令 x＝0，得 y＝2－3k， 由已知 3－2k＝2－3k，解得 k＝－1 或 k＝23， ∴直线 l 的方程为： y－2＝－(x－3)或 y－2＝23(x－3)， 即直线 l 的方程为 x＋y－5＝0 或 2x－3y＝0.
目录
【解】 (1)法一：设直线 l 的方程为 y－1＝k(x－2)(k＜0)，
则 A(2－1k，0)，B(0,1－2k)， ∴S△AOB＝12(2－1k)(1－2k)＝2＋12(－4k－1k)
≥2＋12×2
－4k－1k＝4，
当且仅当－4k＝－1k，即 k＝±12时取等号．
∵k＜0，∴k＝－12，
故所求直线方程为 y－1＝－12(x－2)， 即 x＋2y－4＝0.
第八章 平面解析几何
第1课时 直线及其方程
考纲展示
2016高考导航
备考指南
1.在平面直角坐标系中，结合具体图
形，掌握确定直线位置的几何要素． 1.基本公式、直线的斜率、方程以
2.掌握确定直线位置的几何要素，掌 及两直线的位置关系是高考的重
握直线方程的三种形式(点斜式、两 点．
平面解析几何讲义
平面解析几何讲义1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；②规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是0，π)．(2)直线的斜率①定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.2．直线方程的五种形式一定每条直线都存在斜率．（2）根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．（3）截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点. 3.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．4．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：a ．对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.b ．当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：a ．如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.b ．当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 5．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 6.几个重要的结论（1）一般地，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.（2）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R)，但不包括l 2. （3）l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0.l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.7. 圆的定义和圆的方程平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系： (1)d >r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔M 在圆外； (2)d ＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上； (3)d <r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔M 在圆内． 9. 直线与圆的位置关系(1)设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，(2)由⎩⎨⎧x －a 2＋y －b 2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.则直线与圆的位置关系如下表10.设两个圆的半径分别为R ，r ，R >r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：11.几个重要的结论(1)过圆x2＋y2＝r2(r>0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2；(2)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点N(a，b)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为T的切线长公式为|NT|＝|NC|2－r2(其中C为圆C的圆心，r为其半径)．(3) 求圆的弦长的常用方法①几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则(l2)2＝r2－d2.②代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝＋k 2x1＋x 22－4x1x2] .12.椭圆(1)定义：在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中2a>2c>0，即a>c>0，则M的轨迹是以F1、F2为两焦点的椭圆，且|F1F2|＝2c是椭圆的焦距．(3)椭圆的标准方程和几何性质注：①对于方程x2m＋y2n＝1(m>0，n>0)．当m>n>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆．当n>m>0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．②当椭圆焦点不明确时，要分焦点在x轴上与y轴上两种情况进行讨论求解．13.双曲线(1)定义：平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(0<2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)集合：若集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中2c>2a>0，即c>a>0，则P点的轨迹是以F1、F2为两焦点的双曲线，且|F1F2|＝2c是双曲线的焦距．(3)双曲线的标准方程和几何性质注：①渐近线为mx ±ny ＝0对应的双曲线方程为m 2x 2－n 2y 2＝λ.②当双曲线焦点不明确时，要分焦点在x 轴上与y 轴上两种情况进行讨论求解． 14.抛物线(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)． (3)抛物线的标准方程和几何性质(4)与焦点弦有关的常用结论如图，AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有①y1y2＝－p2，x1x2＝p24，k OA·k OB＝－4(定值)．②|AB|＝x1＋x2＋p＝k2＋1k2×2p＝2psin2θ(k为直线AB的斜率，θ为倾斜角)，当θ＝90°时，|AB|＝2p即为通径(最短的焦点弦)．15.直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2y1＋y22－4y1y2.16.“点差法”求解弦中点问题的步骤设点—设出弦的两端点坐标↓代入—代入圆锥曲线方程↓作差—两式相减，再用平方差公式把上式展开↓整理—转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解17.曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．18. 求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．（二）考点剖析 考点一：求直线的方程例1：(1)根据基本几何条件求直线方程]求经过点(－2，3)在y 轴上的截距为－1的直线l 的方程；(2)待定系数型直线方程]一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求直线的方程．解：(1)法一：(两点式)直线l 即经过两点(－2，3)与(0，－1)由两点式得y －3－1－3＝x －(－2)0－(－2)，即2x ＋y ＋1＝0. 法二：(点斜式)可设直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2)．令x ＝0得l 在y 轴上的截距b ＝2k ＋3. ∴2k ＋3＝－1，∴k ＝－2.解得所求的直线方程为y －3＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋1＝0.法三：(截距式)可设直线l 的方程为x a ＋y－1＝1.∵l 过点(－2,3)，∴－2a ＋3－1＝1，解得a ＝－12∴所求的直线方程为x －12＋y－1＝1，即2x ＋y ＋1＝0. (2)设所求直线的方程为x a ＋yb ＝1.∵A (－2,2)在此直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得⎩⎨⎧ a －b ＝1，ab ＝2或⎩⎨⎧ a －b ＝－1，ab ＝－2.解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.考点释疑：求直线方程的两种基本思路 ①直接利用直线方程的四种形式；②根据给出的条件用相应的方程形式设出直线方程，然后利用待定系数法求解，但要注意斜率是否存在． 考点二：两直线平行与垂直例2：已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. （1）试判断l 1与l 2是否平行；（2）当l 1⊥l 2时，求a 的值． 解：（1）法一：当a ＝1时，直线l 1的方程为x ＋2y ＋6＝0，直线l 2的方程为x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，直线l 1的方程为y ＝－3，直线l 2的方程为x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，两直线的方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a2＝11－a ，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1.综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行． 法二：由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0； 由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，因此l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧ a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0，⇔⎩⎨⎧a 2－a －2＝0a (a 2－1)≠6⇒a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．（2）法一：当a ＝1时，直线l 1的方程为x ＋2y ＋6＝0，直线l 2的方程为x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立．当a ＝0时，直线l 1的方程为y ＝－3，直线l 2的方程为x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2. 当a ≠1且a ≠0时，直线l 1的方程为y ＝－a 2x －3，直线l 2的方程为y ＝11－a x －(a ＋1)，由(－a 2)·11－a ＝－1⇒a ＝23.法二：由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0.∴a ＝23.考点释疑：(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．(3)根据垂直或平行关系将相关的问题转化与化归或应用方程思想是解决直线与直线垂直或平行问题的关键． 考点三：两直线相交与对称问题例3：(1)两直线相交]求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程． (2)对称问题]已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：①点P (4,5)关于直线l 的对称点；②直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：(1)法一：先解方程组⎩⎨⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.法二：由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1，l 2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1， 故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.法三：由于l 过l 1，l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0，其斜率为－3＋5λ2＋2λ＝－53；解得λ＝15， 代入直线系方程得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.(2)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)． ∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.(ⅰ) 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y2＋3＝0.(ⅱ)由(ⅰ)(ⅱ)得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95y ′＝3x ＋4y ＋35.(ⅲ)①把x ＝4，y ＝5代入方程组(ⅲ)，得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．②将方程组(ⅲ)分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于直线l 对称的直线方程为 －4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0. 考点释疑：(1)两直线交点的求法：求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．(2)关于轴对称问题的处理方法： ①点关于直线的对称求已知点A (m ，n )关于已知直线l ：y ＝kx ＋b 的对称点A ′(x 0，y 0)的坐标，一般方法是依据l 是线段AA ′的垂直平分线，列出关于x 0，y 0的方程组，由“垂直”得一方程，由“平分”得一方程． ②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行． 