人教版数学九年级下册28.2.2 第2课时 利用仰俯角解直角三角形 教案
人教版初中数学九年级下册学案28.2.2 第2课时 利用仰俯角解直角三角形
1 的邻边的对边A A ∠∠28.2.2 应用举例第2课时 利用仰俯角解直角三角形【学习目标】⑴ 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．⑵ 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．⑶ 渗透数学于实践又反过作用于实践的观点，培养学生用数学的意识【学习重点】将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．【学习难点】实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：(2)锐角之间的关系：(3)边角之间的关系：tanA=二、合作交流：仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．三、教师点拨：例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km 的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P 点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km ，结果精确到0. 1 km)斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin2例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o ，看这栋离楼底部的俯角为60o ，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?四、学生展示：一、课本76页 练习 第1 、2题五、课堂小结：六、作业设置：课本 第78页 习题28．2复习巩固第3、4题七、自我反思：本节课我的收获。
人教版九年级下册数学教案：28.2解直角三角形应用仰角与俯角
“自学互帮导学法”课堂教学设计课题解直角三角形的应用课时第一课时课型新授修改意见教学目标1.熟练掌握解直角三角形有关知识2.了解仰角和俯角有关知识3.让学生学会运用知识解决问题的能力教学重点仰角和俯角[.Com]教学难点如何将实际问题转化为解直角三角形学情分析学生掌握了解直角三角形有关知识，学习本节内容应不难学法指导合作探究教学过程教学内容教师活动学生活动效果预测（可能出现补救措施修改意见的问题）一一复习引入1.解直角三角形在直角三角形中,除直角外,由已知两元素求其余未知元素的过程叫解直角三角形2.解直角三角形的依据(1)三边之间的关系a2＋b2＝c2（勾股定理）(2)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º(3)边角之间的关系二、学习新知1.在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；必有一边教师应强调老师引导学生在课堂实学生交流，回答从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角2.强化训练三、运用知识解决测量中的最远点问题例1：2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350k m的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为 6 400k m，结果精确到0.1km）践，体会仰角和俯角[.Com]引导学生从实际问题中画出直角三角形，构建直角三角形模型。
四、仰角与俯角的运用例2: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）练习 11. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m 的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）教师引导讲解重点分析如何作辅助线，建直角三角形。
部审人教版九年级数学下册教学设计28.2.2 第2课时《利用仰俯角解直角三角形》
部审人教版九年级数学下册教学设计28.2.2 第2课时《利用仰俯角解直角三角形》一. 教材分析人教版九年级数学下册第28.2.2节《利用仰俯角解直角三角形》是直角三角形相关知识的一部分。
这部分内容主要让学生了解并掌握仰俯角的概念，学会利用仰俯角解直角三角形的方法。
教材通过实例引入仰俯角的概念，然后引导学生通过观察、思考、探究，掌握利用仰俯角解直角三角形的方法。
教材内容丰富，既有理论知识，也有实践操作，能够激发学生的学习兴趣，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了直角三角形的相关知识，对解直角三角形有一定的了解。
但是，对于仰俯角的概念和利用仰俯角解直角三角形的方法可能还不够熟悉。
因此，在教学过程中，我需要引导学生通过观察、思考、探究，让他们在实践中掌握这部分知识。
同时，学生已经具备了一定的数学思维能力和解决问题的能力，可以通过引导和启发，让他们自主发现和总结利用仰俯角解直角三角形的方法。
三. 教学目标1.让学生了解并掌握仰俯角的概念。
2.引导学生通过观察、思考、探究，掌握利用仰俯角解直角三角形的方法。
3.培养学生的动手能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.仰俯角的概念。
2.利用仰俯角解直角三角形的方法。
五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，让学生思考和探究，激发学生的学习兴趣。
2.实践法：让学生动手操作，通过实际操作加深对知识的理解和掌握。
