Poisson回归模型及其应用
Poisson回归模型和负二项回归模型在林火预测领域的应用
Ａｂ ｔａ ｔ Ａ Ｐ ｉ ｏ ｅ ｒｓｉｎｍｏ ｅ ａ ｄ ａ ｎ ｇｔ ｅｂｎ ｍｉｌｒｇｅｓ ｎ ｍｏ ｅ Ｎ ｄ １ ｒ ｆ ｎ ｕｅ ｎ ａｅｓ ｓｒ ｃ： ｏｓ ｎｒｇｅｓ ｄ ｌ ｎ ｅａｉ ｉｏ ａ ｅ ｒｓｉ ｄｌ（ Ｂ ｍｏ ｅ ）ａｅ ｏｔ ｓｄ ｉ ｒａ ｓ ｏ ｖ ｏ ｅ
空 间 中罕 见 质 点 总 数 的 随 机 分 布 规 律 。Ｐ ｉ ｏ ｏ ｓｎ回 ｓ
的线性 关 系 ， 用最 小 二 乘 法估 计 所 有 自变量 来 解 采
释 因变 量 的变化 情 况 ， 时 可 以在 控 制 其他 自变 量 同 的情况 下分 析某 个 自变 量 对 因变 量 的单 独 效 应 （ 陈 峰 ，０ ７ 。但 多元 线 性 回 归 的 应 用 有 其 自身 的 局 ２０） 限性 ， 首先 ， 回归 分析 要求 因变 量是 连续 性 变量 ；其 次 回归模 型要求 因变 量必须 要 服从正 态和方 差 齐性 （ 张家 放 ，０ ２ 。这种 局 限性 并 不适 用 于 单位 时 间 ２０ ） 或 空 间 内罕见 事件 发 生 次数 的一 类 数据 ， 为这 些 因 数 据 的结 构 大 多呈现 离散 型分 布 。由于离 散 的数 据
积 雪 期 长 达 ５个 月 ， 内 雪 深 ３ 林 ０～５ ｍ。 土 壤 以 ０ｃ
因素 的影 响 ， 森林 火 灾 的发 生 时 间 主要 集 中在 几 个 月份 ， 发生次 数 有着 明显 的离散 特 性 。 国外 利 用 负 二 项 回归模 型 和 Ｐ ｉ ｏ ｏ ｓｎ回归模 型 对 林 火 发 生 的模 ｓ 拟 开 始 于 ２ 世 纪 ６ 年 代 （Ｃｏｂ ，１ ５ ， ０ ０ ｒｓｙ ９ ４） Ｃ ｎ ｉｇ ａ 等 （ ９ ３ 提 出在 一 个 地 区 内 的人 为 火 ｕ ｎｎ ｈｍ １７ ） 灾发 生次数 的概 率分 布情况 近似 于 Ｐ ｉ ｏ ｏｓ ｎ分 布 ， ｓ 且 分布 的期望 值是 根据 火灾危 险 等级 系统 所 提供 的每
Poisson回归模型
Poisson回归模型
Poisson回归模型是一种用于分析列联表和分类数据的方法，它是对数线性模型的一种变体。
不同之处在于，对数线性模型假设频数分布为多项式分布，而泊松回归模型假设频数分布为泊松分布。
首先，让我们了解一下什么是泊松分布。
泊松分布是一种重要的离散型概率分布，是二项分布的极限形式（当概率p很小，样本例数n很大时）。
在现实世界中，许多随机事件都可以用泊松分布来描述。
泊松分布的概率函数为：P(X=k) = (e^-λ * λ^k) / k。
其中λ为分布的参数，表示单位时间（或空间）内事件发生的平均次数。
如果一个随机变量X的取值符合这个概率函数，我们就称X服从参数为λ的泊松分布。
那么，泊松分布是如何由二项分布推导而来的呢？假设某个事件在任意时间内以概率p发生，我们把时间段分成n个非常小的时间片，并做如下假设：1）每个时间片内事件发生是
独立的，和前后是否发生无关；2）由于n趋近于无穷大，每个时间片内事件最多发生一次；3）每个时间片内事件发生的概率p与时间片个数n的乘积n*p=λ为常数，表示该事件在这个时间段内发生的频度。
根据这些假设，我们可以得到泊松分布的概率函数。
综上所述，泊松回归模型利用泊松分布来描述分类数据的频数分布，是一种常用的统计方法。
possion模型的用法
possion模型的用法English Answer:What is a Poisson Regression Model?A Poisson regression model is a statistical model usedto predict the number of events that occur within a fixed interval of time or space. It is a type of generalizedlinear model (GLM) that assumes that the response variable follows a Poisson distribution.The Poisson distribution is a discrete probability distribution that describes