《创新设计》高考数学人教A版(理)一轮复习：第八篇 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
2019版-创新设计-高考总复习-数学-人教A版-理科-第八章-第1节
法二 (估值法)由题意知，12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱，又 V 圆柱＝π×32×10＝90π，∴45 π<V 几何体<90π.观察选项可知只有 63π符合. 答案 B
5.正△AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是 ________.
解析 画出坐标系 x′O′y′，作出△OAB 的直观图 O′A′B′(如图).D′为 O′A′的中点.易知 D′B′＝12DB(D 为 OA 的中点)，∴S△O′A′B′＝12× 22S△OAB＝ 42× 43a2＝166a2.
解析 由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线， 在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图. 答案 B
命题角度2 由三视图判断几何体
【例2－2】 (1)(2014·全国Ⅰ卷)如图，网格纸的各小格都是正
方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体
是( )
4.直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z 轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为_4_5_°__(_或__1_3_5_°__)_，z′轴与x′轴、y′轴所 在平面__垂__直__. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别__平__行__于___坐标轴.平行于x轴 和z轴的线段在直观图中保持原长度_不__变___，平行于y轴的线段长度在直观图中变 为原来的__一__半__.
(2)由三视图可知，该几何体是半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径
为 1，高为 3，三棱锥的底面积为12×2×1＝1，高为 3. 故原几何体体积为：V＝12×π×12×3×13＋1×3×13＝π2 ＋1. 答案 (1)B (2)A
《创新设计》高考数学人教A版(理)一轮复习：第八篇第5讲直线、平面垂直的判定及其性质
第 5 讲直线、平面垂直的判断及其性质A 级基础操练(时间： 30 分钟满分：55分)一、选择题 (每题 5 分，共 20 分)1．已知平面α与平面β订交，直线 m⊥α，则()．A．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B．β内不必定存在直线与m 平行，不必定存在直线与m 垂直C．β内不必定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直D．β内必存在直线与m 平行，不必定存在直线与m 垂直分析如图，在平面β内的直线若与α，β的交线 a 平行，则有 m 与之垂直．但却不必定在β内有与 m 平行的直线，只有当α⊥β时才存在．答案 C2．已知直线 l 垂直于直线 AB 和 AC，直线 m 垂直于直线 BC 和 AC，则直线 l ，m的地点关系是A．平行B．异面C．订交(D．垂直)．分析由于直线 l 垂直于直线 AB 和 AC，所以 l 垂直于平面 ABC，同理，直线m 垂直于平面 ABC，依据线面垂直的性质定理得l∥m.答案A3．已知P 为△ ABC 所在平面外的一点，则点P 在此三角形所在平面上的射影是△ABC 垂心的充足必需条件是()．A．PA＝ PB＝ PCB．PA⊥ BC， PB⊥ ACC．点 P 到△ ABC 三边所在直线的距离相等D．平面 PAB、平面 PBC、平面 PAC 与△ ABC 所在的平面所成的角相等分析条件 A 为外心的充足必需条件，条件C、D 为心里的必需条件，应选B.答案B4．设α，β为不重合的平面， m，n 为不重合的直线，则以下命题正确的选项是( )．A．若α⊥β，α∩β＝ n， m⊥ n，则 m⊥αB．若 m? α， n? β， m⊥n，则 n⊥αC．若 n⊥α， n⊥β，m⊥β，则 m⊥αD．若 m∥α，n∥β， m⊥n，则α⊥β分析与α、β两垂直订交平面的交线垂直的直线 m，可与α平行或订交，故 A 错；对 B，存在 n∥α状况，故 B 错；对 D，存在α∥β状况，故 D 错．由 n ⊥α，n⊥β，可知α∥β，又 m⊥β，所以 m⊥α，故 C 正确，选 C. 答案 C二、填空题 (每题 5 分，共 10 分)5.如图，拿一张矩形的纸对折后稍微睁开，直立在桌面上，折痕与桌面的地点关系是 ________．分析折痕与矩形在桌面内的两条订交直线垂直，所以折痕与桌面垂直．答案垂直6．(2012 ·石家庄一模 )已知直线 l ⊥平面α，直线 m? 平面β.给出以下命题：①α∥β? l⊥ m；②α⊥β? l ∥m；③ l ∥m? α⊥β；④ l⊥m? α∥β.此中正确命题的序是 ________．分析由面面平行的性质和线面垂直的定义可知①正确；由于 l ⊥α，α⊥β? l ∥β或 l? β，所以 l ，m 平行、订交、异面都有可能，故②错误；由线面垂直的定义和面面垂直的判断定理可知③正确；由于l⊥α，l ⊥m? m? α或 m∥α，又 m? β，所以α，β可能平行或订交，故④错误．答案①③三、解答题 (共 25 分)7．(12 分)如图，已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面， M，N 分别是 AB，PC 的中点．(1)求证： MN⊥CD；(2)若∠ PDA＝ 45°，求证： MN⊥平面 PCD.证明(1)如图，连结 AC，AN，BN，∵ PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥ AC，在 Rt△PAC 中， N 为 PC 中点，1∴AN＝2PC.∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥ BC，又 BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面 PAB，∴ BC⊥PB，进而在 Rt△ PBC 中， BN 为斜边 PC 上的中线，1∴BN＝2PC.