离散数学总复习
《离散数学》总复习省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
P ES, ①
③(x)(P(x) (Q(x)R(x))) ④P(c) (Q(c)R(c)) ⑤Q(c)R(c)
P US, ③ T, ②, ④, I
⑥R(c) ⑦P(c)R(c) ⑧(x)(P(x)R(x))
T, ⑤, I T, ②, ⑥, I EG, ⑦
6
2、证明推理：
(PQ)(RS), (QP)R, R PQ
13
第三部分 代数系统
一、内容提要
1、代数系统旳定义（封闭性）、特殊元素（幺元，零元、逆 元、幂等元）。 2、代数系统之间旳关系：子代数，同态（单同态、满同态、 同构）。 3、同余关系旳定义和商代数。 4、半群、独异点和群旳定义及其相互间旳关系。 5、群旳基本性质：消去律、元素旳阶。 6、循环群旳性质及生成元。 7、子群旳定义及鉴定措施、正规子群旳定义及鉴定措施、子 群旳陪集。(拉格朗日定理)
=(a*c)*(a*b*c)
（由提醒）
即： (a*b*c)*(a*c) =(a*c)*(a*b*c)
故： a*b*c=a*c
24
8、设<G, ∘>是一种群，b G，定义函数f: G→G且给定成： 对任意旳x G，f(x)=b∘x∘b-1。
证明：f是从<G, ∘>到<G, ∘>旳一种同构映射。
证：
（1）显然<G, ∘>与<G, ∘>同类型；
b*a=a*b
18
4、设*运算是X中旳可结合旳二元运算，而且对任意旳x, y X, 若x*y=y*x，则x=y。证明：X中旳每个元素都是等幂旳。
证： 对任意旳x X, 要证明x是等幂旳，即证明：x*x=x 因为：*运算是X中旳可结合旳二元运算 所以：x*(x*x)=(x*x)*x 由已知：x*y=y*x x=y 得：x*x=x
《离散数学》总复习
(4) x H . 有 x a = a x， x 1 ( x a) x 1 = x 1 (a x) x 1
a x 1 = x 1 a.
x 1 H . 因此，< H, > 是 < G, > 子群。
《离散数学》总复习
十四.如果 < S, > 是半群，且 是可交换的，证明：若S中有元素a，b 使得a a = a, b b = b，则(a b) (a b) = a b。
S= G 。
15.群 < G, > 的运算表中每一行或每一列都是G中元素的 置换 。
1
16.n个结点的无向完全图Kn的边数 E =
n (n 1) 2
。
17.一棵树有一个结点的度数为2，二个结点的度数为3，三个结点的
度数为4，则有
10
个结点的度数为1。
解. 知识点: 树的基本概念及图的基本定理（握手定理）v
1
2
3
4
12.设 < A, > 是一个代数系统，A ，为定义在A上的二元运算。 若 x, y A, x y = y x，则称运算 为可交换的。 若 x, y, z A,( x y) Mz = x ( y z) ，则称运算 为可结合的。 若 x A, x x = x ，则称运算 为等幂的。
《离散数学》总复习
t(R) = {< a,a >,< a,b >,< a,c >,< a,d >,< b,a >,< b,b >,< b,c >,< b,d >,< c,d >}.
