高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案直线与圆、圆与圆的位置关系
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：直线与圆、圆与圆的位置关系
3－4sin25θ＋1，
所以 1≤4sin25θ＋1<3，
所以 2 r2－d2＝2 3－4sin25θ＋1∈(0,2 2]. 所以当 4sin2θ＋1＝5，即 sin2θ＝1 时，弦长有最大值 2 2.
题型二 圆与圆的位置关系
例5 (1)(2023·扬州联考)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2 2)2＝16和两点A(0，－m)， B(0，m)，若圆C上存在点P，使得AP⊥BP，则m的最大值为
则直线l与圆C相离，故B正确； 若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，
所以 d＝ a2r＋2 b2<|r|，则直线 l 与圆 C 相交，故 C 错误；
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0， 即a2＋b2＝r2， 所以 d＝ a2r＋2 b2＝|r|，则直线 l 与圆 C 相切，故 D 正确.
第八章 直线和圆、圆锥曲线
§8.4 直线与圆、圆与 圆的位置关系
考试要求
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.( × ) (2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线
与圆相切.( √ ) (4)在圆中最长的弦是直径.( √ )
新人教A版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何直线与圆圆与圆的位置关系教案文
一、知识梳理１．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0（A２＋B２≠0），圆：（x—a）２＋（y—b）２＝r２（r>0），d为圆心（a，b）到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d<rΔ>0相切d＝rΔ＝0相离d>rΔ<0设圆O１：（x—a１）２＋（y—b１）２＝r错误!（r１>0），圆O２：（x—a２）２＋（y—b２）２＝r错误!（r２>0）．方法位置关系几何法：圆心距d与r１，r２的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r１＋r２无解外切d＝r１＋r２一组实数解相交|r１—r２|<d<r１＋r２两组不同的实数解内切d＝|r１—r２|（r１≠r２）一组实数解内含0≤d<|r１—r２|（r１≠r２）无解１．圆的切线方程常用结论（１）过圆x２＋y２＝r２上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r２.（２）过圆（x—a）２＋（y—b）２＝r２上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为（x0—a）（x—a）＋（y0—b）（y—b）＝r２.（３）过圆x２＋y２＝r２外一点M（x0，y0）作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r ２.２．两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C１：x２＋y２＋D１x＋E１y＋F１＝0，１圆C２：x２＋y２＋D２x＋E２y＋F２＝0，２若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由１—２所得，即：（D１—D２）x＋（E１—E）y＋（F１—F２）＝0．２３．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半错误!l满足关系式r２＝d２＋错误!错误!.二、习题改编１．（必修２P１２7例１改编）直线y＝x＋１与圆x２＋y２＝１的位置关系为（）Ａ．相切Ｂ．相交但直线不过圆心C．直线过圆心Ｄ．相离答案：B２．（必修２P１３２A组T５改编）直线l：３x—y—6＝0与圆x２＋y２—２x—４y＝0相交于A，B 两点，则|AB|＝．答案：错误!３．（必修２P１２9例３改编）两圆x２＋y２—２y＝0与x２＋y２—４＝0的位置关系是．答案：内切一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．（）（２）若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．（）（３）“k＝１”是“直线x—y＋k＝0与圆x２＋y２＝１相交”的必要不充分条件．（）（４）联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．（）答案：（１）√（２）×（３）×（４）√二、易错纠偏错误!（１）忽视分两圆内切与外切两种情形；（２）忽视切线斜率k不存在的情形．１．若圆x２＋y２＝１与圆（x＋４）２＋（y—a）２＝２５相切，则常数a＝．解析：两圆的圆心距d＝错误!，由两圆相切（外切或内切），得错误!＝５＋１或错误!＝５—１，解得a＝±２错误!或a＝0．答案：±２错误!或0２．已知圆C：x２＋y２＝9，过点P（３，１）作圆C的切线，则切线方程为．解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝３，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y—１＝k（x—３），所以kx—y＋１—３k＝0，所以错误!＝３，所以k＝—错误!，所以切线方程为４x＋３y—１５＝0．综上，切线方程为x＝３或４x＋３y—１５＝0．答案：x＝３或４x＋３y—１５＝0直线与圆的位置关系（典例迁移）（１）已知点M（a，b）在圆O：x２＋y２＝１外，则直线ax＋by＝１与圆O的位置关系是（）Ａ．相切Ｂ．相交Ｃ．相离Ｄ．不确定（２）（一题多解）圆x２＋y２＝１与直线y＝kx＋２没有公共点的充要条件是．【解析】（１）因为M（a，b）在圆O：x２＋y２＝１外，所以a２＋b２＞１，从而圆心O到直线ax＋by＝１的距离d＝错误!＝错误!＜１，所以直线与圆相交．（２）法一：将直线方程代入圆方程，得（k２＋１）x２＋４kx＋３＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝１6k２—１２（k２＋１）<0，解得k∈（—错误!，错误!）．法二：圆心（0，0）到直线y＝kx＋２的距离d＝错误!，直线与圆没有公共点的充要条件是d>１，即错误!>１，解得k∈（—错误!，错误!）．【答案】（１）B （２）k∈（—错误!，错误!）【迁移探究】（变条件）若将本例（１）的条件改为“点M（a，b）在圆O：x２＋y２＝１上”，则直线ax＋by＝１与圆O的位置关系如何？解：由点M在圆上，得a２＋b２＝１，所以圆心O到直线ax＋by＝１的距离d＝错误!＝１，则直线与圆O相切．错误!判断直线与圆的位置关系的方法（１）几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断．（２）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数（也就是方程组解的个数）来判断．１如果Δ<0，那么直线与圆相离；２如果Δ＝0，那么直线与圆相切；３如果Δ>0，那么直线与圆相交．（２0２0·陕西四校联考）直线ax—by＝0与圆x２＋y２—ax＋by＝0的位置关系是（）Ａ．相交Ｂ．相切Ｃ．相离Ｄ．不能确定，与a，b取值有关解析：选Ｂ．将圆的方程化为标准方程得错误!错误!＋错误!错误!＝错误!，所以圆心坐标为错误!，半径r＝错误!.因为圆心到直线ax—by＝0的距离d＝错误!＝错误!＝r，所以直线与圆相切．故选Ｂ．切线与圆的综合问题（多维探究）角度一圆的切线问题（１）２0２0·宁夏银川一中一模）与３x＋４y＝0垂直，且与圆（x—１）２＋y２＝４相切的一条直线是（）Ａ．４x—３y＝6 Ｂ．４x—３y＝—6Ｃ．４x＋３y＝6 Ｄ．４x＋３y＝—6（２）（一题多解）（２0１9·高考浙江卷）已知圆C的圆心坐标是（0，m），半径长是r.若直线２x—y ＋３＝0与圆C相切于点A（—２，—１），则m＝，r＝．【解析】（１）设与直线３x＋４y＝0垂直的直线方程为l：４x—３y＋m＝0，直线l与圆（x—１）２＋y２＝４相切，则圆心（１，0）到直线l的距离为半径２，即错误!＝２，所以m＝6或m＝—１４，所以４x—３y＋6＝0，或４x—３y—１４＝0，结合选项可知B正确，故选Ｂ．（２）法一：设过点A（—２，—１）且与直线２x—y＋３＝0垂直的直线方程为l：x＋２y＋t＝0，所以—２—２＋t＝0，所以t＝４，所以l：x＋２y＋４＝0．令x＝0，得m＝—２，则r＝错误!＝错误!.法二：因为直线２x—y＋３＝0与以点（0，m）为圆心的圆相切，且切点为A（—２，—１），所以错误!×２＝—１，所以m＝—２，r＝错误!＝错误!.【答案】（１）B （２）—２错误!错误!圆的切线方程的求法（１）几何法：设切线方程为y—y0＝k（x—x0），利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k；（２）代数法：设切线方程为y—y0＝k（x—x0），与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.[注意] 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，然后求切线方程．若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条（若通过上述方法只求出一个k，则说明另一条切线的斜率一定不存在，此时另一条切线的方程为x＝x0）．角度二圆的弦长问题（１）（一题多解）（２0２0·安徽合肥调研）已知直线l：x＋y—５＝0与圆C：（x—２）２＋（y—１）２＝r２（r>0）相交所得的弦长为２错误!，则圆C的半径r＝（）Ａ．错误!Ｂ．