气体动力连续介质模型
空气动力学基本概念
如果过程不可逆，则熵值必增加，Δs >0。 等熵关系式 ：
p2
k 2
p1
k 1
k又称为等熵指数
1.4 描述流体运动的两种方法
流体运动的描述
流场：充满着运动流体的空间 流动参数：用以表示流体运动特征的物理量
描述流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法
拉格朗日法：流体质点 欧拉法：流场中的空间点
V2 ~ 2 Ma 2 a
马赫数M是研究高速流动的重要参数，是划分高速流 动类型的标准：
M<1，即气流速度小于当地声速时，为亚声速气流；
M>1，即气流速度大于当地声速时，为超声速气流；
M＝1时，气流速度等于当地声速；
一般又将M=0.8～1.2的气流称作跨声速气流。
1.3 热力学中的基本定律
定常流场、非定常流场
v x v x v x v x v v v dv vx v x dx y v dy v x dzz ax x y t x x x z dt t x dt y dt z dt vx v ( x, y , z , t )v x v v v y dv v v v v yy y dx y y y y dy y dz ay v xv v ay v ( x, v z y y , z , t ) dt t x dt y dt y y t x y z dt z dvz v z v z dx v z dy v z dz ( , z , t ) vx v v z a z v zv v z, y z z z az v dt v tx x dt y dt z v dtz y t x y z ax
分子气体动力学
f f0 f1 Kn f 2 Kn2 f3 Kn3 ...
- 矩方法 （1949，Grad）
对Boltzmann方程取矩，然后对高阶项作封闭近似
动理论的发展历史
Boltzmann方程的近似与数值求解 - 1954, BGK 模型 - 1966, ES-BGK; 1968, S-BGK, „ - 离散速度模型／离散坐标法，Chandrasekhar, 1950 - Boltzmann 离散速度模型求解器，1994 - BGK 离散速度模型求解器, 1990s - 高精度、自适应、并行 „„
gas ＝ molecules
v
+
molecular motion and collision
v1
+ statistical average
'
v1
rnew = rold + vt
+
v2 Collision
N U mi vi N
i 1
v2
'
103
—
108
Motion
动理论的发展
- 划分了流域
Kn L
连续流
滑移流
过渡流
自由分子流
4
引 言
为什么学习分子气体动力学 - 气体是由分子组成的，了解气体运动规律的微观原因
状态方程、热力学第二定律、滑移边界条件
- 解决传统的连续介质气体动力学不能解决的问题
输运系数、激波结构、高空、真空或微尺度环境
- 动理论高于连续性方法并界定其适用范围
认识到气体的分子属性的必要性并不是容易的事情
11流体力学的研究对象与流体的连续介质模型
流体力学和固体力学同为力学的两大分支,二者研究的运动形式相同,但研究的物质对象不同㊂它们采用相同的连续介质模型并遵从相同的牛顿力学定律㊂然而,流体有着不同于固体的力学性质,并且流体运动的描述方法㊁流体运动的基本形式和流体运动的具体分类都与固体运动有所不同㊂本章将阐释这些内容,作为全书的基础㊂1.1流体力学的研究对象与流体的连续介质模型自然界存在着各种各样的运动形式,不同的运动形式构成不同学科的研究对象㊂机械运动是一种以物体位置随时间变动为特征的运动形式,是力学的研究对象㊂流体力学是力学的一个分支,它研究流体(液体㊁气体)机械运动的规律㊂流体力学所研究的机械运动乃是物质的宏观运动,亦即大量分子所组成的质点系统的运动,不涉及物质的微观结构与微观运动㊂流体和固体一样,是由分子组成的㊂分子之间存在空隙㊂分子本身作永不停息的㊁不规则的运动,分子与分子之间还存在相互作用力㊂这些统属于微观范畴,原非本课程的研究对象㊂然而,流体的宏观运动是和流体的微观结构及微观运动有密切联系的㊂流体宏观运动的物理量,往往是大量分子微观运动的物理量统计平均的结果㊂稍许涉及流体的微观结构与微观运动,有助于理解流体运动的物理本质㊂标准状态下,1c m3的气体中含有2.7ˑ1019个分子,相邻分子间距约为3.2ˑ10-7c m㊂而1c m3的水约含3.3ˑ1022个分子,相邻分子间距约为3.1ˑ10-8c m㊂一般而言,两个中性分子间距d接近10-7c m时,分子间仅有互吸力,其大小与d7成反比㊂当两分子靠近到电子云开始重叠时,就出现互斥力,其大小与d n(n>7,可高达n=13)成反比㊂当两分子间距d=d0ʈ(3~4)ˑ10-8c m时,互吸力与互斥力平衡,总效应为零㊂气体分子间距约为液体分子间距的10倍,因而液体分子互吸力是气体分子互吸力的107倍㊂气体分子间的相互作用弱,分子热运动的动能足以克服分子间的相2互吸引,因而气体分子可以自由运动,分子排列是完全无序的㊂气体分子热运动速度大,平均自由程比分子直径大千倍㊂这些就是气体的体积和形状都很容易改变的根本原因㊂在固体中,一般而言,分子排列是有序的,固定的,每个分子只在其平衡位置附近振动,因而固体的体积和形状都不容易改变㊂液体体积不易改变,形状却容易改变,介乎固体与气体之间㊂有人据此推断液体分子间距也介乎固体与气体之间,这是一种误解㊂实际上,液体分子间距与固体分子间距是同一数量级的,为(3~4)ˑ10-8c m,液体也和固体一样,其体积不易改变㊂液体的形状容易改变的根本原因在于其分子排列是部分有序的,分子群具有很大的活动性,在一定条件下,分子群可以相对地自由移动㊂液体内部还存在空穴,其分子可以向空穴移动㊂以上我们简略地㊁极不完全地描绘了气体与液体的分子图像,一则借以认识一下我们的研究对象 流体的本来面目;二则在介绍流体的物理力学性质时,可以此作为解释其微观根源的基础㊂尽管流体本身存在分子结构㊁分子运动和分子作用力,在流体力学中还是把流体看作连续介质㊂首先,我们把流体物质看作是连续分布的,亦即连续地占满它所占有的全部空间,不留任何空隙㊂其次,表征流体性质㊁描述流体运动的各个物理量如速度㊁压强㊁密度等在流动空间的每一点都具有确定的㊁有限的数值,而且在一般情况下也是连续分布㊁连续变化的㊂这就是说,它们都可以表示为空间点坐标与时间的连续函数㊂以后可以看到,这一点也是由流体的微观特性予以保证的㊂最后,连续介质是从宏观运动的观点出发而提出的理论模型,在此基础上建立起来的流体力学是一种宏观科学㊂一方面,在流体力学中不考虑流体内部的微观结构和微观运动;另一方面,对于流体的微观运动,有关连续介质的概念和定律都不适用㊂然而,微观和宏观这两种运动是相互关联的㊂大量微观粒子的随机运动会显示为具有一定规律的宏观效应,而宏观运动的各种性质又可以认为是大量微观粒子运动性质的统计平均的结果㊂比如,在边长为0.001c