《离散数学》总复
八.已知A = {2,3,4,5,7,10,12,13,16,17,19,20,21,22,25, 29,30}，R是A上的
离散数学--总复习
离散数学--总复习第一部分：集合论知识点：集合关系（∈，?,?,?,=）集合运算（并、交、差、对称差、补集、幂集），特殊集合（?，E，P(A)）集合恒等式（幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、德摩根律、补交转换律(A-B=A?~B)、德·摩根律~(B?C)=~B~?C，A-(B?C)=(A-B)?(A-C)）证明集合包含或相等（根据定义, 通过逻辑等值演算证明、利用已知集合等式或包含式, 通过集合演算证明）1. 证:A?(B?C)=(A?B)?(A?C)证?x x∈A?(B?C)x∈A∨(x∈B∧ x∈C) (并,交的定义)(x∈A∨x∈B)∧(x∈A∨x∈C) (逻辑演算的分配律)x∈(A?B)?(A?C)2. 证明(A-B)-C=(A-C)-(B-C)证(A-C)-(B-C)= (A ? ~C) ? ~(B ? ~C) (补交转换律)= (A ? ~C) ? (~B ? ~~C) (德摩根律)= (A ? ~C) ? (~B ? C) (双重否定律)= (A ? ~C ? ~B) ?(A ? ~C ? C) (分配律)= (A ? ~C ? ~B) ?(A ??) (矛盾律)= A ? ~C ? ~B (零律,同一律)= (A ? ~B) ? ~C (交换律,结合律)= (A – B) – C第二部分：逻辑学命题的定义（凡具有确定真假意义的陈述句均称为命题。
）联结词（?、∧、∨、→、?、↑、↓（公式转化为只含↑、↓的表达形式））例：将p → q化为只含↑的公式p → q ??p ∨q??(p∧?q) ? p↑?q?p↑?( q∧q)p↑ q↑ q命题符号化(1、王晓虽然聪明，但不用功.2、张辉与王丽都是三好生.3、张辉与王丽是同学.4、除非天冷，小王才穿羽绒服.5、除非小王穿羽绒服，否则天不冷.)等值演算（幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、蕴涵等值式A→B??A∨B等价等值式A?B?(A→B)∧(B→A)假言易位等值式A→B??B→?A等价否定等值式A?B??A??B）证明p→(q→r) ? (p∧q)→r证p→(q→r)p∨(?q∨r) （蕴涵等值式）(?p?∨q)∨r （结合律）(p∧q)∨r （德摩根律）(p∧q) →r （蕴涵等值式）判断下列公式的类型q?∧(p→q)解q?∧(p→q)q?∧(?p∨q) （蕴涵等值式）q∧(p?∧q) （德摩根律）p∧(q?∧q) （交换律，结合律）p∧0 （矛盾律）0 （零律）该式为矛盾式.命题公式（重言式、矛盾式、可满足式），利用真值表判断，等值演算，范式。
离散数期末复习
1
推理证明过程如下：
2
(∀x)(N(x) I(x)) P规则
3
(∃x)(N(x)
I(x)) T规则和
4
N(a)
I(a)
ES
1
规则和2
5
N(a)
T规则和3
6
I(a)
T规则和3
7
(∀x)(N(x) (Q(x)∇E(x)))
P规则
8
N(a) (Q(a)∇E(a)) US规则和６
• 8 Q(a)∇E(a)
空关系vs空集上的关系
空集上的关系：自反的，反自反的，对称的，反对称的， 可传递的。在空集上可定义任意元 关系。
性质：若A非空，空关系是反自反的，对称的，反对称的，可传递的； 若A是空集，该空关系是自反的，反自反的，对称的，反对称的，可传递的
空关系：对于任何集合A, 称空集为A上的空关系.
1. 3-1设A={1,2,3},R是ρ(A)上的二元关系，且R={<a,b>|a,b∈ρ(A),a∩b≠Φ},则R 不满足下列哪些性质？为什麽？
2. 自反性 2)反自反性 3)对称性 3. 反对称性 5)传递性 4. 解：1)因为Φ∈ρ(A)，但Φ∩Φ＝Φ 5. 所以<Φ,Φ>∉R，即Ｒ不满足自反性。 6. 因为{1}∈ρ(A)但{1}∩{1}={1}≠Φ 7. 即<{1},{1}>∈R，因此Ｒ不是反自反的． 8. 对任意x,y∈ρ(A),若x∩y≠Φ,即 9. <x,y>∈R,则y∩x≠Φ即<y,x>∈R即R满足对称性。
1. s(R)=R∪R~ 2. t(R)= ∪i=1nRi 3. 关系的性质： 4. R是自反的＝(∀x)(x∈X <x,x>∈R) 5. R是反自反的＝(∀x)(x∈X<x,x>∉R) 6. R是不自反的 7. (∃x)(∃y)(x,y∈X<x,x>∈R<y,y>∉R) 8. R是对称的＝(∀x)(∀y)(x,y∈X <x,y>∈R <y,x>∈R) 9. R是反对称的=(∀x)(∀y)(x,y∈X<x,y>∈R <y,x>∈Rx=y)
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关系，是自反的，所以 ai,bi T ai,bi 即T是自反的。 对任意a1,b1,a2,b2AXB若 a1,b1Ta2,b2 a2,b2T a1,b1 a1Ra2 b1Sb2 a2Ra1 b2Sb1 (a1Ra2 a2Ra1)( b1Sb2 b2Sb1) a1=a2 b1=b2 即a1,b1=a2,b2于是T是反对称的
12的因子={1，2，3，4，6，12}
12
6
4
3
2
1
23
5、下图给出了偏序集P，R的哈斯图，其中P={x1,x2,x3,x4,x5} (1)下列关系中哪一个是真的？
x1Rx2，x4Rx1， x3Rx5，x2Rx5， x1Rx1，x2Rx3，x4Rx5 (2)求出P中的最大元、最小元，极大元、极小元，如果存在的话。 (3)求出子集{x2,x3,x4}，{x3,x4,x5}，{x1,x2,x3}的上界、下界和上下确界如果