２Ｃ．２错误!Ｄ．４（２）（２0２0·豫西南五校３月联考）已知圆C：（x—２）２＋y２＝４，直线l１：y＝错误!x，l２：y ＝kx—１，若l１，l２被圆C所截得的弦的长度之比为１∶２，则k的值为（）Ａ．错误!Ｂ．１Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】（１）法一：圆C的圆心为（２，１），圆心到直线l的距离d＝错误!＝错误!，又弦长为２错误!，所以２错误!＝２错误!，所以r＝２，故选Ｂ．法二：联立得错误!整理得２x２—１２x＋２0—r２＝0，设直线与圆的两交点分别为A（x１，y１），B （x２，y２），所以x１＋x２＝6，x１·x２＝错误!，所以|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!×错误!＝错误!×错误!＝２错误!，解得r＝２．（２）圆C：（x—２）２＋y２＝４的圆心为C（２，0），半径为２，圆心到直线l１：y＝错误!x的距离d１＝错误!＝错误!，所以l１被圆C所截得的弦长为２错误!＝２．圆心到直线l２的距离d２＝错误!，所以l２被圆C所截得的弦长为４＝２错误!，所以d２＝0．所以２k—１＝0，解得k＝错误!，故选Ｃ．【答案】（１）B （２）C错误!求直线被圆截得的弦长的常用方法（１）几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝２错误!；（２）代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝错误!|x１—x２|.１．平行于直线２x＋y＋１＝0且与圆x２＋y２＝５相切的直线的方程是（）Ａ．２x＋y＋５＝0或２x＋y—５＝0Ｂ．２x＋y＋错误!＝0或２x＋y—错误!＝0Ｃ．２x—y＋５＝0或２x—y—５＝0Ｄ．２x—y＋错误!＝0或２x—y—错误!＝0解析：选Ａ．设直线方程为２x＋y＋c＝0，由直线与圆相切，得d＝错误!＝错误!，c＝±５，所以所求方程为２x＋y＋５＝0或２x＋y—５＝0．２．（２0２0·河北石家庄质检）已知a∈R且为常数，圆C：x２＋２x＋y２—２ay＝0，过圆C内一点（１，２）的直线l与圆C相交于A，B两点．当∠ACB最小时，直线l的方程为２x—y＝0，则a的值为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５解析：选Ｂ．圆的方程配方，得（x＋１）２＋（y—a）２＝１＋a２，圆心为C（—１，a），当弦AB 最短时，∠ACB最小，此时圆心C与定点（１，２）的连线和直线２x—y＝0垂直，所以错误!×２＝—１，解得a＝３．３．（２0２0·山东枣庄期末改编）若点P（１，１）为圆x２＋y２—6x＝0中弦AB的中点，则弦AB 所在直线的方程为，|AB|＝．解析：圆x２＋y２—6x＝0的标准方程为（x—３）２＋y２＝9．又因为点P（１，１）为圆中弦AB 的中点，所以圆心与点P所在直线的斜率为错误!＝—错误!，故弦AB所在直线的斜率为２，所以直线AB的方程为y—１＝２（x—１），即２x—y—１＝0．圆心（３，0）与点P（１，１）之间的距离d＝错误!，圆的半径r＝３，则|AB|＝２错误!＝４．答案：２x—y—１＝0 ４圆与圆的位置关系（师生共研）（１）已知圆M：x２＋y２—２ay＝0（a>0）截直线x＋y＝0所得线段的长度是２错误!，则圆M与圆N：（x—１）２＋（y—１）２＝１的位置关系是（）Ａ．内切Ｂ．相交C．外切Ｄ．相离（２）两圆C１：x２＋y２＋４x＋y＋１＝0，C２：x２＋y２＋２x＋２y＋１＝0相交于A，B两点，则|AB|＝．【解析】（１）由题意得圆M的标准方程为x２＋（y—a）２＝a２，圆心（0，a）到直线x＋y＝0的距离d＝错误!，所以２错误!＝２错误!，解得a＝２，圆M，圆N的圆心距|MN|＝错误!，小于两圆半径之和３，大于两圆半径之差１，故两圆相交．（２）由（x２＋y２＋４x＋y＋１）—（x２＋y２＋２x＋２y＋１）＝0得弦AB所在直线方程为２x—y ＝0．圆C２的方程为（x＋１）２＋（y＋１）２＝１，圆心C２（—１，—１），半径r２＝１．圆心C２到直线AB的距离d＝错误!＝错误! .所以|AB|＝２错误!＝２错误!＝错误!.【答案】（１）B （２）错误!错误!（１）几何法判断圆与圆的位置关系的步骤１确定两圆的圆心坐标和半径；２利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，并求r１＋r２，|r１—r２|；３比较d，r１＋r２，|r１—r２|的大小，然后写出结论．（２）两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一个圆中，由弦心距d，半弦长错误!，半径r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．１．圆C１：（x—m）２＋（y＋２）２＝9与圆C２：（x＋１）２＋（y—m）２＝４外切，则m的值为（）Ａ．２Ｂ．—５C．２或—５Ｄ．不确定解析：选Ｃ．由圆心C１（m，—２），r１＝３；圆心C２（—１，m），r２＝２；则两圆心之间的距离为|C１C２|＝错误!＝２＋３＝５，解得m＝２或—５．故选Ｃ．２．（２0２0·江苏南师大附中期中改编）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A（0，—8），且与圆x２＋y２—6x—6y＝0相切于原点，则圆C的方程为，圆C被x轴截得的弦长为．解析：将已知圆化为标准式得（x—３）２＋（y—３）２＝１8，圆心为（３，３），半径为３错误!.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点（0，0），（0，—8），所以圆心又在直线y＝—４上．联立y＝x和y＝—４，得圆心C的坐标（—４，—４）．又因为点（—４，—４）到原点的距离为４错误!，所以圆C的方程为（x＋４）２＋（y＋４）２＝３２，即x２＋y２＋8x＋8y＝0．圆心C到x轴距离为４，则圆C被x轴截得的弦长为２×错误!＝8．答案：x２＋y２＋8x＋8y＝0 8核心素养系列１7 直观想象——解决直线与圆的综合问题直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础．已知AC，BD为圆O：x２＋y２＝４的两条相互垂直的弦，垂足为M（１，错误!），则四边形ABCD的面积的最大值为（）Ａ．５Ｂ．１0Ｃ．１５Ｄ．２0【解析】由已知，圆心为O（0，0），半径为２．设圆心O到AC，BD的距离分别为d１，d２，作OE⊥AC，OF⊥BD，垂足分别为E，F，则四边形OEMF为矩形，连接OM，则d错误!＋d错误!＝OM２＝３．又|AC|＝２错误!，|BD|＝２错误!，所以S四边形ABCD＝错误!|AC|·|BD|＝２错误!·错误!≤（４—d错误!）＋（４—d错误!）＝8—（d错误!＋d错误!）＝５，当且仅当d１＝d２时取等号，即四边形ABCD的面积的最大值为５．【答案】A错误!直线与圆综合问题的求法（１）圆与直线l相切的情形圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.（２）圆与直线l相交的情形１圆心到l的距离小于半径，过圆心且垂直于l的直线平分l被圆截得的弦．２连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦．３过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．１．（２0２0·聊城模拟）圆（x—３）２＋（y—３）２＝9上到直线３x＋４y—１１＝0的距离等于１的点的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４解析：选Ｃ．因为圆心到直线的距离为错误!＝２，又因为圆的半径为３，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为１的点有３个．２．P在直线l：x＋y＝２上，过P作圆x２＋y２＝１的切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则四边形OAPB面积的最小值为．解析：连接OP，OA，OB，则S四边形OAPB＝|OA|·|PA|＝|OA|·错误!＝错误!.而|OP|的最小值为|OP|min＝错误!＝错误!，所以（S四边形OAPB）min＝１．答案：１[基础题组练]１．圆O１：x２＋y２—２x＝0和圆O２：x２＋y２—４y＝0的位置关系是（）Ａ．相离Ｂ．相交C．外切Ｄ．内切解析：选Ｂ．圆O１的圆心坐标为（１，0），半径长r１＝１，圆O２的圆心坐标为（0，２），半径长r２＝２，所以两圆的圆心距d＝错误!，而r２—r１＝１，r１＋r２＝３，则有r２—r１<d<r１＋r２，所以两圆相交．２．（２0２0·陕西榆林二校联考）圆x２＋y２＋４x—２y＋a＝0截直线x＋y—３＝0所得弦长为２，则实数a等于（）Ａ．２Ｂ．—２Ｃ．４Ｄ．—４解析：选Ｄ．由题知，圆的标准方程为（x＋２）２＋（y—１）２＝５—a，所以圆心为（—２，１），半径为错误!，又圆心到直线的距离为错误!＝２错误!，所以２错误!＝２，解得a＝—４．３．（２0２0·河南豫西五校联考）在平面直角坐标系xOy中，以点（0，１）为圆心且与直线x—by ＋２b＋１＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（）Ａ．x２＋（y—１）２＝４Ｂ．x２＋（y—１）２＝２Ｃ．x２＋（y—１）２＝8 Ｄ．x２＋（y—１）２＝１6解析：选Ｂ．直线x—by＋２b＋１＝0过定点P（—１，２），如图．所以圆与直线x—by＋２b＋１＝0相切于点P时，以点（0，１）为圆心的圆的半径最大，此时半径r为错误!，此时圆的标准方程为x２＋（y—１）２＝２．故选Ｂ．４．已知圆O１的方程为x２＋y２＝４，圆O２的方程为（x—a）２＋y２＝１，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是（）Ａ．{１，—１} Ｂ．{３，—３}Ｃ．{１，—１，３，—３} Ｄ．{５，—５，３，—３}解析：选Ｃ．因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝１，外切时，|a|＝３，所以实数a的取值集合是{１，—１，３，—３}．