重庆市经开礼嘉中学2021届高三数学下学期期中试题 文
重庆高三高中数学期中考试带答案解析
重庆高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知命题：，则是（）A．B．C．D．2.集合（其中是虚数单位）中元素的个数是（）A．1B．2C．4D．无穷多个3.在上随机取一个数x，则的概率为（）A．B．C．D．4.购物大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件5.已知，则=（）A．B．C．D．6.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( )A．B．C．D．7.要得到函数的图象，可以把函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8.实数x、y满足若目标函数取得最大值4，则实数的值为( )A．B．2C．1D．9.设数列满足 ,且对任意,函数满足，若，则数列的前项和为( )A．B．C．D．10.函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则的最大值为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题1.一组样本数据的茎叶图如右：，则这组数据的平均数等于 .2.若向量相互垂直，则点（2，3）到点（x，y）的距离的最小值为 .3.执行右边的程序框图，若，则输出的n= .4.已知函数满足，且的导函数，则的解集为____________.5.设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则_______.三、解答题1.已知等差数列中，.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)当取最大值时求的值.2.某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.(Ⅰ)若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？(Ⅱ)在（1）的条件下，该市决定在第3,4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.3.设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，（Ⅰ）求A的值；（Ⅱ）求函数的单调递增区间.4.如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,底面,,,．(Ⅰ)求证:平面平面；(Ⅱ)若,求四棱锥的体积．5.如图是某重点中学学校运动场平面图，运动场总面积15000平方米，运动场是由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成，塑胶跑道宽8米，已知塑胶跑道每平方米造价为150元，其它部分造价每平方米80元，（Ⅰ）设半圆的半径（米），写出塑胶跑道面积与的函数关系式；（Ⅱ）由于受运动场两侧看台限制，的范围为，问当为何值时，运动场造价最低（第2问取3近似计算）.6.已知圆直线与圆相切，且交椭圆于两点，是椭圆的半焦距，，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）O为坐标原点，若求椭圆的方程；(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，设椭圆的左右顶点分别为A，B，动点，直线AS，BS与直线分别交于M,N两点，求线段MN的长度的最小值.重庆高三高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.已知命题：，则是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】特称命题：“”的否定为“”.故选.【考点】简单逻辑，特称命题的否定.2.集合（其中是虚数单位）中元素的个数是（）A．1B．2C．4D．无穷多个【答案】C【解析】.因为，所以，以后的值便重复出现，所以共有4个元素.【考点】复数的基本概念及运算.3.在上随机取一个数x，则的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得：，由几何概型得：.【考点】1、一元二次不等式的解法；2、几何概型.4.购物大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】在购物大姐眼中，便宜，则不是好货，这是一个真命题，它的逆否命题是：好货，则不便宜，也该是一个真命题.所以“不便宜”是“好货”的必要条件. 购物大姐没说“不是好货就便宜”，所以不能说“不便宜，则是好货”是一个真命题.故选.【考点】充分条件与必要条件.5.已知，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以..【考点】同角三角函数基本关系式.6.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体由一个正三棱柱和一个球体构成.根据图中尺寸可得，其体积：.【考点】1、三视图；2、几何体的体积.7.要得到函数的图象，可以把函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】A【解析】，向左平移个单位即可.【考点】三角函数图象的变换.8.实数x、y满足若目标函数取得最大值4，则实数的值为( )A．B．2C．1D．【答案】B【解析】作出不等式组表示的区域如图所示，由图可知，直线系过点时，取最大值，所以.【考点】线性规划.9.设数列满足 ,且对任意,函数满足，若，则数列的前项和为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】.因为，所以：，所以是一个等差数列. ，又，，所以 .【考点】1、等差数列等比数列的通项及前项和；2、导数.10.函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】法一、由得：，所以，作出其图象如图所示：不妨设，则易证，且.所以.令，，则，由得：，即在上单调递增，在上单调递减，所以，即，当时取等号.选法二、由得：，.所以.当且仅当时取等号.【考点】1、分段函数；2、新定义（创新意识）；3、最值问题；4、导数的应用.二、填空题1.一组样本数据的茎叶图如右：，则这组数据的平均数等于 .【答案】23【解析】.【考点】样本数据的基本数字特征（平均数）.2.若向量相互垂直，则点（2，3）到点（x，y）的距离的最小值为 .【答案】【解析】由已知得：，所以点（2，3）到点（x，y）的距离的最小值即为点到直线的距离：.【考点】1、向量的数量积及向量的垂直关系；2、点到直线的距离.3.执行右边的程序框图，若，则输出的n= .【答案】4【解析】由框图得每次循环的结果为：，所以.【考点】程序框图.4.已知函数满足，且的导函数，则的解集为____________.【答案】【解析】设，则，所以在上单调递增.又因为，所以时，；时，.所以的解为.【考点】1、导数的应用；2、解不等式.5.设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则_______.【答案】【解析】由题意得：,①+②+③得：，由此可得：，.，.因为，所以,即.【考点】1、双曲线的应用；2、解方程组.三、解答题1.已知等差数列中，.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)当取最大值时求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由可得公差，再由便可得通项公式.(Ⅱ) 等差数列的前项和为关于的二次式，所以求出前项和结合二次函数图象便可得其最大值及相应的的值.试题解析：（Ⅰ）由 6分(Ⅱ)因为.对称轴为时取最大值15. 13分【考点】1、等差数列的通项及前项和；2、函数的最值.2.某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.(Ⅰ)若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？(Ⅱ)在（1）的条件下，该市决定在第3,4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.【答案】（Ⅰ）第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，可得第3组,第4组，第5组的人数. 分层抽样就是按比例抽样，根据比例即可得各组抽取的人数.(Ⅱ)将第3组,第4组的志愿者编号，然后一一列举出所有可能结果，再数出第4组至少有一名志愿者的所有可能结果，由古典概型公式便可得所求概率.试题解析：（Ⅰ）第3组的人数为0.3×100=30,第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为0.1×100="10." 因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:×6="3;" 第4组:×6="2;" 第5组:×6=1.所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. 6分(Ⅱ)记第3组的3名志愿者为A 1,A 2,A 3,第4组的2名志愿者为B 1,B 2,.则从5名志愿者中抽取2名志愿者有: (A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),,(A 3,B 1),(A 3,B 2),(B 1,B 2)共有10种. 9分 其中第4组的2名志愿者B 1,B 2至少有一名志愿者被抽中的有:(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(B 1, B 2),共有7种 11分 所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为. 13分【考点】1、频率分布直方图；2、古典概型.3.设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，（Ⅰ）求A 的值； （Ⅱ）求函数的单调递增区间.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）将所有正弦换成相应的边然后用余弦定理求解. （Ⅱ）将降次化一，化为的形式，即可求得其单调递增区间. 试题解析：（Ⅰ）. 6分（Ⅱ）由所以函数的单增区间为:13分【考点】1、余弦定理；2、三角恒等变换及三角函数的单调区间.4.如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,底面,,,．(Ⅰ)求证:平面平面；(Ⅱ)若,求四棱锥的体积． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由,,，易得，从而平面，由此可得平面平面． (Ⅱ)思路一、由（Ⅰ）知，平面，所以，即是一个直角三角形，这样可得四边形的面积.又平面平面，所以过D 作的垂线，该垂线即垂直于平面，由此可得该棱锥的高，从而求得其体积. 思路二、将四棱锥分割为以下两部分：三棱锥和，这两个三棱锥的体积相等，我们可先求其中的一个. 而三棱锥即为三棱锥，这个三棱锥的体积就很易求了.试题解析：（Ⅰ）证明：在中,由余弦定理得：，所以,所以,即， 3分又四边形为平行四边形,所以，又底面,底面,所以，又,所以平面, 5分又平面,所以平面平面． 6分(Ⅱ)法一：连结，∵，∴∵平面，所以， 8分所以四边形的面积， 10分取的中点，连结，则，且，又平面平面,平面平面，所以平面，所以四棱锥的体积：． 12分法二: 四棱锥的体积， 8分而三棱锥与三棱锥底面积和高均相等， 10分所以． 12分【考点】1、空间两平面的垂直；2、空间几何体的体积.5.如图是某重点中学学校运动场平面图，运动场总面积15000平方米，运动场是由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成，塑胶跑道宽8米，已知塑胶跑道每平方米造价为150元，其它部分造价每平方米80元，（Ⅰ）设半圆的半径（米），写出塑胶跑道面积与的函数关系式；（Ⅱ）由于受运动场两侧看台限制，的范围为，问当为何值时，运动场造价最低（第2问取3近似计算）.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）塑胶跑道由两个半圆和两个矩形构成，利用圆和矩形的面积公式便可得其面积.（Ⅱ）单位造价乘以面积便得总造价，这样可得总造价与半径的关系式：，这个式子可用重要不等式求其最小值及相应的半径.试题解析：（Ⅰ）5分（Ⅱ）总造价：8分令，则∴在区间上单调递减故当时，总造价最低. 12分【考点】1、函数的应用；2、重要不等式.6.已知圆直线与圆相切，且交椭圆于两点，是椭圆的半焦距，，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）O为坐标原点，若求椭圆的方程；(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，设椭圆的左右顶点分别为A，B，动点，直线AS，BS与直线分别交于M,N两点，求线段MN的长度的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）椭圆的方程为；(Ⅲ).【解析】（Ⅰ）直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径.设圆的圆心为半径分别为，直线的方程为.若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，将已知条件代入这个公式，即可得的值.(Ⅱ)将代入得：得关于的二次方程.设则是这个方程的两个根.因为，所以，再结合韦达定理，可得一个含的等式，与联立解方程组即可求得的值.(Ⅲ)思路一、在（Ⅱ）的条件下，椭圆的方程为：，动点，则将其代入椭圆方程，便得：①.设，，则.两式相乘再利用①式可消去得，再用重要不等式便可得线段MN的长度的最小值.思路二、选定一个量作为变量，其余的量都用这个量来表示，最终用这个量表示出线段MN的长度.那么选哪一个量作为变量呢？显然直线AS的斜率存在，设为且，然后用表示出点的坐标，从而表示出线段MN的长度.再用重要不等式便可得线段MN的长度的最小值.试题解析：（Ⅰ）直线与圆相切,所以 4分(Ⅱ) 将代入得：得:①设则②因为由已知代人②所以椭圆的方程为 8分(Ⅲ)法一、在（Ⅱ）的条件下，椭圆的方程为：，将动点的坐标代入椭圆方程，便得：①设，，则.两式相乘得②由①得：，代入②得：，显然异号.所以线段MN的长度，当时取等号. 法二、显然直线AS的斜率存在，设为且则依题意，由得：设则即，又B（2，0）所以 BS：由所以时： 12分【考点】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、函数的最值.。