∴AN＝BN，∴△ ABN 为等腰三角形，又 M 为底边的中点，∴ MN⊥ AB，又∵AB∥CD，∴ MN⊥CD.(2)连结 PM、MC，∵∠ PDA＝45°，PA⊥AD，∴ AP＝AD.∵四边形 ABCD 为矩形，∴AD＝BC，∴ PA＝BC.又∵M 为 AB 的中点，∴ AM＝BM.而∠ PAM＝∠ CBM＝ 90°，∴ PM＝CM.又 N 为 PC 的中点，∴ MN⊥PC.由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面 PCD.8．(13 分)(2013 泉·州模拟 )如下图，在直四棱柱 ABCD －A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点 M 是棱 BB1上一点．(1)求证： B1D1∥平面 A1BD；(2)求证： MD ⊥ AC；(3)试确立点M 的地点，使得平面DMC 1⊥平面CC1D1D.(1)证明由直四棱柱，得BB1∥DD 1，又∵ BB1＝ DD 1，∴ BB1D1D 是平行四边形，∴B1D1∥BD.而 BD? 平面 A1 BD， B1D1?平面 A1BD，∴B1D1∥平面 A1BD.(2)证明∵BB1⊥平面 ABCD， AC? 平面 ABCD，∴BB1⊥AC.又∵ BD⊥AC，且 BD∩BB1＝B，∴ AC⊥平面 BB1 D.而 MD? 平面 BB1D，∴MD⊥AC.(3)解当点 M 为棱 BB1的中点时，平面 DMC 1⊥平面 CC1D1 D.取 DC 的中点 N，D1C1的中点 N1，连结 NN1交 DC1于 O，连结 OM，如下图．∵N是 DC 的中点， BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵ DC 是平面 ABCD 与平面 DCC1D1的交线，而平面 ABCD⊥平面 DCC1D1，∴BN⊥平面 DCC1D1.又可证得 O 是 NN1的中点，∴BM∥ON 且 BM＝ON，即 BMON 是平行四边形．∴BN∥OM.∴OM⊥平面 CC1D1D.∵OM? 平面 DMC 1，∴平面 DMC1⊥平面 CC1D1D.B 级能力打破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题 (每题 5 分，共 10 分 )1．如图 (a)，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 的中点， G 是 EF 的中点，此刻沿 AE、AF 及 EF 把这个正方形折成一个四周体，使 B、C、D 三点重合，重合后的点记为H，如图 (b)所示，那么，在四周体 A－ EFH 中必有()．A ．AH⊥△ EFH 所在平面C．HF ⊥△ AEF 所在平面B．AG⊥△EFHD． HG⊥△ AEF所在平面所在平面分析折成的四周体有AH⊥ EH， AH⊥ FH ，∴AH⊥面 HEF.答案 A2.如图，在斜三棱柱1 1 1 中，∠BAC＝90°，ABC－A B CBC1⊥AC，则 C1在底面 ABC 上的射影 H 必在()．A．直线 AB 上B．直线 BC 上C．直线 AC 上D．△ ABC 内部分析由 BC1⊥AC，又 BA⊥ AC，则 AC⊥平面 ABC1，所以平面 ABC⊥平面ABC1，所以 C1在底面 ABC 上的射影 H 在直线 AB 上．答案 A二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )3.如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，且底面各边都相等， M 是 PC 上的一动点，当点 M 知足 ________时，平面MBD ⊥平面PCD.(只需填写一个你以为正确的条件即可)分析∵PC 在底面 ABCD 上的射影为 AC，且 AC⊥BD，∴ BD⊥ PC.∴当 DM ⊥PC(或 BM⊥PC)时，即有 PC⊥平面 MBD，而 PC? 平面 PCD，∴平面 MBD ⊥平面 PCD.答案DM⊥PC(或 BM⊥PC)4.如图， PA⊥圆 O 所在的平面， AB 是圆 O 的直径， C 是圆 O上的一点， E、F 分别是点 A 在 PB、PC 上的正投影，给出以下结论：①AF⊥PB；② EF⊥PB；③ AF⊥BC；④ AE⊥平面 PBC.此中正确结论的序是 ________．分析由题意知 PA⊥平面 ABC，∴ PA⊥BC.又 AC⊥ BC， PA∩AC＝A，∴ BC⊥平面 PAC.∴BC⊥AF.∵ AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面 PBC，∴ AF⊥PB，AF⊥BC.又 AE⊥ PB， AE∩ AF＝ A，∴ PB⊥平面 AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．答案①②③三、解答题 (共 25 分 )5．(12 分)(2013 汕·头模拟 )如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直 ) 被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中， M 是 BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，相关数据如下图．(1)若 N 是 BC 的中点，证明：AN∥平面 CME；(2)证明：平面 BDE⊥平面 BCD.(3)求三棱锥 D－BCE 的体积．(1)证明连结MN，则MN∥CD，AE∥CD，1又 MN＝AE＝2CD，∴四边形 ANME 为平行四边形，∴AN∥EM.∵AN?平面 CME，EM? 平面 CME，∴AN ∥平面 CME.(2)证明∵ AC ＝ AB ， N 是 BC 的中点， AN ⊥ BC ，又平面 ABC ⊥平面 BCD ，∴AN ⊥平面 BCD.由(1)，知 AN ∥EM ，∴EM ⊥平面 BCD.又 EM? 平面 BDE ，∴平面 BDE ⊥平面 BCD.1(3)解 V D －BCE ＝ V E －BCD ＝3S △BCD ·|EM|1 2 2×4 2＝ 8＝3× 2 × 3.6． (13 分 )(2013 合·肥模拟 )如图，在多面体 ABC －A 1B 1C 1 中，AA 1⊥平面 ABC ，AA 1 綉 BB 1，AB ＝ AC21＝ AA 1 ＝ 2 BC ， B 1C 1 綉2BC.