５．圆x２＋２x＋y２＋４y—３＝0上到直线x＋y＋１＝0的距离为错误!的点共有（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个解析：选Ｃ．圆的方程化为（x＋１）２＋（y＋２）２＝8，圆心（—１，—２）到直线的距离d＝错误!＝错误!，半径是２错误!，结合图形可知有３个符合条件的点．6．圆x２＋y２—４x＝0在点P（１，错误!）处的切线方程为．解析：圆的方程为（x—２）２＋y２＝４，圆心坐标为（２，0），半径为２，点P在圆上，设切线方程为y—错误!＝k（x—１），即kx—y—k＋错误!＝0，所以错误!＝２，解得k＝错误!.所以切线方程为y—错误!＝错误!（x—１），即x—错误!y＋２＝0．答案：x—错误!y＋２＝07．已知直线l：x＋ay—１＝0（a∈R）是圆C：x２＋y２—４x—２y＋１＝0的对称轴．过点A（—４，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝．解析：由于直线x＋ay—１＝0是圆C：x２＋y２—４x—２y＋１＝0的对称轴，所以圆心C（２，１）在直线x＋ay—１＝0上，所以２＋a—１＝0，所以a＝—１，所以A（—４，—１）．所以|AC|２＝３6＋４＝４0．又r＝２，所以|AB|２＝４0—４＝３6．所以|AB|＝6．答案：68．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线２x＋y—４＝0相切，则圆C面积的最小值为．解析：因为∠AOB＝90°，所以点O在圆C上．设直线２x＋y—４＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线２x＋y—４＝0的距离，所以点C在以O为焦点，以直线２x＋y—４＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝错误!＝错误!，所以圆C的最小半径为错误!，所以圆C面积的最小值为π错误!错误!＝错误!π.答案：错误!π9．已知圆C：（x—１）２＋（y＋２）２＝１0，求满足下列条件的圆的切线方程．（１）过切点A（４，—１）；（２）与直线l２：x—２y＋４＝0垂直．解：（１）因为k AC＝错误!＝错误!，所以过切点A（４，—１）的切线斜率为—３，所以过切点A （４，—１）的切线方程为y＋１＝—３（x—４），即３x＋y—１１＝0．（２）设切线方程为２x＋y＋m＝0，则错误!＝错误!，所以m＝±５错误!，所以切线方程为２x＋y±５错误!＝0．１0．已知圆C经过点A（２，—１），和直线x＋y＝１相切，且圆心在直线y＝—２x上．（１）求圆C的方程；（２）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为２，求直线l的方程．解：（１）设圆心的坐标为C（a，—２a），则错误!＝错误!，化简，得a２—２a＋１＝0，解得a＝１．所以C（１，—２），半径|AC|＝错误!＝错误!.所以圆C的方程为（x—１）２＋（y＋２）２＝２．（２）１当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为２，满足条件．２当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得错误!＝１，解得k＝—错误!，所以直线l的方程为y＝—错误!x.综上所述，直线l的方程为x＝0或３x＋４y＝0．[综合题组练]１．（２0２0·湖北四地七校联考）若圆O１：x２＋y２＝５与圆O２：（x＋m）２＋y２＝２0相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是（）Ａ．３Ｂ．４Ｃ．２错误!Ｄ．8解析：选Ｂ．连接O１A，O２A，由于⊙O１与⊙O２在点A处的切线互相垂直，因此O１A⊥O２A，所以|O１O２|２＝|O１A|２＋|O２A|２，即m２＝５＋２0＝２５，设AB交x轴于点C.在Rt△O１AO２中，sin ∠AO２O１＝错误!，所以在Rt△ACO２中，|AC|＝|AO２|·sin∠AO２O１＝２错误!×错误!＝２，所以|AB|＝２|AC|＝４．２．（２0２0·江西南昌NCS项目第一次模拟）已知r>0，x，y∈R，p：“|x|＋错误!≤１”，q：“x ２＋y２≤r２”，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．（0，１]Ｃ．错误!Ｄ．[２，＋∞）解析：选Ａ．如图，“|x|＋错误!≤１”表示的平面区域为平行四边形ABCD及其内部，“x２＋y２≤r２”表示圆及其内部，易知圆心O（0，0）到直线AD：２x＋y—２＝0的距离d＝错误!＝错误!，由p是q 的必要不充分条件，得0<r≤错误!，故选Ａ．３．已知点P（２，２），圆C：x２＋y２—8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（１）求M的轨迹方程；（２）当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．解：（１）圆C的方程可化为x２＋（y—４）２＝１6，所以圆心为C（0，４），半径为４．设M（x，y），则错误!＝（x，y—４），错误!＝（２—x，２—y）．由题设知错误!·错误!＝0，故x（２—x）＋（y—４）（２—y）＝0，即（x—１）２＋（y—３）２＝２．由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是（x—１）２＋（y—３）２＝２．（２）由（１）可知M的轨迹是以点N（１，３）为圆心，错误!为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为３，所以l的斜率为—错误!，故l的方程为x＋３y—8＝0．又|OM|＝|OP|＝２错误!，O到l的距离为错误!，所以|PM|＝错误!，S△POM＝错误!×错误!×错误!＝错误!，故△POM的面积为错误!.４．已知圆C：x２＋y２—２x—４y＋３＝0．（１）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（２）从圆C外一点P（x１，y１）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．解：（１）将圆C的方程配方得（x—１）２＋（y—２）２＝２，当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx（k≠0），由直线与圆相切得错误!＝错误!，解得k＝—２±错误!，所以切线方程为y＝（—２＋错误!）x或y＝（—２—错误!）x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y—a＝0，由直线与圆相切得错误!＝错误!，解得a＝１或a＝５，所以切线方程为x＋y—１＝0或x＋y—５＝0．综上，所求的切线方程为y＝（—２＋错误!）x或y＝（—２—错误!）x或x＋y—１＝0或x＋y—５＝0．（２）由|PM|＝|PO|得（x１—１）２＋（y１—２）２—２＝x错误!＋y错误!，即２x１＋４y１—３＝0，即点P在直线l：２x＋４y—３＝0上，所以|PM|min＝错误!＝错误!.。
高考数学一轮复习教案第44课直线与圆的位置关系
一、考纲要求1．理解直线与圆的位置关系,会利用直线与圆的方程判断其位置关系,能够根据所给关系解决相关问题； 2 理解圆与圆的位置关系,能够根据两圆的方程判断它们的位置关系;3 会利用直线与圆的方程解决简单的综合问题,领悟用代数方法处理几何问题的本质， 二、知识梳理 回顾要求1． 阅读教材第112页~116页，理解直线和圆有哪些位置关系，用直线与圆的方程怎么判断直线和圆的关系？2． 理解圆心到直线的距离公式，能否用圆心到直线的距离判断直线和圆的关系？ 3． 当知道了圆心到直线的距离为d ，能否写出直线与圆相交形成的弦AB 的长度？ 4． 两圆的关系有哪些，怎么来判定他们的关系 5． 阅读教材113页的例2后思考，切线的长度怎么求 要点解析1、 直线与圆有相离、相切、相交三种关系，可以用直线和圆方程联立方程组，消去y ，后观察二次方程的∆即可，0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离。
2、 用点到直线距离公式可以写出圆心到直线的距离d ，比较d 与半径r 的关系。
r d >，直线和圆相离，r d <，直线与圆相交；r d =，直线与圆相切。
3、 把半径r 和d 以及弦长的一半放在一个直角三角形中，222d r AB -=。
4、 根据两圆圆心21O O 之间距离和两半径之间关系可以分成：外离、外切、相交、内切、内含五种情况。
5、 切线的长度由点到圆心距离PO ，半径r 构成的直角三角形中求得，以后再碰到切线的问题，转化为圆心的直线的距离PO 的问题。
三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4小题，在学习笔记栏写出基本方法，课前抽查部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误，点评时要简洁，要点击要害2、诊断练习点评题1.0y m -+=与圆22220x y x +--=相切,则实数m 等于 ．【分析与点评】方法一：直线与圆相切从形转：化到数，d r =方法二：直线和圆的方程联立方程组，消去y ，令0=∆【变式】0y m -+=与圆2220x y +-=相交,则实数m 范围 ．题2. 过原点且倾斜角为60的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为 ． 【分析与点评】重点巩固半径，圆心距，半径构成的特征三角形的关系【变式】过原点的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为1的有______条，弦长为4的有___________条.题3. 圆22:4210A x y x y ++++=与圆22:2610B x y x y +--+=的位置关系是_________ 【分析与点评】外切将圆A 的方程标准化可得()()22214x y +++=，可得()2,1,2A R --=，圆B 的方程标准化()()22139x y -+-=可得()1,3,3B r =，所以5AB ==，所以AB R r =+，所以圆,A B 外切。
