2019-2020年高中数学第二章变化率与导数章末综合测评含解析北师大版选修
2019-2020年高中数学 第二章 变化率与导数综合测试 北师大版选修2-2
2019-2020年高中数学 第二章 变化率与导数综合测试 北师大版选修2-2一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．曲线y ＝e x在点A (0,1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ． 2 C ．e D ．1e[答案] A[解析] 根据导数的几何意义可得，k ＝y ′|x ＝0＝e 0＝1.2．已知使函数y ＝x 3＋ax 2－43a 的导数为0的x 值也使y 值为0，则常数a 的值为( )A ．0B ．±3C ．0或±3D ．非以上答案[答案] C[解析] 求出使y ′＝0的值的集合，再逐一检验．y ′＝3x 2＋2ax .令y ′＝0，得x ＝0或x ＝－23A ．由题设x ＝0时，y ＝0，故－43a ＝0，则a ＝0.且知当x ＝2，a ＝－3或x ＝－2，a ＝3时，也成立．故选C ．3．设f (x )为可导函数，且满足条件lim x →0f－f －x2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2[答案] B[解析] 因为f (x )为可导函数，且lim x →0f－f －x2x＝－1，所以12lim x →0f －f －xx＝－1，所以lim x →0f －f －xx＝－2，即f ′(1)＝－2，所以y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－2.4．运动方程为s ＝1－t t2＋2t 2，则t ＝2的速度为( )A ．4B ．8C ．10D ．12[答案] B[解析] 本题考查导数的物理意义，求导过程应注意对求导公式和求导法则的灵活应用．∵s ＝1－t t 2＋2t 2＝1t 2－1t＋2t 2＝t －2－t －1＋2t 2，∴s ′＝－2t －3＋t －2＋4t .∴v ＝－2×123＋122＋4×2＝8，故选B.5．函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图像是如图所示的一条直线，则y ＝f (x )的图像的顶点在( )A ．第Ⅰ象限B ．第Ⅱ象限C ．第Ⅲ象限D ．第Ⅳ象限 [答案] A[解析] 显然y ＝f (x )为二次函数，设为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则y ＝f ′(x )＝2ax ＋b .由图像知a <0，b >0.又由已知函数的图像过原点，∴c ＝0，顶点为(－b 2a ，－b 24a )，因而y＝f (x )的顶点在第Ⅰ象限．6．若函数y ＝exx在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值( )A ．等于0B ．等于1C ．等于12D ．不存在[答案] C[解析] y ′＝xx －e xxx 2＝exx －x 2，当x ＝x 0时，y ′＝e x 0x 0－x 20，y ＝e x 0x 0.由题意，知y ′＋y ＝0，即e x 0(x 0－1)＋e x 0·x 0＝0，所以x 0＝12.7.(xx·邹城一中月考，9)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3[答案] A[解析] ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ①∴f (2－x )＝2f (x )－(2－x )2＋8(2－x )－8 ＝2f (x )－x 2－4x ＋4. ②将②代入①，得f (x )＝4f (x )－2x 2－8x ＋8－x 2＋8x －8.∴f (x )＝x 2，y ′＝2x .∴y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2.∴函数y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.8.设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2][答案] D[解析] ∵f ′(x )＝x 2sin θ＋3x cos θ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋π3)，∵θ∈[0，5π12]，∴sin(θ＋π3)∈[22，1]，∴f ′(1)∈[2，2]．故选D.9．若曲线xy ＝a (a ≠0)，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是( )A ．2a 2B ．a 2C ．2|a |D ．|a |[答案] C[解析] 设切点的坐标为(x 0，y 0)，曲线的方程即为y ＝ax ，y ′＝－a x2，故切线斜率为－a x 20，切线方程为y －a x 0＝－ax 20(x －x 0)．令y ＝0得x ＝2x 0，即切线与x 轴的交点坐标为(2x 0,0)；令x ＝0得y ＝2a x 0，即切线与y 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a x 0.故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12×|2x 0|×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a x 0＝2|a |. 10．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[答案] A[解析] 考查导数的应用，求曲线的切线方程问题． 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)， 即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上， 则x 0＝0或x 0＝32.x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切得 a ＝－2564当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切得a ＝－1，所以选A ．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知曲线y ＝13x 3＋13，则在点P (2,3)的切线方程是________．[答案] 4x －y －4＝0[解析] y ′＝x 2，当x ＝2时，y ′＝4. ∴切线的斜率为4.∴切线的方程为y －3＝4(x －2)， 即4x －y －5＝0.12．球的半径从1增加到3时，球的体积平均膨胀率为____________． [答案]104π3[解析] ∵Δy ＝43π×33－43π×13＝104π3，∴V ′＝Δy Δx ＝104π32－1＝104π3.13．设f (x )是偶函数，若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f (－1))处的切线的斜率为________．[答案] －1[解析] 考查偶函数性质．偶函数图像关于y 轴对称，则曲线上关于y 轴对称的两点的切线也关于y 轴对称，斜率互为相反数．∴斜率为－1.14．已知0<x <14，f (x )＝x 2，g (x )＝x ，则f ′(x )与g ′(x )的大小关系是________．[答案] f ′(x )<g ′(x )[解析] 由题意，得f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝12x .由0<x <14，知0<f ′(x )<12，g ′(x )>1，故f ′(x )<g ′(x )．15．函数y ＝cos x ·cos2x ·cos4x 的导数为________． [答案] y ′＝cos x sin8xsin 2x[解析] ∵y ＝cos x ·cos2x ·cos4x ＝ sin x ·cos x ·cos2x ·cos4x sin x ＝18·sin8xsin x，∴y ′＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫sin8x sin x ′＝18·8sin x ·cos8x －cos x ·sin8x sin 2x ＝cos8x sin x －cos x ·sin8x8sin 2x . 三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．求下列函数的导数： (1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x－1)；[解析] (1)∵y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)＝x 3＋1＋1x2，∴y ′＝3x 2－2x3.(2)∵y ＝(x ＋1)(1x－1)＝－x 12＋x －12，∴y ′＝－12x －12－12x －32＝－12x·(1＋1x )．17．设曲线C ：y ＝x 3－3x 和直线x ＝a (a >0)的交点为P ，过点P 的曲线C 的切线与x 轴交于点Q (－a,0)，求a 的值．[解析] 依题意⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3－3xx ＝a，解得P (a ，a 3－3a )，y ′＝3x 2－3所以过点P 的曲线C的切线方程为：y －(a 3－3a )＝(3a 2－3)(x －a )令y ＝0得切线与x 轴的交点为(2a33a 2－3，0)则有2a 33a 2－3＝－a 解得a ＝±155或a ＝0，由已知a >0，∴a ＝155. 18．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1、C 2都相切．求直线l 的方程．[解析] 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1，y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21①.对于C 2，y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4②.∵两切线重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝－x 2－－x 21＝x 22－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0x 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x 2＝0，∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.19.(1)求曲线y ＝f (x )＝x 3－2x 在点(1，－1)处的切线方程； (2)过曲线y ＝f (x )＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．[分析] 要注意(1)(2)中的不同之处，在点(1，－1)处的切线方程即(1，－1)为切点，而过点(1，－1)的切线方程中切点需设出后，再利用导数的几何意义(可利用斜率相等)，求出切点坐标后再求切线方程．[解析] (1)由题意f ′(x )＝3x 2－2，f ′(1)＝1， ∴点(1，－1)处的切线的斜率k ＝1，其方程为y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0.(2)设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－2x 0， 则切点处的导数值f ′(x 0)＝3x 20－2；若点(1，－1)为切点，由(1)知切线方程为x －y －2＝0；若点(1，－1)不为切点，则 3x 20－2＝y 0＋1x 0－1(x 0≠1)，即3x 20－2＝x 30－2x 0＋1x 0－1，∴3x 30－2x 0－3x 20＋1＝x 30－2x 0. ∴2x 30－3x 20＋1＝0， 即(x 0－1)(2x 20－x 0－1)＝0.∴x 0＝1或x 0＝－12，其中x 0＝1舍去．则切点坐标为(－12，78)，∴斜率为f ′(－12)＝3×(－12)2－2＝－54.∴切线方程为5x ＋4y －1＝0.∴过点(1，－1)的切线方程为x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.[点评] 利用导数求切线方程时要注意：求在点P (x 0，y 0)处的切线方程，与经过点P (x 0，y 0)的切线方程求法不同，后者需要先把切点设出来．20.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x 2. (1)求x <0时，f (x )的表达式；(2)令g (x )＝ln x ，问是否存在x 0，使得f (x )，g (x )在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，请求出x 0的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－2(－x )2＝－2x 2. (2)若f (x )，g (x )在x 0处的切线互相平行， 则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，且x 0>0， 故f ′(x 0)＝4x 0＝g ′(x 0)＝1x 0，解得x 0＝±12.∵x 0>0，∴x 0＝12.21.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )，若x ∈[0,1]，f (x )图像上任意一点处切线的斜率为k ，当|k |≤1时，求a 的范围．[解析] ∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， ∴k ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax .由|k |≤1知|－3x 2＋2ax |≤1(0≤x ≤1)， 即|－3(x －a3)2＋a 23|≤1在x ∈[0,1]上恒成立．又f ′(0)＝0，①当a3<0，即a <0时，－3＋2a ≥－1，即a ≥1.故无解；②当0≤a3≤1，即0≤a ≤3时，⎩⎪⎨⎪⎧a 23≤1，－3＋2a ≥－1，得1≤a ≤3；③当a3>1，即a >3时，－3＋2a ≤1得a ≤2，此时无解．综上知1≤a ≤3， ∴a 的范围为[1，3]．2019-2020年高中数学 第二章 向量 复习教案1教案 苏教版必修4。
2019-2020高中北师版数学选修2-2 章末综合测评2 变化率与导数
章末综合测评(二) 变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某质点沿直线运动的位移方程为f (x )＝－2x 2＋1，那么该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为( )A ．－4B ．－5C ．－6D ．－7C [Δy Δx ＝f (2)－f (1)2－1＝(－2×22＋1)－(－2×12＋1)1＝－6.]2．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1A [y ′＝2ax ，于是切线斜率k ＝f ′(1)＝2a ，由题意知2a ＝2，∴a ＝1．] 3．已知函数y ＝x －1，则它的导函数是( ) A ．y ′＝12x －1 B ．y ′＝x －12(x －1)C ．y ′＝2x －1x －1D ．y ′＝－x －12(x －1)B [u ＝x －1，y x ′＝(u )′·u x ′＝12u＝12x －1＝x －12(x －1).]4．下列求导数的运算中正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 5x )′＝1x ln 5 C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos 2x )′＝－2x sin 2xB [⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x 2，故A 错；(3x )′＝3x ln 3，故C 错；(x 2cos 2x )′＝2x cos 2x－2x 2sin 2x ，故D 错．]5．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3D [令f (x )＝ax －ln(x ＋1)， 则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1． 又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2． ∴a ＝3.]6．已知二次函数f (x )的图像如图所示，则其导函数f ′(x )的图像大致形状是()A B C DB [由图像知f (x )＝ax 2＋c (a <0)，∴f ′(x )＝2ax (a <0)，故选B.]7．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0A [切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝4x 30＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)，即y －1＝4(x －1)，∴4x －y －3＝0.]8．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)C [f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x 2－x －2)x ＝2(x －2)(x ＋1)x.∵函数f (x )的定义域为x >0，∴若f ′(x )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(x －2)(x ＋1)x >0，x >0，解得x >2，∴f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)]9．设函数f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f (n )(n ∈N ＋)的前n项和是( )A.nn ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1D.n ＋1nA [∵f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，∴1f (n )＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f (n )(n ∈N ＋)的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.故选A.]10．如图，下列图像中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图像，则f (－1)等于( )A ．－13B ．13C ．73D ．－13或73A [f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)＝[x ＋(a －1)][x ＋(a ＋1)]．显然(2)(4)不符合，若(1)是f ′(x )的图像，则有a ＝0，与已知矛盾，故(3)是f ′(x )的图像，∴a ＝－1．∴f (－1)＝－13－1＋1＝－13.]11．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( )A ．2x ＋y ＋2＝0B ．3x －y ＋3＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0D [y ′＝2x ＋1，设所求切线的切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)，则x 20＋x 0＋1x 0＋1＝2x 0＋1，∴x 0＝0或x 0＝－2．当x 0＝0时，曲线y ＝x 2＋x ＋1在点(0,1)处的切线斜率为1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线方程为3x ＋y ＋3＝0.]12．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π D [因为y ＝4e x ＋1， 所以y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x ＋2. 因为e x>0，所以e x＋1e x ≥2，所以y ′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)． 又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13．设函数y ＝f (x )是一次函数，若f (1)＝－1，且f ′(2)＝－4，则f (x )＝________. －4x ＋3 [∵y ＝f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴f ′(x )＝a ，则f (1)＝a ＋b ＝－1，又f ′(2)＝a ＝－4.即a ＝－4，b ＝3，∴f (x )＝－4x ＋3.]14．曲线y ＝x 2＋1x 在点(1,2)处的切线方程为________． x －y ＋1＝0 [∵y ′＝2x －1x 2，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k ＝1，∴切线方程为y －2＝x －1， 即x －y ＋1＝0.]15．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图像在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．1 [∵f ′(x )＝a －1x ，∴f ′(1)＝a －1．又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )， ∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)． 令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1．]16．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________. π6 [f ′(x )＝－sin (3x ＋φ)·(3x ＋φ)′＝－3sin (3x ＋φ)，∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3，当f (x )＋f ′(x )为奇函数时，φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵0<φ<π，∴φ＝π6.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求下列函数的导数． (1)y ＝3x 2＋x cos x ； (2)y ＝tan x x ； (3)y ＝x 2－2x ＋5x 3.[解] (1)y ′＝(3x 2)′＋(x cos x )′ ＝6x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′ ＝6x ＋cos x －x sin x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x cos x ′＝(sin x )′x cos x －sin x (x cos x )′x 2cos 2x＝x cos2x－sin x(cos x－x sin x)x2cos2x＝x－sin x cos xx2cos2x.(3)∵y＝1x－2x2＋5x3＝x－1－2x－2＋5x－3，∴y′＝－x－2－2×(－2)x－3＋5×(－3)x－4＝－1x2＋4x3－15x4.18．(本小题满分12分)已知曲线y＝f(x)＝x3－8x＋2．(1)求曲线在点(0,2)处的切线方程；(2)过原点作曲线的切线l：y＝kx，求切线l的方程．[解](1)∵f(x)＝x3－8x＋2，∴f′(x)＝3x2－8，则f′(0)＝－8，所以曲线在点(0,2)处的切线方程为y－2＝－8(x－0)，即8x＋y－2＝0.