EG规则和14
问题得证。
请大家看第5章课件关于这方面的最后练习。
12
集合理论部分
熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算） 掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法 熟练掌握关系的三种表示法 能够判定关系的性质（等价关系或偏序关系） 掌握含有关系运算的集合等式 掌握等价关系、等价类、商集、划分、哈斯图、偏序集等概
C={{1,1, 2,2, 3,3, 4,4}, {1,2, 2,3, 3,4}, {2,1, 3,2, 4,3}, {1,3, 2,4},
{3,1, 4,2}, {1,4},{4,1}}
19
3、设A,R和B,S为偏序集，在集合AXB上定义关系T如 下： a1,b1,a2,b2AXB a1,b1Ta2,b2 a1Ra2 b1Sb2
离散数学复习题及答案
总复习题（一）一．单选题1 (C)。
一连通的平面图，5个顶点3个面，则边数为（）。
、4 、5 、6 、72、 (A)。
如果一个简单图，则称为自补图，非同构的无向4阶自补图有（）个。
、1 、2 、3 、43、 (D)。
为无环有向图，为的关联矩阵，则（）。
、是的终点、与不关联、与关联、是的始点4、 (B)。
一连通的平面图，8个顶点4个面，则边数为。
、9 、10 、11 、125、 (D)。
如果一个简单图，则称为自补图，非同构的3阶有向完全图的子图中自补图有个。
、1 、2 、3 、46、21条边，3个4度顶点，其余顶点为3度的无向图共有个顶点。
、13 、12 、11 、107、 (D)。
有向图的通路包括。
、简单通路、初级通路、复杂通路、简单通路、初级通路和复杂通路8、 (D)。
一连通的平面图，9个顶点5个面，则边数为。
、9 、10 、11 、129、21条边，3个4度顶点，其余顶点为3度的无向图共有个顶点。
、13 、12 、11 、1010、 (D)。
有向图的通路包括。
、简单通路、初级通路、复杂通路、简单通路、初级通路和复杂通路11、 (D)。
一连通的平面图，9个顶点5个面，则边数为。
、9 、10 、11 、1212、 (B)。
为有向图，为的邻接矩阵，则。
、邻接到的边的条数是５、接到的长度为４的通路数是５A B C D GG ≅G A B C D E ,V D =[]m n ij m ⨯D 1m ij =A i v je B i v j e C i v j e D i v j e A B C D GG ≅G A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D E ,V D=[]n n ij a ⨯D 5a )4(ij =A i v j v B i v j v、长度为４的通路总数是５、长度为４的回路总数是５13、 (C)。
在无向完全图中有个结点，则该图的边数为（）。
《离散数学》总复习上课讲义
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
离散数学复习题有答案
离散数学复习题有答案1. 什么是集合的子集？子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合。
如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A就是集合B的子集。
2. 描述有限集合和无限集合的区别。
有限集合是指元素数量有限的集合，可以被一一列举。
无限集合则包含无限多个元素，无法被完全列举。
3. 什么是二元关系？二元关系是集合A和集合B之间的一种对应关系，它由有序对(a, b)组成，其中a属于集合A，b属于集合B。
4. 什么是函数？函数是一种特殊的二元关系，其中每个定义域中的元素都与值域中的一个且仅一个元素相关联。
5. 什么是等价关系？等价关系是一种自反的、对称的、传递的二元关系。
在集合A上的等价关系将A划分为若干个不相交的等价类。
6. 什么是偏序关系？偏序关系是一种自反的、反对称的、传递的二元关系。
它在集合上定义了一个部分顺序。
7. 什么是有向图和无向图？有向图是一种图，其中的边有方向，表示从一个顶点指向另一个顶点。
无向图的边没有方向，表示两个顶点之间的双向连接。
8. 什么是强连通分量？在有向图中，强连通分量是指图中的一组顶点，这些顶点中的每一个顶点都可以到达集合中的其他任何顶点。
9. 什么是二进制数？二进制数是一种基数为2的数制，只使用0和1两个数字来表示数值。
10. 什么是逻辑运算？逻辑运算是对逻辑值（真或假）进行的操作，包括与（AND）、或（OR）、非（NOT）等运算。
11. 什么是归纳法？归纳法是一种数学证明方法，通过证明一个基本情况，然后假设某个情况成立，再证明下一个情况也成立，从而证明整个命题。
12. 什么是图的遍历？图的遍历是指按照一定的规则访问图中的每个顶点，确保每个顶点都被访问一次。
常见的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
13. 什么是正规表达式？正规表达式是一种描述字符串集合的模式，用于文本搜索和文本处理。
它由一系列字符和元字符组成，定义了字符串的匹配规则。
离散数学总复习汇总
命题符号化—自然语言翻译为逻 辑式
符号化过程： ① 确定句子是否为命题.不是就不必 翻译. ② 确定复合命题中的原子命题; 确定句中连接词是否能对应于并且 对应于哪一个命题连接词. ③ 正确表示原子命题和选择命题连 接词.