(1)求证： A 1B 1⊥平面 AA 1C ；(2)若 D 是 BC 的中点，求证： B 1D ∥平面 A 1C 1C.(3)若 BC ＝2，求几何体 ABC －A 1B 1C 1 的体积．(1)证明∵ AB ＝ AC ＝22 2 22 BC ，AB ＋AC ＝BC ，∴AB ⊥AC ，又 AA 1⊥平面 ABC ， AB? 平面 ABC ，∴AA 1⊥ AB ， AA 1∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面 AA 1C ，又∵ AA 1 綉 BB 1，∴四边形 ABB 1A 1 为平行四边形．∴A 1B 1∥AB ，∴ A 1B 1⊥平面 AA 1C.(2)证明 ∵B 1C 1 1 BC ，且 D 是 BC 的中点，綉2∴CD 綉 C 1 1，∴四边形 C 1 CDB 1 为平行四边形，B∴B 1D ∥1 ， 1平面 1 1 C 且 1 平面1 1 ，CC BD?A CC C?A C C∴B 1D ∥平面11ACC.(3)解连结 AD ，DC 1，＝V 三棱柱 1 1 1－ABD＋V四棱锥C－AA1 1V A B C C D 1152＝2×1×1×2＋3×( 2×1)×1＝ 6 .特别提示：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各样电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。
新教材高考数学一轮复习第八章8.3空间直线平面的平行课件新人教版ppt
题型二 直线与平面平行的判定与性质 高频考点 角度1|直线与平面平行的判定 [例2] 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，G，F分 别是线段BE，DC的中点． 求证：GF∥平面ADE.
类题通法 1.证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理；二是 先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证 明线面平行． 2．用线面平行的判定定理证明线面平行 (1)关键：在平面内找到一条与已知直线平行的直线． (2)方法：合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行 四边形等证明两直线平行． (3)易错：容易漏掉说明直线在平面外．
类题通法
说明两个平面平行的方法有：①用定义，此类题目常用反证法来 完成证明；②用判定定理或推论(用“线面平行⇒面面平行”)，通过 线面平行来完成证明；③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行” 这一性质进行证明；④借助“传递性”(“传递性”指的是两个平面 同时和第三个平面平行，则这两个平面平行)来完成．面面平行问题 常转化为线面平行，而线面平行又转化为线线平行，需要注意转化思 想应用．
故选ABC
3．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β， 则α与β的位置关系是________．
答案：平行或相交
解析：若α∥β，可以保证存在直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β， 故平行关系有可能；
若α∩β＝l，且a∥b∥c∥l， 此种情况下也能保证存在直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β，故两 平面相交也有可能
题组三 易错自纠 1．设m，l表示两条不同的直线，α表示平面，若m⊂α，则“l∥α” 是“l∥m”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
创新大课堂高三人教版数学理科一轮复习课件7.3空间点、直线、平面间的位置关系
图示
符号表 公共点个 示 数
l⊂α 无数个
l∩α＝A
一个
直线l与平 面α 平行
l∥α
0个
两个平面 平行
α∥β
0个
• 四、平面与平面的位置关系 位置关系 图示 符号表 示
α∩β＝l
公共点个数
两个平面 相交
个(这些 公共点均在交 线l上)
无数
•
• • •
• [基础自测自评] 1．(教材习题改编)已知a，b是异面直线， 直线c平行于直线a，那么c与b • ( ) A．异面 B．相交 C．不可能平行 D．不可 能相交 C [由已知直线c与b可能为异面直线也 可能为相交直线，但不可能为平行直线， 若b∥c，则a∥b.与a，b是异面直线相矛 盾．]
• 5．(教材习题改编)平行六面体ABCD－ A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱 的条数为________． • 解析 如图，与AB和CC1都相交的棱有 BC； • 与AB相交且与CC1平行的棱有AA1， BB1；与 • AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1， 故符 • 合条件的棱共有5条．
相等或互补
．
4．异面直线所成的角(或夹角) (1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直 线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的 锐角(或直角) 线 a 与 b 所成的角．
π (2)范围：0， 2 ．
叫做异面直
• 三、直线与平面的位置关系 位置关 系 直线l在 平面α内 直线l与 平面α相 交
平面的基本性质及应用
• • • •
• [典题导入] 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的 中点，F为A1A的中点， 求证：CE，D1F，DA三线共点．
一轮创新思维文数(人教版A版)课件：第七章第三节空间点、直线、平面之间的位置关系
2．空间两条直线的位置关系 (1)位置关系分类： 相交 直线：同一平面内，有且只有 位置共面直线 一个公共点； 平行 直线：同一平面内，没有公共点； 关系 异面直线：不同在 任何一个平面 内，没有公共点.