(2)设切点为P(a，a3－8a＋2)，切线斜率k＝3a2－8，则切线方程y－(a3－8a ＋2)＝(3a2－8)(x－a)，又因为切线过原点，所以0－(a3－8a＋2)＝(3a2－8)(0－a)，即2a3－2＝0，所以a＝1，即切线l斜率为k＝－5，切线l方程为y＝－5x，即5x＋y＝0.19．(本小题满分12分)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．[解](1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知得3x2＋1＝4，解得x＝±1．当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.又因为点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4)．(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为－1 4，因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，所以直线l的方程为y＋4＝－14(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)求过点(2，f (2))且与切线y ＝(e －1)x ＋4垂直的直线方程l . [解] (1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎨⎧ f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎨⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝e. (2)由(1)知k l ＝11－e，且f (2)＝2e ＋2， ∴y －(2e ＋2)＝11－e(x －2)． 即所求直线l 的方程为y ＝11－e x －21－e＋2e ＋2． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2． (1)若a ＝1，求f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)对于任意x ≥2使得f ′(x )≥x 恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x 2，则f ′(x )＝1x ＋2x ，故在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝3，又f (1)＝1，即切点为(1,1)，故切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)当x ≥2时，f ′(x )≥x ，即ax ＋2x ≥x (x ≥2)恒成立，即a ≥－x 2在x ∈[2，＋∞)上恒成立．令t ＝－x 2，当x ∈[2，＋∞)时，易知t max ＝－4，为使不等式a ≥－x 2恒成立，则a ≥－4，故实数a 的取值范围为[－4，＋∞)．22．(本小题满分12分)已知两曲线f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝ax 2＋bx ＋c 都经过点P (1,2)，且在点P 有公切线．(1)求a ，b ，c 的值； (2)设k (x )＝f (x )g (x )，求k ′(－2)的值．[解] (1)依题意，⎩⎨⎧ 1＋a ＝2，a ＋b ＋c ＝2，即⎩⎨⎧a ＝1，b ＋c ＝1. 故f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝x 2＋bx ＋1－b ， 所以f ′(x )＝3x 2＋1，g ′(x )＝2x ＋b ，由于两曲线在点P (1,2)处有公切线，故f ′(1)＝g ′(1)，即4＝2＋b ， 所以b ＝2． 故c ＝1－b ＝－1．(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝x 2＋2x －1， 故k (x )＝f (x )g (x )＝x 3＋x x 2＋2x －1，故k ′(x )＝(x 3＋x )′(x 2＋2x －1)－(x 3＋x )(x 2＋2x －1)′(x 2＋2x －1)2＝(3x 2＋1)(x 2＋2x －1)－(x 3＋x )(2x ＋2)(x 2＋2x －1)2＝x 4＋4x 3－4x 2－1(x 2＋2x －1)2.故k ′(－2)＝16－32－16－1(4－4－1)2＝－33.。
北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．直线2y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b ＝（ ）A ．eB ．2eC ．e -D ．2e -2．函数()21cos 6f x x x =-的导函数()y f x '=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．3．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11ab+的最小值是( ) A ．2B ．42C ．4D ．224．设点P 是曲线()233xf x e x =-+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭D ．5,26ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．已知()ln 1xf x x=+，则()0f '等于（ ） A ．12B ．12-C ．14D ．14-6．函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A ．'(3)'(4)(4)(3)f f f f <<-B ．'(4)(4)(3)'(3)f f f f <-<C ．'(4)'(3)(4)(3)f f f f <<-D ．(4)(3)'(4)'(3)f f f f -<<7．已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( )A ．eB ．e e2C ．e 2D ．e e8．若()f x 为定义在区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有()()()()()12l 1211f x x f x f x λλλλ+-+-，则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（ ） ①()x x f x e =，②()f x x =，③()()ln 1x f x x+=，④()21xf x x =+． A ．4B ．3C ．2D ．19．已知ln 0a b -=，1c d -=，则22()()a c b d -+-的最小值是（ ）. A ．1B ．2C ．2D ．2210．函数()cos sin f x x x x =-的图象上的点()00,x y 处的切线的斜率为k ，若()0k g x =，则函数()g x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．11．曲线2ln y x x=-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos sin αα+的值为（ ） A ．2105 B ．1010C ．105D 31012．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ） A ．20202021B ．20192020C ．20182019D ．20172018二、填空题13．设点P 是曲线3233y x x =+上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为σ，则σ的取值范围为____________.14．已知223,1()ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则实数k的取值范围是______．15．已知函数()()cos ,2,2223cos ,2,222x x k k k Z y x x k k k Z ππππππππ⎧⎡⎫∈-+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-∈++∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩的图象与直线()()20y m x m =+>恰有四个公共点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=___________.16．已知函数()()2xf x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为______.17．已知函数()cos2f x x =的图象与直线()4400kx y k k π--=>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为123,,x x x ，则()()2113tan x x x x -=-________.18．函数()2xf x e x =+ (e 为自然对数的底数）的图像在点（0,1）处的切线方程是____________19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()322f x x x =-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______________.20．三棱锥A BCD -中，3AB CD ==，2==AC BD ，5AD BC ==，则该几何体外接球的表面积为_______________.三、解答题21．已知函数()mf x mx x=-，()2ln g x x =. （1）当2m =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）当1m =时，判断方程()()f x g x =在区间(1)+∞，上有无实根；（3）若(1]x e ∈，时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围. 22．已知二次函数2()f x ax bx =+的图象过点()4,0n -，且()()*02,f n n N '=∈.（1）求()f x 的解析式；设数列{}n a 满足()2nn a f n =-⋅'，求数列{}n a 的前n 项和.23．已知函数，，曲线在处的切线方程为．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若对，恒有成立，求的取值范围．24．设函数()bf x ax x=-，曲线y =f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为7x -4y -12=0．（1）求y =f （x ）的解析式；（2）证明：曲线y =f （x ）上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 25．已知函数.（1）若函数在处有极值，求的值； （2）若对于任意的在上单调递增，求的最小值.26．（1）求曲线1y x=在点()11--，处的切线方程； （2）求经过点（4，0）且与曲线1y x=相切的直线方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】 求导得到()'ln 1f x x =+，计算切点为(),e e ，代入直线方程得到答案.【详解】()ln y f x x x ==，则()'ln 1f x x =+，取()'ln 12f x x =+=，解得x e =，当x e =时，ln y e e e ==，故切点为(),e e ，代入直线得到2e e b =+，故b e =-. 故选：C. 【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.2．A解析：A 【分析】 求导得到()1'sin 3f x x x =+，根据函数为奇函数排除B ，证明()0,x ∈+∞时，()'0f x >恒成立，排除CD ，得到答案.【详解】()21cos 6f x x x =-，则()1'sin 3f x x x =+，()()1'sin '3f x x x f x -=--=-， 导函数()'f x 为奇函数，排除B ； 当()0,x π∈时，()1'sin 03f x x x =+>； 当[),x π∈+∞时，()1'sin 1sin 03f x x x x =+>+≥， 故()0,x ∈+∞时，()1'sin 03f x x x =+>恒成立，排除CD. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数奇偶性和()0,x ∈+∞时，()'0f x >恒成立是解题的关键. 3．C解析：C 【分析】求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得1a b +=，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值． 【详解】解：()y ln x b =+的导数为1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1， 可得切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -， 代入y x a =-，得1a b +=，a 、b 为正实数，则111()()22241b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++=． 当且仅当12a b ==时，11a b+取得最小值4． 故选：C 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．4．B解析：B 【分析】先对函数进行求导，然后表示出切线的斜率，求出斜率范围，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系求倾斜角范围即可. 【详解】由()23xf x e =+，所以()'=xf x e又P 是曲线()23xf x e =+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，所以点P 处的切线的斜率为tan α==x k e 0x e >，所以tan α>所以角α的取值范围为20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的求法，属于基础题 .5．C解析：C 【分析】首先利用换元法求出函数()f x 的解析式，再求出其导函数，最后代入求值即可； 【详解】 解：()ln 1x f x x=+， 令ln t x =，t R ∈，则t x e =()1tte f t e ∴=+，t R ∈ ()1xxe f x e ∴=+，x ∈R ()()()()()222111xxx xx x e e ee f x e e +-'∴==++()()201041e f e '∴==+故选：C 【点睛】本题考查换元法求函数解析式，导数的计算，属于中档题.6．B解析：B 【分析】根据导数的几何意义结合图象即可判断. 【详解】解：由函数图象可知，函数单调递增，但函数的增长速度越来越缓慢，由导数的几何意义可知，()3f '表示函数在3x =处的切线l 的斜率；()4f '表示函数在4x =处的切线m 的斜率；()()()()434343f f f f --=-表示函数图象上()()3,3f 与()()4,4f 两点连线n 的斜率，由图可知l n m k k k >>，故(4)(4)(3)(3)f f f f ''<-< 故选：B【点睛】本题考查了学生的作图能力及对导数的几何意义的理解，属于基础题．7．B解析：B 【分析】先求函数()2f x x =的图象在1x =处的切线，再根据该切线也是函数()e xg x a=图象的切线，设出切点即可求解. 【详解】由()2f x x =，得()2f x x '=，则()12f '=，又(1)1f =，所以函数()2f x x =的图象在1x =处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-. 设21y x =-与函数()ex g x a=的图象相切于点00(,)x y ,由e()xg x a '=，可得00000e ()2,e ()21,x x g x a g x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e 22x a ==. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题.已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解.8．B解析：B 【解析】 【分析】将问题进行等价转化，然后结合导函数的解析式研究函数的性质即可确定“上进”函数的个数. 【详解】由区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈， 总有()()()()()121211x f x x f x f λλλλ+-+-，等价为对任意x G ∈，有()0f x ''>成立（()''f x 是函数()f x 导函数的导函数）， ①()x x f x e =的导数()1'x x f x e -=，()2''xxf x e -+=，故在()2,3上大于0恒成立，故①为“上进”函数；②()f x =()'f x =，()1''04f x =-<恒成立，故②不为“上进”函数； ③()()ln 1x f x x+=的导数()()()()21ln 11x x x f x x x ++'-=+，()()()()2233221ln 11x x x x f x x x --+++=+''当21,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，2320x x --<，()()21ln 10x x ++<，()230,10x x <+>，则()''0f x >恒成立．故③为“上进”函数；④()21x f x x =+的导数()()2221'1x f x x -=+，()()33226''1x x f x x -=+，当()2,3x ∈时，()''0f x >恒成立．故④为“上进”函数． 故选B . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.9．C解析：C 【分析】设点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，点()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．然后将问题转化为求曲线C 上一点到直线l 距离的最小值的平方，直接对函数ln y x =求导，令导数为零，可求出曲线C 上到直线l 距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离，从而得出答案． 【详解】设(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方． 对函数ln y x =求导得1y x'=，令1y '=，得1x =， 所以，曲线C 上一点到直线l 上距离最小的点为()10，，该点到直线l的距离为因此，()()22a cb d-+-的最小值为22＝．故选C．【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题．10．B解析：B【分析】求出函数的导数，得到函数的解析式，利用奇偶性及特殊函数值进行排除即可．【详解】函数cos siny x x x=-，可得'siny x x=-，在点()00,x y处的切线的斜率为k，若()000sink g x x x==-，函数k是偶函数，排除A，D，当06xπ=时，12kπ=-<，显然C不正确，B正确；故选B．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数性质的应用，考查计算能力．11．A解析：A【解析】【分析】求出曲线2lny xx=-在1x=处切线斜率，从而可得进而得到cos sinαα+.【详解】函数的定义域为()0,∞+，212,yx x=+'1x=时，3,y'=，即tan3,α=且α为锐角，则cosαα===cos sin105αα∴+==故选A.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查斜率与倾斜角之间的关系，考查同角三角函数基本关系式，确定tan3,α=是解题的关键．12．A解析：A【分析】由2()f x x bx =+，求导得到()2f x x b '=+，再根据函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，由(1)23f b '=+=求解，从而得到()2()1f x x x x x =+=+，则()1111()11f n n n n n ==-++，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为2()f x x bx =+， 所以()2f x x b '=+，因为函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3， 所以(1)23f b '=+=， 解得1b =，所以()2()1f x x x x x =+=+，数列()1111()11f n n n n n ==-++， 所以202011111111 (12233420202021)S =-+-+-++-， 12020120212021=-=. 故选：A 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】设点根据导数的几何意义求得即可得到答案【详解】设点由函数可得可得即又由所以故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及其应用其中解答中熟记导数的几何意义准确计算是解答的关键着重考查推理与解析：20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】设点00(,)P x y ，根据导数的几何意义，求得tan σ≥. 【详解】设点00(,)P x y ，由函数323y x =+，可得23y x '=可得020|3x x y x ='=，即tan σ≥ 又由[)0,σπ∈，所以20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故答案为：20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及其应用，其中解答中熟记导数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【分析】转化条件得有4个零点令画出两函数的图象后可得当函数过点和时函数与的图象相切时函数与的图象恰有3个交点；当在两者范围之间时满足条件利用导数的性质求出函数与的图象相切时的值即可得解【详解】由题意解析：1(2【分析】转化条件得1()2f x kx =-有4个零点,令()12g x kx =-，画出两函数的图象后可得当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时、函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当k 在两者范围之间时，满足条件，利用导数的性质求出函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时k 的值即可得解.【详解】由题意1()2y f x kx =-+有4个零点即1()2f x kx =-有4个零点,设()12g x kx =-，则()g x 恒过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴函数()g x 与()f x 的图象有4个交点，在同一直角坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象，如图， 由图象可知，当12k <时，函数()g x 与()f x 的图象至多有2个交点； 当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时，12k =，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时， 设切点为(),ln a a ，1y x'=， ∴1k a=，∴1ln 12a a a+=，解得a =∴k e=()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当ek e>时，两函数图象至多有两个交点； ∴若要使函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则1(,)2k e e∈.