第5章 杆、梁结构有限元分析
Q1l 2 M 1l 转角： i 0 2EI EI 6EI M i 2 a21 l M j Qi l M i a41
即求得了单元刚度矩阵[Ｋ]中第一列的四个元素：（分别等于上述四个结点力）
12EI a11 3 l
6EI a21 2 l
12EI a31 3 l
5.2 平面梁单元
5.2.4 铰结点的处理
在杆件系统中会遇到一些杆件通过铰结点和其它杆件相联结。 如图的框架结构，4根杆件汇交于结点4，杆件②与结点4铰接，其它杆则为 在这种结点(结点4)上应该注意到: 刚接。 (1) 结点4上各杆具有相同的线位移， 但截面转动不相同。
刚接于结点上的各杆具有相同的截面转动， 而与之铰接的杆件却具有另外的截面转动。 例如在图示结构中，在受载后，在结点4，杆 件③，④，⑥将具有相同的截面转动，而杆 件②则具有与其它杆件不同的截面转动。
(2) 结点上具有铰接的杆端不承受弯矩，因此在结点上只有刚接的各 杆杆端弯矩参与结点的力矩平衡。
杆件②在铰接端的杆端弯矩为零，只有杆件③，④，⑥在结点4上与外弯矩保 持平衡。
单元②的铰接端，只有位移自由度参加总体集成，而转动自由度是不参加集 成的。 对于单元②来说，此自由度属于内部自由度性质，为算法的方便起见，在总 体集成前，应在单元层次上将此自由度凝聚掉。具体方法 (参见王勖成的有 限单元法基本原理)，略。 对于一端为铰接的单元：
e e {a } [T ]{a}
同理：
e e {P } [T]{P}
e
K
[T ] K [T ]
T e
5.1 平面杆单元
5.1.4 任意取向的平面杆单元
{a}e [T ]{a}e {P}e [T]{P}e
Ke [T]T K e [T]
K
e
5-1 平面杆单元
5-2 平面梁单元
5.1 平面杆单元
局部坐标系下的承受轴向载荷的等截面直杆如图所示
其中: f(x)是轴向的分布载荷(例如重力，离心力等) 。 P1，P2 ，P3是轴向的集中载荷。
假定应力在截面上均匀分布，原来垂直于轴线的截面变形后仍保持和轴 线垂直，问题可以简化为一维问题。 如以位移为基本未知量，问题归结为求解轴向位移函数u(x)
元计算，画M图
2．已知图示连续梁的的结点转角为：，试用 有限元计算单元杆端弯矩，并画弯矩图。
• ；（4’）
① M1 12.86 ② (kN m) M 2 25.71
；（4’）
② M2 25.71 ② (kN m) M 3 0
对于两端都为铰接的单元
这一点与材料力学中梁的 内力符号规定不同。
5.2 平面梁单元
5.2.1 不计轴力的平面梁单元
梁结构的每个单元都是在两端受力作用下而发生变形的。 显然，单元两端的节点力与此单元的节点位移是有联系的。 在弹性范围内、小变形情况下，两者间有线性关 i 21 a Q j 31 M j a41
0 EI 6l 3 l EI 4 l 0 EI 6 2 l EI 2 l
e
AE/l 0 0 AE/l 0 0
EI 12 3 l EI 6 2 l 0 EI 12 3 l EI 6 2 l
0
0 EI 6 2 l EI 2 l 0 EI 6 2 l EI 4 l
5.1 平面杆单元
5.1.4 任意取向的平面杆单元
前面讲的杆单元及其刚度矩阵， 是局部坐标系下的.