A．直线 AC C．直线 CD
B．直线 AB D．直线 BC
解析
答案
考点一
考点二
考点三
(1)A，B，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面． (2)由题意知，D∈l，l⊂β，所以 D∈β， 又因为 D∈AB，所以 D∈平面 ABC， 所以点 D 在平面 ABC 与平面 β 的交线上． 又因为 C∈平面 ABC，C∈β， 所以点 C 在平面 β 与平面 ABC 的交线上， 所以平面 ABC∩平面 β＝CD. [答案] (1)D (2)C
π 0， 2
.
3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 相交 直线与 平面 平行 在平面内
a∥α _____ a⊂α _____
0 个 无数个
符号语言 公共点 ________ a∩α＝A
1 个
图形语言 符号语言 公共点 平面与 平面 平行 相交
α∥β _____
0 个
3．若空间三条直线 a，b，c 满足 a⊥b，b∥c，则直线 a 与 c( D ) A．一定平行 C．一定是异面直线 B．一定相交 D．一定垂直
4．(必修 2· 2.1 练习改编 )两两相交的三条直线最多可确定
3 ________ 个平面．
5． (2017· 高考全国卷Ⅲ改编)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，
第七章
立体几何
考纲解读 1.以常见几何体为模型，利用公理或推
《创新设计》高考数学人教A版(理)一轮复习：第八篇第4讲直线、平面平行的判定及其性质
第 4 讲直线、平面平行的判断及其性质A 级基础操练(时间： 30 分钟满分：55分)一、选择题 (每题 5 分，共 20 分)1．平面α∥平面β，点 A，C∈α，B，D∈β，则直线 AC∥直线 BD 的充要条件是()．A．AB∥CD C．AB 与 CD 订交B．AD∥CBD．A，B，C，D四点共面分析充足性： A，B，C，D 四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必需性明显建立．答案D2．(2013 ·汕头质检 )若 m、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则以下命题中正确的选项是()．A．若 m、n 都平行于平面α，则 m、n 必定不是订交直线；B．若 m、n 都垂直于平面α，则 m、n 必定是平行直线；C．已知α、β相互平行， m、 n 相互平行，若 m∥α，则 n∥β；D．若 m、n 在平面α内的射影相互平行，则m、n 相互平行．分析 A 中， m、n 可为订交直线； B 正确； C 中， n 能够平行β，也能够在β内； D 中， m、 n 也可能异面．故正确的命题是 B. 答案 B3．一条直线 l 上有相异三个点A、B、C 到平面α的距离相等，那么直线l 与平面α的地点关系是()．A．l ∥αB．l⊥αC．l与α订交但不垂直D．l∥α或l?α分析l∥α时，直线l 上随意点到α的距离都相等；l?α时，直线l 上全部的点到 α的距离都是 0；l ⊥α时，直线 l 上有两个点到 α距离相等；l 与 α斜交时，也只好有两个点到 α距离相等． 答案 D，α，α 是三个相互平行的平面，平面 α，α 之间的距离4．(2011 ·西江 )已知 α12312为 d 1，平面 α2，α3之间的距离为 d 2 直线l 与 α1，α2， α3分别订交于 P 1，P 2，.P 3.那么“ P 1P 2＝P 2P 3 ”是“ d 1 ＝d 2”的()．A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充足必需条件D ．既不充足也不用要条件分析 如下图，因为 α2∥α3，同时被第三个平面 P 1P 3N 所截，故有 P 2M ∥ P 3N.再依据平行线截线段成比率易知选C.答案C二、填空题 (每题 5 分，共 10 分)5．过三棱柱 ABC － A 1B 1 C 1 的随意两条棱的中点作直线，此中与平面 ABB 1A 1 平行的直线共有 ________条．分析 过三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的随意两条棱的中点作直线， 记 AC ，BC ，A 1C 1， B 1C 1 的中点分别为 E ，F ，E 1，F 1，则直线 EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面 ABB 1A 1 平行，故切合题意的直线共 6 条．答案 66．α、β、γ是三个平面， a 、b 是两条直线，有以下三个条件：① a ∥γ， b? β；② a ∥γ，b ∥β；③ b ∥β，a? γ.