二次规划.ppt
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线性规划与二次规划的应用
投资组合优化
定义：在给定风险 水平下，最大化预 期收益或最小化风 险
应用场景：股票、 债券等金融资产 组合
目标：实现资产 保值增值，降低 风险
方法：利用二次 规划算法进行优 化求解
电力系统优化
二次规划用于解决电力系统中的无功优化问题，提高电力系统的稳定性和经济性。 通过二次规划，可以优化电力系统的运行方式，降低线损，提高输电效率。 二次规划在电力系统中的应用还包括负荷预测、机组组合、经济调度等方面。
实例：如某公司 需要将产品从多 个产地运往多个 销售地，如何安 排运输工具和运 输路线使得总成 本最低。
分配问题
定义：将有限的资源按照一定的约束条件分配给各个部门或个体，使得总效益最大
应用场景：资源分配、生产计划、物流调度等
线性规划模型：通过线性方程组表示约束条件和目标函数，求解最优解
实例：某公司有10台机器，需要生产3种产品，每种产品需要不同数量的机器，如何分配机器 使得总产量最大
算法原理：基于 K u h n - Tu c k e r 条 件和梯度下降法， 通过迭代更新可 行解，逐渐逼近 最优解。
算法步骤：初始 化可行解，计算 目标函数的梯度 和约束条件的雅 可比矩阵，迭代 更新可行解，直 到满足收敛条件。
算法优势：内点 法具有全局收敛 性和多项式时间 复杂性，适用于 大规模优化问题。
感谢您的观看
灵活性
线性规划的灵活性：适用于多种问题，如生产计划、资源分配等 二次规划的灵活性：适用于凸优化问题，如最小二乘法、约束最小化等
线性规划的局限性：对于非线性问题，需要转化为线性问题，可能损失精度 二次规划的局限性：对于非凸问题，可能陷入局部最优解，而非全局最优解
单纯形法
定义：单纯形法是一种求解线 性规划问题的迭代算法
序列二次规划
(****)
起作用集方法
起作用集方法
(*****)
起作用集方法
起作用集方法
起作用集方法
起作用集方法
Questions
如何得到(*******)？
Answer
起作用集方法
起作用集方法
Questions
起作用集方法
起作Байду номын сангаас集方法
起作用集方法
起作用集方法
起作用集方法
Algorithm
起作用集方法
(***)
Proof
起作用集方法
起作用集方法
（a）
起作用集方法
(b)
满足（a)的 x* 肯定满足（b），且为满足（b）的 x* 的
一部分，但满足（b）的解是唯一的，所以问题（b）的解 就是问题（a)的解。
Remark
起作用集方法
起作用集方法
Questions
起作用集方法
起作用集方法
序列二次规划法
A characteristic of a large class of early methods is the translation of the constrained problem to a basic unconstrained problem by using a penalty function for constraints that are near or beyond the constraint boundary. In this way the constrained problem is solved using a sequence of parameterized unconstrained optimizations, which in the limit (of the sequence) converge to the constrained problem.
起作用集方法
起作用集方法
(*****)
起作用集方法
起作用集方法
起作用集方法
起作用集方法
Questions
如何得到(*******)？
Answer
起作用集方法
起作用集方法
Questions
起作用集方法
起作Байду номын сангаас集方法
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(***)
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起作用集方法
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（a）
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(b)
满足（a)的 x* 肯定满足（b），且为满足（b）的 x* 的
一部分，但满足（b）的解是唯一的，所以问题（b）的解 就是问题（a)的解。
Remark
起作用集方法
起作用集方法
Questions
起作用集方法
起作用集方法
序列二次规划法
A characteristic of a large class of early methods is the translation of the constrained problem to a basic unconstrained problem by using a penalty function for constraints that are near or beyond the constraint boundary. In this way the constrained problem is solved using a sequence of parameterized unconstrained optimizations, which in the limit (of the sequence) converge to the constrained problem.
