高中数学第二章平面向量2.1向量的概念及表示导学案苏教版4教案
高中数学第2章平面向量2.1向量的概念及表示课件苏教版必修4
题型 向量的有关概念
[典例 1] 给出下列命题： ①若A→B＝D→C，则 A，B，C，D 四点是平行四边形的 四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有A→B＝D→C； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c；
A.A→D与C→B B.O→A与O→C C.A→C与D→B D.D→O与O→B
第2章 平面向量
1．向量的基本概念．
定义 既有大小又有方向的量称为向量
(1)几何表示：向量常用一条有向线段来
表示，有向线段的长度表示向量的大小， 表示 箭头所指的方向表示向量的方向，以 A 方法 为起点、B 为终点的向量记为A→B；
(2)字母表示：用小写字母 a，b，c 表示
一、对向量的理解
向量不同于数量，数量只有大小，是一个代数量， 可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重 性且不能比较大小．
100 2.
题型 4 相等向量的应用
[典例 4] 如图所示，在△ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 边上的点，已知A→D＝D→B，D→F＝B→E，试推 断向量D→E与A→F是否为相等向量，说明你的理由．
[变式训练]
4.如图所示，四边形 ABCD，其中A→B＝D→C，则相等 的向量是( )
[变式训练] 一架飞机从 A 点向西北飞行 200 km 到 达 B 点，再从 B 点向东飞行 100 2 km 到达 C 点，再从 C 点向东偏南 30°飞行 50 2 km 到达 D 点．问 D 点在 A 点的什么方向？D 点距 A 点多远？
解：由|B→C|＝100 2，知 C 在 A 的正北方向，|A→C|＝
高中数学第2章平面向量21向量的概念及表示学案苏教版必修4
2.1向量的概念及表示
1．B 已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，点E为线段OB中点，完成下列各题.(用于填空的向量为图中已有线段所表示的向量)
(1)图中与向量AB相等的向量为 .
(2)图中与向量AD平行的向量为 .
(3)在图中画出与向量OA平行的向量，并且经过点B.
CF，并且DO CF
.
可否能用图中的向量表示？
2．B 已知如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，完成下列各题.(用于填空的向量为图中已有线段所表示的向量)
(1)
图中与向量OA相等的向量为；
(2)图中与向量OA长度相等的向量有个；
(3)图中与向量OA共线的向量为；
(4)图中与向量OA相等且反向的向量为 .
3．A “向量平行”与“向量共线”是一回事吗？试着回答下面问题：
(1)两个向量共线，则它们一定在一条直线上吗？
(2)两个向量平行，则它们的基线一定平行吗？
3)两个向量方向相反，则它们一定共线吗？
4)两个向量共线，则它们一定同向或反向吗？
第二章平面向量
2.1向量的概念及表示
1．(1)DC (2)DA CB BC
、、
(3)
(4)
(5)留作思考，后续课程会解决
2．(1)CB EF DO
、、 (2)23
(3)BC CB DO OD AD DA AO FE EF
、、、、、、、、
(4)BC FE OD AO
、、、
3．(1)不一定，可能在两条平行的直线上(2)不一定，基线可能重合(3)一定 (4)不一定，0的方向不确定.。
苏教版数学高一必修4教案 2.1向量的概念及表示
2．1向量的概念及表示●三维目标1．知识与技能(1)理解、掌握向量的概念．(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等的概念．2．过程与方法在理解向量等有关概念的基础上，充分联系实际，培养学生解决生活实际问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过对向量的学习，使学生对现实生活中的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生对现实生活中的真善美的识别能力．(2)对学生进行辩证思维的教育.●重点难点重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示．难点：向量的概念和共线向量的概念．●教学建议1．关于向量概念的教学教学时，建议教师从向量的物理背景出发，借助物理学中的位移、速度、力等矢量引出向量的概念，并指出向量具有“数”和“形”的双重特征．2．关于零向量、单位向量、相等向量和共线向量的教学教学时，建议教师类比数及向量的概念给出零向量、单位向量的概念；结合向量的两要素给出相等向量的定义；强调指出共线向量未必是在同一直线上的向量．由于零向量、单位向量、相等向量和共线向量是研究向量的基础，为增加学生对上述概念的感性认识，学习时建议教师对该知识点进行适当训练．●教学流程创设问题情境，引入向量的概念.⇒引导学生结合物理学中的位移、速度、力等矢量理解向量具有“数”和“形”的双重特征.⇒通过类比数与向量的概念，引导学生理解零向量、单位向量、相等向量、共线向量等概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用向量有关概念判断有关命题真假的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用有向线段表示向量的方法，并注意向量模的大小.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握写出图形中的相等共线向量的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．2.理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义．(重点、难点)3.理解向量的几何表示.向量及其有关概念(1)火车向正南方向行驶了50 km，行驶速度的大小为120 km/h，方向是正南．(2)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．1．上述两个实例中涉及的物理量的特点是什么？【提示】它们的大小和方向都是确定的．2．上述实例中的速度和力，如何表示？【提示】可以用有向线段表示，也可以用字母表示．1．向量的概念向量：既有大小，又有方向的量叫向量．2．向量的表示(1)用有向线段表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．以A 为起点、B 为终点的向量记作AB →.向量AB →的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|AB →|. (2)用字母表示向量通常在印刷时，用黑体小写字母a ，b ，c …表示向量，在手写时用带箭头的小写字母a →， b →， c →…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB →，CD →. 3．与向量有关的概念(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0.(2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (4)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫相反向量．(5)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量平行.向量的有关概念(1)单位向量一定相等； (2)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(3)若AB →＝CD →，则点A 与点C 重合，点B 与点D 重合； (4)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； (5)若向量a ＝b ，则a ∥b ； (6)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .【思路探究】 从概念的理解出发，结合具体实例进行判断．【自主解答】 (1)不正确．向量有大小和方向两个要素，单位向量的模一定是1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等．(2)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .(3)不正确．这是因为AB →＝CD →时，应有|AB →|＝|CD →|及由A 到B 与由C 到D 的方向相同，但不一定有A 与C 重合，B 与D 重合．(4)不正确．“大于”、“小于”对于向量来说是没有意义的．(5)正确．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．(6)不正确．对于非零向量命题正确，但当b ＝0时，满足a ∥b ，b ∥c ，但a 与c 不一定共线．1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量． 3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可．下列说法：①方向相同或相反的向量是平行向量；②零向量的长度是0；③长度相等的向量叫相等向量；④共线向量是在一条直线上的向量．其中正确的命题是________．(填序号)【解析】 方向相同或相反的非零向量才是平行向量，所以①不正确；长度相等，方向相同的向量才叫相等向量，所以③不正确；共线向量也叫平行向量，它们不一定在一条直线上，也可能在平行直线上，所以④不正确；零向量的长度为0，所以②正确．【答案】 ②向量的表示50°行驶了200千米到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D.(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【思路探究】 解答本题应首先确定指向标，然后再根据行驶方向确定有关向量，进而求解．【自主解答】 (1)如图．(2) 由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD. 又∵|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD. ∴四边形ABCD 为平行四边形．∴|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向或长度(模)，选择合适的比例关系作出向量．在如图2－1－1的方格纸中，画出下列向量．图2－1－1(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向； (2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向．【解】 取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，相应的向量如图所示：相等向量与共线向量图2－1－2如图2－1－2所示，在△ABC 中，三边长均不相等，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 这6点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与EF →共线的向量； (2)与EF →长度相等的向量； (3)与EF →相等的向量．【思路探究】 (1)与EF →共线的向量即与之方向相同或相反的向量；(2)与EF →长度相等即表示向量的线段与EF 长度相等；(3)与EF →相等的向量即与之共线且长度相等的向量．【自主解答】 (1)∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴EF ∥BC ， ∴与EF →共线的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)∵D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，∴BD ＝DC ＝12BC ，EF ＝12BC.∵AB ，BC ，AC 均不相等，∴与EF →长度相等的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量为DB →，CD →.1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．图2－1－3如图2－1－3，D ，E ，F 分别是△ABC 各边上的中点，四边形BCMF 是平行四边形，请分别写出：(1)与CM →模相等且共线的向量； (2)与ED →相等的向量； (3)与BF →相反的向量．【解】 (1)DE →，ED →，BF →，FB →，FA →，AF →，MC →. (2)FB →，AF →，MC →. (3)FB →，AF →，ED →，MC →.对向量的有关概念理解不透彻致误判断下列说法是否正确： (1)向量就是有向线段； (2)AB →＝BA →；(3)若向量AB →与向量CD →平行，则线段AB 与CD 平行； (4)若|a |＝|b |，则a ＝±b ；(5)若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形． 【错解】 以上说法都正确．【错因分析】 (1)向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．因此，有向线段是向量的一种表示方法，不能说向量就是有向线段．(2)AB →与BA →的长度相等，但方向相反，故当AB →是非零向量时，AB →与BA →不相等． (3)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，故若AB →与CD →平行，则线段AB 与CD 可能平行，也可能共线．(4)由|a |＝|b |，仅能说明两向量的模相等，但方向却不能确定，故(4)不正确．而(5)中，A ，B ，C ，D 可能落在同一条直线上，故(5)不正确．【防范措施】 首先，要清楚向量的两要素：大小和方向；其次，要对共线向量、单位向量、相等向量、零向量有深入的理解，考虑问题要全面，注意零向量的特殊性．【正解】 以上说法都不正确．1．如果有向线段AB 表示一个向量，通常我们就说向量AB →，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．2．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．1．下列说法正确的是________． ①若|a |＝0，则a ＝0； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③向量AB →与向量BA →是相反向量； ④若a ∥b ，则a ＝b .【解析】 ①不正确，若|a |＝0，则a ＝0；由于相等向量的长度相等且方向相同，故②④不正确；③显然正确．【答案】 ③图2－1－42．如图2－1－4所示，E ，F 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，则与向量EF →共线的向量有________(将图中适合条件的向量全写出来)．【解析】 ∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC ， ∴适合条件的向量为FE →，BC →，CB →. 【答案】 FE →，BC →，CB →3．若四边形ABCD 是矩形，则下列命题中不正确的是________． ①AB →与CD →共线；②AC →与BD →相等；③AD →与CB →是相反向量；④AB →与CD →的模相等．【解析】 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，故①，④正确； AC ＝BD ，但AC →与BD →的方向不同，故②不正确； AD ＝CB 且AD ∥CB ，AD →与CB →的方向相反，故③正确． 【答案】 ②4．