2021年重庆市经开礼嘉中学校高三语文下学期期末试题及答案解析
2021年重庆市经开礼嘉中学校高三语文下学期期末试题及答案解析一、现代文阅读（36分）(一)现代文阅读I(9分)阅读下面的文字，完成下面小题。
三婶的秤叶瑞芬这天，素来恩爱的三叔三婶忽然吵起架来，一怒之下的三叔还把三婶赶出了家门，我们连忙赶过去劝架。
原来因为肚子里有点儿墨水的三婶，前些年被选当上村委会委员，今天竟然在村委会游说下，当上了村里的村党支部副书记。
三叔闻讯气不打一处来，责备三婶不安分守己，偏要出头露面，竟敢去当这空壳村的出头鸟。
想当初三婶高中毕业后，没舍得离开父母，又回到了村里，种田耕地，直到嫁给了三叔。
小两口承包了一口鱼塘，还圈养了鸡鹅鸭。
养殖场每天开门纳客，吸引了附近农贸市场的小商小贩，生意盈门，很快成了远近有名的养殖户。
而三婶手上那杆秤，更成为十里八乡、人人称羡的标配。
然而，困难也随之而来，一村子经济发展缓慢，房子普遍破破烂烂，连通往集市的路也是凹凸不平的，每逢雨天泥泞不堪，前来进货的商贩总是抱怨连连，三叔三婶心里也很不是滋味。
“你这头发长见识短的，你知道不知道那个劳什子村委会1毛钱都没有，还欠着10多万元外债呢?就连屋里的火炉都只是摆设，根本无煤可烧!”三叔不顾众人围观，对着三婶咆哮道。
“村子再穷也是咱们的家啊!你不管他不管，咱们村民怎么办?”三婶人好，是村里有口皆碑的事买。
邻居李婆婆病了，三婶亲自骑着摩托车把李婆婆用背带绑在身上送到医院，垫付了500元的医疗费；村头的聋哑人赵叔公女儿出嫁，三婶出钱帮他们置办了嫁妆，主持了婚事；村尾的王寡妇家婆去世时，三婶帮忙操办了丧事：8岁的小敏敏父母遭遇车祸去世，三婶不仅送她奶奶去养老院，还把小敏敏接到自己家中照顾。
眼见三叔三婶两人僵持不下，心眼活络的二婶忽然排众而出，附在三叔耳朵根上说了好大一会儿，三叔的脸色这才从红转白，慢慢平和了下来。
平静下来的三叔和三婶定下了协议，然后三婶就轻装上阵了。
上任第一天，三婶就从家里背着煤去，把一个村委会办公室烤得温暖如春。
重庆市经开礼嘉中学2021届高三语文下学期期中试题.doc
重庆市经开礼嘉中学2021届高三语文下学期期中试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、现代文阅读（36 分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）（原创）阅读下面的文字，完成 1-3 题。
随着现代学术不断走向专业化与职业化，追求“高精尖”对学者具有极大吸引力。
相比之下，文化科学普及工作显得有些简单。
无论在学者的科研项目里，还是在学术评价体系中，普及都是一个不那么“高大上”的领域。
有意思的是，社会大众对普及读物的需求却空前强烈——他们期待了解科技新发展，希望掌握经济、法律、心理相关知识，愿意学习中华优秀传统文化。
学界的“高冷”和大众的“热情”形成鲜明反差，反映出当前我国学者撰写的科学普及读物缺乏。
在科学领域，以天文学为例，在近年译介的普及读物中，我们看到包括引力波的发现者、诺贝尔奖得主基普·索恩等一大批科学家的名字。
在中华优秀传统文化普及方面，近年来我们取得不小进步，但仍有较大提高空间。
比如，目前学者撰写的汉字普及读物中，影响较广的是瑞典学者林西莉的《给孩子的汉字王国》，这让我们不禁思考我国作者在创作方面还有哪些不足。
文化科学普及是基础教育与社会教育不可或缺的环节，既关乎文化传承、科学普及的树人大计，更是满足人民群众精神文化需求的重要方式。
在这样一个领域上，亟待中国当代学者投入更多精力，拿出更多高水平作品。
学术大家从事普及工作是中国学界的优良传统。
新文化运动以来，面向大众的知识普及与文化传播，成为中国知识分子的自觉担当。
不少名家，如朱自清、顾颉刚、王力、朱光潜、李长之、陆宗达，他们笔下的科普读物篇幅不大、内容平易、语言轻松，却有着深厚的学术积淀与教育热忱。
朱自清《经典常谈》，用朴素清晰的笔触介绍经史子集中的经典著作，为初学者娓娓讲述传统文化要义与精神；李长之《孔子的故事》饱含深情地讲述孔子生平，展现孔子在风雨飘摇中的理想与坚持；王梓坤《科学发现纵横谈》，从东西方的科学传统出发，深入浅出地讲解科学的方法与世界观……无论“常谈”“故事”还是“纵横谈”，前辈学者的努力形成了中国文化科学普及的优良传统。
重庆经开礼嘉中学2018-2019学年高三数学文联考试题含解析
重庆经开礼嘉中学2018-2019学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆交双曲线C于P、Q、M、N四点，且四边形PQMN为正方形，则双曲线C的离心率为（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】设、、、分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出，将点的坐标代入双曲线的方程，即可求出双曲线的离心率.【详解】设双曲线的焦距为，设、、、分别为第一、二、三、四象限内的点，由双曲线的对称性可知，点、关于轴对称，、关于原点对称，、关于轴对称，由于四边形为正方形，则直线的倾斜角为，可得，将点的坐标代入双曲线的方程得，即，设该双曲线的离心率为，则，整理得，解得，因此，双曲线的离心率为.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.2. 已知，且，则的值为A． B. C. D.参考答案：C略3. 已知全集,集合X={x|x2－x=0},Y={x|x2+x=0},则等于( )A． B．{0} C．｛1｝ D．{－1,0,1}参考答案：C略4. 执行如图1所示的程序框图，输出的S值为A． B．C． D．2（）参考答案：C5. 数列{a n}满足a n+2=2a n+1﹣a n，且a2014，a2016是函数f（x）=+6x﹣1的极值点，则log2（a2000+a2012+a2018+a2030）的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】利用导数研究函数的极值；等差数列的性质．【专题】计算题；函数思想；转化思想；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出．【解答】解：函数f（x）=+6x﹣1，可得f′（x）=x2﹣8x+6，∵a2014，a2016是函数f（x）=+6x﹣1的极值点，∴a2014，a2016是方程x2﹣8x+6=0的两实数根，则a2014+a2016=8．数列{a n}中，满足a n+2=2a n+1﹣a n，可知{a n}为等差数列，∴a2014+a2016=a2000+a2030，即a2000+a2012+a2018+a2030=16，从而log2（a2000+a2012+a2018+a2030）=log216=4．故选：C．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．6. 已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）=0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是( )A．（0，1）B．（0，2）C．（1，2）D．（0，3）参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知中函数，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）=0恰有五个不同的实数解，我们可以根据函数f（x）的图象分析出实数a的取值范围．【解答】解：函数的图象如下图所示：关于x的方程f2（x）=af（x）可转化为：f（x）=0，或f（x）=a，若关于x的方程f2（x）=af（x）恰有五个不同的实数解，则f（x）=a恰有三个不同的实数解，由图可知：0＜a＜1故选A【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知中函数的解析式，画出函数的图象，再利用数形结合是解答本题的关键．7. 某中学有学生3000人，其中高一、高三学生的人数是1200人、800人，为了解学生的视力情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个480人的样本，则样本中高一、高二学生的人数共有（）人。
重庆市经开礼嘉中学2020届高三下学期期中数学(理)试题
重庆市经开礼嘉中学2020届高三下学期期中数学（理）试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 已知集合，则（）A．B．C．D．2. 已知复数满足(为虚数单位)，且，则正数的值为（）A．B．C．D．3. 已知某超市2019年中的12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，则下列说法中，错误的是（）A．该超市在2019年的12个月中，7月份的收益最高；B．该超市在2019年的12个月中，4月份的收益最低；C．该超市在2019年7月至12月的总收益比2109年1月至6月的总收益增长了90万元；D．该超市在2019年1月至6月的总收益低于2109年7月至12月的总收益.4. 冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞(4，2，1)，最终都会归入“4-2-1”的模式.该结论至今既没被证明，也没被证伪. 下边程序框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的（）A ．B ．C ．D ．5. 在正方体中，分别是的中点，为正方形的中心，则（）A ．直线是异面直线，且B ．直线是异面直线且C ．直线是相交直线，且D ．直线是相交直线且6. 等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为2，则（）A ．B．112C ．D．1217. 空间直角坐标系中的点满足，则恰有两个坐标相同的点有（）A．个B．个C．个D．个8. “”是“为函数的极小值点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9. 函数的图象大致为（）A．B．C．D．10. 函数的部分图象如图所示，且的图象过两点，为了得到的图象，只需将的图象（）A．向右平移B．向左平移C．向左平移D．向右平移11. 已知分别是双曲线的中心和右焦点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于两点(异于原点)，若，则双曲线的离心率为（）A．B．D．C．12. 已知四棱锥的棱长都是，为的中点，则经过的平面截四棱锥所得截面的面积为（）A．B．C．D．二、填空题13. 若，若，则________________．14. 在第35届全国中学生数学冬令营中，某市甲?乙两所学校数学冬令营成绩的茎叶图如下图：已知甲校成绩的中位数?平均分都比乙校成绩的中位数?平均分少1分，则_____________.15. 设数列满足，，则数列的前40项和是_____．三、双空题16. 已知抛物线的焦点，过其准线与轴的交点作直线，（1）若直线与抛物线相切于点，则=_____________.（2）设，若直线与抛物线交于点，且，则=_____________.四、解答题17. 设函数.（1）求的单调增区间；（2）在中，若，且，求的值.18. 某次数学测验共有12道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分. 在这次数学测验中，考生甲每道选择题都按照规则作答，并能确定其中有9道题能选对；其余3道题无法确定正确选项，在这3道题中，恰有2道能排除两个错误选项，另1题只能排除一个错误选项. 若考生甲做这3道题时，每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项作答，且各题作答互不影响.在本次测验中，考生甲选择题所得的分数记为（1）求的概率；（2）求的分布列和数学期望.19. 如图，在由三棱锥和四棱锥拼接成的多面体中，平面，平面平面，且是边长为的正方形，是正三角形.（1）求证：平面；（2）若多面体的体积为，求与平面所成角的正弦值.20. 已知椭圆：的右焦点为，过作两条直线分别与圆：相切于，且为直角三角形. 又知椭圆上的点与圆上的点的最大距离为.（1）求椭圆及圆的方程；（2）若不经过点的直线：(其中)与圆相切，且直线与椭圆交于，求的周长.21. 已知函数（1）若为单调增函数，求实数的值；（2）若函数无最小值，求整数的最小值与最大值之和.22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，(为参数)，直线的普通方程为，设与的交点为，当变化时，记点的轨迹为曲线. 在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的方程为.（1）求曲线的普通方程；（2）设点在上，点在上，若直线与的夹角为，求的最大值.23. 已知，，.（1）求的取值范围；（2）求证：.。
