新人教版八年级数学第16章二次根式复习
考点四 二次根式的化简求值
x2
y2
例5 先化简，再求值： x y x y ，其中
x 1 2 3, y 1 2 3. 解析：先利用分式的加减运算化简式子，然后代
入数值计算即可.
考点四 二次根式的化简求值
x2
y2
例5 先化简，再求值： x y x y ，其中
x 1 2 3, y 1 2 3.
(3) (a 3)2； (4) a . a 1
解:(1)由题意得3a 2 0，a 2； (2)由题意得1 2a 0，a 1；3
2
考点讲练
考点一 二次根式的相关概念有意义的条件
例1 求下列二次根式中字母a的取值范围:
(1) 3a 2;
(2) 1 ; 1 2a
(3) (a 3)2； (4) a . a 1
b
5．二次根式的加减：类似合并同类项
可以先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__，再将
__被__开__方__数__相__同____的二次根式进行合并．
6．二次根式乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.
注意平方差公式与完全平方公式的运用！
整体思想
例9 已知 x
2 1, y
2 1 ，求
x y 的值.
yx
a a＞0，
a2
a
0a
0 ,
a a＜0 .
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次
根式．
(1)被开方数不含__分__母___； (2)被开方数中不含能__开__得__尽__方___的因数或因式．
4．二次根式的乘除法则：
逆用也
乘法： a b ＝___a_b__(a≥0，b≥0)； 适用.
a
除法： a ＝___b_(a≥0，b>0)．
a2
a2 a 4a
4
,其中a
2.
a2 4 a 2 a(a 1)
解：原式 (a 2)(a 2) (a 2)2
(a 2)(a 1) (a 2)2
(a 2)(a 2) a(a 1)
a2 a
当 a 2 时，原式 2 2 1 2.
2
考点五 本章解题思想方法
分类讨论思想 例6 已知a是实数，求 a 22 a 12 的值.
考点讲练
考点一 二次根式的相关概念有意义的条件
例1 求下列二次根式中字母a的取值范围:
(1) 3a 2;
(2) 1 ; 1 2a
(3) (a 3)2； (4) a . a 1
考点讲练
考点一 二次根式的相关概念有意义的条件
例1 求下列二次根式中字母a的取值范围:
(1) 3a 2;
(2) 1 ; 1 2a
| a | a2 b2 .
a0 b
解析:化简此代数式的关键是能准确地判断a,b的符 号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简.
例3 实数a,b在数轴上的位置如图所示，请化简：
| a | a2 b2 .
a0 b
解析:化简此代数式的关键是能准确地判断a,b的符 号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简.
解：(1)
由题意得
x 4≥0,
4-x≥0，
∴x=4.
(2) 由题意得
x 5 0, 3 x 0,
解得
- 5≤x＜3.
考点二 二次根式的性质 例2 若 x 1 (3x y 1)2 0, 求 5x y2 的值.
考点二 二次根式的性质
例2 若 x 1 (3x y 1)2 0, 求 5x y2 的值. 【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非 负性可知 x 1和(3x y 1)2均为0. 解：∵ x 1 (3x y 1)2 0, ∴x-1=0,3x+y-1=0,解得x=1,y=-2. 则 5x y2 51 (2)2 3.
4 3 3.
方法总结
二次根式的混合运算的运算顺序与整式的运算顺序 一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号内的，在具体运算中可灵活运用运算律 和乘法公式简化运算.
考点四 二次根式的化简求值
x2
y2
例5 先化简，再求值： x y x y ，其中
x 1 2 3, y 1 2 3.
例4 计算：
(1) 8 12 2;
2
(3) 6 5 ;
(2)5 15
3 5
15;
(4) 5 6 2 5 6 2 .
解：(3)
2
65
2
6 2
6 5 52 31 10
6;
2
2
(4) 5 6 2 5 6 2 5 6 2 5 8 4 3
(1) x 4 4 x;
(2) x 5 1 . 3 x
2.求下列二次根式中字母的取值范围:
(1) x 4 4 x;
(2) x 5 1 . 3 x
解：(1)
由题意得
x 4≥0,
4-x≥0，
∴x=4.