{P}e K e {a}e
pi {P} pj
e
ui {a} uj
e
[T ]
杆单元在总体的坐标系中可能是 任意取向的。
{P}e K e {a}e Xi Y ui e j {a} {P}e uj X i Yj
5.2.1 不计轴力的平面梁单元
1
当w1=1，且w2=0， φ1=φ2=0时，梁单 元变形相当于一种悬臂梁的变形，如 图所示。由梁的变形公式有:
Qi
Mi
Q1l 3 M 1l 2 挠度： wi 1 3EI 2EI 12EI 联立，可解出： Qi 3 a11 l 再由平衡方程解得： Q j Qi a31
5.2.2 考虑轴力的平面梁单元
ui v i φi e {a} u j v j φ j
Pi Q i Mi e {P} Pj Qj M j
每个结点i只有一个位移参数ui，
5.1 平面杆单元
5.1.3 单元分析：
将
代入最小势能泛函
进一步由
e
e K { a } {P} e
可以得到有限元求解方程
其中： [K]e通常可以显式 积分出具体数值：
分布载荷f(x)中可以包含集中载荷。但在实际离散时，通常 在集中载荷作用处设置结点，这时集中载荷可以直接施加 在结点上，而不必进行积分计算。
将梁用上述单元离散，并将上列挠度函数代人泛函后，泛函变分=0，得 到有限元求解方程：
6l 12 6l 12 4l 2 6l 2l 2 EI 6l 3 l 12 6l 12 6l 2 2 6 l 2 l 6 l 4 l
5.2 平面梁单元
[T ]
K
e
5.2 平面梁单元
5.2.1 不计轴力的平面梁单元
通常可以忽略轴力的影响。 承受横向载荷和弯矩作用的等截面梁，
今考虑等截面细长水平梁单元e，节点i，j 长度为l ，惯性矩为I，弹模 为E。
5.2 平面梁单元
5.2.1 不计轴力的平面梁单元
为计算方便，各单元节点 力的正向都取为一致、与 节点载荷的正方向是一致 的。 单元的结点位移为挠度w和转角φ。 记节点位移分量为wei, φei和wej ,φej,
ui v i φi u j v j φ j
e K { a } {P} e
其中单元刚度矩阵[K]e为６*６的方阵。
5.2 平面梁单元
5.2.3 考虑轴向变形和剪切变形的平面梁单元
5.2 平面梁单元
5.2.4 任意取向的平面梁单元
在小变形条件下，侧向位移和转角都不影响轴向力。 轴向力只取决于轴向位移。
Pi Q i Mi Pj Qj M j
简记为：
AE/l 0 0 AE/l 0 0
0 EI 12 3 l EI 4 l 0 EI 12 3 l EI 6 2 l
5.1 平面杆单元
5.1.1 承受轴向载荷等截面直杆的基本方程:
几何关系
应力应变关系 平衡方程 端部条件
将问题转换为和上述方程相等效的求解最小势能泛函的极值问题。
泛函为：
5.1 平面杆单元
5.1.2 用轴力杆单元对杆件进行离散：
i
e
j
典型的2节点杆单元如下：
xi xj
x i j
=1
关系如下：
=-1 ξ是单元内的自然坐标，x是杆件总体坐标。
6EI a41 2 l
5.2 平面梁单元
5.2.1 不计轴力的平面梁单元
用同样的方法，可解出单元刚阵的其余各元素，即可求得水平梁单元的单 元刚阵，有
6l 12 6l 12 6l 2 2 4 l 6 l 2 l EI e K 3 l 12 6l 12 6l 2 2 6 l 2 l 6 l 4 l
上式写成分块形式为
EI kii K 3 l k ji
e
kij k jj
5.2.1
不计轴力的平面梁单元
泛函宗量是挠度w， 最小位能泛函为： 上述方程也可由最小位能原理得到，
单元内挠度采用Hermite插值:
(c1连续性，即保证单元基本未知量的导数的连续性)
单元的基本未知量是结点挠度w和挠度导数dw/dx，即转角dw/dx=φ。 记节点位移分量为wi, φi和wj ,φj,
简记为：
a12 a22 a32 a42
e
a13 a23 a33 a43
a14 wi φ a24 i a34 w j a44 φ j
{P}e K {a}e
？
单元刚度矩阵[K]e为4*4的方阵，其中每个元素都是常数。
5.2 平面梁单元
单元的结点位移为线位移ｕ，v和转角φ。 记节点位移分量为ｕei, vei, φei和ｕej , vej , φej,
ui
i
i vi
e
j vj
j
uj
单元的结点力为弯矩M和剪力Q， 记对应的节点力为 Qei, Mei和Qej , Mej 。
Pi
Mi
i Qi
e
j Qj
Μj
Pj
5.2 平面梁单元
5.2.2 考虑轴力的平面梁单元
i
i wi
e
j wj
j
wi i e {a} w j j
单元的结点力为弯矩M和剪力Q， 记对应的节点力为 Qei, Mei和Qej , Mej 。
即切力Q均以向上为正，弯 矩M均以逆时针为正。
Mi
i Qi
e
j Qj
Μj
Qi M i {P}e Qj M j
前面讲过的梁单元及其刚度矩阵，是局部坐标系下的. 梁单元在总体坐标系中可能是任意取向的。因而必须进行旋转坐标变换。
