浙江省杭州市高一上学期数学期中考试试卷
浙江省杭州市高一上学期数学期中考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2018·民乐模拟) 已知集合，集合，则（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2018高一上·江津月考) 下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上是增函数的是（）
A . y＝x3
B . y＝|x|＋1
C . y＝－x2＋1
D . y＝2x＋1
3. （2分）集合，下列表示从A到B的函数是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2019高一下·延边月考) 将分针拨慢分钟，则分钟转过的弧度数是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2017高一上·巢湖期末) 设min{p，q，r}为表示p，q，r三者中较小的一个，若函数f（x）=min{x+1，﹣2x+7，x2﹣x+1}，则不等式f（x）＞1的解集为（）
A . （0，2）
B . （﹣∞，0）
C . （1，+∞）
D . （1，3）
6. （2分）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2016高一上·慈溪期中) 函数y=ax﹣2+3（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）
A . （0，1）
B . （1，1）
C . （2，3）
D . （2，4）
8. （2分）已知y=f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+ax，且f（3）=6，则a的值为（）
A . 5
B . 1
C . -1
D . -3
9. （2分） (2018高一下·临沂期末) 一个扇形的弧长与面积都为，则这个扇形圆心角的弧度数为（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2018高一上·安吉期中) 已知f（x）= ，则f[f（-3）]的值为（）
A . 3
B . 2
C .
D .
11. （2分）已知函数y=f（x）满足：①y=f（x+1）是偶函数；②在区间[1，+∞）上是增函数．若x1＜0，x2＞0且x1+x2＜﹣2，则f（﹣x1）与f（﹣x2）的大小关系是（）
A . f（﹣x1）＞f（﹣x2）
B . f（﹣x1）＜f（﹣x2）
C . f（﹣x1）=f（﹣x2）
D . 无法确定
12. （2分） (2017高二下·和平期末) 若函数y=f（x）定义在[﹣1，2]上，且满足f（﹣）＜f（1），则f（x）在区间[﹣1，2]上是（）
A . 增函数
B . 减函数
C . 先减后增
D . 无法判断其单调性
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）=________
14. （1分）已知函数f（x）= ，若存在K使得函数的f（x）值域为[﹣1，1]，则实数a的取值范围是________．
15. （1分） (2019高一上·都匀期中) 若不等式，则不等式的解集为________.（用集合或区间表示）
16. （1分）用反证法证明“若a+b+c＜3，则a，b，c中至少有一个小于1”时，“假设”应为________
三、解答题 (共6题；共55分)
17. （10分） (2016高一上·景德镇期中) 计算下列各式的值
（1）若a+a﹣1=4，则求a +a 的值
（2）已知2lg =lgx+lgy，求log 的值．
18. （10分） (2016高一下·齐河期中) 已知集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0，x∈R}，B={x|x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣
3m≤0，x∈R，m∈R }．
（1）若A∩B=[2，4]，求实数m的值；
（2）设全集为R，若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
19. （5分） (2016高一上·兴国期中) 已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．
（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．
20. （10分） (2016高三上·泰兴期中) 已知函数f（x）= ．
（1）证明函数f（x）在（﹣1，+∞）上为单调递增函数；
（2）若x∈[0，2]，求函数f（x）的值域．
21. （10分） (2016高一上·宿迁期末) 已知二次函数f（x）对任意的x都有f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4，且f（0）=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=f（x）+m，（m∈R）．
①若存在实数a，b（a＜b），使得g（x）在区间[a，b]上为单调函数，且g（x）取值范围也为[a，b]，求m 的取值范围；
②若函数g（x）的零点都是函数h（x）=f（f（x））+m的零点，求h（x）的所有零点．
22. （10分） (2016高一上·会宁期中) 已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）若对于任意都有f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，求实数k的取值范围．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、
20-1、20-2、
21-1、
21-2、
22-1、
22-2、
22-3、
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浙江省杭州中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题含解析
浙江省杭州2022-2023学年高一上学期期中考试数学试卷（答案在最后）一、单项题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ={1，3，4，5}B ={2，4，6，8}则A B ⋃=（）A.{1，2，3，4，5，6，7，8}B.{1，2，3，4，6，8}C.{1，2，3，4，5，6，8}D.{4}【答案】C 【解析】【分析】根据并集的知识求得正确答案.【详解】根据并集的知识可知{}1,2,3,4,5,6,8A B ⋃=.故选：C2.设x ∈R ，则“3x <”是“2x x <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必条件【答案】B 【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，结合充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】333x x <⇔-<<，()22,10x x x x x x <-=-<，解得01x <<，所以“3x <”是“2x x <”的必要不充分条件.故选：B3.下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A.1y x=B.3y x =- C.2y x = D.2y x =+【答案】B 【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义和单调性的性质分别对各个选项分析判断即可.【详解】对于A ，1y x=为奇函数，在(,0)-∞和(0,)+∞上为减函数，而在定义域内不是减函数，所以A 不合题意；对于B ，3y x =-为奇函数，在定义域R 上为减函数，所以B 符合题意；对于C ，2y x =为偶函数，所以C 不合题意；对于D ，由于2y x =+为非奇非偶函数，所以D 不合题意，故选：B.4.设0.80.10.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b【答案】D 【解析】【分析】结合指数函数、对数函数的性质确定正确答案.【详解】0.83b =，3x y =在R 上递增，所以0.10.8133<<，即1a b <<.0.7log y x =在()0,∞+上递减，所以0.70.7log 0.8log 0.71<=，所以c<a<b .故选：D5.若m +n ＝1（m ＞0，n ＞0），则11m n+的最小值为（）A.4B.6C.9D.12【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件，利用基本不等式即可求解．【详解】因为m +n ＝1（m ＞0，n ＞0），则112224m n m n n m m n m n m n+++=+=++≥+=，当且仅当12m n ==时取等号．故选：A ．6.