2.求下列二次根式中字母的取值范围:
(1) x 4 4 x;
(2) x 5 1 . 3 x
第十六章 二次根式
小结与复习
要点梳理
1．二次根式的概念 一般地，形如__a__(a≥0)的式子叫做二次根式. 对于二次根式的理解： ①带有二次根号；②被开方数是非负数，即a≥0. [易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否 则就没有意义.
2
2．二次根式的性质: a a a 0;
3．最简二次根式
2
(3) 6 5 ;
(2)5 15
3 5
15;
(4) 5 6 2 5 6 2 .
考点三 二次根式的运算及应用
例4 计算：
(1) 8 12 2;
2
(3) 6 5 ;
(2)5 15
3 5
15;
(4) 5 6 2 5 6 2 .
解： (1) 8 12 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3;
考点五 本章解题思想方法
分类讨论思想 例6 已知a是实数，求 a 22 a 12 的值.
a 22 a 12 a 2 a 1 ,
考点五 本章解题思想方法
分类讨论思想 例6 已知a是实数，求 a 22 a 12 的值. 解： a 22 a 12 a 2 a 1 , 分三种情况讨论： 当a≤-2时，原式=(-a-2)-[-(a-1)]=-a-2+a-1=-3; 当-2＜a≤1时，原式=(a+2)+(a-1)= 2a+1; 当a＞1时，原式=(a+2)-(a-1)=3.
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
方法总结
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于或等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零.
针对训练
1.下列各式： 5;
a2 ;
3
3;
8;
x 1(x 1);
x2 2x 1
中，一定是二次根式的个数有 （ B ）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
2.求下列二次根式中字母的取值范围:
解：由数轴可以确定a<0,b>0， ∴ | a | a, a2 a, b2 b.
∴ 原式=-a-(-a)+b=b.
针对训练
3.若实数a,b满足 | a 2 |
b4
0,则
a2 b
.
4.若1<a<3,化简 a2 2a 1 a2 6a 9 的结 果是 .
针对训练
3.若实数a,b满足 | a 2 |
(2)5 15
3 5
15 5 15
3 5
1 5 15 15
1 15
3 5
1 51; 15 5
考点三 二次根式的运算及应用
例4 计算：
(1) 8 12 2;
2
(3) 6 5 ;
(2)5 15
3 5
15;
(4) 5 6 2 5 6 2 .
考点三 二次根式的运算及应用
方法总结
初中阶段主要涉及三种非负数： a ≥0，|a|≥0， a2≥0.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个 非负数都必为0.这是求一个方程中含有多个未知 数的有效方法之一.
例3 实数a,b在数轴上的位置如图所示，请化简：
| a | a2 b2 .
a0 b
例3 实数a,b在数轴上的位置如图所示，请化简：
解：x2
y2
x2 y2 (x y)(x y)
x y.
xy xy xy
xy
当 x 1 2 3, y 1 2 3 时，
原式 1 2 3 1 2 3 2.
针对训练
10.
先化简，再求值：1
a2 a2 4
a2
a2 a 4a
4
,其中a
2.
针对训练
10.
先化简，再求值：1
a2 a2 4
b4
0,则
a2 b
1.
4.若1<a<3,化简 a2 2a 1 a2 6a 9 的结 果是 .
针对训练
3.若实数a,b满足 | a 2 |
b4
0,则
a2 b
1.
4.若1<a<3,化简 a2 2a 1 a2 6a 9 的结 果是 2 .
考点三 二次根式的运算及应用
例4 计算：
(1) 8 12 2;
解: (3)∵(a+3)2≥0，∴a为全体实数；
(4)由题意得
a
a≥0， 1 0,
∴a≥0且a≠1.
方法总结
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于或等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零.
针对训练
1.下列各式： 5;
a2 ;
3
第16章二次根式复习与小结(课件)八年级数学下册(人教版)
知识梳理
人教版数学八年级下册
6.二次根式的除法法则:
两个二次根式相除， 根指数 不变，被开方数 相除.