考点四：求圆的方程例4：(1)过两点与一条直线确定圆]已知圆心为C 的圆经过点A (0，－6)，B (1，－5)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆的标准方程．(2)三个条件确定圆]圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，求圆的标准方程．解：(1)法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2. 由题意可得⎩⎨⎧(－6)2－6E ＋F ＝012＋(－5)2＋D －5E ＋F ＝0，D －E －2＝0消去F 得⎩⎨⎧D ＋E －10＝0D －E －2＝0，解得⎩⎨⎧D ＝6E ＝4， 代入求得F ＝－12，所以圆的方程为x 2＋y 2＋6x ＋4y －12＝0，法二：因为A (0，－6)，B (1，－5)，所以线段AB 的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－112，直线AB 的斜率k AB ＝－5－(－6)1－0＝1，因此线段AB 的垂直平分线的方程是y ＋112＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x ＋y ＋5＝0.圆心C 的坐标是方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＋5＝0x －y ＋1＝0的解，解得⎩⎨⎧x ＝－3y ＝－2，所以圆心C 的坐标是(－3，－2)．圆的半径长r ＝|AC |＝(0＋3)2＋(－6＋2)2＝5， 所以圆心为C 的圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. (2)设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－4x 0，(3－x 0)2＋(－2－y 0)2＝r 2，|x 0＋y 0－1|2＝r ，解得⎩⎨⎧x 0＝1，y 0＝－4，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 考点释疑：求圆的方程，主要有两种方法：①几何法：具体过程中要用到平面几何中有关圆的一些常用性质和定理．如：a.圆心在过切点与切线垂直的直线上；b.圆心在任意弦的中垂线上．②代数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．考点五：求椭圆的标准方程例5：(1)根据定义求标准方程]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，求C 的标准方程.(2)根据几何性质求标准方程]求过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 解： (1)由e ＝33，得c a ＝33①.又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3，代入①得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)法一：椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝3－2＋－5＋2＋3－2＋－5－2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4. ∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二：∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴－52a 2＋32b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.考点释疑：(1)求椭圆的方程时，首先利用定义定形状，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式． 考点六：椭圆的离心率例6：(1)代数关系确定离心率]设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，M 是C 上一点，且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .若直线MN 的斜率为34，求椭圆C 的离心率.(2)几何关系确定离心率]已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，求椭圆C 的离心率． 解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M (c ，b 2a )，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)在△PF 1F 2中，由|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，∴∠PF 2F 1＝π2.设|PF 2|＝1，则 |PF 1|＝2，|F 2F 1|＝ 3. ∴离心率e ＝2c 2a ＝33. 考点释疑：求椭圆的离心率问题的一般思路：求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式(或不等式)，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围． 考点七：椭圆中的定值、最值与范围问题例7：(1)定值问题]如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22. ①求椭圆E 的方程；②经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.解：(1)①由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.②证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0. 由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2.从而直线AP ，AQ 的斜率之和kAP ＋kAQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2 ＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2.即直线AP 与AQ 的斜率之和为2.(2)最值问题]平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为 12.①求M 的方程；②C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解：①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，由此可得b 2x 2＋x 1a 2y 2＋y 1＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.②由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n (－533<n <3)，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±－n 23.