3.总结法：引导学生自主发现和总结，培养学生的数学思维能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、黑板、粉笔等。
2.准备一些实际的例子，以便引导学生观察和思考。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，让学生思考如何利用仰俯角解直角三角形。
例如，可以提出一个关于建筑物高度的问题，让学生思考如何通过测量角度来求解建筑物的高度。
2.呈现（10分钟）讲解仰俯角的概念，并通过实例展示仰俯角的含义和作用。
人教版九年级下册数学28.2.2 利用仰俯角解直角三角形导学案
第二十八章锐角三角函数随风潜入夜，润物细无声。
出自杜甫的《春夜喜雨》车前学校陈道锋28.2 解直角三角形及其应用第2课时利用仰俯角解直角三角形学习目标：1.巩固解直角三角形有关知识.2.能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路.重点：1.巩固解直角三角形相关知识.2.能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路.难点：能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路.一、知识链接1.什么叫仰角？什么叫俯角？2.填空：（1）sin 30°= ，cos 60°= ，tan 45°= ；（2）sin 45°cos 45°= ，cos 30°cos 60°= ；（2）sin2 15°+cos215°= ，tan 30°tan 60°= .一、要点探究探究点1：解与仰俯角有关的问题【典例精析】热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°，β=60°.在Rt△ABD中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD的长度；类似地可以求出CD的长度，进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度.练一练建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.【典例精析】如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处,测得仰角为6°，小明的身高为1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗?分析：由图可知，塔高AB可以分为两部分，上部分AB′可以在Rt△AD′B′和Rt△AC′B′中利用仰角的正切值求出，B′B与D′D相等.练一练如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45 °，求飞机的高度.（结果取整数. 参考数据：sin37°≈0.8，cos37 °≈0.6，tan 37°≈0.75）二、课堂小1.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米.2. 如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.3. 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=2°，已知人的高度是1.72米，则树高 (精确到0.1米）.4.如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地面成45°角．则两根拉线的总长度为m(结果用带根号的数的形式表示).5.目前世上最高的电视塔是广州电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（tan39°≈0.81）(1) 求大楼与电视塔之间的距离AC；(2) 求大楼的高度CD（精确到1米）.6. 如图，直升飞机在高为200米的大楼AB 上方P 点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°45°，求飞机的高度PO .参考答案自主学习一、知识链接1.在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.2.(1) 12 12 1 (2) 12 4 (3) 1 1课堂探究一、要点探究探究点1：解与仰俯角有关的问题【典例精析】例1 解：如图，a = 30°,β= 60°， AD ＝120．tan ,tan BD CD a AD AD β==，tan 120tan30BD AD a ∴=⋅=⨯120==tan 120tan 60CD AD β=⋅=⨯120==BC BD CD ∴=+=+277.1(m).=≈答：这栋楼高约为277.1m. 练一练 解：在等腰Rt △BCD 中，∠ACD =90°，BC =DC =40m. 在Rt △ACD 中， tan ∠ADC =DCAC ，∴AC =tan ∠ADC ·DC =tan 54°×40≈55.1（m ）， ∴AB =AC - BC =55.1-40=15.1（m ）.【典例精析】例2 解：如图，由题意可知，∠AD ′B ′=30°，∠AC ′B ′=60°， D ′C ′=50m.∴ ∠D ′AB ′=60°，∠C ′AB ′=30°，D ′C ′=50m ，设AB ′=x m.tan tan D'B'C'B'D'AB'C'AB'x x ∠=∠=，，tan60tan30D B x C B x ∴''=⋅︒''=⋅︒，，tan60tan3050x x ∴⋅︒-⋅︒=，5043.3(m)tan 60tan 30x ∴==≈︒-︒，43.3 1.544.845(m).AB ∴=+=≈ 练一练 解：作PO ⊥AB 交AB 的延长线于点O .设PO =x 米，在Rt △POB 中，∠PBO =45°，OB =PO = x 米.