需要满足什 么条件呢？
a
a
（a≥0，b＞0）
bb
二次根式的除法与乘法中b 的取值范围不同，为什么？
知识梳理
人教版数学八年级下册
7.二次根式除法法则的变形：
a a (a 0,b 0). bb 8.最简二次根式： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
3.二次根式的运算，可以类比整式的运算进行，在进行运算时， 能用公式的尽量用公式.
课堂检测
人教版数学八年级下册
1.二次根式
中，字母a的取值范围是 （ D ）
A. a>
B. a＜
C. a≥
D. a≤
2.使
有意义的x的取值范围是 （ B ）
A.x≥3 B.x≥3且x≠4 C.x≤3 D.x<3
课堂检测
步骤： “一化、二找、三合并”.
知识梳理
人教版数学八年级下册
11.二次根式的混合运算:
1.二次根式混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方， 再乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的（或者先去括号）.
2.对于二次根式混合运算，实数中的运算律（分配律、结合律、 交换律）运算法则及所有的乘法公式和分式的运算法则仍然适用.
人教版数学八年级下册
人教版数学八年级下册
第16章二次根式复习与小结
知识梳理
人教版数学八年级下册
1.二次根式的概念：
一般地，我们把形如 a（a≥0)的式子叫做二次根式.
2.如何确定二次根式中字母的取值范围？ ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零.
八年级数学下册 第十六章 二次根式单元复习课件 (新版)新人教版.pptx
变式练习
7
巩固提高
4.下列各式 其中一定是二次根式的有（B ） A．4个 B.3个 C.2个 D.1个 5.下列各式中计算正确的是（D ）
6．已知
，则（ D ）
A．x≤0 B．x≤－3 C．x≥－3 D．－3≤x≤0
8
巩固提高
7. 是整数，则正整数n的最小值是 6 ．
8.若最简二次根式
与
能够合并，则m=
第十六章 二次根式
《二次根式》 单元复习
1
目录 contents
8分钟小测 精典范例 变式练习 巩固提高
2
8 分钟小测
1.下列根式不是最简二次根式的是（C ）
2.使得式子
有意义的X的取值范围是（D ）
A. x≥1 且 x≠-2 B.x>1且x≠-2 C.x≠-2 D. x≥1
3.下列根式不能与 合并的是（B ）
类比推广：根据探索二次根式相关知识过程中获
得的经验，解决下面的问题．
（1）写出n次根式 （n≥3，n是整数）有意义的
条件和性质；
12
（2）计算:
．
巩固提高
13
.
9.已知
,…请你用含n的
式子将其中蕴涵的规律表示出来：
. 10. 计算：
9
巩固提高
11.如图，化简:
12. 已知
，求代数式
的值。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10
巩固提高
13.
11
巩固提高
14．知识回顾：我们在学习《二次根式》这一章 时，对二次根式有意义的条件、性质和运算法则 进行了探索，得到了如下结论：
（1）二次根式 有意义的条件是a≥0． （2）二次根式的性质： （3）二次根式的运算法则：
八年级数学下册第16章二次根式复习课课件新新人教
解： ?a ? 2?2 ? ?a ? 1?2 ???a? 2 a 1 , 分三种情况(qíngkuàng)讨
?当a =(- ≤-2时，原式
a -2)-[-(
a-1)]=-a-2+a -1=-3;
?当-2＜a≤1时，原式 =(a+2)+( a-1)= 2a+1;
?当a＞1时，原式 =(a +2)-( a-1)=3.
第九页，共28页。
考点讲练
初中(chūzhōng)阶段主要涉及三种非a负≥数0 ，：|a|≥0，
a2≥0. 如果(rúguǒ)若干个非负数0的，和那为么(nà me)这若干个
非负数都必为 0.这是求一个方程中含有多个未知
数的有效方法之一 .
第十页，共28页。
考点讲练
例3 实数(as、hìbs在hù数) 轴(shùzhóu)上的位置如图所示，请化简：
y x xy
xy
? ?2
2 2 ?2
?
? 6.