在直角坐标系中，画出下列向量，使它们的起点都是原点O. (1)|a |＝2，a 的方向与x 轴正方向成60°，与y 轴正方向成30°；(2)|a |＝4，a 的方向与x 轴正方向成30°，与y 轴正方向成120°. 【解】 所求向量及其向量的终点坐标如图所示：一、填空题1．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1；⑤a |a |＝b .其中正确的是________．(填序号)【解析】 |a |不一定大于1，|b |＝1，∴①④不正确；a 和b 不一定平行.a|a |是与a 方向相同的单位向量，所以②⑤不正确；a 为非零向量，显然有|a |＞0. 只有③正确． 【答案】 ③2．若a ＝b ，且|a |＝0，则b ＝________. 【解析】 ∵a ＝b ，且|a |＝0，∴a ＝b ＝0. 【答案】 0图2－1－53．如图2－1－5所示，四边形ABCE 为等腰梯形，D 为CE 的中点，且EC ＝2AB ，则与AB →相等的向量有________．【解析】 易知四边形ABDE 为平行四边形，则AB →＝ED →， 又∵D 是CE 的中点，则ED →＝DC →. 【答案】 DC →，ED →4．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进1003米，则此人位移的方向是________．【解析】 如图所示，此人从点A 出发，经点B ，到达点C ，则tan ∠BAC ＝1003100＝3，∴∠BAC ＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°.【答案】 南偏东30°5．给出以下4个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0，其中能使a 与b 共线成立的是________．【解析】 两向量共线只需两向量方向相同或相反．①a ＝b ，两向量方向相同；②|a |＝|b |两向量方向不确定；④|a |＝0或|b |＝0即为a ＝0或b ＝0 ，因为零向量与任一向量平行，所以④成立．综上所述，答案应为①③④. 【答案】 ①③④图2－1－66．如图2－1－6，已知正方形ABCD 边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________. 【解析】 正方形的对角线长为22， ∴|OA →|＝ 2. 【答案】27．四边形ABCD 满足AD →＝BC →且|AC →|＝|BD →|，则四边形ABCD 的形状是________． 【解析】 由四边形ABCD 满足AD →＝BC →可知，四边形ABCD 为平行四边形． 又|AC →|＝|BD →|，即平行四边形ABCD 对角线相等，从而可知四边形ABCD 为矩形． 【答案】 矩形8．设O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有表示正确的序号为________．【解析】 如图，正方形的对角线互相平分，∴AO →＝OC →，①正确；AO →与AC →的方向相同，所以AO →∥AC →，②正确；AB →与CD →的方向相反，所以AB →与CD →共线，③正确；尽管|AO →|＝|BO →|，然而AO →与BO →的方向不相同，所以AO →≠BO →，④不正确．【答案】 ①②③二、解答题图2－1－79．设在平面上给定了一个四边形ABCD ，如图2－1－7所示，点K ，L ，M ，N 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：KL →＝NM →.【证明】 ∵N ，M 分别是AD ，DC 的中点，则NM →＝12AC →，同理KL →＝12AC →，故KL →＝NM →.图2－1－810．如图2－1－8所示菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，∠DAB ＝60°，分别以A ，B ，C ，D ，O 中的不同两点为起点与终点的向量中，(1)写出与DA →平行的向量；(2)写出与DA →模相等的向量．【解】 由题意可知，(1)与DA →平行的向量有：AD →，BC →，CB →；(2)与DA →模相等的向量有：AD →，BC →，CB →，AB →，BA →，DC →，CD →，BD →，DB →.11．一架飞机从A 点向西北飞行200 km 到达B 点，再从B 点向东飞行100 2 km 到达C 点，最后从C 点向南偏东60°飞行50 2 km 到达D 点，求飞机从D 点飞回A 点的位移．【解】 如图所示，由|AB →|＝200 km ，|BC →|＝100 2 km ，知C 在A 的正北100 2 km 处．又由|CD →|＝50 2 km ，∠ACD ＝60°，知∠CDA ＝90°，所以∠DAC ＝30°，所以|DA →|＝50 6 km.故DA →的方向为南偏西30°，长度为50 6 km.如图，已知四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，又AB →＝DC →.求证：CN綊MA.【思路探究】 要证CN ∥MA 且CN ＝MA ，只需证四边形AMCN 是平行四边形，而四边形AMCN 是平行四边形，可以通过AN →＝MC →得证．【自主解答】 由条件AB →＝DC →可知AB ＝DC 且AB ∥DC ，从而四边形ABCD 为平行四边形，从而AD →＝BC →.又M ，N 分别是BC ，AD 的中点，于是AN →＝MC →，所以AN ＝MC 且AN ∥MC ，所以四边形AMCN 是平行四边形，从而CN ＝MA 且CN ∥MA ，即CN 綊MA.1．若AB →＝DC →，且四点A ，B ，C ，D 不共线，则四边形ABCD 为平行四边形，反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →＝DC →.2．利用向量相等或共线证明平行、相等问题：(1)证明线段相等，只需证明相应向量的长度(模)相等．(2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD ，BC 上的点，且CN →＝MA →，证明：四边形DNBM 是平行四边形．【证明】 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ，BC 平行且相等．又∵CN →＝MA →，∴四边形CNAM 为平行四边形，∴AN ，MC 平行且相等，∴DN ，MB 平行且相等，∴四边形DNBM 是平行四边形．。
高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的概念及表示学案
2．1 向量的概念及表示[学习目标] 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．[知识链接]1．力和位移都是既有大小，又有方向的量，在物理学中常称为矢量，在数学中叫做向量；而把那些只有大小，没有方向的量称为数量，在物理学中常称为标量．2．已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧. 3．向量与数量有什么联系和区别？答 联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小． [预习导引]1．向量：既有大小又有方向的量称为向量．2．向量的几何表示：以A 为起点、B 为终点的向量记作AB →. 3．向量的有关概念(1)零向量：长度为0的向量，叫做零向量，记作0.(2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(4)相反向量：与向量a 长度相等且方向相反的向量叫做a 的相反向量．(5)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于b ，记作a∥b . ②规定：零向量与任一向量平行.要点一 向量的概念 例1 给出下列各命题： (1)零向量没有方向； (2)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(3)单位向量都相等； (4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同； (6)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； (7)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；(8)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝CD →，BC →＝DA →. 