m的小立方体内,就含有2.7ˑ1010个气体分子,这些分子在10-6s内相互碰撞1014次㊂大量气体分子的频繁撞击,宏观上就形成气体各部分之间以及气体与器壁之间的压力㊂由于大量气体分子频繁撞击器壁,单位时间内器壁的单位面积上所受到的平均冲量(即分子动量变化的统计平均值)就表现为气体对器壁的压强㊂在流体力学中,对气体分子碰撞过程本身并不追究,而只考虑它们的宏观效应 气体压强㊂把连续介质作为研究流体的模型,是欧拉(L.E u l e r)于1753年确立的,因而一般称为欧拉连续介质模型㊂当然这只是一种理论的抽象㊂然而按照流体力学研究流体的宏观机械运动的要求,这种理论抽象既是必然的又是合理的㊂一则通常所考虑的空间范围或空间尺度比流体分子间距大很多;二则研究流体机械运动的目的就在于确定宏观的大量分子的平均力学特性㊂在前述实例中,对流体机械运动而言,气体压强是必不可少的研究课题,而形成气体压强的微观根源 气体分子的相互碰撞则无直接的意义㊂在流体力学中,引进这种连续介质模型不仅可使研究工作大为简化,而且以连续函数为基础的数学分析这一强有力的工具得以应用㊂两个世纪以来,在连续介质模型的基础上所建立起来的流体力学理论已为大量的实验结果所证实,这就更加有力地说明了这种模型的合理性㊂任何理论模型都不是完美无缺的,都不能绝对化㊂连续介质模型也是这样㊂当流动的特征长度小到可以和分子尺度相比拟(如微粒在液体中的布朗(B r o w n)运动)时或当流体分子运动的平均自由程大到可以和运动物体的尺度相比拟(如极稀薄气体中一般物体的运动)时,对于这些情况下的流体运动,连续介质模型都不适用㊂3由连续介质模型出发,还可引进流体质点作为流体力学研究的基本单元㊂所谓流体质点乃是组成流体的微小物质单元㊂宏观地看,流体质点是很小的,其大小完全可以忽略不计,其空间范围可看作一个没有大小的几何点,物理量在其上的变化也觉察不到;微观地看,流体质点又是很大很大的,它包含大量分子,使得统计平均方法和连续介质模型可以使用㊂简而言之,流体质点就是一个 宏观小㊁微观大 的流体单元㊂前面说过,按照连续介质模型,表征流体性质㊁描述流体运动的各个物理量在流动空间的每一点处具有确定的值㊂现在以流体密度为例,来研究这个 一点处的值 的明确含义㊂在流动空间内围绕一点P取流体团,其体积为ΔV,质量为Δm,则P点处流体密度ρ的理论定义式应为ρ=l i mΔVң0ΔmΔV(1-1)实际上,流体质量是集中分布在各个分子,且主要是集中于各个原子核上,分子间的空隙处则无质量可言,况且分子本身又在永不停息地㊁不规则地运动㊂当ΔV向零无限逼近直到其尺度接近于微观尺度(10-8c m)时,ΔV内分子数非常有限;ΔV的进一步缩小将引起其中的分子数起伏不定,比值Δm/ΔV也就随之起伏而得不出确定值㊂因而,按照连续介质的要求,必须重新考虑上述极限过程㊂设想围绕P点取一尺度为10-3c m的流体微元,其体积δV*约为10-9c m3,这样的微元体积内仍含有大量的流体分子(如为常温常压下的气体,则有2.7ˑ1010个分子,如为液体,则分子数更多),当ΔV以δV*为极限朝着它无限逼近时,微观结构中质量分布极不均匀的情形将不显现,就大多数分子平均而得出的比值Δm/ΔV则不受分子数涨落的影响,而趋近于一个确定的局部值㊂对于宏观运动而言,体积为10-9c m3的流体微元实际上可以看成一个无所谓大小的几何点㊂由此极限过程所得出的比值Δm/ΔV,应能准确地反映出宏观质量在空间各点处的不同分布状况㊂由此可见,空间一点处流体密度的实际定义式应为ρ=l i mΔVңδV*ΔmΔV(1-2)换言之,在式(1-1)取极限的过程中,ΔV无限减小,并不是真正地趋向于数学上的零㊂而是如式(1-2)所示趋向于δV*,也可以说,趋向于物理上的零,后面推导中,将采用物理上的 零 值㊂而δV*实际上可视作流体质点的体积,如前所述,它应是 宏观小,微观大 的㊂按照上述取体积极限的过程,得出各空间点处流体密度的局部值,就可以把流体密度表示为空间点坐标的连续函数,即ρ=ρ(x,y,z)(1-3)类似地考虑连续介质中流体质点的其他物理量,也可以得到空间点坐标的相应的连续函数㊂后面的章节,我们不仅要考虑物理量在各空间点处的局部值,而且要涉及它们的瞬时值㊂这里所说的瞬时,也就是进行统计平均所需要的时间,必须是宏观充分短㊁微观充分长的㊂1.2作用于流体的力流体的力学性质实际上也就是流体在力的作用下有什么样的性态或响应㊂故在讨论力学性质之前,先对作用于流体的力进行一般分析㊂流体作用力按其来源及表现形式的不同,4可分为质量力和表面力㊂质量力起源于外力场对流体的作用,例如最常见的重力就是地球引力场引起的㊂场源不必与流体直接接触,质量力就能显现其作用,并且是作用于每个流体质点上㊂因此,质量力又称为远程力或超距力㊂电磁场对于带电流体所作用的电磁力也是一种质量力,它在电磁流体力学中起重要作用,但本课程不涉及这种力㊂一般来说,质量力可以与空间点坐标建立起一一对应的关系,或者说,质量力也可以表示为空间点坐标与时间的函数㊂定义f =f (x ,y ,z ,t )为t 时刻作用在空间某点P (x ,y ,z )处单位质量流体的质量力,即f =l i m ΔV ң0ΔF ρΔV (1-4)式中,ρ为流体密度;ΔV 为P 点处流体微团的体积;ΔF 为作用于该微团的质量力㊂一般情况下,本课程所涉及的质量力并不随时间而变化㊂且因质量力的大小随场源与作用对象之间距离的增加而缓慢地减小(与距离的平方成反比),对于小范围的流体,作用于流体团的总质量力可以近似地认为正比于流体团的质量,其作用点就是流体团的质心㊂按达朗贝尔(d A l e m b e r t )原理处理动力学问题时,或在非惯性(加速或旋转)参照系中观察㊁描述运动时,都会出现惯性力㊂例如在作加速运动的水车内,在质量为m ㊁加速度为a的流体元上,加一反向的惯性力-m a ,则可将动力学问题化为平衡问题来处理㊂又如由于地球自转,在刚连于地球的旋转坐标系中观察㊁描述运动,不仅会出现离心惯性力而且会出现科里奥利力㊂惯性力也作用于每一个流体质点上,且其大小也与质量成正比,因而也是一种质量力㊂表面力(或界面力)起源于流体分子运动与分子相互作用(互吸或互斥)㊂分子作用力的大小随着分子间距离的增加而急剧地减小(与距离的7次方到13次方成反比),仅当相互作用的两部分流体分子间的距离与分子间距(10-7c m 或10-8c m )同数量级时,才显现其作用㊂图1-1 作用于流体的表面力换句话说,表面力的作用范围只限于靠近作用面的薄层之内,因此,又称其为近程力或接触力㊂宏观上认为表面力作用于两部分流体的接触面上,而且,只要所考虑的作用面比分子作用力的影响范围大得多时,其上的总表面力的大小就取决于作用面积的大小,在此意义上,表面力又可称为面积力㊂在运动着的流体内部,我们想像用一个方位任意的平面B A C 把流体切断㊂先考虑B AC 