高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 word版含答案
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系(1)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． (3)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．知识点一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d ) 相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d >rd ＝rd <r易误提醒 对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k 不存在情形．必备方法 求圆的弦长的常用方法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式． |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．[自测练习]1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．与m 的取值有关解析：圆心到直线的距离d ＝|－1－m ＋1|m 2＋1＝|m |m 2＋1<1＝r ，故选A.答案：A2．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. 答案：D3．过点(2,3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________．解析：设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0，又直线x ＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝0 知识点二 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|) 相离外切相交内切内含图形量的关系d >r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|易误提醒 两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．[自测练习]4．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切D ．内切解析：圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径r 2＝2，故两圆的圆心距d ＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则r 2－r 1<d <r 1＋r 2，故两圆相交．答案：B考点一 直线与圆的位置关系|1．对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上三个选项均有可能解析：直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2<3，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交，故选C.答案：C2．(2015·皖南八校联考)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A.12，－4 B ．－12，4C.12，4 D ．－12，－4解析：因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，所以直线y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，2×2＋0＋b ＝0，解得k ＝12，b ＝－4.答案：A3．若直线x －my ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则m 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．±3D. 3解析：由x 2＋y 2－2x ＝0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|1－0＋1|1＋m 2＝1，解得m ＝±3. 答案：C判断直线与圆的位置关系常见的两种方法(1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．考点二 切线、弦长问题|(1)(2015·高考重庆卷)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210(2)(2016·太原一模)已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215[解析] (1)由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.(2)将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心坐标为F (2，－1)，半径r ＝5，如图，显然过点E 的最长弦为过点E 的直径，即|AC |＝25，而过点E 的最短弦为垂直于EF 的弦，|EF |＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，|BD |＝2r 2－|EF |2＝23，∴S 四边形ABCD＝12|AC |×|BD |＝215. [答案] (1)C (2)D处理切线、弦长问题的策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．1．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0解析：设直线的斜率为k ，又弦AB 的中点为(－2,3)，所以直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋3＝0，由x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离为2，所以|－k －2＋2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝1，所以直线l 的方程为x －y ＋5＝0，故选C.答案：C2．(2016·云南名校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为________．解析：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过P 作圆O 的切线P A ，连接OA (图略)，易知此时|P A |的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP |＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5.又|OA |＝1，所以|P A |＝|OP |2－|OA |2＝2.答案：2考点三 圆与圆的位置关系|1．(2016·惠州调研)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析：两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．答案：B2．若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．答案：C3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝1a ，又a >0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a ＝1.答案：1求解两圆位置关系问题的两种方法(1)两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．19.直线与圆的位置关系中的易错问题【典例】对于任意实数m，直线l：y＝m(x－1)＋b恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，则a，b满足的条件是________．[易错点析]对直线l方程分析不彻底，盲目利用Δ法或几何法无法判断导致失误．[解析]由题意知，①直线l经过定点M(1，b)．又直线l恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，所以，②点M在圆的内部，所以，12＋b2<a2，即a2－b2>1.[答案]a2－b2>1[方法点评]点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．点与圆的位置关系法适用于动直线问题．[跟踪练习](2016·大连双基)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．解析：法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)<0，解得k∈(－3，3)．法二：圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝2k2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d>1，即2k2＋1>1，解得k∈(－3，3)．答案：(－3，3)A组考点能力演练1．(2016·洛阳二练)已知圆C：x2＋y2＝4，若点P(x0，y0)在圆C外，则直线l：x0x＋y0y ＝4与圆C的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．