联结词——1否定词 ¬
▪设 p 表 示 命 题 ， 则
‘p不真’ 是另一
p
¬p
命题，记为 ¬p，
读为 ‘非p’
0
1
▪否定词可用右表定 1
0
义，此表称为 ¬p的
真值表
联结词—— 2合取词 ∧
▪ 若p,q表示命题,则‘p
并且q’也是命题,记
为p∧q ,读为‘p合 p q p∧q
取q’.
00
0
01
0
▪p∧q的真值表如右表 1 0 0
命题的符号化
▪ 通常用小写的带或不带下标的英文字母a、 b、c、…p、q、r、…ai、 bi、 ci、 … pi、 qi、 ri、 …等表示简单命题
▪ 命题联结词又称为逻辑运算符，常用的有 五种，它们是：否定词¬、合取词∧ 、析 取词∨、蕴涵词→和等价词↔ 。
(p2,3,4-定义1.1,1.2,1.3,1.4,1.5)
对偶式
▪ 在仅含联结词¬、∧、∨的命题公式A中， 将∨换成∧，将∧换成∨，若A中含0或1， 就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A 的对偶式，记为A*。
若指定的一组值使G的值为真，则称这组值 为G的成真赋值；
若指定的一组值使G的值为假，则称这组值 为G的成假赋值；
离散数学复习资料
离散数学复习资料离散数学最全复习资料第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。
命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 六个联结词及真值表“?”否定联结词，P是命题，?P是P的否命题，是由联结词?和命题P组成的复合命题.P取真值1，?P取真值0，P取真值0，?P取真值1. 它是一元联结词.“∧”合取联结词，P∧Q是命题P，Q的合取式，是“∧”和P，Q组成的复合命题. “∧”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P∧Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P∧Q取值为0，只有P，Q之一取0.“∨”析取联结词，“?∨”不可兼析取(异或)联结词，P∨Q是命题P，Q的析取式，是“∨”和P，Q组成的复合命题. P?∨Q是联结词“?∨”和P，Q组成的复合命题. 联结词“∨”或“?∨”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P?∨Q”?“(?P∧Q)∨(P∧?Q)”. P∨Q取值1，只要P，Q之一取值1，P∨Q取值0，只有P，Q都取值0.“→”蕴含联结词，P→Q是“→”和P，Q组成的复合命题，只有P取值为1，Q 取值为0时，P→Q取值为0；其余各种情况，均有P→Q的真值为1，亦即1→0的真值为0，0→1，1→1，0→0的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P→Q”.“?” 等价联结词，P?Q是P，Q的等价式，是“?”和P，Q组成的复合命题. “?”在语句中相当于“…当且仅当…”，P?Q取值1当且仅当P，Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P 的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材P.16的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式.既非永真，也非用假，成为非永真的可满足式.其三主析取(合取)范式法，该公式的主析取范式有2n个极小项(即无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2n个极大项(即无极小项)，则该公式是永假式；该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,，则该公式是可满足式.等值式A ?B ，命题公式A ，B 在任何赋值下，它们的真值均相同，称A ，B 等值。
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1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。
2.证明3. 证明以下蕴涵关系成立：4. 写出下列式子的主析取范式：5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →⌝r, s →t, ⌝s →r, ⌝t ⇒ q6. 用反证法证明：p →(⌝(r ∧s)→⌝q), p, ⌝s ⇒ ⌝q7. 请将下列命题符号化：所有鱼都生活在水中。
8. 请将下列命题符号化：存在着不是有理数的实数。
