二次函数交点式公式
二次函数交点式公式
交点式：
y=a(X-x1)(X-x2) ,仅限于与x轴有交点A（x1,0）和B（x2,0）的抛物线
在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时,使用交点式较为方便.y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点,分别记为x1和x2,代入公式,再有一个经过抛物线的点的坐标,即可求出a的值. 将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2),即可得到一个解析式,这是y=ax2;+bx+c因式分解得到的,将括号打开,即为一般式.X1,X2是关于ax2+bx+c=0的两个根.
如果(x1,0),(x2,0)是二次函数y=ax^2+bx+c的两个交点,
那么x1,x2必是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根, 从而ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).
我们把y=a(x-x1)(x-x2)称为二次函数的交点式.
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a
≠0).
(3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y 轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k ＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.
(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).
二次函数的综合交点问题
二次函数的交点问题 1、 已知一元二次方程032)3(2=---x x m 有两个不相等的实数根。 （1） 求m 的取值范围。 （2） 若m 为正整数，且方程两根为整数，求m 的值。 （3） 在（2）的条件下，设抛物线C ：32)3(2---=x x m y 与x 轴交于A 、B 两点，将线段AB 向右平移一个单位长度得到线段MN ，若将抛物线C 进行上下 平移后与线段MN 只有一个公共点，求平移后抛物线顶点纵坐标K 的取值范围。 2、 在平面直角坐标系xoy 中，过点（0，2）且平行于x 轴的直线与直线1-=x y 交于 点A ，点A 关于直线1=x 的对称点为B （先依题画好图） （1） 求点A 、B 的坐标 （2）若抛物线2ax y = 与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范 围
3、 已知二次函数)0(32≠-+=a bx ax y 的图象经过点A （-3，0） ，点B （1，0） （1） 求二次函数的表达式。 （2） 若反比例函数)0,0( k x x k y =的图象与二次函数)0(2 32≠-+=a bx ax y 的图象在第一象限内交于点D (m ,n ),且2 二次函数交点式 【问题提出】已知二次函数经过三点13,24A ?? ??? ，(1,3)B -，(2,3)C ，求解析式. 法：由,B C 的纵坐标相等知，1 1x =-，22x =是方程()30f x -=的两个根，可设 零点式()3(1)(2)f x a x x -=+-. 把A 代入，得1a =，从而()(1)(2)3f x x x =+-+，化简即得2 ()1f x x x =-+. 【探究拓展】 探究1：如图，已知二次函数c bx ax y ++=2（a ，b ，c 为实数，0≠a ）的图象过点)2,(t C ，且与x 轴交于A ，B 两点，若BC AC ⊥，则a 的值 为 . 探究2：设函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (c c ＋12<1?－3 《二次函数的特殊形式》专题 班级 姓名 人的心灵在不同的时期有着不同的内容。 2.用十字相乘法分解因式： ①322 --x x ②342 ++x x ③6822 ++x x 3.若一元二次方程02 =++c bx ax 有两实数根21x x 、，则抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴交点坐标是 . 【自主探究】 1.根据上面第3题的结果，改写下列二次函数： ①322 --=x x y ②342 ++=x x y ③6822 ++=x x y = = = 2.求出上述抛物线与x 轴的交点坐标： ①322 --=x x y ②342 ++=x x y ③6822 ++=x x y 归纳： ⑴若二次函数c bx ax y ++=2 与x 轴交点坐标是（01，x ）、（02，x ），则该函数还可以表 示为 的形式； ⑵反之若二次函数是()()21x x x x a y --=的形式，则该抛物线与 x 轴的交点坐标 是 ，故我们把这种形式的二次函数关系式称为 式. ⑶二次函数的图象与x 轴有2个交点的前提条件是 ，因此这也 是 式存在的前提条件. 【练习】把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标. ⑴232+-=x x y ⑵232-+-=x x y ⑶4622+-=x x y 与x 轴的交点坐标是： 与y 轴的交点坐标是： 例1.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（1,0），且函数的最值是3. ⑴求对称轴和顶点坐标. ⑵在下列平面直角坐标系中画出它的简图. ⑶求出该二次函数的关系式. ⑷若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（-1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），则对称轴是 . 