a-1-纯弯曲正应力公式推导
xy平面变形特点
dx= ab=O1O2
变形后 O' O' =ρdθ 1 2
=O1O2
1 2 1
dq
a'1b'2=(ρ+y)dθ
ab的纵向线应变 2 O2'
a'b'-ab (ρ+y)dθ -dx = ε= dx ab = (ρ+y)dθ - ρd θ ρd θ
a
1
b
2
y
O1
O2O1' Nhomakorabeaa'
1
b' dx
My s = Iz
Iz
抗弯截面系数
smax =
M Wz
a7
纯弯曲正应力公式推导
对于剪切弯曲梁，这时两个基本假设并不成立。但实验和理 论分析表明，当l/h（跨高比）较大（>5）时，采用该正应 力公式计算的误差很小，满足工程的精度要求（依然可按照 纯弯曲求解）。 这时
s
=
M(x)y Iz
M(x) 1 = ρ(x) E Iz
纯弯曲正应力公式推导
一、变形几何关系 试件变形后 横线：保持为一条直线,与变形后的纵线正交，相对原来 位置转过一角度。 纵线：弯成弧线，上部纵线缩短，下部纵线伸长。
x
a1
纯弯曲正应力公式推导
假设：
平面假设：变形后的横截面仍为平面，并仍与弯曲后的纵线正交。 单向受力假设：各纵向纤维间无挤压，每根纵向纤维处于单向 受力状态。 中性层：梁中间有一层既不伸长，也不缩短。
2
dx
=
y
ρ
a4
纯弯曲正应力公式推导
二、物理关系 胡克定律
σ=Eε =E
y
ρ
由此可见，横截面上的正应力分布为
z
中性轴
a5
纯弯曲正应力公式推导
三、静力学关系
E ∫ ydA ∫ σ =0 FN= A dA = A ρ M=∫ A dA· σ y
得 ∫ A ydA =0
横截面对中性轴 的面积矩为零， 中性轴过形心。
smax
=
Mmax Wz
公式适用条件： 1. 在线弹性范围; 2. 材料（E）拉压同性; 3. 纯弯曲与横力弯曲； 4. 平面弯曲。
应用于强度校核！
a8
中性轴：中性层与横截面的交线。 中性层
a2
纯弯曲正应力公式推导
横截面绕中性轴转动 找与横截面上的正应力有关的纵向线应变的变 形规律： 取微段梁dx 1 O1 dx 2 1 2 O2' O2 O1'
dq
a
1
b
2
y
a'
1
b'
2
dx
O1O2变形前后长度不变，ρ为中性层的曲率半径
a3
纯弯曲正应力公式推导
M
dA
z
y
z σdA
y 正应力 公式：
My s = Iz
E ∫ y2dA = ρ A E I z = ρ 1 M = EIz 中性层曲率公式 ρ
EIz —— 梁的抗弯刚度
a6
纯弯曲正应力公式推导
正应力性质（正负号））确定： σ的符号可由M与y的符号确定，也 可由弯曲变形情况确定。 最大正应力： smax = 令 得 Iz Wz = ymax Mymax
弯曲正应力计算公式推导过程
弯曲正应力计算公式推导过程在我们学习材料力学的时候，有一个非常重要的知识点，那就是弯曲正应力的计算公式推导过程。
这可是个相当关键的内容，就像一把神奇的钥匙，能帮我们打开理解很多结构力学问题的大门。
咱们先来说说弯曲的概念。
想象一下一根长长的木条，你在中间给它施加一个力，这根木条是不是就会弯下去啦？这就是简单的弯曲现象。
那弯曲正应力是怎么回事呢？其实就是在弯曲的时候，材料内部产生的应力。
比如说一根钢梁，它在承受重物的时候会弯曲，这时候钢梁内部各个点就会有不同大小的应力。
咱们来推导这个公式。
先从一个简单的梁的弯曲模型开始。
假设这根梁是等截面的，而且材料是均匀的。
我们考虑梁的一个微小的横截面，就像切蛋糕一样切一小片。
在这一小片上，有一些力在作用着。
想象一下，梁上面的纤维被拉长，下面的纤维被压缩。
而在中间有一个层面，这个层面既不被拉长也不被压缩，我们把它叫做中性层。
中性层就像是梁的“对称轴”。
从中性层到梁的上表面或者下表面的距离，我们叫做 y 。
接下来，咱们得引入一个重要的概念——弯矩 M 。
弯矩就像是让梁弯曲的那个“大力士”。
我们假设梁的横截面上的应力分布是和到中性层的距离y 成正比的。
那应力σ 就可以表示为σ = Ey / ρ ，这里的 E 是材料的弹性模量，ρ 是梁弯曲时的曲率半径。
但是我们更常用的是用弯矩 M 来表示应力。
经过一系列的推导和计算（这里的数学过程就不详细展开啦，不然脑袋都要晕啦），最终我们得到弯曲正应力的计算公式：σ = My / I ，其中 I 是截面的惯性矩。
我还记得有一次，我在工厂里看到工人师傅在安装钢梁。
他们非常小心地计算着钢梁的承载能力，用的就是弯曲正应力的公式。
我在旁边看着，心里就在想，这些看似枯燥的公式，在实际生活中是多么的重要啊！如果计算错了，钢梁可能就承受不住重量，会出大问题的。
总之，弯曲正应力的计算公式虽然推导过程有点复杂，但是只要我们认真理解，掌握其中的关键概念和原理，就能运用它解决很多实际问题。
纯弯曲时的正应力
Ｄ=200
Ｄ1 ｄ1
解：（1）确定空心轴尺寸
由
max
M W
32
D13 (1
0.64
)
7.9
104
D1 210 mm
（2）比较两种情况下的重量比(面积比)：
A空 A实
4
D12 (1 D2
2)
2102 (1 0.62 ) 2002
0.7
4
由此可见，载荷相同、 max要求相等的条件
M z ydA M
A
纯弯曲时的正应力：公式推导
E y
N dA 0
1
A
M y zdA 0 2 M z ydA M 3
A
A
将应力表达式代入（1）式，得
N
A
dA
E
A
ydA
0
Sz ydA 0
A
上式表明中性轴通过横截面形心。
将应力表达式代入(2)式，得
A z
dA
E
yzdA
2. 纯弯曲时的变形特征
（1）各纵向线段弯成弧线，且部分纵向线段伸长， 部分纵向线段缩短。
（2）各横向线相对转过了一个角度,仍保持为直线。 （3）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。