设x ∈R ，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()f x =sgn x x 的图象大致是A.B.C.D.【答案】C 【解析】【详解】函数f （x ）=|x|sgnx=,00,0,0x x x x x >⎧⎪=⎨⎪<⎩=x ，故函数f （x ）=|x|sgnx 的图象为y=x 所在的直线，故答案为C ．7.设函数()f x ＝x 2﹣2x +2，若()f x ≥tx 对任意的实数x ≥1恒成立，则实数t 的取值范围是（）A.2,2⎡⎤--⎣⎦B.()2,--+∞C.(,2⎤-∞⎦D.(],1-∞【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为22t x x ≤+-在[)1,+∞上恒成立，结合对勾函数的性质求出22y x x=+-的最小值即可．【详解】因为()f x ≥tx 对任意的实数x ≥1恒成立，所以x 2﹣2x +2≥tx 对任意的实数x ≥1恒成立，等价于22t x x≤+-在[)1,+∞上恒成立，由对勾函数的性质可知22y x x=+-在x =处取最小值为2-，所以2t ≤-，所以实数t 的取值范围是(,2⎤-∞⎦．故选：C .8.已知()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()2log 3f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，则函数()12f x y x=-的零点为（）A.12B.13C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】先根据()f x 单调，结合已知条件求出()f x 的解析式，然后再进一步研究函数()12f x y x=-的零点．【详解】解：因为()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，且对任意的()0,x ∈+∞，都有()2log 3f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，故可设存在唯一的实数()0,C ∞∈+，使得()3f C =，则设()2log f x x C -=，所以()2log f x x C =+，所以()2log 3f C C C =+=，则2log 3C C =-，由于函数2log y x =在()0,∞+上单调递增，函数3y x =-在()0,∞+上单调递减，又2log 2132==-，所以2C =，故()()22log 2log 4f x x x =+=再令()120f x x-=，()0,x ∈+∞，得：140x x -=，解得12x =±（负值舍去）．则函数()12f x y x=-的零点为12.故选：A ．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分9.下列各组函数为同一个函数的是（）A.()f x x =，()2x g x x=B.()1f x =，()()01g x x =-C.()2f xx=，()()2xg x =D.()2164t f t t -=-，()4g t t =+()4t ≠【答案】CD 【解析】【分析】逐项判断即可，A 项定义域不同；B 项定义域不同；CD 项化简后三要素相同；【详解】对于A ：()f x x =的定义域为R ，()2x g x x=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数，故A 错误；对于B ：()1f x =的定义域为R ，()()01g x x =-的定义域为()(),11,-∞+∞ ，因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数，故B 错误；对于C ：()2f xx=的定义域为()0,∞+，()()2xg x =的定义域为()0,∞+，()21f x x==，()()21xg x ==，所以这两个函数是同一函数，故C 正确；对于D ：()2164t f t t -=-的定义域为()(),44,-∞⋃+∞，()4g t t =+()4t ≠的定义域为()(),44,-∞⋃+∞，()21644t f t t t -==+-，所以这两个函数是同一函数，故D 正确；故选：CD.10.下列说法正确的有（）A.命题“R x ∀∈，x 2+x +1＞0”的否定为“2R,10x x x ∃∈++≤”B.函数f （x ）＝log a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点（1，1）C.已知函数f （x ）＝|x |+2，则f （x ）的图象关于直线x ＝2对称D.373log 7log 4log 4=【答案】AB 【解析】【分析】由全称量词命题的否定可判断A ；利用函数平移的即可判断BC ；由换底公式可可判断D 【详解】对于A 选项：“∀x ∈R ，x 2+x +1＞0”的否定为“∃x ∈R ．x 2+x +1≤0”，故A 正确；对于B 选项：由函数对数函数y ＝log a x （a ＞0且a ≠1）恒过（1，0），所以f （x ）＝log a x +1恒过（1，1），故B 正确；对于C 选项：由函数y ＝|x |图像关于x ＝0对称，所以f （x ）＝|x |+2，关于x ＝0对称，故C 错误；对于D 选项：由换底公式373log 4log 4log 7=，故D 错误；故选：AB ．11.若0,0a b >>，则下列不等式中，恒成立的是（）A.2b a a b+≥ B.a 3+b 3≥a 2b +b 2aC.2a b+≤D.136【答案】ABD 【解析】【分析】由已知结合基本不等式及相关结论，不等式的性质及对勾函数单调性分别检验各选项即可判断．【详解】对A ：当a ＞0，b ＞0时，2b aa b+≥，当且仅当a ＝b 时取等号，A 正确；对B ：a 3+b 3﹣a 2b ﹣ab 2＝a 2（a ﹣b ）+b 2（b ﹣a ）＝（a ﹣b ）2（a +b ）≥0，故a 3+b 3≥a 2b +b 2a ，B 正确；对C ：()()222222202444a b a b a b a b ab +-++--==≥2a b +≥，C 错误；对D：令32t ==，又1y t t =+在[)1,+∞上单调递增，且当32t =时，136y =，故136y ≥，D 正确．下证()1f x x x=+在()1,+∞上单调递增：在()1,+∞上任取12x x <，则()()()12121212121111f x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=-+-=-- ⎪⎝⎭，因为121x x <<，故121210,10x x x x --，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，故()1f x x x=+在()1,+∞上单调递增.故选：ABD ．12.已知函数()(),f x g x 是定义在R 上的函数，其中f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，且f （x ）+g （x ）＝ax 2﹣x ，若对于任意121x x >>，都有()()12124g x g x x x ->-，则实数a 可以为（）A.3B.2C.1D.0【答案】AB 【解析】【分析】由已知结合函数的奇偶性可求()g x ，由函数的单调性定义分析可得，令()()4h x g x x =-，判断出()h x 在()1,+∞上单调递增，结合二次函数的性质分析可得a 的取值范围．【详解】根据题意，f （x ）+g （x ）＝ax 2﹣x ，则f （﹣x ）+g （﹣x ）＝ax 2+x ，两式相加可得f （x ）+f （﹣x ）+g （x ）+g （﹣x ）＝2ax 2，又由f （x ）是定义在R 上的奇函数，g （x ）是定义在R 上的偶函数，所以2g （x ）＝2ax 2，即g （x ）＝ax 2，若对于任意121x x >>，都有()()12124g x g x x x ->-，变形可得()()112212440g x x g x x x x ---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦>-，令()()244h x g x x ax x =-=-，则h （x ）在区间()1,+∞上单调递增，若a ＝0，则h （x ）＝﹣4x 在()1,+∞上单调递减，不满足题意；若0a ≠，则h （x ）＝ax 2﹣4x 是对称轴为2x a=的二次函数，若h （x ）在区间()1,+∞上单调递增，只需021a a>⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得2a ≥，所以a 的取值范围为[)2,+∞，则a 可以取值3，2.故选：AB三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()()lg 2f x x =-定义域为_________．【答案】()2,+∞【解析】【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】依题意21020x x -≥⎧⎨->⎩，解得2x >，所以()f x 的定义域为()2,+∞.故答案为：()2,+∞14.