不能确定解析：由题意：圆C的圆心到直线l的距离d＝4x20＋y20，∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4外，∴x20＋y20>4，∴d＝4x20＋y20<2，∴直线l与圆相交．答案：C2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，所以它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.答案：B3．(2015·长春二模)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)B ．(－∞，－22]∪[22，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：由直线与圆相切可知 |m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2， 整理得mn ＝m ＋n ＋1，由mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22可知m ＋n ＋1≤14(m ＋n )2，解得m ＋n ∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)，故选A. 答案：A4．过点(－2,3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋1＝0解析：本题考查直线与圆的位置关系．由题意得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心C (－1，2)，过圆心与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2－2－(－1)＝－1.当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0，故选A.答案：A5．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝5上的任意一点，点Q (2a ，a ＋2)，其中a ∈R ，则线段PQ 长度的最小值为( )A.55B. 5C.355D.655解析：设点Q (x ，y )，则x ＝2a ，y ＝a ＋2，∴x －2y ＋4＝0，∴点Q 在直线x －2y ＋4＝0上．由于圆心(2,0)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|2－0＋4|1＋4＝655，所以PQ 长度的最小值为d －5＝655－5＝55，故选A.答案：A6．圆x 2＋y 2＋x －2y －20＝0与圆x 2＋y 2＝25相交所得的公共弦长为________． 解析：公共弦的方程为(x 2＋y 2＋x －2y －20)－(x 2＋y 2－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x 2＋y 2＝25的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|5＝5，而半径为5，故公共弦长为252－(5)2＝4 5.答案：4 57．(2016·泰安调研)已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________．解析：因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两平行直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.答案：25π8．(2016·福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A 、B 两点，则CA →·CB →的值为________．解析：依题意得，点C 的坐标为(3,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，(x －3)2＋(y －3)2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3， 可令A (3,5)，B (1,3)，∴CA →＝(0,2)，CB →＝(－2,0)， ∴CA →·CB →＝0. 答案：09.如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴的正半轴交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，连接AN ，BN ，求证：k AN ＋k BN 为定值．解：(1)因为圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m >0)，则圆C 的半径为m ，又|MN |＝3，所以m 2＝4＋⎝⎛⎭⎫322＝254，解得m ＝52，所以圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋(y －2)2＝254. (2)由(1)知M (1,0)，N (4,0)，当直线AB 的斜率为0时，易知k AN ＝k BN ＝0，即k AN ＋k BN＝0.当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x ＝1＋ty ，将x ＝1＋ty 代入x 2＋y 2－4＝0，并整理得，(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2tt 2＋1，y 1y 2＝－3t 2＋1，则k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝y 1ty 1－3＋y 2ty 2－3＝2ty 1y 2－3(y 1＋y 2)(ty 1－3)(ty 2－3)＝－6t t 2＋1＋6tt 2＋1(ty 1－3)(ty 2－3)＝0.综上可知，k AN ＋k BN 为定值．10．已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 截得的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方．(1)求圆M 的方程；(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值．解：(1)设圆心M (a,0)，由已知得点M 到直线l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝⎛⎭⎫322＝12，∴|8a －3|82＋62＝12.又点M 在直线l 的下方，∴8a －3>0，∴8a －3＝5，a ＝1，∴圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设直线AC 的斜率为k 1，直线BC 的斜率为k 2，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6，解得C 点的横坐标为6k 1－k 2.∵|AB |＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12×⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18|k 1－k 2|.∵圆M 与AC 相切，∴1＝|k 1＋t |1＋k 21，∴k 1＝1－t 22t ；同理，k 2＝1－(t ＋6)22(t ＋6).∴k 1－k 2＝3(t 2＋6t ＋1)t 2＋6t，∴S ＝6(t 2＋6t )t 2＋6t ＋1＝6⎝⎛⎭⎫1－1t 2＋6t ＋1，∵－5≤t ≤－2，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4， ∴S max ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋18＝274. B 组 高考题型专练1．(2014·高考浙江卷)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫422得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.答案：B2．(2014·高考重庆卷)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.解析：易知△ABC 是边长为2的等边三角形，故圆心C (1，a )到直线AB 的距离为3，即|a ＋a －2|a 2＋1＝3，解得a ＝4±15.经检验均符合题意，则a ＝4±15.答案：4±153．(2014·高考山东卷)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b >0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以24b 2－b 2＝23，b >0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝44．(2015·高考山东卷)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.解析：在平面直角坐标系xOy 中作出圆x 2＋y 2＝1及其切线P A ，PB ，如图所示．连接OA ，OP ，由图可得|OA |＝|OB |＝1，|OP |＝2，|P A →|＝|PB →|＝3，∠APO ＝∠BPO ＝π6，则P A →，PB →的夹角为π3，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos π3＝32. 答案：325．(2015·高考重庆卷)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．解析：由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝0。
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
≤ + ，解得−
≤≤
.
