2019高考数学常考题型专题04数列问题文

专题04 数列问题1．（2018新课标全国Ⅱ文科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9．（2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．2．（2018新课标全国I 文科）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式． 【解析】（1）由条件可得a n +1=2(1)n n a n+． 将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12． 从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列的通项公式，借助于的通项公式求得数列的通项公式，从而求得最后的结果.3．（2018新课标全国Ⅲ文科）等比数列{}n a中，15314a a a==，．（1）求{}n a的通项公式；（2）记n S为{}n a的前n项和．若63mS=，求m．4．（2017新课标全国Ⅰ文科）记S n为等比数列{}n a的前n项和，已知S2=2，S3=−6．（1）求{}n a的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【解析】（1）设{}na的公比为q．由题设可得121(1)2,(1) 6.a qa q q+=⎧⎨++=-⎩解得2q=-，12a=-．故{}na的通项公式为(2)nna=-．（2）由（1）可得11(1)22()1331n nnna qSq+-==--+-．由于3212142222()2[()]2313313n n nn nn n nS S S+++++-+=--++=-=-，故1nS+，nS，2nS+成等差数列．1．等差数列、等比数列一直是高考的热点，尤其是等差数列和等比数列的通项公式、性质、前n项和等为考查的重点，有时会将等差数列和等比数列的通项、前n项和及性质综合进行考查.2．在高考中常出两道客观题或一道解答题，若是以客观题的形式出现，一般一道考查数列的定义、性质或求和的简单题，另一道则是结合其他知识，考查递推数列等的中等难度的题.若在解答题中出现，则一般结合等差数列和等比数列考查数列的通项，前n项和等知识，难度中等.指点1：等差数列及其前n项和1．求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前n项和法，即根据前n项和nS与na的关系求解.2．等差数列前n项和公式的应用方法：根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用1(1)=2nn nS na d-+；若已知通项公式，则使用1()=2nnn a aS+，同时注意与性质“12132n n na a a a a a--+=+=+=”的结合使用.【例1】已知等差数列{}na满足9117S=，719a=，数列{}nb满足112niiib n-==∑.（1）求数列{}na、{}nb的通项公式；（2）求数列11{}nn nba a++的前n项和.【解析】（1）依题意，9117S=，即59117a=，所以513a=，则7532a ad-==，故7(7)19(7)332na a n d n n=+-=+-⨯=-.因为112niiib n-==∑，所以1123242nnb b b b n-+++⋅⋅⋅+=①，当2n≥时，212312421nnb b b b n--+++⋅⋅⋅+=-②，①-②得121nnb-=，即112n nb-=.当1n=时，11b=满足上式.∴数列{}n b 的通项公式为112n n b -=.指点2：等比数列及其前n 项和1．求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用11n n a a q -=求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形n mn m a a q -=可以简化解题过程．2．当1q ≠时，若已知1,,a q n ，则用1(1)1n n a q S q求解较方便；若已知1,,n a q a ，则用11n na a qS q求解较方便.【例2】已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且26a =，3472a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：*()n n b a n n =-∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S .【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2＝6，a 3＋a 4＝72，∴6q ＋6q 2＝72，即q 2＋q －12＝0， 解得q ＝3或q ＝－4．又∵a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝3，212a a q==． ∴11*123()n n n a a q n --⨯∈==N .（2）∵123n n b n -=⨯-，∴221()()13(1)213331232311322－n n nn n n n n S n -++++++++++⨯=-=-=---.指点3：数列的综合应用1．解决等差数列与等比数列的综合问题时，若同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；若两个数列是通过运算综合在一起的，则要把两个数列分开求解.2．数列常与函数、不等式结合起来考查，其中数列与不等式的结合是考查的热点，注意知识之间的灵活运用.【例3】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知11a =-，11b =，223a b +=．（1）若337a b +=，求数列{}n b 的通项公式； （2）若313T =，且0n b >，求n S ．【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．（1）因为11a =-，11b =，所以1(1)n a n d =-+-，1n n b q -=．由223a b +=，可得4d q += ①，由337a b +=，可得228d q += ②，联立①②，解得0q =（舍去）或2q =，所以12n n b -=，故数列{}n b 的通项公式为12n n b -=．（2）因为231(1)T b q q =++，所以2113q q ++=，解得3q =或4q =-，又0n b >，所以3q =，因为223a b +=，所以1133d -++⨯=，即1d =，所以2113(1)222n n nS na n n d =+-=-．