面左侧流体Ⅰ对右侧流体Ⅱ的作用力,一般而言,这些力是连续地而且不均匀地分布于面上(图1-1)㊂围绕A 点取微分面积ΔS ,其方位用外法线方向单位矢n 表示,ΔS 上作用有表面力ΔΣ,一般情况下,ΔΣ与ΔS 斜交,则用以描述该处表面力强度的应力矢量σ应定义为σ=l i mΔS ң0ΔΣΔS (1-5)一般情况下,应力矢量σ应为所在点坐标(x ,y ,z )(或矢径r )与时间t 的函数,而且与作用面的方位(n )有关,即5σ=σ(r,n,t)(1-6)转而考虑同一点A处B A C面右侧流体Ⅱ对左侧流体Ⅰ的反作用力,则其作用面的方位和作用力的方向均与上述相反,为-n和-ΔΣ,因此可得σ(-n)=-σ(n)(1-7)亦即应力矢量σ是作用面方位矢n的奇函数㊂表面力一般可分解为垂直于作用面的正向力或称法向力(如拉力或压力)与平行于作用面的切向力㊂实际上气体根本不能承受拉力,液体在很特殊的情况下可承受微弱的拉力,一般地认为液体也只能承受压力㊂流体力学课程中,沿袭材料力学的符号规定:拉力为正,压力为负㊂1.3流体的流动性与黏性液体和气体具有一个共同的最基本的特性就是流动性㊂正是由于这一特性,才能将二者统一于流体这一概念之内而与固体区别开来㊂从力学的角度来看,流动性是指:流体受到不管多么小的切应力作用都会发生连续变形的特性㊂图1-2中,左侧为一固体块,受到一切应力作用后,发生一定大小的剪切变形后即趋于平衡(静止)㊂右侧为流体,处于相距很近㊁很大的两平行板之间,固定下板,拖曳上板,使之匀速平移,即有切应力作用于流体面上,而后流体发生连续变形(流动),切应力不去,变形不止㊂俗话说: 水向低处流 ,实际上也就是与倾斜水面相切的重力分力作用的结果㊂液体和气体在切应力作用下不能保持平衡,这是它们与固体根本不同之处㊂图1-2作用于固体与流体的切应力τ(a)固体;(b)流体流体变形一经发生,其内部就会出现抵抗㊂抵抗力的大小,不仅与变形大小,而且与变形的快慢有关㊂流体对于外加切力或剪切变形表现出抵抗的性质,就是黏性㊂这种抵抗与变形之间的关系可通过最简单的二维剪切流动进行分析㊂设有水平设置的两块平行平板,其间充满某种流体㊂上板由于外力拖曳而在其自身平面内作等速运动,速度为U,下板保持静止㊂实验表明,两板间的流体将被带动作水平运动㊂当流体黏性很强㊁两板相距很近㊁上板速度不大且板间流体作层状运动时,流体中的速度分布如图1-3所示㊂在本书第4章将会看到,图1-3(a)的直线分布和图1-3(b)的曲线分布分别相应于沿流向无压强降落和有压强降落这两种不同情况㊂下面对上述流速分布的形成作进一步分析㊂由于流体和与之接触的固体之间存在分子相互作用,流体就附着在固体表面上,紧贴平板的流体质点因而与平板取同一速度,即上板6图1-3平行平板间的黏性流动面流体质点的速度为U而下板面流体质点的速度则为零,这就是所谓固体壁面上流体的无滑动条件或黏附条件㊂关于流体和与之接触的固体壁之间究竟有无相对滑动,是长时间存在争议的问题,直到19世纪与20世纪之交才有定论㊂对于液体,通过近代观察分析,无滑动条件完全符合实际㊂对于气体,只有在气体分子平均自由程很大,雷诺数(R e y n o l d sn u m b e r)很低而马赫数(M a c hn u m b e r)(当地流速与声速之比)很高的情况下,紧贴固体壁面的气体质点才有显著的相对滑移㊂本课程在处理实际流体的流动时,一律采用无滑动条件㊂由流速分布图(图1-3)可以看出相邻两层流体之间存在相互作用㊂一方面,运动快的上层流体对下层流体作用着顺流向的切力(拖曳力),从而带动下层流体,传递切向运动,保证运动的连续性㊂另一方面,运动慢的下层流体对上层流体作用着反流向的切力,从而阻滞上层流体,传递阻力,减缓流动,也保证运动的连续性㊂黏性的这种传递运动与阻滞运动的双重作用,正是通过相邻两流体层在分界面上彼此作用着大小相等㊁方向相反而作用对象不同的一对切力即内摩擦力实现的㊂可以定量地表示切力与变形或流动之间的关系,比较简单的就是牛顿(I.N e w t o n)提出的,通常称之为牛顿内摩擦定律:τ=μd u d y=ρνd u d y(1-8)式中,u表示坐标为y处的流体质点的速度,其方向平行于x轴;d u/d y则为速度的横向变化率,长度单位为m,速度单位为m/s;τ为切应力,即单位面积上的切力,其方向与作用面相切,单位为N/m2㊂正由于流体速度沿横向有变化,原来为矩形的流体团,经时间d t后,变为平行四边形,其铅直边转角为dα㊂从几何关系可以方便地证明d u d y=dαd t,前者为单位时间的切应变即切应变率,后者为单位时间的角变形即角变形率㊂式(1-8)表明,切应力与切应变率成正比,比例系数μ为与流体变形无关的常数,称为动力黏度,或称动力黏性系数,其量7纲为M L -1T -1㊂ν=μρ,称为运动黏度,或称运动黏性系数,其量纲为L 2T -1,单位为m 2/s ㊂流体动力黏度μ的数值,随流体的种类及温度而异㊂对于气体,μ随温度上升而增大;对于液体,μ随温度上升而减小㊂产生这种差别的原因在于气体黏性主要源于气体的分子运动㊁相互碰撞而引起的动量交换㊂温度越高,分子热运动越剧烈,动量交换越厉害,黏性就越强㊂而液体黏性主要由于液体分子的相互吸引,温度越高,分子热运动的平均动能越大,分子摆脱互相吸引的能力越强,从而 流动性 增强,黏性减弱㊂图1-4 牛顿流体与非牛顿流体凡切应力与切应变率之间的关系满足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体㊂切应力与切应变率不成正比或者说在二者之间具有变比例系数的流体称为非牛顿流体(图1-4)㊂在此情况下,比例系数可能与承受切力的时间长短及切力的大小有关㊂还有一些物体,突出的如一些塑性体,存在某一屈服应力,当实际产生的切应力低于屈服应力时,该物体将不会发生连续变形,其性态类似于固体㊂当实际产生的切应力高于屈服应力时,则在切应力作用下发生连续变形,如果切应力和切应变率成正比地同时增长,则为理想的宾厄姆(B i n g h a m )塑性体㊂可见,塑性体既不是固体,也不是流体,而是处于二者之间的一种过渡状态㊂在水利工程中,含沙量极高的挟沙水流㊁河口浮泥㊁管道排泥㊁泥石流等都不是牛顿流体㊂一般的胶体㊁润滑剂㊁聚合物溶液以及各种膏类也不是牛顿流体,它们或为非牛顿流体或为塑性体㊂高浓度的泥石流近似于宾厄姆塑性体㊂本书仅限于研究牛顿流体,非牛顿流体和塑性体则在非牛顿流体力学及流变学中研究㊂1.4 流体压缩性流动性与黏性是流体承受切应力作用时所表现的特性㊂当流体承受压力作用时,便产生体积压缩变形,其内部出现压应力,以抵抗压缩变形㊂流体的这种特性称为压缩性㊂除去压力后,流体体积会恢复原状,这就是流体的弹性㊂流体的压缩性及弹性的大小可分别用体积压缩率β及体积模量E V 表示㊂它们由下式定义:β=-δV V δp =δρρδp =1E V (1-9)式中,δp 为作用于流体的压强(压应力的大小)增加量;V 