已知函数()()2,32,3x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()4f =_____．【答案】4【解析】【分析】根据分段函数解析式求得正确答案.【详解】由于()()2,32,3x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，所以()()()2442224f f f =-===.故答案为：415.若幂函数()()233mf x m m x =--⋅在()0,∞+上为增函数，则实数m =_____．【答案】4【解析】【分析】结合幂函数的定义以及单调性求得m 的值.【详解】()f x 是幂函数，所以22331,340m m m m --=--=，解得4m =或1m =-.当4m =时，()4f x x =，在()0,∞+上递增，符合题意.当1m =-时，()1f x x=，在()0,∞+上递减，不符合题意.综上所述，m 的值为4.故答案为：416.在函数y ＝3x 图象上有A （x 1，t ），B （x 2，t +3），C （x 3，t +6）（其中t ≥3）三点，则△ABC 的面积S （t ）的最大值为________．【答案】333log 22-．【解析】【分析】先利用对数式，求出x 1，x 2，x 3，然后即可将△ABC 的面积表示成()213332S x x x =-+的形式，代入x 1，x 2，x 3，求其最大值即可．【详解】根据题意，函数y ＝3x 图象上有A （x 1，t ），B （x 2，t +3），C （x 3，t +6）（其中t ≥3）三点，所以3123,33,63xx x t t t =+=+=，即x 1＝log 3t ，x 2＝log 3（t +3），x 3＝log 3（t +6），()ABC AFC BDC AEB BDFD S S S S S =-++ ()()()()()313221322131113633332222x x x x x x x x x x x ⎡⎤=⨯⨯--⨯⨯-+⨯⨯-+⨯-=-+⎢⎥⎣⎦即()()333113log 3log log 622S t t t ⎡⎤=+--+⎢⎥⎣⎦3333log 3log 3logS ==,∵t≥3，∴33log S =∴t ＝3时，max 3333log 3log 22S ==-．故答案为：333log 22-．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{}()(){}1,2,|10A B x x x a =-=+-=．（1）若3a =，求A B ⋂；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值集合．【答案】（1）{}1-（2）{}1,2-【解析】【分析】（1）根据交集的知识求得正确答案.（2）根据A B A ⋃=对a 进行分类讨论，从而求得a 的取值范围.【小问1详解】依题意{}1,2A =-，当3a =时，()(){}{}|1301,3B x x x =+-==-，所以{}1A B ⋂=-.【小问2详解】由()()10x x a +-=解得11x =-，2x a =，若1a =-，则{}1B =-，A B A ⋃=，符合题意.若1a ≠-，由于A B A ⋃=，所以2a =.综上所述，实数a 的取值集合为{}1,2-.18.计算下列各式的值．（1）113420.02716log 8---；（2）3ln 252lg 4lg e 8++．【答案】（1）53-（2）9【解析】【分析】（1）利用指数运算公式和对数运算公式，即可解出；（2）利用对数运算公式，即可解出．【小问1详解】原式()()113433421050.32log 22333-⎡⎤=--=--=-⎣⎦；【小问2详解】原式32ln 25lg 4lge 8=++5lg16lg 88=++5lg 1688⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭lg1089=+=.19.已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，并且满足()()()(),12f x y f x f y f +=+=．（1）求()0f 的值；（2）判断函数()f x 的奇偶性；（3）若()()236f x f x +-<，求x 的取值范围．【答案】（1）0；（2）奇函数；（3）(),0-∞.【解析】【分析】（1）令x ＝y ＝0，即可得答案；（2）令y ＝-x ，结合(1)的结论即可判断；（3）由题意可得()()12,36f f ==，则原不等式等价于()()33f x f +<，由()f x 是定义在R 上的增函数求解即可．【小问1详解】令x ＝y ＝0，得()()()000f f f =+，解得()00f =.【小问2详解】因为函数()f x 的定义域为R ，令y ＝-x ，则有()()()0f f x f x =+-，即()()0f x f x +-=，∴函数()f x 为奇函数，∴()f x 为奇函数；【小问3详解】因为()12f ＝，所以()()()()21111224f f f f +++＝＝＝＝，又因为()()()()32121246f f f f +++＝＝＝＝，即由()()236f x f x +-<，则()()()233f x f x f +-<，即()()()()23333f x x f f x f +-<⇔+<，又因为()f x 为增函数，所以33x +<，解得0x <，故x 的取值范围为(),0∞-．20.近年来，人们对能源危机、气候危机有了更加清醒的认识，各国对新型节能环保产品的需求急剧扩大，同时，对新型节能环保产品的研发投入产量增加．杭州某企业为响应国家号召，研发出一款新型节能环保产品，计划生产投入市场．已知该产品的固定研发成本为180万元，此外，每生产一万台该产品需另投入450万元．设该企业一年内生产该产品x （0＜x ≤50）万台且能全部售完，根据市场调研，该产品投入市场的数量越多，每台产品的售价将适当降低．已知每万台产品的销售收入为()I x 万元，满足：()26102,020********440,2050x x I x x x x -<≤⎧⎪=⎨+-<≤⎪⎩．（1）写出年利润()P x （单位：万元）关于年产量x （单位：万台）的函数关系式；（利润＝销售收入﹣固定研发成本﹣产品生产成本）（2）当年产量为多少万台时，该企业的获利最大？此时的最大利润为多少？【答案】（1）()22160180,0209000102870,2050x x x P x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+<≤⎪⎩；（2）当年产量为30万台时，该企业的获利最大，且此时的最大利润为2270万元．【解析】【分析】（1）由已知条件，根据利润＝销售收入﹣固定研发成本﹣产品生产成本即可建立年利润()P x （单位：万元）关于年产量x （单位：万台）的函数关系式；（2）根据（1）所得分段函数()P x ，分别求出各段的最大值，比较大小即可得答案．【小问1详解】当0＜x ≤20时，()P x ＝x ()I x ﹣（180+450x ）＝610x ﹣2x 2﹣180﹣450x ＝﹣2x 2+160x ﹣180，当20＜x ≤50时，()()()900090001804504403050180450102870P x xI x x x x x x x=-+=+---=--+所以，()22160180,0209000102870,2050x x x P x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+<≤⎪⎩.【小问2详解】当0＜x ≤20时，()P x ＝﹣2x 2+160x ﹣180＝﹣2（x ﹣40）2+3020，则函数()P x 在（0,20]上单调递增，故当x ＝20时，()P x 取得最大值，且最大值为2220；当20＜x ≤50时，()90009000102870102870P x x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭287060028702270≤-=-+=，当且仅当900010x x=，即x ＝30（负值舍去）时等号成立，此时()P x 取得最大值，且最大值为2270，因为2270＞2220，所以，当年产量为30万台时，该企业的获利最大，且此时的最大利润为2270万元．21.已知函数()e e xxf x k -=+为奇函数．（1）求实数k 的值；（2）若对任意的x 2∈[]1,2，存在x 1∈[),t +∞，使()21e x tf x -≤成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）1-；（2）()ln 1e ,2+⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）根据()00f ＝求解即可；（2）求得()y f x =和e x ty -=在对应区间上的最小值，根据其大小关系，再解不等式即可.【小问1详解】因为x ∈R ，()f x 为奇函数，所以()010f k +＝＝，所以1k -＝，()e exxf x -=-，经检验，满足题意，故1k =-.