解析】重庆市经开礼嘉中学2020届高三下学期期中考试数学(文)试题 Word版含解析
经开礼嘉中学2020届高三下学期期中考试数学(文科)一､选择题1.设集合P ＝{x |x +2≥x 2}，Q ＝{x ∈N ||x |≤3}，则P ∩Q ＝（ ） A. [﹣1，2] B. [0，2] C. {0，1，2} D. {﹣1，0，1，2} 【★答案★】C 【解析】 【分析】解不等式x +2≥x 2求出集合P ，再求出集合Q ，再利用集合的交集运算即可算出结果.【详解】解不等式x +2≥x 2，得12x -≤≤，∴集合P ＝{x |x +2≥x 2}＝{}12x x -≤≤，又∵集合Q ＝{x ∈N ||x |≤3}＝{0，1，2，3}， ∴P ∩Q ＝{0，1，2}， 故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，是容易题.2.已知向量()1,2a =，()1,b x =-，若//a b ，则b =（ ） 5 B.525 D. 5【★答案★】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算计算出x ，再由模的坐标表示求模． 【详解】∵//a b ，∴12(1)0x ⨯-⨯-=，2x =-，∴22(1)(2)5b =-+-=．故选：C ．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查向量模的坐标表示．属于基础题．3.复数12z i =+，若复数1z ， 2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =（ ） A. 5- B. 5C. 34i -+D. 34i -【★答案★】A【解析】 【分析】 首先求出复数22z i =-+，再根据复数的代数形式的乘法运算法则计算可得；【详解】解：由题意可知22z i =-+，所以212(2i)(2i)4i 5z z =+-+=-+=-，故选：A ．【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，以及复数代数形式的乘法运算，属于基础题. 4.一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是（ ）A . 甲同学三个科目都达到优秀 B. 乙同学只有一个科目达到优秀 C. 丙同学只有一个科目达到优秀 D. 三位同学都达到优秀的科目是数学【★答案★】C 【解析】 【分析】 根据题意推断出乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，甲至少有一科优秀，从而得出★答案★. 【详解】甲说有一个科目每个人都达到优秀，说明甲乙丙三个人每个人优秀的科目至少是一科，乙说英语没有达到优秀，说明他至多有两科达到优秀，而丙优秀的科目不如乙多，说明只能是乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，故B 错误，C 正确；至于甲有几个科目优秀，以及三人都优秀的科目到底是语文还是数学，都无法确定故选：C 【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.5.2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为（ ）A. 0.7B. 0.4C. 0.6D. 0.3【★答案★】C 【解析】 【分析】现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，2名护士分别记为A 、B ，3名医生分别记为a 、b 、c ，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可得所求事件的概率.【详解】重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，2名护士记为A 、B ，3名医生分别记为a 、b 、c ，所有的基本事件有：(),A B 、(),A a 、(),A b 、(),A c 、(),B a 、(),B b 、(),B c 、(),a b 、(),a c 、(),b c ，共10种，其中事件“恰有1名医生和1名护士被选中”所包含的基本事件有： (),A a 、(),A b 、(),A c 、(),B a 、(),B b 、(),B c ，共6种，因此，所求事件的概率为60.610P ==. 故选：C.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.6.已知一组数据12345,,,,x x x x x 的平均数是m ，方差是n ，将这组数据的每个数都乘以(0) a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ）A. 这组新数据的平均数是mB. 这组新数据的平均数是a m +C. 这组新数据的方差是anD. 这组新数据的标准差是【★答案★】D 【解析】 【分析】根据一组数据的平均数与方差、标准差的定义与性质，即可得出这组新数据的平均数、方差和标准差．【详解】解：一组数据的平均数为m ，方差为n ， 将这组数据的每个数都乘以(0)a a >，得到一组新数据， 则这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为．故选：D ．【点睛】本题考查了一组数据的平均数、方差和标准差的定义与性质应用问题，属于基础题．7.已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩表示的平面区域为D ，若()x y D ∀∈,，2x y a +≤为真命题，则实数a 的取值范围是 A. [)5,+∞ B. [)2,+∞ C. [)1,+∞ D. [)0,+∞【★答案★】A 【解析】 【分析】本题可先通过线性规划得出平面区域D ，在解出2x y +的取值范围，最后得出a 的取值范围．【详解】绘制不等式组107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩表示的可行域如图所示，令2z x y =+，结合目标函数2z x y =+的几何意义可得2z x y =+在点B 处取得最大值，联立直线方程可得10770x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得4373x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即47,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则max 472533z =⨯+=. 结合恒成立的条件可知5a ≥，即实数a 的取值范围是[)5,+∞，本题选择A 选项．【点睛】求线性目标函数z ax by =+的最值，当b 0>时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b 0<时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.解本题时，由线性规划知识确定2x y +的最值，然后结合恒成立的条件确定实数a 的取值范围即可． 8.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（ ） A. 183 B. 182C. 123D. 243【★答案★】B 【解析】 【分析】如图所示，设此圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l .可得πr 2+πrl ＝36π，2πr ＝l •23π，联立解得：r ，l ，h 22l r =-. 即可得出该圆锥的轴截面的面积S 12=•2r •h ＝rh . 【详解】如图所示，设此圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l . 则πr 2+πrl ＝36π，化为：r 2+rl ＝36，2πr ＝l •23π，可得l ＝3r . 解得：r ＝3，l ＝9，h 22l r =-=62. 该圆锥的轴截面的面积S 12=•2r •h ＝rh 2=2. 故选：B.【点睛】本题考查了圆锥的表面积、弧长的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9.若函数f （x ）＝alnx （a ∈R ）与函数g （x）=a 的值为（ ） A. 4B.12C.2e D. e【★答案★】C 【解析】 【分析】根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a 的值和切点坐标，问题可解.【详解】由已知得()()a f x g x x ''==，，设切点横坐标为t，∴alnt a t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22e t e a ==，. 故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于中档题.10.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右支上一点，M 是线段1F P 的中点，O 是坐标原点，若1OF M △周长为3c a +（c 为双曲线的半焦距），13F MO π∠=，则双曲线E 的渐近线方程为（ ）A. 2y x =±B. 12y x =±C. y =D.y x = 【★答案★】C 【解析】 【分析】从1OF M 周长为3c a +，M 是线段1F P 的中点入手，结合双曲线的定义，将已知条件转为焦点三角形中12||,||PF PF 与a 关系，求出123F PF π∠=，用余弦定理求出,a c 关系，即可求解.【详解】连接2PF ，因为M 是线段1F P 的中点， 由三角形中位线定理知21,2OM PF =2//OM PF ， 由双曲线定义知122PF PF a -=， 因为1OF M 周长为111211322OF OM F M c PF PF c a ++=++=+， 所以126PF PF a +=，解得124,2PF a PF a ==，在12PF F 中， 由余弦定理得22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠， 即()()()222242242cos3c a a a a π=+-⨯⨯，整理得，223c a =，所以22222b c a a =-=，所以双曲线E 的渐近线方程为y =. 故选:C .【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查三角形中位线定理、双曲线定义以及余弦定理的应用，属于中档题.11.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点()0,1B -，且在,183ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，同时()f x 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当12172,,123x x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ）A. B. -1C. 1【★答案★】B 【解析】 【分析】由题意求得φ、ω的值，写出函数f （x ）的解析式，求图象的对称轴，得x 1+x 2的值，再求f （x 1+x 2）的值．【详解】详解：由函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象过点()0,1B -，∴21sin ϕ=﹣，解得12sin ϕ=-， 又2πϕ<，∴π6ϕ=-， 又()f x 的图象向左平移π个单位之后为()()ππ22sin 66g x sin x x ωπωωπ⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭﹣﹣，由两函数图象完全重合知22k k k Z ωππω=∴=∈，，； 又3182T πππω-≤=，∴185ω≤，∴ω=2； ∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令ππ2,62x k k Z π-=+∈,得其图象的对称轴为,.23k x k Z ππ=+∈ 当12172,,123x x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，对称轴π71723,236123x ππππ⎛⎫=-⨯+=-∈-- ⎪⎝⎭. ∴1277263x x ππ⎛⎫+=⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴()1277π29π29π5π2sin 22sin 2sin 2sin 1.336666f x x f ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=⨯--=-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选B.【点睛】本题主要考查的是有关确定函数解析式的问题，在求解的过程中，需要明确正弦型曲线的对称轴的位置，，以及函数()sin φy A x ω=+的性质，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，利用三角函数sinu y A =的性质求解． 12.已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02()1(2),22x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为（ ）A. 20B. 18C. 16D. 14【★答案★】C 【解析】 【分析】先解()0g x =，求得()f x 的值，再根据函数的解析式，利用二次函数，函数的图象的平移伸缩变换及偶函数的图像性质作图，利用数形结合方法即可得到★答案★. 