其中正确命题的序号是________． 答案 (5)(6)解析 (1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不确定；(2)该命题不正确，|a |＝|b |只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同； (3)该命题不正确，单位向量只是模为单位长度1，而对方向没要求；(4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；(5)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合； (6)该命题正确．由向量相等的定义知，a 与b 的模相等，b 与c 的模相等，从而a 与c 的模相等；又a 与b 的方向相同，b 与c 的方向相同，从而a 与c 的方向也必相同，故a ＝c ； (7)该命题不正确．因若b ＝0，则对两不共线的向量a 与c ，也有a ∥0，0∥c ，但a ∥c 不成立；(8)该命题不正确．如图所示，显然有AB →≠CD →，BC →≠DA →.规律方法 要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清楚它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键． 跟踪演练1 下列命题中，正确的是________． ①a ，b 是两个单位向量，则a 与b 相等； ②若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ③两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同； ④共线的单位向量必是相等向量． 答案 ②解析 若a 与b 中有一个是零向量，则a 与b 是平行向量． 要点二 向量的表示例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.解 (1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．规律方法 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．跟踪演练2 中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量AA 1→或AA 2→表示马走了“一步”．试在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．解 根据规则，画出符合要求的所有向量． 马在B 处走了“一步”的情况如图(1)所示； 马在C 处走了“一步”的情况如图(2)所示．要点三 相等向量与共线向量例3 如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别为AB 和CD 的中点，在以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？解 不妨设正方形的边长为2，则以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点的向量中：①模为2的相等向量共有8对，AB →＝DC →，BA →＝CD →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，AD →＝MN →，DA →＝NM →，BC →＝MN →，CB →＝NM →.②模为1的相等向量有12对，其中与AM →同向的有MB →，DN →，NC →，这四个向量组成相等的向量有6对，即AM →＝MB →，AM →＝DN →，AM →＝NC →，MB →＝DN →，MB →＝NC →，DN →＝NC →，同理与AM →反向的也有6对． ③模为5的相等向量共有4对，AN →＝MC →，NA →＝CM →，MD →＝BN →，DM →＝NB →.规律方法 判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．跟踪演练3 如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 都是正方形．(1)写出与AO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)向量AO →与CO →是否相等？解 (1)与AO →相等的向量有：OC →、BF →、ED →.(2)与AO →共线的向量有：OA →、OC →、CO →、AC →、CA →、ED →、DE →、BF →、FB →. (3)向量AO →与CO →不相等，因为AO →与CO →的方向相反，所以它们不相等.1．下列说法正确的是________． ①零向量没有大小，没有方向； ②零向量是唯一没有方向的向量； ③零向量的长度为0；④任意两个单位向量方向相同． 答案 ③解析 零向量的长度为0，方向是任意的，故①②错误，③正确．任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故④错误．2．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，则图中向量是共线向量的有________．答案 ED →与CB →，AD →与BD →，AE →与CE →3．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 梯形解析 ∵AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，∴AB ∥DC ，但AB ≠DC ，∴四边形ABCD 是梯形．4．如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．(1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量． 解 (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →. (2)DA →，CF →，FC →.1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．平行向量是指向量所在直线平行或重合即可，是一种广义平行．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．一、基础达标1.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列正确的是______．①AD →＝BC →；②AC →＝BD →；③PE →＝PF →；④EP →＝PF →. 答案 ④解析 由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →模相等且方向相同，所以EP →＝PF →. 2．下列说法正确的有________．(填相应的序号) ①方向相同的向量叫相等向量； ②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量； ④零向量是没有方向的向量； ⑤共线向量不一定相等； ⑥平行向量方向相同． 答案 ②⑤解析 ②与⑤正确，其余都是错误的．3．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1.其中正确的是________．(填相应的序号)答案 ③解析 a 任一非零向量，故|a |＞0. 4．有下列说法：①若向量a 与向量b 不平行，则a 与b 方向一定不相同； ②若向量AB →，CD →满足|AB →|>CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →； ③若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反； ④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行． 