{a}e [T ]{a}e {P}e [T]{P}e
e e T K [T] K [T]
有限元分析基础(推荐完整)
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
10
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
11
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式
（1）结点： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 （2）支座： ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ；
③ 固定支座 ；④ 定向支座
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第二章 结构几何构造分析
2.2.2 结构的分类与基本特征
(1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构： 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大，具有同一量级。 ④ 混合结构
d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持 几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构 遭受破坏。
e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
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第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
19
杆梁结构的有限元分析原理
e
下面考察该简单问题的FEA求解过程。 (1) 离散化
两个杆单元，即：单元①和单元②
(2) 单元的特征及表达
对于二结点杆单元，设该单元的位移场为 么它的两个结点条件为
，那
设该单元的位移场具有模式（考虑两个待定系数）
利用结点条件，可以确定系数a0和a1，即
将系数a0和a1代入
，可将
表达成结点位移(u1, u2)的关系，即
其中， 为整体坐标系下的单元刚度矩阵， 为 整体坐标系下的结点力，即
由最小势能原理（针对该单元），将 对待定的 结点位移向量 取一阶极小值，有整体坐标系中 的刚度方程
对于本节给出的杆单元，具体有
4.3.3 空间问题中杆单元的坐标变换
就空间问题中杆单元，局部坐标系下的结点位移还 是 而整体坐标系中的结点位移为
这时由全部结点位移[0 u2 u3]分段所插值 出的位移场为全场许可位移场。
由最小势能原理（即针对未知位移u2和u3求 一阶导数），有
可解出
(5) 计算每个单元的应变及应力
在求得了所有的结点位移后，由几何方程
可求得各单元的应变
由方程 可求得各单元的应力
(6) 求结点1的支反力
就单元 ①的势能，对相应的结点位移求极值，可以 建立该单元的平衡方程，即
其中
由一维问题几何方程和物理方程，则该单元 的应变和应力为
其中
单元的势能
其中 叫做单元刚度矩阵。
叫做单元结点外载。
在得到“特征单元”的单元刚度矩阵和单元 结点外载后，就可以计算该单元的势能，因 此，计算各单元的矩阵 和 是一个关 键，下面就本题给出了个单元的 和 。
具体就单元①，有 单元①的结点位移向量
(5) 单元的刚度方程
ANSYS Workbench 17·0有限元分析：第5章-线性静态结构分析
第5章 线性静态结构分析 在工程应用中，经常会遇到计算在固定不变的载荷作用下的结构效应，主要有平面应力、平面应变、轴对称、梁及桁架分析、壳分析、接触分析等问题的求解，这些问题均是线性静态结构问题，线性静态结构分析是有限元（★ 掌握线性静态结构分析的基本过程。
5.1 线性静态结构分析概述线性静态结构分析（Lines Static Structural Analysis ）用于计算在固定不变的载荷作用下结构的效应，它不考虑惯性和阻尼的影响，如结构随时间变化载荷等情况。
静力分析可以计算固定不变的惯性载荷对结构的影响（如重力和离心力），以及可以近似为等价静力作用的随时间变化载荷（如通常在许多建筑规范中所定义的等价静力风载和地震载荷）。
在经典力学理论中，物体的动力学通用方程为：[]()[]()[]{}(){}M x C x K x F t ++=&&&其中[]M 为质量矩阵，[]C 为阻尼矩阵，[]K 为刚度系数矩阵，{}x 为位移矢量，{}F 为力矢量。
在线性静态结构分析中，力与时间无关，因此位移{}x 可以由下面的矩阵方程解出：[]{}{}K x F =在线性静态结构分析中，假设[]K 为一常量矩阵且必须是连续的，材料必须满足线弹性、小变形理论，边界条件允许包含非线性的边界条件，{}F 为静态加载到模型上的力，该力不随时间变化，不包括惯性影响因素（质量、阻尼等）。