【详解】21()8()6()10()2g x f x f x f x =-+=∴=或1()4f x = 根据函数解析式以及偶函数性质作()f x 图象， 当02x <≤时，()()21f x x =- ,是抛物线的一段， 当(]()()12,2,22,1,2,3,,22x x k k k f x f x >∈+=⋯=-时，,是由(]22,2,x k k ∈- 的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y 轴右侧的图象，再根据偶函数的图象性质得到R 上的函数()f x 的图象， 考察()y f x =的图象与直线12y =和14y =的交点个数，分别有6个和10个， ∴函数g(x)的零点个数为61016+=,故选：C【点睛】本题考查函数零点以及函数综合性质，涉及分段函数，函数的图象的平移，伸缩变换，函数的奇偶性，考查数形结合思想方法以及综合分析求解能力，属中档题. 二､填空题13.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则33S a ______.【★答案★】7 【解析】 【分析】结合等比数列的通项公式，由已知条件，可得到两个等式，这两个等式相除可以求出等比数列的公比，进而可以求出首项，最后根据等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则21152a a q +=，31154a q a q +=， 两式相除可得2312q q q +=+，解将12q =，12a =，1233331212712S a a a a a ++=++==.故★答案★为：7【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 14.已知抛物线y 2＝12x 的焦点为F ，过点P （2，1）的直线l 与该抛物线交于A ，B 两点，且点P 恰好为线段AB 的中点，则|AF |+|BF |＝_____. 【★答案★】10 【解析】 【分析】因为P （1，2）是A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）中点，则由中点坐标公式得x 1+x 2＝4，再利用抛物线焦半径公式得|AF |＝x 1+3，|BF |＝x 2+3，进而求出|AF |+|BF |. 【详解】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵P （2，1）是AB 中点， ∴122x x +=2，即x 1+x 2＝4. ∵F （3，0）是抛物线y 2＝12x 的焦点， ∴|AF |＝x 1+3，|BF |＝x 2+3，则|AF |+|BF |＝x 1+x 2+3+3＝10， 故★答案★为：10.【点睛】本题考查中点坐标公式，抛物线焦半径公式|AF |＝x 2p+，及其运算能力，属于基础题.15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若0n a >，11a =，且(2)n n n S a a t =+(, t R n N *∈∈)，则100S =_________.【★答案★】5050 【解析】 【分析】先由题设条件求出t ，再由(21)n n n S a a =+得1112(1)n n n S a a ---=+，进而得出n S ，代入求100S ．【详解】解：0n a >，11a =，且2()(n n n S a a t t R =+∈，*)n N ∈，∴当1n =，有1112()S a a t =+，即21t =+，解得：1t =．2(1)n n n S a a ∴=+①，又当2n 时，有1112(1)n n n S a a ---=+②，∴①-②可得：1112()(1)(1)n n n n n n S S a a a a ----=+-+，整理得：2211n n n n a a a a --+=-，0n a >，11n n a a -∴-=．所以数列{}n a 是以11a =为首项，公差1d =的等差数列，∴其前n 项和(1)2n n n S +=， 100100(1100)50502S +∴==． 故★答案★为：5050．【点睛】本题主要考查由数列的前n 项和与第n 项的关系式求其通项公式及等差数列前n 项和公式，属于基础题．16.在三棱锥P ABC -中，2PA PC ==，1BA BC ==，90ABC ∠=︒，若PA 与底面ABC 所成的角为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是______；三棱锥P -ABC 的外接球的表面积_____.【★答案★】 (2). 5π 【解析】 【分析】首先补全三棱锥为长方体，即可求出点P 到底面ABC 的距离，同时长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，然后即可求出外接球的表面积.【详解】将三棱锥P ABC -置于长方体中，其中1PP ⊥平面ABC ，由PA 与底面ABC 所成的角为60︒，可得1PP = 即为点P 到底面ABC 的距离，由11P PP A P C ≌，得111P A PC ==，如图，PB 就是长方体（三条棱长分别为1，1，3）外接球的直径，也是三棱锥P ABC -外接球的直径，即5PB =，所以球的表面积为254π5π2⎛⎫= ⎪⎝⎭.故★答案★为：3；5π.【点睛】本题考查了点到面的距离和三棱锥外接球的表面积，属于一般题. 三､解答题17.如图，ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的动点(不含端点)，记BAD ∠=α，ADC β∠=.（1）求2cos cos αβ-的最大值； （2）若11,cos 7BD β==，求ABD △的面积. 【★答案★】（13（223【解析】 【分析】（1）由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知3πβα=+，利用两角和与差公3πα⎛⎫+⎪⎝⎭，再由(0,)3πα∈可知6πα=（2）由1cos 7β=，求得sin 7β=，所以sin sin 314παβ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由正弦定理sin sin AB BD ADB α=∠和()sin sin =sin ADB πββ∠=-，求得AB ，最后再根据面积公式求出三角形的面积. 【详解】解：（1）,(0,)33ππβαα=+∈，32cos cos 2cos cos cos 3223ππαβααααα⎛⎫⎛⎫∴-=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又20,,,3333ππππαα⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当32ππα+=时，即6πα=时，（2）由1cos 7β=，且()0,βπ∈得sin 7β== 故sin sin sin cos cos sin 333πππαβββ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭. 在ABD ∆中，由正弦定理sin sin AB BDADB α=∠和()sin sin =sin ADB πββ∠=-得sin 81sin 314ABBD βα===故1sin 2ABDSAB BD B =⋅⋅=18123⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查三角函数的两角和与差公式以及正弦定理，考查学生对公式的掌握程度及计算能力，属于中档题.18.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,1111A B AC ⊥,D 是11B C 的中点,1112A A A B ==.（1）求证：1AB //平面1A CD ；（2）若异面直线1AB 和BC 所成角为60︒,求四棱锥11A CDB B -的体积. 【★答案★】（1）证明见解析.（2）2 【解析】 【分析】(1) 连1AC 交1A C 于点E ,连DE .再根据中位线证明1//DE AB 即可.(2) 根据(1)可知1C DE ∠或其补角为异面直线1AB 和BC 所成角,再判断可得1C DE △为等边三角形,即可求得2AC =,再根据线面垂直的判定与性质可得1A D ⊥平面1CDB B ,继而求得四棱锥11A CDB B -的体积即可.【详解】（1）证明：如图,连1AC 交1A C 于点E ,连DE .因为直三棱柱111ABC A B C -中,四边形11AAC C 是矩形,故点E 是1AC 中点, 又D 是11B C 的中点,故1//DE AB ,又1AB ⊄平面1A CD ,DE ⊂平面1A CD ,故1AB //平面1A CD .（2）解：由（1）知1//DE AB ,又1//C D BC ,故1C DE ∠或其补角为异面直线1AB 和BC 所成角.设2AC m =,则211C E m =+,211C D m =+,2DE =,故1C DE △为等腰三角形,故160C DE ∠=︒,故1C DE △为等边三角形,则有212m +=,得到1m =.故111A B C △为等腰直角三角形,故111A D C B ⊥,又1B B ⊥平面111A B C ,1A D ⊂平面111A B C , 故11A D B B ⊥,又1111B BC B B =,故1AD ⊥平面1CDB B ,又梯形1CDB B 的面积()112222322CDB B S =⨯+⨯=,12A D =, 则四棱锥11A CDB B -的体积1111322233CDB B V S A D =⋅=⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及根据异面夹角求解线段长度的方法,同时也考查了锥体体积的求法,需要根据题意确定线面垂直,找到锥体的高进而求得体积.属于中档题. 19.某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y （单位：百万元）与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,A B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,A B 两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表： 使用寿命/材料类型 1个月2个月3个月4个月总计A 20 35 35 10 100 B10304020100如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？ 参考数据：6196ii y==∑ 61371i i i x y ==∑参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()()1122211ˆ=n niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx====---=--∑∑∑∑【★答案★】(1) ˆ29yx =+ , 31百万元；(2) B 型新材料. 【解析】 【分析】(1)根据所给的数据，做出变量,x y 的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数b ,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a 的值，写出线性回归方程；将11x =代入所求线性回归方程，求出对应的y 的值即可得结果； (2)求出A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数与B 型新材料对应产品的使用寿命的平均数，比较其大小即可得结果.【详解】（1）由折线图可知统计数据(),x y 共有6组， 即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)， 计算可得1234563.56x +++++==，611191666i i y ==⨯=∑ 所以()1221ˆni i i n i i x y nxybx n x ==-==-∑∑37163.516217.5-⋅⋅=，1ˆˆ62 3.59ˆay bx =-=-⨯=， 所以月度利润y 与月份代码x 之间的线性回归方程为ˆ29y x =+. 当11x =时，211931ˆy=⨯+=. 故预计甲公司2019年3月份的利润为31百万元.（2）A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为1 2.35x =，B 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为2 2.7x =，12x x < ∴，应该采购B 型新材料. 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算,x y 的值；③计算回归系数ˆˆ,a b ；④写出回归直线方程为ˆˆˆybx a =+； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且经过点2P ⎫⎪⎪⎭. （1）求椭圆的方程； （2）直线l 的斜率为12，且与椭圆相交于A ，B 两点（异于点P ），过P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q .证明：直线PQ 与坐标轴平行.【★答案★】（1）2214x y +=；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质，求解即可；（2）因为PQ 平分APB ∠，欲证PQ 与坐标轴平行，即证明直线PQ的方程为x =或2y =，只需证PA ，PB 斜率都存在，且满足0PA PB k k +=即可.