江苏省2020-2021年高二下学期期末模拟考试数学试卷
(江苏专用)2020-2021学年高二数学下学期期末试卷一(教师版)
卷01-期末全真模拟卷一一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数2+i 1−i 的共轭复数是( ) A. 12−32iB. 12+32iC. −12−32iD. −12+32i 【答案】A 【解析】：2+i 1−i =(2+i )(1+i )(1−i )(1+i )=12+32i ，所以复数2+i 1−i 的共轭复数是12−32i ．故选A ．2.甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( ) A. 12种B. 24种C. 48种D. 120种【答案】B 【解析】甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有A 44A 22种排法，甲乙相邻且在两端有C 21A 33A 22种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有A 44A 22−C 21A 33A 22=24(种)，故选B ．3.已知曲线C 1:f(x)=lnx +12x 2−x +12和C 2:g(x)=−ax 2+bx +1在交点(1,f (1))处具有相同的切线方程，则ab 的值为( ) A. −1B. 0C. −6D. 6【答案】D【解答】 解：f ′(x)=1x +x −1,g ′(x)=−2ax +b ，又因为f(x)与g(x)在交点(1,f(x))处具有相同的切线方程， 所以{f(1)=g(1)f ′(1)=g′(1)，即{−a +b +1=0−2a +b =1，解得a =−2,b =−3， 所以ab =6．故选D ．4．下表是离散型随机变量X 的分布列，则常数a 的值是（ ）A ．16B ．112C ．19D ．12【答案】C【详解】 11112626a a ++++=，解得19a =. 故选：C5．下列命题错误的是A ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B ．设()20,N ξσ~，且()114P ξ<-=，则()1012P ξ<<= C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高D ．已知变量x 和y 满足关系10.1y x =-，变量y 与z 正相关，则x 与z 负相关【答案】B【详解】对于A ，根据相关系数的意义知，A 正确 对于B ，由()20,N ξσ~，知0μ=，概率密度函数的图象关于0x =对称 故()()1114P P ξξ<-==>，()()11112012P P ξξ-<<=-⨯<<= 所以()()111101112224P P ξξ<<=⋅-<<=⨯=，故B 错误 对于C ，根据残差图的意义，C 正确对于D ，变量x 和y 满足关系10.1y x =-，所以y 和x 负相关，因为y 与z 正相关，所以x 与z 负相关，故D 正确故选：B6.随机变量X 服从正态分布X ～N(10,σ2)，P(X >12)=m ，P(8≤X ≤10)=n ，则2m +1n 的最小值为( )．A. 3+4√2B. 6+2√2C. 8+2√2D. 6+4√2【答案】D【解答】∵随机变量X服从正态分布X −N(10,δ2),P(X>12)=m，P(8≤X≤10)=n，∴P(10≤X<12)=n，∴m+n=12，且m>0,n>0∴2m +1n=2(2m+1n)(m+n)，=2(3+2nm +mn)，≥2(3+2√2nm ·mn)，=2(3+2√2)，=6+4√2，当且仅当2nm =mn时，即m=2−√22,n=√2−12等号成立，∴2m +1n的最小值为6+4√2．故选D．7．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（）A．30 B．36 C．360 D．1296【答案】B【详解】由题意知：组成4位“回文数”∴当由一个数组成回文数，在6个数字中任取1个：16C种当有两组相同的数，在6个数字中任取2个：26C 种又∵在6个数字中任取2个时，前两位互换位置又可以组成另一个数∴2个数组成回文数的个数：22A 种故，在6个数字中任取2个组成回文数的个数：2262C A综上，有数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为：2262C A +16C =36故选：B8．设函数()ln f x x x =，()()f x g x x'=，给定下列命题 ①不等式()0>g x 的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； ②函数()g x 在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减； ③1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，总有()()f x g x <恒成立；④若函数2()()F x f x ax =-有两个极值点，则实数()0,1a ∈．则正确的命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【详解】函数()f x xlnx =，()1f x lnx ∴=+' 则()1lnx g x x +=，()2211lnx lnx g x x x==-'-- 对于①，()0g x >即10lnx x +>，10lnx +>，即1x e>，故正确 对于②，()2lnx g x x =-'，当()01x ∈，时()0g x '>，()g x 单调递增，故错误 对于③，当11x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，若()()f x g x <，则()())0f x g x -< 即1 0lnx xlnx x+-<，即210x lnx lnx --<， 令()21F x x lnx lnx =--，则()12F x xlnx x x '=+-，()21221F x lnx x++'=+'当11x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()0F x ''>，则()F x '单调递增 ()10110F =+-='，则()0F x '≤，()F x 单调递减22111110F e e e ⎛⎫=-+-=-< ⎪⎝⎭，故()())0f x g x -<，()()f x g x <，故正确 对于④，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()()2F x f x ax ''=-有两个零点 即120lnx ax +-=，12?lnx a x+= 令()1lnx G x x +=，()2lnx G x x =-'，()G x 在()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减 ()11G =，即()201a ∈，，102a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故错误 综上，只有①③正确故选B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省2021年高二数学第二学期期末模拟考试卷(三)
江苏省高二第二学期期末模拟考试卷（三）（考试时间120分钟满分160分）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合P={1，2，3，4}，Q={0，3，4，5}，则P∩Q=________．2．函数f（x）=+的定义域为________．3．用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1～480．按编号顺序平均分为20个组（1～24号，25～48号，…，457～480号），若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为________．4．如图所示的流程图，输入的a=2017，b=2016，则输出的b=________．5．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，3，4的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率是________．6．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[300，350）内的学生人数共有________．7．如图所示，该伪代码运行的结果为________．8．已知函数f（x）=|lgx|，若存在互不相等的实数a，b，使f（a）=f（b），则ab=________．9．若函数f（x）=x3﹣ax2+1在x=﹣4处取得极大值，则实数a的值为________．10．已知函数f（x）=，则f（log23+2016）=________．11．若不等式x2﹣2ax﹣b2+12≤0恰有一解，则ab的最大值为________．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f（x）=lnx（x≥1）的图象上的动点，该图象在P处的切线l交x轴于点M，过点P作l的垂线交x轴于点N，设线段MN的中点的横坐标为t，则t的最大值是________．13．已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是________．14．设函数f（x）=lnx+，m∈R，若对任意x2＞x1＞0，f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1恒成立，则实数m的取值范围是________．二、解答题（共6小题，满分90分）15．设关于x的不等式（x+2）（a﹣x）≥0（a∈R）的解集为M，不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集为N，且M∩N=[﹣1，2]（1）求实数a的值；（2）若在集合M∪N中任取一个实数x，求“x∈M∩N”的概率．16．函数f（x）=（a、b、c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3（1）求a、b、c的值；（2）当x＜0时，求函数f（x）的单调区间．17．启东市某中学传媒班有30名男同学，20名女同学，在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本组成课外兴趣小组．（1）求该传媒班某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，决定在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪次做实验的同学的实验更稳定？并说明理由．18．已知a为实数，函数f（x）=（x2+1）（x+a）（1）若函数f（x）在R上存在极值，求实数a的取值范围；（2）若f′（1）=0，求函数f（x）在区间[﹣1，]上的最大值和最小值；（3）若函数f（x）在区间[﹣1，]上不具有单调性，求实数a的取值范围．19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（﹣1）=0，试判断函数f（x）的零点个数；（2）是否存在实数a，b，c，使得f（x）同时满足以下条件：①对∀x∈R，f（x﹣2）=f（﹣x）；②对∀x∈R，0≤f（x）﹣x≤（x﹣1）2？如果存在，求出a，b，c的值，如果不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax3﹣x2+1（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；（2）若在区间[0，+∞）上关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．21．已知矩阵A将点（1，0）变换为（2，3），且属于特征值3的一个特征向量是，求矩阵A．22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．23．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核，若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为．（1）求小李第一次参加考核就合格的概率p1；（2）求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E（X）．24．已知函数f（x）=ln（2x+a）﹣4x2﹣2x在x=0处取得极值．（1）求实数a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）证明：对任意的正整数n，不等式2+++…+＞ln（n+1）都成立．参考答案一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合P={1，2，3，4}，Q={0，3，4，5}，则P∩Q={3，4}．【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的定义，进行计算即可．【解答】解：集合P={1，2，3，4}，Q={0，3，4，5}，所以P∩Q={3，4}．故答案为：{3，4}．2．函数f（x）=+的定义域为[﹣3，1]．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：﹣3≤x≤1，故答案为：[﹣3，1]．3．用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1～480．按编号顺序平均分为20个组（1～24号，25～48号，…，457～480号），若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为75．【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔进行求解即可．【解答】解：用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本．则样本间隔为480÷20=24，若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为3+24×3=75，故答案为：754．如图所示的流程图，输入的a=2017，b=2016，则输出的b=2017．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次计算a，b的值即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=2017，b=2016，a=2017+2016=4033b=4033﹣2016=2017输出a的值为4033，b的值为2017．故答案为：2017．5．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，3，4的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出在取到的卡片上的数字之和为偶数包含的基本事件个数，由此能求出在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率．【解答】解：在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，3，4的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，基本事件总数n==10，在取到的卡片上的数字之和为偶数包含的基本事件个数m==4，∴在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率p=．故答案为：．6．