9. 请将下列命题符号化：尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。
10. 请将下列命题符号化：对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥x 。
11. 请将下列命题符号化：每个人都要参加一些课外活动。
12. 请将下列命题符号化：某些人对某些药物过敏。
13. 求)())()((y yR y Q x P y ∀→→∃的对偶式:14. 求下列谓词公式的前束范式：15. 证明：16. 用反证法证明：⌝∀x(P(x)∧Q(x)) , ∀xP(x) ⇒ ⌝∀xQ(x)17. 证明：前提： ∀x(C(x)→W(x)∧R(x)), ∃x(C(x)∧Q(x)).结论： ∃x(Q(x)∧R(x)).)()(Q P Q P Q P ⌝∧⌝∨∧⇔↔)()(R P Q P ∨∧∧⌝),,()),(),((u y x uQ z y P z x zP y x ∃→∧∃∀∀QQ P P ⇒∨∧⌝)(18. 判断：下列命题是否正确？19. 列出下列集合的元素⏹(1) {x|x∈N∧∃t(t∈{2,3}∧x=2t)}⏹(2) {x|x∈N∧∃t∃s(t∈{0,1}∧s∈{3,4}∧t<x<s)}⏹(3){x|x∈N∧∀t(t整除2→x≠t)}20.S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={2,4,5,6,8}B={1,4,5,9}，C={x|x∈Z+, 2≤x≤5}21. 一个学校有507，292，312和344个学生分别选择了A,B,C,D四门课程。
有14人选了A和B，213人选了A和D，211人选了B和C ，43人选了C和D。
没有学生同时选择A和C，也没有学生同时选择B和D。
问共有多少学生在这四门课程中选了课？22. 分别求下列集合的幂集(1) Ø (2){Ø} (3){1,{Ø,1}}23.A={0,1},B={1,2},C={3,4,5},求A×B, B×A, A×B×C, A2, C2 .24.⏹ 1. 设A={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}},下列选项正确的是（）⏹ A. 1∈A B. {1,2,3} A C. {{4,5}} A D. Ø∈A⏹ 2. 设A={x|x3 –x=0}, B={x|x2 – 4<0,x∈z},C={x|y=2x-1},D={x|x+y=5, xy=6}则有（）⏹ A. A=B B. A=C C. C=D D. C=A25. 求关系的定义域和值域：设A = {2，4，6，8}，R是A上的小于关系，即当a, b∈A且a< b时，（a, b）∈R，求R及D( R ),C( R )26. 设A = {a, b, c, d },求A上的恒等关系。
27. 设A = {1,2,3,4,5}, R是A上的小于等于关系, 即当a ≤ b时, (a, b) ∈R。
求R 的关系矩阵和关系图。
28. X={a,b,c}，Y={1,2}，关系R={(a,1),(b,2),(c,1)} S={(a,1),(b,1),(c,1)}求R∪S、R∩S和R的补29. 设A={1，2，3}，B ={a, b, c, d},C ={x, y, z}，R是A到B的二元关系，R = {(1, a), (1, b), (2, b), (3, c)}，S是B到C的二元关系，S = {(a, x), (b, x), (b, y), (b, z)}。
求复合关系RοS的关系矩阵.30.31. 设A = {a,b,c}，R是A上的二元关系， R = {(a,a), (b,b), (a,b), (a,c), (c,a)}，问：R是自反的吗？是反自反的吗？是对称的吗？是反对称的吗？是可传递的吗？32.⏹设A={1,2,3}，分析A上的下述5个关系具有哪些性质：⏹L={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>}⏹N={<1,3>,<2,3>}⏹S={<1,2>,<2,1>,<1,3>}⏹G={<1,1>,<1,2>,<2,3>}33. 设A = {a, b, c, d}，A上的关系，R = {(a, b), (b, a), (b, c), (c, d)}求r(R)、s(R)、t(R)34. A={a,b,c}, R={(a,b),(b,c),(c,a)}，求r(R), S(R)和t(R)35. A={1,2,3,4}，R={(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)},判断R是否是等价的。