在Rt △POA 中，∠PAB =37°，tan 0.75PO PAB OA==∠，即0.75400x x =+，解得x =1200.故飞机的高度为1200米.当堂检测1. 1002. 米 4. 3⎛+ ⎝5. 解：（1）由题意，AC ＝AB ＝610（米）.（2）DE ＝AC ＝610（米），在Rt △BDE 中，tan ∠BDE ＝BE DE.故BE ＝DE tan39°． ∵CD ＝AE ，∴CD ＝AB －BE =AB -DE ·tan39°＝610－610×tan39°≈116（米）.6.解：如图，过点P 作PC ⊥BA 的延长线于点C .则∠PBO =∠CPB =45°，∠CPA =30°，∴PC =BC =200+AC ，tan30°==.200AC AC PC AC+∴AC =（100+PO =BC =(300+米. .【素材积累】1、2019年，文野31岁那年，买房后第二年，完成了人生中最重要的一次转变。
【人教版】精选九年级数学下册28.2.2 第2课时 利用仰俯角解直角三角形学案
的邻边的对边A A ∠∠ 28.2.2 应用举例第2课时 利用仰俯角解直角三角形【学习目标】⑴ 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．⑵ 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．⑶ 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识【学习重点】将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．【学习难点】实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：(2)锐角之间的关系：(3)边角之间的关系：tanA=二、合作交流：仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin三、教师点拨：例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?四、学生展示：一、课本76页练习第1 、2题五、课堂小结：六、作业设置：课本第78页习题28．2复习巩固第3、4题七、自我反思：本节课我的收获:。
人教版数学九年级下册28.2解直角三角形第二课时利用仰角和俯角解直角三角形说课稿
2.引导发现法：引导学生通过观察、分析、归纳，自主发现直角三角形中边角关系的规律，培养学生的探究能力。
3.互动讨论法：组织学生进行小组讨论，通过生生互动，促进学生之间的交流与合作，共同解决问题。
4.实践应用法：通过设计实际测量问题，让学生在实践中运用所学知识，提高学生的应用能力。
选择这些方法的理论依据是，情境创设法能够激发学生的学习兴趣，引导发现法能够培养学生的探究能力和思维能力，互动讨论法能够促进学生之间的交流与合作，实践应用法则能够将理论知识与实际相结合，提高学生的实际应用能力。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：
1.通过引入生活中的实际例子，如测量高楼的高度、观察物体的俯仰角度等，让学生感受到数学知识的实用性和趣味性。
2.设计互动性强的小组讨论和实践活动，让学生在合作中学习，通过解决问题来体验成功的喜悦。
3.创设竞争性的学习环，如课堂小测验、解题比赛等，激发学生的好胜心，提高学习积极性。
3.教师反馈：对学生的表现和作业进行点评，指出优点和需要改进的地方，并提供具体的建议。
（五）作业布置
课后作业的布置情况如下：
1.布置一些与仰角和俯角相关的练习题，要求学生在规定时间内完成，以巩固课堂所学知识。
2.设计一个实际测量项目，让学生在课后进行实际操作，测量某个物体的高度，并将过程和结果写成报告。
1.创设情境：通过展示一张城市天际线的图片，引导学生观察并提问：“你们注意到建筑物的角度了吗？我们如何测量这些高度？”
28.2.2 第2课时 利用仰俯角解直角三角形
28.2.2 应用举例第2课时 利用仰俯角解直角三角形1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点)2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点)一、情境导入在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题．二、合作探究探究点：利用仰(俯)角解决实际问题 【类型一】 利用仰角求高度星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度．如图，小红站在A 处测得她看塔顶C 的仰角α为45°，小涛站在B 处测得塔顶C 的仰角β为30°，他们又测出A 、B 两点的距离为41.5m ，假设他们的眼睛离头顶都是10cm ，求塔高(结果保留根号)．解析：设塔高为x m ，利用锐角三角函数关系得出PM 的长，再利用CP PN＝tan30°，求出x 的值即可．解：设塔底面中心为O ，塔高x m ，MN ∥AB 与塔中轴线相交于点P ，得到△CPM 、△CPN是直角三角形，则x －（1.6－0.1）PM＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM ＝CP ＝x －1.5.在Rt △CPN中，CP PN ＝tan30°，即x －1.5x －1.5＋41.5＝33，解得x ＝833＋894. 答：塔高为833＋894m. 方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题【类型二】 利用俯角求高度如图，在两建筑物之间有一旗杆EG ，高15米，从A 点经过旗杆顶部E 点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°.若旗杆底部G 点为BC 的中点，求矮建筑物的高CD .