吴望一《流体力学》第二章部份习题参考答案

吴望一《流体力学》第二章部份习题参考答案

一、基本概念

1．连续介质假设适用条件：

在研究流体的宏观运动时，如果所研究问题的空间尺度远远大于分子平均间距，例如研究河流、空气流动等；或者在研究流体与其他物体（固体）的相互作用时，物体的尺度要远远大于分子平均间距，例如水绕流桥墩、飞机在空中的飞行（空气绕流飞机）。

若不满足上述要求，连续介质假设不再适用。如在分析空间飞行器和高层稀薄大气的相互作用时，飞行器尺度与空气分子平均自由程尺度相当。此时单个分子运动的微观行为对宏观运动有直接的影响，分子运动论才是解决问题的正确方法。

2．（1）不可；（2）可以，因为地球直径远大于稀薄空气分子平均间距，同时与地球发生相互作用的是大量空气分子。

3．流体密度在压强和温度变化时会发生改变，这个性质被称作流体的可压缩性。流体力学中谈到流体可压缩还是不可压缩一般要结合具体流动。如果流动过程中，压力和温度变化较小，流体密度的变化可以忽略，就可以认为流体不可压缩。随高度的增加而减少只能说明密

度的空间分布非均匀。判断流体是否不可压缩要看速度场的散度V ∇⋅ 。空气上升运动属可

压缩流动，小区域内的水平运动一般是不可压缩运动。

4．没有， 没有， 不是。

5 三个式子的物理意义分别是：流体加速度为零；流动是定常的；流动是均匀的。

6 欧拉观点：(),0d r t dt ρ= ，拉格朗日观点：(),,,0a b c t t

ρ∂=∂ 7 1）0=∇ρ，2）const =ρ，3) 0=∂∂t

ρ 8 不能。要想由()t r a , 唯一确定()t r v ,

还需要速度场的边界条件和初始条件。

9 物理意义分别为：初始坐标为(,)a b 的质点在任意时刻的速度；任意时刻场内任意点(,)x y 处的速度。 10 1）V s ∂∂ ，3）V V V

⋅∇ 11 见讲义。

12 分别是迹线和脉线。

13 两者皆不是。该曲线可视为从某点流出的质点在某一时刻的位置连线，即脉线。 14 同一时刻刚体上各点的角速度相同，但流体内各涡度一般不同。 该流动流体为团的角速度：1122k ijk j v V ayk x ωε∂=∇⨯==-∂

二 流线与迹线，加速度

1（1）()()121212cos sin cos sin cos sin x x y y V c t c t c t c t i c t c t j ωωωωωω=+=+++

=u x c 112cos sin x x c t c t ωω+， 12cos sin y y v c t c t ωω=+ 轨迹微分方程组：1212cos sin cos sin x x y y dx u c t c t dt dy v c t c t dt

ωωωω⎧==+⎪⎪⎨⎪==+⎪⎩ 积分即可得轨迹。 流线微分方程：dx dy u v

=。积分可得流线方程。 （2）流线微分方程：2

222y x cy

dy y x cx dx +=+， 积分可得流线方程y ax =，其中a 为常数。

（3）流线微分方程：2

222y x cx dy y x cy dx +=+-，即 x dy y dx =-，积分得22x y c +=。 （4）流线微分方程：2

2sin cos r rd r dr θ

θθ=，积分得θsin c r =。 （5）由21r r r v =可得 0,12==θv r v r ，0v φ= 故流线方程为射线00θθφφ=⎧⎨=⎩

。 （6）流线微分方程：33

2cos sin dr rd k k r r θθθ

=，积分得2sin r c θ=，c 是任意常数。 （7）流线微分方程：2dx dy y a x

=-，积分得222a x y c +=，c 是任意常数。 （8）流线微分方程：

222dx dy x y xy =--，积分得323y x y c -=，c 是任意常数。 将1,1x y ==-代入确定常数c ，可得过该点的流线方程。

（9）流线微分方程：22221cos 1sin dr rd a a V V r r θθθ∞∞=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，积分得22sin r a c r θ-=。 r a =满足上述方程（0c =）

，因而是一条流线。 （10）(),,0r v r a θϕ==，即球面r a =上流体质点没有法向速度，可知该球面是流面。

（11）流线微分方程：dx dy x t y t

=+-+，积分可得()()x t y t c +-=，c 是任意常数。 将1,1x y =-=-代入确定常数c 即可得所求流线方程。 迹线微分方程：dx x t dt dy y t dt z c ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎪⎩

，积分得到1211t t x t c e y t c e z c -⎧=--+⎪=--+⎨⎪=⎩。将初始条件代入确定积分常数12,c c ，即得所求迹线。

（12）迹线微分方程组：220dx ax t dt dy ay t dt

dz dt ⎧=+⎪⎪⎪=--⎨⎪⎪=⎪⎩

， 积分得到迹线族：2213222331(22)1(22)at at x a t at c e a y a t at c e a z c -⎧=-+++⎪⎪⎪=-++⎨⎪=⎪⎪⎩