−−
+
=
+
≤ ，即
考点二 直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆 ，所以注意检验 是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(
A.
)
√
C.−
B.5
解析：选C.因为 −
+ −
D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −
+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=
+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.
高三数学一轮复习精品教案2：直线、圆与圆的位置关系教学设计
第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系考纲传真1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系： d ＜r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d ＞r ⇔相离． (2)代数法：――→ 判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧＞0⇔相交＝0⇔相切＜0⇔相离 2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1＞0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2＞0).方法 位置关系 几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况相离 d ＞r 1＋r 2 无解 外切 d ＝r 1＋r 2 一组实数解 相交 |r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2 两组不同的实数解 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解内含0≤d ＜|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解1．(人教A 版教材习题改编)直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．随a 的变化而变化『解析』 ∵直线y ＝ax ＋1恒过定点(0，1)，又点(0，1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，故直线与圆相交．『答案』 B2．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝0『解析』 圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2，0)，半径为2，点P 在圆上，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0，∴|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33. ∴切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0. 『答案』 D3．(2012·山东高考)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离『解析』 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交． 『答案』 B4．(2012·重庆高考)设A 、B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝( ) A ．1 B. 2 C.3 D ．2『解析』 由于直线y ＝x 过圆心(0，0)，所以弦长|AB |＝2R ＝2. 『答案』 D5．(2013·徐州质检)若过点A (4，0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的最小值为________．『解析』 设直线l 的方程为y ＝k (x －4)， 即kx －y －4k ＝0，当直线l 与圆相切时，k 有最大值或最小值． 由|2k －4k |k 2＋1＝1得k2＝13， ∴k ＝±33. 『答案』 －33直线与圆的位置关系在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程；(2)若圆O 上有两点M 、N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程． 『思路点拨』 (1)利用直线与圆相切，求出圆的半径，写出圆的方程．(2)设MN 的方程为2x －y ＋m ＝0，利用|MN |＝23，求m 值．『尝试解答』 (1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离， 即r ＝41＋3＝2. 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0. 则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m |5. 由垂径分弦定理得：m 25＋(3)2＝22，即m ＝± 5.所以直线MN 的方程为：2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0.,1．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．2．利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系．已知过点A (0，1)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y－3)2＝1相交于M 、N 两点．(1)求实数k 的取值范围；(2)若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值． 『解』 (1)∵直线l 过点A (0，1)且方向向量a ＝(1，k )， ∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 由|2k －3＋1|k 2＋1＜1，得4－73＜k ＜4＋73.(2)设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0， ∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1. ∴4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，∴4k （1＋k ）1＋k 2＝4，解得k ＝1.圆与圆的位置关系圆O 1的方程为：x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心坐标为(2，1)． (1)若圆O 1与圆O 2相外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2相交于A 、B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 『思路点拨』 (1)根据两圆外切求出圆O 2的半径，便可写出圆O 2的方程．(2)设出圆O 2方程，求出直线AB 的方程，根据点O 1到直线AB 的距离，列方程求解．『尝试解答』(1)∵圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，∴圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2，又|O1O2|＝（2－0）2＋（1＋1）2＝22，∴r2＝|O1O2|－r1＝22－2，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8 2.(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r22，又圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，两式相减得两圆公共弦AB所在的直线方程为：4x＋4y＋r22－8＝0，作O1H⊥AB于H，则|AH|＝12|AB|＝2，∵r1＝2，∴|O1H|＝r21－|AH|2＝2，又|O1H|＝|4×0＋4×（－1）＋r22－8|42＋42＝|r22－12|42，∴|r22－12|42＝2，得r22＝4或r22＝20，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.,1．圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系．2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项即可得到．3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．『解析』由题意⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以O1A⊥OA.又∵|OA|＝5，|O1A|＝25，∴|OO1|＝5，又A、B关于OO1对称，所以AB为Rt△OAO1斜边上高的2倍，∴|AB|＝2×5×255＝4.『答案』4圆的切线与弦长问题(1)(2012·北京高考)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．(2)(2012·江西高考)过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．『思路点拨』(1)求出圆心到直线的距离，利用“弦心距、半弦长、半径”构成直角三角形求解．或者求出直线与圆的交点，根据弦长公式求解．