解析：根据点G 是BC 的中点，可判断EG 是△ABC 的中位线，求出AB .在Rt △ABC 和Rt △AFD 中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC 、DF ，继而可求出CD 的长度．解：过点D 作DF ⊥AF 于点F ，∵点G 是BC 的中点，EG ∥AB ，∴EG 是△ABC 的中位线，∴AB ＝2EG ＝30m.在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴BC ＝AB tan ∠BAC ＝30×33＝103m.在Rt △AFD 中，∵AF ＝BC ＝103m ，∴FD ＝AF ·tan β＝103×33＝10m ，∴CD ＝AB －FD ＝30－10＝20m.答：矮建筑物的高为20m.方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型三】 利用俯角求不可到达的两点之间的距离如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21m 的建筑物CD 的顶端D 处测得河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A 处的俯角为30°(A 、B 、C 在同一条直线上)，则河的宽度AB 约是多少m(精确到0.1m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?解析：在Rt △ACD 中，根据已知条件求出AC 的值，再在Rt △BCD 中，根据∠EDB ＝45°，求出BC ＝CD ＝21m ，最后根据AB ＝AC －BC ，代值计算即可．解：∵在Rt △ACD 中，CD ＝21m ，∠DAC ＝30°，∴AC ＝CD tan30°＝2133＝213m.∵在Rt △BCD 中，∠EDB ＝45°，∴∠DBC ＝45°，∴BC ＝CD ＝21m ，∴AB ＝AC －BC ＝213－21≈15.3(m)．则河的宽度AB 约是15.3m.方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第3题【类型四】 仰角和俯角的综合某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB 的高，他们来到与建筑物AB 在同一平地且相距12m 的建筑物CD 上的C 处观察，测得此建筑物顶部A 的仰角为30°、底部B 的俯角为45°.求建筑物AB 的高(精确到1m ，可供选用的数据：2≈1.4，3≈1.7)．解析：过点C 作AB 的垂线CE ，垂足为E ，根据题意可得出四边形CDBE 是正方形，再由BD ＝12m 可知BE ＝CE ＝12m ，由AE ＝CE ·tan30°得出AE 的长，进而可得出结论．解：过点C 作AB 的垂线，垂足为E ，∵CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，∠ECB ＝45°，∴四边形CDBE 是正方形．∵BD ＝12m ，∴BE ＝CE ＝12m ，∴AE ＝CE ·tan30°＝12×33＝43(m)，∴AB ＝43＋12≈19(m)．答：建筑物AB 的高为19m.方法总结：本题考查的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计1．仰角和俯角的概念；2．利用仰角和俯角求高度；3．利用仰角和俯角求不可到达两点之间的距离；4．仰角和俯角的综合．备课时尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学过程中的每一个细节．上课前多揣摩，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率.。
九年级数学下册 28_2_2 第2课时 利用仰俯角解直角三角形教案 (新版)新人教版
28.2.2 应用举例第2课时 利用仰俯角解直角三角形1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点)2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点)一、情境导入在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题．二、合作探究探究点：利用仰(俯)角解决实际问题 【类型一】 利用仰角求高度星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度．如图，小红站在A 处测得她看塔顶C 的仰角α为45°，小涛站在B 处测得塔顶C 的仰角β为30°，他们又测出A 、B 两点的距离为41.5m ，假设他们的眼睛离头顶都是10cm ，求塔高(结果保留根号)．解析：设塔高为x m ，利用锐角三角函数关系得出PM 的长，再利用CP PN＝tan30°，求出x 的值即可．解：设塔底面中心为O ，塔高x m ，MN ∥AB 与塔中轴线相交于点P ，得到△CPM 、△CPN 是直角三角形，则x －（1.6－0.1）PM＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM ＝CP ＝x －1.5.在Rt △CPN 中，CP PN ＝tan30°，即x －1.5x －1.5＋41.5＝33，解得x ＝833＋894.答：塔高为833＋894m. 方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题【类型二】 利用俯角求高度如图，在两建筑物之间有一旗杆EG ，高15米，从A 点经过旗杆顶部E 点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°.若旗杆底部G 点为BC 的中点，求矮建筑物的高CD .解析：根据点G 是BC 的中点，可判断EG 是△ABC 的中位线，求出AB .