1
第二十四页，共28页。
专题 3 类别思想
专题讲练
例3 阅读(yuèdú)材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子(shì zi)可以
? ? 写成另一个(yī ɡè)式子的平方3，? 2如2 ? 1 ? 2 2 ，善于思
考的小明进行了以下探索：
第十五页，共28页。
考点讲练
例5 把两张面积(miàn18j的ī)正都方为形纸片各剪去一个(yī ɡè)面 为 2的正方形，并把这两张正方形纸片按照(ànzhào)如图所
示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸 盒．求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）．
解： S= ??（ 18 -
2 ）?
人教版初中数学八年级下册第十六章二次根式知识清单(原卷版+解析)
第十六章二次根式知识清单一、二次根式的概念一般地，我们把形如___________的式子叫做二次根式，“____”称为二次根号. 【深度理解】1.________________________________________________________2.________________________________________________________3.________________________________________________________4.________________________________________________________5.________________________________________________________二、二次根式的有意义的条件1.________2....有意义的条件：_________3.有意义的条件：________4.二次根式与分式的和如B CB有意义的条件：_______________三、二次根式的性质性质一：一般地，__________________即一个非负数的算术平方根的平方等于_________.注意：___________________________________________________________. 性质二：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的_________.四、代数式及其写法思考：到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？【归纳】代数式书写格式注意事项：1.________________________________________________________________2.________________________________________________________________3.________________________________________________________________4.________________________________________________________________5.________________________________________________________________六、二次根式的乘法1.二次根式的乘法法则：__________________________即：二次根式相乘，________不变，________相乘.语言表述：____________________________________________________. 2.积的算术平方根的性质：__________________________语言表述：____________________________________________________.七、二次根式的除法1.二次根式的除法法则： ______=ba (a ≥0，b ＞0) 即：二次根式相除，________不变，________相除.语言表述：___________________________________________.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得_________(0,0,0).a b n=≥>≠ 2.二次根式的商的算术平方根的性质:_____(0,0).a b =≥> 语言表述：_______________________________________________.八、最简二次根式(1) _________________________；(2) _________________________________________.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做___________________.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为__________，并且______中不含二次根式.九、二次根式的加减1.化成_______________后，被开方数________的几个二次根式，叫做___________________.2.二次根式加减时，可以先将二次根式化成_______________，再将被开方数_____的二次根式(________________)进行合并.加减法的运算步骤：(1)______________________________________；(2)______________________________________；(3)______________________________________.简单说成“__________________________”十、二次根式的混合运算二次根式的混合运算的顺序：_____________________________________________________ ___________________________________________________________________.第十六章二次根式知识清单一、二次根式的概念一般地，我们把形如√a (a≥0)的式子叫做二次根式，“√ ”称为二次根号. 【深度理解】1.表示a的算术平方根；2.a可以是数，也可以是式；3.形式上含有二次根号√ ；4.a≥0，√a≥0 (双重非负性)；5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果.二、二次根式的有意义的条件1.单个二次根式如√A有意义的条件：A≥02.多个二次根式相加如√A +√B+...