电路与模拟电子技术(第二版第三章习题解答

第三章 正弦交流电路

3.1 两同频率的正弦电压，V t u V t u )60cos(4,)30sin(1021?+=?+-=ωω，求出它们的有效值和相位差。

解：将两正弦电压写成标准形式

V t u )18030sin(101?+?+=ω V t u )9060sin(42?+?+=ω，

其有效值为

V U 07.72

10

1==

，V U 83.224

2== ?=?-?=150,15021021??或

?=-=?6021???

3.2 已知相量2

1421321,,322,232A A A A A A j A j A &&&&&&&&?=+=++=+=，试写出它们的极坐标表示式。

解： ?∠=?=???

?

??+=?304421234301j e j A & ?∠=???

? ??+=604232142j A &

312

2(21)(1)45A A A j j =+=++=+=∠?&&& 412

443060169016A A A j =?=?∠?+?=∠?=&&& 3.3 已知两电流 A t i A t i )45314cos(5,)30314sin(221?+=?+=,若21i i i +=，求i

并画出相图。

解：A t i )9045314sin(52?+?+=，两电流的幅值相量为

1230m I A =∠?&，A I m

?∠=13552&

总电流幅值相量为

)135sin 135(cos 5)30sin 30(cos 221?+?+?+?=+=j j I I I m

m m &&& ?∠=+-=++-=11285.453.480.1)2

251(2

253j j

A t t i )112314sin(85.4)(?+= 相量图如右图所示。

3.4 某二端元件，已知其两端的电压相量为V 120220?∠=U &，电流相量为A I ?∠=305&，

f=50H Z ，试确定元件的种类，并确定参数值。 解：元件的阻抗为

449044305120220j I U Z =?∠=?∠?∠==&&

元件是电感，44=L ω，

H L 14.050

244

44

=?=

=

πω

3.5 有一10μF 的电容，其端电压为V )60314sin(2220?+=t u ，求流过电容的电流i 无功功率Q 和平均储能W C ，画出电压、电流的相量图。

解：?∠=60220U &，6

11

3183141010

c X C ω-===Ω?? A j jX U I C ?∠=-?

∠=-=

15069.0318

60220&& A t t i )150314sin(269.0)(?+= 电流超前电压90°，相量图如右图所示。 Q C =-UI=-220×0.69=-152Var 2621110102200.2422

2

C W CU J -==???=

3.6 一线圈接在120V 的直流电源上，流过的电流为20A ，若接在220V ，50H Z 的交流电源上，流过的电流为22A ，求线圈的电阻R 和电感L 。

解：线圈可看作是电感L 与电阻R 的串联，对直流电，电感的感抗等于0，故电阻为

Ω===

620

120I U R 通以50Hz 的交流电时，电路的相量模型如右图所示

&R

+1

I 2&

I jX R I jX I R U U U L L L

R &&&&&

&)(+=+=+= I X R U L 22+=

Ω=-=-=86)22

220()(

22

22R I U X L 8

0.02525.5314

L

X L H mH ω

==

==

3.7 在题3.7图所示的电路中，电流表A 1和A 2的读数分别为I 1=3A ，I 2=4A ， （1）设Z 1=R ，Z 2=-jX C ，则电流表A 0的读数为多少？

（2）设Z 1=R ，则Z 2为何种元件、取何值时，才能使A 0的读数最大？最大值是多少？ （3）设Z 1=jX L ，则Z 2为何种元件时，才能使A 0的读数为最小？最小值是多少？ 解：Z 1、Z 2并联，其上电压相同

（1）由于Z 1是电阻，Z 2是电容，所以Z 1与Z 2中的电流相

位相差90°，故总电流为A 54322=+，A 0读数为5A 。 （2）Z 1、Z 2中电流同相时，总电流最大，因此，Z 2为电阻R 2时，A 0读数最大，最大电流是7A ，且满足RI 1=R 2I 2，因此