the probability of observing a specific number of events within a given interval. The Poisson distribution is characterized by a single parameter, lambda (λ), which represents the average number of events that occur within the interval.The Poisson regression model relates the expected number of events (μ) to a set of independent variables (x1,x2, ..., xn) through a linear function:μ = exp(β0 + β1x1 + β2x2+ ... + βnxn)。
ivpoisson 模型识别条件
ivpoisson 模型识别条件ivpoisson模型是一种用于识别条件的统计模型。
它是基于泊松回归模型的一种扩展形式，用于研究事件的发生数量与一系列解释变量之间的关系。
在本文中，我们将介绍ivpoisson模型的基本原理、应用场景以及如何使用该模型进行条件识别。
让我们来了解一下ivpoisson模型的基本原理。
ivpoisson模型是基于泊松回归模型的一种扩展形式，它考虑了内生性问题。
内生性问题是指解释变量与误差项之间存在相关性，从而导致最小二乘估计法的无偏性和一致性无法成立。
为了解决这一问题，ivpoisson 模型引入了工具变量来代替内生变量，从而消除内生性问题。
通过使用工具变量，我们可以得到一致性的估计结果，并且可以使用ivpoisson模型来进行条件识别。
ivpoisson模型在许多实际应用中都具有重要的作用。
例如，在经济学领域，我们常常需要研究一些因果关系，如教育对收入的影响。
然而，由于教育水平往往与个体特征存在内生性问题，传统的回归方法可能无法得到准确的估计结果。
在这种情况下，我们可以使用ivpoisson模型来消除内生性问题，从而得到准确的估计结果。
在使用ivpoisson模型进行条件识别时，我们需要注意以下几点。
首先，选择适当的工具变量非常重要。
工具变量应该与内生变量相关，但与误差项无关。
其次，我们需要确定正确的函数形式。
在ivpoisson模型中，通常假设解释变量与因变量之间的关系是线性的，但也可以根据实际情况选择其他函数形式。
最后，我们需要进行模型的拟合和解释。
通过拟合ivpoisson模型，我们可以得到解释变量的系数估计值，从而可以解释不同解释变量对事件发生数量的影响。
ivpoisson模型是一种用于识别条件的统计模型。
它是基于泊松回归模型的一种扩展形式，用于研究事件的发生数量与一系列解释变量之间的关系。
ivpoisson模型在消除内生性问题方面具有重要作用，并在许多实际应用中得到了广泛使用。
poisson回归的原理_解释说明以及概述
poisson回归的原理解释说明以及概述1. 引言1.1 概述Poisson回归是一种用于建立离散计数数据和解释变量之间关系的统计方法。
它基于泊松分布，旨在预测事件在给定时间或空间区域内发生的次数。
这种回归分析方法被广泛应用于医学、经济、环境科学等领域，对于了解和解释离散事件发生的规律具有重要意义。
1.2 文章结构本文将首先介绍Poisson回归的原理，包括Poisson分布的简介、线性回归与Poisson回归的区别以及参数估计方法。
接着，我们将详细说明Poisson回归模型的假设和进行假定检验的方法，同时展示该方法在不同领域中的应用示例。
此外，我们还将讨论常见问题，并提供相应的解决方法。
最后，我们将对当前Poisson回归研究进展进行综述，并探讨未来其发展方向和应用前景。
1.3 目的本文旨在全面而系统地介绍Poisson回归的原理、解释说明以及概述，并从历史发展到当前研究热点再到未来发展方向进行深入探讨。
通过本文的阐述，读者将能够全面了解Poisson回归的基本原理和应用方法，并能够在实际问题中灵活运用此回归模型进行数据分析和预测。
2. Poisson回归的原理2.1 Poisson分布简介Poisson分布是一种离散概率分布，用于描述在一定时间或空间范围内发生某事件的次数的概率。