序贯二次规划-西安交通大学
T
(5-41a) (5-41b) (5-41c)
C=(c1 , c2 , , cn )T b=(b1 , b2 , , bm )T
q11 q12 , , q1n q q , , q 21 22 2n Q= M M M M qn1 qn2 , , qnn n a11 a12 , , a1n a a , , a 21 22 2n A= M M M M an1 an2 , , ann
5-53
5-54
Company name
jt2 j =0
i AiT bi 0 jxj 0
i 1, 2,..., m j 1, 2,..., n
2. 二次规划的求解--Lagrange乘子技术
这样函数L稳定点的必要条件可归纳为 c j j dij xi ij ai 0
(i 1, 2, L , m) ( j 1, 2, L , l )
(5-34)
约束条件是二次的
Company name
1. SQP法简介
x K 1 x K = x K 1 x K
i 1 n 2
Company name
5-43
函数L的稳定点的必要条件 : n L c j i aij j 0 x j j 1 L 2i si 0 s j L 2 j t j 0 t j L AiT x si2 bi 0 j L x j t2 j 0 j
1. 1 SQP法简介--只有等式约束
min s.t. 1 f ( x)T x+ xT Q k x 2 gi ( x K ) xT gi ( x K ) 0 hj ( x K ) xT hi ( x K ) 0
(5-41a) (5-41b) (5-41c)
C=(c1 , c2 , , cn )T b=(b1 , b2 , , bm )T
q11 q12 , , q1n q q , , q 21 22 2n Q= M M M M qn1 qn2 , , qnn n a11 a12 , , a1n a a , , a 21 22 2n A= M M M M an1 an2 , , ann
5-53
5-54
Company name
jt2 j =0
i AiT bi 0 jxj 0
i 1, 2,..., m j 1, 2,..., n
2. 二次规划的求解--Lagrange乘子技术
这样函数L稳定点的必要条件可归纳为 c j j dij xi ij ai 0
(i 1, 2, L , m) ( j 1, 2, L , l )
(5-34)
约束条件是二次的
Company name
1. SQP法简介
x K 1 x K = x K 1 x K
i 1 n 2
Company name
5-43
函数L的稳定点的必要条件 : n L c j i aij j 0 x j j 1 L 2i si 0 s j L 2 j t j 0 t j L AiT x si2 bi 0 j L x j t2 j 0 j
1. 1 SQP法简介--只有等式约束
min s.t. 1 f ( x)T x+ xT Q k x 2 gi ( x K ) xT gi ( x K ) 0 hj ( x K ) xT hi ( x K ) 0
工程优化线性及二次规划
线性规划与二次规划
xT=[xB xN]=[- B-1N I ] xN+ [B-1b 0] 因此, xN自由变化, x=f(xN) 为所有可行解的显式表达.
2.1 基本解 令 xN=0, xT= [B-1b 0] 为基本解. 2.2 基本可行解 xT= [B-1b 0]0 为基本可行解. 2.3 基本解个数 随着B的构成列不同, 可得不同的基本解, 从n列中 选取m列的选择方案有Cnm=n!/[m!(n-m)!]个. 除去|B|=0的情况, 基本解个数最多是Cnm.
基变 量
xq
xB-q
-f 0 0
xq 1/a1 0
xB-q 0
I
xN-p
cN-p nT/a1 N’
xB+ NxN = b
xp
-f 右端项
cp
1
c
1
0 b1/a1(>0)
np
0
b’
线性规划与二次规划
表中数据项意义:
0*xB + cNTxN – f = c
基变 量
xq
xB-q
xN-p
-f 0 0
cN-p
2
4 1 0 0 1 16
1 1 1 0 0 3
2
1
0
1
0
x
2
4 1 0 0 1 16
1 1 1 0 0 3
2
1
0
1
0
x
2
4 1 0 0 1 16
1 1 1 0 0 3
线性规划与二次规划
3. 解的几何意义
min 3x1-2x2 s.t. -x1+x23
凸二次规划的有效集方法ppt课件
3 5
2 0
0 2
2 0
2 5
,即是
1
2
0 1
3 5
2 5
，可推出
3
,
5
2,
1T
.
完整版ppt课件
17
此时，由于约束的乘子3 2为最负的，从工作集w0 中去
掉其约束，得到 w1 5.再解子问题(10). 当 k 1的时候，
p1
1
0
，
由
(9)
式
可
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
得
1
1
，
从
而
产
生
新
的
迭
代
点
x2 1,0T .
2
(15)
s.t. i 0, i I.
定理 1 设G正定，如果原始问题有可行点，则 x X 是（1）的
解当且仅当存在 , y 是对偶问题之解且 x G1y以及是
原问题在 x处的 Lagrange 乘子.
原问题无可行点当且仅当对偶问题无界.
完整版ppt课件
25
三. 二次规划的其他算法
1．Lemke 算法 基本思想
反之，如果 x是(1)的可行点，且是问题(3)的 K-T 点，而且
相应的 Lagrange 乘子满足
i 0, i I x
(4)
则 x也是原问题(1)的 K-T 点.
完整版ppt课件
5
2．理论基础 有效集方法的难点在于事先一般不知道有效集 w(x) .