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[300，350）内的学生人数共有300．【考点】频率分布直方图．【分析】结合图形，求出成绩在[300，350）内的学生人数的频率，即可求出成绩在[300，350）内的学生人数．【解答】解：根据题意，成绩在[300，350）内的学生人数的频率为1﹣（0.001+0.001+0.004+0.005+0.003）×50=1﹣0.7=0.3，∴成绩在[300，350）内的学生人数为：1000×0.3=300；故答案为：300．7．如图所示，该伪代码运行的结果为9．【考点】伪代码．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=25时不满足条件S ≤20，退出循环，输出i的值为9．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=1满足条件S≤20，执行循环体，i=3，S=4满足条件S≤20，执行循环体，i=5，S=9满足条件S≤20，执行循环体，i=7，S=16满足条件S≤20，执行循环体，i=9，S=25此时，不满足条件S≤20，退出循环，输出i的值为9．故答案为：9．8．已知函数f（x）=|lgx|，若存在互不相等的实数a，b，使f（a）=f（b），则ab=1．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】若互不相等的实数a，b，使f（a）=f（b），则1ga=﹣lgb，结合对数的运算性质，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=|lgx|，若互不相等的实数a，b，使f（a）=f（b），则1ga=﹣lgb，即lga+lgb=lg（ab）=0，∴ab=1，故答案为：19．若函数f（x）=x3﹣ax2+1在x=﹣4处取得极大值，则实数a的值为﹣2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出a的值即可．【解答】解：f′（x）=x2﹣2ax=x（x﹣2a），令f′（x）=0，解得；x=0或x=2a，若函数f（x）=x3﹣ax2+1在x=﹣4处取得极大值，则2a=﹣4，解得：a=﹣2，故答案为：﹣2．10．已知函数f（x）=，则f（log23+2016）=．【考点】函数的值．【分析】利用分段函数及对数、指数性质及运算法则求解．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（log23+2016）=f（log23﹣1）===．故答案为：．11．若不等式x2﹣2ax﹣b2+12≤0恰有一解，则ab的最大值为6．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据题意△=0，得出a2+b2=4，利用基本不等式ab≤即可求出ab的最大值．【解答】解：不等式x2﹣2ax﹣b2+12≤0恰有一解，所以△=4a2﹣4（﹣b2+12）=4a2+4b2﹣48=0，即a2+b2=12；所以ab≤=6，当且仅当a=b=±时，“=”成立；即ab的最大值为6．故答案为：6．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f（x）=lnx（x≥1）的图象上的动点，该图象在P处的切线l交x轴于点M，过点P作l的垂线交x轴于点N，设线段MN的中点的横坐标为t，则t的最大值是．【考点】利用导数研究函数的极值；对数函数的图象与性质．【分析】由题意设点P的坐标为（m，lnm）；从而写出直线方程，从而得到M（m﹣mlnm，0），N（m+，0）；从而求得t=（2m+﹣mlnm）（m＞1）；再由导数求最值即可【解答】解：设点P的坐标为（m，lnm）；f′（m）=；则切线l的方程为y﹣lnm=（x﹣m）；l的垂线的方程为y﹣lnm=﹣m（x﹣m）；令y=0解得，M（m﹣mlnm，0），N（m+，0）；故t=（2m+﹣mlnm）（m＞1）；t′=；故t=（2m+﹣mlnm）先增后减，故最大值为（2e+﹣e）=；故答案为：13．已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是﹣2≤k＜﹣1．【考点】函数零点的判定定理．【分析】作出函数y=f（f（x））的图象，即可确定实数k的取值范围．【解答】解：由题意，x≤﹣1，f（x）=1﹣x2≤0，f（f（x））=1﹣（1﹣x2）2；﹣1＜x≤0，f（x）=1﹣x2＞0，f（f（x））=﹣2+x2；x＞0，f（x）=﹣x﹣1＜0，f（f（x））=1﹣（﹣x﹣1）2．函数y=f（f（x））的图象如图所示，∵函数y=f（f（x））﹣k有3个不同的零点，∴﹣2≤k＜﹣1．故答案为：﹣2≤k＜﹣1．14．设函数f（x）=lnx+，m∈R，若对任意x2＞x1＞0，f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1恒成立，则实数m的取值范围是[，+∞）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】问题转化为函数g（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x在（0，+∞）递减，即m≥x﹣x2在（0，+∞）恒成立，求出m的范围即可．【解答】解：若对任意x2＞x1＞0，f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1恒成立，即若对任意x2＞x1＞0，f（x2）﹣x2＜f（x1）﹣x1恒成立，即函数g（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x在（0，+∞）递减，g′（x）=≤0在（0，+∞）恒成立，即m≥x﹣x2在（0，+∞）恒成立，而x﹣x2=﹣+≤，∴m≥，故答案为：[，+∞）．二、解答题（共6小题，满分90分）15．设关于x的不等式（x+2）（a﹣x）≥0（a∈R）的解集为M，不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集为N，且M∩N=[﹣1，2]（1）求实数a的值；（2）若在集合M∪N中任取一个实数x，求“x∈M∩N”的概率．【考点】几何概型；一元二次不等式的解法．【分析】（1）根据不等式的解法先求出N，根据M∩N=[﹣1，2]，得到2是方程（x+2）（a﹣x）=0的根，进行求解即可．（2）求出集合M，以及M∪N，根据几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：（1）由x2﹣2x﹣3≤0得（x+1）（x﹣3）≤0，得﹣1≤x≤3，即N=[﹣1，3]，∵M∩N=[﹣1，2]∴2是方程（x+2）（a﹣x）=0的根，则4（a﹣2）=0，得a=2，（2）当a=2时，x+2）（a﹣x）≥0等价为x+2）（2﹣x）≥0得﹣2≤x≤2，即M=[﹣2，2]，则M∪N=[﹣2，3]，∵M∩N=[﹣1，2]∴在集合M∪N中任取一个实数x，求“x∈M∩N”的概率P==．16．函数f（x）=（a、b、c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3（1）求a、b、c的值；（2）当x＜0时，求函数f（x）的单调区间．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）由条件利用函数的奇偶性求得a、b、c的值．（2）当x＜0时，根据函数f（x）=x+的图象，利用导数求得它的单调区间．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（a、b、c∈Z）是奇函数，∴f（﹣x）==﹣f（x）=﹣，∴c=0．又∵f（1）=2，∴==2，∴a+1=2b．根据f（2）=＜3，∴a=b=1．综上可得，a=b=1，c=0．（2）当x＜0时，函数f（x）==x+，∴f′（x）=1﹣，令f′（x）=0，求得x=﹣1，在（﹣∞，﹣1）上，f′（x）＞0，函数f（x）单掉递增，在（﹣1，0）上，f′（x）＜0，函数f（x）单掉递减，故单调增区间为（﹣∞，﹣1），单调减区间为（﹣1，0）．17．启东市某中学传媒班有30名男同学，20名女同学，在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本组成课外兴趣小组．（1）求该传媒班某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，决定在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪次做实验的同学的实验更稳定？并说明理由．【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】（1）由等可能事件概率计算公式先求出该传媒班某同学被抽到的概率，由此利用分层抽样能求出课外兴趣小组中男同学的人数和课外兴趣小组中女同学的人数．（2）先求出基本事件总数，由此能求出选出的两名同学中恰有一名女同学的概率．（3）分别求出两次做实验的同学得到的实验数据的平均数和方差，由此能求出结果．【解答】解：（1）∵启东市某中学传媒班有30名男同学，20名女同学，在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本组成课外兴趣小组，∴该传媒班某同学被抽到的概率p==．课外兴趣小组中男同学的人数为：30×=3人，课外兴趣小组中女同学的人数为：20×=2人．（2）在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验，基本事件总数n=5×4=20，∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率：p==．（3）第一次做实验的同学得到的实验数据的平均数为：=（68+70+71+72+74）=71，第一次做实验的同学得到的实验数据的方差为：S2= [（68﹣71）2+（70﹣71）2+（71﹣71）2+（72﹣71）2+（74﹣71）2]=4．第二次做实验的同学得到的实验数据的平均数为：=（69+70+70+72+74）=71，第二次做实验的同学得到的实验数据的方差为：S'2= [（69﹣71）2+（70﹣71）2+（70﹣71）2+（72﹣71）2+（74﹣71）2]=．∵=，S2＜S'2，∴第二次做实验的同学的实验更稳定．18．已知a为实数，函数f（x）=（x2+1）（x+a）（1）若函数f（x）在R上存在极值，求实数a的取值范围；（2）若f′（1）=0，求函数f（x）在区间[﹣1，]上的最大值和最小值；（3）若函数f（x）在区间[﹣1，]上不具有单调性，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，得到f′（x）=0有两个不相等的实数根，根据△＞0，求出a的范围即可；（2）根据f′（1）=0，求出a，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可；（3）若函数f（x）在区间[﹣1，]上不具有单调性，得到f′（x）在[﹣1，]有解，根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）∵f（x）=（x2+1）（x+a）=x3+ax2+x+a，∴f′（x）=3x2+2ax+1，若函数f（x）在R上存在极值，则f′（x）=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12＞0，解得：a＞或a＜﹣；（2）f′（x）=3x2+2ax+1，若f′（1）=0，即3+2a+1=0，解得：a=﹣2，∴f′（x）=（3x﹣1）（x﹣1），x∈[﹣1，]时，x﹣1＜0，令f′（x）＞0，解得：x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在[﹣1，）递增，在（，]递减，∴f（x）max=f（）=，f（x）min=f（﹣1）=﹣2；（3）由（1）得：f′（x）=3x2+2ax+1，对称轴x=﹣，若函数f（x）在区间[﹣1，]上不具有单调性，则f′（x）在[﹣1，]有解，而f（0）=1＞0，∴只需或，解得：＜a＜3或a≥3，故a＞．19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（﹣1）=0，试判断函数f（x）的零点个数；（2）是否存在实数a，b，c，使得f（x）同时满足以下条件：①对∀x∈R，f（x﹣2）=f（﹣x）；②对∀x∈R，0≤f（x）﹣x≤（x﹣1）2？如果存在，求出a，b，c的值，如果不存在，请说明理由．【考点】二次函数的性质；函数零点的判定定理．【分析】（1）将x=﹣1代入得到关于a、b、c的关系式，再由△确定零点个数；（2）假设存在a，b，c∈R使得条件成立，由①可知函数f（x）的对称轴是x=﹣1，令最值为0，由此可知a=c；由②知将x=1代入可求的a、c与b的值，最后验证成立即可．【解答】解：（1）二次函数f（x）=ax2+bx+c中，f（﹣1）=0，所以a﹣b+c=0，即b=a+c；又△=b2﹣4ac=（a+c）2﹣4ac=（a﹣c）2，当a=c时△=0，函数f（x）有一个零点；当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点；（2）假设a，b，c存在，由①知抛物线的对称轴为x=﹣1，所以﹣=﹣1，即b=2a；不妨令f（x）的最值为0，则=0，即b2=4ac，所以4a2=4ac，得出a=c；由②知对∀x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤（x﹣1）2，不妨令x=1，可得0≤f（1）﹣1≤0，即f（1）﹣1=0，所以f（1）=1，即a+b+c=1；由解得a=c=，b=；当a=c=，b=时，f（x）=x2+x+=（x+1）2，其顶点为（﹣1，0）满足条件①，又f（x）﹣x=（x+1）2，所以对∀x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤（x+1）2，满足条件②．所以存在a=，b=，c=时，f（x）同时满足条件①、②．20．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax3﹣x2+1（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；（2）若在区间[0，+∞）上关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，构造函数g（x）=e x﹣ax﹣1，（x≥0），通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=（x﹣1）e x﹣x2+1，f′（x）=xe x﹣x=x（e x﹣1）≥0，x≥0时，e x﹣1≥0，x＜0时，e x﹣1＜0，∴f（x）在R递增；（2）f（x）=（x﹣1）e x﹣ax3﹣x2+1，（x≥0），f′（x）=x（e x﹣ax﹣1），令g（x）=e x﹣ax﹣1，（x≥0），g′（x）=e x﹣a，①a≤1时，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）递增，∴g（x）≥g（0）=0，即f′（x）≥0，∴f（x）≥f（0）=0，成立，②当a＞1时，存在x0∈[0，+∞），使g（x0）=0，即f′（x0）=0，当x∈[0，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）在[0，x0）上单调递减，∴f（x）＜f（0）=0，这与f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立矛盾，综上：a≤1．21．已知矩阵A将点（1，0）变换为（2，3），且属于特征值3的一个特征向量是，求矩阵A．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】先设矩阵，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量及矩阵M对应的变换将点（1，0）变换为（2，3），得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M．