它假设事件在时间或空间上是独立且均匀分布的，并且事件的平均发生率是恒定的。
Poisson分布的概率质量函数如下：P(x;λ) = (e^(-λ) * λ^x) / x!其中，x表示事件发生次数，λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生率。
2.2 线性回归与Poisson回归的区别线性回归和Poisson回归都是统计学中常用的回归方法，但二者有着明显的区别。
线性回归假设因变量与自变量之间存在线性关系，并通过拟合直线来预测连续型因变量。
而Poisson回归则适用于因变量为计数型数据，它通过模拟Poisson 分布来进行预测和推断。
泊松分布回归模型
泊松分布回归模型泊松分布回归模型是一种广泛应用于计量经济学、金融学、医学、人口统计学等领域的回归分析方法。
它通常用于解释某些事件的发生频率，比如某个地区每年的交通事故数量或一家医院每天的门诊量等。
本文将为读者介绍泊松分布回归模型的相关知识和应用。
首先，我们需要了解泊松分布回归模型的基本概念和假设。
泊松分布是一种描述事件发生的概率分布，假设发生事件的次数服从泊松分布，那么这个事件在一定时间内的发生次数就只与时间长度有关，而与具体的时间点无关。
例如，在某个地区每天的汽车事故数量可以被看做是泊松分布。
泊松分布回归模型的假设和普通的线性回归模型类似，都假设因变量与自变量之间存在一定的线性关系。
然而与普通线性回归不同的是，泊松回归模型的因变量是发生次数而不是连续变量。
泊松回归模型还假设发生次数的期望值等于方差，即泊松分布的方差等于其期望，这个假设称为泊松分布的等分散性假设。
那么在实际应用中，如何进行泊松分布回归模型的建模呢？通常需要做以下几个步骤：第一步，选择自变量。
根据实际应用的问题，选择与因变量相关的自变量。
需要注意的是，自变量应当是解释性的，而不是简单地用作控制变量。
第二步，进行模型的拟合。
利用最大似然法等方法估计模型的系数，得到模型的拟合结果。
需要注意的是，在模型拟合时需要满足泊松分布的等分散性假设。
第三步，进行模型的诊断。
通过残差分析、纵向数据的变化和是否具有过多的零值等方法检验模型的适宜性和泊松分布的等分散性假设是否成立。
第四步，进行推断和预测。
利用已有的数据来进行模型推断，得到因变量的均值和方差等信息。
根据模型的拟合结果，预测未来的发生次数。
泊松分布回归模型的应用非常广泛。
在医学领域，可以用于研究某疾病的发生率与自变量之间的关系，如某种癌症的发生率与吸烟和饮食习惯之间的关系等。
在金融领域，可以用于研究公司的违规率与经济因素之间的关系。
在人口统计学领域，可以用于研究人口的出生率和死亡率与地区人口密度、社会经济状况等因素之间的关系。
Poisson回归 ppt课件
负二项分布
p( y) P{Y y} y1 k (1 )yk
k 1
p( y) (1 )y 1
负二项分布
负二项分布的性质：
均值 方差
k(1 )
2
k(1 ) 2
LR
=
-2(lnLm1-ln
Lm2)=-2ln（
Lm 1 Lm 2
）
比较两个嵌套模型的对数似然值
似然比统计量服从χ2分布，其自由度为两个模型 自变量数的差值，根据χ2值和相应的自由度可计 算出P值
Poisson回归模型
模型评价：
Pearson χ2 ——比较期望值和观测值的差别
2
k (1
)
2
k(1 2
)
令
1 ，则Fra bibliotek x的均数为： k
方差为： 2 k(1 ) 2 / k
将k-1称为离散参数，当k-1趋于0时，负二项分布 退化为Poisson分布
广义线性模型
广义线性模型“广”在什么地方？ 主要是“广”在因变量上。
诊断指标：DFBETA，Cook距离（Cook’s Distance）
Poisson回归模型
2 k(1 ) 2 / k
Poisson回归模型
广义线性模型在SAS中可通过proc genmod命令实现。其 常用语句有：
Proc genmod <选项>; Class 分类变量; Model 因变量=自变量; Weight 变量： Run;
Poisson回归介绍
4
Poisson回归模型
▪ 通常离散计数资料是在一定时间和空间范围内 搜集的资料。
▪ 关心的是单位时间和空间，因此写作Y/N，N为 时间或空间量； Y/N是经过单位化的结果
5
Poisson回归模型
▪ 单位率的模型可写作
log(
N
)
0
1x1
...