R R I I R 4

3212==

（3）Z 1、Z 2中电流反相时，总电流最小，现Z 1为电感，则Z 2为容抗为X C 的电容时，

A 0读数最小，最小电流是1A ，且满足3X L =4X C ，因此

L C X X 4

3=

3.8 在题3.8图所示的电路中，I 1=5A ，I 2=52A ，U=220V ，R =X L ，求X C 、X L 、R 和I 。

题3.7图

R

L 2

解：由于R=X L ，故2

I &滞后?45U &，各电压电流的相量图如图所示。由于I 1=I 2sin45o,所以I 1、I 2和I 构成直角三角形。U &与I &同相，且I=I 1=5A 。

Ω===

4452201I U X C ，2

442522022

2===

+I U X R L Ω===222

44

L X R

3.9 在题 3.9图所示的电路中，已知R 1=R 2=10Ω，L=31.8mH ，C=318μF ，f=50H Z ,U=10V ，求各支路电流、总电流及电容电压。

解：X L =ωL=314×31.8×10-3=10Ω，

6

11

1031431810

C X C ω-=

==Ω?? 电路的总阻抗

Z=（R 1+jX L ）||（R 2-jX C ） =

Ω=-++-+1010

101010)

1010)(1010(j j j j

设V U

?∠=010&，则 A Z U I ?∠==01&&，

A j jX R U I L ?-∠=+?∠=+=452

2101001011

&& A j jX R U I C ?∠=-?∠=-=452

2

101001022

&&

V j I jX U C C ?-∠=?∠?

-=-=4525452

2102&&

3.10 阻抗Z 1=1+j Ω，Z 2=3-j Ω并联后与Z 3=1-j0.5Ω串联。求整个电路的等效阻抗和等效导纳。若接在V 3010?∠=U

&的电源上，求各支路电流，并画出相量图。 解：等效阻抗

2

题3.9图

2

C

U &+-

Ω=-+-++-+=

+=25.0131)

3)(1(||321j j

j j j Z Z Z Z

等效导纳

S Z

Y 5.01==

接上电源后

?∠=?∠==3052

3010Z U I

&

& A j I Z Z Z I ?∠=?∠?-=+=6.1195.33054

32121

&&

A j I Z Z Z I ?∠=?∠?+=+=7577.13054

12112

&& 电压、电流相量图如图所示。

3.11 在题3.11图所示的移相电路中，若C=0.318μF ，输入电压为V 314sin 241t u =，欲使

输出电压超前输入电压?30，求R 的值并求出2

U &。 解：46

11

103140.31810

C X C ω-===Ω?? 由分压公式得

1

12

10000

U j R R U jX R R U C &&&-=-= 欲使2U &超前?301

U &，复数R-j10000的辐角应为-30°，即 ?=3010000

R

arctg

Ω=Ω=?

=

k tg R 3.173103010000

4 V j U ?∠=?∠?-=30320410

310

3104

4

42

&

3.12 已知阻抗Z 1=2+j3Ω和Z 2=4+j5Ω相串联，求等效串联组合电路和等效并联组合电路，确定各元件的值。设ω=10rad/s 。

解：Z=Z 1+Z 2=6+j8Ω，等效串联组合电路参数为

R=6Ω，X=8Ω

电抗元件为电感，

题3.11

图

mH H X L L

5.250255.0314

8

====

ω

等效并联组合电路参数

S X

R R G 06.08

662

222=+=+=，Ω==7.161

G R S X

R X B 08.02

2-=+-=， 电抗元件为电感，

mH H

B L 8.390398.008

.03141

1==?==

ω

3.13 在题3.13图所示电路中，U=20V ，I 1=I 2=2A ，u 与

i 同相， 求I 、R 、X C 和X L 。

解：1I &与2I &相位相差90°，故I =，由I 1=I 2得，I &超前C

U &45°，由于U &与I &同相，而L U &垂直I &，所以L U &垂直U ，又 U &=L U &+C U &，所以U &、L

U &、C U &构成直角三角形，相量图如图所示。

V U U C 2202==，V U U L 20==，

Ω===

2102

2

202I U X C C ，Ω==2101I U R C Ω===252

220I U X L L

3.14 用电源等效变换的方法求题 3.14图所示电路中的ab

U &，已知

A I V U S

S ?∠=?∠=010,9020&&。 解：等效电路如图所示

V V j j j j j j j U ab

?∠==?-+---=9015015052

52)20(10&& 题3.14图

S

-j X C

题3.13图

2

3.15 求题3.15图所示电路的戴维宁等效电路和诺顿等效电路。

解：（a ）由弥尔曼定理可得

10

1010(10100)11105

OC

j U j V j j +==--+-& 1010||(5)(1010)O Z j j j =+-=-Ω

（b ）ab 端开路时，A j j I 016

6606∠=-+?