，其中1c 、2c 、3c 为积分常数。 附积分公式：方程()()dx P t x q t dt +=的解为()()()P t dt P t dt x e c q t e dt -⎡⎤⎰

⎰=+⎢⎥⎣⎦

⎰ 流线微分方程：22

dx dy ax t ay t =+--， 积分得流线族：()()2212

ax t ay t c z c ⎧++=⎪⎨=⎪⎩，其中1c 、2c 为积分常数。

（13）设初始时刻在(,,)a b c 处的流体质点t 时刻到达(,,)x y z 处，于是有

, , 0dx dy dw x t y t dt dt dt

=+=+=。 积分得到该流体质点运动方程：021,1,1z z e c t y e c t x t

t =+--=+--=，初始条件代入确定常数21,c c 值，最后得到拉氏表述的运动方程：

()()011, 11, t t x t a e y t b e z z =--++=--++=。 速度拉格朗日表述：()()11, 11, 0t t x y u a e v b e w t t

∂∂==-++==-++=∂∂。 2（1）此流动由于速度只有r v 分量，即速度方向沿射线方向，所以迹线和流线都是射线（constant., constant.θφ==）。

（2）流线与迹线重合的充要条件为速度场方向定常。

3速度方向与两曲面公切线方向平行。因为21,f f ∇∇分别沿曲面21,f f 的法向，故22f f ∇⨯∇沿两曲面公切线方向，即流线方向。

速度大小是流线上各点位置的函数，而流线上各点的位置由两曲面方程组成的方程组1122

f c f c =⎧⎨=⎩确定，因而速度大小是1f 和2f 的函数。 4（1）由22d r a dt

=

知， 0x y z a a a ===。将8=x 代入迹线方程确定到达该位置的时刻t ，然后将该时刻代入加速度表达式即得解。

（2）22 0x y z u a V u yz xz t t v a V v xz yz t t w a V w t ∂⎧=+⋅∇=+⎪∂⎪∂⎪=+⋅∇=+⎨∂⎪∂⎪=+⋅∇=⎪∂⎩

， 将该点位置坐标和给定时刻代入即得所求加速度。

三运动类型判别

1（1）纯剪切流动，k c cy z y x

k j i

v rot -=∂∂∂∂∂∂=0

0，有旋。 流线为一组平行于x 轴的直线。 （2）单一方向均匀流动，0rotv = ，无旋。

流线为一组平行于x 轴的直线。 （3）刚性圆周运动，20

i j k

rotv ck x

y z cy cx ∂∂∂==∂∂∂- ，有旋。

流线：cx

dy cy dx =-，即222x y R +=，R 为常数。 （4）()()k y x y x c y x cx

y x cy z y

x k j

i v rot 2222222

220+--=++∂∂∂∂

∂∂=，有旋 流线：2

222y x cx

dy y x cy dx +=+，即c x y +=22 3（1）（a ）

2///2211t k t k t k x x u ae t k k

y y v be t k k

z z w ce t k k

-∂==-=-∂∂===∂∂===∂ 可见速度场定常。

（b ）2110u v w divV x y z k k k

∂∂∂=++=-++=∂∂∂ ，故不可压缩。 （c)02=-∂∂∂∂∂∂=k

z k y k x z y x

k j i

v rot ，无旋。 4（1）流体做非定常运动；（2）流体做定常运动

同一流动在不同参照系中有不同特征。

五 其他

（1）证：若流管中存在与流线垂直的横截面，在该横截面上取面元S δ，则在S δ的边界周

线L 上各点速度方向平行该截面的法向，因此垂直于周线L 上各点的切向，于是有0L

V dr ⋅=⎰ 。

根据Stokes 定理 ()0S L

V dS V dr δ∇⨯⋅=⋅=⎰⎰⎰ ，即()0V S δ∇⨯⋅= 。

考虑到S δ的法向平行于V 方向，因此可知在该截面的任一点上有0V rotV ⋅=

。

2. 速度场给定如下（本题中黑体字代表矢量）

（1）3r

=

r v ，其中r = （2）0c r =v θ，其中0θ为球坐标中θ方向的单位矢量。 求通过以原点为中心，半径为R 的球面S 的流体体积流量。

解：考虑半径为r 的球面S ，其上的面积微元为2sin sin d rd r d r d d θθλθθλ==s n n ，其中r

=r n 为面积微元的外法线单位矢量，通过该球面的体积流量为22200()sin sin S Q r d r d d d r d π

πππππθθλλθθ--=⋅=⋅=⋅⎰⎰

⎰⎰⎰v s v n v r （1）23

0() sin 4Q r d r d r ππ

πλθθπ-=⋅=⎰⎰r r ，故求得()4Q R π= （2）因0θ与r 垂直，200() sin 0c Q r d r d r πππλθθ-=⋅=⎰⎰θr ， 故()0Q R =