2022-2023学年浙教版数学八上期中复习专题8 直角三角形(教师版)

2022-2023学年浙教版数学八上期中复习专题8 直角三角形一、单选题（每题3分，共30分）1．（2021八上·台州期中）如图，在四边形ABCD 中， AD =4 ， BC =1 ， ∠B =90°∠A =30° ，∠ADC =120° ，则 CD 的长为（ ）A ．2B ．1.5C ．3D ．2.5【答案】A【知识点】含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：过D 作DE⊥AB 于E ，过C 作CF⊥ED 于F 点，∵⊥A=30°，∴DE=12AD=2，⊥ADE=90°-⊥A=60°，∴⊥CDF=⊥ADC -⊥ADE=60°， ∴⊥FCD=30°，∴CD=2FD=2. 故答案为：A.【分析】过D 作DE⊥AB 于E ，过C 作CF⊥ED 于F 点，根据含30°角的直角三角形的性质求出DE ，根据角的和差关系求出⊥CDF ，再根据含30°角直角三角形的性质求CD 即可.2．（2021八上·绍兴期中）如图，在Rt⊥ABC 中，⊥ACB=90°，⊥A=30°，BC=3，点D 在AB 上且AB=3AD ，那么CD 的长是（ ）A ．2 √3B ．√13C ．2 √6D ．4【答案】B【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理 【解析】【解答】解：如图，作CE⊥AB 于E ，∵⊥A=30°，⊥ACB=90°， ∴AB=2BC=6， ∵⊥BEC=90°， ∴⊥BCE=90°-⊥B=30°，∴BE=12BC=1.5，CE=√BC 2−BE 2=3√32，∵AB=3AD ，∴BD=23AB=4，∴DE=BD -BE=4-1.5=2.5，∴CD=√CE 2+DE 2=√(3√32)2+(52)2=√13.故答案为：B.【分析】作CE⊥AB 于E ，根据含30°角的直角三角形的性质求出AB ，BE 和CE ，然后根据AB=3AD 求出BD ， 再根据线段间的和差关系求出DE ，最后在Rt⊥CED 中，根据勾股定理求CD 长即可.3．（2021八上·萧山期中）在Rt⊥ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，则以下判断正确的是（ ）A ．BC ＝2CDB ．CD ＝2ABC ．AC ＝2CD D ．CD ＝BD【答案】D【知识点】直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵CD 是斜边AB 的中线，∴AB=2CD ，故A 、B 、C 不符合题意； ∴CD=BD ，故D 符合题意； 故答案为：D.【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得到AB=2CD ，CD=BD=AD ，由此可得到正确结论的选项.4．（2021八上·萧山期中）如图：BD⊥AC 于点B ，G 是线段BD 上一点(不与点B ，点D 重合)，且AB=BG ，BD=BC ，E ，F 分别为AD ，CG 的中点，AD=6，连结EF ，DF ，若⊥DEF 为直角三角形，则DF 的长度为( )A ．3B ．√27C ．3或 √27D ．3或 √27 或 √18【答案】B【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS ）；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：连接BE ，BF ，∵BD⊥AC ，∴⊥ABD=⊥GBC=90°， 在⊥ABD 和⊥GBC 中{AB =GB∠ABD =∠GBC BD =BC∴⊥ABD⊥⊥GBC （SAS ） ∴⊥A=⊥BGC ，AD=CG=6； ∵E ，F 分别为AD ，CG 的中点，∴AE=DE=BE=12AD=3，GF=FC=BF=12GC=3，∴⊥ADB=⊥EBD ，⊥BGF=⊥FBG ， ∵⊥A+⊥ADB=90° ∴⊥A+⊥EBD=90°， ∴⊥BGF+⊥EBD=90°，∴⊥EBD+⊥FBG=90°即⊥EBF=90°， ∴BE=BF=3∴EF =√32+32=3√2，∵⊥DEF 是直角三角形，DE ＜EF ， 当⊥EDF=90°时DF =√EF 2−ED 2=√(3√2)2−32=3； 当⊥DEF=90°时，DF =√EF 2+ED 2=√(3√2)2+32=3√3，故答案为：C.【分析】连接BE，BF，利用垂直的定义可证得⊥ABD=⊥GBC，利用SAS证明⊥ABD⊥⊥GBC，利用全等三角形的性质可得到⊥A=⊥NGC，AD=CG=6；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出BE，BF，ED的长，利用等边对等角可推出⊥ADB=⊥EBD，⊥BGF=⊥FBG，利用三角形的内角和定理去证明⊥EBF=90°，利用勾股定理求出EF的长；根据⊥DEF是直角三角形，DE＜EF，分情况讨论：当⊥EDF=90°时；当⊥DEF=90°时；分别利用勾股定理求出DF的长.5．（2021八上·下城期中）如图，在⊥ABC中，⊥ACB＝90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE 相交于F，且AD＝DB.