∠=

&，故

V j I j I U OC

)66()6(6-=?-+=&&& 用短路电流法求等效阻抗，电路如图所示，对大回路有：

?∠=-+066)66(I I j &&， jA I -=&，A j I I C

?∠=-=016

6&&， A j I I I C

SC )1(-=+=&&& 6661OC O SC

U j Z j I -===Ω-&&

3.16 求题3.16图所示电桥的平衡条件。 解：由电桥平衡条件公式得

)1

()1||(3

32441C j R R C j R R ωω+?=?

j10Ω10Ω

j6&题3.15图

a

b b

a

j6&a

SC

I &

33331443344

424334

444

44

11

11

111R R j C j C R C R R j R R C j R R R C C R j C j R C R j C ωωωωωωω+

+

??===+-+ ???++ 由复数运算规则得

314243

R R C R R C =+ 3

4431

C C R R ω=

ω，即4

3431C C R R =ω

3.17 题3.17图所示电路中，V U S ?∠=010&，A I S

?∠=452&，用叠加定理求I &。 解：S

U

&单独作用时 A j j U I

S

25

010555=?∠=-+='&&

S I &单独作用时，由分流公式得

5555452905555

S

j j I

I A j j ++''=?=?=∠?+-&& A j I I I

?∠=+=''+'=452222&&&

3.18 题3.18图所示电路中，I S =10A ，ω=5000rad/s ，R 1=R 2=10Ω,C=10μF ，μ=0.5，求电阻R 2中的电流I 。

解：设A I S ?∠=010&，则V j C

j U C

200110-=ω?=& 对右边一个网孔，有 12R )I I (U R I S

C &&&&-+μ-=

A

)j (.)R I U (R R I S C ?∠=+?+-?-=

+μ-+=452510

1010

102005011

21&&

3.19 题3.19图所示电路中，U=120V ，求（1

）各

题3.17图

S

I &

题3.16图

题3.18图

2

&&

3

&

支路电流及总电流；（2）电路的平均功率、无功功率、视在功率和功率因数。

解：设V U

?∠=0120&，则 （1） A U I ∠?==

815

1&&， A j j U I ?∠==-=901212102&&， A j j U I ?-∠=-==906620

3&& 123

8126861036.9I I I I j j j A =++=+-=+=∠?&&&& 电流超前电压36.9o，电路呈容性。

（2）W UI P 960)9.36cos(10120cos =?-??==? var 720)9.36sin(10120sin -=?-??==?UI Q VA UI S 120010120=?==

8.0)9.36cos(=?-=λ

3.20 题3.20图所示电路中，V )45314sin(2220?+=t u ,A )30314sin(25?+=t i ,C=20μF ，求总电路和二端电路N 的有功功率、无功功率和功率因素。

解：V U ?∠=45220&，A I ?∠=305&，?=?-?=153045?

由于电容的有功功率等于0，无功功率

var X U

Q C

C 30410203141

2206

2

2

-=??-=-

=-，

故 W cos cos UI P P N 1062155220=???=?==

var sin sin UI Q 285155220=???=?= var )(Q Q Q C N 589304285=--=-= cos150.966λ=?=，875022.Q P P N

N

N

N =+=

λ

3.21 三个负载并接在220V 的正弦电源上，其功率和电流分别为P 1=

4.4kW ，I 1=44.7A(感性),P 2=8.8kW ，I 2=50A(感性)，P 3=6.6kW ，I=66A(容性)。求各负载的功率因数、

题3.20图

整个电路的功率因数及电源输出的电流。

解：设各负载的视在功率为S 1、S 2和S 3，则

44707

4422010443

11111...UI P S P =??===λ， ?==4.63447.0arccos 1?

