极值问题的物理解与数学解
临界极值问题(解析版)--动力学中九类常见问题
动力学中的九类常见问题临界极值问题【问题解读】1.题型概述在动力学问题中出现某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态即临界问题。
问题中出现“最大”“最小”“刚好”“恰能”等关键词语，一般都会涉及临界问题，隐含相应的临界条件。
2.临界问题的常见类型及临界条件(1)接触与分离的临界条件：两物体相接触(或分离)的临界条件是弹力为零且分离瞬间的加速度、速度分别相等。
临界状态是某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态，有关的物理量将发生突变，相应的物理量的值为临界值。
(2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力。
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子断与不断的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是绳上的张力恰好为零。
(4)出现加速度最值与速度最值的临界条件：当物体在变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度。
当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值。
【方法归纳】求解临界、极值问题的三种常用方法极限法把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的假设法临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题数学方法将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件解题此类题的关键是：正确分析物体的受力情况及运动情况，对临界状态进行判断与分析，挖掘出隐含的临界条件。
【典例精析】1(2024河北安平中学自我提升)如图所示，A、B两个木块静止叠放在竖直轻弹簧上，已知m A=m B =1kg，轻弹簧的劲度系数为100N/m。
若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使木块A由静止开始以2m/s2的加速度竖直向上做匀加速直线运动，从木块A向上做匀加速运动开始到A、B分离的过程中。
高中物理中求极值问题的数学技巧
高中物理中求极值问题的数学技巧作者：陈宇鹏来源：《山东青年》2017年第07期摘要：在高中物理知识学习过程中，我们要注重物理学科与数学学科之间的关联性，将数学学科知识在物理学科中应用，可以对一些问题进行有效的求解，帮助我们对物理问题进行更加深入的分析。
文章从高中物理极值问题求解入手，将数学技巧进行利用，实现对问题的有效解析。
关键词：高中物理；极值；数学技巧高中物理知识具有一定的整体性和复杂性特征，在学习过程中，我们需要勤学苦练，多动脑、多动手，才能够学好物理。
我在做物理极值题的时候，注重对数学技巧进行把握，将数学中的二次函数法、均值不等式法、三角函数法、配方法等数学技巧进行利用，很好地解决了物理极值求解问题。
高中物理极值知识的解决，需要我们发散思路，能够从多个角度去分析，寻找最有效、最快捷的方法，这样一来，可以更好地提升我们的物理成绩。
1 二次函数法求高中物理极值高中物理中求极值问题时，二次函数法可以很好地对问题进行解析。
在对二次函数法应用时，要对二次函数法的基本原理弄清，把握二次函数的基本关系式。
二次函数的基本关系式为：y=ax＼+2+bx+c（a≠0）结合二次函数式的原理，当a>0的时候，x=＼S]b[]2a＼s，这个时候，y可获得最小值；当a>0时，x=-＼S]b[]2a＼s，y可获得最大值。
结合二次函数法，将其在物理题中应用，我们可以从下面的例题解析中看出：例1：假设一辆送货车在等候绿灯，当绿灯亮的时候，这两货车行进的加速度为3m/s2，而正在这个时候，一辆电动车以6m/s的速度驶来，试问货车与电动车的距离，并对距离求解。
从例1来看，在对货车和电动车之间的距离求解过程中，要考虑到两车的出发情况，这一过程中，要注重对s的最大值进行求解。
S=s2-s1。