及ρ分别为增压前流体的体积和密度;δV 及δρ分别为增压后流体的体积改变与密度改变㊂负号表示体积V 随压强p 的增加而减小㊂液体的β值很小,E V 很大,表示其压缩性小,而对压缩变形的抵抗很强;气体的β很大,E V 很小,表明其压缩性很大,而对压缩变形的抵抗很弱㊂正常气压和温度下水的E V =2.10ˑ109N /m 2,而等温过程中大气的E V =1.05ˑ105N /m 2,两相比较,大气压缩性约为水的两万倍㊂液体在一般情况下,可忽略其压缩性而视为不可压缩流体㊂但在特殊情况如水击问题中,在极短促的时间内,压力变化非常剧烈,则需考虑其8压缩性㊂气体一般应视为可压缩的,但在低速运动时,其压力变化小而慢,因而所引起的密度变化很小,也可忽略其压缩性㊂例如常温下的空气,当流速大约不超过50m /s 时,如果1%的体积变化认为可以忽略的话,就可以看作是不可压缩的㊂今后为了研究方便,按照考虑还是略去压缩性,而将流体划分为可压缩流体与不可压缩流体㊂显然,不可压缩流体也是一种理论模型,它的体积压缩系数βң0,而体积弹性模量E V ңɕ㊂如果流体物质的质量分布均匀,则为均质流体,否则就是非均质流体㊂均质不可压缩流体的密度ρ为常量,而非均质不可压缩流体(如含沙量不均匀的挟沙水流,含盐量不均匀的海水)的密度ρ则有一定的空间分布㊂本书以不可压缩流体为主,但也要论及可压缩流体㊂在后一种情况下,不仅要考虑密度ρ随压强p 而变化,而且涉及温度T 对ρ的影响㊂这就不可避免地遇到热力学概念与热力学方程,它们在一般的热力学及分子物理学书中有介绍,这里不加赘述㊂流体的ρ㊁p ㊁T 之间的函数关系式叫做流体状态方程,一般可表示为f (ρ,p ,T )=0(1-10) 对于不同的流体,有不同的具体表达式㊂完全气体的状态方程为p =ρR T (1-11)式中,p 为气体绝对压强;T 为气体绝对温度;R 为气体常数,空气的气体常数R =287J /(k g ㊃k )㊂常温常压下的实际气体近似地符合完全气体状态方程㊂从热力学观点来看,上述两式中的ρ㊁p ㊁T 也是热力学状态参量,流体状态方程是针对热力学平衡态建立的,因此,流体压强p 又叫做热力学压强㊂1.5 描述流体运动的两种方法如何描述流体运动是一个运动学的问题㊂可以采用两种方法:一种是给出每一个流体质点的物理量随时间的变化;另一种则是给出每一瞬时占据流动范围内每一空间点处的流体质点的物理量,而不管这些质点是从哪里来的,以及将要到哪里去㊂这两种方法都是瑞士数学家欧拉在约两百年前提出来的㊂二十余年后,法国数学家拉格朗日(J .L .L a g r a n g e )对它们作了改进㊂习惯上称前一种为拉格朗日法,而称后一种为欧拉法㊂将理论力学中曾经详细研究过的质点系力学的方法与流体运动的特点相结合,就形成了拉格朗日法,简称拉氏法㊂质点系的运动方程为r i =r i (t ), i =1,2, ,n (1-12)式中下标i 用以区别不同质点㊂运动着的流体系统有无穷多个流体质点,各流体质点彼此紧挨,相对滑移,联系密切㊂用标注下标的办法区分流体质点,并不方便㊂于是改用起始时刻t 0时流体质点的起始坐标(ξ,ζ,η)或位矢r 0来区分流体质点㊂表示流体质点位置随时间变化的运动方程则为r =r (r 0,t )(1-13)或x =x (ξ,ζ,η,t )y =y (ξ,ζ,η,t )z =z (ξ,ζ,η,t üþýïïï)(1-13a )。
空气动力学(4学时)
流动状态
(a) 流体成层状流动，称为层流状态。 (b) 流动呈高度非定常状态，非常紊乱，称为紊流态或湍流态。 雷诺发现，出现湍流状态的条件取决于组合量 Re= ρ U d/ μ， 式中ρ 为流体密度，U为管内平均流速，d为圆管直径，μ为流体的粘性系数。
雷诺数小，意味着流体流动时各质点间的粘性力占主要地位，流体各质点平行于管路内壁 有规则地流动，呈层流流动状态。雷诺数大，意味着惯性力占主要地位，流体呈紊流流动 状态，一般管道雷诺数Re＜2000为层流状态，Re＞4000为紊流状态，Re＝2000～4000 为过渡状态
;加速度
dV ∂V ds ∂V dV as = = = V =V dt ∂s dt ∂s ds
伯努利方程的推导过程（1）
应用线性动力的牛顿第二定律 质量 流体的重力
dV PdA−(P+dP)dA−Wsinθ = mV m = ρV = ρ dAds ds
W = mg = ρ gdA
代入，联立得
sin θ =dz/ds dz dV -dpdA - ρ gdAds = ρ dAdsV ds ds
对流层顶高度为11km或36089ft， 对流层内标准温度递减率为，每增 加1000m温度递减6.5°C，或每增 加1000ft温度递减2°C。从11km到 20km之间的平流层底部气体温度 为常值。
●国际标准大气表
大气环境介绍——高度的表示
绝对高度（True Altitude） 相对海平面高度 真实高度（Absolute Altitude）相对地面的高度 压力高度（Pressure Altitude）相对标准气压平面的高度
空气动力学
1.空气的物理性质、状态参数和状态方程 2.音速、马赫数、流管、流线的概念 3.低速流体流动的基本规律 4.高速流体流动的基本规律 5.低速和高速流体流动的区别
力学讲义第六章连续介质力学
第六章 连续介质力学连续介质模型：物质（气,液,固）连续地分布在它们所占有的区域内连续介质质元: 宏观小, 微观大物质讨论宏观力: 包括外力以及外力作用下形变or 运动引起内部的弹性恢复力 讨论内力的一般方法：假想将其切开,切下部分的作用由内力代表；由平衡条件求力.例: (不计重力)连续介质是比质点、刚体更普遍的经典力学模型，应用也最普遍。
物理状态量在连续介质模型下成为点函数. 不计微观内力 §6.1 应力和应变6.1.1 应力固体为例截面π , 方位 n ; P 处邻域 ∆S 上 张力∆TP 处应力σ = lim ∆∆ TS = d T /dS =σ(P, n ) =σt +σn正应力(法向应力, 张力) σn 单位：P a (压强)(>0为拉应力 ; <0为压应力) 剪应力 (or 切应力) σt应力状态：对同一点P 处，方位不同的截面上应力σ不同。