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2，当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863，所以四边形ACBD 面积的最大值为863. (3)范围问题]已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．解：(3)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根．如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，∵k ≠0，∴－12＜x G ＜0，∴点G 横坐标的取值范围为(－12，0)．考点释疑：(1)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．(2)圆锥曲线中的最值或范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值或范围． 考点八：椭圆中定点与探索性问题例8：已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－1，离心率e ＝22. (1)求椭圆E 的方程；(2)过点(1,0)作直线l 交E 于P ，Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使MP →·MQ →为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)，由已知得⎩⎨⎧a －c ＝2－1，c a ＝22，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1.所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在符合条件的点M (m,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则MP →＝(x 1－m ，y 1)，MQ →＝(x 2－m ，y 2)，MP →·MQ →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2.①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k x －，得x 2＋2k 2(x －1)2－2＝0，即(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 22k 2＋1，所以MP →·MQ →＝2k 2－22k 2＋1－m ·4k 22k 2＋1＋m 2－k 22k 2＋1＝(2m 2－4m ＋1)k 2＋(m 2－2)2k 2＋1.因为对于任意的k 的值，MP →·MQ →为定值，所以2m 2－4m ＋1＝2(m 2－2)，得m ＝54.所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，此时MP →·MQ →＝－716.②当直线l 的斜率不存在时，M (54，0)，P (1，22)，Q (1，－22)，MP →·MQ →＝(－14，22)·(－14，－22)＝116－24＝－716. 综合①②得存在定点M (54，0)使得MP →·MQ →为定值．考点释疑：(1)圆锥曲线中定点问题的两种解法①引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化的量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．②特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．(2)存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．解决存在性问题应注意以下几点： ①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径． 考点九：双曲线的定义与标准方程例9：(1)双曲线的定义及应用]已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．(2)双曲线的标准方程]如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为___________．解：(1)由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16. 由左焦点F (－5,0)，且A (5,0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点， 则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|PA |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|PA |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44. (2)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.考点释疑：(1)双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点满足某种关系的轨迹是否为双曲线(或是双曲线的某一支)，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(2)待定系数法求双曲线方程具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可． 考点十：双曲线的几何性质例10：(1)双曲线的基本性质]已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 .(2)代数关系确定离心率]直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 . (3)几何关系确定离心率]已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为 .解：(1)双曲线C 的标准方程为x 23m －y 23＝1(m >0)，其渐近线方程为y ＝±mm x ，即my ＝±x ，不妨选取右焦点F (3m ＋3，0)到其中一条渐近线x －my ＝0的距离求解，得d ＝3m ＋3m ＋1＝ 3.(2)不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知l 的方程为x ＝±c .代入x 2a 2－y 2b 2＝1得，y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a .即|AB |＝2b 2a .∴2b 2a ＝4a .则c 2－a 2＝2a 2.c 2a2＝3. ∴e ＝c a ＝ 3(3)不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°， 所以M 点的坐标为2a ，3a .因为 M 点在双曲线上，所以4a 2a 2－3a 2b 2＝1，a ＝b ，所以c ＝2a ，e ＝ca ＝ 2.考点释疑：(1)利用双曲线的几何性质求解相关问题时要注意点(顶点、焦点、中心)、轴长(实轴长，虚轴长，焦距)、渐近线、离心率之间的关系，根据条件列出关系式． (2)求双曲线离心率的三种方法：①代数法：根据a ，b ，c (c 2＝a 2＋b 2)的关系，整体求出c a .②几何法：根据几何条件，建立a ，b ，c 的关系式，从而求出离心率． ③渐近线法：若双曲线的渐近线方程为y ＝±kx ，当焦点在x 轴上，则离心率e ＝1＋k 2，当焦点在y 轴上，则离心率e ＝1＋1k2.考点十一：抛物线的定义及其应用例11：(1)定义的基本应用]O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为 .