假设在t时间后，电动车的匀速位移s1=vt，货车的加速位移为s2=1/2at2，货车与自行车的距离s=vt-1/2at2=6t-3/2t2，结合货车与自行车的距离来看，实际上是对Δs这个二次函数的最大值进行求解，则Δs=＼S]4ac-b2[]4a＼s=6m。
高考复习专题四—求极值的六种方法(解析版)
微讲座(四)——求极值的六种方法从近几年高考物理试题来看，考查极值问题的频率越来越高，由于这类试题既能考查考生对知识的理解能力、推理能力，又能考查应用数学知识解决问题的能力，因此必将受到高考命题者的青睐．下面介绍极值问题的六种求解方法．一、临界条件法对物理情景和物理过程进行分析，利用临界条件和关系建立方程组求解，这是高中物理中最常用的方法．某高速公路同一直线车道上有同向匀速行驶的轿车和货车，其速度大小分别为v 1＝30 m/s ，v 2＝10 m/s ，轿车在与货车距离x 0＝25 m 时才发现前方有货车，此时轿车只是立即刹车，两车可视为质点．试通过计算分析回答下列问题：(1)若轿车刹车时货车以v 2匀速行驶，要使两车不相撞，轿车刹车的加速度大小至少为多少？(2)若该轿车刹车的最大加速度为a 1＝6 m/s 2，轿车在刹车的同时给货车发信号，货车司机经t 0＝2 s 收到信号并立即以加速度大小a 2＝2 m/s 2加速前进，两车会不会相撞？[解析] (1)两车恰好不相撞的条件是轿车追上货车时两车速度相等，即 v 1－at 1＝v 2①v 1t 1－12at 21＝v 2t 1＋x 0②联立①②代入数据解得：a ＝8 m/s 2. (2)假设经过时间t 后，两车的速度相等 即v 1－a 1t ＝v 2＋a 2(t －t 0)此时轿车前进的距离x 1＝v 1t －12a 1t 2货车前进的距离x 2＝v 2t 0＋v 2(t －t 0)＋12a 2(t －t 0)2代入数据解得：x 1＝63 m ，x 2＝31 m 因为：x 1－x 2＝32 m>x 0，两车会相撞． [答案] (1)8 m/s 2 (2)会相撞 二、二次函数极值法 对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a ＞0时，y 有最小值y min ＝4ac －b 24a，当a ＜0时，y 有最大值y max ＝4ac －b 24a.也可以采取配方法求解．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a ＝3 m/s 2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v 自＝6 m/s 的速度匀速驶来，从旁边超过汽车．试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？[解析] 设汽车在追上自行车之前经过时间t 两车相距最远，则 自行车的位移：x 自＝v 自t汽车的位移：x 汽＝12at 2则t 时刻两车的距离Δx ＝v 自t －12at 2代入数据得：Δx ＝－32t 2＋6t当t ＝－62×⎝⎛⎭⎫－32 s ＝2 s 时，Δx 有最大值Δx max ＝0－624×⎝⎛⎭⎫－32 m ＝6 m对Δx ＝－32t 2＋6t 也可以用配方法求解：Δx ＝6－32(t －2)2显然，当t ＝2 s 时，Δx 最大为6 m. (说明：此题也可用临界法求解) [答案] 见解析 三、三角函数法某些物理量之间存在着三角函数关系，可根据三角函数知识求解极值．如图所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10 m ．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝33.重力加速度g 取10 m/s 2.(1)求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小；(2)拉力F 与斜面的夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？[解析] (1)设物块加速度的大小为a ，到达B 点时速度的大小为v ，由运动学公式得：L ＝v 0t ＋12at 2①v ＝v 0＋at ②联立①②式，代入数据解得：a ＝3 m/s 2，v ＝8 m/s.