其中，正确说法的个数是________． 答案 1解析 对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故①正确； 对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a |＝|b |，只能说明a ，b 的长度相等，不能确定它们的方向，故③错误； 对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．5．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________． 答案 ①③④解析 因为a ＝b ⇒a ∥b ，即①能够使a ∥b 成立；由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即②不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即③能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是①③④. 6．下列结论中，正确的是________．(填相应的序号) ①若向量AB →，CD →共线，则向量AB →∥CD →； ②若向量AB →∥CD →，则向量AB →与DC →共线； ③若向量AB →＝CD →，则向量BA →＝DC →； ④若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是正方形． 答案 ①②③解析 根据平行向量(或共线向量)定义知①②均正确；根据向量相等的概念知③正确；④不正确．7．如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.证明 ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|CD →|且AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形， ∴CM →＝NA →.∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|， ∴|DN →|＝|MB →|.∵DN ∥MB 且DN →与MB →的方向相同，∴DN →＝MB →. 二、能力提升8．下列说法正确的是________．(填相应的序号)①向量AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线；②长度相等的向量叫做相等向量；③零向量长度等于0；④共线向量是在一条直线上的向量． 答案 ③解析 向量AB →∥CD →包含AB →所在的直线平行于CD →所在的直线和AB →所在的直线与CD →所在的直线重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以①②④均错． 9.如图，已知四边形ABCD 为正方形，△CBE 为等腰直角三角形，回答下列问题：(1)图中与AB →共线的向量有____________； (2)图中与AB →相等的向量有____________； (3)图中与AB →模相等的向量有____________． 答案 (1)BA →，BE →，EB →，AE →，EA →，CD →，DC →(2)DC →，BE →(3)BA →，BE →，EB →，DC →，CD →，AD →，DA →，BC →，CB →10．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点． (1)作出向量AB →、BC →、CD →；(2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|， ∴在四边形ABCD 中，AB ∥CD 且AB ＝CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →，∴|AD |→＝|BC →|＝200 km.11．一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去． (1)按1∶100比例作图说明当α＝45°时，操作几次时赛车的位移为零； (2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？ 解 (1)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零，按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形，故有n ·(180°－α)＝(n －2)·180°. 即α＝360°n，n 为不小于3的整数．12．如图平面图形中，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′； (2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→. 证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→， ∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→.又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′∥BB ′. ∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形． ∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|. ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形， ∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|. ∴AB →＝A ′B ′→. 同理可证AC →＝A ′C ′→. 三、探究与创新13.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S ，且M ，N 不重合}，试求集合T 中元素的个数．解 由题意知，集合T 中的元素实质上是S 中任意两点连成的有向线段，共有20个， 即AB →，AC →，AD →，AO →；BA →，BC →，BD →，BO →；CA →，CB →，CD →，CO →；DA →，DB →，DC →，DO →；OA →，OB →，OC →，OD →.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，BA →＝CD →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，AO →＝OC →，OA →＝CO →，DO →＝OB →，OD →＝BO →. ∵集合中元素具有互异性， ∴集合T 中的元素共有12个．。
苏教版数学高一《向量的概念及表示》名师导学案
四、课中研学
变题： 的相反向量有几个？
（10）若|a|=|b|，则
2.课本57页习题2.1 题 23．课本57页练习1、2、3、4
六、课堂小结
七、课后作业：教学与测试19课时
三、课前预习
1.向量的概念：
2.向量的表示方法记作：
3.向量的模：记作
4.两种特殊向量
零向量：单位向量：
注意：零向量的方向是任意的.零向量与零不一样.
5向量间的特殊关系
（1）平行向量：
规定0与任一向量平行.
（2）相等向量定义：
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）共线向量：
§2.1 向量的概念及表示
一、学习目标：
1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的
2.模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分
3.平行向量、相等向量和共线向量.
二、学习重点：
（1）向ห้องสมุดไป่ตู้概念的引入，会表示向量.