函数关系σ=σP ( n)叫P 处的应力状态. 由平衡方程可以证明，互相垂直的三个截面上的6个应力(正，切应力)就可以完全决定一点处的应力状态 (由此6个应力可以计算出该处任意方位截面上的应力)应力主面: 该面上只有正应力, 称为主应力. 一点处必有三个互相垂直的应力主面6.1.2 应变固体有两种基本的应变形式：线(拉,压)应变 ;剪应变1. 线应变 ε均匀形变 : 长度l , 总形变∆l (截面法向x ) 则 εx = ∆l / l形变不均匀:一点处位移uAB 段形变=∆u x =u x (x+∆x) -u x (x)=∂∂u xx∆x A 处x 方向线应变εx = lim (∆u x /∆x) = ∂u x / ∂x类似: y 方向线应变 εz =∂u y / ∂y z 方向线应变 εz =∂u z / ∂z 一般情况下应变也是点函数, 不均匀形变时各处应变也不相同.应变是位移的空间变化率(位移的偏导数)2. 剪应变以xy 平面为例, 矩形 → 菱形定义：A 点剪应变（xy 平面上，小变形）为 εt = lim （δ1+δ2）= ∂u x /∂x + ∂u y /∂y δ1 ≈tan δ1=B’B’’/A’B’’=[u y (x+∆x) -u y (x)]/∆x → ∂u y /∂x 类似, 当 ∆x →0 , ∆y →0时 , δ2 → ∂u x /∂y3. 体应变均匀形变时, 体应变 εV = 体积增量/体积 =∆V / V不均匀形变时, 讨论一点处体应变一点附近小长方体(∆x,∆y,∆z) 小形变后为[(1+εx )∆x ,(1+εy )∆y, (1+εz )∆z] V=∆x ∆y ∆z ∆V ≈(εx +εy +εz )∆x ∆y ∆z 小变形 εV =εx +εy +εz 剪应变引起的体应变为高阶小量.自然状态无内力内力与外力平衡F F 内∆S →0 ∆x →0∆x →0∆y →0 y+∆侧平面)∆ll x∆x)6.1.3 胡克定律——应力和应变的关系 1678年胡克提出单向拉伸时 ε ∝ σ , 后来推广到三维 (实验定律) 1. 单一正应力引起的线应变 σx 引起 纵向线应变 εx = σx /Y 横向线应变εy =εz = -μεx = -μσx /Y Y —杨氏模量(压强量纲)μ ——泊松比(无量纲) 0≤ μ ≤ 0.5 σy , σz 的贡献类似 2. 总线应变与正应力的关系——广义胡克定律(在一定的形变范围内—比例极限) εx =1Y [σx -μ(σy +σz )] εy =1Y [σy -μ(σx +σz )] εz =1Y [σz -μ(σx +σy )] 3. 体应变与正应力εV =εx +εy +εz =(1-2μ)(εx +εy +εz )/Y ≡ σ0/K σ0≡(σx +σy +σz )/3 K=Y/[3(1-2μ)] K —体弹性模量 由4. 剪应变与剪应力εt =σt /G G —剪切弹性模量5. 各向同性固体只有两个独立的弹性模量, Y 、G 、K 、μ中只有两个独立K= Y / [3(1-2μ)] G=Y /2(1+μ) < Y一般 μ ≈ 0.35 G 、K 、Y 的量级为1010 —1011 P a , 差别不太大部分材料的弹性模量材料 铝 铜 金 电解铁 铅 铂 银 熔融石英 聚苯乙烯 K 7.8 16.1 16.9 16.7 3.6 14.2 10.4 3.7 0.41 G 2.5 4.6 2.85 8.2 0.54 6.4 2.7 3.12 0.133 Y 6.8 12.6 8.1 21 1.51 16.8 7.5 7.3 0.36 μ 0.355 0.37 0.42 0.29 0.43 0.30 0.38 0.17 0.353 说明： K 、G 、Y 的单位 为1010P a补充题4. 矩形截面杆在轴向拉应力σz =2.0⨯105 P a作用下变形,已知Y=19.6⨯1010 P a , μ=0.3 .求：εV 补充题5. 矩形悬臂梁的一端有作用力P.已知l =2 m, h=20cm,梁宽b=5 cm ,P=1000kg 力, 求梁内最大正应力§6.2 固体拉伸.弯曲.扭转讨论三种情况下的应力状态，计算应力与应变 6.2.1等截面直杆的拉压 圆形截面直杆；两端均匀压强p (拉>0；压<0)横截面 σz =p σt =0 应力状态: 与z 轴互垂两面上 σR =σφ=0 ——单向应力状态 ∴ σz =p= Y εz = Y ∆l / l 均匀形变 弹性形变势能: E P = ⎰ F 外du = ⎰0∆lSY u ldu=YS ∆l 2 / 2l u 为z 方向位移, S 为横截面积(近似不变) 弹性形变势能密度 e P =E P /V=12Y εz 2 =12σz εz (也适于不均匀形变) 说明：其他均匀截面直杆σR ≈0 σφ≈0 可以近似按圆杆处理6.2.2 矩形梁纯弯曲矩形梁(高h,宽b) 力偶矩M纵向画线弯曲:上短—压; 中不变—中性面; 下长—拉横截面上 σx , σt =0应力状态: σy =σz =0——单向应力状态M ⇒ 应力σx , 形变θ0P 处：εx= lim (PP’-oo’)/oo’= lim[(ρ+y)∆θ-ρ ∆θ]/ρ ∆θ=y/ρ σx =Y εx =Yy / ρ ∝ y 下面求ρ 横截面上：∑F =0 (∴中性面正在中点)∆θ→0 ∆θ→0 p z φM 内= ⎰y σx dS = Y ⎰ y 2 dS /ρ ≡YρI z =(应该)= M ——柏努力. 欧勒定律∴ Y/ρ = M/I z σx =M I z y σx max =M I z 2h ρ=YI z /M θ0 = l /ρ(θ0 为转角,代表形变；l 为中性面的长度) 定义对z 轴惯性矩 I z ≡ ⎰y 2 dS 对矩形截面 I z =2b ⎰02h /y 2dy =112bh 3 为节约材料：h ↑ , b ↓ ; 减少中性层还有鸟骨、麦杆…说明：(1)其他形状截面的梁在力偶矩作用下弯曲时,σy ≠ 0 σz ≠0, 非单向应力状态，但σy ≈0 σz ≈0 ,与单向应力状态偏差不大，可以近似按单向应力状态计算(2)非力偶矩作用时,一般可以忽略剪应力，近似按纯弯曲处理：(不计重力) 悬臂梁M 内=M(x)=P(l -x)简支梁 x ∈(0,l /2) M 内=M(x)= P x/2仍有: σx (x)=M(x) y/I z ρ(x) =YI z / M(x) 注意:σx (x),ρ(x),M(x)不再是常数 (3)仍有：e P =12Y εz 2 =12σz εz6.2.3 圆柱扭转表面画上圆周和母线圆周线不变, 横截面保持平面——横截面上 σtR =0应力状态: 横截面上 σt =σt φ σz =0 (只有M) σR =σφ=0 横截面上形变：圆周处εt (R)=R φ /h r 处εt (r)=r φ /h ∴ σt (r)=Gr φ /h ∝ r下面求φ M 内= ⎰ σt r dS = ⎰0R σt r 2πrdr=12h πGR 4φ ≡D φ =(应该)=M ∴G φ/h=2M/(πR 4) σt (r)= G φr/h M=D φ ∴ σt (r)=24M R πr σt max (r)=2M /πR 3 φ=M/D 扭转弹性系数 D=πGR 4/2h (悬丝扭矩 M=D φ D ∝ R 4/h ) 扭转弹性势能E P = ⎰0φM d φ=D φ2 /2 可证e P =12G εt 2 =12σt εt6.2.4 允许应力.强度计算1. 