【小问2详解】因为任意的x 2∈[]1,2，存在x 1∈[),t +∞，使()21e x tf x -≤成立，所以()f x 在[t ,+∞)上的最小值小于或等于()ex tg x -＝在[1,2]的最小值，易知()f x ＝e x ﹣e ﹣x 在R 上为增函数，所以()f x 在[t ,+∞)上也为增函数，所以()f x 的最小值为f (t )＝e t ﹣e ﹣t ，令m ＝|x ﹣t |，当t ≤1时，m ＝|x ﹣t |在x ＝1处取小值为1﹣t ，所以()g x 的最小值为e 1﹣t ，所以e t ﹣e ﹣t ≤e 1﹣t ，即(e t )2≤1+e ，所以()()ln 1e 2ln 1e 2t t +≤+⇒≤，所以()ln 1e 2t +≤；当1＜t ＜2时，m ＝|x ﹣t |在x ＝t 处取小值为0，所以()g x 的最小值为e 0＝1，e t ﹣e ﹣t ≤1，即()21e 1e e 10e tt t t -≤⇔--≤，令k ＝e t ，k ＞0，则k 2﹣k ﹣1≤0，解得1502k +<≤，即102t e +<≤，解得1ln 2t ≤＜ln e ＝1，与t ＞1矛盾，故舍去；当t ≥2时，m ＝|x ﹣t |在x ＝2处取小值为t ﹣2，所以()g x 的最小值为e t ﹣2，e t ﹣e ﹣t ≤e t ﹣2，即22e e e 1t≤-，所以()222e lg 2lg e 1e 1t ≤=---与t ≥2矛盾，故舍去．综上所述，t 的范围为：()ln 1e ,2+⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．下证()f x ＝e x ﹣e ﹣x 在R 上为增函数：在R 上任取12x x <，则()()()12121212121e e ee e e 1exxx x x x x x f x f x --+⎛⎫-=--+=-⨯+ ⎪⎝⎭，又当12x x <时，12e e 0x x -<，12110ex x ++>，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，故()f x ＝e x ﹣e ﹣x 在R 上为增函数.22.已知函数()f x ＝x 2+bx +c （1≤b ≤2），记集合A ＝{x |()f x ＝x }，B ＝{x |()()f f x ＝x }．（1）若b ＝1，c ＝1-，求集合A 与B ；（2）若集合A ＝{x 1，x 2}，B ＝{x 1，x 2，x 3，x 4}并且34x x -≤恒成立，求c 的取值范围．【答案】（1）A ＝{﹣1，1}，B ＝{﹣1，1}；（2）5,14⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．【解析】【分析】（1）由二次方程的解法可得集合A ；由因式分解可得集合B ；（2）将()()ff x ＝x 展开，并运用二次函数的零点式，结合韦达定理，可得x 1+x 2＝1﹣b ，x 1x 2＝c ，x 3+x4＝﹣1﹣b ，x 3x 4＝c +1+b ，再由不等式恒成立思想解不等式可得所求取值范围．【小问1详解】当b ＝1，c ＝﹣1时，()f x ＝x 2+x ﹣1，()f x ＝x 2+x ﹣1＝x ，可得x 2﹣1＝0，解得x ＝1或x ＝﹣1，所以A ＝{﹣1，1}；()()f f x ＝x ，故可得（x 2+x ﹣1）2+（x 2+x ﹣1）﹣1＝x ，化简得x 4+2x 3﹣2x ﹣1＝0，即（x 2﹣1）（x +1）2＝0，可得（x ﹣1）（x +1）3＝0，解得x ＝1或x ＝﹣1，所以B ＝{﹣1，1}；【小问2详解】()f x ﹣x ＝x 2+（b ﹣1）x +c ＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2），()()f f x ﹣x ＝()()f f x ﹣()f x +()f x ﹣x ＝（f （x ）﹣x 1）（f （x ）﹣x 2）+（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）＝（f （x ）﹣x +x ﹣x 1）（f （x ）﹣x +x ﹣x 2）+（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2+1）（x ﹣x 2）（x ﹣x 1+1）+（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）[（x ﹣x 2+1）（x ﹣x 1+1）+1]，而x 1+x 2＝1﹣b ，x 1x 2＝c ，所以x 3+x 4＝x 1+x 2﹣2＝1﹣b ﹣2＝﹣1﹣b ，x 3x 4＝x 1x 2+2﹣（x 1+x 2）＝c +1+b ，所以34||x x ==≤-恒成立，可得（1+b ）2﹣4（1+b +c ）＞0，且（1+b ）2﹣4（1+b +c ）≤2恒成立，由1≤b ≤2，可得2≤1+b ≤3，则g （b ）＝（1+b ）2﹣4（1+b ）的值域为[﹣4,﹣3]，所以4c ＜﹣4且4c +2≥﹣3，解得514c -≤<-，即c 的取值范围是5,14⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．。
浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}N 12A x x =∈-≤≤，{}2,1,0,1B =--，则A B = （）A ．{}2,1,0,1,2--B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．{}12．若函数()1f x +的定义域是{}10x x -<<，则函数()f x 的定义域为（）A ．{}01x x <<B ．{}21x x -<<-C ．{}10x x -<<D ．{}20x x -<<3．不等式20cx ax b ++>的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则函数2y ax bx c =+-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知()e e x x xf x a -=+是偶函数，则a =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．已知命题p ：0x ∃≥，111x x +<+，则（）A ．命题p 的否定为0x ∀≥，111x x +≥+，且p 是真命题B ．命题p 的否定为0x ∃≥，111x x +≥+，且p 是真命题C ．命题p 的否定为0x ∀≥，111x x +≥+，且p 是假命题D ．命题p 的否定为0x ∀<，111x x +≥+，p 是假命题6．已知函数2()32x a x f x ax x ⎧≤=⎨+>⎩，，是R 上的增．函数，则实数a 的取值范围为（）A ．1a >B ．13a <<C ．13a -≤≤D ．13a <£7．已知,,abc 为正数，且22a b c ++=，则14a b b c +++的最小值为（）A ．52B ．52C ．92D ．948．已知函数341()=41x x f x x -++，则不等式(21)()0f x f x -+<的解集为（）A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞C ．1(,)3+∞D ．1(,)3-∞二、多选题9．设,R a b ∈，若0a b ->，则下列结论正确的是（）A ．0b a ->B ．0b a +>C ．220a b ->D ．330a b +<10．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（）A ．三项比赛都参加的有2人B ．只参加100米比赛的有3人C ．只参加400米比赛的有3人D ．只参加1500米比赛的有3人11．设R x ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，如][1.51, 1.52⎡⎤=-=-⎣⎦，记{}[]x x x =-.则下列说法正确的有（）A ．R,Z x n ∀∈∈，都有[][]n x n x +=+B ．,x y ∀∈R ，都有[][][]xy x y ≥C ．*R,N x n ∀∈∈，都有[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．若存在实数x ，使得23[]1,[]2,[]3,...,[]n x x x x n ====同时成立，则正整数n 的最大值为4.三、填空题12．设集合(){}22,2,N,N A x y x y x y =+≤∈∈，则A 中元素的个数为13．如果2339x x --<，则x 的取值范围为.14．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12x x D ∈,当12x x <时，有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0;f =②1()()32x f f x =；③(1)()1f x f x -+=.则21((55f f +=四、解答题15．已知命题22:R,60p x x x a ∃∈-+=，当命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为A .