故答案为：1(,)2ee.【点睛】本题考查了函数的零点问题和导数的几何意义，考查了数形结合思想，属于中档题.15．-1【分析】根据题意直线与曲线相切于点利用导数的几何意义可求【详解】由题意可知直线恒过且与曲线相切于点；如图由得所以即【点睛】本题主要考查导数的几何意义切线的斜率为切点处的导数值侧重考查逻辑推理的核解析：-1 【分析】根据题意直线()()20y m x m =+>与曲线相切于点D ，利用导数的几何意义可求. 【详解】由题意可知，直线恒过()2,0-，且与曲线相切于点D ；如图，由cos y x =-得sin y x '=，4sin m x =，44cos (2)x m x -=+，所以444cos sin (2)x x x -=+，即()442tan 1x x +=-. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，切线的斜率为切点处的导数值，侧重考查逻辑推理的核心素养.16．【分析】求导利用求出根据导数几何意义可求斜率利用点斜式写出切线方程即可【详解】∵∴解得即则∴曲线在点处的切线方程为即【点睛】本题主要考查了导数的几何意义切线方程属于中档题 解析：10x y --=【分析】求导，利用()'13f e =求出a ，根据导数几何意义可求斜率(0)k f '=，利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】∵()()()'2222xxxf x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即()()21x f x x e =-，()01f =-，则()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.17．【分析】求解直线恒过定点（0）k ＞0恰有三个公共点其直线必过f （x ）的对称点（0）其它两点是直线与f （x ）的切点那么x1+x3=由导函数几何意义：f′（2x ）=-sin2=k 再由切线方程即可求出【详 解析：12-【分析】求解直线 440(0)kx y k k π--=>恒过定点（4π，0），k ＞0恰有三个公共点，其直线必过f （x ）的对称点（4π，0），其它两点是直线与f （x ）的切点，那么x 1+x 3=2π，31x =-x 2π由导函数几何意义：f′（2x 1）=-sin21x =k ，再由切线方程即可求出.【详解】由题意，直线440(0)kx y k k π--=>可得y=k(x-4π)恒过定点（4π，0），即x 2=4π∵k ＞0恰有三个公共点，其直线必与（x ）的相切，因为f （x ）关于（4π，0）对称，所以x 1+x 3=2π．∴31x =-x 2π，导函数几何意义：f′（2x 1）=-sin21x =k所以切线方程：y-111cos2x =-2sin2x x-x （） 过（4π，0）所以112-x tan2x =14（）π，()2113tan x x x x --=11x 4tan 22x ππ-⎛⎫- ⎪⎝⎭=111tan242x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 故答案为12- 【点睛】本题考查了直线方程的定点和三角函数图象的交点问题．灵活判断定坐标值和对称点的和为定值是关键，再利用切线方程找到等式，求出结果即可，属于中档题.18．【分析】对函数求导得到导数f′(x)＝ex ＋2图像在点(01)处的切线斜率k ＝e0＋2＝3故得到切线方程为【详解】∵函数f(x)＝ex ＋2x ∴导数＝ex ＋2∴f(x)的图像在点(01)处的切线斜率k 解析：31yx【分析】对函数求导得到导数f ′(x )＝e x ＋2，图像在点(0，1)处的切线斜率k ＝e 0＋2＝3，故得到切线方程为31y x .【详解】∵函数f (x )＝e x ＋2x ，∴导数()'f x ＝e x ＋2，∴f (x )的图像在点(0，1)处的切线斜率k ＝e 0＋2＝3，∴图像在点(0，1)处的切线方程为y ＝3x ＋1.故答案为31y x .【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.19．【分析】先求出当时的解析式然后再求出切线方程【详解】函数是定义在上的奇函数当时当时则当时即切线方程为即故答案为【点睛】结合函数的奇偶性求出函数的表达式再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程本题较为 解析：740x y --=【分析】先求出当0x >时的解析式，然后再求出切线方程 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数∴当0x <时，()322f x x x =-当0x >时，0x -<，()()()323222f x x x x x -=---=--则当0x >时，()322f x x x =+()1123f =+=()234f x x x '=+，()17f '=即切线方程为()371y x -=-， 即740x y --= 故答案为740x y --= 【点睛】结合函数的奇偶性求出函数的表达式，再运用导数的几何意义求出在点处的切线方程，本题较为基础，只要掌握解题方法即可20．【解析】三棱锥内接于长宽高为的长方体所以该几何体外接球的直径为表面积为 解析：6π【解析】三棱锥A BCD -内接于长宽高为的长方体，所以该几何体外接球的直径为=，表面积为246r ππ= 三、解答题21．(1) 44y x =-；(2) 内无实数根；（3）241e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭，. 【解析】试题分析：（2）把m 的值代入后，求出f （1），求出x=1时函数的导数，由点斜式写出曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）代入m 的值，把判断方程f （x ）=g （x ）在区间（1，+∞）上有无实根转化为判断函数h （x ）=f （x ）﹣g （x ）在（1，+∞）上有无零点问题，求导后利用函数的单调性即可得到答案；（Ⅲ）把f （x ）和g （x ）的解析式代入不等式，整理变形后把参数m 分离出来，x ∈（1，e]时，不等式f （x ）﹣g （x ）＜2恒成立，转化为实数m 小于一个函数在（1，e]上的最小值，然后利用导数分析函数在（1，e]上的最小值． 试题（1）2m =时，()22f x x x =-，()222f x x='+，()14f '=，切点坐标为()10，， ∴切线方程为44y x =-（2）1m =时，令()()()12ln h x f x g x x x x=-=--， ()()22211210x h x x x x-=+-=≥'，∴()h x 在()0+∞，上为增函数， 又()10h =，所以()()f x g x =在()1+∞，内无实数根.（3）2ln 2mmx x x--<恒成立，即()2122ln m x x x x -<+恒成立. 又210x ->，则当(]1x e ，∈时，222ln 1x x xm x +<-恒成立，令()222ln 1x x xG x x +=-，只需m 小于()G x 的最小值. ()()()2222ln ln 21x x x G x x-++-'=，∵1x e <≤，∴ln 0x >，∴(]1x e ，∈时，()0G x '<， ∴()G x 在(]1e ，上单调递减，∴()G x 在(]1e ，的最小值为()241eG e e =-， 则m 的取值范围是241e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭，. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >. 22．(1) ()()2*122f x x nx n N =+∈ (2) ()1122n n S n +=-+ 【解析】试题分析：（1）由()()40,'02f n f n -==列出关于,a b 的方程组,，即可解得,a b 的值，从而可求出()f x 的解析式；（2）由（1）知()f n n '-=，所以可得2nn a n =⋅，利用错位相减法结合等比数列求和公式，即可求数列{}n a 的前n 项和. 试题（1）由()2f x ax b ='+，∴22,1640.b n n a nb =⎧⎨-=⎩解之得1,22a b n ==，即()()2*122f x x nx n N =+∈. （2）()22nnn a f n n =-⋅=⋅'设123222322n n S n =+⋅+⋅++⋅所以()2312222122n n n S n n +=+⋅++-⋅+⋅两式相减123122222n n n S n +-=++++-⋅11222n n n ++=--⋅∴()1122n n S n +=-+【 方法点睛】本题主要考查导数的几何意义、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式. 23．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出导数，利用导数的几何意义，求出，即可求的解析式； （Ⅱ）对，恒有成立，等价于，即可求的取值范围．试题 （Ⅰ）∵，∴，∴． 令，代入切线方程得切点坐标为，代入函数，得．∴． （Ⅱ）∵，令，得或（舍）．列表得：极大值∵，，∴，，∴对恒成立， ∴恒成立，，∴恒成立， 记，，∴． ∵，令，则，列表得：极小值∴，∴．点睛：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义即函数在某点处的导数即在该点处切线的斜率，考查恒成立问题，属于中档题；常见的恒成立有：对于涉及到一个变量恒成立时，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解；对于含有两个变量时，成立，等价于.24．(1)3()f x x x=-；(2)证明见解析. 【解析】解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3， 当x ＝2时，y ＝12． 又f′(x)＝a ＋2b x ， 于是1222{744b a b a -=+=，解得13a b ==⎧⎨⎩故f(x)＝x －3x． (2)证明：设P(x 0，y 0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋23x知，曲线在点P(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋203x )·(x －x 0)，即y －(x 0－03x )＝(1＋203x )(x －x 0)． 令x ＝0得，y ＝－06x ，从而得切线与直线x ＝0，交点坐标为(0，－06x )． 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P(x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－06x ||2x 0|＝6．曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6．25．（1）b ＝－11 （2）【解析】解：(1)f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ， 于是，根据题设有，解得或.当时，f′(x)＝3x 2＋8x －11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点； 当时，f′(x)＝3(x －1)2≥0，所以函数无极值点．所以b ＝－11.(2)由题意知f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立， 所以F(a)＝2xa ＋3x 2＋b≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立． 因为x≥0，所以F(a)在a ∈[－4，＋∞)上为单调递增函数或为常数函数， ①当F(a)为常数函数时，F(a)＝b≥0；②当F(a)为增函数时，F(a)min ＝F(－4)＝－8x ＋3x 2＋b≥0， 即b≥(－3x 2＋8x)max 对任意x ∈[0,2]都成立， 又－3x 2＋8x ＝－3(x －)2＋≤， 所以当x ＝时，(－3x 2＋8x)max ＝，所以b≥.所以b 的最小值为.26．（1）20x y ++=； （2）440x y +-= 【分析】（1）求出函数在1x =-处的导数值，即为切线斜率，再由切点写出切线方程； （2）因为点(4,0)并不在曲线上，故该点不是切点.设切点坐标为001(,)x x ，求得导数，即为切线的斜率，写出切线方程，将(4,0)代入方程，即可求出切点的坐标，进而写出切线方程. 【详解】 解：1y x =，21y x'∴=- （1）当1x =-时，得在点()11--，处的切线的斜率为1-， ∴切线方程为：1(1)y x +=-+，即20x y ++=；（2）设切点为001(,)x x ，则切线的斜率为201x - ∴切线方程为020011()y x x x x -=--， 切线过点(4,0)， 020011(4)x x x ∴-=--，解得02x =， ∴所求切线方程为11(2)24y x -=--， 即440x y +-=.【点睛】本题考查了导数的几何意义，注意“在”和“过”点的切线的区别，属于基础题.。
2019_2020学年高中数学阶段质量检测(二)变化率与导数北师大版选修2_2
阶段质量检测（二）变化率与导数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y＝sin x(cos x＋1)的导数是( )A．cos 2x－cos x B．cos 2x＋sin xC．cos 2x＋cos x D．cos2x＋cos x解析：选C y′＝(sin x)′(cos x＋1)＋sin x(cos x＋1)′＝cos x(cos x＋1)＋sin x(－sin x)＝cos 2x＋cos x.2．(2019·全国卷Ⅱ)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为( ) A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0解析：选C 设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.3．若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1解析：选A 由f′(x)＝2x＋a，得f′(0)＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1，故选A.4．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )A．－1 B．－2C．2 D．0解析：选B ∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.5．函数f(x)＝x sin x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图像大致为( )解析：选C ∵f (x )＝x sin x ，∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，∴f ′(－x )＝－sin x －x cos x ＝－f ′(x )，∴f ′(x )为奇函数，由此可排除A 、B 、D ，故选C.6．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(3)＝( ) A.23 B ．2ln 3 C.23ln 3D.25ln 3解析：选D ∵f ′(x )＝2(2x －1)ln 3，∴f ′(3)＝25ln 3.7. 曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ．1B ．－π4C.π4D.5π4解析：选C ∵y ′＝x 2，∴y ′|x ＝1＝1， ∴切线的倾斜角α满足tan α＝1， ∵0≤α<π，∴α＝π4.8．若函数f (x )满足f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( )A ．0B ．2C ．1D ．－1解析：选A f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x －1，所以f ′(1)＝1－2f ′(1)－1，则f ′(1)＝0.9．在曲线f (x )＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)或(－1，－1)解析：选D 因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2，因为切线的倾斜角为34π，所以切线斜率为－1，即f ′(x )＝－1x2＝－1，所以x ＝±1，则当x ＝1时，f (1)＝1； 当x ＝－1时，f (1)＝－1， 则点坐标为(1,1)或(－1，－1)．10．曲线y ＝x ＋13x 3在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( ) A ．3 B ．2 C.13D.19解析：选D y ′＝1＋x 2，故切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，又切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43， ∴切线方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －23，切线和x 轴，y 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23. 故所求三角形的面积＝12×13×23＝19，故选D.11．函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0，那么x 0＝( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2解析：选B 因为y ′＝(x 2＋a 2)′x －x ′(x 2＋a 2)x 2＝2x 2－a 2－x 2x 2＝x 2－a 2x2，所以x 20－a 2＝0，解得x 0＝±a .12．若函数f (x )＝－1be ax (a >0，b >0)的图像在x ＝0处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b 的最大值是( )A ．4B ．2 2C ．2D. 2解析：选D 函数的导数为f ′(x )＝－1be ax·a ，所以f ′(0)＝－1b e 0·a ＝－ab，即在x ＝0处的切线斜率k ＝－a b， 又f (0)＝－1b e 0＝－1b，所以切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b ，所以切线方程为y ＋1b ＝－abx ，即ax ＋by ＋1＝0.圆心到直线ax ＋bx ＋1＝0的距离d ＝1a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1，所以a 2＋b 2＝1≥2ab ，即0<ab ≤12.又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1， 所以(a ＋b )2＝2ab ＋1≤1＋1＝2，即a ＋b ≤2，所以a ＋b 的最大值是2，选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝________. 解析：∵f (x )＝log 3(x －1)， ∴f ′(x )＝[log 3(x －1)]′＝1(x －1)ln 3，∴f ′(2)＝1ln 3. 答案：1ln 314．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0,0)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3)， ∴切线斜率k ＝e 0×3＝3，∴切线方程为y ＝3x . 答案：y ＝3x15．已知函数f (x )＝x －1x ＋a＋ln(x ＋1)，其中实数a ≠－1.若a ＝2，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为________________．解析：f ′(x )＝x ＋a －(x －1)(x ＋a )2＋1x ＋1＝a ＋1(x ＋a )2＋1x ＋1.当a ＝2时，f ′(0)＝2＋1(0＋2)2＋10＋1＝74，而f (0)＝－12，因此曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝74(x －0)，即7x －4y －2＝0.答案：7x －4y －2＝016．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，设a＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)， 因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， ∵π2>π－2>1>π－3>0， ∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)，即c <a <b . 答案：c <a <b三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求下列函数的导数： (1)y ＝sin x ＋1x；(2)y ＝(x 2＋2)(3x －1)； (3)y ＝x ·e －x； (4)y ＝12sin 2x .解：(1)y ′＝(sin x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝cos x －1x2.(2)y ′＝(x 2＋2)′(3x －1)＋(x 2＋2)(3x －1)′ ＝2x (3x －1)＋3(x 2＋2) ＝9x 2－2x ＋6.(3)y ′＝x ′·e －x＋x ·(e －x)′ ＝e －x－x e －x＝(1－x )e －x.(4)y ′＝12(sin 2x )′＝12×2·cos 2x ＝cos 2x .18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R.若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．解：f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝ax (x >0)，设两曲线的交点为P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a ln x 0，12x 0＝ax 0，解得a ＝e 2，x 0＝e 2，所以两条曲线交点的坐标为(e 2，e)． 切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e， 所以切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.19．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f (x )是二次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. 解：(1)由题意设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝3，f ′(0)＝c ＝0，f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝－3，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝－3，c ＝0，d ＝3， 故f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由题意设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .所以x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1， 化简得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1，此式对任意x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1，解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，即f (x )＝2x 2＋2x ＋1.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝13x 3＋3xf ′(a )(其中a ∈R)，且f (a )＝76，求：(1)f (x )的表达式；(2)曲线y ＝f (x )在x ＝a 处的切线方程． 解：(1)f ′(x )＝x 2＋3f ′(a )，于是有f ′(a )＝a 2＋3f ′(a )⇒f ′(a )＝－a 22，∴f (x )＝13x 3－3a22x ，又f (a )＝76，即13a 3－32a 3＝76⇒a ＝－1，f (x )＝13x 3－32x ；(2)由(1)知切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，76，切线的斜率f ′(a )＝－12，∴切线方程为y －76＝－12(x ＋1)，即3x ＋6y －4＝0.21．(本小题满分12分)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，求a 的值．解：法一：∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)， ∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.故a ＝8.22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z)在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积． 解：(1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2， 于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，即f (x )＝x ＋1x －1. (2)由(1)知当x ＝3时，f (3)＝72，f ′(x )＝1－1(x －1)2，f ′(3)＝1－1(3－1)2＝34， 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72的切线方程为y －72＝34(x －3)，即3x －4y ＋5＝0.切线与直线x ＝1的交点为(1,2)，切线与直线y ＝x 的交点为(5,5)， 直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为12×|5－1|×|2－1|＝2.。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试题(含答案解析)(3)