【解答】解：设，由得，，…由得，，所以所以．…22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：，令y=0，可得M点的坐标为（2，0）．利用|MN|≤|MC|+r即可得出．【解答】解：曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ．又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0．将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：，令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）．又曲线C的圆心坐标为（0，1），半径r=1，则，∴．23．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核，若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为．（1）求小李第一次参加考核就合格的概率p1；（2）求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意利用相互独立事件概率乘法公式能求出小李第一次参加考核就合格的概率．（2）小李4次考核每次合格的概率依次为：，由题意小李参加考核的次数X的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E （X）．【解答】解：（1）由题意得，解得或，∵他参加第一次考核合格的概率超过，即，∴小李第一次参加考核就合格的概率p1=．（2）∵小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，且小李第一次参加考核就合格的概率p1=，∴小李4次考核每次合格的概率依次为：，由题意小李参加考核的次数X的可能取值为1，2，3，4，P（X=1）=，P（X=2）=（1﹣）×=，P（X=3）=（1﹣）（1﹣）×=，P（X=4）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）×1=，∴X的分布列为：X 1 2 3 4PE（X）==．24．已知函数f（x）=ln（2x+a）﹣4x2﹣2x在x=0处取得极值．（1）求实数a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）证明：对任意的正整数n，不等式2+++…+＞ln（n+1）都成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）函数f（x）=ln（2x+a）﹣4x2﹣2x，对其进行求导，在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，求得a值，求出f（x）的表达式，从而求出函数的单调区间即可；（2）f（x）=ln（2x+1）﹣4x2﹣2x的定义域为{x|x＞﹣1}，利用导数研究其单调性，可以推出ln（x+1）﹣x2﹣x≤0，令x=，可以得到ln（+1）＜+，利用此不等式进行放缩证明．【解答】解：（1）函数f（x）=ln（2x+a）﹣4x2﹣2xf′（x）=2（﹣2x﹣1），当x=0时，f（x）取得极值，∴f′（0）=0故﹣2×0﹣1=0，解得a=1，经检验a=1符合题意，则实数a的值为1，∴f（x）=ln（2x+1）﹣4x2﹣2x，（x＞﹣），f′（x）=2（﹣2x﹣1）=，令f′（x）＞0，解得：﹣＜x＜0，令f′（x）＜0，解得：x＞0，∴f（x）在（﹣，0）递增，在（0，+∞）递减；（2）f（x）的定义域为{x|x＞﹣}，由（1）得：f（x）在（﹣，0）递增，在（0，+∞）递减，∴f（x）≤f（0），故ln（2x+1）﹣4x2﹣2x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）对任意正整数n，取2x=＞0得，ln（+1）＜+，∴ln（）＜，故2+++…+＞ln2+ln+ln+…+ln=ln（n+1）．。
江苏省2021年高二数学第二学期期末模拟考试卷(二)
江苏省高二第二学期期末模拟考试卷（二）（理科）（考试时间120分钟满分160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．1．设复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|（i为虚数单位），则z的虚部为．2．设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=．3．如图是一个算法流程图，则输出的k值为．4．函数f（x）=的定义域为．5．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有根在棉花纤维的长度小于20mm．6．盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．7．已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ≤π）的图象有一个横坐标为的交点，则常数φ的值为．8．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率e=．9．若sin（﹣θ）=，则cos（+2θ）的值为．10．函数f（x）=sinx﹣cosx（﹣π≤x≤0）的单调增区间是．11．设函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是．12．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈（m，m+1），都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．13．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是．14．在钝角△ABC中，已知sin2A+sin2A=1，则sinB•cosC取得最小值时，角B等于．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案写在答卷纸相应位置上．15．已知集合A={x|x2﹣3x+2＞0}，B={x|x2﹣（a+1）x+a≤0，a＞1}．（1）求集合A，B；（2）若（∁R A）∪B=B，求实数a的取值范围．16．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，b=2，B=2A．（1）求cosA的值；（2）求c的值．17．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为，求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（﹣1，1）处的切线方程；（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2的解集为P，且（0，+∞）⊆P，求实数a的取值范围．18．已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与椭圆的右准线l有公共点时，求△MF1F2面积的最大值．20．已知α为实数，函致f（x）=alnx+x2﹣4x．（1）是否存在实数α，使得f（x）在x=1处取极值？证明你的结论；（2）若函数f（x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数α的取值范围；（3）设g（x）=2alnx+x2﹣5x﹣，若存在x0∈[l，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．Ⅱ卷21．已知直线l：x+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l'：x﹣y=1，求矩阵A．22．已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为．（1）将曲线C的方程化成直角坐标方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长．23．已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球．若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖．每次摸球结束后将球放回原箱中．（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若连续摸奖2次，求获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．24．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA l=AB=2AD=2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F=2FE．（l）证明：平面DFC⊥平面D1EC；（2）求二面角A﹣DF﹣C的大小．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．1．设复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|（i为虚数单位），则z的虚部为．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】由复数的模长和运算法则化简，由复数的基本概念可得虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴（3﹣4i）z==5，∴z====+i，∴z的虚部为：，故答案为：．2．设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=1．【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的概念，知道元素3在集合B中，进而求a即可．【解答】解：∵A∩B={3}∴3∈B，又∵a2+4≠3∴a+2=3 即a=1故答案为13．如图是一个算法流程图，则输出的k值为5．【考点】程序框图．【分析】执行程序流程，依次写出每次循环得到的K的值，当K=5时，满足条件K2﹣5K+4＞0，退出循环，输出K的值为5．【解答】解：执行程序流程，有K=1不满足条件K2﹣5K+4＞0，K=2不满足条件K2﹣5K+4＞0，K=3不满足条件K2﹣5K+4＞0，K=4不满足条件K2﹣5K+4＞0，K=5满足条件K2﹣5K+4＞0，退出循环，输出K的值为5．故答案为：5．4．函数f（x）=的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由对数式的真数大于0，分式中的分母不等于0，联立不等式组求解即可得答案．【解答】解：由，解得：x＞﹣1且x≠1．∴函数f（x）=的定义域为：（﹣1，1）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣1，1）∪（1，+∞）．5．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有30根在棉花纤维的长度小于20mm．【考点】频率分布直方图．【分析】由图分析可得：易得棉花纤维的长度小于20mm段的频率，根据频率与频数的关系可得频数．【解答】解：由图可知，棉花纤维的长度小于20mm段的频率为0.01+0.01+0.04，则频数为100×（0.01+0.01+0.04）×5=30．故填：30．6．盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】算出基本事件的总个数n=C42=6，再算出事件A中包含的基本事件的个数m=C31=3，算出事件A的概率，即P（A）=即可．【解答】解：考查古典概型知识．∵总个数n=C42=6，∵事件A中包含的基本事件的个数m=C31=3∴故填：．7．已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ≤π）的图象有一个横坐标为的交点，则常数φ的值为．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得sin（+φ）=cos=．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴sin（+φ）=cos=．∵0≤φ≤π，∴≤+φ≤，∴+φ=，解得φ=．故答案为：．8．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率e=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程得y=即M（c，）在△MF1F2中tan30°=即解得故答案为：9．若sin（﹣θ）=，则cos（+2θ）的值为﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】首先运用的诱导公式，再由二倍角的余弦公式：cos2α=2cos2α﹣1，即可得到．【解答】解：由于sin（﹣θ）=，则cos（+θ）=sin（﹣θ）=，则有cos（+2θ）=cos2（+θ）=2cos2（+θ）﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故答案为：﹣．10．函数f（x）=sinx﹣cosx（﹣π≤x≤0）的单调增区间是[﹣，0]．【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用两角差的正弦公式，正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣）（﹣π≤x≤0），令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，可得函数的增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．再结合﹣π≤x≤0，可得函数的单调增区间为[﹣，0]，故答案为：[﹣，0]．11．设函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是{x|﹣3＜x＜1或x＞3} ．【考点】分段函数的应用．【分析】先求出f（1）的值，再利用分段函数解不等式即可．【解答】解：∵f（1）=3当x＜0时，令x+6＞3有x＞﹣3，又∵x＜0，∴﹣3＜x＜0，当x≥0时，令x2﹣4x+6＞3，∴x＞3或x＜1，∵x≥0，∴x＞3或0≤x＜1，综上不等式的解集为：{x|﹣3＜x＜1或x＞3}；故答案为：{x|﹣3＜x＜1或x＞3}．12．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈（m，m+1），都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是[﹣，0]．【考点】二次函数的性质．【分析】由题意得到关于m的不等式组，求解不等式组得答案．【解答】解：∵函数f（x）=x2+mx﹣1的图象是开口向上的抛物线，∴要使对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则，解得：﹣≤m≤0．故答案为：13．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知．故答案为：（0，）．14．在钝角△ABC中，已知sin2A+sin2A=1，则sinB•cosC取得最小值时，角B等于．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（2A﹣）=，由A ∈（0，π），可得：2A﹣∈（﹣，），从而可求A的值，又sinB•cosC=﹣sin（2B+），由题意可得sin（2B+）=1，解得B=kπ+，k∈Z，结合范围B∈（0，π），从而可求B的值．