(1)求集合A ；(2)设集合{}321B a m a m =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16．已知函数()4(0)4x xa f x a =+≠(1)当1a =时，根据定义证明函数()f x 在(0,+∞）上单调递增.(2)若()f x 有最小值4，求a 的值.17．某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为7502m 的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m 的小路，中间,,A B C 三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中,B C 区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为m x ，鲜花种植的总面积为2m S .(1)用含有x 的代数式表示a ，并写出x 的取值范围；(2)当x 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？18．设函数()222f x x tx =-+，其中R t ∈.(1)若1t =，（i ）当[0,3]x ∈时，求()f x 的最大值和最小值;（ii ）对任意的[]0,2x a ∈+，都有()5f x ≤，求实数a 的取值范围；(2)若对任意的12,[0,4]x x ∈，都有()()128f x f x -≤，求实数t 的取值范围.19．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2()4f x x x =-+.(1)求()f x 的解析式；(2)当()f x 的定义域为[,]a b （0a ）时，()f x 的值域为[,]a b ，求,a b 的取值.(3)是否存在实数,a b ，使得当()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为88[,b a，如果存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.。
杭州市高一上学期期中考试数学试卷
高一年级数学学科试卷一、 选择题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共计 48 分. 每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 设集合}1|{>∈=x R x A ，则()A.A ⊆2B.A ∈}2{C.A ∈2D.A ∉2 2. 2.设函数x x f 2log )(=，则其定义域为 () A ．)1,0(B ．),2[+∞C ．),0(+∞D ．[1, +∞)3. 设全集U 是实数集R ,3|{},2|||{≥=>=x x N x x M 或1<x }都是 U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A ．}2|{<x x B ．}22|{≤≤-x x C ．}21|{≤<x x D ．}12|{<≤-x x4. 给定下列函数，其中在区间)1,0(上单调递增的函数是()A.2x y -=B.|2|2x x y -=C.1)21(+=x yD.xx y 1+=5. 列函数中，与函数x y =相同的函数是 ( )A.xx y 2= B.x e y ln = C.2x y = D.x y 2log 2=6.设函数⎩⎨⎧>-≤-=2),2(2,1)(2x x f x x x f ，则))2((f f 的值为（ ）A.0B.3C.1-D.27.函数xx y 21-=的图像是（ ）8. 设11011020172016++=a ，11011020182017++=b ，11011020192018++=c ，则c b a ,,的大小关系（ ）A ．a > c > bB ．b > c > aC ．a > b > cD ．c > b > a9. 函数)3lg()(2x x x f -=的单调递减区间为（ ）A ．),23(+∞B ．)23,(-∞ C ．),3()0,(+∞-∞Y D ．)0,(-∞10.函数)(log )(bx x f a =的图像如图，其中b a ,是常数，下列结论正确是（ ）A ．1,10><<b aB ．10,1<<>b aC ．1,1>>b aD ．10,10<<<<b a11.下列函数中，值域是),0(+∞的是（ ）A ．xy -=13 B ．13-=xy C ．3217-=x y D ．)3(log 2-=x y 12.存在函数)(x f 满足，对于任意的R x ∈都有（ ）A ．|1|)1(2-=-x x fB ．|1|)1(2+=-x x fC ．|1|)2(2-=-x x x fD ．|1|)1(2-=+x x f二、 填空题 (本大题共 5 小题，每空 4 分，共计 20 分)113.已知1)1(2+-=+x x f ，则=)3(f ________14.已知函数⎩⎨⎧≥+<=0,10,)(2x x x x x f ，若2)(=m f ，则实数m 的值为_______15. 若函数)(x f 满足)()(x f x f -=-，并且当0>x 时，32)(2+-=x x x f ，则当0<x 时，=)(x f ________16. 已知函数x x y 22+=在闭区间],[b a 上的值域为]3,1[-，则b a ·的最大值为______17. 已知0,0≥≥y x ，且1=+y x ，则函数)22(log ),(22y x xy x y x f +++=的最大值为______三、解答题（本大题共3个小题，共计32分）18. 已知全集R U =，集合}2|{-==x y x A ，}2|{a x a x B -<<=（1）当1-=a 时，求集合A C B U I（2）若集合A B A =Y ，求实数a 的取值范围19. 已知函数)(,)14(log )(2R k kx x f x ∈++=是偶函数（1）求k 的值（2）求不等式x x f -≥3)(成立时x 的取值范围20. 已知函数xa x f 1)(-=)0,0(>>x a（1）判断函数)(x f 的单调性并利用函数单调性定义加以证明（2）若)(x f 在]3,31[上的值域是]3,31[，求a 的值（3）当),0(,+∞∈n m 时，若)(x f 在],[n m 上的值域是],[n m )(n m <，求实数a 的取值范围。
浙江省杭州高级中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题
6．因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种
方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次
加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（ ）
A．பைடு நூலகம்方案
B．乙方案
C．一样
D．无法确定
7．已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 在 , 0 上单调递减，定义在 R 上的偶函数 g(x) 在
, 0 上单调递增，且 f 1 g 1 0 ，则满足 f (x)g(x) 0 的 x 的取值范围是（ ）
A． , 1 U 1,0
B． 0,1 1,
C． 1, 0 1,
D． , 1 1,1
试卷第 1页，共 4页
8．已知函数 f (x) 2x2 1, g(x) ax, x R ，用 M x 表示 f x, g x 中的较大者，记为
七、应用题 19．老李是当地有名的养鱼技术能手，准备承包一个渔场，并签订合同，经过测算研究， 预测第一年鱼重量增长率 200% ，以后每年的重量增长率是前一年重量增长率的一半， 但同时因鱼的生长，会导致水中的含氧量减少，鱼生长缓慢，为确保鱼的正常生长，只 要水中的含氧量保持在某水平线以上。现知道水中含氧量第一年为 8 个单位，经科技人 员处了解到鱼正常生长，到第三年水中含氧量为 4.5 个单位，含氧量 y 与年份 x 的函数 模型为 y ka x (k 0，0 a 1) ，当含氧量少于 81 个单位，鱼虽然依然生长，但会损失 5%
15．已知函数 f x ax2 2 a x 1， g x x ，若对于任意实数 x， f x 与 g x 至
少有一个为正数，则实数 a 的取值范围是
.