将直线l 的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理求解即可.【详解】（1）解：2a =，将2P ⎫⎪⎪⎭代入椭圆方程，得22214b⎝⎭+=， 解得1b =，故椭圆的方程为2214x y +=.（2）证明：∵PQ 平分APB ∠欲证PQ 与坐标轴平行，即证明直线PQ的方程为x =或2y = 只需证PA ，PB 斜率都存在，且满足0PA PB k k +=即可.当PA 或PB 斜率不存在时，即点A 或点B为2-⎭， 经检验，此时直线l 与椭圆相切，不满足题意，故PA ，PB 斜率都存在. 设直线l ：12y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立222214222012x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩， 2480m ∆=-+>，∴22m <，由韦达定理得122x x m +=-，21222x x m =-，12PA PBy yk k+=((122122y x y x⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪=((122122y x y x⎛⎛-+--⎝⎭⎝⎭))121212212x x y y x y x y=++++()121212211111222222x x x m x m x x m x x m⎫⎛⎫⎛⎫=-++++++++⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭(()12122m x x x x=-+++(()222220m m m=-+-+-=得证.【点睛】本题主要考查了求椭圆方程以及韦达定理的应用，属于中档题.21.已知函数()()2ln1,.f x x ax x a R=++-∈（1）当14a=时，求函数()y f x=的极值；（2）若对于任意实数(1,2)b∈，当(1,]x b∈-时，函数()f x的最大值为f b，求实数a的取值范围.【★答案★】（1）极大值为0，极小值为3ln24-.（2）[1ln2,)-+∞【解析】【分析】（1）当14a=时，21()(1)4f x ln x x x=++-，求其导函数，由导函数在不同区间内的符号判断原函数的单调性；（2）由题意[2(12)]()(1)1x ax af x xx--'=>-+．当0a时，由原函数的单调性可得不存在实数(1,2)b∈，使得当(1x∈-，]b时，函数()f x的最大值为f（b）；当0a>时，令()0f x'=，有10x=，2112xa=-，然后分12a=，12a<<和12a>三类求解．【详解】解：（1）当14a=时，21()ln(1)4f x x x x=++-，则11()112f x xx'=+-+，整理得(1)()(1)2(1)x xf x xx'-=>-+，令()0f x'=得0,1x x==当x变化时，(),()f x f x'变化如下表：由上表知函数()y f x =的极大值为(0)0f =，极小值为3(1)ln 24f =-. （2）由题意(2(12))()1x ax a f x x '--=+，1°当0a ≤时，函数()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，此时，不存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b .2°当0a >时，令()0f x '=，有10x =，2112x a=-， ①当12a =时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，显然符合题意. ②当1102a ->即102a <<时，函数()f x 在(1,0)-和11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x 在0x =处取得极大值且(0)0f =，只需(1)0f ≥，解得1ln 2a ≥-，又11ln 22-<，所以此时实数a 的取值范围是11ln 22a -≤<. ③当1102a -<即12a >时，函数()f x 在11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和(0,)+∞上单调递增，在11,02a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，要存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，需11(1)2f f a ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， 代入化简得1ln 2ln 210(*)4a a++-≥ 令11()ln 2ln 2142g a a a a ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭，因为11()104g a a a '⎛⎫=-> ⎪⎝⎭恒成立，故恒有11()ln 2022g a g ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，所以12a >时，(*)恒成立， 综上，实数a 的取值范围是[1ln 2,)-+∞.【点睛】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）写出1C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线04πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭分别交1C ，2C 于A ，B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α.【★答案★】（1）4cos ρθ=（2）1tan 2α=【解析】【分析】 （1）利用22sin cos 1ϕϕ+=，消去1C 的参数将1C 的参数方长化为普通方程，再根据直角坐标和极坐标转换公式，转化为极坐标方程.（2）将射线θα=分别于12,C C 的极坐标方程联立，求得,A B 两点对应的12,ρρ，由此求得AB 的表达式，求得AM 的表达式，根据||||AB AM =列方程，由此求得tan α的值.【详解】（1）∵22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ参数） ∴曲线1C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-=∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴24cos 0ρρθ-= ∴曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=（2）依题意设()1,A ρθ，()2,B ρθ，∴由4cos θαρθ=⎧⎨=⎩得14cos ρα=.由4sin θαρθ=⎧⎨=⎩得24sin ρα=. ∵04πα<<，∴12ρρ>.∴12||||||4cos 4sin AB OA OB ρραα=-=-=-.∵OM 是圆1C 的直径，∴2OAM π∠=. ∴在直角Rt OAM ∆中，||4sin AM α=∵直角Rt BAM ∆中，4AMB π∠=∴||||AB AM =，即4cos 4sin 4sin ααα-=∴4cos 8sin αα=，即1tan 2α=.【点睛】本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合、函数与方程思想.23.已知0a >，0b >，22143a b ab +=+. （1）求证：1ab ≤；（2）若b a >，求证：3311113a b a b ⎛⎫->- ⎪⎝⎭. 【★答案★】（1）证明见解析.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件利用基本不等式可得221344a b ab ab +=+，然后解关于ab 的不等式即可； （2）要证3311113()a b a b --，即证221113a ab b ++，然后根据条件得到221113a ab b ++成立．【详解】（1）证明：由2210,344>+=≥+ab a b ab ab(当且仅当224a b =，即2a b ==时取得“=”).所以2134()ab ab +≥，即24()310ab ab --≤，所以1ab ≤(当且仅当a b ==得“=”)（2）332222111111111111111133=3a b a b a b a ab b a b a b a ab b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-++---++- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(※)，因为0b a >>，所以110->a b . 又221113a ab b ab ++≥，当且仅当a b =时取得“=”，又0b a >>，故221113a ab b ab++>， 又由（1）知1ab ≤，又0b a >>，故11ab >，故2211133a ab b ab++>>，即2211130a ab b ++->， 故(※)式成立，即原不等式成立.【点睛】本题考查了基本不等式，利用综合法证明不等式和利用分析法证明不等式，考查了转化思想，属于中档题．。
重庆市经开礼嘉中学2020届高三毕业班下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前重庆市经开礼嘉中学2020届高三毕业班下学期期中质量检测考试数学(理)试题(解析版)2020年5月第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：（本大题 12个小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个选项是正确的）．1. 已知集合{}0123A =，，，，2{|230},B x x x =--≥则()R A B =（ ） A. (1,3)-B. (1,3]-C. (0,3)D. (0,3] 【答案】B【解析】【分析】 由集合B 中的不等式确定集合B ,再求出B R ,最后运用集合的并集计算求出()R A B 即可.【详解】由2230x x --≥,解得1x ≤-,或3x ≥,所以集合{|1,B x x =≤-或}3x ≥,所以{}|13R B x x =-<<,则{}()|13R A B x x =-<≤.故选：B【点睛】本题主要考查补集和并集的运算,属于基础题.2. 已知复数z 满足i z z a i ⋅=+⋅(i 为虚数单位),且z =则正数a 的值为（ ）A. 2B. 1D. 12【答案】A【解析】【分析】由已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ,再利用复数求模公式计算即可得到答案.【详解】由()0i z z a i a ⋅=+⋅>, 得()()()111122a i i a i a a z i i i i ⋅--⋅===--+-+--, 又2z =,所以22222a a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得2a =. 故选：A【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算和复数模的求法,属于基础题.3. 已知某超市2019年中的12个月的收入与支出数据的折线图如图所示,则下列说法中,错误的是（ ）A. 该超市在2019年的12个月中,7月份的收益最高；B. 该超市在2019年的12个月中,4月份的收益最低；C. 该超市在2019年7月至12月的总收益比2109年1月至6月的总收益增长了90万元；D. 该超市在2019年1月至6月的总收益低于2109年7月至12月的总收益.【答案】C【解析】。
2021年高三(下)期中数学试卷(文科)