一、选择题1．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln |2|0ab c d a-+-+=，则(a ﹣c )2+(b ﹣d )2的最小值为（ ）A ．4B ．92C D ．22．函数f (x )＝22x x -+ 在点 (1，2) 处的切线方程为（ ） A ．x +y +1=0B ．x -y -1=0C ．x -y +1=0D ．x +y -1=03．已知直线2y x b =+与函数2,0()ln ,0x x f x x a x ⎧-≤=⎨+>⎩的图象相切，且有两个不同的切点，则实数a 的值为（ ）． A ．ln 2 B ．2 C ．2ln 2- D ．2ln 2+4．①若直线l 与曲线:()C y f x =有且只有一个公共点，则直线l 一定是曲线()y f x =的切线；②若直线l 与曲线:()C y f x =相切于点00(,)P x y ，且直线l 与曲线:()C y f x =除点P 外再没有其他的公共点，则在点P 附近，直线l 不可能穿过曲线()y f x =；③若'0()f x 不存在，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处就没有切线； ④若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处有切线，则'0()f x 必存在.则以上论断正确的个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．设a 为实数，函数()32(1)f x x a x ax =+-+的导函数为()f x '，且()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为（ ） A ．20x y +=B ．20x y -=C ．0x y -=D ．0x y +=6．设P 为曲线2:2C y x x =+上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则点P 横坐标的取值范围为( )A ．1,⎫++∞⎪⎣⎭ B ．1,⎫-+∞⎪⎣⎭ C ．1⎤-+⎥⎣⎦ D ．1⎛⎤-∞-⎥⎝⎦7．函数()(cos )x f x a x e =+，若曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则实数a =（ ）A ．12B ．12-CD ．8．已知(,()),(,())M t f t N s g s 是函数()ln f x x =，()21g x x =+的图象上的两个动点，则当MN 达到最小时,t 的值为 ( ) A ．1B ．2C ．12D ．3559．对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x (x 2+ax+1-2a)在点P(0，1-2a)处的切线l 与圆C ：(x-1)2+y 2＝16的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上均有可能10．已知函数()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '<，则有（ ） A ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f < B ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f > C ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f > D ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f < 11．曲线2ln y x x=-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos sin αα+的值为（ ） A ．2105 B ．1010C ．105D ．3101012．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ） A ．20202021B ．20192020C ．20182019D ．20172018二、填空题13．已知函数()f x 的导函数是()'f x ，且满足()sin 2cos 4f x x f x π'⎛⎫=+⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭______. 14．在曲线()343x f x x=-的所有切线中，切线斜率的最小值为________.15．已知221111x xf x x--⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则曲线()y f x =在点()()2,2f处的切线的斜率为___________． 16．已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则__________．17．如果曲线f (x )＝x 3＋x －16，的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，则切线方程_________.18．关于x 的方程2xx a e +=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______________.19．已知点P 在曲线sin y x =上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是__________．20．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()32(2)f x x xf ，则(3)f '=_______．三、解答题21．已知曲线y=5x ,求:(1)曲线上与直线y=2x-4平行的切线方程. (2)求过点P(0,5),且与曲线相切的切线方程. 22．求下列函数的导数： （1）()(1sin )(14)f x x x =+-； （2）()21x xf x x =-+. 23．定义在R 上的函数()()313,3f x x cx f x =++在0x =处的切线与直线2y x =+垂直. （1）求函数()y f x =的解析式； （2）设()()4ln g x x f x =-'，（其中f x 是函数()f x 的导函数），求()g x 的极值.24．（文）已知在处有极值，其图象在处的切线与直线平行.（1）求函数的单调区间； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围．25．()112bx f x a =+⋅的定义域为R ，0a >，且()lim 0n f n →∞-= （1）求证：0b <； （2）()415f =，()f x 在[]0,1最小值为12，求()f x 的解析式； （3）在（2）的条件下，设[]x 表示不超过x 的最大整数，求()()()1122g x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域．26．已知函数3()16f x x x =+-（1）求曲线()y f x =在点(1,14)-处的切线的方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】引入点(,)P a b ，(,)Q c d ，利用点P 在曲线ln xy x=上，Q 在直线2y x =+上，只要求得PQ 的最小值即可得，为此可利用导数求出曲线ln xy x=上切线斜率为1的切点坐标，此点即为取最小值时的Q 点，从而计算后可得结论． 【详解】 ∵ln |2|0a b c d a -+-+=，∴ln ab a =，2dc =+，设(,)P a b ，(,)Q cd ，则点P 在曲线ln xy x=上，Q 在直线2y x =+上， 设曲线ln xy x=上切线斜率为1的切点为00(,)x y ， 21ln xy x -'=， (0,)x e ∈时，0y '>，ln x y x =递增，(,)x e ∈+∞时，0y '<，ln xy x=递减，max ln 1e y e e==， 直线2y x =+在曲线ln xy x=上方， 由021ln 1x x -=，即200ln 10x x +-=，记2()ln 1f x x x =+-，显然()f x 在(0,)+∞上是增函数，而(1)0f =，∴01x =是()0f x =的唯一解．0ln101y ==，0(1,0)Q ，点0Q 到直线2y x =+的距离为2h ==， ∴22()()a c b d -+-的最小值为292h =． 故选：B ． 【点睛】本题考查用几何意义求最值，考查导数的几何意义，解题关键是引入点的坐标：(,)P a b ，(,)Q c d ．已知条件说明两点中一点在一条直线上，一点在一函数图象上，只要求得曲线上与直线平行的切线的切点坐标，距离的最小值就易求得．2．C解析：C 【分析】 求出()'fx ，()'1f ，点斜式写出切线方程，再化为一般式，即得答案.【详解】()()2'2,21f x x x f x x =-+∴=-， ()'12111f ∴=⨯-=.∴函数()f x 在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，即10x y -+=. 故选：C . 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线的方程，属于基础题.3．D解析：D 【分析】先由题意得出直线与分段函数的两部分图象均相切，再利用方程根的判别式及导数的几何意义求解． 【详解】由題意，知直线2y x b =+与函数()f x 在(,0]-∞，(0,)+∞上的图象均相切， 由直线2y x b =+与2y x =-的图象相切得，联立方程组22y x y x b⎧=-⎨=+⎩，整理得220x x b ++=，由440b ∆=-=，解得1b =，此时切点为(1,1)A --，直线方程为21y x =+，设直线21y x =+与ln y x a =+的图象切于点()00,B x y ， 由函数ln y x a =+，则1y x '=，所以012x =，所以012x =， 所以点B 的坐标为1,ln 22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为点B 在直线21y x =+上，所以1ln 2212a -=⨯+，解得2ln 2a =+． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了分段函数与导数的几何意义，考查考生的逻辑思维能力，分析问题、解决问题的能力，运算求解能力．4．B解析：B【分析】根据导数的定义，瞬时变化率的概念，以及导数的几何意义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，根据函数在点A 处的切线定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A ，这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线. 直线0y =与曲线22(0)y px p =>有且只有一个公共点，但直线0y =不是切线．注：曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，例1y =是正弦曲线sin y x =的切线，但切线1y =与曲线sin y x =有无数多个公共点，所以不正确； 对于②中，根据导数的定义： （1）导数：'()()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-=∆，（2）左导数：'()()()lim x f x x f x f x x --∆→+∆-=∆，（3）右导数：'()()()lim x f x x f x f x x++∆→+∆-=∆，函数()f x 在点0x x =处可导当且仅当函数()f x 在点0x x =处的左导数和右导数都存在，且相等. 例如三次函数3y x =在0x =处的切线0y =，所以不正确； 对于③中，切线与导数的关系：（1）函数()f x 在0x x =处可导，则函数()f x 在0x x =处切线一定存在，切线方程为'000()()()y f x f x x x -=-（2）函数()f x 在0x x =处不可导，函数()f x 在0x x =处切线可能存在，可能不存在，所以不正确；对于④中，根据导数的几何意义，可得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处有切线，则'0()f x 必存在，所以是正确的.故选：B. 【点睛】本题主要考查了导数的概念，瞬时变化率，导数的几何意义等概念的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.5．C解析：C 【分析】求导得()f x ',根据()f x '是偶函数求解a ,再根据导数的几何意义求解曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程即可.【详解】由题, ()()2321f x x a x a '=--+,因为()f x '是偶函数且为关于x 的多项式,故其奇次项()21a x --的系数()2101a a --=⇒=.故()3f x x x =+,()231f x x ='+.又()01f '=,()00f =,故曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()010y x -=⋅-, 即0x y -=. 故选：C 【点睛】本题主要考查根据奇偶性求参数值以及利用导数的几何意义求解切线方程的方法.属于中档题.6．B解析：B 【分析】根据倾斜角范围可求得切线斜率的范围，根据导数的几何意义可利用导函数构造不等式求得所求横坐标的取值范围. 【详解】设切线的倾斜角为θ，则,32ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭∴切线斜率)k ∈+∞22y x '=+22x ∴+≥1x ≥=即P 点横坐标的取值范围为1,⎫-+∞⎪⎣⎭故选：B 【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系、导数的几何意义的应用；关键是能够根据直线斜率与倾斜角的关系确定切线斜率的取值范围.7．A解析：A 【解析】 【分析】首先求得导函数的解析式，然后利用导数与函数切线的关系得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值. 【详解】由函数的解析式可得：()(cos sin )x f x a x x e '=+-， 曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则：31032f a e ππ'⎛⎛⎫=+⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：a =.故选A . 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导函数与函数切线的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C解析：C 【分析】求得()f x 图像上切线斜率为2的切点的横坐标，即是t 的值. 【详解】依题意可知，当()f x 图像上的切线和()21g x x =+平行时，MN 取得最小值，令()'12f x x ==，解得12x =，故12t =，所以选C. 【点睛】本小题考查函数导数，考查切线斜率与导数的对应关系，属于基础题.9．A解析：A 【解析】 【分析】求出曲线y ＝e x （x 2+ax +1﹣2a ）在点P （0，1﹣2a ）处的切线l 恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x ﹣1）2+y 2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论． 【详解】∵y=e x （x 2+ax+1-2a ），∴y′=e x （x 2+ax+2x+1-a ），x=0时，y′=1-a ， ∴曲线y=e x （x 2+ax+1-2a ）在点P （0，1-2a ）处的切线y-1+2a=（1-a ）x ， 恒过定点（-2，-1），代入：（x-1）2+y 2=16，可得9+1-16＜0，即定点在圆内， ∴切线l 与圆C ：（x-1）2+y 2=16的位置关系是相交． 故选：A ． 【点睛】本题考查导数的几何运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．B解析：B 【分析】 令()()xf xg x e=，x ∈R ．()()()x f x f x g x e '-'=，根据x R ∀∈，均有()()f x f x '<，可得函数()g x 的单调性，进而得出结论． 【详解】 解：令()()xf xg x e =，x ∈R ．()()()xf x f xg x e '-'=， x R ∀∈，均有()()f x f x '<， ()g x ∴在R 上单调递增，(2019)(0)(2019)g g g ∴-<<，可得：2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f >． 故选B ． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．A解析：A 【解析】 【分析】 求出曲线2ln y x x=-在1x =处切线斜率，从而可得进而得到cos sin αα+. 【详解】函数的定义域为()0,∞+ ，212,y x x =+' 1x =时，3,y '=，即tan 3,α= 且α为锐角，则cos ,1010αα===cos sin αα∴+== 故选A. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查斜率与倾斜角之间的关系，考查同角三角函数基本关系式，确定tan 3,α=是解题的关键．12．A解析：A 【分析】由2()f x x bx =+，求导得到()2f x x b '=+，再根据函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，由(1)23f b '=+=求解，从而得到()2()1f x x x x x =+=+，则()1111()11f n n n n n ==-++，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为2()f x x bx =+， 所以()2f x x b '=+，因为函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3， 所以(1)23f b '=+=，解得1b =，所以()2()1f x x x x x =+=+，数列()1111()11f n n n n n ==-++， 所以202011111111 (12233420202021)S =-+-+-++-， 12020120212021=-=. 故选：A 【点睛】 本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】先求导得然后将代入解出再代入求解的值【详解】由题意可得则即所以故故答案为：【点睛】本题考查导数的求解问题解答时注意在原函数解析式中为常数得到是前提解出是关键【分析】先求导得()cos sin 4f x x x π''⎛⎫=⎪⎝⎭，然后将4x π=代入，解出4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭，再代入()'f x 求解6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】由题意可得()cos sin 4f x x x π''⎛⎫= ⎪⎝⎭，则cos sin 4444f ππππ''⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即44f π'⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以1()cos sin 2f x x x '=-，故1cos sin 6626f πππ'⎛⎫=-=⎪⎝⎭.【点睛】本题考查导数的求解问题，解答时注意在原函数解析式()sin cos 4f x x x π'⎛⎫=+⎪⎝⎭中，4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭为常数，得到()cos sin 4f x x x π''⎛⎫= ⎪⎝⎭是前提，解出4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭是关键.14．【分析】求出原函数的导函数可得导函数的最小值求出使导函数取最小值的值即可得出结果【详解】解：由题意得当且仅当时取等号故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的斜率考查基本不等式求最值是中 解析：4【分析】求出原函数的导函数，可得导函数的最小值，求出使导函数取最小值的x 值，即可得出结果. 【详解】解：由题意得,()2244f x x x '=+≥=，当且仅当x =. 故答案为：4. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的斜率，考查基本不等式求最值，是中档题.15．【分析】利用官员发先求得函数的解析式再求得导函数即可求得在点处的切线的斜率【详解】已知令则所以则∵求得导函数可得∴由导数几何意义可知在点处的切线的斜率为故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解 解析：29-【分析】利用官员发先求得函数()f x 的解析式，再求得导函数，即可求得在点)f处的切线的斜率. 【详解】已知221111x x f x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭， 令11xt x-=+，则11t x t -=+，所以()22211211111t t t f t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==+-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， 则()221xf x x =+∵求得导函数可得()()222221x f x x -'=+，∴()229f '=-.由导数几何意义可知在点()()2,2f处的切线的斜率为29-， 故答案为：29- 【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，由导数几何意义求得切线斜率，属于中档题.16．n2n+1【解析】【分析】利用导数的几何意义求a 然后通过数列{1f(n)}的通项公式利用裂项法进行求和即可求出Sn 【详解】由题意知f(x)=2ax 则k=f(1)=2a2a ⋅(-18)=-1故a=4f 解析：【解析】 【分析】利用导数的几何意义求a ，然后通过数列{}的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出． 【详解】 由题意知，则，，故，，故，.故答案为【点睛】本题考查数列求和，切线的应用，熟记求和基本方法，准确计算是关键，是基础题17．y ＝4x －18或y ＝4x －14【解析】【分析】先求然后求出的解即得切点的横坐标从而求得切线方程【详解】设切点为因切线与直线垂直故故或当时切线方程为；当时切线方程为综上填或【点睛】对于曲线的切线问题注解析：y ＝4x －18或y ＝4x －14.【解析】 【分析】先求()'f x ，然后求出()'4f x =的解即得切点的横坐标，从而求得切线方程. 【详解】设切点为()00,x y ，因切线与直线134y x =-+垂直，故()200'314f x x =+=，故01x =-或01x =，当01x =-时，()018f x =-，切线方程为()4118414y x x =+-=-； 当01x =时，()014f x =-，切线方程为()4114418y x x =--=-， 综上，填418y x =-或414y x =-. 【点睛】对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标.如果切点为()()00,x f x ，那么切线方程为：()()()000'y f x x x f x =-+.18．【解析】由题意则临界情况为与相切的情况则所以切点坐标为则此时所以只要图象向左移动都会产生3个交点所以即点睛：解的个数问题我们采用图象法辅助解题画出图象我们可以知道在处有一个交点则在处必须有两个交点所 解析：(1ln 2,)-+∞【解析】由题意，则临界情况为()2y x a =+与x y e =相切的情况，'2x y e ==，则ln 2x =，所以切点坐标为()ln 2,2，则此时1ln 2a =-，所以只要2y x a =+图象向左移动，都会产生3个交点， 所以1ln 2a >-，即()1ln2,-+∞。
