古为今用洋为中用

古为今用，洋为中用——数学文化课堂理念下对“球体”的教学设计李跃全（无锡市第六高级中学 江苏无锡 214000）《普通高中数学课程标准》明确指出要体现数学的文化价值。

“数学是人类文化的重要组成部分”，重视数学的文化价值是新课标的基本理念之一，这充分体现了数学课程改革对数学史在数学教育中的作用和价值的重视。

与此同时，国内学者许多专家学者（如于介石、李文林、张奠宙、顾沛、宋乃庆、王青建、张维忠、汪晓勤等）檄文说明从数学史的角度构建数学文化课堂的必要性。

早在20世纪70年代，欧美众多著名数学家、数学史家和数学教育家（如荷兰数学教育家H ．Freudenthal 批评那种过于注重逻辑严密性、没有丝毫历史感的教材乃是“把火热的发明变成了冷冰冰的美丽"，认为数学史应该是数学教师用于数学教学的必备知识；美国著名数学家M.Kline 十分强调数学史对数学教育的重要价值，认为每一位中学和大学数学教师都应该知道数学史，有许多理由，但最重要的一条理由或许是数学史是教学的指南。

）提倡将数学史与数学本身相结合，将数学史与数学教育关系进行深入研究，服务于数学教育，并付诸于课堂实践。

由此可见，在倡导素质教育的今天，教师过于注重逻辑严密性，仅从知识体系教学生冰冷的数学知识，却掩盖了数学创造者火热的思考与社会生活背景文化，已不能满足当前数学教育的需要。

基于上述教学理念，笔者对“球的体积”的历史进行深入研究；理解了球的体积历史进化的关键步骤，并在现代情境下重新构建了适合当前教育的需求的数学文化课堂，让学生充分感受，凝聚了几千年数学发展中的创造精神和理性精神，闪耀着人类智慧的光芒的“球文化”，并按从易到难采取有序的问题驱动模式，揭示球体积产生的动机、发展和证明，在理念和具体实施方略上构建数学文化课堂。

以下笔者分别从“中算”“和算”“西算”数学史角度重构“球的体积和表面积”与读者分享交流，以期共同提高。

方案一：（一）穿越历史，创设情境：古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯说：“一切立体图形中最美的是球”，将课前准备的足球放在讲台上，怎么求它的体积呢？等待并总结学生的奇思妙想后，让学欣赏古人的妙招。

电脑PPT 放映课前准备的关于球的体积公式的数学发展史（为了提高课堂效率，突出效果，PPT 图文并茂，以播放录音的方式介绍：（重点介绍）中国自《九章算数》始，经张衡、刘徽提出的质疑，从而提出刘徽的牟合方盖的体积问题，到数学家祖暅原理的提出得刘徽的牟合方盖的体积，从而解决球积问题，直到晚清数学家徐有壬吸收了前人和古代数学的优秀成果，又有所创新的对球体积公式作出了出色的证明，记载于其名著《截球解义》中；（简介）日本自《割算书》始，经村濑义益的《算法勿惮改》给出球的体积近似公式，到被尊为日本“和算之圣” 的数学家关孝和在《括要算法》中通过用“会玉术”给出球体体积明确的计算过程，但仍是一个近似的求解方法，直到松永良弼《立图1 图2圆率》首次用极限的概念求出了球体的公式；（简介）欧洲主要介绍古希腊学者阿基米德的名著《论球与圆柱》，他巧妙的利用擅长的“力学原理” 求出球体积公式，并用穷竭法进行严格推理证明；意大利数学卡瓦利里应用其原理求得球体的体积公式。

时间控制在7分钟以内为宜）。

（二）古为今用，数学建构：（此时学生已学过圆柱圆锥的体积公式及推导，并已了解球体积的发展历史，为应用祖暅原理在知识和思想方法提供了必要准备），与学生一起分析上面求柱体积公式的过程，发现其关键是利用祖暅原理构造一个与已知几何体在等高处截面积相等的参照体。

如何构造与球体积相等的几何体呢？在师生互动环节，引导学生将问题迁移到分析半球体在h 高度处的截面面积()2222=S R h R h πππ=--入手，将其视为两圆的面积之差，即内、外半径分别为h 、R 的一个圆环的面积。

其中半径为R 的外圆环自下而上相叠形成圆柱，当h 的值由0增大到R 时，内圆环自下而上相叠形成一个倒立圆锥（为具有更好地直观效果，建议运用几何画板或者flash 软件动态地演示几何体的形成过程（如图1）），再利用球的对称性，便可构造出与已知球等高处截面处处相等的几何体（如图2，即晚清数学家徐有壬所构造的几何体），于是运用祖暅原理，学生容易得出此球体积是其外切圆柱体积的三分之二，即2223V R R π=⋅⋅球体，进而推导出球体积公式343V R π=⋅球体。

接下来按照教材中分割、求近似和、转化为准确和的积分思想直接推导球体的表面积公式，不再敷述。

方案二：（一）穿越历史，创设情境：情境同方案一，重点介绍日本推导球体积公式的数学发展历程，特别是日本“和算之圣” 的数学家关孝和的《括要算法》的中“垛积术”和松永良弼的《算法集成》中的《立圆率》，其他简介即可。