只有正应力or 剪应力材料极限应力(正or 剪)σj , 许可应力[σ]=σj /K 安全系数=1.4—3.0 — 14材料 屈服极限σs 强度极限σb 许可应力 [σ] (kg/cm 2)A 3 2200—2400 3800—4700 1700 16Mn 2900—3500 4800—5200 2300 300#水泥 拉21,压210 拉6,压105 红松(顺纹) 拉981,压328 拉65, 压100 注：A 3—普通低碳钢 16 Mn —低合金钢 常温、静态、一般工作条件材料中最大应力(正or 剪) 应满足 σmax ≤ [σ] 2. 复杂应力情况——按相应的强度理论计算§6.3 流体静力学——流体力平衡下内应力的分布 流体：液,气; 具流动性; 主要讨论液体； 设: 连续、均匀6.3.1 静止流体内应力δσt1. 一点处应力状态σt≡0 只有正应力σ , 且正应力大小与截面无关σ( n)≡σ证: 因为可流动流体静摩擦力=0 ∴σt≡0如图四面体受力平衡设S面上正应力为σ ,x向Sσ⋅x -σx S x=0σ=σ n S=S n S x=S ⋅ x∴σx S x=Sσ⋅x =σS⋅x= σS xσx=σ类似σy=σ=σzx,y,z任选, ∴任意截面上的正应力的大小皆为σ由四面体受力平衡, 从三个坐标平面的应力⇒任意截面S上的应力. 注意：忽略了体积力2. 流体内压强定义：流体内压强为P= -σ(流体中一般没有拉应力,∴σ<0 P>0)说明：(1)压强为标量,严格定义P= -σ0 = (σx+σy+σz) /3(2) 由一点处应力状态, σ与方位无关∴P与方位无关(3) 从证明知,关键σt=0 . 所以对理想流体（无内摩擦）在流动(包括加速流动)时结论也对(4)对粘滞性流体流动时有剪应力，各截面σ不相同.但若σt较小可以忽略，各截面正应力近似相等为σ , P ≈-σ(5) 流体中负压强(拉应力).特定条件（稳定，缓慢过程）下，流体中可出现负压. 水的负压可以达到300atm6.3.2 静止流体平衡方程——临近点处压强关系取小段柱状流体f—单位质量．．上的体积外力x向: [P(x) - P(x+∆x)] ∆S + ρ∆S ∆x f x =0∴∂P /∂x = ρf x类似: ∂P /∂y = ρf y ∂P /∂z = ρf z合起来:∇P = (∂P/∂x) x +(∂P/∂y) y +(∂P/∂z) z = ρf 6.3.3 重力场中静流体1. 流体中压强随高度分布小范围g为常矢量f = (∆m g) /∆m =g = g y ∂P/∂x =∂P/∂z = 0 ⇒P与x,z无关, 在同一高度上P相等∂P/∂y = ρg若ρ为常数(液体or高度差不大的气体)积分得:P(y)=P0+ρgy P0=P(0)不同密度液体(鸡尾酒)的稳定分界面为水平面2. 帕斯卡定律定律：加在密闭液体中的压强等值地传到液体中各处以及壁上.解释: 设压强加在o处,使P0等值地改变，但ρgy 保持不变，所以P(y)随P0同样增加.3. 阿基米德定律定律：浸在流体中物体所受浮力等于物体排开的流体的重量证明：设物体外表面为S .流体对物体作用通过压强体现.∴浮力=⎰-Pd S保持S不变，则浮力不变. 将物体换成流体，该流体应处于平衡，即外界对S的压力之和等于流体重量:⎰-Pd S +m g =0∴浮力= -m g 浮力作用点即该流体重心(一般情况下不是物体的重心)附: 等温理想气体压强随高度的分布已知其密度ρ=cP (c为常数)解: dP/dy = -ρg = -cgP ⎰PPdPP= ⎰y-cg dy 得：P(y)=P0e-cgy又例: 以ω匀速转动的水平试管,内部充满流体. 以试管为参考系, 则惯性离心力为体积力,产生径向压强差.§6.4 流体的定常流动6.4.1 描述流体运动的两种方法1. 两种方法拉格郎日法: 认准各个质元,分别描述其运动状态(r i,v i,a i)及其变化规律r i,v i,a i只是t的函数, v=d r/dt , a=d v/dt ; 应用牛顿定律必须用拉格郎日法. 困难：如何认准？如何跟踪？描述不便欧拉法: 讨论流体场(流体性质场)的场分布∆x)主要是流速场v=v(r,t) . 还有a=a(r,t)P=P(r,t) 压强场……2. 欧拉法中质元的加速度质元加速度a = d v/dt (速度全导数or实质导数)是对一个确定质元速度v(即拉格郎日法中的速度v)的导数.流速场v(r,t)在地点不变下对t的偏导数∂v/∂t ≠a (流速场中同一地点不同时刻的v是不同质点的速度)认准m i :a=d v(x,y,z,t)/dt=∂v/∂t+[∂∂vxdx +∂∂vydy+∂∂vzdz]/dt=∂∂vt+v x∂∂vx+v y∂∂vy+v z∂∂vz=∂∂vt+ v ⋅∇v3. 流体流动的图象表示拉格郎日法: 流体质元的实际运动轨迹——迹线流管——流线围成的细管;流束——流管中流体6.4.2定常流动: v与t无关，v=v(r) ;不定常流动: v与t有关定常流动特点：∂v/∂t =0 a = v⋅∇v≠ 0流线不变,与迹线重和∴迹线也不变P,ρ与t无关是否为定常流与参考系有关设迹线如图. V1,2,3为t1,2,3时刻同一质点的速度.若v与t无关，则v也是速度场中1,2,3点的速度,迹线也是流线. 迹线不变则场中质元数不变，∴ρ不变圆柱在理想流体在匀速直线运动. 在静系中流体为非定常流动，在圆柱参考系中为定常流动§6.6 粘滞流体的流体长时间、长距离、相对速度很大时,粘滞性不可忽略主要讨论层流. 层流：流体分层流动，彼此不混淆流体粘滞性的体现：固、液相对运动时出现摩擦力;液体内部流速不同，各层之间出现摩擦力6.6.1流体的粘滞性板A匀速直线运动引起层流,各层之间粘滞力fz层假想剖面∆S, 两侧粘滞力∆f牛顿摩擦定律:(实验定律) ∆f ∝ (dv/dz) ∆S 即∆f = ηdvdz∆Sdv/dz : z方向速度(空间)变化率(速度梯度)η: 粘滞系数(黏度)温度T↑⇒η↓ (液体) η↑(气体)(f本质: 液体主要来自层之间分子力；气体是通过该层交换宏观定向动量)[η]=ML-1T -1SI(MKS)制为Pa ⋅s CGS制为“泊”1泊=0.1 Pa⋅s η/ρ——运动黏度(比黏度)满足牛顿摩擦定律的流体——牛顿流体(否则叫非牛顿流体—少数如血液)6.6.2 粘滞流体的运动规律1. 动力学方程(介绍) 纳维—斯托克斯方程(Nevier,M. , Stokes,G.G.)-∇P+ρf+η∇2 v = ρ (d v/dt)2. 修改后的伯努力方程定常流动，不可压缩，沿流管(有粘滞性) 由功能原理dW粘1→2 +(P1-P2)dV = dE= (dm v22/2+dm gz2)-(dm v12/2+dm gz1)dm=ρdV∴ P1+ρv12/2+ρgz1=P2+ρv22/2+ρgz2 +w12——修正后的伯努力方程∆t)∆t)m i运动轨迹m质点t2t时刻:3流线w 12 = -w 粘1→2 = dW 粘1→2 /dV >0 为单位体积．．流体克服．．