n
xn
log() log(N ) 0 1x1 ... n xn
新发病例
总人数
61
2880262
76
564535
98
592983
104
450740
63
270908
80
161850
64
1074246
75
220407
68
198119
63
134084
45
70708
27
34233
14
12
练习
▪ 400名恶性黑色素瘤病人的横断面调查,研究肿瘤发 生部位和组织学分型的关系
肿瘤分型
1 2 3 4 合计
头颈 22 16 19 11 68
部位 躯干
2 54 33 17 106
Байду номын сангаас
手足 10 115 73 28 226
合计 34 185 125 56 400
13
地区 北方
南方
年龄
<35 3545556575<35 3545556575-
观察号
1 2 3 4 5 6 7 8
死亡数 death
32 104 206 186
2 12 28 28
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表 13-2 格子编号(i) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 j 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 k 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
层别、因素组成设计阵 Xi1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Xi2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Xi3 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Xi4 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Xi5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 Xi6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 Xi7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 Xi8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 Xi9 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
ˆ hi ˆ h1 ˆ h2 ˆ h3 ˆ h4 ˆ h5 ˆ h6 ˆ h7 ˆ h8 ˆ h9 ˆ h ˆ 10 h ˆ 11 h ˆ 12 h ˆ 13 h ˆ 14 h ˆ h 15
16
表 13-2 格子编号(i) j 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 k 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
乘法模型(multiplicative model)
上述hjk、hi与j、k间的模型形式称为乘 法模型。当层别与因素间无交互作用时， 以 k=1 为 基 准 组 （ exp(1)=1 ） ， 而 exp(k)就是第k个暴露水平相对于基准组 的疾病相对危险度。当层别与因素间存 在交互作用时，只能分层计算第k个水平 相对于k=1水平的相对危险度。
表 13-1
开放队列资料分层列联表形式
暴露水平（K） 层 别 （j） nj1 1 … j … J nJ1 nj1 n11 1 dj1 k K …
jk
合计 …
jK
ˆ h
…
j1
njk n1k
ˆ djkh ˆ
1k
njK …
h dˆ jK ˆ
ˆ nj. h dj. ˆ n1. hd1.
…
j.
ˆ d11 h
表 13-3 年龄(岁) （j） 15~ 25~ 35~ 45~ 55~ 65~ 75~ 85 及以上 合计
M 城与 D 城妇女的非黑色素皮癌的资料 M 城（参考组） D城 发癌例数 观察人数 发癌例数 观察人数 ( dj1 ) ( nj1 ) ( dj2 ) ( nj2 ) 1 172675 4 181343 16 123065 38 146207 30 96216 119 121374 71 92051 221 111353 102 72159 259 83004 130 54722 310 55932 133 32185 226 29007 40 8328 65 7538 523 651401 1242 735758
加法模型(additive model)
hjk与层别j、暴露因素k间加法模型表示 形式为： hjk=j＋k 当设计阵表示资料结构时，率的加法模 型为： hi= 1 X1 J X J 2 X 2 K X K p=J+K-1 , 参数j和k可以用观察数据进行估计。对 于第一暴露水平的基准组，由于1=0, 则 有hj1=j, 或hi=j。
模型拟合度与参数检验
—偏差统计量
• Poisson回归模型拟合好坏用偏差统计量 (deviance)表示，偏差统计量实际上是对 数似然比统计量，它是饱和模型 (saturated model)和拟合模型对数似然值 差的两倍，其在Poisson分布条件下的计 算公式为：
di ˆ G 2 (d i ln( ) (d i i )) ˆ i
对于流行病学资料，在研究因素与疾病 发生间的关系时需要鉴别其间的关系是 加法模型还是乘法模型。然而，从经验 和实践的角度，肿瘤等慢性病流行病学 的暴露效应很多情况都符合乘法模型。 除加法模型和乘法模型外，率与协变量 间可以有非线性形式，需对研究问题深 入了解的基础上来构建非线性模型。
Poisson回归模型及其参数估计
乘法模型(multiplicative model)
