x55

记作 : n f ( x, y)d lim f ( i ,i ) i
D
被积函数
0
i 1
积分区域
面积微元
并且称函数f ( x , y)在D上可积, f ( x, y) R( D)
例如 : 曲顶柱体的体积 V f ( x, y)d
D
平面薄板的质量
2013-7-13
f ( x, y )d 2 f ( x, y )d y
D D1
若f ( x , y )关于y为奇函数, 则

D
2013-7-13
D1
f ( x , y )d 0
D
16
x
性质7的几何意义：
z
y
z y
x
x
2013-7-13 17
二、二重积分的计算
思路：
将二重积分转化为累次积分：
28

D
x d 2 y
1 1 2
2


dy1
2
y
x x dx dy 2 dx 2 1 y y y
2 2
2
2
2 8 1 8 1 1 1 1 1 ( )dy ( y)dy 2 5 2 1 3 y 3 y 3 y 3 2 1
9 4
2013-7-13 29
x 27 ) 问 : 2 d ? ( 64 * y D
f ( x, y)d g ( x, y)d
D D
D
性质2：（区域可加性）
2013-7-13 12
设D D1 D2 , 且D1与D2没有公共内点, 若f ( x , y ) R( D ), 则f ( x , y ) R( D1 ), f ( x , y ) R( D2 ), 且 f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d
1
2
27
x
( 2) 先对x, 后对y 即 D D1 D2
1 y1 2 D1 : 1 x2 y
1 y 2 D2 : y x 2
2013-7-13
y
xy 1
y x
x2
y 1 y
1 2
2
D2 D1
o
2
x
注意：D的左边界x x1 ( y)须分段表达！
2013-7-13
n
i 1
D
设面密度为 ( x , y )
y
x
7
（二）、二重积分的定义
设D R 是有界闭域,函数f ( x , y)在D上
2
有定义.对于D的任意划分T { Di }n1 , 以及 i 任意地取点( i ,i ) Di , ( i 1, , n). 作和式
f ( x, y)dxdy [
a
2013-7-13
b
y2 ( x ) y1 ( x )
25
f ( x, y)dy]dx
22
D
[证 ] 因为f ( x , y )在D上连续, 所以f ( x , y )
在D上可积, 记
f ( x, y)dxdy A
D
取特殊的分法,积分和的极限仍然存在. y 用平行于坐标轴的直线 y y2 ( x )
m ( x , y)d
D
9
类似地可以定义多重积分
例如 :
质量
三重积分
积分区域
f ( x, y, z )dV
密度
n
体积微元
lim f ( i , i , i ) Vi
0
i 1
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定理1 : (可积的必要条件 )
若函数f ( x , y )在有界闭域D上可积, 则f ( x , y )在D上有界 .

空间区域 三重积分
y
x z
o
L
L 空间曲线
y
空间曲线积分
x z
o 2013-7-13 x
S
S 曲面
y
曲面积分
4
[例1] 求曲顶柱体的体积
z
S : z f ( x, y )
o
D
i
( i , i )
y
x
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5
第一步 : 分割 任分D为n个小区域Di , 面积为 i , 相应地, 曲顶柱体被分为n个小曲顶柱体, 体积为Vi 第二步 : 近似 在第i个小区域上任取一点( i , i ), 用以 f ( i , i )为高的小平顶柱体代替小曲顶柱体
即 A ( f ( xi , y j ) y j ) xi A
i 1 j 1
n
m
注意到, y的函数f ( xi , y )在[ y1 ( xi ), y2 ( xi )] 上连续,因而可积, 于是有 对固定的xi , 令 max { y j } 0, 得
1
c
2
其中x1 ( y ), x2 ( y )在[c , d ]上连续, 函数 f ( x , y )在D上连续, 则有
2013-7-13 D

f ( x, y)dxdy [
c
d
x2 ( y )
x1 ( y )
f ( x , y)d x ]dy
25
将二重积分化为累次积分
关键是正确定限！
Vi f ( i , i ) i
n n i 1 i 1
( i 1, n)
第三步 : 求和 V Vi f ( i , i ) i
第四步 : 取极限
2013-7-13
V lim f ( i , i ) i
0
i 1
定理2 : (可积的充分条件 ) 若函数f ( x , y )在有界闭域 D上连续,
则f ( x , y )在D上可积.
2013-7-13
11
（三）性质
性质1：（线性性质）
设f ( x , y ) R( D ), g ( x , y ) R( D ), 则 , R, 有 [f ( x , y) g ( x , y)]d
D D1 D2
性质3：（比较性） 若( x, y) D, 有f ( x, y) g ( x, y), 则有
f ( x, y)d g( x, y)d
特别, 若( x, y) D, 有f ( x, y) 0, 则有
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D
D
f ( x, y)d 0
A [
i 1
n
y2 ( xi )
j
y1 ( xi )
f ( xi , y )dy]xi A
y2 ( x ) y1 ( x )
作为x的函数,
Q( x )
b
f ( x , y)dy
i
在[a, b]上连续, 因而可积. 令 max { xi } 0, 得
o
x x dx
x
19
曲顶柱体的体积 V f ( x , y)dxdy D S : z f ( x , y) b z V A( x )dx
a
A( x ) ?
o
b
A(x )
y
y2 ( x ) y1 ( x )
f ( x, y)dy
y

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D
x1 ( y )
f ( x , y)d x ]dy
先对 x 积分， 视 y 为常数
二重积分
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累次积分
21
定理1 : (累次积分定理)
设 D是R 中的有界闭域, 且可以表示
2
为
a x b D: y1 ( x ) y y2 ( x )
其中y1 ( x ), y2 ( x )在[a, b]上连续, 函数 f ( x , y )在D上连续, 则有
作业
P102 习题 1
1(2). 2(1). 3(1). 4.
P108 习题 2 1(1) (3) (6).
预习 P97—105
2013-7-13 1
第九讲 二重积分
一、重积分的概念与性质 二、二重积分的计算
2013-7-13
2
一、重积分的概念与性质
（一）序言
回忆：一元函数
a 的定积分 积分区间 : [a , b] R1
6
n
小区域最大直径
[例2] 不均匀平面薄板的质量
m m i
i 1 n
mi ( i , i ) i
m ( i , i ) i
i 1 n
i ( i , i )
o
m lim ( i , i ) i
0

b
f ( x )dx lim f ( i )x i
0
i 1
n
被积函数 : f ( x )是一元函数
推广到 R 2 被积函数f ( x , y )
f ( u) u
R
n
y
为二元函数
y
D平面区域
o
2013-7-13
L平面曲线
x
x
二重积分
o
平面曲线积分
3
推广到R
3
z
o
被积函数 : f ( x, y, z )为三元函数
分割 ( i 1, , n; j 1, , m)
任给 0, 存在 0,
yj
y y1 ( x )
当0
x y 时,
2 i 2 j
A f ( xi , y j )y j xi A