+√N 有意义的条件：00...0A B N ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥；≥；≥；3.二次根式作为分式的分母如√A 或√1A 有意义的条件：A ＞0 4.二次根式与分式的和如√AB 或√A +CB 有意义的条件：A ≥0且B ≠0三、二次根式的性质 性质一：一般地，(√a)2=a (a ≥0)即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a ≥0这一限制条件.这是使二次根式√a 有意义的前提条件. 性质二：一般地，根据算术平方根的意义， √a 2=a (a ≥0)，√a 2=−a (a ＜0) 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. √a 2=| a |四、代数式及其写法回顾我们学过的式子，如5，a ，a+b ，-ab ，st ，-x 3，√3，√a (a ≥0)，它们都是用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.代数式书写格式注意事项：1.表示数的字母相乘时，可用“· ”代替乘号或省略不写.如：a ×b 通常写作a ·b 或ab.2.数和字母相乘时，数字应写在字母前面.如：a ×2通常写作2a.3.带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数.如：323×a 通常写作113a.4.含有字母的除式中用分数线代替除号.如：3÷y 通常写作: 3y .5.最后一步是加、减运算时，如果有单位，要用括号把代数式括起来.如：温度由2℃上升t ℃后是(2+t)℃.六、二次根式的乘法1.二次根式的乘法法则：√a •√b =√ab (a ≥0，b ≥0)即：二次根式相乘，________不变，________相乘.语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.2.积的算术平方根的性质：√ab =√a ⋅√b （a≥0，b ≥0）语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.应用范围：我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.七、二次根式的除法1.二次根式的除法法则：√a √b =√ab (a ≥0，b ＞0)即：二次根式相除，________不变，________相除.语言表述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得(0,0,0).a b n=≥>≠2.二次根式的商的算术平方根的性质:(0,0).a b=≥>语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.八、最简二次根式(1) 被开方数不含分母；(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.九、二次根式的加减1.同类二次根式:化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式.2.二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式(同类二次根式)进行合并.加减法的运算步骤：(1)化—将非最简二次根式的二次根式化简；(2)找—找出被开方数相同的二次根式；(3)并—把被开方数相同的二次根式合并.“一化简二判断三合并”十、二次根式的混合运算1.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.2.二次根式与乘法公式的综合运用：二次根式中单乘多、多乘多、多除单与整式乘法非常相似，均可以运用整式乘法法则与整式乘法公式进行计算.运用的乘法公式主要是：平方差公式与完全平方公式.。
人教版初二数学8年级下册 第16章(二次根式)章末总结复习课件( 24张 )
知识点回顾
综合训练
单元小测
知识点回顾
PART 01
知识点回顾
①平方：平方是一种运算。比如：a的平方表示a×a，简写成a2。 例如：4的平方，为4×4=42=16②开平方：开平方指一种数学的运算方式，求一个数的平方根的运算叫做开平方。 例如：4进行开平方，为③平方根：平方根又叫二次方根，表示为（ ）。 例如：4的平方根，为 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。④算数平方根：正数的平方根有两个，它们互为相反数， 其中属于非负数的平方根就是这个数的算术平方根。 例如：4的算术平方根，为2.
❶一化：将各个二次根式化为最简二次根式
❷二找：将被开方数相同的二次根式找出做标记
❸三合并：将被开方数相同的二次根式合并
知识点回顾
二次根式的混合运算：
运算顺序
运算技巧
先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减
若有括号，要先算括号里面的
运用整式乘除法则
运用乘法公式
1.同底数幂的乘法法则：
2.同底数幂的Βιβλιοθήκη 法法则：4.积的乘方法则：
3.幂的乘方法则：
5.负整数指数幂法则：
6.零指数幂法则：
完全平方公式：
平方差公式：
综合提升训练
PART 02
综合提升训练
2. 化简求值
3. 代数式求值
4. 混合运算
1. 使代数式有意义
2. 化简求值
①
②
2. 化简求值
③
④
2. 化简求值
⑤
⑥
2. 化简求值
⑦
⑧
3. 代数式求值
①
②
3. 代数式求值
③
人教版八年级数学下册第十六章二次根式归纳与复习
分母有理化
分母有理化
4 3 3.
二次根式的化简与求值
有条件的二次根式的化简与求值问题是 代数式变形的重点，也是难点，这类内容包括 了整式，分式，二次根式等众多知识，且往往 联系着分解变形、整体代换等重要的数学思想 方法，其解题的基本思路：
1．直接代入：直接将已知条件代入到待化 简求值的式子中；
2．变形代入：适当的条件，适当的结论， 同时变形条件与结论，再代入求值．
第十六章 二次根式
归纳与与复习
二次根式
我们将数的范围扩大到实数的同时，代数 式中也就随之引进了根式．根式的研究使我们 初步了解了无理数的性质，数与式相辅相成， 相互促进，体现了代数知识紧密的联系性，因 此，根式问题不但是初中阶段常规试题和竞赛 试题的重点和难点之一，同时，对高中乃至更 深层的数学学习都有深远的意义．
复习目标：
1.理解二次根式的概念，知道被开 方数必须是非负数的理由. 2.了解二次根式的概念. 3理解二次根式的性质. 4.了解二次根式的加、减、乘、除 运算法则，会用它们进行简单的四 则运算. 5.了解代数式的概念，进一步体会 代数式在表示数量关系方面的作用.