完整版ppt课件
6
2．理论基础
解决办法： 构造一个集合序列去逼近有效集 w(x) ，即从初始点出发，计算有效 集 w(x0) ，解对应的等式约束子问题，重复这一做法，得到有效集序
二次规划
从一个准互补基本可行解到另一个准互补基本可 行解的转换，直至得到互补基本可行解。 初始解：人工变量为进基变量，选离基变量使之 成为准互补基本可行解。
z0 max{ qi | i 1,...., m n} qs z 0, w q ez0 q eqs 0
主元选择规则：
若wi(zi)离基，则zi(wi)进基。 离基变量按最小比值原则选取。
用Lemke方法求解：
2 min f ( x) x12 x1 x2 2 x2 x1 10 x2
3 x1 2 x2 x 0 s.t. 1 x2 0
w1 9 w2 0 w 3 16 z1 0 z 2 0 z3 0 z 10 0
x L ( x, ) 0 L ( x, ) 0
Q R H A : R S A 0
T T 1
H AT x c 0 b A
x Qc R T b
可行下降方向
若x点的某一方向 ， d 则称d为x的可行下降方向。
既是该点的可行方向， 又是该点的下降方向
§5.5.1 Zoutendijk（约坦狄克）可行 方向法
I. 线性约束情形 II. 不等式约束情形 III.一般约束情形
待解决的问题
搜索方向的确定
搜索步长的确定 初始点的确定
线性约束情形
6
0 0 26 / 5 0 9/5 0 14 / 5
0 0 0 13 / 14 33 / 14 0 3/ 2
第四章-序列二次规划
x L( x, , ) 0,
i gi ( x) 0, i 1, ..., m
i 0, i 1, 2, ..., m.
m
l
其中L( x, , ) f ( x) i gi ( x) jhj ( x)为Lagrange函数.
i 1
j1
最优化方法之约束非线性规划
当解(1)得到一个迭代点xk时,为求得下一个更好的迭代点xk1时, 一种自然的想法,就是用问题(1)在xk处的二次规划模型代替 问题(1),以一系列二次规划的解逼近(1)的解,这种方法称为 序列二次规划法( SQP ).
一、搜索方向的确定
当运用SQP方法时, 在x k点处的二次规划一般形式为
最优化方法之约束非线性规划
x1 , x2 0.
取x0 (0, 0)T , 用第一种方法构造H0 ,写出求d 0的二次规划.
解.
f
(
x)
2 x1
2
x2
4
, f
(
x0
)
4
0
2
f
(
x)
2, 0,
0 2
,
2
f
(
x0
)
2, 0,
0 2
最优化方法之约束非线性规划
xk
,
k
,
k
)信息的正定阵.
最优化方法之约束非线性规划
二、步长的确定
步长确定的常用方法： (1).固定步长为1,即xk1 xk d k ; (2).可行性优先准则,即若xk d k为(1)的可行解,则取 xk1 xk d k ;
二次规划ppt课件
• 满足约束条件的点称可行点，可行点集合构成可行域
2
线性规划与非线性规划
• 非线性规划(Nonlinear Programming)
• 非线性规划的数学模型可以表示为
min f x
xRn
s.t. gi x 0 i hj x 0 j
• 在目标函数或者约束函数中至少有一个函数是非线性的 • 当非线性规划问题的可行域为整个实数域时，称为无约束优化问题，
0
优化问题无界或者不可行
• output.a lgorithm
output.iterations
优化算法类型 算法的迭代次数
• lambda.ineqlin
不等式约束的乘子
lambda.eqlin
等式约束的乘子
14
lambda.lower / upper 变量下界和上界
案例分析
• 假设有四种投资1,2,3,4，第i种投资的收益率 ri 的预期收益均值为 i E ri ，
• 在满足收益率条件下最小化风险模型：
min f x 1 xTQx 2
2 s.t. uT x M
4
xi 1, x 0
1
16
案例分析
Q 社保债券 技术交易中心 管理咨询中心 游乐中心 预期收益
社保债券 2 0.4 0.1 0 7
技术交易中心 管理咨询中心
0.4
0.1
4
3
3
6
-1
1
8
10
游乐中心 0 -1 1 10 14
方差
2 iBiblioteka Erii2
表示投资的风险大小，即收益率关于均值的偏离程度
• 令 xi 为第i个项目的投资额占总投资的比例，向量 x x1, x2, x3, x4 T表示一个
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等式约束的二次规划问题
直接消去法 求解问题(1)最简单又最直接的方法就是利用约束来消去部分变量，从而把问题
转化成无约束问题，这一方法称为直接消去法。
将 A 分解成为如下形式：
A B,N
其中 B 为基矩阵，相应的将 x,c, H 作如下分块：
x
xB xN
,
c
cB cN
,
H
H11 H21
H12
H 22
其中 H11 为 m m 维矩阵。这样，问题(1)的约束条件变为： BxB NxN b
即：
xB B1b B1NxN (2)
等式约束的二次规划问题
将(2)代入 f x中就得到与问题(1)等价的无约束问题：
min
如果 Hˆ 2正定，则问题(3)的最优解为： x*N Hˆ 21cˆN
此时，问题(1)的解为：
x*
xx**NB
B1b
0
B1N
I
Hˆ 21cˆN
记点 x* 处的拉格朗日乘子为 λ* ，则有： AT λ* f x* Hx* c ，故知：
x1 2x2 x3 4 x1 x2 x3 2
通过高斯消元法可得：
x1 x1
2x2 4 x2 2
x3 x3
x1
1 3
x3
x2
2
2 3
x3
代入 f x 中可得到等价的无约束问题：
min
x3
14 9
x32
8 3
min f x 1 xT Hx cT x
2
s.t. Ax = b
(1)
其中 H 为 n 维对称阵，A 为 m n 维矩阵，c 为 n 维列向量，b 为 m 维列向
量。
此处为了方便讨论，不妨假设 rank A m n。
下面介绍求解等式约束下二次规划问题的两种方法。
λ* B1 T H11x*B H12x*N cB
如果 Hˆ 2 半正定且问题(3)无下界，或者 Hˆ 2 有负特征值，则不难证明问题(1)不存在 有限解。
等式约束的二次规划问题
例1
求解二次规划问题 首先将约束写成
min s.t.