假如命题“ α∩β＝a ，b? γ，且________，则 a ∥b ”为真命题，则能够在横线处填入的条件是________(把全部正确的题填上 )．分析 ①中， a ∥ γ， a? β，b? β，β∩γ＝b? a ∥b(线面平行的性质 )．③中， b ∥β，b? γ，a? γ， β∩γ＝a? a ∥b(线面平行的性质 )．答案 ①③三、解答题 (共 25 分)7．(12 分)如图，在四周体 A －BCD 中， F 、 E 、H 分别是棱 AB 、BD 、 AC 的中点， G 为 DE的中点．证明：直线 HG ∥平面 CEF.证明法一如图，连结BH，BH与CF交于K，连结EK.∵F、H 分别是 AB、 AC 的中点，∴K 是△ ABC 的重心，BK 2∴BH＝3.BE 2又据题设条件知，BG＝3，BK BE∴BH＝BG，∴ EK∥GH.∵EK? 平面 CEF， GH?平面 CEF，∴直线 HG∥平面 CEF.法二如图，取 CD 的中点 N，连结 GN、HN.∵G 为 DE 的中点，∴ GN∥ CE.∵CE? 平面 CEF，GN?平面 CEF，∴GN∥平面 CEF.连结 FH，EN∵F、E、H 分别是棱 AB、BD、AC 的中点，11∴FH 綉2BC，EN 綉2BC，∴ FH 綉 EN，∴四边形 FHNE 为平行四边形，∴ HN∥ EF.∵EF? 平面 CEF， HN?平面 CEF，∴HN∥平面 CEF.HN∩GN＝N，∴平面 GHN∥平面 CEF.∵GH? 平面 GHN，∴直线 HG∥平面 CEF.8．(13 分 )如图，已知 ABCD－A1B1C1D1是棱长为 3 的正方体，点 E 在 AA1上，点 F 在 CC1上， G 在BB1上，且 AE＝FC1＝ B1G＝1，H 是 B1C1的中点．(1)求证： E，B，F， D1四点共面；(2)求证：平面 A1GH∥平面 BED1F.证明(1)∵AE＝B1G＝1，∴ BG＝A1E＝ 2，∴BG 綉 A1E，∴A1G 綉 BE.又同理， C1F 綉 B1G，∴四边形 C1FGB1是平行四边形，∴FG 綉 C1B1綉 D1A1，∴四边形 A1 GFD1是平行四边形．∴A1G 綉 D1F，∴ D1F 綉 EB，故 E、B、F、D1四点共面．3(2)∵ H 是 B1C1的中点，∴ B1H＝2.B1G2又 B1G＝1，∴B1H＝3.FC 2又BC＝3，且∠ FCB＝∠ GB1H＝90°，∴△ B1 HG∽△ CBF，∴∠ B1GH＝∠ CFB＝∠ FBG，∴HG∥FB.又由 (1)知 A1G∥BE，且 HG∩ A1G＝G，FB∩ BE＝ B，∴平面 A1GH∥平面 BED1F.B 级能力打破 (时间： 30 分钟 满分： 45 分)一、选择题 (每题 5分，共 10 分)， 是平面 α内的两条不一样直线； l 1，l 2 是平面 β内的两1．(2013 ·蚌埠模拟 )设 m n条订交直线，则 α∥β的一个充足而不用要条件是 ()．A ．m ∥β且 l 1∥αB ．m ∥ l 1 且 n ∥l 2C ．m ∥β且 n ∥βD ． m ∥β且 n ∥l 2分析关于选项 A ，不合题意；关于选项 B ，因为 l 1 与 l 2 是订交直线，并且由 l 1∥ m 可得 l 1∥α，同理可得 l 2∥α故可得 α∥β，充足性建立，而由 α∥β不必定能获得 l 1∥m ，它们也能够异面， 故必需性不建立， 应选 B ；关于选项 C ，因为 m ，n 不必定订交，故是必需非充足条件；关于选项为 n ∥β，同选项 C ，故不切合题意，综上选 B.D ，由n ∥ l 2 可转变答案B2．(2013 ·沈阳五校联考 )以下四个正方体图形中， A 、B 为正方体的两个极点， M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB ∥平面 MNP 的图形的序是 ()．A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④分析关于图形①：平面MNP与AB所在的对角面平行，即可获得 AB ∥平面 MNP ，关于图形④： AB ∥PN ，即可获得 AB ∥平面 MNP ，图形②、③都不能够，应选 C.答案 C二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )3.如下图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中， E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、DC 的中点， N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 知足条件 ________时，有 MN∥平面 B1BDD1.分析由题意，HN∥面B1BDD1，FH∥面B1BDD 1.∵HN∩FH＝H，∴面 NHF∥面 B1BDD1.∴当 M 在线段 HF 上运动时，有 MN∥面 B1BDD 1.