2022-2023学年浙江省杭州十四中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省杭州十四中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多远进、错选均不得分1．设集合M ＝{0，3，5}，N ＝{1，4，5}，则M ∩N ＝（ ） A ．{5}B ．{0，3}C ．{0，1，3，4，5}D ．{0，1，3，4}2．已知点（m ，8）在幂函数f （x ）＝（m ﹣1）x n 的图象上，则n ﹣m＝（ ） A ．19B ．18C ．8D ．93．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若1x ＜1，则x ＞1”为假命题B ．“x ＝﹣1”是“x 2﹣5x ﹣6＝0”的必要不充分条件C ．命“若实数x 满足x 2﹣3x +2＝0，则x ＝1或x ＝2”为假命题D ．命题“∃x 0∈R ，使得x 02+x 0+1＜0”的否定是：“∃x ∈R ，均有x 2+x +1≥0”4．关于x 的不等式﹣x 2+4ax ﹣3a 2≥0（a ＞0）的解集为[x 1，x 2]，则x 1+x 2+3ax 1x 2的最小值是（ ）A ．4B ．2√6C ．2D ．2√635．函数f （x ）=x 22|x|−4的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知a ＝（35）25，b ＝（25）35，c ＝（25）25，则（）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a7．已知函数f(x)=x +1x −2，g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a ﹣1，设α∈{x |f （x ）＝0}，β∈{x |g （x ）＝0}，若存在α，β，使得|α﹣β|≤1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0，2]B ．（﹣∞，0]∪[2，+∞）C ．[﹣1，1]D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．已知函数f （1﹣x ）＝x +1a−x ．若对于任意1＜x 1＜x 2＜2，都有f(x 1)一f(x 2)x 1−x 2＜−1，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）B ．[0，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，9．已知函数y ＝f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f （x ）＝x （x +1），则下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）有3个单调区间 B ．当x ＞0时，f （x ）＝x （x ﹣1）C ．不等式f （x ）＜0的解集是（﹣1，1）D ．函数f （x ）有最小值−1410．已知a ，b ，c ∈R ，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若|a ﹣1|＞|b ﹣1|，则（a ﹣1）2＞（b ﹣1）2 B ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2C ．若a ＞b ＞c ＞0，则ab ＞a+c b+cD ．若a ＞0，b ＞0，a +b ＞4，ab ＞4，则a ＞2，b ＞211．已知集合A 中含有6个元素，全集U ＝A ∪B 中共有12个元素，（∁U A ）∪（∁U B ）中有m 个元素，已知m ≥8，则集合B 中元素个数可得为（ ） A ．2B ．6C ．8D ．1212．形如f （x ）＝x +ax （a ＞0）的函数，我们称之为“对勾函数”．“对勾函数”具有如下性质：该函数在（0，√a ）上单调递减，在（√a ，+∞）上单调递增．已知函数f （x ）＝x +ax（a ＞0）在[2，4]上的最大值比最小值大1，则a 的值可以是（ ） A ．4B ．12C ．6﹣2√2D ．6+4√2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．求值：log 416+1612= ．14．设函数f(x)={1，0≤x ＜1，2f(x −1)，x ≥1，，则f （4）＝ ．15．如图，将桶1中的水缓慢注入空桶2中，开始时桶1中有a 升水，tmin 后剩余的水量y 1＝ae ﹣nt，那么桶2中的水量就是y 2＝a ﹣ae﹣nt．假设经过5min ，桶1和桶2中的水量相等，再经过mmin ，桶1中的水只有a 8升，则m 的值为 ．16．已知正实数a ，b 满足b ﹣ab ＝1，则1a +2b 的最小值是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |x−2x+1＜0}，B ＝{x |2﹣m ＜x ＜m +1}．（1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知f （x ）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，f （﹣1）＝2，当x ∈[﹣2，0]时的解析式为f （x ）=a 4x +b 2x （a ，b ∈R ）．（1）写出f （x ）在[0，2]上的解析式； （2）求f （x ）在[0，2]上的最值．19．（12分）已知幂函数f(x)=(m 2−2m +2)x 5k−2k 2（k ∈Z ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）若f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ），求x 的取值范围； （3）若实数a ，b （a ，b ∈R +）满足2a +3b ＝7m ，求3a+1+2b+1的最小值．20．（12分）已知函数f(x)=(a+1)x−3x−1． （1）当a ＞0时，解关于x 的不等式f （x ）＜1；（2）不等式f （x ）＜x ﹣a 对任意x ＞1恒成立，求a 的取值范围．21．（12分）某农户利用墙角线互相垂直的两面墙，将一块可折叠的长为am 的篱笆墙围成一个鸡圈，篱笆的两个端点A ，B 分别在这两墙角线上，现有三种方案： 方案甲：如图1，围成区域为三角形AOB ； 方案乙：如图2，围成区域为矩形OACB ；方案丙：如图3，围成区域为梯形OACB，且∠OAC＝60°．①在方案乙、丙中，设AC＝xm，分别用x表示围成区域的面积S2（m2），S3（m2）；②为使围成鸡圈面积最大，该农户应该选择哪一种方案，并说明理由．22．（12分）已知f（x）＝x2+x+a2+a，g（x）＝x2﹣x+a2﹣a，且函数f（x）和g（x）的定义域均为R，用M（x）表示f（x），g（x）的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，（1）若a＝1，试写出M（x）的解析式，并求M（x）的最小值；（2）若函数M（x）的最小值为3，试求实数a的值．2022-2023学年浙江省杭州十四中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多远进、错选均不得分1．设集合M ＝{0，3，5}，N ＝{1，4，5}，则M ∩N ＝（ ） A ．{5}B ．{0，3}C ．{0，1，3，4，5}D ．{0，1，3，4}解：∵M ＝{0，3，5}，N ＝{1，4，5}， ∴两集合M 、N 只有一个公共元素：5， ∴M ∩N ＝{5}， 故选：A ．2．已知点（m ，8）在幂函数f （x ）＝（m ﹣1）x n 的图象上，则n ﹣m＝（ ） A ．19B ．18C ．8D ．9解：由幂函数的定义可知，m ﹣1＝1，∴m ＝2， ∴点（2，8）在幂函数f （x ）＝x n 上， ∴2n ＝8，∴n ＝3， ∴n﹣m＝3﹣2=19，故选：A ．3．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若1x ＜1，则x ＞1”为假命题B ．“x ＝﹣1”是“x 2﹣5x ﹣6＝0”的必要不充分条件C ．命“若实数x 满足x 2﹣3x +2＝0，则x ＝1或x ＝2”为假命题D ．命题“∃x 0∈R ，使得x 02+x 0+1＜0”的否定是：“∃x ∈R ，均有x 2+x +1≥0” 解：对于A 选项，1x −1=1−x x，当，得x ＞1或x ＜0，所以，命题为假命题，A 对；对于B 选项，解方程x 2﹣5x 一6＝0可得x ＝﹣1或x ＝6， 所以，“x ＝﹣1“是“x 2﹣5x ﹣6＝0“的充分不必要条件，B 错；对于C 选项，解方程x 2一3x 十2＝0，可得x ＝1或x ＝2，所以，命题为真命题，C 错； 对于D 选项，命题“∃x 0∈R ，使得x 02+x 0+1＜0”的否定是：∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0，D 错． 故选：A ．4．关于x 的不等式﹣x 2+4ax ﹣3a 2≥0（a ＞0）的解集为[x 1，x 2]，则x 1+x 2+3ax 1x 2的最小值是（ ）A ．4B ．2√6C ．2D ．2√63解：∵﹣x 2+4ax ﹣3a 2＝﹣（x ﹣a ）（x ﹣3a ）≥0， ∴a ≤x ≤3a ， ∴x 1＝a ，x 2＝3a ，∴x 1+x 2+3a x 1x 2=4a +3a 3a 2=4a +1a ≥2√4a ⋅1a =4，当且仅当4a =1a ，即a =12时，等号成立． 故选：A ． 5．函数f （x ）=x 22|x|−4的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．