二次函数中的存在性问题姓名 1．已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式； （2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由． 3．已知直线y=x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由． 4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C（2，3）． （1）求直线AC及抛物线的解析式； （2）若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E，以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90°得到直线l，设直线l与y轴的交点为P，求△APE的面积； （3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C． （1）求直线BC的解析式； （2）求抛物线的顶点及对称轴； （3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由； （4）若点P是直线BC上方的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由． 《二次函数与坐标轴交点》专题 2014年（ ）月（ ）日 班级： 姓名 大多数人想要改造这个世界，但却罕有人想改造自己。 1.直线42-=x y 与y 轴交于点 ，与x 轴交于点 。 我们知道：①一次函数与x 轴的交点的求法 ②一次函数与y 轴的交点的求法 那么：③二次函数与x 轴的交点的求法 ④二次函数与y 轴的交点的求法 【归纳】(1)函数与x 轴y 轴交点的求法是：__________ ______________________ （2）反比例函数与坐标轴没有交点的原因是______________________________ 2.一元二次方程02 =++c bx ax ，当Δ 时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ 时，方程有两个相等的实数根；当Δ 时，方程没有实数根； 3.解下列方程 （1）0322=--x x （2）0962=+-x x （3）0322 =+-x x 5.对比第3题各方程的解，你发现什么？ 一元二次方程02 =++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2 与x 轴交 点的 .（即把0=y 代入c bx ax y ++=2 ） 1. 二次函数232 +-=x x y ，当x ＝1时，y ＝______；当y ＝0时，x ＝______． 2．抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ； 3.二次函数642 +-=x x y ，当x ＝________时，y ＝3． 4.如图，一元二次方程02=++c bx ax 的解为 。 5.如图，一元二次方程32 =++c bx ax 的解为 。 6. 已知抛物线922 +-=kx x y 的顶点在x 轴上，则k ＝____________． 7．已知抛物线122-+=x kx y 与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是_________ （4） （5） 二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数 1．（2014?北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围． 考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值． 专题：计算题． 分析：（1）将A与B坐标代入抛物线解析式求出m与n的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可； （2）由题意确定出C坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围． 解答： 解：（1）∵抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）， 代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1； （2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4， 由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4， 设直线BC解析式为y=kx+b， 将B与C坐标代入得：， 解得：k=，b=0， ∴直线BC解析式为y=x， 当x=1时，y=， 则t的范围为﹣4≤t≤． 点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 2．（2011?石景山区二模）已知：抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于C（0，4）． （1）求抛物线顶点D的坐标； （2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式． 专题：探究型． 分析：（1）先设出过A（﹣2，0）、B（4，0）两点的抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），再根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出a的值，进而得出此抛物线的解析式； （2）先用待定系数法求出直线CD解析式，再根据抛物线平移的法则得到（1）中抛物线向下平移m各单位所得抛物线的解析式，再将此解析式与直线CD的解析式联立，根据两函数图象有交点即可求出m的取值范围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位；同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位．