f x x12 x22 x32
xN
1 2
xTN
Hˆ 2
xN
cˆTNxN
(3)
Hˆ 2 H22 H21B1N NT B1 T H12 NT B1 T H11B1N
其中： cˆN cN NT
B1 T cB
H21 NT
B1
T
H11
B1b
x3
4
等式约束的二次规划问题
由标准形式可知
Hˆ 2
28 9
，显然为正定，故求其极值只需令其梯度为
0：
x3
28 9
x3
8 3
0
故可求得问题的唯一最优解为：
x*
x1*, x2*, x3*
T
2 7
,
10 7
,
6 7
T
再利用 AT λ* f
G
等式约束的二次规划问题
从而由式(4)可得问题(1)的最优解为：
x* Qc Rb
λ*
RT c
Gb
(5)
Q H1 H1AT AH1AT 1 AH1
当
H 1
存在时，可得
Q,
R,
G
的表达式为：
R G
H1AT AH1AT AH1AT 1
维列向量。
特别的，当 H 正定时，目标函数为凸函数，线性约束下可行域又是凸集，问题
称为凸二次规划。凸二次规划是一种最简单的非线性规划，且具有如下性质：
(1) K-T 条件不仅是最优解的必要条件，而且是充分条件；
(2) 局部最优解就是全局最优解。
等式约束的二次规划问题
等式约束的二次规划问题可以表示为：
第七章 二次规划
二次规划问题的数学模型
二次规划（Quadratic Programming，简称 QP)问题可以表述成如下标准形式：
min f x 1 xT Hx cT x
2
s.t. Ax b
其中 H Rnn 为 n 阶实对称矩阵，A 为 m n 维矩阵，c 为 n 维列向量，b 为 m
0 0
0 , 2
c 0 , 1
b
0
，若写成矩阵形式，有：
H AT x c
A
0
λ
b
(4)
H AT
式中的系数矩阵 A
0
称为拉格朗日矩阵，它是对称的但不一定是正定的。
如果拉格朗日矩阵可逆，则可以表示为：
H
AT
1
Q
R
A
0
R
T
从而引起最优解 x* 的数值不稳定。
等式约束的二次规划问题
拉格朗日乘子法
问题(1)的拉格朗日乘子函数为：
L
x,
λ
1 2xTHxcTx
λT
Ax
b
。令：
λx
L L
x, x,
λ λ
0 0
Hx c AT λ 0
可以得到
K-T
条件：
Ax
x*
1
Hx*
c
，即：
2
1
1 1 1
12**
2 0 0
0 2 0
0
0 2
2 7
10 7
6 7
T
可以求得：
1*
8 7
, 2*
4 7
直接消去法思想简单明了，使用方便．不足之处是 B 可能接近一个奇异方阵，
λ*
RT f
x(0)
等式约束的二次规划问题
例2
用拉格朗日乘子法求解问题：
min s.t.
x12 2x22 x32 2x1x2 x3 x1 x2 x3 4 2x1 x2 x3 2
2 2 0 0
由问题可以知道如下矩阵表述： H 2 4
1
下面给出 x* 和 λ* 的另一种表达式。设 x(0) 是问题(1)的任一可行解，即 x(0) 满足关系式
Ax(0) b ，那么在 x(0) 处目标函数的梯度可以表示为：
f x(0) Hx(0) c
x* x(0) Qf x(0)
则式(5)可以写为：