2021年高三（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（5分）设P和Q是两个集合，如果P={x|log2x＜1}，Q={x|x2﹣4x+4＜1}，那么P∩Q等于（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|1＜x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}考点：交集及其运算．分析：根据对数函数的性质，可得P，再由一元二次不等式的解法，可得Q；进而由交集的运算，可得答案．解答：解：根据对数函数的性质，可得P={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，由一元二次不等式的解法，可得Q={x|x2﹣4x+4＜1}={x|1＜x＜3}，那么P∩Q={x|1＜x＜2}；故选C．点评：本题考查集合间的交集的运算，应注意不等式的正确求解，并结合数轴判断集合间的关系．2．（5分）（xx•海南）设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=（）A．2B．4C．D．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据等比数列的性质，借助公比q表示出S4和a1之间的关系，易得a2与a1间的关系，然后二者相除进而求得答案．解答：解：由于q=2，∴∴；故选C．点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用．等差数列及等比数列问题一直是高中数学的重点也是高考的一个热点，要予以高度重视．3．（5分）已知复数z=1+2i，则=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．分析：由题意可得=，只需分子分母同乘以分母的共轭复数，化简可得答案．解答：解：∵z=1+2i，∴====故选B点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题．4．（5分）（xx•山东）已知=（1，n），=（﹣1，n），若2﹣与垂直，则||=（）A．1B．C．2D．4考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：计算题．分析：2﹣=（3，n），由2﹣与垂直可得：，||=2解答：解：∵=（1，n），=（﹣1，n），∴2﹣=（3，n），∵2﹣与b垂直∴∴||=2故选C．点评：本题主要考查向量的数量积的坐标表示．要注意两向量垂直时，二者点乘为0．5．（5分）（xx•安徽）若圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心到直线x﹣y+a=0的距离为，则a的值为（）A．﹣2或2 B．或C．2或0 D．﹣2或0考点：点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离，根据此距离等于列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．解答：解：把圆x2+y2﹣2x﹣4y=0化为标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圆心坐标为（1，2），∵圆心（1，2）到直线x﹣y+a=0的距离为，∴，即|a﹣1|=1，可化为a﹣1=1或a﹣1=﹣1，∴解得a=2或0．故选C．点评：此题考查学生会将圆的一般式方程化为圆的标准方程并会从标准方程中找出圆心坐标，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．6．（5分）（xx•河东区二模）给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20考点：循环结构．专题：压轴题；图表型．分析：结合框图得到i表示的实际意义，要求出所需要的和，只要循环10次即可，得到输出结果时“i”的值，得到判断框中的条件．解答：解：根据框图，i﹣1表示加的项数当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，i﹣1=10执行“是”所以判断框中的条件是“i＞10”故选A点评：本题考查求程序框图中循环结构中的判断框中的条件：关键是判断出有关字母的实际意义，要达到目的，需要对字母有什么限制．7．（5分）函数的图象为C，如下结论中不正确的是（）A．图象C关于直线对称B．图象C关于点对称C．函数f（x）在区间内是增函数D．由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得到图象C考函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；复合三角函数的单调性．点：专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数y=Asin（ωx+∅）的对称性和单调性可得A、B、C正确，再根据函数y=Asin （ωx+∅）的图象变换规律可得D不正确，从而得出结论．解答：解：∵函数的图象为C，把x=代入可得f（x）=﹣3，为最大值，故图象C关于直线对称，故A正确．把x=代入可得f（x）=0，故图象C关于点对称，故B正确．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故函数的增区间为（kπ﹣，kπ+ ），k∈z，故C正确．由y=3sin2x的图角向右平移个单位长度可以得函数y=sin[2（x﹣）]=sin（2x﹣）的图象，故D不正确．故选D．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，函数y=Asin（ωx+∅）的对称性和单调性，属于中档题．8．（5分）（xx•湖南）“a=1”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：函数f（x）=|x﹣a|的图象是关于x=a对称的折线，在[a，+∞）上为增函数，由题意[1，+∞）⊆[a，+∞），可求a的范围．解答：解：若“a=1”，则函数f（x）=|x﹣a|=|x﹣1|在区间[1，+∞）上为增函数；而若f（x）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数，则a≤1，所以“a=1”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数”的充分不必要条件，故选A．点评：本题考查充要条件的判断和已知函数单调性求参数范围问题，对函数f（x）=|x﹣a|的图象要熟练掌握．9．（5分）半径为2cm的半圆纸片卷成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（）A．B．C．2cm D．4cm考点：棱锥的结构特征．专题：常规题型；计算题；压轴题．分析：根据折叠原理，折叠前半圆的弧长为圆锥的底面周长即：2πr=πR，找到两者的关系，再求得圆锥的高，利用等面积法求得底面圆心到母线的距离，再乘以2，即为最高处距桌面的距离．解解：设圆的半径为R，圆锥的底面半径为r，高为h，最高处距桌面距离为：H答：根据题意：2πr=πR∴R=2r∴h=∴最高处距桌面距离：H=2故选A点评：本题是一道折叠题，主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题．10．（5分）某债券市场发行的三种值券：甲种面值为100元，一年到期本利共获103元；乙种面值为50元，半年期本利共50.9元；丙种面值为100元，但买入时只付97元，一年到期拿回100元，这三种投资收益比例从小到大排列为（）A．乙，甲，丙B．甲、丙、乙C．甲、乙、丙D．丙、甲、乙考点：进行简单的合情推理．专题：计算题．分析：假设年初都投入100元，根据所给数据及规则分别算出收益即可．解答：解：假设年初都投入100元，则①若买甲种债券，一年到期共获利103﹣100=3元；②若买乙种债券，一年共获利2（50.9﹣50）+101.8×≈3.63元；③若买乙种债券，一年到期共获利≈3.09元．∴3＜3.09＜3.63，因此这三种投资收益比例从小到大排列为甲、丙、乙．故选B．点评：根据规则正确计算出收益的大小是解题的关键．二.填空题：每小题5分，共20分.(14、15是选做题：在下面两道小题中选做一题，两题都选只计算前一题的得分)11．（5分）已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为或．考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依题意可设此双曲线的方程为x2﹣y2=k（k≠0），利用焦点在坐标轴上且焦距是10，求得k即可．解答：解：设此双曲线的方程为x2﹣y2=k（k≠0），当k＞0时，a2=4k，b2=k，c2=5k，此时焦点为（±，0），由题意得：=5，解得k=5，双曲线的方程为；当k＜0时，a2=﹣k，b2=﹣4k，c2=﹣5k，此时焦点为（0，±），由题意得：=5，解得k=﹣5，双曲线的方程为．∴所求的双曲线方程为为或．故答案为：或．点评：本题考查双曲线的简单性质，据题意设双曲线的方程为x2﹣y2=k（k≠0）是捷径，考查待定系数法与分类讨论思想，属于中档题．12．（5分）如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，则f（1）+f（2）+f （3）+…+f（xx）=．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数y的解析式．再利用周期性求得所求式子的值．解答：解：由函数的图象可得A=2，=6﹣2，解得ω=，故f（x）=2sin（x+φ）．再由五点法作图可得×2+φ=，∴φ=0．故f（x）=2sin（x），f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（xx）=250×0+f（1）=2sin=，故答案为．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，利用函数的周期性求函数的值，属于中档题．13．（5分）设方程x2﹣mx+1=0两根为α，β，且0＜α＜1，1＜β＜2，则实数m的取值范围是．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题．分析：构造二次函数f（x）=x2﹣mx+1，根据一元二次函数的性质与图象知，考查x=1，0，2处的函数值的符号即可．解答：解：方程x2﹣mx+1=0对应的二次函数f（x）=x2﹣mx+1，方程x2﹣mx+1=0两根根为α，β，且0＜α＜1，1＜β＜2，∴解得．故答案为：点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系．考查一元二次函数的图象与性质．14．（5分）把参数方程（θ为参数）化为普通方程是．极坐标系中，圆的圆心坐标是（，）．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，把参数方程化为普通方程；把极坐标方程化为直角坐标方程，根据圆的一般方程的特征求出圆心．解答：解：参数方程（θ为参数），利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为普通方程是x2=1﹣y （﹣≤x≤）．圆即ρ2=2ρ（sinθ+sinθ），化为直角坐标方程为，故它的圆心坐标是（，），故答案为、（，）．点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，圆的一般式方程的特征，属于基础题．15．（5分）如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=m：n，若△AEF的面积等于acm2，则△CDF的面积等于cm2．考点：三角形的面积公式．专题：计算题．分析：根据平行四边形对边平行，得到两个三角形相似，根据两个三角形相似，知道这两个三角形的面积之比等于边长之比的平方，做出两个三角形的边长之比，根据△AEF 的面积，得到要求的三角形的面积．解答：解：平行四边形ABCD中，有△AEF～△CDF∴△AEF与△CDF的面积之比等于对应边长之比的平方，∵AE：EB=m：n，∴AE：CD=m：（m+n）∵△AEF的面积等于acm2，∴∵△CDF的面积等于cm2故答案为：．点评：本题考查三角形相似的性质，两个三角形相似，对应的高线，中线和角平分线之比等于边长之比，两个三角形的面积之比等于边长比的平方，这种性质用的比较多．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知，a为实常数．（I）求f（x）的最小正周期；（II）若f（x）在上最大值与最小值之和为3，求a的值．考三角函数的化简求值；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．点：专题：计算题．分析：（I）利用降幂公式（逆用二倍角余弦公式），结合辅助角公式，我们可将函数的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据T=，即可求出f（x）的最小正周期；（II）由（I）中函数的解析式，我们易分析出函数f（x）在上的最大值和最小值（含参数a），进而根据f（x）在上最大值与最小值之和为3，构造出含a的方程，解方程即可求出a的值．解答：解：（I）=所以f（x）的最小正周期T=π；…（5分）（II）∵，则∴所以f（x）是最大值为3+a，最小值为a依题意有：3+2a=3，∴a=0…（10分）点评：本题考查的知识点是三角函数的化简求值，两角和与差的正弦函数，正弦函数的定义域和值域，其中利用降幂公式（逆用二倍角余弦公式），结合辅助角公式，化简函数的解析式是解答本题的关键．17．（12分）（xx•锦州一模）已知函数f（x）=alnx+bx4﹣c（x＞0）在x=1处取得极值﹣3﹣c，其中a，b，c为常数．（1）试确定a，b的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≤﹣2c2恒成立，求c的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）由f（x）在x=1处取得极值﹣3﹣c，可得，解出即可；（2）利用f'（x）＞0，此时f（x）为增函数；f'（x）＜0，此时f（x）为减函数．即可求得其单调区间．（3）要使f（x）≤﹣2c2（x＞0）恒成立，只需≤﹣2c2．利用（2）即可得出函数f（x）的最大值．解答：解：（1）由题意知f（1）=﹣3﹣c，∴f（1）=b﹣c=﹣3﹣c，从而b=﹣3．又．由题意f'（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12．（2）由（1）知（x＞0），令f'（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）为增函数；当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）为减函数．因此f（x）的单调递增区间为（0，1），而f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．（3）由（2）知，f（x）在x=1处取得极大值f（1）=﹣3﹣c，此极大值也是最大值，要使f（x）≤﹣2c2（x＞0）恒成立，只需﹣3﹣c≤﹣2c2．即2c2﹣c﹣3≤0，从而（2c﹣3）（c+1）≤0，解得．所以c的取值范围为．点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质，要注意分离参数法、转化法的运用．18．（14分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥底面ABCD．