答案M∈线段 HF4．关于平面α与平面β，有以下条件：① α、β都垂直于平面γ；② α、β都平行于平面γ；③ α内不共线的三点到β的距离相等；④ l ，m 为两条平行直线，且 l∥α， m∥β；⑤ l ，m 是异面直线，且 l∥α， m∥α；l∥β， m∥β，则可判断平面α与平面β平行的条件是 ________(填正确结论的序 )．分析由面面平行的判断定理及性质定理知，只有②⑤能判断α∥β.答案②⑤三、解答题 (共 25 分 )5．(12 分)(2013 汕·头模拟 )一个多面体的直观图及三视图如下图： (此中 M、N 分别是 AF、BC 的中点 )．(1)求证： MN∥平面 CDEF；(2)求多面体 A－ CDEF 的体积．π解由三视图可知： AB＝ BC＝ BF＝ 2， DE＝ CF＝ 2 2，∠ CBF＝2.(1)证明：取 BF 的中点 G，连结 MG 、NG，由 M、N分别为 AF、BC 的中点可得， NG∥ CF，MG∥ EF，∴平面 MNG∥平面 CDEF ，又 MN? 平面 MNG，∴MN∥平面 CDEF.(2)取 DE 的中点 H.∵AD＝AE，∴ AH⊥ DE，在直三棱柱 ADE－ BCF 中，平面 ADE⊥平面 CDEF，平面 ADE∩平面 CDEF＝DE. ∴AH⊥平面 CDEF .∴多面体A－CDEF 是以AH 为高，以矩形 CDEF 为底面的棱锥，在△ ADE 中，AH＝ 2.S 矩形CDEF＝ DE·EF＝ 4 2，∴棱锥 A－CDEF 的体积为 V＝1·矩形 CDEF ·＝1×4 2×2＝8 3SAH33.6．(13 分)如下图，四边形ABCD 为矩形， AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F 为 CE 上的点，且 BF⊥平面ACE.(1)求证： AE⊥BE；(2)设 M 在线段 AB 上，且知足 AM＝2MB，试在线段 CE 上确立一点 N，使得 MN∥平面 DAE.(1)证明∵ AD⊥平面ABE，AD∥ BC，∴BC⊥平面 ABE，又 AE? 平面 ABE，则 AE⊥ BC.又∵ BF⊥平面 ACE，AE? 平面 ABE，∴AE⊥BF，又 BC∩ BF＝ B，∴ AE⊥平面 BCE，又 BE? 平面 BCE，∴ AE⊥ BE.(2)解在△ ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△ BEC中过G点作1 GN∥BC 交 EC 于 N 点，连结 MN，则由比率关系易得CN＝3CE.∵MG∥ AE， MG?平面 ADE，AE? 平面 ADE，∴MG∥平面 ADE.同理， GN∥平面 ADE.又∵ GN∩ MG＝G，∴平面 MGN∥平面 ADE.又 MN? 平面 MGN，∴MN∥平面 ADE.∴N 点为线段 CE 上凑近 C 点的一个三平分点 .特别提示：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各样电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。
人教a版高考数学(理)一轮课件：8.3空间点、直线、平面间的位置关系
空间点、直线、平面间的 位置关系
考纲展示
理解空间直线、平面位置关系的定义 , 并了 解以下可以作为推理依据的公理和定理. 公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面 内, 那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理 2:过不在同一条直线上的三点,有且只 有一个平面. 公理 3 : 如果两个不重合的平面有一个公共 点 ,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线. 公理 4: 平行于同一条直线的两条直线平行. 定理 : 空间中如果一个角的两边与另一个角 的两边分别平行, 那么这两个角相等或互补.
)
A.空间中不同三点确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C.一条直线和一个点能确定一个平面 D.梯形一定是平面图形 【答案】D 【解析】空间中不共线的三点确定一个平面,A 错;空间中两两相交于不同 点的三条直线确定一个平面,B 错;经过直线和直线外一点确定一个平面,C 错;D 正确.
∵ E,F 分别是 AB,AA1 的中点,∴ EF∥BA1. 又 A1B∥D1C,∴ EF∥CD1.故 E,C,D1,F 四点共面. (2)∵ EF∥CD1,EF<CD1,∴ CE 与 D1F 必相交,设交点为 P,则由 P∈CE, CE⊂ 平面 ABCD,得 P∈平面 ABCD.同理 P∈平面 ADD1A1.又平面 ABCD∩ 平面 ADD1A1=DA,∴ P∈直线 DA.故 CE,D1F,DA 三线共点.