(2)在求最值中的应用]已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取得最小值时点P 的坐标． 解： (1)设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2＝42，∴x 0＝32，∴y 20＝42x 0＝42×32＝24，∴|y 0|＝2 6.∵F (2，0)，∴S △POF ＝12|OF |·|y 0|＝12×2×26＝2 3.(2)将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d ，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值为72，即|PA |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．考点释疑：利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径． 考点十二：抛物线的标准方程与几何性质例12：(1)求标准方程]抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为 . (2)抛物线与其它曲线的关系]已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝ .解：(1)依题意，设M (x ，y )，|OF |＝p 2，所以|MF |＝2p ，x ＋p 2＝2p ，x ＝3p2，y ＝3p ，又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x .(2)抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴ 椭圆中c ＝2，又c a ＝12，∴ a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12，从而椭圆方程为x 216＋y 212＝1.∵ 抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，∴ x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3，由图象可知|AB |＝2|y A |＝6. 考点释疑：(1)求抛物线的标准方程的方法：①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． (2)确定及应用抛物线性质的技巧：①利用抛物线方程确定其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程． ②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．(3)利用抛物线的对称性可以较简便解决与圆、椭圆、双曲线相关的问题．考点十三：抛物线的焦点弦例13：(1)求焦点弦长](2014·高考新课标全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝ .(2)焦点弦的性质]设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O . 解：(1)∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，∴AB 的方程为y －0＝tan 30°⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34. 联立⎩⎨⎧y 2＝3x ，y ＝33x －34，得13x 2－72x ＋316＝0. ∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，即x A ＋x B ＝212. 由于|AB |＝x A ＋x B ＋p ，所以|AB |＝212＋32＝12. (2)证明：设AB ：x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y A y B ＝－p 2，即y B ＝－p 2y A.∵BC ∥x 轴，且C 在准线x ＝－p 2上，∴C (－p2，y B )．则k OC ＝y B －p 2＝2p y A ＝y Ax A ＝k OA . ∴直线AC 经过原点O . 考点释疑：求焦点弦的三种方法： ①定义法：|AB |＝x 1＋x 2＋p ； ②倾角法：|AB |＝2psin 2θ； ③斜率法：|AB |＝1＋k 2k 2×2p .考点十四：弦长问题例14：设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值． 解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1.化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 4(1＋b 2)2， 因为0＜b ＜1，所以b ＝22.考点释疑：弦长的计算方法(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题． (2)点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．(3)弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的． 考点十五：中点弦问题例15：已知双曲线C 的两个焦点坐标分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于2. (1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程．解： (1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1，焦半距为c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3.又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3，两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为M (2,1)为AB 的中点，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6. 故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)，即6x －y －11＝0. 考点释疑：中点弦问题的两种思路(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)设弦所在的直线方程，代入曲线C ：f (x ，y )＝0，利用根与系数的关系与中点坐标公式列出式子求解． （三）历年高考真题训练1、（2011年高考全国卷Ⅰ）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足//MB OA uuu r uu r， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r ，M 点的轨迹为曲线C.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值.2、（2012年高考全国卷Ⅰ）设抛物线22(0)C x py p =>：的焦点为F ，准线为，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交于,B D 两点.