知识点归纳:
知识点归纳:
典题精讲
A
典题精讲
计算：
(1) 8 12 2;
2
(3) 6 5 ;
(2)5 15
3 5
15;
(4) 5 6 2 5 6 2 .
解：(1) 8 12 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3;
(2)根式的化简与求值
二次根式的化简与求值
八年级数学下册第16章二次根式复习课课件新版新人教版
（ B） D.6个
考点讲练
2.求下列二次根式中字母的取值范围:
(1) x 4 4 x ;
1 (2) x 5 . 3 x
x 4≥0, 解：(1) 由题意，得 4-x≥0，
∴x =4.
x 5 0, (2) 由题意，得 3 x 0,
解得 - 5≤x＜3.
当 a 2 时，原式
22 1 2. 2
专题讲练
专题1 分类讨论思想
例1 已知a是实数，求 a 22 a 12 的值. 解： a 2 2 a 12 a 2 a 1 , 分三种情况讨论： 当a≤-2时，原式=(-a-2)-[-(a-1)]=-a-2+a-1=-3; 当-2＜a≤1时，原式=(a+2)+(a-1)= 2a+1; 当a＞1时，原式=(a+2)-(a-1)=3.
(1) 24 1 1 4 (1 2)0 ; 3 8
(2) 3( 2 3) 24 | 6 3|.
1 2 24 4 1 解：(1)原式 3 4 2 2 2 2.
(2)原式 6 3 2 6 3 6
6.
考点讲练
4. 交警为了估计肇事汽车在出事前的速度，总结出 经验公式 v 16 df ，其中v是车速（单位：千米 每小时），d 是汽车刹车后车轮滑动的距离（单 位：米），f 是摩擦系数．在某次交通事故调查中， 测得d =20米，f =1.2，请你帮交警计算一下肇事 汽车在出事前的速度． 解：由题意，得 v 16 20 1.2 32 6 （千米/时）． 即肇事汽车在出事前的速度是 32 6 千米/时．
但是她的计算结果仍然是正确的，这是为什么？
人教版数学八年级下册第16章《二次根式》复习课件
（1）
=_____5_____；
（2） =__________；
（3）
=____9_a_____；
（4） =_____4_____.
最简二次4根.式二满足条次件：根式的运算：
（3）
.
（1）、二次根式的加减：二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式 ，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
①(-1)2n+1=-1(n为整数)
=__________；
①(-1)2n+1=-1(n为整数)
； （2）
；
4、已知a在1＜a<2中，化简：
（3）
=__________；
解：原式=13.
（3）
.
3、计算： (1)101 ( 3)0 (1)1 (1 2)2 .
2 1
=3 2
①(-1)2n+1=-1(n为整数) ② a0=1(a≠0)
③
a2 a
应用拓展 C．a≥5
D．a＞5
1、通过复习理清二次根式的 性质
（3）
.
最简二次根式满足条件：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号时先算括号里面的；
4、已知a在1＜a<2中，化简：
①(-1)2n+1=-1(n为整数)
第十六章 《二次根式》单元复习
同学们学习完“二次根式”这章内容后，你有哪些收获，还存在哪些困惑？这节课我们一起来对本章学过的知识进行回顾和巩固.
子叫做二次根式. 2.最简二次根式满足条件： ①被开方数不含 分母 ； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次
根式，叫做最简二次根式.
3.二次根式的性质：
a具有双重非负性： ①a 0； ② a 0.