（1）求证：AQ∥平面CEP；（2）求证：平面AEQ⊥平面DEP；（3）若EP=AP=1，求三棱锥E﹣AQC的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）证明AQCP为平行四边形，可得CP∥AQ，从而证明AQ∥平面CEP．（2）先证明AQ⊥EP，利用ADQP为正方形可得AQ⊥DP，从而证得AQ⊥平面DEP，进而得到平面AEQ⊥平面DEP．（3）EP为三棱锥E﹣AQC的高，△ACQ的面积等于•CQ•AD，代入三棱锥的体积公式进行运算．解答：解：（1）在矩形ABCD中，∵AP=PB，DQ=QC，∴AP∥CQ 且AP=CQ，∴AQCP为平行四边形，∴CP∥AQ．∵CP⊂平面CEP，AQ⊄平面CEP，∴AQ∥平面CEP．（2）∵EP⊥平面ABCD，AQ⊂平面ABCD，∴AQ⊥EP．∵AB=2BC，P为AB中点，∴AP=AD．连PQ，则ADQP为正方形．∴AQ⊥DP．又EP∩DP=P，∴AQ⊥平面DEP．∵AQ⊂平面AEQ．∴平面AEQ⊥平面DEP．（3）∵EP⊥平面ABCD，∴EP为三棱锥E﹣AQC的高，∴=．点评：本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，求三棱锥的体积，证明AQ⊥平面DEP 是解题的难点．19．（14分）（xx•天津）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=4a n﹣3n+1，n∈N*．（Ⅰ）证明数列{a n﹣n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n；（Ⅲ）证明不等式S n+1≤4S n，对任意n∈N*皆成立．考点：数列的求和；等比关系的确定；等比数列的性质．专题：综合题．分析：（Ⅰ）整理题设a n+1=4a n﹣3n+1得a n+1﹣（n+1）=4（a n﹣n），进而可推断数列{a n ﹣n}是等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可数列{a n﹣n}的通项公式，进而可得{a n}的通项公式根据等比和等差数列的求和公式，求得S n．（Ⅲ）把（Ⅱ）中求得的S n代入S n+1﹣4S n整理后根据证明原式．解答：解：（Ⅰ）证明：由题设a n+1=4a n﹣3n+1，得a n+1﹣（n+1）=4（a n﹣n），n∈N*．又a1﹣1=1，所以数列{a n﹣n}是首项为1，且公比为4的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a n﹣n=4n﹣1，于是数列{a n}的通项公式为a n=4n﹣1+n．所以数列{a n}的前n项和．（Ⅲ）证明：对任意的n∈N*，=．所以不等式S n+1≤4S n，对任意n∈N*皆成立．点评：本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．20．（14分）（xx•山东）本公司计划xx年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？考点：简单线性规划的应用．分析：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．解答：解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得目标函数为z=3000x+xxy．二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图，作直线l：3000x+xxy=0，即3x+2y=0．平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．联立解得x=100，y=200．∴点M的坐标为（100，200）．∴z max=3000x+xxy=700000（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．21．（14分）已知二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3：（1）若函数在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数q的取值范围；（2）问：是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12﹣t．考点：二次函数的性质；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求出二次函数的对称轴，得到函数f（x）在[﹣1，1]上为单调函数，要使函数在区间[﹣1，1]上存在零点，则f（﹣1）•f（1）≤0，由此可解q的取值范围；（2）分t＜8，最大值是f（t）；t＜8，最大值是f（10）；8≤t＜10三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是12﹣t求出t的值，验证范围后即可得到答案．解答：解：（1）∵二次函数f（x）=x2﹣16x+q+3的对称轴是x=8∴函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减∴要使函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，须满足f（﹣1）•f（1）≤0．即（1+16+q+3）•（1﹣16+q+3）≤0解得﹣20≤q≤12．所以使函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点的实数q的取值范围是[﹣20，12]；（2）当时，即0≤t≤6时，f（x）的值域为：[f（8），f（t）]，即[q﹣61，t2﹣16t+q+3]．∴t2﹣16t+q+3﹣（q﹣61）=t2﹣16t+64=12﹣t．∴t2﹣15t+52=0，∴．经检验不合题意，舍去．当时，即6≤t＜8时，f（x）的值域为：[f（8），f（10）]，即[q﹣61，q﹣57]．∴q﹣57﹣（q﹣61）=4=12﹣t．∴t=8经检验t=8不合题意，舍去．当t≥8时，f（x）的值域为：[f（t），f（10）]，即[t2﹣16t+q+3，q﹣57]∴q﹣57﹣（t2﹣16t+q+3）=﹣t2+16t﹣60=12﹣t∴t2﹣17t+72=0，∴t=8或t=9．经检验t=8或t=9满足题意，所以存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12﹣t．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，正确的分类是解答该题的关键，是中档题．37338 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重庆礼嘉中学2020-2021学年高三数学文上学期期末试卷含解析
重庆礼嘉中学2020-2021学年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据题意可知，羊马牛的三主人应偿还的量构成了公比为2的等比数列，而前3项和为50升，即可利用等比数列求和公式求出，进而求出马主人应该偿还的量.【详解】因为斗=升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且则，解得，所以马主人要偿还的量为：，故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列基本量求解，以及数学文化，属于基础题.2. 已知函数的周期为2,当时,,如果，则函数的所有零点之和为（）A．4 B．6 C．8 D．10参考答案：C 略3. 已知向量⊥，|﹣|=2，定义：cλ=λ+（1﹣λ），其中0≤λ≤1．若，则|cλ|的值不可能为( )A．B．C．D．1参考答案：A考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得，设，则B，C，D，P四点共线，在圆中画出图形，由得到两向量夹角的范围，从而求得|cλ|的范围得答案．解答：解：∵向量⊥，|﹣|=2，∴以为邻边的平行四边形为长方形，则，又=λ+（1﹣λ），∴，则=1．设，由=λ+（1﹣λ），0≤λ≤1，可知B，C，D，P四点共线，如右图，设，∵，∴由=，得在上的投影为，∴当B、P两点重合时，=1，，当P、D重合时，θ=0．∴，θ∈（0，]，cosθ∈[，1），∴．则|cλ|的值不可能为．故选：A．点评：本题考查平面向量的几何意义，涉及到向量的加、减法运算法则，三点共线的向量表示，向量的投影等知识，注意解题方法的积累，属于难题．4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )A．B．C． D．参考答案：C【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】因为如图为原几何体的直观图，面积中最大的是,故答案为：C5. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是A． B．C． D．参考答案：B根据线面垂直的性质可知，B正确。
2021年高三下学期第三次(期中)质检数学(理)试题 含答案
2021年高三下学期第三次（期中）质检数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设，，则有（）．A．B．C．D．2．关于复数的命题：（1）复数；（2）复数的模为；（3）在复平面内,纯虚数与轴上的点一一对应，其中真命题的个数是（）．A．0个B．1个C．2个D．3个3．一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为( ) ．A．长方形B．直角三角形C．圆D．椭圆4．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）．A．B．C．D．5．设是直线，，是两个不同的平面,下列命题正确的是（）．A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若, ，则6．函数的值域为（）．B C A ． [-2 ,2] B ．[-,] C ．[-1,1] D ．[- , ]7．公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，且，则=（ ）A ．80B ．160C ．320D ．640 8．定义在上的函数，满足，，若且，则有（ ）．A ．B ．C ．D ．不能确定9．设，是双曲线的左右两个焦点，若在双曲线的右支上存在一点，使（为原点）且，则双曲线的离心率为（ ）．A ．B ．C ．D ．10．如图，线段=8，点在线段上，且=2，为线段上一动点，点绕点旋转后与点绕点旋转后重合于点.设=， 的面积为.则的最大值为（ ）． A. B ． 2 C ．3 D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．已知向量则的最大值为 ．12．下列程序框图输出的结果 ， ．13．在二项式的展开式中，含的项的系数是 ．14．如图，将正分割成16个全等的小正三角形，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于同一直线上的点放置的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列，若顶点处的三个数互不相同且和为1，则所有顶点的数之和 ．三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分． 15．（1）设点的极坐标为，直线过点且与极轴垂直，则直线的极坐标方程为 ． （2）已知函数,若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ．四、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知的内角所对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求边长的最小值． 17．（本小题满分12分） 已知直角梯形中，，，，是等边三角形，平面⊥平面. （1）求二面角的余弦值；A CP BD（2）求到平面的距离．18．（本小题满分12分）某医院将一专家门诊已诊的1000例病人的病情及诊断所用时间（单位：分钟）进行了统计，病症及代号 普通病症 复诊病症 常见病症 疑难病症 特殊病症 人数100 300 200 300 100 每人就诊时间（单位：分钟）34567并以此估计专家一上午（按3小时计算）可诊断多少病人；（2） 某病人按序号排在第三号就诊，设他等待的时间为，求； （3） 求专家诊断完三个病人恰好用了一刻钟的概率． 19．（本小题满分12分）已知是数列的前项和，且对任意，有， （1） 求的通项公式； （2） 求数列的前项和． 20. （本小题满分13分）设椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，在轴的负半轴上有一点，满足，且 （1）若过三点的圆恰好与直线相切，求圆的方程及椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），求实数的取值范围．21. （本小题满分14分） 设1()[(1)1][(1)](0)x f x f ef e x f -='-+'++'（1） 求及的单调区间（2） 设， 两点连线的斜率为，问是否存在常数，且，当时有，当时有；若存在，求出，并证明之，若不存在说明理由.景德镇市xx 届高三第三次质检试卷数学试题（理）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．17. 解：（1）过作，垂足为，则，过作交于，交于 ∵为等腰直角三角形，∵454545BCD ADE EFD AFH ∠=︒⇒∠=︒⇒∠=∠=︒ ∴， ∴， ∴∴ ……………………………6分 （2）∵，，114533B PDC PDC PDC V S h S PH h -∆∆=⋅=⋅⇒= ……………………………12分19．解：（1）当时， 得 当时由 ① 得 ② ①②得 即化为数列是以为首项，以为公差的等差数列，……………………………6分 （2）由（1）得：231325272(21)2(21)2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅ 23412325272(21)2(21)2n n n T n n +⋅=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅34116222(21)2n n n T n ++-=++++-+⋅(2)由题意知直线斜率存在，设其方程为： ，， 由得， ……………………………6分 ，1212218[()6](43)y y k ky x x t t k t+-==+-=+ 在椭圆上，又时． ……………………………13分21. 解;(1)(1)(1)1(1)(1)1f f f e f e ∴=-++⇒=-'''' 1(0)[(1)1](1)(0)0f f e f e f -∴=-++⇒=''''，当时当时在上单调递增，在上单调递减．……………………………5分（2）()()()()1b a b af b f a b e a e e e k b a b a b a-----===----设在上单调递减 令 解得 则当时， 即当时，即 ……………………………8分 现在证明： 考察： 设，当时，，递减 所以，当时，， 即即 ……………………………12分再考察： 设，当时，，递增 所以，当时，，得，取为所求．…………………14分- 327883 6CEB 泫35835 8BFB 读33603 8343 荃28860 70BC 炼40385 9DC1 鷁EG 31986 7CF2 糲26712 6858桘37706 934A 鍊*。