（2）理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，
高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的概念及表示导学案 苏教版必修4
2.1 向量的概念及表示课堂导学三点剖析1.向量、相等向量、共线向量的概念【例1】判断下列各命题的真假.（1）向量的长度与向量的长度相等；（2）向量a与向量b平行，且a与b方向相同或相反；（3）两个有共同起点而且相等的向量，终点相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）与CD共线，则点A、B、C、D必在同一条直线上；（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.思路分析：考查向量的基本概念及表示.解：（1）真命题.与互为相反向量.（2）假命题.若a、b中有一个为零向量时，其方向是不确定的.（3）真命题.（4）假命题.终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反.（5）假命题.共线向量所在的直线可以重合也可以平行.（6）假命题.向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段.温馨提示对于零向量它比较特殊，它与任一向量平行.解题时加以注意.2．共线向量（平行向量）的概念理解【例2】如右图D、E、F分别是等腰Rt△ABC各边中点，∠B AC=90°.（1）写出图中与、长度相等的向量；（2）分别写出图中与向量、共线的向量.思路分析：长度相等的向量包括相等向量、相反向量以及模相等的所有向量.共线与否只看方向不看大小.解：（1）与长度相等的向量有、FC、、、.与长度相等的向量有CE、EB.（2）与共线的向量有、、.与共线的向量有，，.温馨提示共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.3.向量的模与零向量【例3】下列四个命题，其中正确命题的个数是（）①若|a|=0，则a=0 ②若|a|=|b|，则a=b或a=-b③若a∥b，则|a|=|b| ④若a=0，则-a=0A.1B.2C.3D.4思路分析：考查零向量与向量的模的概念.解：分清0与0的区别，知①错误；两个向量模相等，它们有无数种位置关系，故②不正确；两向量平行模不一定相等，故③错误.④正确.答案：A温馨提示①容易忽略0与0的区别；②误认为模相等时向量相等，把向量的模同实数的绝对值等同起来.【例4】给出下列命题，其中正确命题的个数是（）①零向量是唯一没有方向的向量②平面内的单位向量有且仅有一个③a与b共线，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量④相等的向量必是共线向量A.1个B.2个C.3个D.4个解析：①零向量方向任意.②平面内的单位向量有无数个.③a与c方向可能相反.答案：A各个击破类题演练1如图B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出多少个互不相等的非零向量？思路分析：大小相等、方向相同的向量是相等的.只需从大小和方向两方面思考即可.解：可设AD的长度为3，那么长度为1的向量有6个，其中=BC=CD，=CB=DC；CA ；长度为3的向量有2个，所以最多可长度为2的向量有4个，其中AC=BD，DB以写出6个互不相等的向量.变式提升1（1）如图，D、E、F分别是正△ABC的各边中点，则在以A、B、C、D、E、F六个点中任意两点为起点与终点的向量中，找出与向量DE平行的向量.解：与向量平行的向量有7个，分别是、、、、、、. （2）判断下列命题的真假，并注意体会它们之间的联系与不同.①若a∥b，则a=b.( )②若|a|=|b|，则a=b.（）③若|a|=|b|，则a∥b.（）④若a=b,则|a|=|b|.( )答案：（1）假命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题.类题演练2不相等的两个向量a和b，有可能是平行向量吗？若不可能，请说明理由；若有可能，请把各种可能的情形一一列出.解：不相等的两个向量有可能平行.有如下三种情况：情况1：两个向量a和b中有一个是零向量而另一个是非零向量；情况2：两个向量a和b都为非零向量，且方向相同；情况3：两个向量a和b都为非零向量，且方向相反.变式提升2判断下列命题是否正确.（1）若a∥b，则a与b的方向相同或相反；（2）共线的向量.若起点不同，则终点一定不同.解：（1）错.若a、b中有一零向量，其方向不定.（2）错.如图，与共线，虽起点不同，但终点却相同.类题演练3下列命题中，正确的是（）A.|a|=|b|⇒a=bB.|a|>|b|⇒a>bC.a=b⇒a∥bD.|a|=0⇒a=0 解法1：（直接法）∵如果两个向量相等，则这两个向量必定平行.∴应选C.解法2：（排除法）由向量的定义知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A、B，零向量，数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0的.∴应排除D，∴应选C.答案：C变式提升3根据图形回答下列问题.（1）写出与EF共线的向量;（2）写出与的模大小相等的向量;（3）写出与相等的向量.思路分析：利用三角形中位线定理解决线段的平行和相等问题，再将线段的平行、相等转化为共线的向量、相等的向量.解：（1）∵E、F 分别是AC 、AB 的中点，∴EF 21BC. 又∵D 是BC 的中点, ∴与向量共线的向量有：，，，DC ，CD ，BC ，CB .（2）与EF 模相等的向量有：FE ，BD ，DB ，DC ，CD .（3）与相等的向量有:，.温馨提示零向量在共线向量问题中是一个特别的对象，应按照平行向量的补充规定来判断；考查向量应考查其大小和方向，二者缺一不可，对于一个向量只要不改变其大小与方向是可以任意平行移动的，即我们研究的向量是自由向量；平行向量与向量的模无关，而方向包含相同和相反两种情形.。
25.苏教版·高中数学必修Ⅳ教案_§2.1向量的概念及表示
第二章平面向量§2.1 向量的概念及表示教学目标：理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示.教学难点：向量概念的理解.教学过程：Ⅰ.课题导入在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，还有单位圆中的三角函数线等等，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.而这一节课，我们将学习向量的有关概念.Ⅱ.讲授新课这一节，大家先通过自学来熟悉相关内容，然后我们通过概念辨析例题来检验大家自学的效果.提问：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量称为向量．2.向量的表示方法：①用有向线段表示，如“向量常用一条有向线段来表示（这里应理解为几何的表示），有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．”――――课本上的语言；②用字母a 、b 等表示（这才是符号语言）；（注意：这是一个不太好做到的一项规定，“粗体”在手工书写中是很难象印刷体那么区分的，故实际应用中变通为字母上方加箭头，如：a 、b 、c，特别强调“字母上的箭头绝不能丢掉”．）③用有向线段的起点与终点字母再加上箭头表示，如：AB（这也是符号语言）.3.零向量、单位向量、向量的长度的概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；③向量AB （a ）的大小称为向量的长度（或称为模），记作||AB （||a）．说明：01．零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.02．向量的模是一个标量，它是一个非负的数量．