（二）洋为中用，数学建构：在《立圆率》中，松永良弼概述了自己的方法“切球为数万片，以切口之径为弦。

自之各和，以圆法及厚相乘，便得球形。

”直述大意步骤如下：S1：用一组等距的平行平面将半径为R 的球的切为2n 等份（如图3）；（由球的对称性可知，只需研究被等距分割的半球，为便于研究，将半球切片自下而上分别编号1—n ，并思考：每个切片的厚度为多少呢？）S2：把下切口的直径作为底的直径，计算高度为R n的圆柱体的体积（如图4），视圆柱体积为该切片体积的近似值；（引导学生计算第i 个切片体积2i i R V r nπ≈⋅⋅)1(n i ⋯⋯=、２　，关键在于求i r （即第i 个切片的底面半径），可先求123,,r r r 寻找规律，借助已学数列知识求得222)1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=i n R R r i ，体会一般与特殊的辩证关系。

并让学生思考：还可以怎样求得该切片体积的近似值呢？等待并总结学生的方法后，简介和算家村松茂清和松永良弼解决此问题的第i O 图3 图4 i r (1)R i n -A iR O B i 图5妙招，感受古代日本数学家思考问题的严谨与追求卓越的人格魅力。

）S3：计算n 个切片的近似体积之和，将其作为球体积的近似值；（高二学生已经学习过数列相关知识，容易解决体积求和问题，即123n V V V V V ≈++++半球()22232121n R n n n π⎡⎤+++-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()3212116n n n R n n n π-⋅⋅-⎡⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦ 23223116n n R n π⎡⎤-+=-⎢⎥⎣⎦32211326R n n π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭） S4：当n 趋近无穷大时，1n趋近于0，将体积和近似值化为准确值。

（通过对球的体积公式的推导，让学生总结推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求近似和——转化为准确和”，体现了算法、有限与无限和极限思想，蕴含积分思想。

为下文推导球体的表面积公式提供有利的方法和理论依据，更为学生后续学习微积分和近代数学知识奠定了基础。

）接下来按照教材中分割、求近似和、转化为准确和的积分思想直接推导球体的表面积公式，不再敷述。

方案三：（一）穿越历史，创设情境：情境同方案一，重点介绍古希腊学者阿基米德的名著《论球与圆柱》，他巧妙的利用擅长的“力学原理” 发现了球的体积公式，并运用穷竭法无限分割逼近，最后阿基米德用归谬法给以严格的证明，他还推算出球与其外切圆柱的表面积之比为三分之二，据说这些是平生他最满意的研究结果之一，在他去世后，人们将“球与其外切圆柱”图形刻在他的墓碑上来纪念这位伟人。

（二）洋为中用，数学建构：在古希腊时代数学家阿基米德是通过什么方法推导出球的体积公式呢？让我们一起来穿越时空，寻找他研究球的体积的历史痕迹。

在《论球与圆柱》中，阿基米德概述具体论证方法和过程如下：S1：用一组等距的平行平面将半径为R 的球的切为2n 等份（如图3）；（由球的对称性可知，只需研究被等距分割的上半球，为便于研究，将上半球切片自下而上分别编号1—n ，再作每个切片的外接和内接圆柱（如图5）；（思考：每个切片体积与其内、外接圆柱的体积大小关系（即V V V <<内接圆柱切片外接圆柱））。

S2：每个切片的上下切口分别作为内、外接圆柱体的底面，计算高度为R n的内、外接圆柱体的体积（如图6）；（引导学生研究计算第i 个切片内、外接圆柱体的体积，关键在于求寻内、外接圆柱体的底面半径i a 和i b (1,2,3,,i n =)，可先计算123,,a a a ，123,,b b b 寻找规律，再借助已学数列知识求得222i R i a R n ⋅⎛⎫=- ⎪⎝⎭和222(1)i R b R i n ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，最后计算可得该切片内接圆柱体积32221i i R R i A a n n n ππ⎛⎫=⋅⋅=- ⎪⎝⎭和外接圆柱体积()232211i i i R R B b n n n ππ⎡⎤-=⋅⋅=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

并思考：半球的体积、其内接圆柱的体积和、外接圆柱的体积和之间的关系？）S3：分别计算半球内、外接圆柱体积之和；（高二学生已经学习过数列相关知识，容易解决体积求和问题，即 半球内接圆柱体积之和为123n A A A A ++++3222212R n n n n π⎡⎤+++=-⎢⎥⎣⎦()()3212116n n n R n n n π⋅+⋅+⎡⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦23223116n n R n π⎛⎫++=- ⎪⎝⎭32211326R n n π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭。

半球外接圆柱体积之和为123n B B B B ++++()22232121n R n n n π⎡⎤+++-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()()3212116n n n R n n n π-⋅⋅-⎡⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦23223116n n R n π⎡⎤-+=-⎢⎥⎣⎦32211326R n n π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭。

S4：当n 趋近无穷大时，1n 趋近于0，将体积和近似值化为准确值。

（由上可知 123123123n n n A A A A V V V V B B B B ++++<++++<++++，即 3322211211326326R V R n n n n ππ⎛⎫⎛⎫--<<+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭半球，让学生体会有限逼近无限的思考过程，再由阿基米德所用的归谬法便可得323V R π=半球，即343V R π=球。

最后让学生总结推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求近似和——转化为准确和”，体会算法、有限与无限、极限的思想和“化整为零，积零为整”的积分思想。

为下文推导球体的表面积公式提供有利的方法和理论依据，更为学生后续学习微积分和近代数学知识奠定了基础。

）接下来按照教材中分割、求近似和、转化为准确和的积分思想直接推导球体的表面积公式，不再敷述。