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重庆市经开礼嘉中学2021届高三数学下学期期中试题 文注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
第 Ⅰ 卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 设集合{}22P x x x =+≥，{}3Q x Nx =∈≤，则P Q = ( )A ．[1,2]-B ．[0,2]C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2. 已知向量(1,2)a =，(1,)b x =-，若a b ∥ ，则b = ( ) A. 3B. C. 53. 复数12z i =+，若复数1z 与2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =( ) A. 5- B. 5 C. 34i -+ D. 34i -4. 一场考试之后，甲乙丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是( )A ．甲同学三个科目都达到优秀B ．乙同学只有一个科目达到优秀C ．丙同学只有一个科目达到优秀D ．三位同学都达到优秀的科目是数学 5. 2021年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为( ) A ．0.7 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.3 6. 已知一组数据12345,,,,x x x x x 的平均数是m ，方差是n ，将这组数据的每个数都乘以(0) a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是( )A ．这组新数据的平均数是mB ．这组新数据的平均数是a m +C ．这组新数据的方差是an D．这组新数据的标准差是7. 已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩表示的平面区域为D ，若对(,)x y D ∀∈都有2x y a +≤，则实数a 的取值范围是( )A ．[)5,+∞B ．[)2,+∞C ．[)1,+∞D ．[)0,+∞8. 将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为( )A．．．．9. 若函数ln )() (f x a x a R =∈与函数()g x =a 的值为( ) A ．4B ．12C ．2eD ．e10. 已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右支上一点，M 是线段1F P 的中点，O 是坐标原点，若1OF M ∆的周长为3c a +（c 为双曲线的半焦距）且13F MO π∠=，则双曲线E 的渐近线方程为( )A．2y x =±B．y =C ．12y x =±D ． 2y x =± 11. 已知函数()2sin()(0,)2x f x πωϕωϕ+><=的图象过点(0,1)A -，且在(,)183ππ上单调，同时将()f x 的图象向左平移π个单位后与原图象重合，当12172,(,)123x x ππ∈--且12x x ≠时12()()f x f x =，则12()f x x +=( )A．．1- C ．1 D12. 已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02()1(2),22x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为( )A. 20B. 18C. 16D. 14第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132455,24a a a a +=+=，则33Sa =_________.14. 已知抛物线212y x =的焦点为F ，过点(2,1)P 的直线l 与该抛物线交于,A B 两点，且点P 恰好为线段AB 的中点，则AF BF +=_________.15. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若0n a >，11a =，且2()n n n S a a t =+（, t R n N *∈∈），1则100S = _________.16. 在三棱锥P ABC -中，2,1,90 PA PC BA BC ABC ︒====∠=，若PA 与底面ABC所成的角为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是_________；三棱锥P ABC -的外接球的表面积是_________.（本小题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）如图，ABC ∆是等边三角形，D 是BC 记BAD ∠=α,ADC β∠=. （1）求2cos cos αβ-的最大值； （2）若11,cos 7BD β==，求ABD ∆的面积.18.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC ⊥，D 是11B C 的中点，1112A A A B ==.（1）求证：11AB A CD ∥平面；（2）若异面直线1AB 和BC 所成角为60︒，求四棱锥11A CDB B -的体积.19.（12甲公司前期的经营状况，对该公司2021（5—10绘制了相应的折线图，如右图所示.（1）由折线图可以看出，润y （单位：百万元）与月份代码x关于x 的线性回归方程，并据此预测该公司2021年5月份的利润； （2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,A B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,A B 两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表1）. 若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？ 参考数据：6196i i y ==∑ ；61371i i i x y ==∑.参考公式：回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，其中()()()1122211ˆ=n niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---⋅=--∑∑∑∑，ˆ.ˆˆay x b =- 20.（12分）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，且经过点2P . （1）求椭圆C 的方程； （2）直线l 的斜率为12，且与椭圆交于,A B 两点（异于点P ），过点P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q . 证明：直线PQ 与坐标轴平行.21.（12分）已知函数()()2ln 1,.f x x ax x a R =++-∈（1）当14a =时，求函数()y f x =的极值； （2）若对于任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分. 22. [选修4—4：坐标系与参数方程] （10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩ (ϕ为参数). 以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线(0)4πθαα=<<分别交1C 、2C 于点,A B （,A B 异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α的值.23. [选修4—5：不等式选讲] （10分） 已知0a >，0b >，22143a b ab+=+. （1）求证：1ab ≤； （2）若b a >，求证：3311113a b a b ⎛⎫->- ⎪⎝⎭.数学（文科）试题卷（参考答案）二、填空题13. 7 14. 10 15. 50505 π 三、解答题 17.解：（1）,(0,)33ππβαα=+∈，∴2cos α－cos β=2cos α－cos +3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭＝sin +3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭，又2(0,)(,)3333ππππαα∈∴+∈，，故当32ππα+=. ·········· 6分（2）由cos β＝17 ，得sin β，故sin α＝sin 3πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin βcos 3π－cos βsin3π，C1在ABD ∆中，由正弦定理sin sin AB BDADB BAD =∠∠，得AB＝sin sin βαBD 83，故S △ABD ＝12AB·BD·sin B ＝18123⨯⨯=. ······················ 12分 18.（1）证明：如图，连1AC 交1A C 于点E ，连DE .因为直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是矩形，故点E 是1AC 又D 是11B C 的中点，故1DE AB ∥，又111,, AB ACD DE ACD ⊄⊂平面平面故11AB ACD ∥平面. 6分 （2）解：由（1）知1DE AB ∥，又1C D BC ∥，故1C DE ∠或其补角为异面直线1AB和BC 所成角.设2AC m =，则11C E C D DE ===1C DE ∆为等腰三角形，故160C DE ︒∠=，故1C DE ∆=1m =.故111A B C ∆为等腰直角三角形，故111A D C B ⊥，又11111111B B A B C A D A B C ⊥⊂平面，平面， 故11A D B B ⊥，又1111B BC B B =，故11A DCDB B ⊥平面，又梯形1CDB B的面积11122CDB B S A D =⨯⨯==， 则四棱锥11A CDB B -的体积1111233CDB B V S A D ==⨯=. ··············· 12分19. 解：（1）由折线图可知统计数据(),x y 共有6组，即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)，计算可得1234563.56x +++++==，y =6111961666ii y ==⨯=∑， 所以616221ˆ=i ii i i x y nx ybx nx==-⋅=-∑∑37163.516217.5-⋅⋅=，162 3.59a y b x =-=-⨯=.所以月度利润y 与月份代码x 之间的线性回归方程为29y x =+. ················ 6分由题意推得2021年5月份对应的年份代码为13，故当13x =时，213935y =⨯+=（百万元），故预计甲公司2021年5月份的利润为35百万元. ···················· 8分 （2）A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为12013523531042.35100x ⨯+⨯+⨯+⨯==（个月），B 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为21013024032042.7100x ⨯+⨯+⨯+⨯==（个月），12x x <，∴采购B 型新材料更好. ···························· 12分注：若采用其他数字特征（如中位数、众数等）进行合理表述，也可酌情给分。