纯弯曲时的正应力：概述
3. 纯弯曲时的基本假设
（1）平截面假设( Plane Assumption )
(a) 变形前为平面的横截面变形后仍为面上无剪应力
（2）纵向纤维间无正应力
纵向纤维无挤压
横截面上只有轴向正应力
纯弯曲时的正应力：公式推导
1. 变形几何关系
M
M
z x
y
中性轴(Neutral Axis)
弯曲杆件正应力计算公式课件
曲杆件的性能。
基于能量方法的正应力计算
01
基于能量方法的正应力计算的扩展
能量方法是分析结构的一种有效方法。通过能量方法，可以更准确地计
算正应力分布。
02
考虑材料弹性的影响
在能量方法中，可以考虑材料的弹性性质，从而更准确地计算应力分布
。
03
基于能量方法的复杂结构分析
对于复杂的结构，基于能量方法可以更有效地进行正应力计算和分析。
03
弯曲杆件正应力计算公式应用
简单弯曲杆件的正应力计算
01
02
03
定义简单弯曲杆件
一个具有均匀截面、承受 沿轴线方向作用的力的直 杆。
推导公式
基于弹性力学和材料力学 的知识，利用能量法或偏 微分方程求解。
公式应用
计算简单弯曲杆件的正应 力分布，包括截面应力和 跨中应力。
复杂弯曲杆件的正应力计算
数值模拟和实验研究
未来研究可以通过数值模拟和实 验研究来进一步验证和改进弯曲 杆件正应力计算公式的准确性和 适用范围。同时，也可以通过这 些方法来研究复杂加载条件下的 正应力分布和结构响应。
多学科交叉和工程应 用
未来的研究可以进一步拓展弯曲 杆件正应力计算公式在其他学科 中的应用，如生物力学、地质力 学等。同时，该公式在工程中的 应用也需要不断改进和创新，以 适应不断发展的工程需求。
3. 变形前各横截面为平面，变形后仍为 平面。
2. 忽略材料加工硬化和蠕变等影响。
弯曲的基本假设 1. 杆件为理想弹性体，无初应力存在。
弯曲的应变与应力
应变
杆件在弯矩作用下，任意截面上 的点沿着与轴线垂直的方向移动 ，导致截面发生翘曲变形。
应力
由于截面翘曲变形，导致截面上 各点存在应力。
弯曲正应力(1)
C截面下端拉应力达到最大值
t ,max 28.8MPa
例2：矩形截面简支梁承受均布载荷作用,如图所示
q=60KN/m A
1m B
180 120
30
K z
C
3m
求：1、C 截面上K点正应力
2、C 截面上最大正应力 3、全梁上最大正应力 4、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ
y
1、截面几何性质计算 确定形心的位置
注意
（5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压;
正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负
及梁的变形状态来 确定。 （6）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。
实心轴I z =πd 4 / 64
πD 4 d 空心轴I z = (1 4 )；α 64 D
矩形I z =bh3 /12
§5-3
2.5 103 88 103 28.8MPa 6 7.64 10
My Iz
A FA
M/KNm
C
1m
B
1m FB
1m
2.5
c,max
4
52 88
2.5 103 52 103 17.0MPa 6 7.64 10
（3）结论 zc
B截面下端压应力达到最大值
c,max 46.1MPa
（1）受力分析，画弯矩图 （2）根据弯矩图确定危险截面
（3）截面为关于中性轴对称 M max 应用计算公式 max Wz （5）计算 M max （6）计算 Wz ，选择工字钢型号
（1）计算简图 F F F
F=F1+F2
F1 6.7kN,
F2 50kN,
（2）绘弯矩图 M FL/4 （3）危险截面
弯曲正应力公式
σ = My Iz
(12.4)
物理条件：材料是线弹性材 料所以可以应用胡克定律， 即σ = Eε。线性变化的应变 必然引起线性变化的应力。 因此，如正应变的变化规律 一样，正应力从在中性轴处 的零应力线性地变化到离 中性轴最远处的最大值。
静力学条件：由横截面上正 应力的合力应为零可以确 定中性轴的位置。
ε = a′b′ − ab = (ρ + y)dθ − ρdθ = y
ab
ρdθ
ρ
(12.1)
注意到中性层上的任 意线不改变长度。根据定 义，沿 a′b′的正应变可表示 为：
47
Stresses in Beams
Physical Condition. The material behaves in a linear-elastic manner so that Hooke’s law applies, that is, σ = Eε. A linear variation of normal strain must then be the consequence of a linear variation in normal stress. Hence, like the normal strain variation, normal stress will vary from zero at the member’s neutral axis to a maximum value, a distance farthest from the neutral axis.
Equation 12.4 is often referred to as the flexure formula. It is used to determine the normal stress in a straight member, having a cross section that is symmetrical with respect to an axis, and the moment is applied perpendicular to this axis.