解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4）， ∵C点坐标为（0，4）， ∴a=﹣，（1分） ∴解析式为y=﹣x2+x+4， 顶点D坐标为（1，）；（2分） （2）直线CD解析式为y=kx+b． 则，， 函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为 顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M 为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平 分线与对称轴交点即为所求点P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方 法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。 二次函数之交点式 【课前自习】 2.用十字相乘法分解因式： ①322 --x x ②342 ++x x ③6822 ++x x 3.若一元二次方程02 =++c bx ax 有两实数根21x x 、，则抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴 交点坐标是 . 【课堂学习】 一、探索归纳： 1.根据《课前自习》第3题的结果，改写下列二次函数： ①322 --=x x y ②342 ++=x x y ③6822 ++=x x y = = = 2.求出上述抛物线与x 轴的交点坐标： ①322 --=x x y ②342 ++=x x y ③6822 ++=x x y 坐标： 3.你发现什么？ 4.归纳： ⑴若二次函数c bx ax y ++=2 与x 轴交点坐标是（01，x ）、（02，x ），则该函数还可以 表示为 的形式； ⑵反之若二次函数是()()21x x x x a y --=的形式，则该抛物线与x 轴的交点坐标是 ，故我们把这种形式的二次函数关系式称为 式. ⑶二次函数的图象与x 轴有2个交点的前提条件是 ，因此这也 是 式存在的前提条件. 练习.把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标. ⑴232 +-=x x y ⑵232 -+-=x x y ⑶4622 +-=x x y 与x 轴的交点坐标是： 与y 轴的交点坐标是： 二、典型例题： 例1.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（1,0），且函数的最值是3. ⑴求对称轴和顶点坐标. ⑶求出该二次函数的关系式. ⑷若二次函数的图象与x ，则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），则对称轴是 . 归纳：若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴的交点坐标是（01，x ）、（02， x ）则，对称轴是 ，顶点 坐标是【拓展提升】 已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（⑴求对称轴和顶点坐标. ⑶求出该二次函数的关系式. 二次函数图像性质 1、二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，OA ＝OC ， ①abc ＜0；② 24b ac <；③1-=-b ac ； ④02<+b a ；⑤ a c OB OA -=?； ⑥024< +-c b a 。其中正确的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2、抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象如图，OA=OC ，则（ ） （A ） ac+1=b; （B ） ab+1=c; （C ）bc+1=a; （D ）以上都不是 3，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图2所示，给出以下结论：① a +b +c ＜0；② a －b +c ＜0；③ b +2a ＜0；④ abc ＞0 .其中所有正确结论的序号是（ ） A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②③ 4．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a －b ＋c ________________．(填序号) 5．y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如下图所示，abc ，b 2－4ac ，a －b ＋c ，a ＋b ＋c ，2a －b ，9a －4b 的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6.已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结 论： ①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴交于点（-2，0）（x 1，0），且1＜x 1＜2，与y 轴正半轴的交点在（0，2）下方。下列结论：（1）4a-2b+c=0.(2)a ＜b ＜0.（3）2a+c ＞0.（4）2a-b+1＞0.其中正确的序号是 . 第（16）题 二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数 2 1. (2014?