(2)设物块所受支持力为F N ，所受摩擦力为F f ，拉力与斜面之间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得：F cos α－mg sin θ－F f ＝ma ③F sin α＋F N －mg cos θ＝0④ 又F f ＝μF N ⑤联立③④⑤解得：F ＝mg （sin θ＋μcos θ）＋macos α＋μsin α⑥由数学知识得：cos α＋33sin α＝233sin(60°＋α)⑦ 由⑥⑦式可知对应的F 最小值与斜面的夹角α＝30°⑧ 联立⑥⑧式，代入数据得F 的最小值为：F min ＝1335N. [答案] (1)3 m/s 2 8 m/s(2)夹角为30°时，拉力最小，为1335N四、图解法此种方法一般适用于求矢量极值问题，如动态平衡问题，运动的合成问题，都是应用点到直线的距离最短求最小值．质量为m 的物体与水平地面间的动摩擦因数为μ，用图解法求维持物体做匀速运动的最小拉力．[解析] 由F fF N ＝μ知，不论F f 、F N 为何值，其比值恒定由图知F fF N＝μ＝tan α，即F ′的方向是确定的．由平衡条件推论可知：mg 、F ′、F 构成闭合三角形．显然，当F ⊥F ′时，F 最小．F min ＝mg sin α＝mg tan α1＋tan 2 α＝μmg1＋μ2.(说明：此题也可用三角函数法求解．) 物体受力分析如图． 由平衡条件得：F ·cos θ＝F f ①F ·sin θ＋F N ＝mg ② 又F f ＝μF N ③联立①②③得：F ＝μmgcos θ＋μsin θ令sin α＝11＋μ2，cos α＝μ1＋μ2 则F ＝μmg1＋μ2 sin （α＋θ）当sin(α＋θ)＝1时，F min ＝μmg1＋μ2.[答案] μmg1＋μ2五、均值不等式法任意两个正整数a 、b ，若a ＋b ＝恒量，当a ＝b 时，其乘积a ·b 最大；若a ·b ＝恒量，当a ＝b 时，其和a ＋b 最小．在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H 的平台上A 点由静止出发，沿着动摩擦因数为μ的滑道向下运动到B 点后水平滑出，最后落在水池中．设滑道的水平距离为L ，B 点的高度h 可由运动员自由调节(取g ＝10 m/s 2)．(1)求运动员到达B 点的速度与高度h 的关系．(2)运动员要达到最大水平运动距离，B 点的高度h 应调为多大？对应的最大水平距离x max 为多少？(3)若图中H ＝4 m ，L ＝5 m ，动摩擦因数μ＝0.2，则水平运动距离要达到7 m ，h 值应为多少？[解析] (1)设斜面长度为L 1，斜面倾角为α，根据动能定理得mg (H －h )－μmgL 1cos α＝12m v 20①即mg (H －h )＝μmgL ＋12m v 20②v 0＝2g （H －h －μL ）.③ (2)根据平抛运动公式 x ＝v 0t ④ h ＝12gt 2⑤ 由③④⑤式得x ＝2（H －μL －h ）h ⑥由⑥式可得，当h ＝12(H －μL )时水平距离最大x max ＝L ＋H －μL .(3)在⑥式中令x ＝2 m ，H ＝4 m ，L ＝5 m ，μ＝0.2 则可得到－h 2＋3 h －1＝0 求得h 1＝3＋52m ＝2.62 m ；h 2＝3－52m ＝0.38 m.[答案] 见解析 六、判别式法一元二次方程的判别式Δ＝b 2－4ac ≥0时有实数根，取等号时为极值，在列出的方程数少于未知量个数时，求解极值问题常用这种方法．(原创题)如图所示，顶角为2θ的光滑绝缘圆锥，置于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B ，现有质量为m ，带电量为－q 的小球，沿圆锥面在水平面内做圆周运动，求小球做圆周运动的最小半径．[解析] 小球受力如图，设小球做圆周运动的速率为v ，轨道半径为R . 由牛顿第二定律得：水平方向：q v B －F N cos θ＝m v 2R竖直方向：F N sin θ－mg ＝0 两式联立得：m v 2R－q v B ＋mg cot θ＝0 因为速率v 为实数，故Δ≥0 即(qB )2－4⎝⎛⎭⎫m R mg cot θ≥0 解得：R ≥4m 2g cot θq 2B 2故最小半径为：R min ＝4m 2g cot θq 2B 2.[答案] 4m 2g cot θq 2B 21.(单选)(2016·广州模拟)如图所示，船在A 处开出后沿直线AB 到达对岸，若AB 与河岸成37°角，水流速度为4 m/s ，则船从A 点开出的最小速度为( )A ．