若⊥B＝20°，则⊥DFE等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】D【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵在⊥ABC中，⊥ACB＝90°，E是AB的中点，∴BE＝CE，又∵⊥B＝20°∴⊥ECB＝⊥B＝20°，∵AD＝BD，⊥B＝20°，∴⊥DAB＝⊥B＝20°，∴⊥ADC＝⊥B+⊥DAB＝20°+20°＝40°，∴⊥DFE＝⊥ADC+⊥ECB＝40°+20°＝60°.故答案为：D.【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得BE＝CE，由等腰三角形的性质可得⊥ECB＝⊥B＝20°，⊥DAB＝⊥B＝20°，由外角的性质可得⊥ADC＝⊥B+⊥DAB＝40°，⊥DFE＝⊥ADC+⊥ECB，据此进行计算.6．（2021八上·台州期中）如图如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（）A．120°B．105°C．60°D．45°【答案】B【知识点】三角形的外角性质；直角三角形的性质【解析】【解答】解：如图，取⊥2，∵⊥2=90°-45°=45°，∴⊥1=60°+45°=105°.故答案为：B.【分析】取⊥2，根据角的和差关系求出⊥2，再利用三角形外角的性质求⊥1即可.7．（2021八上·瑞安期中）如图，在3×3的方格纸中，已知点A，B在方格顶点上（也称格点），若点C 也是格点，且使得⊥ABC为直角三角形，则满足条件的C点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【知识点】直角三角形的性质【解析】【解答】解：如图，分情况讨论：①AB 为直角⊥ABC 斜边时，符合条件的格点C 点有2个；②AB 为直角⊥ABC 其中的一条直角边时，符合条件的格点C 点有1个. 故共有3个点. 故答案为：C.【分析】分AB 为斜边以及直角边，根据直角三角形两直角边垂直找出点C 的位置，据此解答.8．（2020八上·温州期中）如果直角三角形的两条直角边的长分别为6cm 和8cm ，那么斜边上的中线等于（ ） A ．2.4cmB ．4.8cmC ．5cmD ．10cm【答案】C【知识点】直角三角形的性质【解析】【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为6cm 和8cm ，∴斜边长为：√62+82=10（cm ），∴斜边上的中线长为：12×10=5（cm ）.故答案为：C.【分析】根据勾股定理求得斜边长，再由直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，从而得出答案.9．（2021八上·温州期中）如图，在 △ABC 中， AB =4，BC =3，∠B =60∘，M 是 BC 延长线上一点， CM =2，P 是边 AB 上一动点， 连结 PM ，作 △DPM 与 △BPM 关于 PM 对称 (点 D 与点 B 对应)，连结 AD ，则 AD 长的最小值是（ ）A ．0.5B ．0.6C ．5−√21D ．√13−3【答案】C【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，当点A在DM的上时AD的值最小，如图，∵CM=2，BC=3，∴BM=BC+CM=5，由折叠得：DM=BM=5，∵⊥B=60°，∴⊥ BAE=90°−60°=30°，又AB=4，BC=3，∴BE=12AB=2，在中RtΔABE中，∵AE2+BE2=AB2，∴AE=√AB2−BE2=√42−22=2√3，∴EM=BM−BE=5−2=3，在RtΔAEM中，∵AE2+EM2=AM2，∴AM=√AE2+EM2=√(2√3)2+32=√21，∴AD=DM−AM=5−√21.故答案为：C.【分析】过点A作AE⊥BC于点E，当点A在DM的上时AD的值最小，根据CM、BC的值可得BM，由折叠的性质得DM=BM=5，易得⊥BAE=30°，则BE=12AB=2，在Rt⊥ABE中，应用勾股定理求出AE，进而可得EM，然后在Rt⊥AEM中，由勾股定理求出AM，进而可得AD.10．（2021八上·下城期末）在⊥ABC中，⊥BAC=90°，点D在边BC上，AD=AB ()A．若AC=2AB，则⊥C=30°B．若AC=2AB，则3BD=2CDC．若⊥B=2⊥C，则AC=2AB D．若⊥B=2⊥C，则S⊥ABD=2⊥ACD【答案】B【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形的性质【解析】【解答】解：由题，⊥BAC=90°，点D在BC边上，AD=AB，A、若AC=2AB，则BC=√AB2+AC2=√5AB，若⊥C=30°，BC=2AB，故A选项错误；B、如图：若AC=2AB，则BC=√AB2+AC2=√5AB，作AE⊥BC，则S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AE，可得AE=AB⋅ACBC=√5AB=2√55AB，∵AD=AB，∴BE=DE=√AB2−AE2=√55AB，∴BD=2√55AB,DC=BC−AB=3√55AB，∴3BD=2CD，故B选项正确；C、若⊥B=2⊥C，∵⊥BAC=90°，∴⊥B+⊥C=90°，∴⊥C=30°，⊥B=60°，∴BC=2AB，AC＜2AB，故C选项错误；D、若⊥B=2⊥C，由选项C可得⊥C=30°，⊥B=60°，∵AD=AB，∴⊥ABD为等边三角形，∴⊥ADB=60°，∴⊥DAC=⊥ADB-⊥C=30°=⊥C，∴AD=DC=BD，即AD为⊥ABC的中线，∴S⊥ABD=S⊥ACD，故D选项错误.