北京)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x+mx+ n经过点A (0, - 2), B (3, 4). (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)设点B关于原点的对称点为C,点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A, B之间的部分为图象G(包含A, B两点).若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围. 5 4 ? (1) 将A与B坐标代入抛物线解析 式求出m与n的值，确定出抛物线 解析式，求出对称轴即可； (2) 由题意确定出C 坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围. 2 解答：解：(1 )???抛物线y=2x +mx+ n经过点 A (0,- 2), B (3, 4), f n=-2 L 18+3nr^n=4 ???抛物线解析式为y=2x2- 4x - 2，对称轴为直线x=1; 2 (2)由题意得：C (- 3,- 4),二次函数y=2x - 4x- 2的最小值为-4, 由函数图象得出D纵坐标最小值为-4, 设直线BC解析式为y=kx+b , 考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值. 专题：计算题. 分析： 解得：* :-4 n= - 2 代入得： 将B与C坐标代入得: 3k+b=4 -3k+b二- 解得: k= , b=0, 3 ?直线BC解析式为y=-x, 当x=1 时,y=J 点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待 定系数法是解 本题的关键. 2. (2011?石景山区二模)已知：抛物线与 x 轴交于A (- 2, 0)、B (4, 0),与y 轴交于C ( 0, 4). (1) 求抛物线顶点 D 的坐标； (2) 设直线CD 交x 轴于点E ,过点B 作x 轴的垂线，交直线 CD 于点F ,将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线 与线段EF 总有公共点?试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？ (1) 先设出过A (- 2, 0)、B (4, 0)两点的抛物线的解析式为 y=a (x+2) (x - 4),再根据抛物线与 y 轴 的交点坐标即可求出 a 的值，进而得出此抛物线的解析式； (2) 先用待定系数法求出直线 CD 解析式，再根据抛物线平移的法则得到 ( 1)中抛物线向下平移 m 各单位 所得抛物线的解析式，再将此解析式与直线 CD 的解析式联立，根据两函数图象有交点即可求出 m 的取值范 围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位；同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位. 考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式. 专题：探究型. 分析： 二次函数与一次函数交点问题 1. 一次函数（直线）： 情况一：一次函数)0(≠+=k b kx y 中，k 为定值时，通过平移去讨论产生的交点问题． 如：b x y +=2是与x y 2=平行的一组直线。 情况二：当一次函数)0(≠+=k b kx y 中，b 为定值时，此时一次函数过定点(0,b)，可以通过旋转的方式， 从而讨论交点个数问题． 如：3+=kx y 是过定点），（30的直线； k kx y +=是过定点） ，（31-的直线。 2. 一次函数与二次函数交点问题 情况一：一次函数()0y kx n k =+≠与二次函数()20y ax bx c a =++≠产生交点，求交点坐标方法。 联立二次函数与一次函数的解析式? ??++=+=c x ax y n kx y b 2 ， 整理为0k)-b (2 =-++=n c x ax y ， 解此一元二次方程即可。 例：一次函数1+=x y 与二次函数322--=x x y 交于A 、B 两点，求交点坐标。 解：联立? ??=+=3-2-12x x y x y 整理得：1322 +=--x x x 即：0432=--x x ∴.1421-==x x ； ∴.0521==y y ； ∴A （4,5）、B （-1,0） 情况二：当n 为何值时，一次函数()0y kx n k =+≠与二次函数()20y ax bx c a =++≠只有一个交点？有两个交点？无交点？ 联立二次函数与一次函数的解析式? ??++=+=c x ax y n kx y b 2 ， 整理为0k)-b (2 =-++=n c x ax y ， ∵ 二次函数c x ax y ++=b 2与一次函数n kx y +=只有一个交点，两个交点，无交点， ∴ 令0=?，0>?，0 二次函数一般式、顶点式、交点式 这节课我们学什么 1. 会用待定系数法求二次函数的解析式； 2. 会平移二次函数2(0)y ax a =≠的图象得到二次函数2()y a x h k =-+的图象； 了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 3. 根据交点求解解析式． 知识点梳理 1、顶点式：()2y a x h k =-+的图像与性质 2、交点式：12()()y a x x x x =--的图像与性质 1x 、2x 分别是二次函数与x 轴的两个交点坐标，如果二次函数与x 轴的交点坐标已知，则我们可以设解析式为12()()y a x x x x =--，然后再根据条件求出a 即可； 3、一般式2y ax bx c =++的性质 对于一般式：2(0)y ax bx c a =++≠，我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标呢？ 