在Rt △ABC 和Rt △AFD 中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC 、DF ，继而可求出CD 的长度．解：过点D 作DF ⊥AF 于点F ，∵点G 是BC 的中点，EG ∥AB ，∴EG 是△ABC 的中位线，∴AB ＝2EG ＝30m.在R t △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴BC ＝AB tan ∠BAC ＝30×33＝103m.在Rt △AFD 中，∵AF ＝BC ＝103m ，∴FD ＝AF ·tan β＝103×33＝10m ，∴CD ＝AB －FD ＝30－10＝20m.答：矮建筑物的高为20m.方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型三】 利用俯角求不可到达的两点之间的距离如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21m 的建筑物CD 的顶端D 处测得河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A 处的俯角为30°(A 、B 、C 在同一条直线上)，则河的宽度AB 约是多少m(精确到0.1m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?解析：在Rt △ACD 中，根据已知条件求出AC 的值，再在Rt △BCD 中，根据∠EDB ＝45°，求出BC ＝CD ＝21m ，最后根据AB ＝AC －BC ，代值计算即可．解：∵在Rt△ACD中，CD＝21m，∠DAC＝30°，∴AC＝CDtan30°＝2133＝213m.∵在Rt△BCD中，∠EDB＝45°，∴∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21m，∴AB＝AC－BC＝213－21≈15.3(m)．则河的宽度AB约是15.3m.方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第3题【类型四】仰角和俯角的综合某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物CD上的C处观察，测得此建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°.求建筑物AB的高(精确到1m，可供选用的数据：2≈1.4，3≈1.7)．解析：过点C作AB的垂线CE，垂足为E，根据题意可得出四边形CDBE是正方形，再由BD＝12m可知BE＝CE＝12m，由AE＝CE·tan30°得出AE的长，进而可得出结论．解：过点C作AB的垂线，垂足为E，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∠ECB＝45°，∴四边形C DBE是正方形．∵BD＝12m，∴BE＝CE＝12m，∴AE＝CE·tan30°＝12×33＝43(m)，∴AB＝43＋12≈19(m)．答：建筑物AB的高为19m.方法总结：本题考查的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计1．仰角和俯角的概念；2．利用仰角和俯角求高度；3．利用仰角和俯角求不可到达两点之间的距离；4．仰角和俯角的综合．备课时尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学过程中的每一个细节．上课前多揣摩，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率.欢迎您的下载，资料仅供参考！。
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28.2.2 应用举例
第2课时 利用仰俯角解直角三角形
1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点)
2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点)
一、情境导入
在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题．
二、合作探究
探究点：利用仰(俯)角解决实际问题 【类型一】 利用仰角求高度
星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度．如图，小红站在A 处测得她看塔顶C 的仰角α为45°，小涛站在B 处测得塔顶C 的仰角β为30°，他们又测出A 、B m ，假设他们的眼睛离头顶都是10cm ，求塔高(结果保存根号)．
解析：设塔高为x m ，利用锐角三角函数关系得出PM 的长，再利用CP PN
＝tan30°，求出x 的值即可．
解：设塔底面中心为O ，塔高x m ，MN ∥AB 与塔中轴线相交于点P ，得到△CPM 、△CPN
是直角三角形，那么x －〔1.6－0.1〕PM
＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM ＝CP ＝x Rt △CPN 中，
CP PN ＝tan30°，即x x －1.5＋41.5＝33
，解得x ＝833＋894. 答：塔高为833＋894
m. 方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
变式训练：见?学练优?本课时练习“课堂达标训练〞 第7题
【类型二】 利用俯角求高度
如图，在两建筑物之间有一旗杆EG ，高15米，从A 点经过旗杆顶部E 点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°.假设旗杆底部G 点为BC 的中点，求矮建筑物的高CD .