2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1《变化率与导数》章末综合测评及答案解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1 章末综合测评(三) 变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若y＝5x，则y′＝( )A.15x4B．155x4C.5x43D．15x x【解析】y＝x 15，则y′＝15x-45＝155x4.【答案】 B2．某质点沿直线运动的位移方程为f(x)＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( )A．－4 B．－5C．－6 D．－7【解析】v＝f(2)－f(1)2－1＝－2×22＋1－(－2×12＋1)2－1＝－6.【答案】 C3．如果物体做S(t)＝2(1－t)2的直线运动，则其在t ＝4 s 时的瞬时速度为( )A ．12B ．－12C ．4D ．－4【解析】 S(t)＝2(1－t)2＝2t 2－4t ＋2，则S ′(t)＝4t －4，所以S ′(4)＝4×4－4＝12.【答案】 A4．曲线y ＝e x 在点A(0,1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．eD ．1e【解析】 由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 【答案】 A5．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1B ．12C ．－2D ．2【解析】 ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos xsin 2x ，又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝－1，∴1a ＝－1，∴a ＝－1，故选A. 【答案】 A6．(2016·淮北高二检测)若曲线y ＝f(x)＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b)处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1【解析】 y ′＝2x ＋a ，∴f ′(0)＝a ＝1，∴y ＝x 2＋x ＋b ，又点(0，b)在切线上，故－b ＋1＝0， ∴b ＝1. 【答案】 A7．若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x)的图像是( )【解析】 f ′(x)＝2x ＋b ，因为f(x)顶点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－b 2，4c －b 24在第四象限．所以b<0，则f ′(x)图像与y 轴交于负半轴．【答案】 A 8．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2B ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，π D ．⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4【解析】 y ′＝3x 2－1≥－1，则tan α≥－1. ∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，π.【答案】 B9．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是( )A.24B ．22C.322D ． 2【解析】 ∵抛物线过点(1,2)，∴b ＋c ＝1.又∵f ′(1)＝2＋b ，由题意得2＋b ＝－b ，∴b ＝－1，c ＝2. ∴所求的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0，∴两平行直线x －y ＋1＝0和x －y －2＝0间的距离d ＝|1＋2|2＝322.【答案】 C 10．设函数f(x)＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]【解析】 ∵f ′(x)＝x 2sin θ＋3xcos θ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π3因为θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，5π12，所以θ＋π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22，1，故f ′(1)∈[2，2]．【答案】 D11．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0【解析】 y ′＝2x ＋1，设所求切线的切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)． 则x 20＋x 0＋1x 0＋1＝2x 0＋1，∴x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，曲线y ＝x 2＋x ＋1在点(0,1)处的切线斜率为1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线方程为3x ＋y ＋3＝0.【答案】 D12．点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是( )A.22(1－ln 2)B ．22(1＋ln 2)C.22⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋ln 2 D ．12(1＋ln 2)【解析】 将直线4x ＋4y ＋1＝0平移后得直线l ：4x ＋4y ＋b ＝0，使直线l 与曲线切于点P(x 0，y 0)，由x 2－y －2lnx ＝0得y ′＝2x －1x，∴直线l 的斜率k ＝2x 0－1x 0＝－1解得x 0＝12或x 0＝－1(舍去)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，14＋ln 2， 所求的最短距离即为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，14＋ln 2到直线4x ＋4y ＋1＝0的距离d ＝|2＋(1＋4ln 2)＋1|42＝22(1＋ln 2)． 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13．若y ＝－3cot x ，则y ′＝________.【导学号：63470074】【解析】 y ′＝－3(cot x)′＝－3·－1sin 2x ＝3sin 2x .【答案】3sin 2x14．下列四个命题中，正确命题的序号为________． ①若f(x)＝x ，则f ′(0)＝0；②(log a x)′＝xln a ；③加速度是质点的位移s对时间t 的导数；④曲线y ＝x 2在点(0,0)处有切线．【解析】 ①因为f ′(x)＝12x，当x 趋近于0时平均变化率不存在极限，所以函数f(x)在x ＝0处不存在导数，故错误；②(log a x)′＝1xln a ，故错误；③瞬时速度是位移s 对时间t 的导数，故错误；④曲线y ＝x 2在点(0,0)处的切线方程为y ＝0，故正确．【答案】 ④15．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝x 3＋2的一条切线，则k 的值为________． 【解析】 设切点为M(x 0，y 0)，则y 0＝x 30＋2， ① y 0＝kx 0，② ∵y ′＝3x 2，∴k ＝3x 20， ③ 将③代入②得y 0＝3x 30， ④将④代入①得x 0＝1， ∴y 0＝3，代入②得k ＝3. 【答案】 316．(2016·临沂高二检测)设函数f(x)的导数为f ′(x)，且f(x)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝________.【解析】 因为f(x)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2cos x －sin x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2cos π2－sin π2.即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝－1，所以f(x)＝－sin x ＋cos x ，故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－2.【答案】 －2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝t －1t 2＋2t 2(路程单位：m ，时间单位：s)，求s ′(3)，并解释它的实际意义.【导学号：63470075】【解】 ∵s(t)＝t －1t 2＋2t 2＝tt 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t)＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s.18．(本小题满分12分)求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，12且与过这点的切线垂直的直线方程．【解】 ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x. 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，12处的切线斜率是y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23.∴所求直线方程为y －12＝23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π3. 19．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)．(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f(x)是二次函数，且x 2f ′(x)－(2x －1)f(x)＝1. 【解】 (1)由题意设f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a ≠0)， 则f ′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c.由已知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝3，f ′(0)＝c ＝0，f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝－3，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝－3，c ＝0，d ＝3. 故f(x)＝x 3－3x 2＋3.(2)由题意设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，则f ′(x)＝2ax ＋b.所以x 2(2ax ＋b)－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c)＝1， 化简得(a －b)x 2＋(b －2c)x ＋c ＝1，此式对任意x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1，得a ＝2，b ＝2，c ＝1，即f(x)＝2x 2＋2x ＋1.20．(本小题满分12分)已知两曲线f(x)＝x 3＋ax 和g(x)＝x 2＋bx ＋c 都经过点P(1,2)，且在点P 处有公切线，试求a ，b ，c 的值．【解】 ∵点P(1,2)在曲线f(x)＝x 3＋ax 上， ∴2＝1＋a ，∴a ＝1，函数f(x)＝x 3＋ax 和g(x)＝x 2＋bx ＋c 的导数分别为f ′(x)＝3x 2＋a 和g ′(x)＝2x ＋b ，且在点P 处有公切线，∴3×12＋a ＝2×1＋b ，得b ＝2，又由点P(1,2)在曲线g(x)＝x 2＋bx ＋c 上可得2＝12＋2×1＋c ，得c ＝－1. 综上，a ＝1，b ＝2，c ＝－1.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 在x ＝14处的切线为l ，直线g(x)＝kx ＋94与l 平行，求f(x)的图像上的点到直线g(x)的最短距离．【解】 因为f(x)＝x ，所以f ′(x)＝12x.所以切线l 的斜率为k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14＝1， 切点为T ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，12. 所以切线l 的方程为x －y ＋14＝0. 因为切线l 与直线g(x)＝kx ＋94平行， 所以k ＝1，即g(x)＝x ＋94. f(x)的图像上的点到直线g(x)＝x ＋94的最短距离为切线l ：x －y ＋14＝0与直线x －y ＋94＝0之间的距离， 所以所求最短距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪94－142＝ 2.22．(本小题满分12分)已知直线l 1为曲线f(x)＝x 2＋x －2在点P(1,0)处的切线，l 2为曲线的另一条切线，且l 2⊥l 1.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积S.【解】 (1)设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，由题意可知k 1＝f ′(1)＝3，故直线l 1的方程为y ＝3x －3，由l 1⊥l 2，可知直线l 2的斜率为－13，设l 2与曲线相切于点Q(x 0，y 0)，则k 2＝f ′(x 0)＝－13， 解得x 0＝－23，代入曲线方程解得y 0＝－209， 故直线l 2的方程为y ＋209＝－13⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23，化简得到3x ＋9y ＋22＝0. (2)直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－223，0， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －3＝0，3x ＋9y ＋22＝0解得两直线交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16，－52， 故所求三角形的面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－223－1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512.。
高中数学第二章变化率与导数测评含解析北师大版选修2_2
第二章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知函数y=x 2+1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx ,2+Δy ),则Δy Δx 等于( )A.2B.2xC.2+ΔxD.2+(Δx )2=(1+Δx )2+1-(12+1)Δx =Δx+2.2.曲线y=ax 3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) B.60° C.120° D.135°点(1,3)在曲线上,∴3=a-2+4,可得a=1,则y=x 3-2x+4,y'=3x 2-2,当x=1时,y'=1.故所求切线的倾斜角为45°.3.已知函数f (x )=lnx x ,则方程f'(x )=0的解为( ) A.x=1B.x=eC.x=1eD.x=0(x )=1x ·x -lnx x 2=1-lnx x 2. ∵f'(x )=0,∴1-ln x=0,解得x=e .4.函数y=1(3x -1)2的导数是( )A.6(3x -1)3B.6(3x -1)2C.-6(3x -1)3D.-6(3x -1)2[1(3x -1)2]'=-2(3x -1)3·(3x-1)'=-6(3x -1)3,故选C .5.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ,则a=( )A.0B.1C.2D.3f (x )=ax-ln(x+1),∴f'(x )=a-1x+1. ∴f (0)=0且f'(0)=a-1=2,解得a=3.6.已知函数f (x )的导函数为f'(x ),且满足f (x )=2x ·f'(1)+ln x ,则f'(1)等于( )A.-eB.-1C.1D.ef(x)=2xf'(1)+ln x,∴f'(x)=2f'(1)+1x.∴f'(1)=2f'(1)+1.∴f'(1)=-1.7.已知函数f(x)=ln x+mx(m∈R)的图像在点(1,f(1))处的切线l的斜率为2,则直线l在y轴上的截距为()A.3B.-3C.1D.-1f'(x)=1x −mx2,则f'(1)=11−m1=2,得m=-1.所以f(1)=ln1+-11=-1,故切线方程为y+1=2(x-1),由y=-3.故选B.8.已知函数f(x)=a sin 3x+bx3+4(a∈R,b∈R),f'(x)为f(x)的导函数,则f(2 020)+f(-2 020)+f'(2 021)-f'(-2 021)=()B.8C.2 020D.2 021f'(x)=3a cos3x+3bx2,所以f'(x)=f'(-x),而f(x)+f(-x)=4+4=8,所以有+f(-2020)+f'(2021)-f'(-2021)=8.9.若曲线y=e-x上点P处的切线垂直于直线x-2y+1=0,则点P的坐标是()A.(-2,ln 2)B.(2,-ln 2)D.(ln 2,-2)P的坐标是(x0,y0),由题意得y'=-e-x,曲线y=e-x上点P处的切线垂直于直线x-2y+1=0,∴-e-x0=-2,解得x0=-ln2.∴y0=e-x0=2.故点P的坐标是(-ln2,2).10.已知点P在曲线y=2sin x2cos x2上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()A.[3π4,π) B.[-π4,3π4]C.[π4,3π4] D.[0,π4]∪[3π4,π)y=2sin x2cos x2=sin x,∴y'=cos x.设P(x0,y0),由题意知,切线的斜率存在,则曲线在点P处的切线的斜率k=tanα=cos x0, ∴-1≤tanα≤1.∵0≤α<π,∴α∈[0,π4]∪[3π4,π).故选D.11.已知曲线f(x)=sin2x+2ax(x∈R),若对任意实数m,直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(-1,0)B.(-∞,-1)∪(0,+∞)C.(-1,0)∪(0,+∞)D.a∈R且a≠0,a≠-1(x)=2sin x cos x+2a=sin2x+2a,直线l的斜率为-1,由题意知关于x的方程sin2x+2a=-1无解,所以|2a+1|>1,解得a<-1或a>0.故选B.12.已知曲线y1=2-1x与y2=x3-x2+2x在x=x0处切线的斜率的乘积为3,则x0的值为()A.-2B.2C.12D.1y'1=1x2,y'2=3x2-2x+2,所以两曲线在x=x0处切线的斜率分别为1x02,3x02-2x0+2,所以3x02-2x0+2x02=3.所以x0=1.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)f(x)=x3-mx+3,若f'(1)=0,则m=.f'(x)=3x2-m,∴f'(1)=3-m=0.∴m=3.14.已知函数f(x)在x=x0处可导,若limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)Δx=1,则f'(x0)=.lim Δx→0f(x0+2Δx)-f(x0)Δx=1,∴limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)2Δx=12,即f'(x0)=limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)2Δx=12.f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),则f'(0)=.f'(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x[(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)]',∴-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=-120.12016.