将一般式配方成顶点式： 2y ax bx c =++=2 ()b c a x x a a ++=22222()44b b b c a x x a a a a ++-+ =222(())()22b b c b a x x a a a a +++- =222424b b ac a x a a -??+= ?? ? 所以，任意二次函数，其对称轴方程为：直线2b x a =-；顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ， 1． 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大； 2． 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小； 交点个数问题（习题） 1.在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以OA为直径在第一象 限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O，E，A三点． （1）∠OBA=_______； （2）求抛物线的函数表达式； （3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P，O，A，E为顶点的四边形面积记为S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？ 2.如图，直线y =kx 与抛物线2422273 y x =- +交于点A (3，6)．（1）求直线y =kx 的解析式和线段OA 的长．（2）若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上（点E 与点O ，A 不重合），点D (m ，0)是x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE =∠BED =∠AOD ．则当m 在什么范围时，符合条件的点E 的个数分别是1个、2个？ 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+(k-1)x-k（k>0）与 直线y=kx+1交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C 的左侧）．则在直线y=kx+1上是否存在唯一的点Q，使得∠OQB=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由． 【参考答案】 1.（1）90°；（2）21584 y x x =-+；（3）当S =16时，点P 有且只有3个 2. （1）235；y x OA ==．（2）当94m = 时，符合条件的点E 有1个；当904m << 时，符合条件的点E 有2个． 3.当255 k =或1时，存在唯一的点Q ，使得∠OQB =90°． 二次函数专题讲解 一、知识综述： 1. 定义：一般地，如果 y ax 2 bx c （a,b,c 是常数， a 0） ，那么 y 叫做 x 的二次函数 2. 二次函数 y ax 2 bx c 用配方法可化成： y a x h 2 k 的形式，其中 h b ，k 4ac b 2a 3. 求抛物线的顶点、对称轴的方法 y a x h 2 k 的形式，得到顶点为 （ h , k ） ，对称轴是直 线 x h . 4. 二次函数由特殊到一般， 可分为以下几种形式： ① y ⑤ y ax 2 bx c . 它们的图像特征如下： 开口大小与｜ a ｜成反比，｜ a ｜越大，开口越小；｜ a ｜越小，开口越大。 5. 用待定系数法求二次函数的解析式 1）一般式： y ax 2 bx c . 已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式 2）顶点式： y a x h 2 k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式 （ 3）交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1、 x 2 ，通常选用交点式： y a x x 1 x x 2 . 6. 二次函数图象的平移 左加右减（对 X ），上加下减（对 Y ）。 二、考点分析及例题解析 考点一：二次函数的概念 4a 1)公式法： y ax 2 bx c a x b 2 2 2 b 4a c b2 ，∴顶点是（ 2b a ， 4ac 4a b 2 ），对称轴是直线 2a 4a x 2a 2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 2 2 2 2 ax 2 ；② y a x 2 k ；③ y a x h 2 ；④ y a x h 2 k ； 二次函数小综合-二次函数与交点问题 例1(2018四调题改)抛物线y ＝x 2 －kx －k ，A (1，－2)，B (4，10)，抛物线与线段AB (包含A 、B 两点)有两个交点，那么k 的取值范围为_______． 解：线段AB 的解析式是_______(1≤x ≤4)，联立抛物线与直线解析式方程得x 2 －4x ＋6＝kx ＋k ，该方程在1≤x ≤4时有两根，此方程可以看作定抛物线_______(1≤x ≤4)，与过定点C (－1，0)的动直线_____．(填写解析式，上同)，有两个交点，画出图像如图． 根据图像回答问题： M 点的坐标为______，N 坐标为______； l 1的k 值为________；l 2的k 值为________． 所以，仅有两个交点时，k 的取值范围为_____________． y ＝4x －6,y ＝x 2 －4x ＋6,y ＝kx ＋k , (1,3),(4,6),k ＝±6, k ＝ 65,－6＋k ≤65 . 