粘滞阻力做的功水平均匀细管中: v,z 相同， P 1 -P 2=w 12=P 2 -P 3=…=P 0’-P 1=ρg(H 1-H 2)=…=ρg ∆H=ρg(H 0’-H 1) ∴P 0’-P B =P 0’-P 0=ρgH 0’=w 细管 将液面A 与出口B 联系:P 0+ρgH 0+0=P 0+0+ρv 2/2+w 细管+w 粗管∴ρv 2/2=ρg(H 0-H 0’) -w 粗管=ρgh 0-w 粗管≈ρgh 0 v ≈(2gh 0)1/2w 细管, w 粗管分别是单位体积流体在细管和粗管中流动克服阻力做的功∴粘滞流体水平均匀流动必有压强差——流水水面不水平 , 熔岩流动高度差很大3. 哈根—泊肃叶(Hagen,G. , Poiseuille, J.L.M.)方程——水平圆管层流哈—泊定律由哈根1839年实验证实, 后为泊肃叶1842年独立发现水平圆管, 定常流动柱坐标(r,φ,z)v z 与r,φ无关v =v z (r)z d v /dt=0忽略体积力f =0 , 流线平行直线, ∴同一横截面上P 相同对小圆柱, 1、2两横截面上对应处速度相同 ∴合外力为零 即 (P 1-P 2)πr 2 + ηdv drz⋅2πr l =0 (f 粘为-z 方向, dv z /dr<0 ∴取 “+”)⎰0v r z ()dv z = ⎰R r -12ηl(P 1-P 2)r drv z (r)= (P 1-P 2)(R 2 -r 2) / (4ηl ) Q V = ⎰ v ⋅ d S = ⎰0Rv z 2πr dr = π(P 1 -P 2)R 4 / (8ηl ) ——哈—泊公式由此可以讨论石油、天然气、水输送问题（管径、压差与流量）;隧道、河流的流量…平均流速 v =Q V /S= (P 1 -P 2)R 2 / (8ηl ) P 1 -P 2=8ηv l R -2 ∝ l R -2,l光滑金属管光滑同心环缝滑阀口Re C2000—2300 1100 260例. 日常生活. 水管d=0.025m Re C =2000 1atm 20︒C时η=1.0⨯10 -3Pa⋅ s 则临界水流速v C = ηRe C /ρd = 0.079 m/s∴一般管流为湍流。
两相流数值模拟(第6讲)-连续介质类方法0420
度（附加质量力），还依赖于在这以前颗粒加速度的历史。由这部
分效应作用在颗粒上的力就叫 Basset 力，其中 t0 是起动时间。
FB
3 2
d2
t
cc
( )
to
d t
(3－6)
单颗粒动力学模型
(7) Magnus 力 FM 。
属于侧向作用力的一种。
若颗粒以角速度ω旋转，旋转轴垂直于相对速度时，则颗粒
（7）通过颗粒在流场中的受力分析，基于牛顿第二定律，建立关于颗粒的 运动方程，进一步，通过积分得到每个颗粒的运动轨迹。
（8）在拉格朗日坐标系中，对每一个颗粒相按照流体对它的作用力及颗粒 间碰撞产生的作用力两部分列出运动方程，直接模拟颗粒的运动速度、 轨迹。
力的相对值为（设相对加速度为
阻力 Stokes阻力 f (Re)
up uc ）；
t t0
Besset力
Stokes阻力
2
d
1 (uc up )
t (t ')dt ' t0 (t t ')
1
d (t t0 )
Magnus力 Stokes阻力
1 24
d 2
Saffman力 Stokes阻力 0.16
（3）颗粒相自身无湍流扩散、湍流粘性、湍流导热等特性； （4）颗粒群按初始尺寸分组； （5）各组颗粒群沿各自的轨道运动，互不干扰，互不碰撞； （6）
只是早期的假设！ 后期的改进模型中，考虑到颗粒 之间的作用力！
颗粒群轨道模型
基本思想：
（6）颗粒群对流体的质量、动量、能量的影响分别被看做是某种“等价 的”、“连续分布”于多相流空间中的物质源、动量源、能量源。
不仅受到一个纵向阻力，同时还受到一个垂直于相对速度及旋转
第一章 流体属性与流体静力学
F=µ AU/h
θ
θ
1
2
t1 t2
A
流体
U
F
h
1.2.3 流体的粘性
设 表示单位面积上的内摩擦力（粘性剪切应力），则
F U A h
对于一般的粘性剪切层，速度分布不是直线而是前述的曲线
，则粘性剪切应力可写为
du , dh
(帕 N / m 2 )
这就是著名的牛顿粘性应力公式，它表明粘性剪切应力与速
1.2.3 流体的粘性 流体切应力与速度梯度的一般关系为：
A B
du dy
n
1
1
2
3 4
0
du dy
1 . =0+µ du/dy，binghan流体，泥浆、血浆、牙膏等
2 . =µ (du/dy)0.5 ，伪塑性流体，尼龙、橡胶、油漆等
1.2.4 气体的状态方程
任何状态下的气体， P、ρ、T存在某种函数关系这种函数 关系式称为状态方程
p p , T
对于理想气体
p R T Mr
R 8312 J Kg mol K ——通用气体常数,与气体种类无关
p RT
R——气体常数,与气体种类有关
1.3 作用在流体微团上的力
的流动就不能作为连续介质；
1.1 连续介质的概念
在连续介质的前提下，流体介质的密度可以表达为:
lim
v 0
m v
其中 v 为流体空间的体积， m 为其中所包含的流体质量。
y
•A
v
A
z
x
l
3
v0
v
1.2 流体的属性
空气动力学基本概念
1.2 声速和马赫数
声速
定义：指微弱扰动波在 流体介质中的传播速度
扰动压缩波 扰动膨胀波 声音是由微弱扰动压缩
波和膨胀波交替组成的 微弱扰动波
马赫数
定义：流场中某点处的气体流速与当地声速之 比即为该点处气流的马赫数：
M V a
完全气体：
V2
M2V a22
V2 2 2
kRT kk1cvT
ax ay az
aaxyvvddttddxyvvvvxyttxyvvvvttxxxyvvxy(v(vvvxxxxxxxxyy,,ddddyyxtxt,,vvzzvyv,yy,yxyttd)d)ddvyvtyytyxyvvzzxydvdddvztzztzvvzzxy azvdtdzvvztzvvtxzvz(vvxxxzz,ddyxt,vzvy,yztdd)vytyzvzz dvdzztvzz
1.3 热力学中的基本定律
状态方程、完全气体、内能和焓
状态方程： f(p ， ， T)0
完全气体： pRT 内能（完全气体）： uu(T)
焓值： h u p
p/ρ代表单位质量气体的压力能，故焓表示单位质量
气体的内能和压力能的总和 ； 对完全气体，焓只取决于温度。
热力学第一定律
外界传给一个封闭物质系统（流动着的气体微团是其 中之一）的热量等于系统内能的增量和系统对外界所 做机械功的总和 ：
统计平均速度 连续介质速度
VlimVi n n n limm
V
A0 A
气体状态方程
完全气体：模型气体，完全弹性的微小球粒，内聚力 十分微小（忽略），微粒实有总体积（忽略）
状态方程：压强、密度和温度之间的函数关系 完全气体的状态方程：
pRT
两相流数值模拟(第5讲)-两相流数值模拟方法分类0420
如：颗粒动力学模型， 颗粒群模型等
（2）欧拉－欧拉方法： 如：均相模型 小滑移模型 分相模型 多流体模型