解：因为函数f （x ）=x 22|x|−4的定义域为{x |x ≠±2}，f （﹣x ）=(−x)22|−x|−4=x 22|x|−4=f （x ），所以f （x ）是偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除A ，B ；当x ∈（0，2）时，1＜2x＜4，f （x ）=x 22x −4＜0，当x ∈（2，+∞）时，f （x ）=x 22x −4＞0，排除C ．故选：D ． 6．已知a ＝（35）25，b ＝（25）35，c ＝（25）25，则（）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解：∵y =(25)x 为减函数， ∴b ＜c ， 又∵y =x 25在（0，+∞）为增函数，∴a ＞c ，∴b ＜c ＜a ， 故选：D ．7．已知函数f(x)=x +1x −2，g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a ﹣1，设α∈{x |f （x ）＝0}，β∈{x |g （x ）＝0}，若存在α，β，使得|α﹣β|≤1，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0，2] B ．（﹣∞，0]∪[2，+∞）C ．[﹣1，1]D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）解：函数f(x)=x +1x −2，令f （x ）＝0，即x +1x −2=0，解得x ＝1， 又α∈{x |f （x ）＝0}， 则α＝1，因为存在α，β，使得|α﹣β|≤1， 则|1﹣β|≤1，解得0≤β≤2，又g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a ﹣1，β∈{x |g （x ）＝0}， 所以x 2﹣ax ﹣a ﹣1＝0在[0，2]上有解， 即a =x 2−1x+1=x −1在[0，2]上有解， 因为x ﹣1∈[﹣1，1]， 所以a ∈[﹣1，1]，则实数a 的取值范围是[﹣1，1]． 故选：C ．8．已知函数f （1﹣x ）＝x +1a−x ．若对于任意1＜x 1＜x 2＜2，都有f(x 1)一f(x 2)x 1−x 2＜−1，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）B ．[0，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）解：根据题意，已知函数f （1﹣x ）＝x +1a−x， 设t ＝1﹣x ，则x ＝1﹣t ，有f （t ）＝（1﹣t ）+1t−1+a ，故f （x ）＝1﹣x +1x−1+a ， 又由1＜x 1＜x 2＜2，都有f(x 1)一f(x 2)x 1−x 2＜−1，即f （x 1）﹣f （x 2）＞﹣（x 1﹣x 2），变形可得f （x 1）+x 1＞f （x 2）+x 2，设g （x ）＝f （x ）+x ＝1+1x−1+a ，则g （x ）在区间（1，2）上为减函数，必有1﹣a ≥2或1﹣a ≤1，解可得a ≤﹣1或a ≥0，即a 的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）； 故选：A ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，9．已知函数y ＝f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f （x ）＝x （x +1），则下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）有3个单调区间 B ．当x ＞0时，f （x ）＝x （x ﹣1）C ．不等式f （x ）＜0的解集是（﹣1，1）D ．函数f （x ）有最小值−14解：当x ＞0时，﹣x ＜0，因为x ≤0时，f （x ）＝x （x +1），所以f （﹣x ）＝﹣x （﹣x 十1）， 又因为y ＝f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以x ＞0时，f （x ）＝﹣x （﹣x +1）＝x 2﹣x ，B 正确； 即f （x ）={x 2−x(x ＞0)x 2+x(x ≤0)，其函数图象如图所示，对A ，由图知，函数f （x ）有4个单调区间，故A 错误，对C ，由图知，不等式f （x ）＜0的解集是（一1，0）∪（0，1），C 错误；对D ，由图知，当x =−12或x =12时，f （x ）的函数值都是−14，取得最小值．D 正确． 故选：BD ．10．已知a ，b ，c ∈R ，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若|a ﹣1|＞|b ﹣1|，则（a ﹣1）2＞（b ﹣1）2 B ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2C ．若a ＞b ＞c ＞0，则ab ＞a+c b+cD ．若a ＞0，b ＞0，a +b ＞4，ab ＞4，则a ＞2，b ＞2解：若|a ﹣1|＞|b ﹣1|，则（a ﹣1）2＞（b ﹣1）2，显然成立，故A 正确； 若a ＞b ，c ＝0，则ac 2＝bc 2，故B 错误；a b −a+cb+c=c(a−b)b(b+c)，由a＞b＞c＞0，可得a﹣b＞0，b+c＞0，所以ab−a+cb+c=c(a−b)b(b+c)＞0，即ab＞a+cb+c，故C正确；取a＝1，b＝8，满足a＞0，b＞0，a+b＞4，ab＞4，但a＜2，故D错误．故选：AC．11．已知集合A中含有6个元素，全集U＝A∪B中共有12个元素，（∁U A）∪（∁U B）中有m个元素，已知m≥8，则集合B中元素个数可得为（）A．2B．6C．8D．12解：∵（∁U A）∪（∁U B）＝（∁U（A∩B）有m个元素，又全集U＝A∪B中共有12个元素，∴A∩B中元素个数为12﹣m，设集合B中元素个数为x，则x+6﹣（12﹣m）＝12，得m＝18﹣x，又m≥8，∴18﹣x≥8，∴x≤10，又A∪B中共有12个元素，∴x≥6，∴6≤x≤10故选：BC．12．形如f（x）＝x+ax（a＞0）的函数，我们称之为“对勾函数”．“对勾函数”具有如下性质：该函数在（0，√a）上单调递减，在（√a，+∞）上单调递增．已知函数f（x）＝x+ax（a＞0）在[2，4]上的最大值比最小值大1，则a的值可以是（）A．4B．12C．6﹣2√2D．6+4√2解：由对勾函数的性质可得f（x）在（0，√a）上单调递减，在（√a，+∞）上单调递增．①当√a≤2，即0＜a≤4时，f（x）在[2，4]上单调递增，f（x）max﹣f（x）min＝f（4）﹣f（2）＝4+a4−2−a2=2−a4=1，解得a＝4；②当√a≥4，即a≥16时，f（x）在[2，4]上单调递减，f（x）max﹣f（x）min＝f（2）﹣f（4）＝2+a2−4−a4=a4−2＝1，解得a＝12（舍去）；③当2＜√a＜4，即4＜a＜16，f（x）在[2，√a）上单调递减，在（√a，4]上单调递增，f（x）min＝f（√a）＝2√a，f（x）max＝f（2）或f（4）；（1）当f（x）max＝f（2）时，f（x）max﹣f（x）min＝f（2）﹣f（√a）＝2+a2−2√a=1，解得√a=2+√2或√a=2−√2（舍去），则a＝6+4√2，经验证，符合题意．（2）当f（x）max＝f（4）时，f（x）max﹣f（x）min＝f（4）﹣f（√a）＝4+a−2√a=1，解得√a =6或√a =2，即a ＝36（舍去）或a ＝4（舍去）． 综上，a 的值为4或6+4√2． 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．求值：log 416+1612= 6 ． 解：原式=log 442+(42)12=2+4＝6．故答案为：6． 14．设函数f(x)={1，0≤x ＜1，2f(x −1)，x ≥1，，则f （4）＝ 16 ．解：由题可知f （4）＝2f （3）＝4f （2）＝8f （1）＝16f （0）＝16． 故答案为：16．15．如图，将桶1中的水缓慢注入空桶2中，开始时桶1中有a 升水，tmin 后剩余的水量y 1＝ae ﹣nt，那么桶2中的水量就是y 2＝a ﹣ae﹣nt．假设经过5min ，桶1和桶2中的水量相等，再经过mmin ，桶1中的水只有a 8升，则m 的值为 10 ．解：由题意得，ae﹣5n＝a ﹣ae﹣5n，则 e−n=(12)15．因为再经过 mmin ，桶 1 中 的水只有 a8升，所以 ae −n(5+m)=a 8，即e −n(5+m)=(12)3， 又e −n =(12)15，所以 (12)5+m5=(12)3，所以5+m 5=3，解得 m ＝10．故答案为：10．16．已知正实数a ，b 满足b ﹣ab ＝1，则1a +2b 的最小值是 3+2√2 ．解：∵正实数a ，b 满足b ﹣ab ＝1，∴b =11−a＞0， ∴0＜a ＜1， 则1a +2b =1a +21−a =a+1−a a +2(a+1−a)1−a =3+1−a a +2a1−a≥3+2√2， 当且仅当1−a a=2a1−a即a =√2−1，b ＝1+√22时取等号，故答案为：3+2√2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |x−2x+1＜0}，B ＝{x |2﹣m ＜x ＜m +1}．