例2．直线y ＝2x ﹣5m 与抛物线y ＝x 2 ﹣mx ﹣3在0≤x ≤4范围内只有一个公共点，则m 的取值范围为 ﹣5＜m ≤或m ＝8﹣2 ． 解：联立可得：x 2 ﹣（m +2）x +5m ﹣3＝0， 令y ＝x 2 ﹣（m +2）x +5m ﹣3， ∴直线y ＝2x ﹣5m 与抛物线y ＝x 2 ﹣mx ﹣3在0≤x ≤4范围内只有一个公共点， 即y ＝x 2 ﹣（m +2）x +5m ﹣3的图象在0≤x ＜4上只有一个交点， 当△＝0时，即△＝（m +2）2 ﹣4（5m ﹣3）＝0解得：m ＝8±4， 当m ＝8+4 时，x ＝ ＝5+2 ＞4 交点式专题 知识点；二次函?轴* y轴的交点的求法：分别令严①沪0；二次两離9—次及反比例甬数第的相交：赢立聘孑喙数表达式，脾方程. 制I、己期抛物钱y=J-2K TL "｝求证’课抛物线与*轴-定有两个交点，并求⑷这两牛交点的坐标. <2> Z'i^抛物线UK轴的两牛交点为九臥H它的顶总为H求ZUBF的而积 例2、如閤，肖建I经过A〔3, 0), B^O, 3)闫点，11与二次函数严F+l的I炖姒，在第一魏班内相空于点C求: (|^厶人*的唧积： (2) 一次竭歡图會明点峪点A, B粗咸的三篇形的而和. 例3、?朗期抛物线>? = /十脈-c绘过血线y =文一3,崎坐林轴时朗牛交点A * B-此抛物纽崎戈轴的另希交恵为0抛物歿浚魚宵U. (1)求此哋物线的解析成； C2)点P为甩伽线上的卜初点.-我便吃】S^；ti= 5 ’ 4的点P的坐标. D M 4*已知抛物钱y■丄］［抵-?? 2 2 <1)用配方法求它的顶点唯标和对称轴” (2)若该拋物线峙艾轴的烧个交点为九B，我缕段AB的I匕 例5、已知抛物线yW-F (3-2m) x+m-2 (m^0> Fjx轴冇時牛不同的交点. (1) 求m的取就范帽： (2) 料断点P (I, 1)是否在抛物线上； C3)卅尸1时，求抛物线的顶点Q及卩点关于礎物线的对称轴对称的点P'的坐标■并过P' > 4卩二点.回出哋物级臥團■ 例氐已知一次函数y?一57) x-mffj图邃址抛物线*如图2S-10. <1)试求n为何愼时，抛物线与x轴的购牛交点阿的距离是3? <2)当皿为何值时，方程忙一(D］-3> x-m-0的悶个根均为负数？ 九年级（上）数学期末复习10——二次函数的交点 2011年______月 ______日 班级__________姓名___________ 【测试点三】抛物线的交点： （1）x 轴的交点：_____________________________________________。 （2）y 轴的交点：_____________________________________________。 （3）与其它图像的交点：_____________________________________________。 【例题选讲】 1、抛物线ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３与ｘ轴的交点坐标是_______． 2、直线ｙ＝２ｘ－１与抛物线ｙ＝ｘ２的交点坐标是_______． 3、若抛物线ｙ＝(k+1)x 2+k 2－9，开口向下，且顶点经过原点，则ｋ＝_______． 4、若抛物线ｙ＝ｘ2－２ｘ＋ｍ与ｘ轴的一个交点是（－２，０），则另一个交点的坐标是 _______，ｍ＝_______． 5、抛物线342--=x x y 与x 轴交于A,B,顶点为P,则 △PAB 的面积是_________ 6、若抛物线y=ax 2+3x-1与x 轴有两个交点,则a 的取值范围是_______ _． 7.(1)(4)y a x x =-+与x 轴、y 轴交于A 、B 、C 三点，且三角形ABC 为直角三角形，则a = ． 8．运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高y （m ）与水平的距离x （m ）之间的函数关系式为y=－112 x 2+23x+53，则该运动员的成绩是_______ _． 9.已知：抛物线22)21(a x a x y +-+= ( a ≠0 )与x 轴交于点A(x 1，0)、B(x 2，0) ，且x 1 ≠x 2． （1）求a 的取值范围，并证明A 、B 两点都在原点O 的左侧； （2）若抛物线与y 轴交于点C ，是否存在这样的a 使得12 2-++=+OC OB OA OB OA 成立，若存在，求出a ，若不存在，说明理由. 二次函数交点式练习题 一、选择 1.如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是3,那么c 的值等于（） （A ）8（B ）14 （C ）8或14（D ）-8或-14 2.二次函数y=x 2-(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取（） （A ）12（B ）11（C ）10（D ）9 3.若00,△>0 B.a>0,△<0 C.a<0,△<0 D.a<0,△<0 5.若抛物线 22y x x a =++的顶点在x 轴的下方，则a 的取值范围是（ ） Ａ．1a > Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤ 二、填空 1、已知一条抛物线的开口大小、方向与2x y =均相同，且与x 轴的交点坐标是 （-2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是. 2.已知一条抛物线的形状与22x y =相同，但开口方向相反，且与x 轴的交点坐 标是（1,0）、（4,0），则该抛物线的关系式是. 3.已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为3，其中一个交点坐标是 （1,0）、则另一个交点坐标是，该抛物线的对称轴是. 4.二次函数()()43---=x x y 与x 轴的交点坐标是，对称轴是. 5.