已知点P在曲线y=4e x+1上,α为该曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是.f'(x)=-4e xe2x+2e x+1,∵k=-4e x+1e x +2≥-42+2=-1(当且仅当x=0时,取等号),且k<0,∴曲线y=f(x)上点P处的切线的斜率-1≤k<0.又∵k=tanα,α∈[0,π),∴α∈[3π4,π).[3π4,π)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)某质点做直线运动,已知路程s是时间t的函数,s=3t2+2t+1. (1)求从t=2到t=2+Δt的平均速度,并求当Δt=1,Δt=0.1与Δt=0.01时的平均速度;t=2时的瞬时速度.因为Δs=3(2+Δt )2+2(2+Δt )+1-(3×22+2×2+1)=14Δt+3Δt 2,所以从t=2到t=2+Δt 的平均速度为14+3Δt.当Δt=1时,平均速度为17;当Δt=0.1时,平均速度为14.3;当Δt=0.01时,平均速度为14.03.(2)当t=2时的瞬时速度为v=lim Δt →0(14+3Δt )=14. 18.(本小题满分12分)求下列函数的导数.(1)y=lg x-sin x ; (2)y=(√x +1)(√x 1); (3)y=e x x+1; (4)y=ln(3x-1).y'=(lg x-sin x )'=(lg x )'-(sin x )'=1x ·ln10-cos x. (2)∵y=(√x +1)(√x 1)=-x 12+x -12, ∴y'=-12x -12−12x -32=-2√x ·(1+1x ). (3)y'=(e xx+1)'=e x (x+1)-e x (x+1)2=xe x (x+1)2. (4)y'=[ln(3x-1)]'=13x -1·(3x-1)'=33x -1.19.(本小题满分12分)设f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时,f (x )=2x 2.(1)求x<0时,f (x )的表达式.(2)令g (x )=ln x ,问是否存在x 0,使得f (x ),g (x )在x=x 0处的切线互相平行?若存在,请求出x 0的值;若不存在,请说明理由.当x<0时,-x>0,f (x )=-f (-x )=-2(-x )2=-2x 2.(2)若f (x ),g (x )在x 0处的切线互相平行,则f'(x 0)=g'(x 0),且x 0>0,故f'(x 0)=4x 0=g'(x 0)=1x 0,解得x 0=±12.∵x 0>0,∴x 0=12. ∴存在,x 0的值为12.20.(本小题满分12分)已知曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x-y-1=0,且点P 0在第三象限.(1)求P 0的坐标; l ⊥l 1,且l 也过切点P 0,求直线l 的方程.由y=x 3+x-2,得y'=3x 2+1,由已知令3x 2+1=4,解得x=±1.∵点P 0在第三象限,∴x=-1,y=-4.∴切点P 0的坐标为(-1,-4).(2)∵直线l ⊥l 1,l 1的斜率为4,∴直线l 的斜率为-14.∵l 过切点P 0,点P 0的坐标为(-1,-4),∴直线l 的方程为y+4=-14(x+1),即x+4y+17=0.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=x 3+x-16.(1)求曲线y=f (x )在点(2,-6)处的切线的方程;l 为曲线y=f (x )的切线,且经过原点,求直线l 的方程及切点坐标.由题意可判定点(2,-6)在曲线y=f (x )上.∵f'(x )=(x 3+x-16)'=3x 2+1,∴曲线y=f (x )在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13. ∴切线的方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32.(2)设切点坐标为(x 0,y 0),则直线l 的斜率为f'(x 0)=3x 02+1,y 0=x 03+x 0-16,∴直线l 的方程为y=(3x 02+1)(x-x 0)+x 03+x 0-16.又∵直线l 过坐标点(0,0),∴0=(3x 02+1)(-x 0)+x 03+x 0-16,整理得x 03=-8.∴x 0=-2.∴y 0=(-2)3+(-2)-16=-26,则切点坐标为(-2,-26),k=3×(-2)2+1=13.∴直线l 的方程为y=13x ,切点坐标为(-2,-26).22.(本小题满分12分)设抛物线C :y=-x 2+92x-4,过原点O 作C 的切线y=kx ,使切点P 在第一象限.(1)求k 的值;(2)过点P 作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标. 解(1)设点P 的坐标为(x 1,y 1)(x 1>0,y 1>0),则y 1=-x 12+92x 1-4.∵y=-x 2+92x-4,∴y'=-2x+92.由题意可知k=-2x 1+92.∴切线方程为y=(-2x 1+92)(x-x 1)+(-x 12+92x 1-4).∵切线过原点O ,∴0=(-2x 1+92)(-x 1)+-x 12+92x 1-4,解得x 1=2,则y 1=1.∴k=-2×2+92=12. ∴k 的值为12.(2)过点P 作切线的垂线,其方程为y=-2x+5.①将①代入抛物线方程得x 2-132x+9=0. 设点Q 的坐标为(x 2,y 2),则x 2=92,y 2=-4. ∴点Q 的坐标为(92,-4).。
北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝（ ） A ．1B ．3C ．4D ．52．若曲线()xf x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（ ） A ．12e + B ．12e - C ．12D ．2e 3．曲线()2(1)ln ,y f x x a x a R ==--∈，在点()()1,1Pf 处的切线与直线210x y ++=垂直，则a =（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-4．函数3sin 2y x =的导数是（ ） A ．'3sin 2sin 4y x x = B ．2'3sin 2y x = C ．2'3sin 2cos2y x x =D ．'6sin 2cos 2y x x =5．已知曲线()3:x ,C f x ax a =-+若过点A (1.1)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为（ ） A ．38B ．1C ．98D ．1586．设点P 是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是（ ）. A ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2[0,),23πππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 7．一质点的运动方程为s ＝20＋12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)，则t ＝3 s 时的瞬时速度为( ) A ．20 m/s B ．29.4 m/s C ．49.4 m/sD ．64.1 m/s8．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A ．12e- B ．2e - C ．1-D ．e9．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（ ） A ．2B ．－1C ．1D ．－210．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()f x xf e ='lnx +，则()f e =（ ）A ．eB ．1e-C ．1-D ．e -11．若()f x 为定义在区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有()()()()()12l 1211f x x f x f x λλλλ+-+-，则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（ ）①()x x f x e =，②()f x =，③()()ln 1x f x x+=，④()21xf x x =+． A ．4B ．3C ．2D ．112．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ） A ．20202021B ．20192020C ．20182019D ．20172018二、填空题13．函数()ln(32)f x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为_______14．已知函数()()2xf x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为______. 15．已知函数1()11f x x a x =++-+的图象是以点(1,1)--为中心的中心对称图形，2()x g x e ax bx =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线互相垂直，则a b +=__________．16．如果曲线f (x )＝x 3＋x －16，的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，则切线方程_________.17．已知实数a ，b 满足225ln 0a a b --=，R c ∈__________．18．已知函数()()20,0f x ax bx a b =+>>的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为2，则8a bab+的最小值为___________ 19．曲线()ln f x x ax =+ 存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围_______．20．关于x 的方程2xx a e +=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______________.三、解答题21．已知a R ∈，函数()()(x x f x e ax xe =-.（1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 1，求a 的值；（2）设()x g x xe =()1g x >对x ∈R 恒成立； （3）若1(0,)a e∈，证明：()2f x a >对x ∈R 恒成立. 22．（1）函数()(1sin )f x x x =+的导数为()'f x ，求2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭； （2）设l 是函数1y x=图象的一条切线，证明：l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．23．求证：曲线3y x x =-在x =1处的切线方程与直线112y x =-+垂直. 24．已知()(),1nf x y ax by =++（常数,a b Z ∈，*n N ∈且2n ≥）. （1）若2a =-，0b =，2019n =，记()201901,i ii x y a x a f ==+∑，求：①20191ii a =∑；②20191ii ia =∑.（2）若(),f x y 展开式中不含x 的项的系数的绝对值之和为729，不含y 的项的系数的绝对值之和为64，求n 的所有可能值. 25．已知函数221()(1)2xf x x a e ax a x =---+，其中e a <. （1）若2a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若()f x 在(1,2)内只有一个零点，求a 的取值范围.26．已知函数321()4f x x x x =-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据切线的定义得到()13f =，()'11f =，相加得到答案.【详解】根据题意知：()1123f =+=，()'11f =，故()()'114f f +=.故选：C. 【点睛】本题考查了切线方程，属于简单题.2．A解析：A 【分析】求导得到()()'1xf x m x e =+⋅，由已知得()1f e =，()1f e '=，解得答案.【详解】()x f x mx e n =⋅+，则()()'1x f x m x e =+⋅，故()1f e =，()1f e '=，()11me n e m e e +=⎧∴⎨+=⎩，解得122m e n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12e m n ++=. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．B解析：B 【分析】由导数的几何意义得出切线的斜率为k a =-，结合垂直关系，即可得出a 的值. 【详解】()2(1)af x x x'=--，则在点()()1,1P f 处的切线的斜率为k a =-由切线与直线210x y ++=垂直，可得2a -=，则2a =-故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题.4．A解析：A 【分析】由求导公式及复合函数的导数求导法则可得. 【详解】 由求导公式可得：223sin 2(sin 2)3sin 2cos2(2)y x x x x x '''==26sin 2cos 2x x = 3sin 2sin 4x x =故选：A 【点睛】本题主要考查了求导公式及复合函数的求导法则，属于中档题.5．D解析：D 【分析】设切点()3000,x x ax a -+，利用导数的几何意义求切线方程，并且求切点，由题意可知切线在切点处的导数和为0，求a . 【详解】()23f x x a '=-，设切点为()3000,x x ax a -+，()2003f x x a '∴=-∴过切点的切线方程为：()()()3200003y x ax a x a x x --+=--，切线过点()1,1A ，()()()320000131x ax a x a x ∴--+=-- ，整理为：32002310x x -+= ， 化简为：()()2001210x x -+= ，01x ∴=或012x =-，()13f a '=-，1324f a ⎛⎫'-=- ⎪⎝⎭，由两条切线的倾斜角互补，得 3304a a -+-=，解得158a =.故选：D 【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线方程，并且求参数，意在考查转化与化归和计算能力.6．B解析：B 【解析】 【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围． 【详解】 解：2333y x '=-，tan 3α∴-，2[0,),23ππαπ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，故选B ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题．7．B解析：B 【解析】v ＝s ′(t )＝gt ，∴当t ＝3时，v ＝3g ＝29.4. 选B8．B解析：B 【分析】对函数求导得到导函数，代入1x =可求得()11f '=-，从而得到()f x '，代入1=x e求得结果. 【详解】由题意得：()()121f x f x''=+令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-()12f x x '∴=-+12f e e ⎛⎫'∴=- ⎪⎝⎭本题正确选项：B 【点睛】本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得()1f '，易错点是忽略()1f '为常数，导致求导错误.9．A解析：A 【解析】 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案． 【详解】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)， 则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k =， 又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+，所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x x b =-+，把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b =，所以144()422a b +=⨯-+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．C解析：C 【分析】求得()12()f x f e x '='+，令x e =，解得1()f e e '=-，得到()2f x x lnx e=-+，即可求解()f e 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()2()f x xf e ='lnx +，则()12()f x f e x'='+， 令x e =，则()12()f e f e e '='+，解得1()f e e '=-，即()2f x x lnx e=-+， 令x e =，则()2ln 1f e e e e=-⨯+=-，故选C. 【点睛】本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得()f e '的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.11．B解析：B 【解析】 【分析】将问题进行等价转化，然后结合导函数的解析式研究函数的性质即可确定“上进”函数的个数. 【详解】由区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈， 总有()()()()()121211x f x x f x f λλλλ+-+-，等价为对任意x G ∈，有()0f x ''>成立（()''f x 是函数()f x 导函数的导函数）， ①()x x f x e =的导数()1'x x f x e -=，()2''xxf x e-+=，故在()2,3上大于0恒成立，故①为“上进”函数；②()f x =()'f x =，()1''04f x =-<恒成立，故②不为“上进”函数； ③()()ln 1x f x x+=的导数()()()()21ln 11x x x f x x x ++'-=+，()()()()2233221ln 11x x x x f x x x --+++=+''当21,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，2320x x --<，()()21ln 10x x ++<，()230,10x x <+>，则()''0f x >恒成立．故③为“上进”函数；④()21x f x x =+的导数()()2221'1x f x x -=+，()()33226''1x x f x x-=+，当()2,3x ∈时，()''0f x >恒成立．故④为“上进”函数． 故选B . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.12．A解析：A 【分析】由2()f x x bx =+，求导得到()2f x x b '=+，再根据函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，由(1)23f b '=+=求解，从而得到()2()1f x x x x x =+=+，则()1111()11f n n n n n ==-++，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为2()f x x bx =+， 所以()2f x x b '=+，因为函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3， 所以(1)23f b '=+=， 解得1b =，所以()2()1f x x x x x =+=+，数列()1111()11f n n n n n ==-++，所以202011111111 (12233420202021)S =-+-+-++-， 12020120212021=-=. 故选：A 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】求出该点坐标和导函数该点的导数值即为此处切线斜率利用点斜式写出直线方程化简可得【详解】由题：所以函数在处的切线斜率所以切线方程：即故答案为：【点睛】此题考查导数的几何意义求函数在某点处的切线 解析：330x y --=【分析】求出该点坐标和导函数，该点的导数值即为此处切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简可得. 【详解】由题：(1)ln(32)0f =-=，3()32f x x '=-， 所以函数()f x 在(1,0)处的切线斜率(1)3k f '==，所以切线方程：03(1)y x -=-，即330x y --=. 故答案为：330x y --=. 【点睛】此题考查导数的几何意义，求函数在某点处的切线方程，易错点在于容易混淆函数值与导数值，考查基本运算，是基础题.14．【分析】求导利用求出根据导数几何意义可求斜率利用点斜式写出切线方程即可【详解】∵∴解得即则∴曲线在点处的切线方程为即【点睛】本题主要考查了导数的几何意义切线方程属于中档题 解析：10x y --=【分析】求导，利用()'13f e =求出a ，根据导数几何意义可求斜率(0)k f '=，利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】∵()()()'2222xxxf x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，即()()21x f x x e =-，()01f =-，则()()'21x f x x e =+，∴()'01f =，曲线()y f x =在点0x =处的切线方程为()110y x +=⨯-，即10x y --=.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.15．【分析】由中心对称得可解得再由两切线垂直求导数得斜率令其乘积为-1即可得解【详解】由得解得所以又所以因为由得即故答案为【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性考查了导数的几何意义即切线斜率属于中档题 解析：43-【分析】由中心对称得()()022f f +-=-，可解得a ，再由两切线垂直，求导数得斜率，令其乘积为-1，即可得解. 【详解】由()()022f f +-=-，得11121242a a a +---+-=-=-， 解得1a =，所以()11f x x x =++. 又()()21'11f x x =-++，所以()3'14f =.因为()2xg x e x bx =++，()'2xg x e x b =++，()'01g b =+，由()3114b +=-，得413b +=-，即43a b +=-. 故答案为43- 【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性，考查了导数的几何意义即切线斜率，属于中档题.16．y ＝4x －18或y ＝4x －14【解析】【分析】先求然后求出的解即得切点的横坐标从而求得切线方程【详解】设切点为因切线与直线垂直故故或当时切线方程为；当时切线方程为综上填或【点睛】对于曲线的切线问题注解析：y ＝4x －18或y ＝4x －14.【解析】 【分析】先求()'f x ，然后求出()'4f x =的解即得切点的横坐标，从而求得切线方程. 【详解】设切点为()00,x y ，因切线与直线134y x =-+垂直，故()200'314f x x =+=，故01x =-或01x =，当01x =-时，()018f x =-，切线方程为()4118414y x x =+-=-；当01x =时，()014f x =-，切线方程为()4114418y x x =--=-， 综上，填418y x =-或414y x =-. 