静力分析用于计算由不包括惯性和阻尼效应的载荷作用于结构或部件上引起的位移、应力、应变和力等。
假定载荷和响应是固定不变的，即假定载荷和结构的响应随时间的变化而缓慢变化。
静力分析所施加的载荷包括：ANSYS Workbench 17.0有限元分析从入门到精通外部施加的作用力和压力。
稳态的惯性力（如中力和离心力）。
位移载荷。
温度载荷。
5.2 线性静态结构的分析流程在ANSYS Workbench 左侧工具箱中Analysis Systems 下的Static Structural 上按住鼠标左键拖动到项目管理区，或双击Static Structural 选项，即可创建静态结构分析项目，如图5-1所示。
第5章 杆单元和梁单元
1 u2 E (2) A(2) (2) 2 u3 l
1 1 u2 1 1 1 u 2 R2 3
u1 在这里，把表达成整体位移矢量 u 2 的函数，如下： u 3
5.1 杆件系统的有限元分析方法
(1) (1) (1)
F3 10N
，进行相应的单元应力计算。得到的结果如下：
0 u1 4 u2 2.5 10 m u 7.5 10 4 m 3
(2) ( x) 5 103 (1) 0.05MPa (2) = 0.1MPa
第五章 杆单元和梁单元
第5章 杆单元和梁单元
本章主要介绍利用杆单元及梁单元进行结构静力学的有限 元分析原理。首先介绍了杆单元的分析方法，详细给出了采用 杆单元进行有限元分析的整个过程；紧接着介绍了平面梁单元 ，以一个平面悬臂梁力学模型为分析实例，分别采用材料力学 、弹性力学解析计算以及有限元法进行了分析与求解，以加深 读者对有限元法的理解。
E (2) A(2) (2) u2 1 u2 l 0 F3 (2) (2) E A u3 2 u3 l (2)
5.1.1 一维杆单元
u2 由最小势能原理，势能函数对未知位移 求变分，满足 u3 的条件是 ，得如下方程式 0, 0
P 1 , u1
E e , Ae , l e
1
图 5-2 杆单元
P2 , u2
2
对于两个节点的杆单元，存在如下节点力和节点位移的关 系式 u P 1 e 1 (5.1) k
P2
u2
其中， k e 称为单元刚度矩阵
5.1.1 一维杆单元
杆系结构有限元
有限单元法
土木工程学院
P-4
1.4.1 坐标转换矩阵
在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向
量可分别表示成
de d dije e ui vi i uj vj
k42② k52② k62②
0
k46①k13② k56①k23② k66①k33②
k43② k53② k63②
0
k14② k24② k34② k44②k44③ k54②k54③ k64② k64③
k15② k25② k35② k45②k45③ k55②k55③ k65② k65③
k16② k26② k36② k46② k56② k66②
有限单元法
土木工程学院
P-27
1.5 按单元定位向量形成总刚度方程
按单元定位向量形成总刚度方程
前面介绍“对号入座”形成总刚的方法，是讲子 块的对号入座，而在计算机程序中必须是将单刚的 每个元素，用赋值语句送给总刚的相应位置，这比 子块对号入座复杂，加上结构各种不同的约束情况， 使其更难处理。因此，在先处理法中，常引进单元 定位向量的概念。利用单元定位向量则可灵活地处 理各种约束情况。
单元② i 端的杆端力 与2，3节点位移相关
根据杆端位移与结点位移之间的谐调关系 ── 代 入几何条件
d 2 ① d 2 ② D 2 d 1 ① D 1 d 3 ② D 3 则 P 2 K 2① 1 D 1 (K 2① 2 K 2② 2 )D 2 K 2② 3 D 3
有限单元法
土木工程学院
0
0
第五章杆系结构的有限元法
第五章 杆系结构的有限元法 5.1 引言杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系，包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等。
其组成形式虽然复杂多样，但用计算机进行分析时却较为简单。
杆系结构中的每个杆件都是一个明显的单元。
杆件的两个端点自然形成有限元法的节点，杆件与杆件之间则用节点相连接。
显然，只要建立起杆件两端位移与杆端力之间的关系，则整体平衡方程的建立与前几章完全相同。
杆端位移与杆端力之间的关系，可用多种方法建立，包括前面几章一直采用的虚功原理，但是采用材料力学、结构力学的某些结论，不仅物理概念清晰、直观，而且推导过程简单明了。
因此，本章将采用这种方法进行单元分析。
至于整体平衡方程的建立，则和前面几章所讲的方法一样，即借助于单位定位向量，利用单元集成法进行。
5.2 平面桁架的有限元分析平面桁架在计算上有以下几个特点： 1． 杆件的每个节点仅有两个线位移； 2． 杆件之间的连接为理想铰，即在节点处各杆件可相对自由转动，且杆件轴线交于一点。