【解答】解：∵sin2A+sin2A=1，可得： +sin2A=1，整理可得：sin2A ﹣cos2A=1，∴（sin2A﹣cos2A）=1，可得：sin（2A﹣）=1，∴解得：sin（2A﹣）=，∵A∈（0，π），可得：2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，或，从而解得解得：A=或（由题意舍去），∴sinB•cosC=sinBcos（﹣B）=sinB（﹣cosB+sinB）=﹣cos2B﹣sin2B=﹣sin（2B+），∴当sin（2B+）=1时，sinB•cosC=﹣sin（2B+）取得最小值，此时，2B+=2kπ+，k∈Z，∴解得：B=kπ+，k∈Z，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案写在答卷纸相应位置上．15．已知集合A={x|x2﹣3x+2＞0}，B={x|x2﹣（a+1）x+a≤0，a＞1}．（1）求集合A，B；（2）若（∁R A）∪B=B，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；一元二次不等式的解法．【分析】（1）A、B都是不等式的解集，分别解一元二次不等式可得A、B，由不等式的解法，容易解得A、B；（2）因为（∁R A）∪B=B，可知C R A⊆B，求出C R A，再根据子集的性质进行求解；【解答】解：（1）A=（﹣∞，1）∪（2，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x2﹣（a+1）x+a≤0，（x﹣1）（x﹣a）≤0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵a＞1∴1≤x≤a∴B=[1，a]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）C R A=[1，2]∵（C R A）∪B=B∴C R A⊆B，即[1，2]⊆[1，a]∴a≥2，即所求实数a的取值范围为[2，+∞）．16．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，b=2，B=2A．（1）求cosA的值；（2）求c的值．【考点】余弦定理．【分析】（1）依题意，利用正弦定理=及二倍角的正弦即可求得cosA的值；（2）易求sinA=，sinB=，从而利用两角和的正弦可求得sin（A+B）=，在△ABC中，此即sinC的值，利用正弦定理可求得c的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，a=3，b=2，B=2A，∴由正弦定理得：=，即=，∴cosA=；（2）由（1）知cosA=，A∈（0，π），∴sinA=，又B=2A，∴cosB=cos2A=2cos2A﹣1=，B∈（0，π），∴sinB=，在△ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，∴c===5．17．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为，求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（﹣1，1）处的切线方程；（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2的解集为P，且（0，+∞）⊆P，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）由函数是单调递减函数得g'（x）＜0的解集为（﹣，1）即g'（x）=0方程的两个解是﹣，1将两个解代入到方程中求出a的值可得到g（x）的解析式；（Ⅱ）由g'（﹣1）=4得到直线的斜率，直线过（﹣1，1），则写出直线方程即可；（Ⅲ）把f（x）和g'（x）代入到不等式中解出a≥lnx﹣x﹣，设h（x）=lnx﹣﹣，利用导数讨论函数的增减性求出h（x）的最大值即可得到a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）g'（x）=3x2+2ax﹣1，由题意3x2+2ax﹣1＜0的解集是（﹣，1）即3x2+2ax﹣1=0的两根分别是﹣，1将x=1或﹣代入方程3x2+2ax﹣1=0得a=﹣1．∴g（x）=x3﹣x2﹣x+2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：g'（x）=3x2﹣2x﹣1，∴g'（﹣1）=4，∴点P（﹣1，1）处的切线斜率k=g'（﹣1）=4，∴函数y=g（x）的图象在点P（﹣1，1）处的切线方程为：y﹣1=4（x+1），即4x﹣y+5=0．（Ⅲ）∵（0，+∞）⊆P，∴2f（x）≤g'（x）+2即：2xlnx≤3x2+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立可得a≥lnx﹣x﹣对x∈（0，+∞）上恒成立．设h（x）=lnx﹣﹣，则h′（x）=﹣+=﹣令h′（x）=0，得x=1，x=﹣（舍）当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2．∴a≥﹣2，∴a的取值范围是[﹣2，+∞）18．已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．【解答】解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得当0＜x≤40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=﹣6x2+384x﹣40；当x＞40时，W=xR（x）﹣（16x+40）=∴W=；（2）当0＜x≤40时，W=﹣6x2+384x﹣40=﹣6（x﹣32）2+6104，∴x=32时，W max=W （32）=6104；当x＞40时，W=≤﹣2+7360，当且仅当，即x=50时，W max=W（50）=5760∵6104＞5760∴x=32时，W的最大值为6104万美元．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与椭圆的右准线l有公共点时，求△MF1F2面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据焦距为2求出c的值，再由离心率为可求出a的值，进而得到b的值，则椭圆方程可求；（2）先设M的坐标为（x0，y0）根据题意满足，再表示出直线l的方程，由圆M与l有公共点可得到M到l的距离4﹣x0小于或等于圆的半径R，整理可得到关系y02+10x0﹣15≥0，再由消去y0，求出x0的取值范围，写出△MF1F2面积后即可求出最大值．【解答】解：（1）∵2c=2，且，∴c=1，a=2，∴b2=a2﹣c2=3．则椭圆C的方程为；（2）设点M的坐标为（x0，y0），则．∵F1（﹣1，0），，∴直线l的方程为x=4．由于圆M与l有公共点，∴M到l的距离4﹣x0小于或等于圆的半径R．∵R2=MF12=（x0+1）2+y02，∴（4﹣x0）2≤（x0+1）2+y02，即y02+10x0﹣15≥0．又，∴3﹣+10x0﹣15≥0．解得：，又，∴，当时，，∴×2×=．20．已知α为实数，函致f（x）=alnx+x2﹣4x．（1）是否存在实数α，使得f（x）在x=1处取极值？证明你的结论；（2）若函数f（x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数α的取值范围；（3）设g（x）=2alnx+x2﹣5x﹣，若存在x0∈[l，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）假设存在实数a，使f （x）在x=1处取极值，则f′（1）=0，解出a的值，根据x=1的左右均为增函数，则x=1不是极值点．（2）先对f（x）进行求导，在[2，3]上单调增，则f'（x）≥0在[2，3]上恒成立．求得a的取值范围．（3）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0，即函数h（x）在[1，e]上的最小值小于零．对h（x）求导．求出h （x）的最小值即可．【解答】解：（1）∵f（x）=alnx+x2﹣4x，x＞0，∴f′（x）=+2x﹣4，∵f′（1）=0，∴a+2﹣4=0，解得a=2，此时，f′（x）=，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f （x）递增；当x＞1时，f′（x）＞0，f （x）递增．∴x=1不是f （x）的极值点．故不存在实数a，使得f （x）在x=1处取极值．（2）∵函数f（x）在[2，3]上存在单调递增区间，∴f′（x）=+2x﹣4==，①当a≥2时，∴f′（x）≥0，∴f （x）在（0，+∞）上递增，成立；②当a＜2时，令f′（x）＞0，则x＞1+或x＜1﹣，∴f （x）在（1+，+∞）上递增，∵f （x）在[2，3]上存在单调递增区间，∴1+＜3，解得：﹣6＜a＜2综上，a＞﹣6．（3）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0，即函数h（x）=x+﹣alnx在[1，e]上的最小值小于零．∴h′（x）=1﹣﹣==，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，所以h（x）的最小值为h（e），由h（e）=e+﹣a＜0，可得a＞，因为＞e﹣1，所以a＞，②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜﹣2；③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，可得h（x）最小值为h（1+a）=2+a﹣aln（1+a），因为0＜ln（1+a）＜1，所以，0＜aln（1+a）＜a故h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）＜0成立．综上可得所求a的范围是：a＞或a＜﹣2．Ⅱ卷21．已知直线l：x+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l'：x﹣y=1，求矩阵A．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设直线l：x+y=1上任意一点M（x，y）在矩阵A的变换作用下，变换为点M′（x′，y′），根据矩阵A列出关系式，得到x与x′，y与y′的关系式，再由M′（x′，y′）在直线l'上，求出m与n的值，即可确定出矩阵A．【解答】解：设直线l：x+y=1上任意一点M（x，y）在矩阵A的变换作用下，变换为点M′（x′，y′），由[]=[][]=[]，得，又点M′（x′，y′）在l′：x﹣y=1上，∴x′﹣y′=1，即（mx+ny）﹣y=1，依题意，解得：，则矩阵A=[]．22．已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为．（1）将曲线C的方程化成直角坐标方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的化公式即可得出；（2）利用点到直线的距离公式和弦长公式l=2即可得出．【解答】解：（1）把展开得，化为ρ=cosθ﹣sinθ，∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，∴x2+y2=x﹣y，即x2+y2﹣x+y=0，（2）把消去t化为普通方程为4x+3y﹣1=0，由圆的方程，可得圆心C，半径r=．∴圆心到直线的距离d==，∴弦长为═2=．23．已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球．若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖．每次摸球结束后将球放回原箱中．（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若连续摸奖2次，求获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A，利用互斥事件概率计算公式能求出在1次摸奖中，获得二等奖的概率．（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B，先求出P（B），由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A，则P（A）==．…（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B，则获得一等奖的概率为=，获得三等奖的概率为P3==，所以P（B）==．…由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．P（X=0）=（1﹣）2=，P（X=1）==，P（X=2）=（）2=．所以X的分布列是X 0 1 2P所以E（X）=0×+2×=．…24．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA l=AB=2AD=2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F=2FE．（l）证明：平面DFC⊥平面D1EC；（2）求二面角A﹣DF﹣C的大小．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法能证明平面DFC⊥平面D1EC．（2）求出平面ADF的法向量和平面ADF的一个法向量，利用向量法能求出二面角A ﹣DF﹣C的大小．【解答】证明：（1）以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2）．∵E为AB的中点，∴E点坐标为E（1，1，0），∵D1F=2FE，∴，…设=（x，y，z）是平面DFC的法向量，则，∴取x=1得平面FDC的一个法向量=（1，0，﹣1），…设=（x，y，z）是平面ED1C的法向量，则，∴，取y=1得平面D1EC的一个法向量=（1，1，1），…∵•=（1，0，﹣1）•（1，1，1）=0，∴平面DFC⊥平面D1EC．…（2）设=（x，y，z）是平面ADF的法向量，则，∴，取y=1得平面ADF的一个法向量=（0，1，﹣1），…设二面角A﹣DF﹣C的平面角为θ，由题中条件可知，则cosθ=﹣=﹣，…∴二面角A﹣DF﹣C的大小为120°．…。