数学八年级下册第十六章二次根式小结与复习教学课件 新人教版
第十六章二次根式小结与复习二次根式我们将数的范围扩大到实数的同时，代数式中也就随之引进了根式．根式的研究使我们初步了解了无理数的性质，数与式相辅相成，相互促进，体现了代数知识紧密的联系性，因此，根式问题不但是初中阶段常规试题和竞赛试题的重点和难点之一，同时，对高中乃至更深层的数学学习都有深远的意义．典题精讲二次根式的意义典题精讲——实数的大小比较数的大小比较秘决：1、正数＞零＞负数；对于两个负数，绝对值大的反而小，这是比较法则．2、大小比较的常用方法：①作差法；②倒数法；③作比法．分析：尝试直接比较或作差比较，难以实现．因此可考虑倒数法．分析：尝试直接比较或作差比较，难以实现．因此可考虑倒数法．A典题精讲——二次根式的运算及应用计算：解：有条件的二次根式的化简与求值问题是代数式变形的重点，也是难点，这类内容包括了整式，分式，二次根式等众多知识，且往往联系着分解变形、整体代换等重要的数学思想方法，其解题的基本思路：1．直接代入：直接将已知条件代入到待化简求值的式子中；2．变形代入：适当的条件，适当的结论，同时变形条件与结论，再代入求值．对一些有关二次根式的代数式求值问题，我们不能孤立地看待已知与已知、已知与未知，而应从整体的角度去分析已知与已知、已知与未知的关系，然后采取相应的措施，如做一些必要的运算变形、恒等变形、整体代入求值等．构造方程与方程组复合二次根式的化简【点评】复合二次根式的化简，一般是将二次根式中的被开方数配成完全平方式，然后再求解的方法，这也叫用配方法．配方时有时需要通过几次拼凑方可达到目的．配方法主要用来解竞赛中经常出现的复合二次根式的化简问题和需要用完全平方公式解决的问题．二次根式中的数学方法数学方法是数学的灵魂，只有掌握了数学思想方法，才能真正地学好数学知识，将知识转化为能力。
初中数学竞赛中渗透了不少数学思想方法，下面本章的有关赛题为例，说明数学竞赛中常用的数学方法。
二次根式中的数学方法一换元法换元法是一种重要的数学方法，它在解题中有着广泛的应用．对于一些复杂的根式运算，通过换元，将其转化为有理式的运算，可以使得运算简便．例1．点评：本例运用换元法变形整理，换元的主要目的是化繁为简，化无理式为有理式，再求代数式的值．分母有理化二次根式运算经常涉及到分母有理化．其基本方法为“分子、分母同乘以分母的有理化因式”．其实分母有理化还有其它方法，下面以部分赛题为，针对题目的特征，介绍几种分母有理化妙招，以开拓思路，提高大家的数学素质．分母有理化一巧用因式分解法分母有理化。
16章 二次根式 单元复习课件 2022-2023学年人教版八年级数学下册
精典范例
x－2
21.【例 1】(全国视野)(2021 怀化)式子 y= x－3 中 x 的取值范围是 x≥2且x≠3 .
变式练习
27.(全国视野)(2021 黄石)式子 y= 1 +(x－2)0 中 x 的取值范
x+1
围是( C )
A.x≥－1 C.x＞－1 且 x≠2
B.x＞2 D.x≠－1 且 x≠2
9.(全国视野)(2021 甘肃)下列运算正确的是( C )
A. 3+ 3=3
B.4 5－ 5=4
C. 3× 2= 6 D. 32÷ 8=4
10.(全国视野)(2021 重庆)计算 14× 7－ 2的结果是( B )
A.7
B.6 2
C.7 2
D.2 7
11.计算 45÷3 3× 3的结果正确的是( A )
25.【例 5】(人教 8 下 P15)已知 x= 3+1,y= 3－1, 求下列各式的值: (1)x2+2xy+y2; (2)x2－y2. 解:(1)当 x= 3+1,y= 3－1 时, 原式=(x+y)2=( 3+1+ 3－1)2=12. (2)当 x= 3+1,y= 3－1 时, 原式=(x+y)(x－y)=( 3+1+ 3－1)( 3+1－ 3+1)=4 3.
4.(全国视野)(2021 武汉)计算 (－5)2的结果是 5 .
5.计算: (1)( 25)2= 25 ; (2)(－2 3)2= 12 .
6.(2021 抚顺模拟)若 (5－x)2=x－5,则 x 的取值范围是 x≥5 .
7.(全国视野)(2021 云南)已知 a,b 都是实数, 若 a+1+(b－2)2=0,则 a－b= －3 .