3． 外载荷均为作用于节点的集中力。
由于以上特点，所以在理论上各杆件只产生轴向拉、压力，截面应力分布均匀，材料可得到充分利用，因此桁架结构往往用于大跨结构。
5.2.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵从平面桁架中任取一根杆件作为单元，称作桁架单元，单元长为L ，横截面面积为A ，图5.1。
两端节点分别用i 和j 表示，规定从i 到j 的连线方向为局部坐标x 轴，垂直于x 的方向为y 轴。
图5.1由于桁架中各杆只产生轴向力和轴向变形，所以节点i 和j 只发生沿x 方向的位移，用i u 和j u 表示，相应的杆端轴力分别用xi F 和xj F 表示。
由虎克定律可推得)()()(j i i j xj j i xi u u L EA u u L EA F u u LEAF --=-=-=将这两个式子写成矩阵形式，就是e j i exj xi u u L EA LEA L EA L EA F F ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ (5.1)显然，在局部坐标系下，i 、j 两节点沿y 轴方向的位移0==j i v v ，在y 轴方向的节点力0==yj yi F F 。
有限元 5-有限条法
第5章 有限条法5.1引言一、 发展概况有限条法(Finite Strip Method)诞生于二十世纪60年代，一般认为主要创始人有：Y.K.Cheung(张佑启)教授和G.H.Powell(鲍威尔)、 D.W.Ogden(奥格登)两人。
Y.K.Cheung 在1966～1969年间首先用有限条法研究了矩形薄板弯曲问题，后两人开始于板式桥梁的研究工作。
二、有限条法的力学模型有限条法可看作是有限元的一种特殊形式或分支，是一种（有限元）半解析法，适应于一些量大面方的，常用的规则结构形式，采用有限条法可使弹性力学中的二维问题化为一维问题（三维化二维），使总刚方程降阶，从而提高效率。
象有限元一样，有限条法亦需将连续体离散化，所不同的是，不象有限元一样可沿任意方面离散，而只能沿某一方向。
如图示矩形板，用有限元分析（矩形元）的网格划分如右图示，而有限条则是沿x 方向等分成若干条带。
有限条：x 方向采用多项式插值函数 )(x f f = （梁函数）y 方向采用三角级数表示：)(y Y f =然后板的位移函数采用一总和函数表示：å==rm my Yx f w 1)()(5.2 梁函数和基本函数一、梁函数梁函数用以表示条元的横向变化规律。
图示梁有两个结点(i,j), 每个结点两个位移: 线位移(挠度)1d 、3d ； 角位移2d 、4d 任意点的位移函数:231234()f x x x x a a a a =+++代入边界条件可得：[]{}12323232322322323432232()1d d x x x x x x x x f x x L d d bb b b b b b b d ìüïïéùïï=-+-+--+=íýêúëûïïïïîþ51- [L]为在第二章中推导出的平面梁单元的形函数,此处称梁函数。
上海交大计算结构力学课件ppt杆系结构有限元01
第5章 杆系结构有限元(1)有限元方法是在结构力学中的结构矩阵位移法的基础上发展起来的。
杆系结构：几何形状简单 杆系结构矩阵位移法：（直接有限元法）： 杆的力与位移的关系容易求得 几乎包含了有限元的主要思想 （没有位移插值的问题）(2)基于最小势能原理的杆系结构FEM 分析5．1 直杆受轴向力杆的有限元受力特点： 只有轴向力的作用主要的控制方程：几何关系： x ux ε∂=∂应力应变关系： x x uE E xσε∂==∂边界条件： u u = （给定位移）uA E P x ∂⋅=∂ （给定载荷）平衡方程： 22()()x A uAE f x x x σ∂∂==∂∂最小势能原理的描述：200()2LLp EA u dx uf x dx x ∂⎛⎫∏=- ⎪∂⎝⎭⎰⎰直杆的解u 满足上述控制方程等价于u 使得势能p ∏取最小值。
同样的划分单元，并且单元和节点编号 单元编号：1,2,.....e N =节点编号：1,2,...i n =节点的位移和力向量[][][][]i ii i u p P δ==单元节点位移和节点力向量（总体编号）[][]i i e e j j u P p u P δ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦单元节点位移和节点力向量（局部编号）[][]1122e e u P p u P δ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦以下讨论基于变分原理的有限元。
假定直杆单元内任意一点的位移可以表示为两个节点位移的线性插值。