2020-2021学年江苏省苏州市高二(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若函数f(x)={√x,0≤x<2f(x−2),x>2，则f(94)=()A. 14B. 12C. √22D. 322.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=mk(k=1,2，3，4，5)，则实数m=()A. 15B. 110C. 115D. 1203.在气象学中，通常把某时段内降雨量的平均变化率称为该时段内的降雨强度，它是反映降雨大小的一个重要指标．如表为一次降雨过程中记录的降雨量数据．则下列四个时段降雨强度最小的是()A. 0min到10minB. 10min到30minC. 30min到50minD. 50min到60min4.当前新冠病毒肆虐，已经成为全球性威胁．为了检测某种新冠病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下2×2列联表：则下列说法一定正确的是()附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(其中n=a+b+c+d)．临界值表：A. 有95%的把握认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗有关”B. 有95%的把握认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗无关”C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗有关”D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗无关”5. 计算：C 61+2C 62+3C 63+4C 64+5C 65=( )A. 180B. 186C. 188D. 1926. 若函数f(x)=lg(x 2−4x −5)在(t,t +1)上单调，则实数t 的取值范围是( )A. (−∞,1)∪(2,+∞)B. (−∞,−2)∪(5,+∞)C. (−∞,1]∪[2,+∞)D. (−∞,−2]∪[5,+∞)7. 已知正实数a ，b 满足a +2b +log 2a +log 22b =0，若b2a +a4b ≥mab 恒成立，则正整数m 的最大值是( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知函数f(x)=(x +1)sinx +cosx ，若存在x 1，x 2∈[0,π2](x 1≠x 2)，使得|f(x 1)−f(x 2)|=a|e x 1−e x 2|成立，则实数a 的取值范围是( )A. (0,12)B. (12,1)C. (0,1)D. [0,1]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 若a >b >1，0<c <1，则( )A. a b >a cB. log b c <log a cC. a c <b cD. a a−c >bb−c10. 一个口袋内装有大小相同的3个红球和n(n ∈N ∗)个白球，从口袋中一次摸出2个球，若“摸到1个红球和1个白球”的概率不小于35，则n 的值可能是( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 若(2x +1)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10，则( )A. a 0=1B. a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=310−12C. a 1+2a 2+⋯+10a 10=10×39D. a 7为a 0，a 1，a 2，…，a 10中最大的数12. 设函数f(x)={2x −a,0≤x <e b −xlnx,x ≥e，其中a ，b ∈R.现有甲、乙、丙、丁四个结论：甲：e 2是函数f(x)的零点； 乙：e 是函数f(x)的零点； 丙：函数f(x)的零点之积为0；丁：函数g(x)=f(x)−12有两个零点．若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则下列说法中正确的有( )A. 甲和乙不能同时成立B. 乙和丁可以同时成立C. 若甲和丙是正确的，则乙是错误的，丁是正确的D. 若丙和丁是正确的，则甲一定是正确的，乙一定是错误的三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)在R 上可导，且f(x)⋅f′(x)>0.写出满足上述条件的一个函数：______． 14. 小明登录网上银行的时候，忘记了登录密码的后两位，只记得其中某一位是C ，X ，M 中的一个字母，另一位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小明输入一次密码能够登录成功的概率是______． 15. 已知曲线y =1−x x在点M(x 1,y 1)处的切线为l ，l 与x 轴的交点为(x 2,0)，当0<x 1<2时，x 1x 2的最大值为______．16. 假期里有5名同学分别被分配到甲、乙、丙三个社区做防疫志愿者，共有______种不同的分配方法；若要求每个社区至少分配一名同学，且A 同学必须被分配到社区甲，则共有______种不同的分配方法． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知(x +ay)n 的展开式中含x 2y 项的系数为6．(1)求a 的值；(2)若x >0，y >0，展开式中首末两项的积为1，求中间两项和的最小值．18. 给出下列三个条件：①周期为1的函数；②奇函数；③偶函数．请逐一判断并筛选出符合题意的一个条件(均需说明理由)，补充在下面的问题中，并求解． 已知函数f(x)=m⋅2x +1−m x(2x −1)(m ∈R)是_______．(1)求m 的值；(2)求不等式f(x)<32x 的解集．19. 甲、乙两名选手进行围棋比赛，总奖金为W 元，比赛规则为先胜3局者赢得比赛．已知每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，且每局比赛相互独立． (1)求比赛刚好在第4局结束的概率；(2)若前两局双方各胜一局后，比赛因故终止，主办方决定，总奖金W 元按照后续比赛正常进行时甲乙双方赢得比赛的概率之比进行分配，求甲、乙各自获得的奖金数额．20. 在一次考试中，为了对学生的数学、物理成绩的相关性进行分析，现随机抽取10位同学的成绩，对应如表：(1)根据表中数据分析：是否有95%的把握认为变量x 与y 具有线性相关关系？若有，请根据这10组数据建立关于x 的回归直线方程(b ̂精确到0.01)；(2)已知参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布N(μ,σ2)，用样本平均值作为μ的估计值，用样本标准差作为σ的估计值，估计物理成绩不低于61.5分的人数Y 的数学期望． 参考数据：参考公式：①对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，…，(u n ,v n )， 样本相关系数r =i n i=1i −−√(∑u i i=1−n(u −)2)(∑v i i=1−n(v −)2)，当n −2=8时，r 0.05=0.632，其回归直线v ̂=a ̂+b ̂u 的斜率为b ̂=∑u i ni=1v i −nu −v −∑u i 2n i=1−n(u −)2． ②对于一组数据：u 1，u 2，…，u n ，其方差s 2=1n ∑(n i=1u i −u −)2=1n ∑u i 2n i=1−(u −)2．③若随机变量ξ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)≈0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)≈0.9544，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)≈0.9974．21. 对于函数y =f(x)，若在定义域内存在实数x ，使得f(x 0+k)=f(x 0)+f(k)成立，其中k 为大于0的常数，则称点(x 0,k)为函数f(x)的k 级“平移点”．(1)试判断函数g(x)=log 2x 是否存在“平移点”？若存在，请求出平移点的坐标；若不存在，请说明理由；(2)若函数ℎ(x)=ax 2+(2−a)log 2x 在[1,+∞)上存在1级“平移点”，求实数a 的取值范围．−4x−(a−1)lnx的导函数f′(x)与函数g(x)=x2+ax−3有22.已知函数f(x)=x22且仅有一个相同零点．(1)求实数a的值；(2)若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)有两个不同的零点x1，x2，求证：|g(x1)−g(x2)|<1．答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f(x)={√x,0≤x <2f(x −2),x >2，则f(94)=f(94−2)=f(14)=√14=12，故选：B ．根据题意，由函数的解析式可得f(94)=f(94−2)=f(14)，计算可得答案． 本题考查函数值的计算，涉及函数的解析式，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=mk(k =1,2，3，4，5)， ∴m +2m +3m +4m +5m =1， 解得实数m =115． 故选：C ．由随机变量ξ的分布列的性质得：m +2m +3m +4m +5m =1，由此能求出实数m ． 本题考查实数值的求法，考查离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：0min 到10min 的降雨强度为6−010−0=35； 10min 到30min 的降雨强度为18−630−10=35；30min 到50min 的降雨强度为23−1850−30=14； 50min 到60min 的降雨强度为24−2360−50=110．因为110<14<35，所以四个时段中50min 到60min 的降雨强度最小． 故选：D ．结合题意计算各个时间段的降雨强度，再比较大小即可．本题考查了平均变化率，考查的核心素养为数学建模，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由列联表中数据，计算K 2=100×(300−800)230×70×50×50=10021≈4.762，且3.841<4.762<5.024，所以有95%的把握认为“小白鼠有无被感染与是否注射疫苗有关”． 故选：A ．由列联表中数据计算K 2的观测值，对照临界值得出结论．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了数据分析与应用问题，是基础题．5.【答案】B【解析】解：∵mC n m =nC n−1m−1， ∴C 61+2C 62+3C 63+4C 64+5C 65=6C 50+6C 51+6C 52+6C 53+6C 54=6⋅(C 50+C 51+C 52+C 53+C 54)=6×31=186，故选：B ．由公式mC n m =nC n−1m−1化简C 61+2C 62+3C 63+4C 64+5C 65=6C 50+6C 51+6C 52+6C 53+6C 54，从而求得．本题考查了组合数公式的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：∵函数f(x)=lg(x 2−4x −5)在(t,t +1)上单调， ∴函数t =x 2−4x −5=(x −5)(x +1)在(t,t +1)上单调，且大于零， 由于二次函数t 的图象开口向上，对称轴为x =2， ∴t ≥5，或 t +1≤−1，求得t ≥5，或t ≤−2， 故选：D ．由题意利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，求得m 的范围． 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：∵正实数a，b满足a+2b+log2a+log22b=0，∴log2(2ab)=−(a+2b)，则2ab=2−(a+2b)，即12ab=2a+2b，又b2a +a4b≥mab恒成立，∴b⋅22b+a⋅2a≥m2，又b⋅22b+a⋅2a≥2√ab⋅2a+2b=2√ab⋅12ab=√2，∴m2≤√2，解得m≤2√2，∵m取正整数，∴正整数m的最大值为2．故选：B．依题意可得12ab =2a+2b，由基本不等式可得b⋅22b+a⋅2a≥√2，根据b2a+a4b≥mab恒成立，可得b⋅22b+a⋅2a≥m2，进而得到m≤2√2，由此得解．本题考查不等式的恒成立问题，涉及了基本不等式的运用，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：f′(x)=sinx+(x+1)cosx−sinx=(x+1)cosx，显然x∈[0,π2]时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)单调递增，不妨设x1<x2，则f(x1)<f(x2)，又e x1<e x2，所以|f(x1)−f(x2)|=a|e x1−e x2|等价于f(x2)−f(x1)=ae x2−ae x1，即f(x1)−ae x1=f(x2)−ae x2，设ℎ(x)=f(x)−ae x=(x+1)sinx+cosx−ae x，x∈[0,π2]，则只需求出ℎ(x)不单调时，a的取值范围即可．先研究ℎ(x)单调时，a的取值范围，当函数ℎ(x)在[0,π2]上为减函数，所以ℎ′(x)=(x+1)cosx−ae x≤0在[0,π2]上恒成立，设g(x)=(x+1)cosxe x ，x∈[0,π2]，则g′(x)=[cosx−(x+1)sinx]e x−(x+1)cosx⋅e x(e x)2=−xsinx−sinx−xcosxe x≤0，所以函数g(x)在[0,π2]上为减函数，则g(x)max=g(0)=1，所以a≥1，当函数ℎ(x)在[0,π2]上为增函数，所以ℎ′(x)=(x+1)cosx−ae x≥0在[0,π2]上恒成立，设g(x)=(x+1)cosxe x ，x∈[0,π2]，则g′(x)=[cosx−(x+1)sinx]e x−(x+1)cosx⋅e x(e x)2=−xsinx−sinx−xcosxe x≤0，所以函数g(x)在[0,π2]上为减函数，则g(x)max=g(π2)=0，所以a≤0，所以当ℎ(x)单调时，a的取值范围为a≤0或a≥1，所以当ℎ(x)不单调时，a的取值范围为0<a<1，所以实数a的取值范围为(0,1)．故选：C．根据题意可得问题等价于f(x2)−f(x1)=ae x2−ae x1，设ℎ(x)=f(x)−ae x，先求出ℎ(x)的单调性时a的取值范围，再得到ℎ(x)不单调时a的范围即可．本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．9.【答案】AB【解析】解：令y=a x，∵a>1，∴y=a x在R上单调递增，又∵b>c，∴a b>a c，故A选项正确，由换底公式可得，log b c=log a clog a b，∵a>b>1，∴0<log a b<1，又∵0<c<1，∴log b c<0，log a c<0，∴log b c<log a c，故B选项正确，令y =x c ， ∵0<c <1，∴y =x c 在R 上单调递增， ∵a >b >1，∴a c >b c ，故C 选项错误， ∵a >b >1，0<c <1，∴b −a <0，a −c >0，b −c >0， ∴aa−c −bb−c =a(b−c)−b(a−c)(a−c)(b−c)=(b−a)c(a−c)(b−c)<0，∴a a−c <b b−c，故D 选项错误．故选：AB ．对于AC 选项，分别设出指数函数和幂函数，即可求解，对于B 选项，结合换底公式，即可求解，对于D 选项，两式做差，即可比较．本题考查了指数函数，幂函数的性质，以及换底公式，需要学生较强的综合能力，属于中档题．10.【答案】BC【解析】解：∵基本事件总数为C n+32=(n+3)(n+2)2，摸到1个红球和1个白球的基本事件数C 31⋅C n 1=3n ，∴摸到1个红球和1个白球的概率为C n+32C 31⋅C n1=6n (n+3)(n+2)≥35， ∴n 2−5n +6≤0，∴2≤n ≤3， ∵n ∈N ∗，∴n =2或n =3． 故选：BC ．先求出基本事件总数和摸到1个红球和1个白球的基本事件数，再利用古典概型的概率公式即可求解．本题考查概率的求法，考查古典概型，排列组合等基础知识，是基础题．11.【答案】ABD【解析】解：令x =0，得a 0=1，所以A 选项正确； 令x =1，得 a 0+a 1+a 2+a 3+⋯+a 10=310①，令x =−1，得a 0−a 1+a 2−a 3+⋯+a 10=1 ②， 两式相减得a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=310−12，所以B 选项正确；原式两边求导，得20(2x +1)9=a 1+2a 2x +3a 3x 2+⋯+10a 10x 9， 令x =1，得a 1+2a 2+3a 3+⋯+10a 10=20⋅39，所以C 选项错误．