(填序号).
①没有公共点的两条直线是异面直线; ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面; ③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行; ④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面. 【答案】①② 【解析】没有公共点的两条直线平行或异面,故命题①错;命题②错,此时两 直线有可能相交;命题③正确,因为若直线 a 和 b 异面,c∥a,则 c 与 b 不可能 平行,用反证法证明如下:若 c∥b,又 c∥a,则 a∥b,这与 a,b 异面矛盾,故 c b; 命题④也正确,若 c 与两异面直线 a,b 都相交,由公理 3 可知,a,c 可以确定一 个平面,b,c 也能确定一个平面,这样,a,b,c 共可确定两个平面.
2023新高考数学一轮复习创新课件 第8章 第4讲 空间直线、平面的平行
证明
证法二：在三棱台DEF－ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得 BH∥EF，BH＝EF，
所以四边形HBEF为平行四边形，BE∥HF. 在△ABC中，因为G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB. 又因为GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED. 因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.
OM∥PD，所以PD∥平面AMC，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA．因为
M∈PB，所以OM与平面PBA，平面PBC相交．故选C．
解析
5．如图，平面 α∥平面 β，△PAB 所在的平面与 α，β 分别交于 CD， AB，若 PC＝2，CA＝3，CD＝1，则 AB＝________.
答案
5 2
解析 ∵平面 α∥平面 β，∴CD∥AB，
证明
1．判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)． (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)． (3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)． (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 2．证明线线平行的三种方法 (1)利用基本事实4(a∥b，b∥c⇒a∥c)． (2)利用线面平行的性质定理(a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b)． (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b)．
∴PPAC＝CADB，∴AB＝PAP·CCD＝5×2 1＝52.
解析 答案
6．已知下列命题： ①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内； ②若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内，则 l∥α； ③若直线 l 与平面 α 相交，则 l 与平面 α 内的任意直线都是异面直线； ④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与 该平面相交； ⑤若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的直线平行或异面； ⑥若平面 α∥平面 β，直线 a⊂α，直线 b⊂β，则 a∥b. 其中正确的是________(填序号)． 答案 ①⑤
2015届《创新设计》高考数学(江苏版,理科)8-3
又EC⊂平面ACE，NM⊄平面ACE，所以MN∥平面ACE，即在PD 上存在一点E，使得NM∥平面ACE.
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
1．平行关系的转化方向如图所示：
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到 “高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到 “面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但 也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可 过于“模式化”．
.
(1)证明 由题设知，BB1 綉 DD1，∴四边形 BB1D1D 是平行四边
形，∴BD∥B1D1. 又 BD⊄平面 CD1B1，B1D1⊂平面 CD1B1 ∴BD∥平面 CD1B1.
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
∵A1D1 綉 B1C1 綉 BC，
∴四边形 A1BCD1 是平行四边形， ∴A1B∥D1C. 又 A1B⊄平面 CD1B1，D1C⊂平面 CD1B1 ∴A1B∥平面 CD1B1. 又∵BD∩A1B＝B， ∴平面 A1BD∥平面 CD1B1.
∴K 是△ABC 的重心，
∴BBHK＝23.
又据题设条件知，BBGE＝23，
∴BBHK＝BBGE，∴EK∥GH.
∵EK⊂平面 CEF，GH⊄平面 CEF，
图1
∴直线 HG∥平面 CEF.
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
法二 如图 2，取 CD 的中点 N，连接 GN、HN. ∵G 为 DE 的中点，∴GN∥CE. ∵CE⊂平面 CEF，GN⊄平面 CEF， ∴GN∥平面 CEF.连接 FH，EN ∵F，E，H 分别是棱 AB，BD，AC 的中点，
【配套课件】《创新设计·高考一轮总复习》数学 人教A版(理)第八篇 第4讲 直线、平面平行的判定及其性质
(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，
交线 平行．即：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒ 那么它们的______ a∥b ________.
【助学· 微博】 一个转化关系 平行问题的转化关系
两点提醒
(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线a 在已知平面外；二是直线b在已知平面内；三是两直线 平行． (2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知
(
)．
选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行
直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，
则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可
以同时垂直于同一个平面；选项D，正确． 答案 D
3．(2013· 长沙模拟)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线
b与平面α的位置关系是 A．b⊂α C．b⊂α或b∥α 解析 B．b∥α D．b与α相交或b⊂α或b∥α ( )．
所以M为AB′中点．
又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′. 又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′， 因此MN∥平面A′ACC′.
法二
取A′B′的中点P，连接MP，
NP，AB′，如图，而M，N分别为AB′ 与B′C′的中点，
所以MP∥AA′，PN∥A′C′，
所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面 A′ACC′.