取单元的局部坐标 11ξ-≤≤ 1212()[(),()][,]Tu N N u u ξξξ= 多个节点参数eu N u ]][[=)1(21)(1ξξ-=N)1(21)(2ξξ+=N)(2c x x l-=ξN 的将单元节点位移和单元内任意一点的位移建立了联系。
这个联系（线性插值）是我们假定的，因此不同的单元，可以采用不同插值模式，也就形成了不同精度的单元。
由势能极小 0pe u ∂∏=∂并注意到 2ld dx ξ=1012()()()()l eT T dN dN EA dN dN K EA dx d dx dx l d d ξξξ+-==⎰⎰101()()2leTTlP N f x dx N f d ξξ+-==⎰⎰可以直接给出刚度矩阵的积分以及等效载荷（均布轴向载荷）列阵的计算类似的三节点单元以及其他更高级的单元。
《有限元分析及应用》课件
受垂直载荷的托架
31
体单元
•线性单元 / 二次单元 –更高阶的单元模拟曲面的精度就越高。
低阶单元
更高阶单元
32
有限元分析的作用
复杂问题的建模简化与特征等效 软件的操作技巧（单元、网格、算法参数控制） 计算结果的评判 二次开发 工程问题的研究 误差控制
36
第二章 有限元分析的力学基础
(3) 研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz的分析方法（针对任意变
形体）
40
2.2 弹性体的基本假设
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
物质连续性假定: 物质无空隙，可用连续函数来描述 ；
物质均匀性假定: 物体内各个位置的物质具有相同特 性；
0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
0.12
X
0.056
0.058
X
0.06
28
Y
Y
0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08
0
-0.001
-0.002
-0.003 0.054
-0.1 0
0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
0.12
X
0.056
0.058
X
0.06
29
30
y
dy zy
1 2
zy
z
dz
0
略去微量项，得 yz zy
MY 0 zx xz
MZ 0
xy yx
剪切力互等定律
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二维问题: 平衡微分方程
x yx X 0
x y xy y Y 0 x y
剪切力互等定律
有限元分析第五章(第一部分)
第五章 等(Isoparametric Elements)在前面的章节中我们已经认识了三角形单元和矩形单元。
这两种单元的边均为直边，用直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能较准确地描述实际边界。
本章将要介绍的等参数单元是目前应用最广的一类单元，可用这类单元更精确的描述不规则的边界。
这类单元的出现不仅系统的解决了构造协调位移单元的问题，而且自然坐标系的描述方法也广泛为其他类型的单元所采用。
等参数单元在构造形函数时首先定义一个规则的母体单元（参考单元），在母体单元上构造形函数，再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来。
变换涉及两个方面：几何图形的变换（坐标变换）和位移场函数的变换，由于两种变换采用了相同的函数关系（形函数）和同一组结点参数，故称其为等参数变换。
§5-1四结点四边形等参数单元１、母体单元 自然坐标和形函数母体单元ê ：边长为２的正方形，自然坐标系ξ，η 示于图5-1。
取四个角点为结点，在单元内的排序为１、２、３、４。
仿照矩形单元，可定义出四个形函数显然有如下特点：（i ）是ξ，η的双线性函数 （ii ）(iii)２、实际单元与母体单元之间的坐标变换（１） 坐标变换设xy 平面上的实际单元e 由母体单元经过变换F 得到，即 且规定结点（ξi ，ηi ）与结点（x i , y i ）对应（i =1~4）。
这样的变换不只一个，利用（5-1-1）定义的形函数即可写出这种变换中的一个１图5-1 ())4~1()1(141),(=++=i N i i i ηηξξηξ),(ηξi N ⎩⎨⎧=≠=i j i i N ij i 当 当 ＝10),(δηξ),(ηξi N 1)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41),(41≡+-++++-++--=∑=ηξηξηξηξηξi i N e e F →： (5-1-2) (5-1-1) ii i i i i y N y x N x ⋅=⋅=∑∑==4141),(),(ηξηξ(5-1-3)（5-1-3）所定义的变换有如下特点：x , y 是ξ，η的双线性函数。