36. 判断下列关系是否为等价关系？(1) A={a,b,c,d}， R={(a,a),(b,a),(b,b),(c,c),(d,d),(d,c)}(2) A={1,2,3,4}，R={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(2,3),(3,3),(4,4),(3,2)}37. A={1,2,3,4}在幂集ρ(A)上定义的二元关系如下：R={(S,T)|S,T∈ρ(A)，|S|=|T|}，写出商集ρ(A)/R。
38. 设集合X={2166，243，375，648，455}X中的关系R为：R={(x,y)|x,y∈X，并且x和y中有相同数字}问：R是不是相容关系？39. A = {1，2，3，4，5，6，8，10，12，16，24}，R是A上的整除关系，请画出Ｒ的哈斯图。
40. 已知偏序集<A,R>的哈斯图如图所示, 试求出集合A和关系R的表达式. 求 A 的极小元、最小元、极大元、最大元. 设 B＝{b,c,d}, 求 B 的下界、上界、最大下界、最小上界.41. 以下关系矩阵所代表的关系是什么关系？答案：42. 设集合A = {1，2，3，4，5，6，8，10，12，16，24}，R 是A 上的整除关系，请问关系R 是否是偏序关系？是否是全序关系？画出Ｒ的哈斯图，并根据图求集合A 的极大极小元、最大最小元，设B={2，3，4}，求集合B 的上界、最小上界、下界、最大下界。
43. 找出如下哈斯图中的子集{a,b,c}、{j,h}和{a,c,d,f}的上界和下界。
44. 判断下列关系是否是映射？是否是单射？是否是满射？45. X={x1,x2,x3}, Y={y1,y2}, Z={z1,z2}f:X →Y ，g:Y →Z ，求h= g ◦f46.下列哪些关系可以构成函数（映射）？a. f={(x,y)|x,y ∈N, x+y<10}b. f={(x,y)|x,y ∈R, x2=y}⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1110011101M47.判断下列函数是单射、满射或双射？a. f:N→N, f(x)=x+2;b. f:N→N, f(x)=x (mod 2);c. f:N→ρ(N), f(x)={x};48. f-1∘f = ？，f∘f-1= ？49.构造下列函数的反函数：1.f(x)=sinx2.f(x)=x2 , x∈(-∞，0)3.A={1,2,3},B={a,b,c},f:A→B, f={(1,a),(2,c),(3,b)}50.51.已知x={a,b,c },Y={1,2,3,4} f:X→Y如图所示, 试构造函数g:Y→X,使得g·f=Ix52.请给出图中各点的度数，以及图的最大度数和最小度数。
53. 请给出图中各点的出度和入，以及图的最大出度和最小入度。
54. (3,3,3,4), (2,3,4,6,8)能成为图的度数序列吗?55. 已知图G有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数均小于等于2, 问G至少有多少个顶点?56. 下面无向图中有几个顶点？(1) 16条边，每个顶点都是2度顶点(2) 21条边，3个4度顶点，其余的都是3度顶点(3) 35条边，每个顶点的度数至少为3的图最多有几个顶点？57. 确定下列各图的出度、入度和度数58. 判断下列图是否同构59. 下图中，1. 写出{a,d,e}的导出子图2. 画出它的一个生成子图3. 边集{e4,e7,e6}的导出子图60. 试画出以下两个图的并图、交图和环和。
61. 判断下列各图是否是连通图：62. 指出下列有向图的连通性63. 求下列图的强连通分支64.（1）{e5}、{e2 、e3}、{e6}、{e4}是否是下图的边割集？v4（2）{v5}、{v2 、v4}、{v3}、{v1 、v2}、{v2 、v3}是否是下图的点割集？65. 求出下图的全部割点和桥66. 下列图是否是树？如果是，找出树的分枝结点和树叶。
67. 设一棵树T有2个度数为2的结点，1个度数为3的结点，3个度数为4的结点，求T 有几片树叶。
68. 已知无向树T有5片树叶, 2度与3度顶点各1个, 其余顶点的度数均为4. 求T的阶数n。
69. 求下列树的树根、树叶、树高、内点、分枝点、各个结点的层数70. 求下列树的树高、内点数、分枝点树、几叉树？71. 下列树是不是完全二叉树？是不是满二叉树？72. 求下列二叉树的前序、中序、后序遍历73. 求下列二叉树的前序、中序、后序遍历74. 构造下列数的排序二叉树：15, 3, 1, 6, 18, 7, 10, 2075. 求树叶权为4，2，3，5，1的最优树。
76. 求带权图的最小生成树。
agl77. 求下图的邻接矩阵第11页，共11页。