的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 解析 A错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但
两条母线相交；B错误，△ABC的三个顶点中，A、B在α的同
侧，而点C在α的另一侧，且AB平行于α，此时可有A、B、C三 点到平面α距离相等，但两平面相交；D错误，如教室中两个相 邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，故选C. 答案 C
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第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点．答案 A2．若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是()．A．平行B．异面C．相交D．平行、异面或相交解析经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D.答案 D3．以下四个命题中，正确命题的个数是()．①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3解析①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．答案 B4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是()．A．A1、M、O三点共线B．M、O、A1、A四点共面C．A、O、C、M四点共面D．B、B1、O、M四点共面解析因为O是BD1的中点．由正方体的性质知，点O在直线A1C上，O也是A1C的中点，又直线A1C交平面AB1D1于点M，则A1、M、O三点共线，A正确；又直线与直线外一点确定一个平面，所以B、C正确．答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编是________(写出所有正确结论的编)．解析只有当a∥b时，a，b在α上的射影才可能是同一条直线，故③错，其余都有可能．答案①②④6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序都填上)．解析直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．答案③④三、解答题(共25分)7．(12分)如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綉12AD ，BE 綉12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点． (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？(1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綉12AD . 又BC 綉12AD ，∴GH 綉BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形． (2)解 由BE 綉12AF ，G 为F A 中点知，BE 綉FG ， ∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綉CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面． 8．(13分)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的A 1C 1面上有一点P (如图所示，其中P 点不在对角线B 1D 1)上．(1)过P 点在空间作一直线l ，使l ∥直线BD ，应该如何作图？并说明理由；(2)过P 点在平面A 1C 1内作一直线m ，使m 与直线BD 成α角，其中α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，这样的直线有几条，应该如何作图？解 (1)连接B 1D 1，BD ，在平面A 1C 1内过P 作直线l ，使l ∥B 1D 1，则l 即为所求作的直线，如图(a)．∵B 1D 1∥BD ，l ∥B 1D 1，∴l ∥直线BD .图(a)(2)∵BD ∥B 1D 1，∴直线m 与直线BD 也成α角，即直线m 为所求作的直线，如图(b)．由图知m 与BD 是异面直线，且m 与BD 所成的角α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.当α＝π2时，这样的直线m 有且只有一条，当α≠π2时，这样的直线m 有两条．图(b)B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·吉林一模)一个正方体的展开图如图所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )．A ．AB ∥CD B ．AB 与CD 相交C ．AB ⊥CDD ．AB 与CD 所成的角为60°解析 如图，把展开图中的各正方形按图(a)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图(b)所示的直观图，可见选项A 、B 、C 不正确．∴正确选项为D.图(b)中，DE ∥AB ，∠CDE 为AB 与CD 所成的角，△CDE 为等边三角形，∴∠CDE ＝60°.答案 D2.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )．A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析 如图，连接AB 1，易知AB 1∥EF ，连接B 1C交BC 1于点G ，取AC 的中点H ，连接GH ，则GH ∥AB 1∥EF .设AB ＝BC ＝AA 1＝a ，连接HB ，在△GHB 中，易知GH ＝HB ＝GB ＝22a ，故两直线所成的角即为∠HGB ＝60°. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3.如图所示，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形，当AC ，BD 满足条件________________时，四边形EFGH 是正方形．解析 易知EH ∥BD ∥FG ，且EH ＝12BD ＝FG ，同理EF ∥AC ∥HG ，且EF ＝12AC ＝HG ，显然四边形EFGH 为平行四边形．要使平行四边形EFGH 为菱形需满足EF ＝EH ，即AC ＝BD ；要使四边形EFGH 为正方形需满足EF ＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.答案AC＝BD AC＝BD且AC⊥BD4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．解析法一在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．法二在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．答案无数三、解答题(共25分)5．(12分)如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K，求证：M、N、K三点共线．证明∵M∈PQ，直线PQ⊂平面PQR，M∈BC，直线BC⊂面BCD，∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M 在面PQR与面BCD的交线l上．同理可证：N、K也在l上．∴M、N、K三点共线．6．(13分)在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与P A所成角的余弦值．解(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PO ⊥面ABCD ，∴∠PBO 是PB 与面ABCD 所成的角， 即∠PBO ＝60°，在Rt △POB 中， ∵BO ＝AB ·sin 30°＝1，又PO ⊥OB ，∴PO ＝BO ·tan 60°＝3， ∵底面菱形的面积S 菱形ABCD ＝2 3.∴四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13×23×3＝2. (2)取AB 的中点F ，连接EF ，DF ， ∵E 为PB 中点，∴EF ∥P A ，∴∠DEF 为异面直线DE 与P A 所成角(或其补角)．在Rt △AOB 中，AO ＝AB ·cos 30°＝3＝OP ，∴在Rt △POA 中，P A ＝6，∴EF ＝62.在正三角形ABD 和正三角形PDB 中，DF ＝DE ＝3，∴cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF ＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622－(3)22×3×62＝6432＝24.即异面直线DE 与P A 所成角的余弦值为24.。