（Ⅰ）若90BFD ∠=，ABD ∆的面积为p 的值及圆F 的方程；（Ⅱ）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线与m 平行，且与C 之有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.3、（2013年高考全国卷Ⅰ）已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.4、（2014年高考全国卷Ⅰ）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求的方程.5、（2015年高考全国卷Ⅰ）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x 与直线y kx a =+（＞0）交与M,N 两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由.6、（2016年高考全国卷Ⅰ）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （Ⅰ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.7、（2017年高考全国卷Ⅰ）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。
平面解析几何,立体几何
典型例题
1、已知正方形ABCD，以A、C为焦点，且过B点的椭圆的 离心率为 . （2008年理科选择第13题） 2、（1）已知抛物线 y 4 x 上一点P到该抛物线的准 线的距离为5，则过点P和原点的直线的斜率为 . （2007年理科选择题第12题） （2）已知椭圆的长轴长为8，则它的一个焦点到短轴 一个端点的距离为 . （2007年理科选择题第14题)
2
典型例题
x2 y2 3、设椭圆方程为 16 12 1，则该椭圆的离心率
为 . （2006年理科选择第15题） 4、中心在原点，一个焦点坐标为（0，4）且过 点（3，0）的椭圆方程为 . （2005年理科选择第4题） x y 5、 双曲线的 9 16 1 渐近线方程为 .
2 2
（2004年理科选择题第12题）
a // b
典型例题
4、已知向量满足 | a | 3 ，| b | 4 ，且
0
b _______ a和 b 的夹角为120 ，则 a （2005年理科选择第 13题） （2）设a (3, 2) ， ， b ( 2 , 4 ) 则 2a b ______ （2004年理科选择题第11题）
直
线
考纲要求
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，会求直 线的斜率。 2．会求直线方程，会（灵活）应用直线方程 解决有关问题。 3．了解（掌握）平行与垂直的条件以及点到 直线的距离公式，会应用它们解决简单的 问题（有关问题）。（了解两条直线所成 角的公式）。
典型例题
1、过点（1，1）且与 x 2 y 1 0 直线垂直的直 线方程为 . （2008年文科选择题第14题) 2、设 是直线 y x 2 的倾斜角，则
平面几何与解析几何的联系
平面几何与解析几何的联系平面几何和解析几何是数学中两个重要且密切相关的分支。
平面几何主要研究二维空间中的图形和其性质，而解析几何则通过使用坐标系和代数方法来研究图形。
虽然它们之间有一些区别，但也存在着紧密的联系和相互补充。
本文将探讨平面几何与解析几何的联系，揭示它们在数学研究和实践中的重要性。
一、平面几何的基础平面几何是一门研究平面内图形的形状、大小、位置以及它们相互之间的关系的学科。
它通过几何公理和定理建立起坚实的理论基础，并通过几何推理来解决各种图形问题。
在平面几何中，点、直线、线段、角等是基本的概念。
几何公理包括点在直线上、两点确定一条直线、通过一点可以作一条唯一的直线等。
这些公理作为平面几何的基础，使得我们能够从一些基本事实出发，推导出其他更加复杂的结论。
二、解析几何的基础解析几何结合了代数和几何的方法，通过使用坐标系和代数运算，研究几何图形。
它将几何问题转化为代数问题，从而利用代数的方法解决几何问题。
解析几何的基础是笛卡尔坐标系。
在二维平面上，我们可以通过给定坐标轴和原点来确定一个点的位置。
点的坐标表示为一个有序对(x,y)，其中x为横坐标，y为纵坐标。
利用坐标系，我们可以在解析几何中引入代数的思想，将图形上的点与代数中的数相对应。
三、平面几何与解析几何的关系平面几何和解析几何在很多方面相互依存，彼此之间存在着密切的联系。
首先，解析几何可以为平面几何提供更加精确和准确的工具。
通过引入坐标系和代数运算，我们可以对平面上的点、直线、曲线等进行更加精确的描述和计算。
例如，通过计算距离和角度等几何量的数值，我们可以得到更加准确的结果。
其次，平面几何可以为解析几何提供直观的几何图像。
解析几何中的代数表达式往往较为抽象，难以直观地理解其几何意义。
而平面几何通过图像和几何推理，可以帮助我们更好地理解和解释解析几何中的代数结果。
例如，我们可以通过画图来证明几何定理，从而直观地解释代数方程中的解。
此外，平面几何和解析几何在问题的解决方法上也有所不同。
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1.已知△ ABC 勺顶点B 、C 在椭圆X 2
/4
+ y 2
= 1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，
且椭圆的另外 一个焦点在BC 边上，则△ ABC 勺周长是（）
A . 2
B . 6
C . 8
D . 12
线交于不同的两
点，则该椭圆的离心率的取值范围是（
4.已知椭圆的焦点是 F i 、F 2, P 是椭圆上的一个动点，过点
F 2向/ F 1PF 2的外角平分线
作垂线，垂足为
M ，则点M 的轨迹是（） A .圆
B .椭圆
C .直线
D .双曲线的一支
5.如图，已知点 B 是椭圆7
『 的短轴位于X 轴下方的端点，过
作斜率为1的直线交
椭圆于点M ，点P 在y 轴上，且PM//X 轴，
BP-BM = 9 ,若点P 的坐标为（0, t ）,
则t 的取值范围
是（）
6.如图，AD , AE , BC 分别与圆O 切于点D , E , F ，延长AF 与圆O 交于另一点 G 。
给出下列
三个结论：
2.抛物线 —"上的点到直线 '「八
-I 距离的最小值是（）
C .
3.已知以椭圆
的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准
A . 0<t<3
B . 0<t <3
3
D . 0<t <
B
C .
①AD+AE=AB+BC+CA
②AF・AG=AD AE
③厶
AFB 〜△ ADG
其中正确结论的序号是
7.如图2, A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4 , AD丄BC,垂足为D,BE与AD
相交与点F,则AF的长
为____________ 。
&如图，已知圆中两条弦2’与二相交于点
F , E是拙延长线上一点，且
■' - > '•〔若丄与圆相切，则线段丄的长为
9.已知点1-11 - J'1，动点「满足条件丄丄'-一-丁 -八1 - .记动点「的轨迹为，，•则，，的方
程是_____________ •
10.矩形一I」的两条对角线相交于点'''，一二边所在直线的方程为
A.①② B .②③C.①③ D .①②③
，点：厂1丄在亠一边所在直线上.
(I)求」匸：边所在直线的方程；
(II)求矩形ABCD外接圆的方程；
(III)若动圆「过点M-2,0) ，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆_的圆心的轨迹方程.
11.已知平面上两定点 (0, - 2)、( 0,2),P为一动点，满足U .