2 m/sB ．2.4 m/sC ．3 m/sD ．3.5 m/s 解析：选B.AB 方向为合速度方向，由图可知，当v 船⊥AB 时最小，即v 船＝v 水·sin 37°＝2.4 m/s ，B 正确．2．(单选)如图所示，在倾角为θ的斜面上方的A 点处放置一光滑的木板AB ，B 端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC 所成角度为α，一小物块自A 端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为( )A ．α＝θB ．α＝θ2C ．α＝θ3D ．α＝2θ解析：选B.如图所示，在竖直线AC 上选取一点O ，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A 点，且与斜面相切于D 点．由等时圆知识可知，由A 沿木板滑到D 所用时间比由A 到达斜面上其他各点所用时间都短．将木板下端与D 点重合即可，而∠COD ＝θ，则α＝θ2.3．(2016·宝鸡检测)如图所示，质量为m 的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为F 的水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F 多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：(1)物体与斜面间的动摩擦因数； (2)这一临界角θ0的大小．解析：(1)斜面倾角为30°时，物体恰能匀速下滑，满足 mg sin 30°＝μmg cos 30° 解得μ＝33.(2)设斜面倾角为α，受力情况如图，由匀速直线运动的条件： F cos α＝mg sin α＋F f F N ＝mg cos α＋F sin α F f ＝μF N解得：F ＝mg sin α＋μmg cos αcos α－μsin α当cos α－μsin α＝0，即cot α＝μ时，F →∞ 即“不论水平恒力F 多大”，都不能使物体沿斜面向上滑行，此时，临界角θ0＝α＝60°. 答案：(1)33(2)60°4．如图所示，质量为m ＝0.1 kg 的小球C 和两根细绳相连，两绳分别固定在细杆的A 、B 两点，其中AC 绳长l A ＝2 m ，当两绳都拉直时，AC 、BC 两绳和细杆的夹角分别为θ1＝30°、θ2＝45°，g ＝10 m/s 2.问：细杆转动的角速度大小在什么范围内，AC 、BC 两绳始终张紧？解析：设两细绳都拉直时，AC 、BC 绳的拉力分别为F TA 、F TB ，由牛顿第二定律可知： 当BC 绳中恰无拉力时，F T A sin θ1＝mω21l A sin θ1① F TA cos θ1＝mg ②由①②解得ω1＝1033rad/s. 当AC 绳中恰无拉力时，F TB sin θ2＝mω22l A sin θ1③ F TB cos θ2＝mg ④ 由③④解得ω2＝10 rad/s.所以，两绳始终有张力时细杆转动的角速度的范围是 1033rad/s ＜ω＜10 rad/s. 答案： 1033rad/s ＜ω＜10 rad/s 5.(原创题)一人在距公路垂直距离为h 的B 点(垂足为A )，公路上有一辆以速度v 1匀速行驶的汽车向A 点行驶，当汽车距A 点距离为L 时，人立即匀速跑向公路拦截汽车，求人能拦截住汽车的最小速度．解析：法一：设人以速度v 2沿图示方向恰好在C 点拦住汽车，用时为t .则L ＋h tan α＝v 1t ① hcos α＝v 2t ② 联立①②两式得：v 2＝h v 1L cos α＋h sin α＝h v 1L 2＋h 2⎝ ⎛⎭⎪⎫L L 2＋h 2cos α＋h L 2＋h 2sin α由数学知识知：v 2min ＝h v 1L 2＋h 2 .法二：选取汽车为参照物．人正对汽车运动即可拦住汽车，即人的合速度方向指向汽车．其中一分速度大小为v 1，另一分速度为v 2，当v 2与合速度v 垂直时，v 2最小，由相似三角形知识可得：v 2v 1＝h L 2＋h2 v 2＝h v 1L 2＋h 2 .答案：h v 1L 2＋h 26．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d 后落地，如图所示．已知握绳的手离地面高度为d ，手与球之间的绳长为34d ，重力加速度为g .忽略手的运动半径和空气阻力．