【点睛】对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标.如果切点为()()00,x f x ，那么切线方程为：()()()000'y f x x x f x =-+.17．【解析】分析：分别设则表曲线上的点到直线的距离则最小值表示与直线平行的切线之间的距离求出曲线的切线方程根据平行线之间的距离公式即可求解详解：分别设则表曲线上的点到直线的距离所以最小值表示与直线平行的 解析：322【解析】分析：分别设()223ln (0),y f x x x x y x ==->=-，则22()()a c b c -++表曲线()y f x =上的点到直线y x =-的距离，则22()()a c b c -++最小值表示与直线y x=-平行的切线之间的距离，求出曲线的切线方程，根据平行线之间的距离公式，即可求解． 详解：分别设()223ln (0),y f x x x x y x ==->=-，则22()()a c b c -++表曲线()y f x =上的点到直线yx =-的距离，所以22()()a c b c -++最小值表示与直线y x =-平行的切线之间的距离， 因为()225ln f x x x =-，所以()54f x x x='-， 令()541f a a a=-=-'，解得1a =，所以()12f b ==， 所以曲线过点(1,2)的切线方程为2(1)y x -=--，即30x y +-=， 所以直线30x y +-=与直线yx =-间的距离为33222d ==，即22()()a c b c -++最小值322．点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两条平行线之间的距y x=-平行的切线之间的距离上解答的关键，着重考查了转化与化归思想，以及推理与计算能力，试题属于中档试题．18．9【解析】分析：求出原函数的导函数由=2a+b=2得a+=1把变形为+后整体乘以1展开后利用基本不等式求最小值详解：由f（x）=ax2+bx得=2ax+b又f （x）=ax2+bx（a＞0b＞0）在点解析：9【解析】分析：求出原函数的导函数，由(1)f'=2a+b=2，得a+2b=1，把8a bab+变形为8b+1a后整体乘以1，展开后利用基本不等式求最小值．详解：由f（x）=ax2+bx，得()f x'=2ax+b，又f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，所以(1)f'=2a+b=2，即a+2b=1．则8a bab+=8b+1a=（8b+1a）（a+2b）=5+8ab+2ba≥9．当且仅当8ab=2ba，即a=13，b=43时“=”成立．所以8a bab+的最小值是9．故答案为：9点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和转化能力. (2)解答本题的关键是8a bab+=8b+1a=（8b+1a）（a+2b），这里利用了常量代换的技巧，即把常量“1”用“a+2b”代替，这样后面就可以利用基本不等式求最值了.常量代换这个技巧要注意理解掌握并灵活运用.19．（﹣∞2﹣）∪（2﹣2）【解析】分析：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x ﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x）=+a在区间x∈（0+∞）上有解并且去掉直线2x ﹣y=0与曲线f（x）相切的情况解出即解析：（﹣∞，2﹣1e）∪（2﹣1e，2）【解析】分析：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x）=1x+a在区间x∈（0，+∞）上有解，并且去掉直线2x﹣y=0与曲线f（x）相切的情况，解出即可．详解：函数f （x ）=lnx+ax 的导数为f′（x ）=1x+a （x ＞0）． ∵函数f （x ）=lnx+ax 存在与直线2x ﹣y=0平行的切线， ∴方程1x+a=2在区间x ∈（0，+∞）上有解． 即a=2﹣1x在区间x ∈（0，+∞）上有解． ∴a ＜2．若直线2x ﹣y=0与曲线f （x ）=lnx+ax 相切，设切点为（x 0，2x 0）．则0000122a x x lnx ax⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得x 0=e ． 此时a=2﹣1e．综上可知：实数a 的取值范围是（﹣∞，2﹣1e ）∪（2﹣1e，2）． 故答案为：（﹣∞，2﹣1e ）∪（2﹣1e，2）． 点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点00(,())x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-．②已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点11(,())x f x ，即解方程()f x k '=.③求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．20．【解析】由题意则临界情况为与相切的情况则所以切点坐标为则此时所以只要图象向左移动都会产生3个交点所以即点睛：解的个数问题我们采用图象法辅助解题画出图象我们可以知道在处有一个交点则在处必须有两个交点所 解析：(1ln 2,)-+∞【解析】由题意，则临界情况为()2y x a =+与x y e =相切的情况，'2x y e ==，则ln 2x =，所以切点坐标为()ln 2,2，则此时1ln 2a =-，所以只要2y x a =+图象向左移动，都会产生3个交点， 所以1ln 2a >-，即()1ln2,-+∞。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》检测(含答案解析)
一、选择题1．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝（ ） A ．1B ．3C ．4D ．52．已知函数()2f x x bx =-的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（ ）A ．20192020B ．20182019C ．20172018D ．201820173．若函数f （x ）＝alnx （a ∈R ）与函数g （x ）x =在公共点处有共同的切线，则实数a的值为（ ） A ．4B ．12C ．2e D ．e4．函数22sin 22()([,0)(0,])133x x f x x x ππ=∈-+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为()5284100c x x=-（80100x <<）.当净化到95%时所需净化费用的瞬时变化率为（ ）元/吨. A ．5284B ．1056.8C ．211.36D ．105.686．已知函数()f x 在0x x =处可导,若()()00021x f x x f x limx∆→+∆-=∆,则()0'f x = （ ）A ．2B ．1C ．12D ．07．已知函数()ln ln xxf x e x e a x =-+的图象在点()()1,1T f 处的切线经过坐标原点，则a=（ ） A ．e -B ．eC ．1e e ---D ．1e -8．若()f x 为定义在区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈，总有()()()()()12l 1211f x x f x f x λλλλ+-+-，则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（ ）①()x x f x e =，②()f x =，③()()ln 1x f x x+=，④()21xf x x =+． A ．4B ．3C ．2D ．19．已知直线:l y m =，若l 与直线23y x =+和曲线ln(2)y x =分别交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为A ．1B ．2C D 10．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ） A ．3B ．13C ．2D ．1211．已知,a b ∈R ，直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图象在4πx =-处相切，设()2x g x e bx a =++，若在区间[1，2]上，不等式()22m g x m ≤≤-恒成立．则实数m（ ）A ．有最大值1e +B ．有最大值eC ．有最小值eD ．有最小值e -12．设点P ，Q 分别是曲线x y xe -=（e 是自然对数的底数）和直线+3y x =上的动点，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．(42e - D ．(42e +二、填空题13．已知直线1y x =+是曲线()()ln f x x a =+的切线，则a =_________.14．已知函数32()1(0,0)32x b f x x ax a b =-++>>，则函数'()()ln f x g x a x a =+在点(,())b g b 处切线的斜率的最小值是________．15．曲线12x y x e =++在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______． 16．曲线21x y e -=+在点（0，2）处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为_____________.17．已知1()2(1)f x xf x=+'，则(2)f '=______． 18．已知函数()ln f x x x =+,若函数()f x 在点()()00,P x f x 处切线与直线310x y -+=平行,则0x =____________19．关于x 的方程2xx a e +=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______________.20．已知直线y kx =是曲线x y e =的切线，则实数k 的值为__________．三、解答题21．已知函数2()(1)e x f x x ax =-+.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：“=0a ”是“函数()y f x =有且只有一个零点” 的充分必要条件. 22．已知曲线382y x x =-+ （1）求曲线在点0x =处的切线方程；（2）过原点作曲线的切线:l y kx =，求切线方程. 23．（Ⅰ）求下列各函数的导数：（1）y x x =；（2）2sin x y x=；（Ⅱ）过原点O 作函数f （x ）＝lnx 的切线，求该切线方程． 24．已知函数的图像过坐标原点，且在点处的切线斜率为.(1) 求实数的值； (2) 求函数在区间上的最小值；(3) 若函数的图像上存在两点，使得对于任意给定的正实数都满足是以为直角顶点的直角三角形，且三角形斜边中点在轴上，求点的横坐标的取值范围. 25．（1）求函数233x y x +=+的导数； （2）已知()34cos sin2f x x x π=+-，求()f x '及2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭'.26．已知函数()()()321166,32f x x a x ax b a b R =-+++∈. （1）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率为2-，求a 、b 的值； （2）若在区间()2,3上，函数()f x 不单调，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据切线的定义得到()13f =，()'11f =，相加得到答案.【详解】根据题意知：()1123f =+=，()'11f =，故()()'114f f +=.故选：C. 【点睛】本题考查了切线方程，属于简单题.2．A解析：A 【分析】利用导数的几何意义，可求出直线l 的斜率，进而由l 与直线320x y -+=平行，可求出b ，从而可得到()1111f n n n =-+，进而求出2019S 即可.【详解】由题意，()2f x x b '=-，则()12f b '=-，所以直线l 的斜率为2b -， 又直线320x y -+=的斜率为3，所以23b -=，解得1b =-. 则()2f x x x =+，故()211111f n n n n n ==-++， 所以201911111111201911223342019202020202020S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查平行直线的性质，考查利于裂项相消求和法求数列的前n 项和，属于中档题.3．C解析：C 【分析】根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a 的值和切点坐标，问题可解. 【详解】 由已知得()()a f x g x x ''==，，设切点横坐标为t ，∴alnt a t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22e t e a ==，.故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于中档题.4．A解析：A 【分析】根据解析式判断函数的奇偶性，2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的正负，以及2f π⎛⎫⎪⎝⎭'的正负，即可进行选择. 【详解】因为()221x sinx f x x =+，()221x sinxf x x -=-+，且定义域关于原点对称，故()f x 是奇函数，排除选项C ；因为2220212f πππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故排除选项D ；因为()()()()223222121xsinx x cosx x x sinxf x x++-=+'，故可得220212f πππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦'故函数()f x 在点(),2f x π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率为正数，故排除选项B ； 故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，涉及函数的奇偶性，特值的把握，利用导数研究函数某点处切线的斜率，属综合中档题.5．C解析：C 【分析】根据()c x ，利用导数除法法则求出()c x '，将95代入()c x '即可求得. 【详解】5284()100c x x ''⎛⎫= ⎪-⎝⎭25284(100)5284(100)(100)x x x ''⨯--⨯-=-20(100)5248(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =-()2528495211.36(10095)c '==-.故选：C . 【点睛】本题考查复合函数的导数、导数的几何意义及利用导数知识解决相关问题的能力，是中档题.6．C解析：C 【分析】 根据条件得到()()0002122x f x x f x lim x∆→+∆-=∆，计算得到答案. 【详解】()()()()00000221122x x f x x f x f x x f x limlimxx ∆→∆→+∆-+∆-=∴=∆∆ 即()()()000021'22x f x x f x f x lim x∆→+∆-==∆ 故选C 【点睛】本题考查了导数的定义，意在考查学生的计算能力.7．A解析：A 【分析】利用导数求出函数()y f x =在点()()1,1T f 处的切线方程，再将原点的坐标代入切线方程可求出实数a 的值. 【详解】()ln ln x x f x e x e a x =-+，()1f e ∴=-，切点为()1,T e -，()ln x xx e af x e x e x x'=+-+，()1f a '=，所以，函数()y f x =的图象在点T 处的切线方程为()1y e a x +=-，由于该直线过原点，则a e -=，解得a e =-，故选A.【点睛】本题考查切线过点的问题，一般先利用导数求出切线方程，再将所过点的坐标代入切线方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.8．B解析：B 【解析】 【分析】将问题进行等价转化，然后结合导函数的解析式研究函数的性质即可确定“上进”函数的个数. 【详解】由区间G 上的任意两点12,x x 和任意实数()0,1λ∈， 总有()()()()()121211x f x x f x f λλλλ+-+-，等价为对任意x G ∈，有()0f x ''>成立（()''f x 是函数()f x 导函数的导函数）， ①()x x f x e =的导数()1'x x f x e -=，()2''xxf x e -+=，故在()2,3上大于0恒成立，故①为“上进”函数； ②()f x =()'f x =，()1''04f x =-<恒成立，故②不为“上进”函数； ③()()ln 1x f x x+=的导数()()()()21ln 11x x x f x x x ++'-=+，()()()()2233221ln 11x x x x f x x x --+++=+''当21,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，2320x x --<，()()21ln 10x x ++<，()230,10x x <+>，则()''0f x >恒成立．故③为“上进”函数；④()21x f x x =+的导数()()2221'1x f x x -=+，()()33226''1x x f x x -=+，当()2,3x ∈时，()''0f x >恒成立．故④为“上进”函数． 故选B . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.9．B解析：B 【分析】利用导数求出与直线23y x =+平行的曲线的切线的切点，利用点到直线的距离可得. 【详解】1y x '=,令12x =可得12x =，所以切点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 根据题意可知1,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭且0m =，所以3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时2AB =.故选B. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义.已知切线的斜率，结合导数可得切点.10．A解析：A 【分析】设切点为00(,2)x kx -，对13ln y x =+求导，得到3y x '=，从而得到切线的斜率03k x =，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果. 【详解】设切点为00(,2)x kx -，∵3y x '=，∴0003,213ln ,k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①② 由①得03kx =， 代入②得013ln 1x +=， 则01x =，3k =， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.11．A解析：A 【分析】求f （x ）导数，利用导数的几何意义可得a 和b 的值，求g （x ）的导数和单调性，可得函数g(x)的最值，然后解不等式min 2max )2)m gx m g x ≤⎧⎨-≥⎩（（即可得m 的最值．【详解】∵sin ()tan cos x f x x x ==，∴222cos sin (sin )1()cos cos x x x f x x x-⋅-='=， ∴()24a f π'=-=，又点(,1)4π--在直线πy ax b 2=++上， ∴-1=2 ⋅()4π-+b+π2，∴b ＝﹣1， ∴g （x ）＝e x ﹣x 2+2，g'（x ）＝e x ﹣2x ，g''（x ）＝e x ﹣2， 当x ∈[1，2]时，g''（x ）≥g''（1）＝e ﹣2＞0， ∴g'（x ）在[1，2]上单调递增，∴g'（x ）≥g （1）＝e ﹣2＞0，∴g （x ）在[1，2]上单调递增，min 22max )(1)12)(2)2m gx g e m g x g e ≤==+⎧⎨-≥==-⎩（（ 解得m e ≤-或e≤m≤e+1，∴m 的最大值为e+1，无最小值， 故选A. 【点睛】本题考查导数的运用，考查利用导数求切线的斜率和单调区间，最值，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．12．B解析：B 【分析】对曲线y ＝xe ﹣x 进行求导，求出点P 的坐标，分析知道，过点P 直线与直线y ＝x +2平行且与曲线相切于点P ，从而求出P 点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可． 【详解】∵点P 是曲线y ＝xe ﹣x 上的任意一点，和直线y ＝x +3上的动点Q ，求P ，Q 两点间的距离的最小值，就是求出曲线y ＝xe ﹣x 上与直线y ＝x +3平行的切线与直线y ＝x +3之间的距离．由y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ，令y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ＝1，解得x ＝0， 当x ＝0，y ＝0时，点P （0，0），P ，Q 两点间的距离的最小值，即为点P （0，0）到直线y ＝x +3的距离， ∴d min故选B. 【点睛】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，是基础题．二、填空题13．2【分析】设出切点坐标根据切点的纵坐标等于曲线在处的函数值以及导数的几何意义求解出的值从而的值可求【详解】设切点为则由得所以解得所以故答案为：【点睛】思路点睛：已知曲线的切线方程求解参数值的步骤：（解析：2 【分析】设出切点坐标()00,x y ，根据切点的纵坐标等于曲线()f x 在0x x =处的函数值以及导数的几何意义求解出0x 的值，从而a 的值可求. 【详解】设切点为()00,x y ，则()00001,ln y x y x a =+=+，由()0011f x x a'==+得01x a +=， 所以()001ln ln10x x a +=+==，解得01x =-，所以012a x =-=, 故答案为：2. 【点睛】思路点睛：已知曲线()y f x =的切线方程求解参数值的步骤：（1）设出切点坐标()00,x y ，根据切点的纵坐标0y 的值等于曲线在0x x =处的函数值()0f x ，得到第一个方程；（2）再根据导数的几何意义，即有切线斜率()0k f x '=，得到第二个方程； （3）两个方程联立求解出其中参数的值.14．2【解析】【分析】根据已知条件得到的导函数根据限制性条件和基本不等式进行解答【详解】因为所以又因为所以（b ）所以斜率的最小值是2故答案是：2【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值根据导数的解析：2 【解析】 【分析】根据已知条件得到()()f x g x alnx a'=+的导函数，根据限制性条件0a >，0b >和基本不等式 进行解答． 【详解】 因为()()f x g x alnx a'=+， 所以2()a x b g x x a-'=+． 又因为0a >，0b >，所以g '（b ）22a b b a a b a b b-=+=+， 所以斜率的最小值是2． 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本 题的关键．15．【解析】【分析】先根据导数几何意义求切线斜率得切线方程再求三角形面积【详解】因为所以与与两坐标轴交点为因此围成的三角形面积为【点睛】本题考查导数几何意义以及直线方程考查基本分析与运算能力属基础题解析：32【解析】 【分析】先根据导数几何意义求切线斜率，得切线方程，再求三角形面积. 【详解】因为12x y e '=+，所以03,320)3313(y k x y x e =-=-∴=++=， 与与两坐标轴交点为(1,0),(0,3)-，因此围成的三角形面积为1313.22⨯⨯= 【点睛】本题考查导数几何意义以及直线方程，考查基本分析与运算能力，属基础题.16．【分析】对函数求导求写出切线方程与y=0y=x 联立求交点的坐标即可求面积【详解】∵∴∴切线的斜率且过点（02）∴切线为∴∴切线与x 轴交点为（10）与的交点为∴切线与直线和围成的三角形的面积为故答案为解析：13【分析】对函数求导，求()0f ' ，写出切线方程，与y=0,y=x 联立求交点的坐标，即可求面积. 【详解】∵21x y e -=+，∴22x y e -=-'，∴切线的斜率02x k y ='==-，且过点（0，2），∴切线为22y x -=-，∴22y x =-+，∴切线与x 轴交点为（1，0），与y x =的交点为22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为1211233S =⨯⨯=.故答案为1.3【点睛】本题考查了导数的几何意义，在某点处的切线，属于基础题.17．【解析】【分析】先求导再求和【详解】由题得所以故答案为：【点睛】（1）本题主要考查导数的求法意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力(2)解答本题的关键是求在求导时知道它是一个常数就可以了解析：74【解析】 【分析】先求导，再求()1f '和()2f '. 【详解】 由题得222111()2(1),(1)2(1),(1)1,()21f x f f f f f x x x=-+∴=-+∴=∴=-'''''+'， 所以()2f '=17244-+=. 故答案为：74【点睛】（1）本题主要考查导数的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)解答本题的关键是求(1)f '，在求导时，知道它是一个常数就可以了.18．【解析】分析：求出导函数可得切线斜率利用切线斜率等于列方程求解即可详解：因为函数所以可得函数由函数在点处切线与直线平行可得解得故答案为点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率属于简单题应用导数的几何意义解析：12【解析】分析：求出导函数，可得切线斜率，利用切线斜率等于3列方程求解即可. 详解：因为函数()ln f x x x =+， 所以可得函数()1'1f x x=+， 由函数()f x 在点()()00,P x f x 处切线与直线310x y -+=平行，可得0113x +=，解得012x =，故答案为12. 点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于简单题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 解方程()1f x k '=即可.19．【解析】由题意则临界情况为与相切的情况则所以切点坐标为则此时所以只要图象向左移动都会产生3个交点所以即点睛：解的个数问题我们采用图象法辅助解题画出图象我们可以知道在处有一个交点则在处必须有两个交点所 解析：(1ln 2,)-+∞【解析】由题意，则临界情况为()2y x a =+与x y e =相切的情况，'2x y e ==，则ln 2x =，所以切点坐标为()ln 2,2，则此时1ln 2a =-，所以只要2y x a =+图象向左移动，都会产生3个交点， 所以1ln 2a >-，即()1ln2,-+∞。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试卷(包含答案解析)(4)