根据二项式展开式得a k =C 10k 2k,k =0,1,2,⋯,10，由{a k ≤a k+1a k+1≥a k+2，解得163≤ k ≤193，所以取k =6，即a 7为系数的最大项，所以D 选项正确． 故选：ABD ．令x =0，可判断A ；令x =1，x =−1，可判断B ；原式求导，构造出C 选项式子，令x =1可判断；D 选项通过不等式组{a k ≤ak+1a k+1≥a k+2的解判断． 本题考查了二项式定理在二项展开式中系数和及系数的最大项的应用，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：当x ∈[0,e)时，f(x)=2x −a 为增函数， 当x ∈[e,+∞)时，f(x)=b −xlnx ， f′(x)=−lnx −x ⋅1x =−lnx −1≤−2， 所以f(x)在[e,+∞)上单调递减， 所以e 2和e 只有一个是函数的零点， 因为四个结论中有且只有一个结论错误，所以甲乙中有一个结论错误，一个结论正确，而丙丁均正确， 丙正确，函数f(x)的零点之积为0，则必有一个零点为0， 所以f(0)=20−a =0，解得a =1，若乙正确，那么f(e)=b −elne =0，解得b =e ， 所以f(x)={2x −1,0≤x <ee −xlnx,x ≥e，当x ≥e 时，f(x)max =f(e)=e −elne =0， 所以f(x)=12只有一个根，此时丁错误，与上面矛盾， 所以甲正确． 所以甲丙丁正确， 故选：ACD ．由已知函数的单调性判断甲，乙中有一个错误，假设乙正确，结合丙正确，解得a，b 的值，得到函数解析式，再说明丁正确，则可得出答案．本题考查分段函数，解题中需要一定的逻辑推理能力，属于中档题．13.【答案】f(x)=e x，(答案不唯一)【解析】解：根据题意，函数f(x)在R上可导，且f(x)⋅f′(x)>0．可以考查指数函数，如f(x)=e x，其导数f′(x)=e x，满足f(x)⋅f′(x)>0．故答案为：f(x)=e x，(答案不唯一)．根据题意，由导数的计算公式分析，可得答案．本题考查导数的计算，注意常见函数的导数，属于基础题．14.【答案】115【解析】解：∵忘记了登录密码的后两位，只记得其中某一位是C，X，M中的一个字母，另一位是1，2，3，4，5中的一个数字，则基本事件总数n=3×5=15，∴小明输入一次密码能够成功登录的概率是p=115．故答案为：115．先求出基本事件总数n=5×3=15，由此能求出小明输入一次密码能够成功登录的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．15.【答案】3227【解析】解：∵y=1−xx =1x−1，∴y′=−1x2，∴曲线y=1−xx 在点M(x1,y1)处的切线l的方程为y−(1x1−1)=−1x12(x−x1)，令y =0，得x =2x 1−x 12，即x 2=2x 1−x 12， ∴x 1x 2=2x 12−x 13(0<x 1<2)，令g(x)=2x 2−x 3(0<x <2)， 则g′(x)=4x −3x 2=x(4−3x)，当0<x <43时，g(x)单调递增，当43<x <2时，g(x)单调递减， ∴g(x)max =g(43)=3227， 故答案为：3227． 求得曲线y =1−x x在点M(x 1,y 1)处的切线l 的方程，令y =0，可得x =2x 1−x 12，即x 2=2x 1−x 12，x 1x 2=2x 12−x 13(0<x 1<2)，构造函数g(x)=2x 2−x 3(0<x <2)，利用导数可取得答案．本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，得到x 1x 2=2x 12−x 13(0<x 1<2)是关键，考查整体思想与运算求解能力，属于中档题．16.【答案】243 50【解析】解：根据题意，对于第一空：每位同学可以安排到三个社区，有3种选择， 则5位同学有3×3×3×3×3=35=243种分配方法， 对于第二空：分2步进行分析：先将5人分为3组，有C 53+C 52C 32A 22=25种分组方法，再将A 同学所在的组必须被分配到社区甲，剩下2个组安排到乙、丙社区，有2种安排方法，则有25×2=50种安排方法； 故答案为：243，50．对于第一空：每位同学可以安排到三个社区，有3种选择，由分步计数原理计算可得答案；对于第二空：分2步进行分析：先将5人分为3组，再将A 同学所在的组必须被分配到社区甲，剩下2个组安排到乙、丙社区，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．17.【答案】解：(1)由于知(x +ay)n 的展开式的通项公式为T r+1=C nr⋅a r ⋅x n−r ⋅y r ， 令r =1，n −r =2，可得n =3，展开式中含x 2y 项的系数为C 31⋅a =6，∴a =2． (2)∵x >0，y >0，(x +2y)3的展开式中首末两项的积为C 30⋅x 3⋅C 33⋅(2y)3=1，即x 3⋅y 3=18，∴xy =12．而中间两项和为C 31⋅x 2⋅2y +C 32⋅x ⋅(2y)2=6x 2⋅y +12x ⋅y 2=6xy(x +2y)≥6×2√2xy =12√2， 当且仅当x =2y 时，取等号， 故中间两项和的最小值为12√2．【解析】(1)由题意利用二项式展开式的通项公式，求得a 的值．(2)由题意利用二项式展开式的通项公式，基本不等式，求得中间两项和的最小值． 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，基本不等式的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)函数f(x)=m⋅2x +1−m x(2x −1)(m ∈R)，f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)．若选①：f(x)是周期为1的函数，则f(1)=f(2)=f(3)， 即m +1=3m+16=7m+121，m 无解，不合题意；若选②：f(x)为奇函数，则f(−1)+f(1)=0， 即m +1+2−m =0，方程无解，不合题意；若选③：f(x)为偶函数，则f(−x)=f(x)在定义域上恒成立， 即m⋅2x +1−m x(2x −1)=m⋅2−x +1−m −x(2−x −1)，整理可得2m −1=0，解得m =12， 此时f(x)为偶函数；(2)由f(x)<32x ，可得2x +12x(2x −1)<32x ，①{x >02x +12(2x −1)<32，即{x >02x +1<3(2x−1)，解得x >1； ②{x <02x +12(2x −1)>32，即{x <02x +1>3(2x−1)，此时x 无解． 综上所述，不等式的解集为(1,+∞)．【解析】(1)若选①：利用周期性，可得f(1)=f(2)=f(3)，求解即可； 若选②：利用奇函数的性质，可得f(−1)+f(1)=0，求解即可；若选③：利用偶函数的定义，可得f(−x)=f(x)在定义域上恒成立，求解即可． (2)利用(1)中的结论，得到不等式，然后分两种情况求解即可．本题考查了函数性质的综合应用，涉及了函数的奇偶性、周期性的应用，不等式的求解问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)比赛规则为先胜3局者赢得比赛，每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，且每局比赛相互独立．则比赛刚好在第4局结束的情况是前3局甲2胜1负，第4局甲胜，或前3局乙2胜1负，第4局乙胜，则比赛刚好在第4局结束的概率为：P =C 32(23)2(13)(23)+C 32(13)2×23×13=1027；(2)记事件B 为：“若当前两局双方比分为1：1比赛正常进行下去时甲赢得比赛”，则再进行两局甲赢得比赛的概率为23×C 21×23×13=827， 所以P(B)=49+827=2027，则“若当前两局双方比分为1：1比赛正常进行下去时乙赢得比赛”的概率为P(B −)=1−P(B)=1−2027=720，所以甲应该获得奖金为2027W 元，乙应该获得奖金为727W 元．【解析】(1)分析比赛刚好在第4局结束包含两种情况：①前3局甲2胜1负，第4局甲胜；②前3局乙2胜1负，第4局乙胜，利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可； (2)分别计算出若当前两局双方比分为1：1比赛正常进行下去，甲赢得比赛和乙赢得比赛的概率，由此可得答案．本题考查了相互独立事件概率的求解，对立事件概率公式的应用，解题的关键是掌握相互独立事件的概率乘法公式，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意，r =√(122270−10×1102)(49730−10×702)=√927100≈0.74>0.632， 所以有95%的把握认为变量x 与y 具有线性相关关系，b ̂=77714−10×70×110122270−10×1102≈0.56，则a ̂=y −−b ̂x −=70−0.56×110=8.4，所以y 关于x 的回归直线方程为y ̂=0.56x +8.4；(2)由(1)可知，μ=70，σ2=110∑y i 210i=1−(y −)2=110×49730−702=73，所以10000名考生的物理成绩y 服从正态分布N(70,8.52)，故P(y ≥61.5)=P(y ≥μ−σ)=0.5+12P(μ−σ<ξ<μ+σ)≈0.5+0.68262=0.8413，所以物理成立不等于61.5分的人数Y ～B(10000,0.8413)， 故E (Y)=10000×0.8413=8413人．【解析】(1)利用相关系数的计算公式求出r 的值，然后对照临界表中的数据，判断即可，求出线性回归系数，即可求出线性回归方程；(2)先求出μ和σ2的值，利用物理成绩y 服从正态分布N(70,8.52)，利用正态分布的概率求出P(y ≥61.5)，由物理成立不等于61.5分的人数Y ～B(10000,0.8413)，利用公式求解期望即可．本题考查了相关系数的求解与应用，线性回归方程的求解与应用，正态分布的应用，二项分布的数学期望的公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设g(x)=log 2x 平移点为(x 0,k)，(x 0>0)所以g(x 0+k)=g(x 0)+g(k)， 所以log 2(x 0+k)=log 2x 0+log 2k ， 所以log 2(x 0+k)=log 2kx 0， 所以x 0+k =kx 0， 所以1k +1x 0=1，所以k =2，x 0=2或k =13，x 0=32， 所以存在平移点(2,2)，(13,32)等．(2)若函数ℎ(x)=ax 2+(2−a)log 2x 在[1,+∞)上存在1级“平移点”， 则ℎ(x +1)=ℎ(x)+ℎ(1)，所以a(x +1)2+(2−a)log 2(x +1)=ax 2+(2−a)log 2x +a ×12+(2−a)log 21， 所以2ax =(2−a)log 2x x+1，当a=2时，4x=0，由于x≥1，无解，所以a≠2，所以2a2−a =1xlog2xx+1，在(1,+∞)上有解，令p(x)=1x log2xx+1，(x≥1)p′(x)=−1x2log2xx+1+1x[1xx+1⋅ln2]=1x2(log2x+1x+x+1ln2)>0，所以p(x)在(1,+∞)上单调递增，所以p(x)≥p(1)=log212=−1，所以2a2−a≥−1，所以a+22−a≥0，解得−2≤a<2．所以a的取值范围为[−2,2)．【解析】(1)设g(x)=log2x平移点为(x0,k)，(x0>0)，则由“平移点”的定义可得g(x0+k)=g(x0)+g(k)，化简得1k +1x0=1，解得k，x0．(2)若函数ℎ(x)=ax2+(2−a)log2x在[1,+∞)上存在1级“平移点”，则ℎ(x+1)=ℎ(x)+ℎ(1)，进而可得2a2−a =1xlog2xx+1，在(1,+∞)上有解，令p(x)=1xlog2xx+1，(x≥1)，分析单调性，最值，即可得出答案．本题考查函数的新定义，“平移点”，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：(1)设f′(x)与g(x)的相同零点为x0，∵f′(x)=x−4−a−1x(x>0)，∴{x0−4−a−1x0=0x02+ax0−3=0，将a=x02−4x0+1代入x02+ax0−3=0，得x03−3x02+x0−3=0，∴(x0−3)(x02+1)=0，解得x0=3，a=−2；(2)证明：设ℎ(x)=f(x)−g(x)=−x22−2x+3lnx+3，令ℎ′(x)=−x−2+3x=0，解得x=1，易知当x∈(0,1)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，又ℎ(1e )=−12e 2−2e <0,ℎ(2)=3ln2−3<0，ℎ(1)=12， ∴存在x 1∈(1e ,1),x 2∈(1,2)，使得ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=0， ∵g(x)=x 2−2x −3=(x −1)2−4， ∴g(x 1)∈(−4,1e 2−2e−3)≠⊂(−4,−3),g(x 2)∈(−4,−3)， ∴|g(x 1)−g(x 2)|<1．【解析】(1)设f′(x)与g(x)的相同零点为x 0，依题意，可建立关于x 0，a 的方程组，解出即可；(2)设ℎ(x)=f(x)−g(x)=−x 22−2x +3lnx +3，利用导数及零点存在性定理可知x 1∈(1e ,1),x 2∈(1,2)，进而可得g(x 1)，g(x 2)的取值范围，由此得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数零点，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．。
【江苏专用】2020-2021学年度高二下数学期末全真模拟卷(五)教师版