(1)求绳断时球的速度大小v 1和球落地时的速度大小v 2. (2)问绳能承受的最大拉力多大？(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？解析：(1)设绳断后球飞行时间为t ，由平抛运动规律，有竖直方向14d ＝12gt 2，水平方向d ＝v 1t解得v 1＝2gd .由机械能守恒定律有12m v 22＝12m v 21＋mg ⎝⎛⎭⎫d －34d 得v 2＝52gd . (2)设绳能承受的最大拉力大小为F T ，这也是球受到绳的最大拉力大小，即球运动到最低点时球所受到的拉力．球做圆周运动的半径为R ＝34d由圆周运动向心力公式，有F T －mg ＝m v 21R得F T ＝113mg .(3)设绳长为l ，绳断时球的速度大小为v 3，绳承受的最大拉力不变，有F T －mg ＝m v 23l 得v 3＝83gl 绳断后球做平抛运动，竖直位移为d －l ，水平位移为x ，时间为t 1，竖直方向有d －l ＝12gt 21，水平方向x ＝v 3t 1 得x ＝4l （d －l ）3当l ＝d 2时，x 有最大值，x max ＝233d .答案：见解析 7．(原创题)如图所示，电动势为E 、内阻为r 的电源给一可变电阻供电，已知可变电阻变化范围为0～R m ，且R m >r .当R 为何值时功率最大，最大功率为多少？解析：设可变电阻为R ，则I ＝ER ＋rP ＝I 2R ＝E 2（R ＋r ）2·R ①法一：(配方法)P ＝E 2（R －r ）2R ＋4r显然，当R ＝r 时，功率最大，P max ＝E 24r.法二：(判别式法)将①式整理成关于R 的二次方程 PR 2＋(2Pr －E 2)R ＋Pr 2＝0 由于R 为实数，故Δ≥0 即(2Pr －E 2)2－4P 2r 2≥0 解得：P ≤E 24r最大值为P max ＝E 24r ，代入①式得R ＝r .答案：见解析 8.质量分别为M 、m 的斜面体A 、B 叠放在光滑水平面上，斜面体倾角为α，两者之间的动摩擦因数为μ(μ＜tan α)，今用水平外力F 推B ，使两者不发生滑动，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求F 的取值范围．(已知：m ＝3 kg ，M ＝8 kg ，μ＝0.5，α＝37°.)解析：B 恰好不向下滑动时，所需F 最小，此时B 受到最大静摩擦力沿斜面向上．如图甲所示．设两者共同的加速度为a 1，对整体有： F min ＝(M ＋m )a 1 对B 有：F min ＋F f1cos α－F N1sin α＝ma 1 F f1sin α＋F N1cos α＝mg F f1＝μ·F N1联立以上各式解得：F min ＝m （M ＋m ）（sin α－μcos α）M （cos α＋μsin α）g ＝7.5 N甲乙B恰好不上滑时所需F最大，此时B受最大静摩擦力沿斜面向下．如图乙所示．设共同加速度为a2，对整体有：F max＝(M＋m)a2对B有：F max－F f2cos α－F N2sin α＝ma2F N2cos α＝mg＋F f2sin αF f2＝μF N2联立以上各式解得：F max＝m（M＋m）（sin α＋μcos α）M（cos α－μsin α）g＝82.5 N故取值范围为7.5 N≤F≤82.5 N.答案：7.5 N≤F≤82.5 N。
极值范围类计算—(疑难解读+解题技巧)2021届九年级物理中考复习(优等生)专题讲义
微专题17-6 极值范围类计算知识·解读一，引起电路变化地因素：（1）滑动变阻器接入电阻可变，敏感电阻受环境因素地影响可变。
（2）开关地开，闭情况不同。
二，影响电路安全地因素：（1）电流表，电压表量程。
（2）用电器规格(灯泡地“U额，P额”或滑动变阻器地规格“a Ω b A”)。
三，解题步骤：第一步：列出极值要保证电路地安全,首先要将题目中给了规格地各圆件地额定电压，额定电流或允许通过地最大电流罗列出来,这样可以避免遗漏某个圆件.第二步：确定电路状态由题干限制款件(滑片位置或开关状态),确定此时地电路连接情况.第三步：求物理量极值，范围由电路连接状态,在电路安全地款件下,各物理量极值或范围均是在物理量I，R地基础上求得地,因此确定I，R地极值尤为重要.（1）串联电路中电路安全时：a.电流表量程。
b.R变安全电流。
c.I min= .三者中最小值为电路可通过电流最大值,此时滑动变阻器接入电阻最小.a.R变铭牌上地最大值。