• 当加法模型不成立时，常将率作对数变 换，其形式为： • lnhjk=j＋k • 或表示为： • hjk=exp(j＋k)=exp(j)×exp(k) • 当资料结构以设计阵形式表示时，率的 乘法模型形式为： • hi exp(1 X1 J X J 2 X 2 K X K )
率（发生数）与因素间关系
—资料结构
表中最后一列是第 j 层的发病率或发病密 度（对暴露因素求合计）。
ˆ 表中的h 为第j层第k个暴露水平下的发病 jk （死亡）率或发病密度的估计值，其真 正的发病（死亡）率或发病密度为 hjk ， 是层别因素和暴露因素的作用结果。
层别、因素组成设计阵
对于队列研究资料，将层别和因素交叉 分组形成列联表资料，这里的层别和因 素实际上为有序分类变量资料（等级资 料），分析中可以将层别、因素用多个 0~1 变 量 表 示 形 成 设 计 阵 （ design matrix）。为叙述方便，假定J=8，K=2， 记i为8×2列联表格子的顺序编号，则设 计阵为表13-2的形式
率（发生数）与因素间关系
— 一个实例
例 Scotto等人对美国北方城市M城和南
方D城15岁以上妇女患非黑色素皮癌状况 进行调查，结果见表13-3，年龄每10岁 一层。试用Poisson回归模型分析年龄效 应和南北城市的差别。
率（发生数）与因素间关系
—资料结构
对于队列研究资料，设一个变量为混杂因素 （如年龄）分为 J 层（可以是多个因素交叉形 成的层），另一个变量为暴露因素，分为 K 个 水平（可以是多个因素形成的水平）。假如在 第 j 层 、 第 k 个 暴 露 水 平 （ j=1,2,…,J; k=1,2,…,K）观察了njk例（人年），其中有djk 例发病（或死亡）。形成如表13-1的形式。并 可计算观察发病（死亡）率或发病密度。
Poisson回归模型及其应用
宁波大学医学院 沈其君
问题提出
队列研究 开放队列 固定（封闭）队列 特点：随防时间长 随访中有进有出（失 访） 影响因素多 低发病率 M-H法和标准化法 Logistic回归模型 Cox回归模型 Poisson回归模型
Poisson回归模型的引入
• 回归分析 研究因变量与自变量间关系 • 分析目的 预测与控制、因素分析与筛选、 危险度估计（RR和PAR） • Logistic回归模型 因变量为二项分布 • Poisson回归模型 因变量为Poisson分布， 低发生率的（分组）计数（离散）资料 （如低发病率或死亡率），自变量 可以 连续型或离散型
…
11
…
d1kh …
n1K dh 1K …
1K
…
1.
ˆ dj1 h
…
j1
…
njk
djkh …
ˆ
jk
…
h njK djK
…
ˆ
jK
…
nj·h dj· …
ˆ
j·
ˆ dJ1 h
ˆ
J1
…
nJk
dJkh
ˆ
Jk
…
nJK dh JK
ˆ
JK
…
nJ· hdJ·
ˆ
J·
h 表 13-1 中的
jk 为第
j 层第 k 个暴露水平下的发病（死亡）率或发病密度的估计值，
2(ln L( k ) ln L( k r ))
Poisson模型的GENMOD过 程
GENMOD过程用于广义线性模型分析。广义 线性模型是传统线性模型的的延伸，它的总体 均数通过一个非线性连接函数依赖于线性预测 值，反应变量（误差项）的概率分布为指数分 布族中的任何一员。有许多广泛应用的统计模 型都属于广义线性模型，包括带正态误差的经 典线性模型、Logistic回归模型、概率单位模型 和对数线性模型等。本节主要介绍应用 GENMOD过程进行Poisson回归模型分析。
ˆ hi ˆ h1 ˆ h2 ˆ h3 ˆ h4 ˆ h5 ˆ h6 ˆ h7 ˆ h8 ˆ h9 ˆ h ˆ 10 h ˆ 11 h ˆ 12 h ˆ 13 h ˆ 14 h ˆ h 15
16
率与协变量间的回归模型结构
在 hjk 与层别因素、暴露因素间可通过几 种不同模型结构反映其间的关系，并通 过模型中参数来反映层别因素、暴露因 素的效应大小。若用 j 表示层别因素第 j 层的效应，k表示暴露因素第k个水平的 效应，则常用的表示 hjk 与层别、暴露因 素间关系的模型常见的有两种。
i i i
di !
di !
参数估计
两侧取对数，回归模型的对数似然函数 为:
lnL()= i {di ln(ni h( X i , )) _ ni h( X i , )} 对数似然函数中的未知参数可以用迭代 重复加权最小二乘法（简称IRLS法）估 计，它与通常的极大似然估计结果一致。 也可用极大似然估计法
DATA EX13_1; INPUT AGE CITY D N@@; LN=LOG(N); CARDS; 1 2 1 172675 1 1 4 181343 2 2 16 123065 …
8 2 40 8328 8 1 65 7538 ; PROC GENMOD DATA=EX13_1; CLASS AGE CITY; MODEL D=AGE CITY/DIST=POISSON LINK=LOG OFFSET=LN TYPE1 TYPE3 NOINT; RUN;
层别、因素组成设计阵(有截距项) Xi1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Xi2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Xi3 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Xi4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 Xi5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 Xi6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 Xi7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 Xi8 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1