80050

22010883

22222..UI P S P =??===

λ， ?==9.368.0arccos 2? 454066

22010663

33333..UI P S P =??===λ

负载为容性，故

?-=-=?6345403.arccos

各负载的无功功率为

var .tg P Q 31111088?=?=，var .tg P Q 32221066?=?=

var tg P Q 33331013?-=?=，

根据有功功率守恒和无功功率守恒，得：

var .Q Q Q Q 33211042?=++= W .P P P P 332110819?=++=

99302

2

.Q

P P =+=

λ，

总电流即电源电流为

A ...cos U P I 690993

022*******

=??=?=

3.22 一额定容量为10kAV ，额定电压为220V ，额定频率为50H Z 的交流电源，如向功率为8kW 、功率因数数为0.6的感性负载供电，电源电流是否超过额定电流值？如要将功率因数提高到0.95，需并联多大的电容？并联电容后，电源电流是多少？还可以接多少只220V ，40W 的灯泡？

解：电源额定电流为A .454522010103=?，负载电流为A ..6606

02201083

=??，超过电源额定电

流。

将负载的功率因数从0.6提高到0.95，需并联的电容容量为

F

)].(arccos tg ).(arccos tg [)

tg tg (U

P C μ=-??=

?-?ω=

5289506022031410823

02

并联电容后，电源电流为

A ...U P I 33895

022********

=??=?=

设并联电容后还可接入n 只40W 灯泡，接入n 只灯泡后的功率因数角为?，则

有功功率 8000+40n ≤104cos ? 无功功率 8000sin(arccos0.95)=104sin ? 解得

?=14.5°，n ≤42.07

故还可接42只灯泡。

3.23 有一RLC 串联电路，与10V 、50H Z 的正弦交流电源相连接。已知R=5Ω，L=0.2H ，电容C 可调。今调节电容，使电路产生谐振。求（1）产生谐振时的电容值。（2）电路的品质因数。（3）谐振时的电容电压。

解：（1）由得,10LC

=

ω

F F L

C μω7.502

.03141

1

2

20=?=

=

（2）56125

2

03140..R L Q =?=ω=

（3）V ..QU U C 61251056120=?==

3.24 一个电感为0.25mH ，电阻为13.7Ω的线圈与85pF 的电容并联，求该并联电路的谐振频率、品质因数及谐振时的阻抗。

解：由于Ω=>>??=-71310

8510250123

.R .C L ，故谐振频率为

MHz ..LC

f 09110

8510

250321

2112

3

0=????=

π≈

--

品质因数 1257

13102501009114323

60=?????=ω=-....R L Q

谐振时，等效电导为 2

202

0L

R

R G ω+=

等效阻抗为

22222

2200201(1)13.7(1125)214R L L R R R R Q k G R R

ωω+===+=+=?+=Ω

3.25 题3.25图电路中，Ω?∠=4522Z ，电源电压为110V ，频率为50H Z ，I &与U

&同相。求：（1）各支路电流及电路的平均功率，画出相量图。（2）电容的容量C 。

解：由于Z 的阻抗角为45°，故2

I &滞后U &45°，各支路电流及电压的相量图如图所示。

（1）A Z U I Z 522

110||===，A I I Z 5.322

545cos =?=?=

A .I I C 53==，

W UI P P Z 3852

2

511045cos 2=?

?=?== （2）由CU I C ω=得： F F U I C C μω102110

3145

.3=?==

3.26 写出题3.26图所示电路两端的伏安关系式。

&

题3.26图

(b)