一、选择题1．已知直线2y x b =+与函数2,0()ln ,0x x f x x a x ⎧-≤=⎨+>⎩的图象相切，且有两个不同的切点，则实数a 的值为（ ）． A ．ln 2 B ．2 C ．2ln 2- D ．2ln 2+2．若曲线()xf x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（ ） A ．12e + B ．12e - C ．12D ．2e 3．①若直线l 与曲线:()C yf x =有且只有一个公共点，则直线l 一定是曲线()y f x =的切线；②若直线l 与曲线:()C y f x =相切于点00(,)P x y ，且直线l 与曲线:()C y f x =除点P 外再没有其他的公共点，则在点P 附近，直线l 不可能穿过曲线()y f x =；③若'0()f x 不存在，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处就没有切线； ④若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处有切线，则'0()f x 必存在.则以上论断正确的个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．若曲线224y x x p =-+与直线1y =相切，则p 的值为（ ） A ．1-B ．1C ．3D ．45．设P 为曲线2:2C y x x =+上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则点P 横坐标的取值范围为( )A ．1,⎫++∞⎪⎣⎭ B ．1,⎫-+∞⎪⎣⎭C ．1⎤-+⎥⎣⎦D ．1⎛⎤-∞-⎥⎝⎦6．曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积( ) A ．1B ．13C ．23D ．127．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=8．已知方程2230x a +=的两实根为1x ，2x ，若函数()(1)(1)f x x x x =-+在1x x =与2x x =处的切线相互垂直，满足条件的a 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．函数()cos sin f x x x x =-的图象上的点()00,x y 处的切线的斜率为k ，若()0k g x =，则函数()g x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．10．曲线l (n )f x x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为 A ．0x y += B ．1x = C ．20x y --= D ．1y =- 11．已知函数ln y x x =，则这个函数在点1x =处的切线方程是A ．22y x =-B ．22y x =+C ．1y x =-D ．1y x =+12．函数()ln 0y x x =>的图象与直线12y x a =+相切，则a 等于（ ） A ．ln 21-B ．ln21+C ．ln 2D ．2ln 2二、填空题13．曲线ln y x x =在P 点处的切线与直线220200x y --=平行，则点P 的坐标为______.14．已知函数()2sin cos 22f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象与直线(0)y ax a =>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为1x ，2x ，3x ，则()123123tan x x x x x x +-=+-________．15．求26100lim 3110045n n n n nn →∞⎧≤⎪⎪⎨+⎪>⎪+⎩（*n N ∈）=________16．曲线2ln y x x =-在1x =处的切线方程是__________． 17．对于曲线4()1x f x e =+（其中e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线1l ，总存在在曲线221()ln 2g x ax x x x =-+上一点处的切线2l ，使得1l ∥2l ，则实数a 的取值范围是____________.18．曲线()ln f x x ax =+ 存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围_______．19．若曲线()3()ln 2f x ax x =+-存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是______．20．已知在R 上可导， ()()()3311F x f x f x =-+-，则()1F '=__________．三、解答题21．已知函数2()ln f x ax x =-(a 为正实数)．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程；（Ⅱ）若方程()0f x =在区间[1,e]上有两个不相等的实数根，求a 的取值范围．22．已知直线240x y +-=与抛物线212y x =相交于,A B 两点（A 在B 上方）,O 是坐标原点。
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2019-2020年高中数学第二章变化率与导数章末综合测评含解析北师大版选修一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.某质点沿直线运动的位移方程为f (x )＝－2x 2＋1，那么该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为( )A.－4B.－5C.－6D.－7【解析】Δy Δx ＝f （2）－f （1）2－1＝（－2×22＋1）－（－2×12＋1）1＝－6.【答案】 C2.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A.1 B.12 C.－12D.－1【解析】 y ′＝2ax ，于是切线斜率k ＝f ′(1)＝2a ，由题意知2a ＝2，∴a ＝1. 【答案】 A3.下列各式正确的是( ) A.(sin α)′＝cos α(α为常数) B.(cos x )′＝sin x C.(sin x )′＝cos x D.(x －5)′＝－15x －6【解析】 由导数公式知选项A 中(sin α)′＝0；选项B 中(cos x )′＝－sin x ；选项D 中(x －5)′＝－5x －6.【答案】 C4.设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3【解析】 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)， 则f ′(x )＝a －1x ＋1. 由导数的几何意义可得在点(0，0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1. 又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2. ∴a ＝3.【答案】 D5.已知二次函数f (x )的图像如图1所示，则其导函数f ′(x )的图像大致形状是( )图1A B C D【解析】 由图像知f (x )＝ax 2＋c (a <0)，∴f ′(x )＝2ax (a <0)，故选B. 【答案】 B6.已知函数y ＝x －1，则它的导函数是( ) A.y ′＝12x －1B.y ′＝x －12（x －1）C.y ′＝2x －1x －1D.y ′＝－x －12（x －1）【解析】 u ＝x －1，y ′＝(u )′·u ′＝12u ＝12x －1＝x －12（x －1）.【答案】 B7.若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A.4x －y －3＝0 B.x ＋4y －5＝0 C.4x －y ＋3＝0D.x ＋4y ＋3＝0【解析】 切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝4x 30＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1，1)，即y －1＝4(x －1)，∴4x －y －3＝0. 【答案】 A8.(xx·烟台二中期末检测)设函数f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （n ）(n ∈N ＋)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.nn －1D.n ＋1n【解析】 ∵f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，∴1f （n ）＝1n 2＋n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （n ）(n ∈N ＋)的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.故选A.【答案】 A9.如图2，下列图像中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图像，则f (－1)等于( )图2A.－13B.13C.73D.－13或73【解析】 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)＝[x ＋(a －1)][x ＋(a ＋1)].显然(2)(4)不符合，若(1)是f ′(x )的图像，则有a ＝0，与已知矛盾，故(3)是f ′(x )的图像，∴a ＝－1.∴f (－1)＝－13－1＋1＝－13.【答案】 A10.过点(－1，0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A.2x ＋y ＋2＝0 B.3x －y ＋3＝0 C.x ＋y ＋1＝0D.x －y ＋1＝0【解析】 y ′＝2x ＋1，设所求切线的切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)，则x 20＋x 0＋1x 0＋1＝2x 0＋1，∴x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，曲线y ＝x 2＋x ＋1在点(0，1)处的切线斜率为1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线方程为3x ＋y ＋3＝0.【答案】 D11.点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是( )A.22(1－ln 2) B.22(1＋ln 2) C.22⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋ln 2 D.12(1＋ln 2) 【解析】 y ′＝2x －1x ＝－1⇒x ＝12⇒y ＝14＋ln 2，所以切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋ln 2，切点到直线的距离就是两平行线间的距离，由点到直线的距离公式求得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×12＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋ln 2＋142＋42＝22(1＋ln 2)，故选B. 【答案】 B12.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π【解析】 因为y ＝4e x＋1， 所以y ′＝－4e x（e x ＋1）2＝－4exe 2x ＋2e x＋1＝－4e x＋1ex ＋2. 因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2，所以y ′∈[－1，0)，所以tan α∈[－1，0).又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上) 13.设函数y ＝f (x )是一次函数，若f (1)＝－1，且f ′(2)＝－4，则f (x )＝________. 【解析】 ∵y ＝f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b ， ∴f ′(x )＝a ，则f (1)＝a ＋b ＝－1，又f ′(2)＝a ＝－4. 即a ＝－4，b ＝3，∴f (x )＝－4x ＋3. 【答案】 －4x ＋314.若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________.【解析】 ∵y ′＝2x －1，∴当x ＝－2时，y ′＝－5. 又P (－2，6＋c )， ∴6＋c－2＝－5，∴c ＝4. 【答案】 415.设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a f ′（a ）＋b f ′（b ）＋cf ′（c ）＝________.【解析】 ∵f ′(x )＝(x －b )(x －c )＋(x －a )·(x －c )＋(x －a )·(x －b )， ∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )， 同理f ′(b )＝(b －a )(b －c )，f ′(c )＝(c －a )(c －b )，代入原式中得值为0. 【答案】 016.设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝____. 【解析】 f ′(x )＝－sin (3x ＋φ)·(3x ＋φ)′＝－3sin (3x ＋φ)， ∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3，当f (x )＋f ′(x )为奇函数时，φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵0<φ<π，∴φ＝π6.【答案】π6三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)求下列函数的导数. (1)y ＝3x 2＋x cos x ； (2)y ＝tan x x；(3)y ＝x 2－2x ＋5x 3.【解】 (1)y ′＝(3x 2)′＋(x cos x )′ ＝6x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′ ＝6x ＋cos x －x sin x .(2)法一：y ′＝（tan x ）′·x －tan xx2＝xcos 2x －tan x x2＝x －cos 2x ·tan x x 2cos 2x ＝x －sin x cos x x 2cos 2x.法二：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x cos x ′＝（sin x ）′x cos x －sin x （x cos x ）′x 2cos 2x＝x cos 2x －sin x （cos x －x sin x ）x 2cos 2x＝x －sin x cos xx 2cos 2x.(3)∵y ＝1x －2x2＋5x3＝x －1－2x －2＋5x －3，∴y ′＝－x －2－2×(－2)x －3＋5×(－3)x －4＝－1x 2＋4x 3－15x4.18.(本小题满分12分)已知曲线y ＝f (x )＝x 3－8x ＋2. (1)求曲线在点(0，2)处的切线方程；(2)过原点作曲线的切线l ：y ＝kx ，求切线l 的方程.【解】 (1)∵f (x )＝x 3－8x ＋2，∴f ′(x )＝3x 2－8，则f ′(0)＝－8，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y －2＝－8(x －0)，即8x ＋y －2＝0.(2)设切点为P (a ，a 3－8a ＋2)，切线斜率k ＝3a 2－8，则切线方程y －(a 3－8a ＋2)＝(3a 2－8)(x －a )，又因为切线过原点，所以0－(a 3－8a ＋2)＝(3a 2－8)(0－a )，即2a 3－2＝0，所以a ＝1，即切线l 斜率为k ＝－5，切线l 方程为y ＝－5x ，即5x ＋y ＝0.19.(本小题满分12分)(xx·广州高二检测)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限.(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程. 【解】 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知得3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又因为点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4).(2)因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，所以直线l 的斜率为－14，因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.20.(本小题满分12分)(xx·北京高考改编)设函数f (x )＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)求过点(2，f (2))且与切线y ＝(e －1)x ＋4垂直的直线方程l . 【解】 (1)因为f (x )＝x e a －x＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )ea －x＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e. (2)由(1)知k l ＝11－e，且f (2)＝2e ＋2， ∴y －(2e ＋2)＝11－e(x －2). 即所求直线l 的方程为y ＝11－e x ＋21－e＋2e ＋2. 21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2. (1)若a ＝1，求f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)对于任意x ≥2使得f ′(x )≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x 2，则f ′(x )＝1x＋2x ，故在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝3，又f (1)＝1，即切点为(1，1)，故切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)当x ≥2时，f ′(x )≥x ，即ax＋2x ≥x (x ≥2)恒成立，即a ≥－x 2在x ∈[2，＋∞)上恒成立.令t ＝－x 2，当x ∈[2，＋∞)时，易知t max ＝－4，为使不等式a ≥－x 2恒成立，则a ≥－4，故实数a 的取值范围为[－4，＋∞).22.(本小题满分12分)(xx·无锡高二检测)已知两曲线f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝ax 2＋bx ＋c 都经过点P (1，2)，且在点P 有公切线.(1)求a ，b ，c 的值； (2)设k (x )＝f （x ）g （x ），求k ′(－2)的值.【解】 (1)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝2，a ＋b ＋c ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋c ＝1.故f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝x 2＋bx ＋1－b ， 所以f ′(x )＝3x 2＋1，g ′(x )＝2x ＋b ，由于两曲线在点P (1，2)处有公切线，故f ′(1)＝g ′(1)，即4＝2＋b ， 所以b ＝2. 故c ＝1－b ＝－1.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝x 2＋2x －1，故k (x )＝f （x ）g （x ）＝x 3＋xx 2＋2x －1，故k ′(x )＝（x 3＋x ）′（x 2＋2x －1）－（x 3＋x ）（x 2＋2x －1）′（x 2＋2x －1）2＝（3x 2＋1）（x 2＋2x －1）－（x 3＋x ）（2x ＋2）（x 2＋2x －1）2＝x 4＋4x 3－4x 2－1（x 2＋2x －1）2. 故k ′(－2)＝16－32－16－1（4－4－1）2＝－33.。