故答案为：B.【分析】A、根据含30°角的直角三角形的性质，可得BC=2AB，据此判即可；B、作AE⊥BC，利用勾股定理及直角三角形面积等积法分别求出BD、CD的长，从而确定BD与CD 的关系，然后判断即可；C、若∠B=2∠C，可求出⊥C=30°，根据含30°角的直角三角形的性质，可得BC=2AB，据此判即可；D、若⊥B=2⊥C，由选项C可得⊥C=30°，⊥B=60°，可证⊥ABD为等边三角形，继而求出AD为⊥ABC 的中线，可得S⊥ABD=S⊥ACD，据此判断即可.二、填空题（每题4分，共24分）11．（2020八上·湖州期中）在Rt△ABC中，锐角⊥A＝25°，则另一个锐角⊥B＝°.【答案】65【知识点】直角三角形的性质【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A=25°，∴另一个锐角∠B=90°−∠A=65°，故答案为：65.【分析】根据直角三角形的两锐角互余即可得.12．（2021八上·鹿城期中）如图，⊥ABC＝30°，AB＝8，F是射线BC上一动点，D在线段AF上，以AD为腰作等腰直角三角形ADE（点A，D，E以逆时针方向排列），且AD＝DE＝1，连接EF，则EF的最小值为.【答案】√10【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形【解析】【解答】解：∵⊥ADE是等腰直角三角形，∴⊥ADE＝⊥EDF＝90°，∵AD＝DE＝1，∴EF＝√DE2+DF2＝√12+DF2，∴当DF的值最小时，EF的值最小，∵AF⊥BC时，AF的值最小，∴DF的值最小，∵⊥B＝30°，∴此时AF＝12AB＝4，DF＝3，EF＝√10.故答案为：√10.【分析】由等腰直角三角形的性质可得⊥ADE＝⊥EDF＝90°，AD＝DE＝1，由勾股定理表示出EF，推出AF⊥BC时，AF的值最小，则DF的值最小，据此求解.13．（2021八上·绍兴期中）如图⊥MAN＝60°，若⊥ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝6，动点C 从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t是秒时，⊥ABC是直角三角形．【答案】3或12【知识点】含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：如图：当⊥ABC是以⊥ACB＝90°的直角三角形时，∵⊥MAN＝60°，∴⊥ABC＝30°，∴AC= 12AB=3，∴运动时间t= AC1=31=3秒，当⊥ABC是以⊥ABC＝90°的直角三角形时，∵⊥MAN＝60°，∴⊥ACB＝30°，∴AC= 2AB=12，∴运动时间t= AC1=121=12秒，当运动时间t是3或12秒时，⊥ABC是直角三角形.故答案为：3或12.【分析】当⊥ABC是以⊥ACB＝90°的直角三角形时，⊥ABC＝30°，由30°所对的直角边为斜边的一半可得AC的值，然后除以速度可得时间；当⊥ABC是以⊥ABC＝90°的直角三角形时，⊥ACB＝30°，同理可得t的值.14．（2021八上·温州期中）如图，在直角三角形ABC中，⊥ACB＝90°，AB＝7，点D是AB的中点，点P是斜边AB上的一个动点，FG是线段CP的垂直平分线，Q是FG上的一个动点，则PQ+QD的最小值为.【答案】3.5【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：连接CQ 、CD ，∵FG 是线段CP 的垂直平分线，Q 是FG 上的一个动点， ∴CQ ＝PQ ，∴PQ+QD ＝CQ+QD ，∴当C 、Q 、D 共线时，PQ+QD 有最小值，最小值为CD ， ∵⊥ACB ＝90°，AB ＝7，点D 是AB 的中点，∴CD ＝ 12AB ＝3.5.故答案为：3.5.【分析】连接CQ 、CD ，由垂直平分线的性质可得CQ ＝PQ ，推出当C 、Q 、D 共线时，PQ+QD 有最小值，最小值为CD ，然后结合直角三角形斜边上中线的性质进行解答.15．（2021八上·诸暨期中）直角三角形的两条直角边为6和8，则斜边上的中线长是 ． 【答案】5【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵直角三角形的两条直角边为6和8，∴斜边长为√62+82=10，∴斜边上的中线长为12×10=5.故答案为：5.【分析】首先由勾股定理求出斜边长，然后根据直角三角形斜边上中线的性质进行求解.16．在⊥ABC 中，⊥C=90°，⊥A:⊥B=1: 2，则⊥B= . 【答案】60°【知识点】直角三角形的性质【解析】【解答】解：∵在⊥ABC 中，⊥C=90°，⊥A:⊥B=1: 2设⊥A=x ，则⊥B=2x ， ∴⊥A+⊥B=90°即x+2x=90° 解之：x=30°，∴⊥B=2×30°=60°.故答案为：60°.【分析】由已知设⊥A=x，则⊥B=2x，利用直角三角形的两锐角互余，建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出⊥B的度数。