4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：(1)综合①、②才是平行向量的完整定义；(2)向量a 、b 、c平行，记作a b c .5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：(1)向量a 、b 相等，记作a =b；(2)零向量与零向量相等； (3)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线．．．．段的起点无关．．．．．．.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上；说明：(1)平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；(2)共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.我们把与向量a 长度相等,方向相反的向量叫做a 的相反向量,记作-a ，a与－a 互为相反向量．并规定零向量的相反向量仍是零向量．于是，对任一向量a 有－（－a ）＝a ．练习1. 如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA uu r 、OB uu u r 、OC uuu r相等的向量.解析: 与OA uu r 相等的向量有CB uu r 、DO uuu r ，与OB uu u r 相等的向量有EO uu u r、DC uuu r ，与OC uuu r 相等的向量有FO uu u r 、AB uu u r 、ED uu u r .分析：与AB相等的向量应当满足“等长且同向”，首先要确定这些向量的起点，在方格纸格点中，除去Ａ点外，符合题意的点还有7个，如图2-1-7(2).与AB 长度相等的共线的向量除与AB 方向相同的向量外，还有与AB 方向相反的向量．7.上面一共定义了几个概念？向量、零向量、单位向量、向量的长度、平行向量( 别名“共线向量” )、相等向量和相反向量，共七个．8.出现了几种类型的符号?向量的符号、零向量的符号、向量的模的符号共三种类型．练习2. 如图,O 为正方形的中心. (1) 向量AB uu u r 与向量CD uu u r 是相等向量吗?(2) 向量OA uu r 与向量CA uu r 是平行向量吗? (3) 向量AD u u u r 的长度与向量AC uuu r 的长度之比是多少?解:(1)不相等. (2) 是 (3) 1:2 .辨析1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB 与CD是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④若四边形ABCD 是平行四边形,则有AB ＝DC，反之亦然；⑤模为0是判断一个向量方向不确定的唯一条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.分析：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、CD在同一直线上；②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定；③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图，AC →与BC →共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系，必须把握好.辨析2．下列命题正确的是 ( )A.a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c也共线；B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点；C.向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行分析：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D 不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与b 共线，不符合已知条件，所以有a 与b都是非零向量，所以应选C.评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要注意这两方面的结合.几点说明：1.向量有三个要素：起点、方向、长度；2.向量不能比较大小，但向量的长度(或模)可以比较大小；3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘；4.向量a与实数a 必须分清；5.零向量0与实数0必须分清； 6.注意下列写法是错误的： ①a －a ＝0； ②a ＋0＝a ；7.平行向量与相等向量方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也即共线向量，并且规定0与任一向量平行.长度相等且方向相同的向量叫相等向量，规定0 ＝0.平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即：两个向量平行⇒两个向量相等，反过来则有：两个向量相等⇒两个向量平行．为巩固大家对向量有关概念的理解，我们进行下面的课堂训练. Ⅲ.课堂练习练习：（课本P59练习1、2、3、4.）说明:带领同学们观看一下，作为对概念的应用的感受，结论留给同学们课后自己得出．- 11 -Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家能理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用.Ⅴ.课后作业1.课外练习：课本P59习题2.1 第1、2、3、4题；2.课时训练P39第1课时 向量的概念及表示．。
高中数学 第2章 平面向量 2.1 向量的概念及表示目标导引 苏教版必修4
2.1 向量的概念及表示
一览众山小
诱学导入
位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，而用射线表示方向，它研究的是如何由一点的位置确定另一点的位置.如图2-1-1，如何由A点确定B点的位置？
图2-1-1
一种常用的方法是，以A点为参照点，用B点与A点之间的方向和距离确定B点的位置.如B点在A点东偏南45°的15千米处.这样，在A点与B点之间，我们可以用有向线段AB 表示B点相对于A点的位置.有向线段AB就是A点与B点之间的位移.位移简明地表示了位置之间的相对关系.像位移这种既有大小又有方向的量，加以抽象，就是我们将要研究的向量.
问题:在现实生活和科学实验中，你能列出向量的几个例子吗？
导入点拨：由上面材料可知，向量既有大小又有方向.则只要是具有方向和大小的量都是向量，比如物理中的力、加速度等它们既有大小又有方向，都是向量.
温故知新
1.有向线段是怎样定义的？什么是有向线段的数量？
答:规定了方向(即规定了起点和终点)的线段叫有向线段.若有向线段AB在有向直线l上或和有向直线平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数叫做有向线段的数量.
2.有向线段有哪些要素？
答:有向线段有三要素：起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了.
3.根据你所学，哪些物理量只有大小而无方向？
答:质量、长度、路程、功、功率等.
4.平行四边形具有哪些常见的性质？
答:平行四边形常见的性质有：对边平行且相等、对角线互相平分、对角相等、相邻两个内角互补等.
1。
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2.1 向量的概念及表示
课堂导学
三点剖析
1.向量、相等向量、共线向量的概念
【例1】判断下列各命题的真假.