解析：根据点G 是BC 的中点，可判断EG 是△ABC 的中位线，求出AB .在Rt △ABC 和Rt △AFD 中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC 、DF ，继而可求出CD 的长度．
解：过点D 作DF ⊥AF 于点F ，∵点G 是BC 的中点，EG ∥AB ，∴EG 是△ABC 的中位线，∴AB ＝2EG ＝30m.在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴BC ＝AB tan ∠BAC ＝30×33＝103m.在Rt △AFD 中，∵AF ＝BC ＝103m ，∴FD ＝AF ·tan β＝103×
33
＝10m ，∴CD ＝AB －FD ＝30－10＝20m.
答：矮建筑物的高为20m.
方法总结：此题考察了利用俯角求高度，解答此题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．
变式训练：见?学练优?本课时练习“课堂达标训练〞第6题
【类型三】 利用俯角求不可到达的两点之间的距离
如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21m 的建筑物CD 的顶端D 处测得河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A 处的俯角为30°(A 、B 、C 在同一条直线上)，那么河的宽度AB 约是多少m(准确到0.1m ，参考数据：2≈1.41，3≈)?
解析：在Rt △ACD 中，根据条件求出AC 的值，再在Rt △BCD 中，根据∠EDB ＝45°，求出BC ＝CD ＝21m ，最后根据AB ＝AC －BC ，代值计算即可．
解：∵在Rt △ACD 中，CD ＝21m ，∠DAC ＝30°，∴AC ＝CD tan30°＝213
3
＝213m.∵在Rt △BCD 中，∠EDB ＝45°，∴∠DBC ＝45°，∴BC ＝CD ＝21m ，∴AB ＝AC －BC ＝213－21≈15.3(m)．那么河的宽度AB m.
方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与和未知相关联的直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
变式训练：见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞 第3题
【类型四】 仰角和俯角的综合
某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB 的高，他们来到与建筑物AB 在同一平地且相距12m 的建筑物CD 上的C 处观察，测得此建筑物顶部A 的仰角为30°、底部B 的俯角为45°.求建筑物AB 的高(准确到1m ，可供选用的数据：2≈1.4，3≈)．
解析：过点C 作AB 的垂线CE ，垂足为E ，根据题意可得出四边形CDBE 是正方形，再由BD ＝12m 可知BE ＝CE ＝12m ，由AE ＝CE ·tan30°得出AE 的长，进而可得出结论．
解：过点C 作AB 的垂线，垂足为E ，∵CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，∠ECB ＝45°，∴四边形CDBE 是正方形．∵BD ＝12m ，∴BE ＝CE ＝12m ，∴AE ＝CE ·tan30°＝12×
33
＝43(m)，∴AB ＝43＋12≈19(m)．
答：建筑物AB 的高为19m.
方法总结：此题考察的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题，根据题意作出辅助线，
构造出直角三角形是解答此题的关键．
变式训练：见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞第7题
三、板书设计
1．仰角和俯角的概念；
2．利用仰角和俯角求高度；
3．利用仰角和俯角求不可到达两点之间的距离；
4．仰角和俯角的综合．
备课时尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学过程中的每一个细节．上课前多揣摩，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反应工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率.。