(a)Z

Z

&题3.25图

解：（a ）图中，1i 与1u 为非关联参考方向，故线圈1的自感电压取负号，又1i 、2i 均从同名端流出，故两线圈中互感电压与自感电压符号相同。

dt di

M dt di L u 211

1--=， dt

di

M dt di L u 1222+=

（b ）图中2i 与2u 为非关联参考方向，故线圈2中的自感电压取负号，又1i 、2i 均从同名端流入，故两线圈中互感电压与自感电压符号相同。

dt di M dt di L u 211

1+=， dt di

M dt di L u 1222--=

3.27 求题3.27图所示电路的等效阻抗。已知R 1=18Ω，Ω==121

1C

L ωω，ωL 2=10Ω，ωM=6Ω。

解：各支路电压、电流如图所示，由于1I &和2

I &一个从同名端流出，一个从同名端流入，故两线圈中互感电压与自感电压符号相反

2111I M j I L j U &&&ω-ω=，

1222I M j I L j U &&&ωω-=

又： 2

111U U R I U &&&&++= 2

21U C j I I &&&ω+= 代入数据可解得 1

118I )j (U &+= 电路的等效阻抗

Ω?∠=+==452181181

)j (I U

Z &&

3.28 求题3.28图所示电路的等效阻抗Z ab 。 解：Ω=811j Z ，Ω+=)j (Z 15522 反映阻抗

Ω+=+=ω=3

1515552222j j Z )M (Z ref

C

题3.27图

&+ -Ω

b

a

题3.28图

Ω+=++

=+=).j .(j j Z Z Z ref ab 56503

15

811

3.29 题3.29图所示电路中，R 1=R 2=10Ω, ωL 1=30Ω, ω

L 2=ωM=20Ω,V U ?∠=01001

&,求输出电压2U &和R 2的功率P 2。 解：Ω+=+=)3010(1111j L j R Z ω，

Ω+=+=)2010(2222j L j R Z ω，

Ω-=+==)168(20

1020)(2

222j j Z M Z ref

ω

A ..j j Z Z U I ref ?-∠=-++=+=9374416

83010100111

1

&&

A ....j ..j Z I M j I ?-∠=∠?∠=+?-∠?=ω=

31193340

6351015288201093744202212&& V I R U ?∠=-∠?-=-=7.1683.393.1193.310222&&

22239.315410

U P W R ===

3.30 题3.30图所示电路中，理想变压器的变比为10:1，u S =10sin ωt,求u 2。 解：各电流、电压如图所示，其关系如下：

112u i u s +=，22100i u -=，2110u u =，1210i i -= 由此解得

2

222

21010100

51

1010

2u u )u (u )i

(u s ≈+--=+-=

tV u u s ωsin 1.02=≈

3.31 题3.31图所示电路中，如要使8Ω的负载电阻获得最大功率，理想变压器的变比应为多少？

+-U 2U &+-

题3.29图

+-题3.30图

u S

Ω

2

解：8Ω负载折合至一次侧后的阻抗为8n 2Ω，根据最大功率传输原理，当其等于50Ω时，负载得到最大功率，即有8n 2=50，故

528

50

.n ==

3.32 对称星形连接的三相负载Z=6+j8Ω，接到线电压为380V 的三相电源上，设

V U AB

?∠=0380&，求各相电流、相电压（用相量表示）。 解：线电压为380V ，相电压为220V ，各相电压为：

V U V U V U w

V U ?∠=?-∠=?-∠=90220,150220,30220&&& 各相电流为

A j Z

U I U U

?-∠=+?-∠==1.83228

630220&& A I V

?∠=-∠=9.1562210.20322&， A I W

?∠=9.3622&

3.33 对称三角形连接的三相负载Z=20+j3

4.6Ω，接到线电压为380V 的三相电源上，设V U UV

?∠=30380&，求各相电流和线电流（用相量表示）。 解：Ω?∠=+=60406.3420j Z 各相电流为

A Z

U I UV UV ?-∠=?∠?∠==

305.9604030380&

& A I VW

?-∠=1505.9&， A I WU

?∠=905.9& 各线电流为

A I I UV U ?-∠=?-∠=605.16303&& A I V

?-∠=1805.16&， A I W

?∠=605.16&

3.34 两组三相对称负载，Z 1=10Ω，星形连接，Z 2=10+j17.3Ω，三角形连接，接到相电压为220V 的三相电源上，求各负载电流和线电流。

解：设V U U ?∠=0220&，则V U UV

?∠=30380&

连接Z 1的线电流为

A Z U I U U

?∠==02211&

& 亦为Z 1中的电流。 三角形联结负载Z 2中的电流为 A j Z U I UV UV ?-∠=?∠?∠=+?∠==30196020303803.17103038022&&， 连接Z 2的线电流

A I I UV

U ?-∠=?-∠=6031930322&& 总线电流

A I I I U

U U ?-∠=?-∠+?∠=+=5.369.476031902221&&& 3.35 题3.35图所示电路是一种确定相序的仪器，叫相序指示仪，

R C

=ω1

。证明：在线电压对称的情况下，假定电容器所连接的那相为U 相，则灯泡较亮的为V 相，较暗的为W 相。

解：设电源中点为N ，负载中点为N ′，由弥尔曼定理得

?