b.R变两端电压允许地最大值对应地接入电阻二者最小值为R变min,此时电路电流为I max.（2）并联电路中电路安全：思路各支路所允许地最大电流,支路电流之和为干路地最大值,同时要考虑干路电流表地量程.典例·解读例1，如图所示,小灯泡L标有“6 V 3 W”字样(不计温度对灯丝电阻地影响)．当S闭合,滑动变阻器滑片P在最左端时,小灯泡L正常发光。
当S闭合,S1断开,滑动变阻器滑片P在中点时,电流表地示数为0.2 A．下面表述正确地是( )A. 电源电压为9 VB. 滑动变阻器地最大阻值为18 ΩC. 调节电路圆件,可使电压表达到地最大值为4.5 VD. 电路地最小功率与最大功率之比为3∶16例2，如图所示,电源电压U=8V 保持不变,小灯泡上标有“6V,4W”字样,电阻R 2=30Ω。
闭合电键后,若滑动变阻器R 1地滑动片P 在离b 端1/4处时,小灯泡地实际功率为1W 。
应用数学方式求物理极值问题
应用数学方式求物理极值问题宁夏中卫市第一中学 闫保臻在物理和数学的关系中，很多时侯都把物理比喻成皇帝，数学比喻成皇后，不能分开。
一个物理学家他第一是一个数学家。
数学是科学的语言，它能简练、准确地表达物理概念和推导证明物理规律，是物理学的重要工具，物理是数学的灵魂。
运用数学方式解决物理问题的能力是新课程改革高中物理教学的目标之一，同时也是新高考能力考查目标之一，数学掌握的好能够帮忙咱们加倍简捷的解决物理问题。
下面，笔者就运用数学方式在物理极值求解中的常常利用方式总结如下。
一、用一元二次方程判别式求解极值一元二次方程，当它的判别式B 2-4AC≥0时，此方程有实数解。
若咱们在解物理习题时能选择适当的物理量作为未知量。
使其成为一个一元二次方程，巧妙地利用判别式可解决极值问题。
例题1：一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3m 的墙外，从喷口算起，墙高4m ，若空气阻力不计，取2/10s m g =。
求：所需的最小初速度及对应的喷射仰角。
分析：本题的解题思路是按照题目描述的物理情景，写出喷射速度的的数学表达式，再用数学工具进行求解。
解答：设喷射速度为v ，喷射仰角为θ，按照题意得：在水平方向：3=vcos θ·t ①竖直方向：4=vsin θ·t －221gt ② 联立①、②消去时刻t ，能够取得喷射出的水的轨迹方程为4=3tan θ－θ22cos 45v ，该式中含有两个未知量θ和v,现以tan θ为变量，以v 参量，化简该式得：θ2tan － 01454tan 1522=++v v θ ③ 要使③式有解，必需要使其判别式大于等于零，即：b 2-4ac 0≥，在上述方程中，a=一、b=152v -、c=14542+v ，所以b 2－4ac=（152v -）2－4×1×（14542+v ）0≥ ④ 该不等式只含有一个未知量v ，解 ④式能够取得v 的有效解为：90≥v m/s ，所以喷射的最小速度为：90min =v m/s 。
高中物理求极值方法与常用结论总结
高中物理求极值方法与常用结论总结（一）利用分式的性质求极值[例1] 物体A放在水平面上，作用在A上的推力F与水平方向成30º角，如图示。
使A作匀速直线运动。
试问，当物体A与水平面之间的摩擦系数μ为多大时，不管F增大到多大，都可以使A在水平面上，作匀速直线运动?解：A受力如图所示，由已知，A处于平衡状态，有：Fcosα=fFcos30º=μ（G+Fsin30º），得F=由已知当公式的分母为零，即F→∞的匀速运动时sin30º－μcos30º=0时得μ=tg30º=0.58，则F→∞，此时都可以使A在水平面上作匀速直线运动。
（二）利用一元二次方程求根公式求极值有些问题，通过分析列关系式，最后整理出关于一个未知量的一元二次方程。
它的根就可能是要求的极值。
这种方法应用是很普遍的。
（三）利用一元二次方程判别式△=b2－4ac≥O求极值[例2] 一个质量为M的圆环，用细线悬挂着。
将两个质量为m的有孔的小珠套在环上，且可沿环无摩擦滑动，如图（a）所示。
今将两小珠从环的顶端由静止开始释放。
证明，当m>M 时，圆环能升起。
证明：取小球为研究对象，受力如图（a）。
由牛顿第二定律，得所mgcosθ+N=由机械能守恒定律，得mgR（1－cosθ）=由此二式得N=2mg－3mgcosθ（1）上式中，N>0，即cosθ<以环为研究对象，受力图如（b），在竖直方向，由牛顿第二定律，有T+2N’cosθ—Mg=Ma当环恰好能上升时，a=0，可得2N’cosθ=Mg （3）将（1）代入（3）式中，其中N’为（a）图中N的反作用力。