(2)利用数形结合、结合圆的切线的性质，分析点P满足的条件．『尝试解答』(1)法一∵x2＋(y－2)2＝4，∴圆心坐标为(0，2)．又点(0，2)到直线y－x＝0的距离为22＝2，且圆的半径为2，由“弦心距、半弦长、半径”构成直角三角形可知，弦长为24－2＝2 2.法二将y＝x代入x2＋(y－2)2＝4，解得y＝0或y＝2，故直线y＝x与圆x2＋(y－2)2＝4的两交点坐标为A(0，0)，B(2，2)．故|AB|＝2 2.(2)直线与圆的位置关系如图所示，设P(x，y)，则∠APO＝30°，且OA＝1.在直角三角形APO中，OA＝1，∠APO＝30°，则OP＝2，即x2＋y2＝4.又x＋y－22＝0，联立解得x＝y ＝2，即P (2，2)．『答案』 (1)22 (2)(2，2),1．过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法(1)几何方法：当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，由圆心到直线的距离等于半径求解．(2)代数方法：当斜率存在时，设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆方程，得一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出．2．求圆的弦长的常用方法：(1)几何法；(2)代数方法．(1)过点(2，3)且与圆(x －3)2＋y 2＝1相切的直线方程为________．(2)已知圆C 过点(1，0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．『解析』 (1)由于(2－3)2＋32＝10＞1，故点(2，3)在圆外，当斜率不存在时，直线方程x ＝2满足题意；当斜率存在时，设直线方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋3＝0.∵直线与圆相切， ∴|3k －2k ＋3|k 2＋1＝1，∴k ＝－43.∴4x ＋3y －17＝0.∴所求直线方程为x ＝2或4x ＋3y －17＝0. (2)设圆心坐标为(a ，0)(a ＞0)．由题意(|a －1|2)2＋2＝(a －1)2解得a ＝3或a ＝－1(舍)．故圆心坐标为(3，0)，又所求直线的斜率为－1，故所求直线的方程为y ＝－(x －3)， 即x ＋y －3＝0.『答案』 (1)x ＝2或4x ＋3y －17＝0 (2)x ＋y －3＝0一点建议直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的，“代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．解题时应根据具体条件选取合适的方法．两种方法计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：运用根与系数关系及弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝（1＋k2）[（x A＋x B）2－4x A x B].三个性质解决直线与圆的问题时常用到的圆的三个性质：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．从近两年的高考看，直线、圆的位置关系是高考的必考内容，特别是直线与圆的位置关系的判断或求参数的值是每年考查的重点，题型以选择题、填空题为主，属中低档题目．思想方法之十六用转化思想求参数的最大值(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k 的最大值是________．『解析』圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4，0)．由题意知(4，0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2. 整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值为43.『答案』 43易错提示：(1)理解不清题目的条件关系，无从入手．(2)不能把问题转化为圆心M (4，0)到直线y ＝kx －2的距离，探求不到d ≤2的关系． 防范措施：(1)解决直线与圆的关系问题应画出草图，数形结合帮助分析题意，找到解决问题的突破口．(2)把已知圆C 的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标，分析题目中条件的相互关系，联系相关知识点，把看似繁杂的问题转化为所熟知的点到直线的距离问题．1．(2013·西安质检)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－33，33)B ．(－33，0)∪(0，33) C ．『－33，33』 D ．(－∞，－33)∪(33，＋∞) 『解析』 曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1，曲线C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ，当m ＝0时，曲线C 2：y ＝0，此时C 1与C 2，显然只有两个交点，不合题意，故m ≠0； 当m ≠0时，要保证曲线C 1与C 2有四个不同的交点，只需直线y ＝mx ＋m 与曲线C 1有两个不同的交点即可，∴|2m |m 2＋1＜1， 即m 2＜13，又m ≠0，∴－33＜m ＜0或0＜m ＜33.『答案』 B2．(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．『解析』 由题意知A (1m ，0)，B (0，1n )，圆的半径为2，且l 与圆的相交弦长为2，则圆心到弦所在直线的距离为 3.∴1m 2＋n 2＝3⇒m2＋n 2＝13， S △AOB ＝12|1m ||1n |＝|12mn |≥1m 2＋n 2＝3，即三角形面积的最小值为3.『答案』 3。
高三数学一轮复习教案第28讲 直线、圆的位置关系
．．．．
（）若曲线 的一条切线与直线 垂直，则的方程为（）
． ． ． ．
解析：（）答案为；（）与直线 垂直的直线为 ，即 在某一点的导数为，而 ，所以 在(，)处导数为，此点的切线为 ，故选。
点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况。
命题走向
本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性质或方程知识。
预测年对本讲的考察是：
（）一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察；
（）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；
2．距离
（）两点间距离：若 ，则
特别地： 轴，则 、 轴，则 。
（）平行线间距离：若 ，则： 。注意点：，对应项系数应相等。
（）点到直线的距离： ，则到的距离为：
．直线 与圆 的位置关系有三种
（）若 ， ；
（） ；
（） 。
还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 求解，通过解的个数来判断：
（）当方程组有个公共解时（直线与圆有个交点），直线与圆相交；
点评：本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径。直线与圆相切可以有两种方式转化()几何条件：圆心到直线的距离等于半径()代数条件：直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解。
例．已知圆：（＋）＋（－）＝，直线：＝，下面四个命题：
（A）对任意实数与，直线和圆相切；
高考数学一轮复习规划8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件
围为
()
A. (－1，1]∪{－ 2}
B. {－ 2， 2}
C. [－1，1)∪{ 2}
D. (1， 2]
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
解：y＝ 1－x2表示半圆，如图所示，
第八章 平面解析几何
因为直线 y＝x＋m 与曲线 y＝ 1－x2有且只有一个公共点， ①d＝ 12＋（|m|－1）2＝1，解得 m＝ 2，m＝－ 2(舍去)； ②代入(－1，0)可得 0＝－1＋m，m＝1，代入(1，0)可得 0＝1＋m，m＝－1. 综上，结合图象可得－1≤m<1 或 m＝ 2. 故选 C.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第八章 平面解析几何
②若点 M(x0，y0)在圆外，过点 M 引圆的两条切线，切点为 M1，M2，则切点弦(两切 点的连线段)所在直线的方程分别为 x0x＋y0y＝r2； (x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2； x0x＋y0y＋D·x0＋2 x＋E·y0＋2 y＋F＝0. (2)圆 x2＋y2＝r2 的斜率为 k 的两条切线方程分别为 y＝kx±r 1＋k2. (3)过圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外一点 M(x0，y0)引圆的切线，T 为切点，切线长公式
5 (2)可知点 A(4，－1)在圆上，故其为切点. 因为 kAC＝－1－2＋41＝13，所以过切点 A(4，－1)的切线斜率为－3， 所以切线方程为 y＋1＝－3(x－4)，即 3x＋y－11＝0. 【点拨】 求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆 上，则该点为切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条.
()
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.