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值 是-3.则该抛物线开口向，当x 时，y 随的增大而增大. 6.请写出一个开口向下、与x 轴的交点坐标是（1,0）、（-3,0）的二次函数关系式：. /7、把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析 式为（???）． 8.已知二次函数)1(3)1(2-++-=a a x x a y 的图象过原点则a 的值为 9.二次函数432--=x x y 关于Y 轴的对称图象的解析式为 关于X 轴的对称图象的解析式为 关于顶点旋转１８０度的图象的解析式为 10.二次函数y=2(x+3)(x-1)的x 轴的交点的个数有__个，交点坐标为_______。 11.已知二次函数222--=x ax y 的图象与X 轴有两个交点，则a 的取值范围是 12.二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为___,对称轴为_。 13.抛物线y=(k-1)x 2+(2-2k)x+1，那么此抛物线的对称轴是直线_________，它 必定经过________和____ 中考专练之二次函数——交点个数问题 求解函数交点的方式 1. 令两函数值相等（解析式等） 2. 3. 解出等式的未知数 x 4：把未知数 x 的值带入两函数任意一个（一般是一次函数） 5：写出交点坐标（x ，y ） 1. 已知关于x 的一元二次方程x 2+(4-m )x +（1-m ）= 0． （1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）此方程有一个根是3，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线y =x 2+(4-m )x +（1-m ）向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y =x +b 与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b 的值． 【答案】 （1）见解析（2）-4 【解析】 （1）证明：∵△=()()2 441m m ---. =2412m m -+ =()228m -+ ∴△＞0. ∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根. （2）把x =-3代入原方程，解得m =1. ∴23y x x =+. 即2 3924y x ??=+- ?? ?. 依题意，可知新的抛物线的解析式为239'24y x ??=-- ?? ?. 即2'3y x x =+ ∵抛物线'y 与直线y x b =+只有一个公共点， ∴23x x x b -=+. 即240x x b --=. ∵△=0. ∴()()2440b --?-=. 解得b = -4. 2. 已知抛物线232y x mx =+-． （1）求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点； （2）若m 为整数，当关于x 的方程2320x mx +-=的两个有理数根都在1-与 43之间（不包括-1、43 ）时，求m 的值． （3）在(2）的条件下，将抛物线232y x mx =+-在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ，再将图象G 向上平移n 个单位，若图象G 与过点（0，3）且与x 轴平行的直线有4个交点，直接写出n 的取值范围是 ． 1x y O 【答案】 （1）见解析（2）1（3） 11312 n << 【解析】 （1）∵△=2243(2)24m m -??-=+， ∴无论m 为任何实数，都有2240m ?=+> ∴抛物线与x 轴总有两个交点． 二次函数的交点式 在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时，使用交点式较为方便。y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点，分别记为x1和x2,代入公式，再有一个经过抛物线的点的坐标，即可求出a的值。将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2)，即可得到一个解析式，这是y=ax2;+bx+c因式分解得到的，将括号打开，即为一般式。X1,X2是关于ax2+bx+c=0的两个根。 设baiy=ax2+bx+c此函数与x轴有两交点,, 即ax2+bx+c=0有两根分别du为 x1,x2, a(x2+bx/a+c/a)=0 根据韦达定理 a[x2-(x1+x2)x+x1*x2]=0 十字交叉相zhi乘： 1x -x1 1x -x2 a(x-x1)(x-x2) 就是这样推出的。 定义与表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时， 开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.） 则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 抛物线与x轴 交点个数 Δ=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。 系数表达的意义 a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口；当a<0时,抛物线向下开口。 b和a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右。 c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于（0,c）。二次函数交点式的研究 专题
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