ωωωω∠=+-=+++=+++=++++='U U W V U W V U W V U N N U j U j j U U U j RC j U U U RC j R

R C j R U R U U C j U &&&&&&&&&&&&5

22)1(2211

?<<-?=900,2135??即arctg ，由此得各电压的相量图。从图中可看出，只要

?<<900?，则W N V N U U ''>，即V 相负载电压大于W 相负载电压，因此，较亮的是V

相，较暗的是W 相。

3.36 题3.36所示电路中，三相对称电源相电压为220V ，白炽灯的额定功率为60W ，

A

C

B

题3.35图

V

W

U

日光灯的额定功率为40W ，功率因数为0.5，日光灯和白炽灯的额定电压均为220V ，设

V U U

?∠=0220&，求各线电流和中线电流。 解：为简便计，设中线上压降可忽略，这样，各相负载电压仍对称，故三个灯炮中的电流相等，均为

A 27.0220

60

=，因此 A I U

?∠=027.0&，A I V

?-∠=12027.0&； W 相灯泡电流

A I W ?∠='12027.0&，

日光灯中电流

A U P I W

36.05

.02040

cos =?==''?，

由于是感性负载，电流滞后W 相电压?=605.0arccos ，即

A I W

?∠=?-?∠=''6036.06012036.0 W 相线电流

A I I I W W W ?∠=?∠+?∠=''+'=3.8555.06036.012027.0&&&

中线电流

A I I I I W V U N ?∠=?∠+?∠+?-∠+?∠=++=6036.06036.012027.012027.0027.0&&&&

3.37 阻抗均为10Ω的电阻、电容、电感，分别接在三相对称电源的U 相、V 相和W 相中，电源相电压为220V ，求（1）各相电流和中线电流；（2）三相平均功率。

解：由题意知，负载是星形联结，设V U U

?∠=0220& （1） 22010

U U U I A ==∠?&&，

A j jX U I C V V ?-∠=-?-∠=-=302210

120220&& A j jX U I L W W ?∠=?∠==302210

120220&&

V U

N

W

题3.36图

()?∠+?-∠+=++=3030122W

V U N I I I I &&&& ()A j j ?∠=?+?+?-?+=06030sin 30cos 30sin 30cos 122 （2）由于电容、电感不消耗功率，故三相平均功率等于电阻的功率，即

2220 4.8410

R P P kW ===

3.38 功率为3kW ，功率因数为0.8（感性）的三相对称负载，三角形连接在线电压为380V 的电源上，求线电流和相电流。

解：由cos l l P I ?=得 A U P I l l 68.58

.038033000cos 3=??=

=

?

3.28

P I A ==

3.39 求题3.34电路的总功率和功率因数。

解：由3.34题知，V U U

?∠=0220&时，A I U ?-∠=5.369.47&，即阻抗角为?-5.36，线电流为47.9A ，因此

总功率： cos 47.9380cos(36.5)25.4l l P U kW ?==?-?= 功率因数： 8.0)5.36cos(=?-=λ

3.40 证明：如果电压相等，输送功率相等，距离相等，线路功率损耗相等，则三相

输电线（设负载对称）的用铜量为单相输电线用铜量的3/4。

证明：设电压为U ，输送功率为P ，负载的功率因数为cos φ,距离为l ，铜的电阻率为ρ，三相输电线的截面为S ，单相输电线的截面为S ′，则三相输电线中的电流

?

?cos 3cos 3U P

U P I l l =

=， 线路功率损耗

S U l P S l

U P

R I P cu 1cos )cos 3(332

222

2

1?ρρ?

=== 单相输电线中的电流：?

cos U P

I l =

'，线路功率损耗为

S U l P S l I R I P l l cu '

=''=''='2

cos 222222

2

?ρρ

现要求功率损耗相等，即：

Cu

Cu P P '=， 由此得

S S 2='

三相输电线的用铜量为3S l ，单相输电线的用铜量为Sl l S 42='，即三相输电线的用铜量为

单相输电线用铜量的3/4。

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