【例4】已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且34117a a =，2522a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是等差数列，且nn S b n c=+，求非零常数c 的值． （3）设11n n n C a a +=，n T 为数列{}n C 的前n 项和，是否存在正整数M ，使得8n M T >对任意的n ∈*N 均成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）因为数列{}n a 为等差数列，2522a a +=，所以235422a a a a +=+=， 又34117a a =，所以3a ，4a 是方程2221170x x -+=的两个根， 由2221170x x -+=解得19x =，213x =，设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得0d >，所以34a a <，所以39a =，413a =，所以1129 313a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得114a d =⎧⎨=⎩，所以14(1)43n a n n =+-=-，故数列{}n a 的通项公式为43n a n =-．（3）由题可得111111()(43)(41)44341n n n C a a n n n n +===--+-+， 利用裂项相消法可得111(1)4414n T n =-<+，故82n T <， 所以存在正整数2M ≥，使得8n M T >对任意的n ∈*N 均成立， 所以M 的最小值为2．1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若679218a a a +-=,则63S S -= A ．18 B ．27 C ．36D ．45【答案】B【解析】根据等差数列的性质，得6345653S S a a a a -=++=，而()6796652222218a a a a d a d a +-=-=-==，所以59a =，所以6327S S -=，故选B ． 2．已知等比数列{}n a 中，23a =，581a =，3log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则8T = A ．36 B ．28 C ．45D ．32【答案】B 【解析】由题可得：352273a q q a ==⇒=，所以2212333n n n n a a q ---==⋅=，故13log 31n n b n -==-，所以{}n b 是以公差为1的等差数列，故()1888282b b T +==，故选B ．3．中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列{}n a 的前n 项和214n S n =，*n ∈N ，等比数列{}n b 满足112b a a =+，234b a a =+，则3b =A ．4B ．5C ．9D ．16【答案】C【解析】由题意可得：211221214b a a S =+==⨯=，22234421142344b a a S S =+=-=⨯-⨯=，则等比数列的公比21331b q b ===，故32339b b q ==⨯=.本题选择C 选项.4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，*12(2,)n n S S n n n -=-≥∈N .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若n n b na =，求{}n b 的前n 项和n T .【解析】（1）*12(2,)n n S S n n n -=-≥∈N ①，当3n ≥时，122(1)n n S S n --=--②.①-②得，121n n a a -=-，112(1)n n a a --=-，所以112(3)1n n a n a --=≥-. 当2n =时，12122a a a +=-，得20a =，则21111211a a --==-≠-. 所以{1}n a -是从第二项起，以2为公比的等比数列.则221122n n n a ---=-⋅=-，2*21(2,)n n a n n -=-+≥∈N . 所以22,121,2n n n a n -=⎧=⎨-+≥⎩.（2）易知22,12,2n n n b n n n -=⎧=⎨-⋅+≥⎩. 012222322(23)n n T n n -=-⨯-⨯--⋅++++③，12124223222(23)n n T n n -=-⨯-⨯--⋅++++④，③-④得223211(1)(2)222222222242212n n n n n n n T n n -----+-⨯-=-------+⋅-=--+⋅--1(1)(2)(1)(2)2(1)222n n n n n n --+-+=---.所以2122(1)2n n n n T n -++=--.5．已知数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 为等差数列，且111b a ==，212b a a =+，3326a b =-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设21n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1153n T ≤<. 【解析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，数列{}n b 的公差为d ，由题意得11d q +=+，()22126q d =+-，解得2d q ==， 所以12,21n n n a b n -==-.（2）因为21n n n c b b +=()()1111212342123n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以111111111453723212123n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111111432123342123n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 因为111042123n n ⎛⎫+> ⎪++⎝⎭，所以13n T <，又因为{}n T 在[)1,+∞上单调递增， 所以当1n =时，n T 取最小值115T =， 所以1153n T ≤<.。