（五）一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 满足()1243z i i +=- (其中i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（ ） A ．2- B ．2i - C ．1D ．i【答案】A【解析】因为435i -=，所以()12435z i i +=-=， 则()()()5125510121212125i i z i i i i --====-++-，故复数z 的虚部为2-．故选:A ． 2.甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A 为“四名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选羽毛球”，则()|P A B =（ ） A ．89B ．29C ．38D ．34【答案】B【解析】事件AB ：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，所以其它3名同学排列在其它3个项目，且互不相同为33A ，事件B ：甲选羽毛球，所以其它3名同学排列在其它3个项目，可以安排在相同项目为33，()()()3343424|394A P AB P A B P B ===．故选:B ． 3.二项式5的展开式中常数项为（ ）A ．5B ．10C ．-20D ．40【答案】D【解析】二项式展开式的通项公式为10556155(2)rrr r r r r T C C x --+⎛==- ⎝， 令10506r-=，则2r ，所以展开式中的常数项为225(2)40C -=，故选:D ．4.重庆某医院组建的由7位专家组成的医疗队施援湖北，负责三个不同病房的医疗工作，每个病房至少2人，则不同的安排方案共有（ ） A. 105种 B. 210种 C. 630种 D. 1260种【答案】C【解析】由题意，由7位专家，负责三个不同病房的医疗工作，每个病房至少2人，把7为专家分为一组2个，一组2个，一组3个，共有22375322105C C C A =种不同的分法， 5.设0a b <≤，随机变量X 的分布列是则()E X 的取值范围是（ ） A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．53,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由分布列的性质可得010101a b a b <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩，且()12212a b a b a b a b +++=+=⇒+=，可得110122a b b =-⇒<-<，由01b <<，所以102b <<， 因为()()0121E X a b a b b =⨯+⨯+⨯+=+，所以()312E X <<，故选:C ． 6.设随机变量(),1N ξμ，函数()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，则()01P ξ<≤=（ ）附：若()2,N ξμσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+≈，()220.9544P X μσμσ-<≤+≈．A ．0.1587B ．0.1359C ．51nn na==∑D ．0.3413【答案】B 【解析】函数()22f x x x ξ=+-没有零点，∴二次方程220x x ξ+-=无实根，44()0ξ∴∆=--<，1ξ∴<-，又()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，(1)0.5P ξ∴<-=，由正态曲线的对称性知1μ=-，()1,1N ξ∴-，1,1μσ∴=-=，2,0,23,21μσμσμσμσ∴-=-+=-=-+=，(20)0.6826P ξ∴-<<=，(31)0.9544P ξ-<<=，[][]11(01)(31)(20)0.95440.68260.135922P P P ξξξ∴<≤=-<<--<<=-=，故选:B ． 7.函数261()()=-f x x x 的导函数为()f x '，则()f x '的展开式中含2x 项的系数为（ ）A ．20B ．20-C ．60D ．60-【答案】D【解析】函数()f x 导函数为25211()6()(2)f x x x xx'=-+， 则251()x x -的展开式的通项公式为251031551()()(1)r r r r r rr T C x C x x--+=-=-，令1031r -=，则3r =，此时含x 项为335(1)10C x x -=-，再令1034r -=，则2r，此时含4x 项为22445(1)10C x x -=，所以含2x 的项为4221(10210)660x x x x x-⨯+⨯⨯=-， 故含2x 项的系数为60-，故选:D ．8.已知函数()2sin 262x f x x mx π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数m 的最小值是（ ）A ．B ．CD 【答案】D【解析】由()2sin 262x f x x mx π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 得()2cos 206f x x x m π⎛⎫'=+--≤ ⎪⎝⎭06x ,⎛π⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，即2cos 26x x m π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭， 令()2cos 26g x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭06x ,⎛π⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()4sin 216g x x π⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭， 当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2662x πππ≤+≤ ，则24sin 246x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以54sin 2136x π⎛⎫-≤+-≤- ⎪⎝⎭，即()0g x '<， 所以()g x 在0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦是单调递减函数，max ()(0)g x g ≤=得m ≥，m:D ．再分到三个不同的病房，共有33105630A ⨯=种不同的安排方案. 故选：C.二．多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分．9.已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数z w z=，则下列结论正确的有（ ） A. w 在复平面内对应的点位于第二象限 B. 1w = C. w 的实部为12- D. w 【答案】ABC【解析】对选项,A由题得1,z =-221=422w -+∴===-+所以复数w 对应的点为1(,)22-，在第二象限，所以选项A 正确； 对选项B，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w实部为12-，所以选项C 正确； 对选项D ,w所以选项D 错误. 故选：ABC 10.一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ） A. 取出的最大号码X 服从超几何分布 B. 取出的黑球个数Y 服从超几何分布.C. 取出2个白球的概率为114D. 若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为114【答案】BD【解析】一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，对于A ，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n 次的试验次数， 由此可知取出的最大号码X 不服从超几何分布，故A 错误；对于B ，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n 次的试验次数， 由此可知取出的黑球个数Y 服从超几何分布，故B 正确；对于C ，取出2个白球的概率为226441037C C p C ==，故C 错误；对于D ，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分， 则取出四个黑球的总得分最大，∴总得分最大的概率为46410114C P C ==，故D 正确． 故选：BD ．11.已知1021001210(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，则下列结论正确的有（ ）A ．01a =B ．6210a =-C ．310122310102322221024a a a a +++⋅⋅⋅+=- D ．024*******a a a a a a +++++=【答案】ACD【解析】取1x =得01a =，A 正确；由()()1010211x x -=--⎡⎤⎣⎦展开式中第7项为()66101C x --⎡⎤⎣⎦ ，所以6610210a C ==，B 错误；由1021001012021011()(1)(1)(1)22222a a a a x x x x -⎡⎤-=+-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，取2x =得 10310120231011023222221024a a a a a ⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-=- ⎪⎝⎭，C 正确； 由1021001210(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，取0x =得()()100246810135792a a a a a a a a a a a +++++-++++=，取2x =得()()0246810135790a a a a a a a a a a a ++++++++++=， 所以9024********a a a a a a +++++==，D 正确．故选:ACD ． 12.已知函数f (x )=x 3-3ln x -1，则（ ） A. f (x )的极大值为0 B. 曲线y =f (x )在（1，f (1))处的切线为x 轴 C. f (x )的最小值为0 D. f (x )在定义域内单调【答案】BC【解析】f (x )=x 3-3ln x -1的定义域为()0+∞，，()()23333=1f x x x x x'=-- 令()()23333=1=0f x x x x x'=--，得1x =， 列表得：所以f (x )的极小值，也是最小值为f (1)=0，无极大值，在定义域内不单调；故C 正确，A 、D 错误； 对于B:由f (1)=0及()10f '=，所以y =f (x )在（1，f (1))处的切线方程()001y x -=-，即0y =.故B 正确. 故选：BC三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有___________种 【答案】20【解析】当甲排在第一位时，共有323212A A =种发言顺序，当甲排在第二位时，共有1222228C A A =种发言顺序，所以一共有12820+=种不同的发言顺序．故答案为:20．14.二项式2nx ⎫-⎪⎪⎝⎭的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值,________ 【答案】152-【解析】因为仅有第六项的二项式系数取得最大值,所以61,102nn =-=， 因为35101021101021()()()(2)22r r r r r r rr T C C x x ---+=-=-，所以3103310311155,3,()(2).2222r r C --==∴-=-故答案为:152- 15.设随机变量1~,4X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21Y X =+，若()4E Y =，则n =__________． 【答案】6【解析】随机变量1~,4X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()4n E X =， ()()()21212144nE Y E X E X =+=+=⨯+=，解得6n =，故答案为:6.16.已知函数()ln ,024,0x x x f x x e x >⎧=⎨+≤⎩，若12x x ≠且()()12f x f x =，则12x x -的最大值为__________【答案】52e 【解析】当0x >时，()lnf x x x =， 求导()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，得1=x e当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增； 作分段函数图象如下所示：设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线24y x e =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，12x x -=， 由图形可知，当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值， 令()ln 12f x x '=+=，得x e =，切点坐标为(),e e ，此时，d ==，12max 52x x e ∴-==， 故答案为：52e四．解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
江苏省扬州市2020-2021学年高二下学期期末数学试题 含答案
2020-2021学年度第二学期期末检测试题高二数学2021.06注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷。
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分。
3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号等信息用黑色墨水签字笔填写在答题卡的相应位置。
参考公式：期望()1122n n x p x p x p E X μ==++⋅⋅⋅+ 方差()()()()2221122n n x p x p x p V X μμμ=-+-+⋅⋅⋅+-一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项符合要求）. 1.17161587⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯等于（ ）A.817AB.917AC.1017AD.1117A2.若1z i =-（i 为虚数单位），则2zz iz+等于（ ） A.2B.2-C.2iD.2i -3.已知ln 5x =，135y =，1lg 5z =，则x ，y ，z 的大小关系为（ ） A.y z x <<B.x y z <<C.z y x <<D.z x y <<4.现有7名同学去听同时进行的4个科普知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是（ ） A.11B.74C.28D.475.已知下表为离散型随机变量X 的概率分布表，则概率()()P X V X ≥等于（ ）A.14B.12C.4D.16.33333459C C C C +++⋅⋅⋅+等于（ ） A.120 B.210 C.126 D.2407.已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）A.()sin 733x x xf x -=-B.()sin 733x x xf x -=-C.()cos 733x xxf x -=-D.()cos 733x xxf x -=- 8.中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，始见于《周礼·春官·大师》.八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.甲、乙、丙三名同学想学习这八种乐器，他们商定采用抽签（无放回）的方法，先制作8个号签（每个号签上分别写有这8个乐器的名称），再制作1个形状大小相同的空号签，然后每人抽取3个号签，选中的号签就是自己学习的乐器，若同学甲选择的打击乐器数为X ，则()2P X =等于（ ） A.514B.314C.27D.37二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
江苏省徐州市2020_2021学年下学期高二期末考试数学试题(含答案)
……………………6 分
故 f (x) 在 (0，2) 上单调递减，在 ( 2， ) 上单调递增， ……………………8 分
所以 f (x) 存在极小值为 f ( 2) 1 ln 2 1 (1 ln 2) ， 无极大值．………10 分
2
2
18．（1）女生全排在一起，把 3 个女生捆绑在一起看做一个元素，再和 5 个男生全排，
高二数学参考答案与评分标准
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1．A 2．C 3．B 4．C 5．C 6．D 7．C 8．A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。
所以 P(E) P(AB) P(CD)
C43
( 1 )3 2
1 2
(
1 )4 2
(
1 )4 2
1 2
3 64
.
…………………4 分
（2）X 的可能取值为 8，10，16.