(I)求动点P的轨迹C的方程；
(II)若A、B是轨迹C上的两不同动点，且?.分别以A、B为切点作轨迹C 的切线，设其交点
Q证明NQ」B
为定值.
【参考答案】廐
1. C
解析：由椭圆定义知，△ ABC勺周长=4a。
2. A
解析：由几何知识知道，平移直线一：- ■'与抛物线“ 相切，
切点到直线-'的距离最小。
设切点为只和片)，则有池=-2忌二-扌所吸二；，
由点到直线的距离公式得最小距离d二
3. C
解析:
过椭圆的右焦点可以作以◎为半径的圆，并且交右准线于不同的两点，所以说：
-- c<a
c
4. A
解析：点F2关于/ F1PF2的外角平分线PM的对称点Q在直线F1Q的延长线上，
所以|F1Q|=|PF1|+|PF2|=2a （椭圆长轴长），又0M是厶F2F1Q的中位线，所以
|OM|=a，
所以点M的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆，
5. C
解析：」丄亠」；为等腰直角三角形，
二3，从而B点的坐标为（0, t-3）, b=3-t, M （3, t）带入椭圆方程得
_3（3-r）a?（3寸3
s
j 二，由一；'> 一：'>0 得？二 > _ +| >0= 0v 一v [
6. A
2爲
7._■
解析：连接AB,AO ,则BE垂直AO ,且三角形ABO是正三角形，所以F为三角形ABO
2曲
的中心，AF=2/3AD=
& V 7/2
解析：设DF=4K,CF=2K,则有圆的相交弦定理得，AF X FB=DF< FC,所以8k A2=2,K=1/2, 所以AF=2 , FB=1 ,
BE=1/2，又由圆的切割线定理得，CEA2=B X AE=1/2X7/2=7/4,所以CE=V7/2
9.T
10.解：（I）因为」J边所在直线的方程为'T -"，且亠一与」「垂直，
所以直线亠-的斜率为..
又因为点在直线“一上，
所以-匸边所在直线的方程为「「」.
3x+y+2=0
x-3y-6 =0,
（ii）由卩兀+卩+2 = 0解得点乂的坐标为（0厂2）,
因为矩形•:m两条对角线的交点为-■.
所以T为矩形一二|_二外接圆的圆心.
又一质
_ -| 2 ■
从而矩形m外接圆的方程为=8.
（III ）因为动圆厂过点2-，所以匚」是该圆的半径，又因为动圆「与圆外
切,
所以叮讣「J
八| J
故点厂的轨迹是以城N为焦点，实轴长为「厂的双曲线的左支.
因为实半轴长，半焦距」-.
所以虚半轴长‘一宀".
从而动圆厂的圆心的轨迹方程为
11.解：（I）设
由己知加=（x，7 + 2）, MN = （Q4）,FM =（一兀2 -
刃, 珏面二4y+&
|PM| |M?牛4护+6-丹■: MP M^=\pi/\ \MN\,
■ 4 + 8 = 4原7乔萌
整g>x a=8y
即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为'
（II ）解法一：由已知N （0, 2）
设&西小）显（花J J 由川"二見屈,
即得（-心2-”）= 2（巧宀-以 1-口 =兄5_2）⑵
将（1）式两边平方并把'.'-'1
.■ ■'■. ‘-'i 」'』-'I 「I
ji - 2 入 y?二—
解（2）、（3）式得
A
且有
所以过抛物线上 A B 两点的切线方程分别是
y =才可匕一首）+时丿二扌可（x —阳）+此，
解出两条切线的交点Q 的坐标为（竺工警）=（芒竺违）
2
o
2
所^0 AB =（巴严厂4）（勺- 5” -乃） =扣
1）-4（討-討）=0
所以」「为定值，其值为0.
解法二：由已知 N （0，2）
设曲两宀）由而"励臥三点共线 丫育线佔与苗由不垂直，
y = jtx+ 2.
[y = kx+2r
由1 2可得 V = - z . I 8
X
2
-3H-16=O 硒=-16
以下同解法
（3 分）
抛物线方程为
尸”求导得八｝。