弯曲正应力计算公式
弯曲正应力计算公式：轻松掌握计算方法
弯曲正应力是弯曲时产生的沿截面垂直于中性轴的应力。
它是构
件在受弯曲载荷时所承受的最大应力之一，对于构件的设计和选型非
常重要。
那么，如何计算弯曲正应力呢？以下是详细的计算公式和步骤。
1. 确定计算截面
在弯曲计算中，首先需要确定计算截面。
计算截面是指在弯曲处
所选取的截面，其位置和大小对于弯曲正应力的计算结果直接影响。
2. 计算截面惯性矩
在确定计算截面后，需要计算截面惯性矩。
惯性矩是表征固体物
理特性的物理量，对于计算弯曲正应力有着关键的作用。
3. 计算截面的模量
截面的模量是指材料在受力下的弹性变形和反应的能力。
根据材
料的弹性模量，可以计算出截面的模量。
4. 计算弯曲正应力
弯曲正应力的计算公式为：σ=b*y/I，其中b为截面宽度，y为截面距离中性轴的距离，I为截面的惯性矩。
通过计算得到的弯曲正应力，就是构件在受到弯曲作用下所承受的应力。
总之，掌握了弯曲正应力的计算公式和步骤，可以快速、准确地
计算出构件的弯曲正应力，从而为构件的设计和选型提供重要的依据。
怎样推导梁的应力公式、变形公式
05、基本知识 怎样推导梁的应力公式、变形公式（供参考） 同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（849896803@ ），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。
回信请注明班级和学号的后面三位数。
1 * 问题的提出 ........................................................................................................................... 12 下面就用统一的步骤，研究梁的应力公式和变形公式。
................................................... 23 1.1梁的纯弯曲（纯弯曲：横截面上无剪力的粱段）应力公式推导 ................................. 24 1.2 梁弯曲的变形公式推导（仅研究纯弯曲） ....................................................................5 5 1.3 弯曲应力公式和变形公式的简要推导 ............................................................................6 6 1.4 梁弯曲的正应力强度条件和刚度条件的建立 ................................................................7 7 2.1 梁剪切的应力公式推导 ....................................................................................................8 8 2.2 梁弯曲的剪应力强度条件的建立 ....................................................................................9 93. 轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公式推导汇总表 (9)1* 问题的提出在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。
12第十二讲(弯曲正应力)
材料力学教案
M z y d A
A
第十二讲：弯曲正应力计算
E
r
A
y dA
2
EI z
r
M
(c)
由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为
M r EI z 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，
梁横截面上的弯矩M 不随截面位置变化。故对于等截面的
1
直梁，包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。
3、纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 r dx
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是
梁的横截面与侧表面的交线（由表及里），可作出如下推论
(假设)：
平面假设
梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，
只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。 此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。 三峡大学 工程力学系
将 E 代入，即得弯曲正应力计算公式：
r
y
My Iz
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
二. 纯弯曲理论的推广－横力弯曲中正应力的计算
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时，对于梁在
纯弯曲时所作的假设不再成立。
弯曲应力—纯弯曲时的正应力(材料力学)
§5－2 正应力计算公式
3、物理关系
σ Eε
M
?