有2（2mg－3mgcosθ）cosθ=Mg 即6mcos2θ－4mcosθ+M=0 （4）（4）式是关于cosθ的一元二次方程。
cosθ为实数，则△≥0，即（4m）2－4（6m）M≥0，可得m≥M 当m=M时，T恰好为零，但不升起，所以取m>M为升起条件。
5种数学方法破解物理极值问题
◇ 甘肃 张 吉 生
物 理极 值 问题是 中学 物 理教 学 的一 个 重 要 内容 ；
也 是 中学生 学 习物理 的难 点． 题 时如 能 将数 学 方法 解
ｒ
＠ ｔｎａ ａ ＝１ 得 Ｆ一 Ｉ ｇ 则 ￣ ｍ
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因此 最小拉 力 Ｆ ｉ ：
５ 矢 量 图 法
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３ 判 别 式 法
对于 一元 二 次 方 程 口 ＋ｂ 。 ｘ＋ｆ ， 方 程 有 实 一０ 若
向右传 播 ， ｂ 在 ａ的右 方 ， 故 该 由不 夹线法 ， 出 ｂ点． 描
可得ｎ 间 上距 、 的图 离为｝ ． 有 ｂ Ａ故
Ｓ一 ｓ一 昔 一 ０ ． ｏ ＋ 图 ＋ １ ５ ｂ ．ｍ
解 得 波长为 一 １． Ｔ Ｉ
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进 行等 效转换 ．
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．
一 ；
将 ① 式代 入 ② 式 ：Ｒ ＋Ｒ ）≥４ Ｒ ＋尺 ） ， （ （ ｜ Ｒ 因为 Ｒ 和 Ｒ 均为 正值 ， 以 Ｒ ＋Ｒ ≥４ 所 Ｒ，
所以 Ｒ 和 Ｒ 。串 联 的 总 电 阻 至 少 为 ４ Ｒ．
向上运动 ， 如图 ９ 画出÷ 的波形图 ， ． ｂ间 的距 离 ， 据 它们 的振 动状 态 转 、 根 化为 波形 图 ， 而得 到距 离 跟波 长 的关 系 从
．
Ｒ￥一Ｒ１ ２ Ｒ， ， ＋Ｒ ≥２ Ｅ Ｅ ￣ Ｒ￣
所 以 （ 。 Ｒ Ｒ ， Ｒ ＋Ｒ ）≥４ ②
§1 极值问题
§1 极值问题在处理实际问题时，往往需要求出在给定条件下，某物理量的极值。
例如，在投掷手榴弹时，在初速度大小一定的条件下，要以多大的角度投出，才能投得最远；用绳子拉物体前进时，拉的方向与地面成怎样的角度，才能最省力外电路送电时，何时输出功率最大；……解决这类问题的有力工具是微分学和变分学，但在不少情况下，也可用初等数学的方法来解决。
要求某一物理量在给定条件下的极值，首先要根据物理学中的定理、定律和公式，建立物理量和自变量间的函数关系，然后就所得的关系式进行研究，运用适当的数学方法，求出在给定条件下函数的极值。
通常，我们用下店小二为解决中学物理中的极值问题。
1．用代数的方法研究函数的极大值、极小值。
（1）利用一元二次函数的性质函数2y ax bx c =++ ① 当0,2ba x a>=-时，函数有极小值： 2min44ac b y a-=② 当 0,2ba x a<=-时，函数有极大值： 2max44ac b y a-=例8－1甲般在乙船正北10公里，若甲船以20公里/小时的速度向正西方向行驶，乙船以20公里/小时的速度向正北方向行驶，问两船何时最接近？此时，两者相距几公里？解：依题意作甲、乙两船航行示意图（图8－1） 设t 时刻两船的距离为s ，则：()()2222201020800400100s t t t t =+-=-+∵8000a => ∴4000.25()22800b t h a -=-=-=⨯时，S 2有极小值，此时222448001004005044800ac b s a -⨯⨯-===⨯所以7.1s km ≈即当t=0.25h 时，两船最接近，此时两船相距为7.1km 。