（1）向量的长度与向量的长度相等；
（2）向量a与向量b平行，且a与b方向相同或相反；
（3）两个有共同起点而且相等的向量，终点相同；
（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
（5）与CD共线，则点A、B、C、D必在同一条直线上；
（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.
思路分析：考查向量的基本概念及表示.
解：（1）真命题.与互为相反向量.
（2）假命题.若a、b中有一个为零向量时，其方向是不确定的.
（3）真命题.
（4）假命题.终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反.
（5）假命题.共线向量所在的直线可以重合也可以平行.
（6）假命题.向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段.
温馨提示
对于零向量它比较特殊，它与任一向量平行.解题时加以注意.
2．共线向量（平行向量）的概念理解
【例2】如右图D、E、F分别是等腰Rt△ABC各边中点，∠B AC=90°.
（1）写出图中与、长度相等的向量；
（2）分别写出图中与向量、共线的向量.
思路分析：长度相等的向量包括相等向量、相反向量以及模相等的所有向量.共线与否只看方向不看大小.
解：（1）与长度相等的向量有、FC、、、.与长度相等的向量有CE、EB.
（2）与共线的向量有、、.与共线的向量有，，.
温馨提示
共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；
方向相反且模不等.这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.
3.向量的模与零向量
【例3】下列四个命题，其中正确命题的个数是（）
①若|a|=0，则a=0 ②若|a|=|b|，则a=b或a=-b③若a∥b，则|a|=|b| ④若a=0，则-a=0
A.1
B.2
C.3
D.4
思路分析：考查零向量与向量的模的概念.
解：分清0与0的区别，知①错误；两个向量模相等，它们有无数种位置关系，故②不正确；两向量平行模不一定相等，故③错误.④正确.
答案：A
温馨提示
①容易忽略0与0的区别；②误认为模相等时向量相等，把向量的模同实数的绝对值等同起来.
【例4】给出下列命题，其中正确命题的个数是（）
①零向量是唯一没有方向的向量②平面内的单位向量有且仅有一个③a与b共线，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量④相等的向量必是共线向量
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析：①零向量方向任意.②平面内的单位向量有无数个.③a与c方向可能相反.
答案：A
各个击破
类题演练1
如图B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出多少个互不相等的非零向量？
思路分析：大小相等、方向相同的向量是相等的.只需从大小和方向两方面思考即可.
解：可设AD的长度为3，那么长度为1的向量有6个，其中=BC=CD，=CB=DC；
CA ；长度为3的向量有2个，所以最多可长度为2的向量有4个，其中AC=BD，DB
以写出6个互不相等的向量.
变式提升1
（1）如图，D、E、F分别是正△ABC的各边中点，则在以A、B、C、D、E、F六个点中任意
两点为起点与终点的向量中，找出与向量DE平行的向量.
解：与向量平行的向量有7个，分别是、、、、、、. （2）判断下列命题的真假，并注意体会它们之间的联系与不同.
①若a∥b，则a=b.( )
②若|a|=|b|，则a=b.（）
③若|a|=|b|，则a∥b.（）
④若a=b,则|a|=|b|.( )
答案：（1）假命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题.
类题演练2
不相等的两个向量a和b，有可能是平行向量吗？若不可能，请说明理由；若有可能，请把各种可能的情形一一列出.
解：不相等的两个向量有可能平行.
有如下三种情况：
情况1：两个向量a和b中有一个是零向量而另一个是非零向量；
情况2：两个向量a和b都为非零向量，且方向相同；
情况3：两个向量a和b都为非零向量，且方向相反.
变式提升2
判断下列命题是否正确.
（1）若a∥b，则a与b的方向相同或相反；
（2）共线的向量.若起点不同，则终点一定不同.
解：（1）错.若a、b中有一零向量，其方向不定.
（2）错.如图，与共线，虽起点不同，但终点却相同.
类题演练3
下列命题中，正确的是（）
A.|a|=|b|⇒a=b
B.|a|>|b|⇒a>b
C.a=b⇒a∥b
D.|a|=0⇒a=0 解法1：（直接法）
∵如果两个向量相等，则这两个向量必定平行.
∴应选C.
解法2：（排除法）
由向量的定义知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A、B，零向量，数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0的.
∴应排除D，∴应选C.
答案：C
变式提升3
根据图形回答下列问题.
（1）写出与EF共线的向量;
（2）写出与的模大小相等的向量;
（3）写出与相等的向量.
思路分析：利用三角形中位线定理解决线段的平行和相等问题，再将线段的平行、相等转化为共线的向量、相等的向量.
解：（1）∵E、F 分别是AC 、AB 的中点，
∴EF 2
1BC. 又∵D 是BC 的中点, ∴与向量共线的向量有：，，，DC ，CD ，BC ，CB .
（2）与EF 模相等的向量有：FE ，BD ，DB ，DC ，CD .
（3）与相等的向量有:，.
温馨提示
零向量在共线向量问题中是一个特别的对象，应按照平行向量的补充规定来判断；考查向量应考查其大小和方向，二者缺一不可，对于一个向量只要不改变其大小与方向是可以任意平行移动的，即我们研究的向量是自由向量；平行向量与向量的模无关，而方向包含相同和相反两种情形.。