所以 σ E y
z
O
x
应力分布规律：
?
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。待解决问题中性轴的位置?
中性层的曲率半径
§5－2 正应力计算公式
4、静力关系
横截面上内力系为垂直于横截面的空 间平行力系，这一力系简化得到三个内力分 M 量。
y t max
M
z
y
σtmax
σ cmax My cmax Iz
§5－2 正应力计算公式
二、横力弯曲时梁横截面上的正应力
实际工程中的梁，其横截面上大多同时存在着弯矩和剪力，为横 力弯曲。但根据实验和进一步的理论研究可知，剪力的存在对正应力 分布规律的影响很小。因此对横力弯曲的情况，前面推导的正应力公 式也适用。
（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处。
σ max M y max Iz
引用记号
Wz
Iz ymax
—抗弯截面系数
则公式改写为
σ max
M Wz
§5－2 正应力计算公式
对于中性轴为对称轴的横截面
矩形截面
Wz
Iz h/2
bh3 / 12 h/2
bh2 6
实心圆截面
Wz
Iz d /2
πd 4 / 64 d /2
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
⊥ 中性轴 横截面对称轴
中性层
中性轴
横截面对称轴
§5－2 正应力计算公式
2、变形几何关系
d
dx
图（a）
O’
b’ z
第4节 纯弯曲时横截面的正应力
C
Iy Iy b A
2
C
结论
截面对任一轴 z 的惯性矩等于该截面对过形心 而平行于 z 轴的 zC 轴的惯性矩加上两轴之间的距离 的平方与截面面积的乘积。此结论对任一 y 轴也同 样成立。
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 二、纯弯曲的概念 纯弯曲：剪力值为零，弯矩值是一常数，内力只 有弯矩，而无剪力的弯曲变形称作纯弯曲。 剪切弯曲：弯曲内力既有弯矩、又有剪力的弯曲 变形称剪切弯曲（或横力弯曲）。 三、纯弯曲时横截面的正应力 1、几何关系 观察梁的变形：取一对 称截面梁，在其表面上画上 横向线m-m和n-n以及纵向线 ab和cd，在梁的纵向对称面 内施加一对等值、反向的力 偶，梁处于纯弯曲状态。
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 结论：梁变形后，横向线依然保持直线，且与 梁变形后的轴线垂直。纵向线变为曲线，靠近梁顶 面的纵向线缩短，靠近梁底面的纵向线伸长。
平面假设：梁变形后横截面依然保持平面，且与梁 变形后的轴线垂直，横截面绕自身某轴作了转动。 纵向纤维单向受力假设：梁内各纵向纤维只产生轴 向拉伸或压缩变形。 中性层：梁在弯曲变形时， 一部分纤维伸长，一部分纤 维缩短，必然有一部分纤维 既不伸长也不缩短的层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
bh 12
3
抗弯截面模量
3
Iz
，I y
hb 12
Wz
bh 6
2
D Iz 64
4
4
D Wz 32
3
3
D 4 Iz (1 ) 64
d D
D 4 Wz (1 ) 32
d D
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 惯性矩的平行移轴公式
Iz Iz a A