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第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系(1)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． (3)初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 知识点一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d ) 相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d >rd ＝rd <r易误提醒 对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k 不存在情形．必备方法 求圆的弦长的常用方法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式． |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．[自测练习]1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．与m 的取值有关解析：圆心到直线的距离d ＝|－1－m ＋1|m 2＋1＝|m |m 2＋1<1＝r ，故选A.答案：A2．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D. 2解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. 答案：D3．过点(2,3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________．解析：设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0，又直线x ＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝0 知识点二 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|) 相离外切相交内切内含图形量的关系d >r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|易误提醒 两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．[自测练习]4．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切D ．内切解析：圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径r 2＝2，故两圆的圆心距d ＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则r 2－r 1<d <r 1＋r 2，故两圆相交．答案：B考点一 直线与圆的位置关系|1．对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上三个选项均有可能解析：直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2<3，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交，故选C.答案：C2．(2015·皖南八校联考)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A.12，－4 B ．－12，4C.12，4 D ．－12，－4解析：因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，所以直线y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，2×2＋0＋b ＝0，解得k ＝12，b ＝－4.答案：A3．若直线x －my ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则m 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．±3D. 3解析：由x 2＋y 2－2x ＝0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|1－0＋1|1＋m2＝1，解得m ＝±3.答案：C判断直线与圆的位置关系常见的两种方法(1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．考点二 切线、弦长问题|(1)(2015·高考重庆卷)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝() A．2B．4 2C．6 D．210(2)(2016·太原一模)已知在圆x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．3 5 B．6 5C．415 D．215[解析](1)由题意得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，所以圆C的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，则2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB|＝6，故选C.(2)将圆的方程化为标准方程得(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心坐标为F(2，－1)，半径r＝5，如图，显然过点E的最长弦为过点E的直径，即|AC|＝25，而过点E的最短弦为垂直于EF的弦，|EF|＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，|BD|＝2r2－|EF|2＝23，∴S四边形ABCD＝12|AC|×|BD|＝215.[答案](1)C(2)D处理切线、弦长问题的策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．1．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为()A．x＋y－3＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0解析：设直线的斜率为k，又弦AB的中点为(－2,3)，所以直线l的方程为kx－y＋2k＋3＝0，由x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离为2，所以|－k －2＋2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝1，所以直线l 的方程为x －y ＋5＝0，故选C.答案：C2．(2016·云南名校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为________．解析：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过P 作圆O 的切线P A ，连接OA (图略)，易知此时|P A |的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP |＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5.又|OA |＝1，所以|P A |＝|OP |2－|OA |2＝2.答案：2考点三 圆与圆的位置关系|1．(2016·惠州调研)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析：两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．答案：B2．若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．答案：C3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝1a ，又a >0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a ＝1.答案：1求解两圆位置关系问题的两种方法(1)两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．19.直线与圆的位置关系中的易错问题【典例】 对于任意实数m ，直线l ：y ＝m (x －1)＋b 恒与圆O ：x 2＋y 2＝a 2(a >0)有两个交点，则a ，b 满足的条件是________．[易错点析] 对直线l 方程分析不彻底，盲目利用Δ法或几何法无法判断导致失误． [解析] 由题意知，①直线l 经过定点M (1，b )．又直线l 恒与圆O ：x 2＋y 2＝a 2(a >0)有两个交点，所以，②点M 在圆的内部， 所以，12＋b 2<a 2，即a 2－b 2>1. [答案] a 2－b 2>1[方法点评] 点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．点与圆的位置关系法适用于动直线问题．[跟踪练习] (2016·大连双基)圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是________．解析：法一：将直线方程代入圆方程， 得(k 2＋1)x 2＋4kx ＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k 2－12(k 2＋1)<0，解得k ∈(－3，3)． 法二：圆心(0,0)到直线y ＝kx ＋2的距离d ＝2k 2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d >1，即2k 2＋1>1，解得k ∈(－3，3)．答案：(－3，3)A 组 考点能力演练1．(2016·洛阳二练)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，若点P (x 0，y 0)在圆C 外，则直线l ：x 0x ＋y 0y ＝4与圆C 的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定解析：由题意：圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝4x 20＋y 2，∵点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4外，∴x 20＋y 20>4，∴d ＝4x 20＋y 2<2，∴直线l 与圆相交．答案：C2．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，所以它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.答案：B3．(2015·长春二模)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)B ．(－∞，－22]∪[22，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：由直线与圆相切可知 |m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2，整理得mn ＝m ＋n ＋1，由mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22可知m ＋n ＋1≤14(m ＋n )2，解得m ＋n ∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)，故选A. 答案：A4．过点(－2,3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋1＝0解析：本题考查直线与圆的位置关系．由题意得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心C (－1，2)，过圆心与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2－2－(－1)＝－1.当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0，故选A.答案：A5．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝5上的任意一点，点Q (2a ，a ＋2)，其中a ∈R ，则线段PQ 长度的最小值为( )A.55B. 5C.355D.655解析：设点Q (x ，y )，则x ＝2a ，y ＝a ＋2，∴x －2y ＋4＝0，∴点Q 在直线x －2y ＋4＝0上．由于圆心(2,0)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|2－0＋4|1＋4＝655，所以PQ 长度的最小值为d －5＝655－5＝55，故选A.答案：A6．圆x 2＋y 2＋x －2y －20＝0与圆x 2＋y 2＝25相交所得的公共弦长为________． 解析：公共弦的方程为(x 2＋y 2＋x －2y －20)－(x 2＋y 2－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x 2＋y 2＝25的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|5＝5，而半径为5，故公共弦长为252－(5)2＝4 5. 答案：4 57．(2016·泰安调研)已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________．解析：因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d为两平行直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.答案：25π8．(2016·福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A 、B 两点，则CA →·CB →的值为________．解析：依题意得，点C 的坐标为(3,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，(x －3)2＋(y －3)2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，可令A (3,5)，B (1,3)，∴CA →＝(0,2)，CB →＝(－2,0)， ∴CA →·CB →＝0. 答案：09.如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴的正半轴交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，连接AN ，BN ，求证：k AN ＋k BN 为定值．解：(1)因为圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m >0)，则圆C 的半径为m ，又|MN |＝3，所以m 2＝4＋⎝⎛⎭⎫322＝254，解得m ＝52，所以圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋(y －2)2＝254. (2)由(1)知M (1,0)，N (4,0)，当直线AB 的斜率为0时，易知k AN ＝k BN ＝0，即k AN ＋k BN＝0.当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x ＝1＋ty ，将x ＝1＋ty 代入x 2＋y 2－4＝0，并整理得，(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2tt 2＋1，y 1y 2＝－3t 2＋1，则k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝y 1ty 1－3＋y 2ty 2－3＝2ty 1y 2－3(y 1＋y 2)(ty 1－3)(ty 2－3)＝－6tt 2＋1＋6t t 2＋1(ty 1－3)(ty 2－3)＝0.综上可知，k AN ＋k BN 为定值．10．已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 截得的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方．(1)求圆M 的方程；(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值．解：(1)设圆心M (a,0)，由已知得点M 到直线l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝⎛⎭⎫322＝12，∴|8a －3|82＋62＝12.又点M 在直线l 的下方，∴8a －3>0，∴8a －3＝5，a ＝1，∴圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设直线AC 的斜率为k 1，直线BC 的斜率为k 2，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6，解得C 点的横坐标为6k 1－k 2.∵|AB |＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18|k 1－k 2|.∵圆M 与AC 相切， ∴1＝|k 1＋t |1＋k 21，∴k 1＝1－t 22t ；同理，k 2＝1－(t ＋6)22(t ＋6).∴k 1－k 2＝3(t 2＋6t ＋1)t 2＋6t， ∴S ＝6(t 2＋6t )t 2＋6t ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1t 2＋6t ＋1， ∵－5≤t ≤－2，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4，∴S max ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋18＝274. B 组 高考题型专练1．(2014·高考浙江卷)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫422得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.答案：B2．(2014·高考重庆卷)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.解析：易知△ABC 是边长为2的等边三角形，故圆心C (1，a )到直线AB 的距离为3，即|a ＋a －2|a 2＋1＝3，解得a ＝4±15.经检验均符合题意，则a ＝4±15. 答案：4±153．(2014·高考山东卷)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b >0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以24b 2－b 2＝23，b >0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y－1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝44．(2015·高考山东卷)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.解析：在平面直角坐标系xOy 中作出圆x 2＋y 2＝1及其切线P A ，PB ，如图所示．连接OA ，OP ，由图可得|OA |＝|OB |＝1，|OP |＝2，|P A →|＝|PB →|＝3，∠APO ＝∠BPO ＝π6，则P A →，PB →的夹角为π3，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos π3＝32. 答案：325．(2015·高考重庆卷)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．解析：由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝0。