P( X
8)
1
C43
(
1 2
)3
1 2
(1)4 2
11 ， 16
P( X 10) (1 )4 1 ， 2 16
P( X
即
CC11rr00
2r 2r
≥
C r 1 10
≥
C r 1 10
2r 1 2r 1
，…………………………………………………………6 分
即 12≥ 110r0r1rr12≥1 ，
解得 19 ≤ r ≤ 22 ，………………………………………………8 分
江苏省无锡市2020-2021学年高二下学期期末质量检测 数学 试题(含答案)
（２）根据（１）中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况，并预测该地
区 ２０２２年生活垃圾无害化处理量．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
ｎ
ｎ
ｂ＾＝ｉ∑＝１（ｘｎｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ）＝ｉ∑＝１ｎｘｉｙｉ－ｎｘｙ，ａ＾＝ｙ－ｂ＾ｘ
ｉ∑＝１（ｘｉ－ｘ）２
ｉ∑＝１ｘ２ｉ－ｎｘ２
２１．（本小题满分 １２分） 某单位为了丰富职工业余生活，举办象棋比赛（每局比赛可能出现胜、负、平三种结果）．甲、乙 两人共进行三局比赛，每局比赛甲赢的概率为 ２ ３，甲输的概率为 ｑ，且三局比赛均没有出现平局 的概率为１２２１５６． （１）求三场比赛乙至少赢两局的概率； （２）若该单位为每局比赛拿出 １百元奖金，若分出胜负，奖金归胜方；若平局，两人平分奖金．设 甲获得奖金总额与乙获得奖金总额之差为 Ｘ（单位：百元），求 Ｘ的分布列及其数学期望． ▲ ▲ ▲
相切．则 Ａ．ａ＝ｂ
（ ▲ ）
Ｂ．存在 ｌ的平行线与曲线 ｙ＝ｆ（ｘ）相切
Ｃ．任意 ｘ∈（－２，＋∞），ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ）恒成立 Ｄ．存在实数 ｃ，使得 ｇ（ｘ）＋ｃ≥ｆ（ｘ）对任意 ｘ∈［０，＋∞）恒成立
高二数学试卷第 ２页（共 ６页）
三、填空题：本题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．
１６．一个班级有 ３０名学生，其中 １０名女生，现从中任选 ３名学生当班委，则女生小红当选的概率为
▲ ；令 Ｘ表示 ３名班委中女生的人数，则 Ｐ（Ｘ≤２） ▲ ．
四、解答题：本大题共 ６小题，共 ７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写
在答题卡相应的位置上．
１７．（本小题满分 １０分） 已知复数 ｚ１＝ｍ＋（４－ｍ２）ｉ，ｚ２＝２ｃｏｓθ＋（λ＋３ｓｉｎθ）ｉ（λ，θ，ｍ∈Ｒ）． （１）当 ｍ＝－１时，ｚ１是关于 ｘ的方程 ２ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝０的一个根，求实数 ｐ，ｑ的值； （２）若 ｚ１＝ｚ２，求 λ的取值范围．
2020-2021学年江苏省南京市高二下学期期末模拟考试数学试卷有答案-精品试题
江苏省南京市最新度高二下期末考试数学试卷一、填空题：（5分*14=70分）1、学校高二足球队有男运动员16人，女运动员8人，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为9的样本，则抽取男运动员的人数是 .2、在1,2,3,4这四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是 .3、已知i 是虚数单位，则复数11ii+-的实部为 . 4、若向量,a b r r 满足1,2a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r .5、设,A B 两点在河的两岸,一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ,测出AC 的距离为50m ,45ACB ∠=o ,105CAB ∠=o ,则,A B 两点的距离为 .6、已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，有如下命题： ①,,αγβγαβ⊥⊥若则‖②,,m n m n αα⊥⊥若则‖③,,m n m n αα若则‖‖‖④,,m m αβαβ若则‖‖‖则正确的命题序号是 ．★7、已知ABC V 的三个内角,,A B C 成等差数列,且1,4AB BC ==,则边BC 上的中线AD 的长为 . ★8、函数2sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调增区间是 . 9、在ABC V 中,2,6,60a b B ===o ，则c = .10、在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若)cos cos c A a C -=,则tan 4A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ .11、函数1)3(log -+=x y a )1,0(≠>a a 且的图象恒过定点A ，若点A 在直线02=++ny mx 上，其中0>mn ，则nm 21+的最小值为 . ★12、已知数列{}{} n n a b ，的通项公式分别是()20161n n a a +=-⋅，()201712n n b n+-=+，若n n a b <，对任意N n +∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ．★13、在ABC V 中,已知9AB AC =u u u r u u u rg ,sin cos sin B A C =,6ABC S =V ,P 为线段AB 上的点,且C 1ABCDEF A 1B 1APQBCCA CB CP x y CA CB=+u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ,则xy 的最大值为 .★14、已知12(1)()32(1)x x f x x x -⎧≥=⎨-<⎩，若不等式211cos sin 042f θλθ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭对任意的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则整数λ的最小值为 ． 二、简答题：（14分*3+16分*3=90分）15、ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =u r 与()cos ,sin n A B =r平行．（1）求A ；（2）若2a b ==，求ABC V 的面积．16、在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，E 、F 分别为A 1C 1、B 1C 1的中点, D 为棱CC 1上任一点． （1）求证：直线EF ∥平面ABD ； （2）求证：平面ABD ⊥平面BCC 1B 1．17、如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120,,AB AC︒的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆．（1）若围墙AP ，AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？（2）已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，AP 段围墙造价为每平方米150元，AQ 段围墙造价为每平方米100元．若围围墙用了30000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？18、在锐角三角形ABC 中,已知角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且tan tan tan tan )3A B A B -=+． (1)若222c a b ab =+-,求角,,A B C 的大小；(2)已知向量()()sin ,cos ,cos ,sin m A A n B B ==u r r，求32m n -u r r 的取值范围．19、设函数()ln ,f x x ax a R =-∈．（1）当1x =时，函数()f x 取得极值，求a 的值； （2）当102a <<时，求函数()f x 在区间[]1,2的最大值； （3）当1a =-时，关于x 的方程()22(0)mf x x m =>有唯一实数解，求实数m 的值．20、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()*221n n S n a n N =+-∈．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设132********n n n T a a a a a a a a +=++++L ，求证：53n T <．一、填空题：（5分*14=70分）1、学校高二足球队有男运动员16人，女运动员8人，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为9的样本，则抽取男运动员的人数是 . 答案：62、在1,2,3,4这四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是 . 答案：123、已知i 是虚数单位，则复数11ii+-的实部为 . 答案：04、若向量,a b r r 满足1,2a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r .5、设,A B 两点在河的两岸,一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ,测出AC 的距离为50m ,45ACB ∠=o ,105CAB ∠=o ,则,A B 两点的距离为 .答案：6、已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，有如下命题： ①,,αγβγαβ⊥⊥若则‖②,,m n m n αα⊥⊥若则‖③,,m n m n αα若则‖‖‖④,,m m αβαβ若则‖‖‖则正确的命题序号是 ． 答案：②7、已知ABC V 的三个内角,,A B C 成等差数列,且1,4AB BC ==,则边BC 上的中线AD 的长为 .8、函数2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间是 . 答案：()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦9、在ABC V 中,2,6,60a b B ===o ，则c = .答案：1+10、在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若)cos cos c A a C -=,则tan 4A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ .答案：3-11、函数1)3(log -+=x y a )1,0(≠>a a 且的图象恒过定点A ，若点A 在直线02=++ny mx 上，其中0>mn ，则nm 21+的最小值为 . 答案：412、已知数列{}{} n n a b ，的通项公式分别是()20161n n a a +=-⋅，()201712n n b n+-=+，若n n a b <，对任意N n +∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案：32 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，13、在ABC V 中,已知9AB AC =u u u r u u u rg ,sin cos sin B A C =,6ABC S =V ,P 为线段AB 上的点,且CA CB CP x y CA CB=+u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ,则xy 的最大值为 .答案：314、已知12(1)()32(1)x x f x x x -⎧≥=⎨-<⎩，若不等式211cos sin 042f θλθ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭对任意的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则整数λ的最小值为 ． 答案：1二、简答题：（14分*3+16分*3=90分）15、ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =u r 与()cos ,sin n A B =r平行．（1）求A ；（2）若2a b ==，求ABC V 的面积．C 1ABCDEF A 1B 1APQB C答案：;3,32A c S π===16、在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，E 、F 分别为A 1C 1、B 1C 1的中点, D 为棱CC 1上任一点． （1）求证：直线EF ∥平面ABD ； （2）求证：平面ABD ⊥平面BCC 1B 1．17、如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120,,AB AC ︒的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆．（1）若围墙AP ，AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？（2）已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，AP 段围墙造价为每平方米150元，AQ 段围墙造价为每平方米100元．若围围墙用了30000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？答案： （1）S 2()42x y +≤=． 当且仅当100x y ==时取“=”． （注：不写“＝”成立条件扣2分）（2）2222cos120PQ x y xy =+-︒22x y xy =++=40000-xy ≥30000.即PQ ≥100√3. 当且仅当100x y ==时取“=”。
江苏省2020年高二数学第二学期期末模拟考试卷(一)
范文江苏省2020年高二数学第二学期期末模拟考试卷1/ 6(一)江苏省高二第二学期期末模拟考试卷（一）（理科）（考试时间 120 分钟满分 160 分）一、填空题：本大题共 14 题，每题 5 分，共 70 分。
请直接将答案填在答题卡对应的横线上 1．设集合 A={1，2，3}，B={﹣1，1，3，5}，则集合A∩B=______． 2．若复数 z 满足 z﹣2i=zi（其中 i 为虚数单位），则复数 z 的模为______． 3．若 3 名学生报名参加数、理、化、生四科竞赛，每人选报 1 项，则不同的报名方式有______种（用数字作答）． 4．函数 y= +log2（x﹣1）的定义域是______． 5．某篮球运动员投篮投中的概率为，则该运动员“投篮 3 次恰好投中 2 次”的概率是 ______（结果用分数表示）． 6．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60 度”时，应假设“三角形的______”（用文字作答）． 7．的展开式中的常数项为______． 8．已知函数，若函数 g（x）=f （x）﹣m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是______． 9．已知定义在 R 上的奇函数 f（x）和偶函数 g（x）满足关系 f（x）﹣g（x）=2x，则 f（1）?g（0）的值为______． 10．有三张卡片的正、反两面分别写有数字 0 和 1，2 和 3，4 和 5，某同学用它们来拼一个三位偶数，不同的个数为______． 11．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在试题库中任取一题，甲能答对的概率为，乙能答对的概率为，规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才算合格．则甲、乙两人中至少有一人考试合格的概率为______． 12．从装有编号为 1，2，3，…，n+1 的 n+1 个球的口袋中取出 m 个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有 Cn+1m 种取法．在这 Cn+1m 种取法中，不取 1 号球有 C10Cnm 种取法；必取 1 号球有 C11Cnm﹣1 种取法．所以 C10Cnm+C11Cnm﹣1=Cn+1m，即 Cnm+Cnm ﹣1=Cn+1m 成立．试根据上述思想，则有当1≤k≤m≤n，k，m，n∈N 时，Cnm+Ck1Cnm﹣1+Ck2Cnm﹣2+…+CkkCnm﹣k=______．3/ 613．已知函数 f（x）=﹣xlnx+ax 在（0，e）上是增函数，函数．当x∈[0，ln3]时，函数 g（x）的最大值 M 与最小值 m 的差为，则a=______． 14．已知（1+x）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则 a0+ + +…+ =______．二、解答题:本大题共 6 题，计 90 分。