高考数学概率与统计知识点

高中数学之概率与统计

求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率

解此类题目常应用以下知识:

(1)等可能性事件(古典概型)的概率:P(A)=)()(I card A card =n m

;

等可能事件概率的计算步骤: 计算一次试验的基本事件总数n ;

设所求事件A ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式

()m

P A n =

求值;

答,即给问题一个明确的答复.

(2)互斥事件有一个发生的概率:P(A +B)=P(A)+P(B); 特例:对立事件的概率:P(A)+P(A )=P(A +A )=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P(A ·B)=P(A)·P(B);

特例:独立重复试验的概率:Pn(k)=k

n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的

概率,此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”:

求概率的步骤是:

第一步,确定事件性质

??

??

???等可能事件

互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验

即所给的问题归结为四类事件中的某一种.

第二步,判断事件的运算

??

?和事件积事件

即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.

第三步,运用公式()()()()()()()()(1)

k k n k n n m P A n

P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -?

=???+=+?

??=??=-??等可能事件: 互斥事件: 独立事件: n 次独立重复试验:求解

第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复.

例1.在五个数字12345

,,,,中,。

例2.若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是(结果用数值表示).

[解答过程]0.3提示:

1

3

3

5

C33

.

54

C10

2

P===

?

例2.一个总体含有100个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为 .

[解答过程]1

.

20提示:

51.10020P == 例3.接种某疫苗后,出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗,至少有3人出现发热

反应的概率为__________.(精确到0.01) [考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力,以及推理和运算能力.

[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为

33244555550.800.200.800.200.800.94

C C C ??+??+?=.

故填0.94.

离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念

①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示.

②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列

①离散型随机变量的分布列的概念和性质

一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ,2x ,……,i x ,……,

ξ取每一个值i x (=i 1,2,……)的概率P (i x =ξ)=i P ,则称下表.

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为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.

由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质: (1)0≥i P ,=i 1,2,…;(2)++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列: (1)二项分布

n 次独立重复试验中,事件A 发生的次数ξ是一个随机变量,其所有可能的取值为0,1,2,…

n ,并且

k

n k k

n k q p C k P P -===)(ξ,其中n k ≤≤0,p q -=1,随机变量ξ的分布列如下:

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称这样

随机变量ξ服从二项分布,记作),(~p n B ξ,其中n 、p 为参数,并记:

)

,;(p n k b q p C k n k k n =- .

(2) 几何分布

在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量,

“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量ξ的概率分布为:

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例1.

厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品. (Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率; (Ⅱ)若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ,并求出该商家拒收这批产品的概率.

[解答过程](Ⅰ)记“厂家任取4件产品检验,其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算,有

()()

4110.20.9984

P A P A =-=-=

(Ⅱ)ξ可能的取值为0,1,2.

()2

17220136

0190C P C ξ===

, ()113172

2051

1190C C P C ξ==

=,

()232203

2190C P C ξ===

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1365133

01219019019010E ξ=?

+?+?=.

记“商家任取2件产品检验,都合格”为事件B ,则商家拒收这批产品的概率

()13627

1119095P P B =-=-

=

所以商家拒收这批产品的概率为27

95.

例12.

某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被

淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53

、52,且各轮问题能

否正确回答互不影响.

(Ⅰ)求该选手被淘汰的概率;

(Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ,求随机变量ξ的分布列与数学期望.

(注:本小题结果可用分数表示)

[解答过程]解法一:(Ⅰ)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)

i A i =,,,则

14()5P A =

23()5P A =,32

()5P A =

, ∴该选手被淘汰的概率

112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++

142433101

555555125=+?+??=

(Ⅱ)ξ的可能值为123,

,,11

(1)()5P P A ξ===

1212428

(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====?=

, 12124312

(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====?=

ξ∴的分布列为

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11235252525E ξ∴=?+?+?=

解法二:(Ⅰ)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)

i A i =,,,则

14

()5P A =

23()5P A =

,32

()5P A =.

∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()

P P A A A P A P A P A =-=-432101

1555125=-??=

. (Ⅱ)同解法一.

(3)离散型随机变量的期望与方差 随机变量的数学期望和方差

(1)离散型随机变量的数学期望:++=2211p x p x E ξ…;期望反映随机变量取值的平均水平.

⑵离散型随机变量的方差:+-+-=22

2121)()(p E x p E x D ξξξ…+-+n n p E x 2)(ξ…;

方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.

⑶基本性质:b aE b a E +=+ξξ)(;ξξD a b a D 2

)(=+.

(4)若ξ~B(n ,p),则 np E =ξ ; D ξ =npq (这里q=1-p ) ;

如果随机变量ξ服从几何分布,),()(p k g k P ==ξ,则

p E 1

=

ξ,D ξ =2

p q 其中q=1-p.

例1.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ε、

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思路:一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值,即期望;二是要看出次品数的波动情况,即方差值的大小.

解答过程:工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为:

7.0103

210111060=?+?+?

=εE ,

891.0103

)7.02(101)7.01(106)7.00(222=?-+?-+?

-=εD ;

工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为:

7.0102

210311050=?+?+?

=ηE ,664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222=?

-+?-+?-=ηD

由E ε=E η知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但D ε>D η,可见乙的技术比较稳

定.

小结:期望反映随机变量取值的平均水平;方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度. 例2.

某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为

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250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.

(Ⅰ)求事件A :“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率()P A ; (Ⅱ)求η的分布列及期望E η.

[解答过程](Ⅰ)由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”. 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”

2()(10.4)0.216P A =-=, ()1()10.2160.784P A P A =-=-=.

(Ⅱ)η的可能取值为200元,250元,300元.

(200)(1)0.4P P ηξ====,

(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=,

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