两相流数值模拟方法的分类
第三，介观层次的数值模拟方法。
（1）流体本来是由离散的分子所组成，通常将流体当作连续介质来 处理；
两相流数值模拟方法的分类
分子气体动力学模型
分类方法很多
离散的介观层次格子类方法
格子－气体（Lattice Gas）法 格子－波尔兹曼（Lattice Boltzman）方法
均相模型
气体动力学模型 颗粒群轨道模型 拟流体模型
均相模型
连续介质模型 Eulerian
这类方法从微观层次上将多相流看作是大量离散分子的集合，流体的运动特性 由这些离散分子的相关特性的统计平均来决定。
比较典型的如直接蒙特卡洛模拟(Direct Simulation Monte Carlo, DSMC )方 法，最近10余年内得到迅速发展。
这类方法由于需要对计算区域内每一个分子的力学行为进行描述与计算，因而 所需计算机内存很大，目前还无法应用到复杂流场计算中。
两相流数值模拟方法的分类
注意要点： ２）上述分类方法并不一定百分之百地科学，可有多种分类方法。
由于与单相连续介质力学模型的内在本质联系，经典的连续介质力学方法最易 为人们所理解和接受，直接推广和延伸到两相流应用领域。
连续介质力学方法是当今应用最为广泛的方法，连续介质力学模型可分为两类：
欧拉－拉格朗日方法 欧拉－欧拉方法
两相流数值模拟方法的分类
注意要点： １）在实际应用中，需要结合研究具体目标，灵活采用不同的方法及其组合。
流体动力学中的气液两相流动
流体动力学中的气液两相流动1. 引言在流体力学中，气液两相流动是指同时存在气体和液体的流动现象。
它在众多领域中都有广泛应用，如工业生产、自然环境等。
研究气液两相流动的特性和行为，对于优化流体系统的设计和操作具有重要意义。
本文将介绍流体动力学中的气液两相流动的基本概念、数学模型和实验方法。
2. 气液两相流动的基本概念2.1 混合比混合比是描述气液两相流动中气体和液体相对含量的重要参数。
一般使用体积混合比或质量混合比来表示。
体积混合比定义为气体体积与总体积的比值，而质量混合比定义为气体质量与总质量的比值。
混合比的变化会导致气液两相流动的性质和行为发生明显改变。
2.2 相界面在气液两相流动中，气体和液体之间存在一个明确的相界面。
相界面的位置和形态对于流动行为有重要影响。
根据相界面的性质可以将气液两相流动分为连续相和离散相两类。
2.3 流速分布气液两相流动中，气体和液体的流速分布通常是非均匀的。
由于相界面的存在，气体和液体的流速在空间上存在明显的变化。
研究流速分布对于了解气液两相流动的运动规律和效果具有重要意义。
3. 气液两相流动的数学模型3.1 连续介质模型对于流体力学中的大多数气液两相流动问题，可以采用连续介质模型进行描述。
该模型假设气液两相流动是连续的，可以使用流体动力学方程和质量守恒方程来描述。
3.2 多相流模型对于某些特殊的气液两相流动问题，如气泡流动、雾滴流动等，连续介质模型不再适用。
此时需要采用多相流模型进行描述。
多相流模型考虑了气体和液体相之间的明显界面，可以更准确地描述气液两相流动的特性。
4. 气液两相流动的实验方法4.1 可视化实验可视化实验是研究气液两相流动的常用方法之一。
通过使用高速摄像机等设备，可以观察气液两相流动的实时图像，从而揭示其内在的特性和行为。
4.2 流量测量实验流量测量是研究气液两相流动的另一个重要实验方法。
通过使用流量计等设备，可以准确测量气体和液体的流量，进一步分析气液两相流动的特性和行为。
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体积元内流体分子的总质量为，用比值表示内流 体的平均密度。 瞬时密度：设想有这样一个最小的体积元， 它与我们所研究物体的特征尺寸相比是微不足
道的，可以看成是一个流体性质均匀的空间点，
但它与分子的平均自由行程相比要大得多，它包
多年的偶像跟我讲她并不觉得自己多厉害，相反还羡慕想我这一类的学生，顿
含足够多的分子数目，使得流体密度的统计平均 值有确切的意义。 最小体积元内的平均密度就定义为一点（如 点）处的密度，即 流体质点：在分析流体运动时，往往要取一 块具有微小特征尺寸且包含有足够多分子数目
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空间点，而连续介质可以看成是由无限多个连续 分布的流体质点所组成。 （a）(b) 图 1.1 连续介质中一点处参数的定义 连续介质某中一点的温度：就是指在某瞬时
正与该点重合一点的速度：是指在某瞬时正 与该点重合的流体质点的质心的速度。显然它不
的极微小的流体团，简称流体质点。它是几何上 的一个点，其大小是和可以相比似的，而它相对 于流动空间和所研究物体的特征尺寸是微不足 道的，因而可以忽略不计。但它与分子的平均自 由行程相比要大得多。它含有足够多的分子数
目，使得流体参数的统计平均值有确切的意义。
总之，可以把流体质点看成一个流体性质均匀的
多年的偶像跟我讲她并不觉得自己多厉害，相反还羡慕想我这一类的学生，顿
的情况下，完全可以用连续性假设。只有到了外 层空间，如在 120-150 公里的高度上，空气分子 平均自由行程与飞行器的特征尺寸处于同一数 量级，即通常认为当时，连续介质模型将不再适 用。 举例一:航天器在外层空间运行，由于那里
的空气十分稀簿，分子运动的平均自由行程可能 达几米以上，这时围绕航天器的流动就不能作为 连续介质； 举例二：在高真空泵中，分子之间的距离与 真空泵的结构尺寸是可以相比拟的，这时也不能
同于流体分子的运动速度。
连续介质中某一点的压强：是指在某瞬时正
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与该点重合的流体质点的质心的压强。
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1.1.1连续介质模型1753年物理学家欧拉提 出来的连续性假设。 定义：即流体在充满着一个体积时，不留任 何自由空隙，既没有真空的地方也没有分子的微
观运动，即把流体看作是连绵不断的不留任何自
由空间的连续介质。在多数的情况下，利用连续
介质假设得到的计算结果和实验符合得很好。 连续性假设在一般的情况下都是合理的。流 体力学(气体动力学)不研究单独的流体质点的 运动，而是在连续介质的假设前提下研究流体的 宏观运动的一门科学。 实用性：除了在飞行高度很大（空气很稀薄）
把气体看成是连续介质。本教材只讨论连续介质
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基础上的流体动力学问题。 1.1.2 连续介质中一点处参数的定义下面以 流体密度为例，来说明连续介质中一点处流体参 数的定义。 平均密度：在充满连续介质的空间任取一 点，是包含点的一个微小体积元，1.1（a）所示。