例8－2如图8－2所示，四个相同的干电池，每个电池的电动势为1.5V ，内电阻r=0.50欧，电阻R 1＝2.0欧，R 2＝6.0欧，滑动变阻器的总电阻R 3＝12.0欧，求：（1）滑动变阻器滑动片C称到什么位置时，伏特计读数最大？什么位置时，伏乙北特计的读数最小，其值各为多少？（2）滑动片移到什么位置时，电池的内部消耗的功率最小？为什么？解：等效电路如图8－3所示，设R ac =x 欧，则：()()23123n I R x R x nr R R R ε=+-+++①伏特计的读数：()()()()()()()()()()232323123231232312323()()()()1R x R x n U IR R x R x R R nr R R R n R x R x nr R R R R x R x n nr R R R R x R x εε+-=⋅+-++++++=++++-=++++-并＝ (1)令()()()2233223y R x R x x R R x R R =+-=-+-+⋅ ……（2） 由（1）式可知，当y 具有极大值时，伏特计的读数U 最大。
例析物理极值问题解答方法
、２ （ ｓ ６ 。 ｎ０ Ｌ ｉａ） ③ ／ ｇ Ｌ ｉ ０Ｘｓ ｚ－ ｓ ０ ／ ｎ ｉ ｎ
时
⑤
由数学知识得 当 ｓ ０ 时， 有最大值 ｉ＝ ｎ
④
重力对小球 的功率最大 ： 一 一 ２ Ｐ ｍｇ
二 、 理 方 法 物 根据机械能守恒定律有 ： ｍ Ｌｉ ｇ ｓ 加一 ｍ ①
的一， ＇咖 ＿ ｃ ／ ｇ
一
一一一一 ２ 滩～ ⑦雌一 一撇 ～～ 一一撇 妫性一 一 雕一～ ～愀一 硼 ① 一 一 黼删 一 师 一
一
根 据题意 当 Ａ球 刚好对墙壁没有压力 时 ， 轻杆刚好 对 Ａ、 Ｂ两 个小 球没 有作 用力 ， Ｂ球 的速 度则 达到最 大 值 。由① 、 ②式得 ：
一
；
Ｊ
⑥
Ｉ；； １ ＼ ；；； 曰 ｝
、
１ｍ 峨 十 １
重力对小球做功的瞬时功率 为 ：
Ｐ＝ｍｇ ｃｓ ② ｖｏＯ 由① 、 ②式 得 ：
Ｄ
７ ７ ｚ
②
图７
Ｐ ｍ ／ ｓ ０ ｓ ③ ＝ ｇｖ ￣Ｌ ｉ Ｘｃ ０ ｎ ｏ
根据数学 知识 Ｐ 一 ￣２ Ｌ ｉ — ｓ０ ④ ／ｇ ｓ ０ ｃ ２ — ｎＸ ｏ
Ｂ
则 ：＝ａｃｉ ０ ｒｓ ｎ
最大值为 一
Ｄ
⑤
根据物 理 知识 将 小球 的速 度 分解 为水平速度 和竖直速度 ＝ｖｏ０ ② ｃｓ
高中物理中的极值问题及求解方法
高中物理中的极值问题及求解方法随着高考新课程改革的深入及素质教育的全面推广，物理极值问题成为中学物理教学的一个重要内容，它对培养学生的理解能力、逻辑推理能力、数学运算能力、综合分析能力都有很高要求，所以研究极值问题的规律和探究解决解决极值问题的方法，对于培养学生创造性思维能力和掌握科学研究的方法均有重要的意义。
一、 利用数学方法求极值1．配方法： 2224()24b ac b ax bx c a x a a-++=++当a ＞0时，当2bx a=-时，y 有最小值为：2min 44ac b y a -=当a ＜0时，当2bx a=- 时，y 有最大值为：2max 44ac b y a -=例1.如图所示摩托车做腾跃特技表演，以速度v 0=10m ／s 冲上顶部水平的高台试分析：当台高h 多大时飞出，求跳板高度h 多大时，飞出的水平距离最远？且最大值是多少?(一切摩擦不计，取g=10 m ／s 2)。
解析:设摩托车从高台飞出的水平速度为v ，根据机械能守恒定律有：2201122mv mgh mv =+ ① 摩托车飞出后做平抛运动，飞出的水平距离：2hs vt vg== ② 由①和②有：222002224h v s v gh h h g g=-=-g③ 因为40a =-<，所以s 有最大值的条件为：22002/ 2.522(4)4b v g v h m a g=-=-==⨯- ④且最大距离为; 2max 52v s m g== ⑤ 例2甲、乙两车同时从同一地点出发，向同一方向运动，其中甲以10 m/s 的速度匀速行驶，乙以2 m/s 2的加速度由静止启动，求：(1)经多长时间乙车追上甲车？此时甲、乙两车速度有何关系？ (2)追上前经多长时间两者相距最远？此时二者的速度有何关系？【解析】(1)乙车追上甲车时，二者位移相同，设甲车位移为x 1，乙车位移为x 2，则x 1＝x 2，即211a 2v t t 11＝，解得12110 s 20 m /s t v at ＝，＝＝，因此212v v ＝.(2)设追上前二者之间的距离为x ∆，则22221 2x x x v t at t t 12122Δ10＝－＝－＝－由数学知识知：当10s 521t s =⨯2＝时，两者相距最远，此时21v v '＝. 例3、.(2017新课标II)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。