（1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围． 解：A ＝{x |x−2x+1＜0}＝{x |﹣1＜x ＜2}．（1）当m ＝2时，B ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{x |0＜x ＜2}； （2）若A ∪B ＝A ，则B ⊆A ．当B ＝∅时，2﹣m ≥m +1，即m ≤12，此时B ⊆A ； 当B ≠∅时，2﹣m ＜m +1，即m ＞12，要使B ⊆A ，则{2−m ≥−1m +1≤2，解得m ≤1，又m ＞12，则12＜m ≤1，综上，m ≤1，故实数m 的取值范围为：（﹣∞，1]．18．（12分）已知f （x ）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，f （﹣1）＝2，当x ∈[﹣2，0]时的解析式为f （x ）=a 4x +b2x （a ，b ∈R ）．（1）写出f （x ）在[0，2]上的解析式； （2）求f （x ）在[0，2]上的最值．解：（1）因为f （x ）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，所以f （0）＝0，即a +b ＝0， 由f （﹣1）＝2，得4a +2b ＝2，得a ＝1，b ＝﹣1，则当x ∈[﹣2，0]时的解析式为f （x ）=14x −12x ． 设x ∈[0，2]，则﹣x ∈[﹣2，0]，∴f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（14−x−12−x）＝2x ﹣4x ，即当x ∈[0，2]时，f（x ）＝2x ﹣4x ．（2）f （x ）＝2x ﹣4x ＝﹣（2x −12）2+14，其中2x ∈[1，4]， ∴当2x ＝1，即x ＝0时，f （x ）的最大值为0， 当2x ＝4，即x ＝2时，f （x ）的最小值为﹣12．19．（12分）已知幂函数f(x)=(m 2−2m +2)x 5k−2k 2（k ∈Z ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）若f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ），求x 的取值范围； （3）若实数a ，b （a ，b ∈R +）满足2a +3b ＝7m ，求3a+1+2b+1的最小值．解：（1）∵幂函数f(x)=(m 2−2m +2)x 5k−2k 2（k ∈Z ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增， ∴m 2﹣2m +2＝1，且5k ﹣2k 2 为正偶数， ∴m ＝1，k ＝2，故f （x ）＝x 2．（2）∵f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ），∴|2x ﹣1|＜|2﹣x |，∴4x 2﹣4x +1＜x 2﹣4x +4， 即3x 2＜3，求得﹣1＜x ＜1．（3）若实数a ，b （a ，b ∈R +）满足2a +3b ＝7m ＝7， ∴2（a +1）+3（b +1）＝12，即 112[2（a +1）+3（b +1）]＝1，则3a+1+2b+1=112[2（a +1）+3（b +1）]•（3a+1+2b+1）=112（6+4•a+1b+1+9•b+1a+1+6）＝1+112（4•a+1b+1+9•b+1a+1）≥1+112×2√4⋅a+1b+1⋅9⋅b+1a+1=1+112×2×6=2，当且仅当 4•a+1b+1=9•b+1a+1时，即2a ＝3b +1时，等号成立，故3a+1+2b+1的最小值为2．20．（12分）已知函数f(x)=(a+1)x−3x−1． （1）当a ＞0时，解关于x 的不等式f （x ）＜1；（2）不等式f （x ）＜x ﹣a 对任意x ＞1恒成立，求a 的取值范围． 解：（1）由f （x ）＜1，得(a+1)x−3x−1＜1，进而得ax−2x−1＜0，∴（ax ﹣2）（x ﹣1）＜0，（x ﹣1）（ax ﹣2）＜0， 当a ＞0时，转化为（x ﹣1）（x −2a）＜0，①当0＜a ＜2时，解得1＜x ＜2a ，故不等式的解集为（1，2a），②当a ＞2时，解得2a＜x ＜1，故不等式的解集为（2a，1），③当a ＝2时，即（x ﹣1）2＜0，无解，故不等式的解集为空集． 综上所述：当0＜a ＜2时，不等式的解集为（1，2a ），当a ＞2时，不等式的解集为（2a，1），当a ＝2时，不等式的解集为空集．（2）（3）f （x ）＜x ﹣a 对任意x ＞1恒成立， ∴(a+1)x−3x−1＜x ﹣a 对任意x ＞1恒成立，∴（a +1）x ﹣3＜（x ﹣1）（x ﹣a ）， ∴x 2﹣2（a +1）x +a +3＞0，当Δ＝4（a +1）2﹣4（a +3）＜0，解得﹣2＜a ＜1，恒成立， 当△≥0时，即a ≤﹣2或a ≥1时， ∴{f(1)＞0a +1≤1， 解得a ≤0， 即a ≤﹣2，综上所述：a 的取值范围为（﹣∞，1）．21．（12分）某农户利用墙角线互相垂直的两面墙，将一块可折叠的长为am 的篱笆墙围成一个鸡圈，篱笆的两个端点A ，B 分别在这两墙角线上，现有三种方案：方案甲：如图1，围成区域为三角形AOB ； 方案乙：如图2，围成区域为矩形OACB ；方案丙：如图3，围成区域为梯形OACB ，且∠OAC ＝60°．①在方案乙、丙中，设AC ＝xm ，分别用x 表示围成区域的面积S 2（m 2），S 3（m 2）； ②为使围成鸡圈面积最大，该农户应该选择哪一种方案，并说明理由．解：①对于方案乙：由图2得AC ＝xm ，则BC ＝a ﹣x （m ），∴S 2＝AC •BC ＝（a ﹣x ）x ＝﹣x 2+ax ＝﹣（x −a 2）2+a 24，x ∈（0，a ），对于方案丙：由图3得AC ＝xm ，则BC ＝a ﹣x （m ），则OA ＝a ﹣x +12x =a −12x （m ），OB =√32xm ，∴S 3=(BC+OA)⋅OB 2=(a−x+a−12x)⋅√32x 2=−3√38x 2+√32ax =−3√38（x −2a3）2+√36a 2，x ∈（0，a ）；②由①得S 2＝﹣（x −a2）2+a 24，x ∈（0，a ），S 3=−3√38（x −2a3）2+√36a 2，x ∈（0，a ）， 在方案乙中，当x =a 2时，S 2max =a 24，即方案乙围成鸡圈最大面积为a 24，在方案丙中，当x =2a 3时，S 3max =√36a 2，即方案丙围成鸡圈最大面积为√36a 2，在方案甲中，设OA ＝x ，OB ＝y ，记围成区域的面积为S 1，则S 1=12xy ，x 2+y 2＝a 2，由基本不等式得S 1=12xy ≤12•x 2+y22=a 24，当且仅当x ＝y =√22a 时等号成立，即方案甲围成鸡圈最大面积为a 24，∵a 24=a 24＜√36a 2， ∴为使围成鸡圈面积最大，农户应选择方案丙的设计．22．（12分）已知f （x ）＝x 2+x +a 2+a ，g （x ）＝x 2﹣x +a 2﹣a ，且函数f （x ）和g （x ）的定义域均为R ，用M （x ）表示f （x ），g （x ）的较大者，记为M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}， （1）若a ＝1，试写出M （x ）的解析式，并求M （x ）的最小值； （2）若函数M （x ）的最小值为3，试求实数a 的值．解：∵f （x ）﹣g （x ）＝x 2+x +a 2+a ﹣（x 2﹣x +a 2﹣a ）＝2（x +a ）， ∴当x ≥﹣a 时，f （x ）≥g （x ），当x ＜﹣a 时，f （x ）＜g （x ）， 故M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}={f(x)，x ≥−a g(x)，x ＜−a，（1）当a ＝1时，M （x ）={x 2+x +2，x ≥−1x 2−x ，x ＜−1，当x ≥﹣1时，M （x ）min ＝f （−12）=74，当x ＜﹣1时，M （x ）＝g （x ）＞g （﹣1）＝2， 故M （x ）min =74，（2）函数f （x ）和g （x ）的对称轴分别为x =−12、x =12， ①当﹣a ≤−12，即a ≥12时，M （x ）在（﹣∞，−12）上单调递减，在（−12，+∞）上单调递增， 故M （x ）min ＝f （−12）＝3，即a 2+a −134=0，解得a =√14−12或a =−1+√142（舍去）， ②当−12＜−a ≤12，即−12≤a ＜12时，M （x ）在（﹣∞，﹣a ）上单调递减，在（﹣a ，+∞）上单调递增， 故M （x ）min ＝f （﹣a ）＝3，即2a 2＝3，解得a ＝±√62（舍去）， ③当﹣a ＞12，即a ＜−12时，M （x ）在（﹣∞，12）上单调递减，在（12，+∞）上单调递增，故M （x ）min ＝g （12）＝3，即a 2﹣a −134=0，解得a =−√14−12或a =1+√142（舍去）， 综上所述，a ＝±√14−12．。
2023_2024学年浙江省杭州市高一上册期中联考数学专项提升模拟测试卷(附答案)
4．若
f
2 ( x
1)
2x
1
，则
f
(3)
的值为（
）
19
A． 3
B． 5
C． 3
5．设 x R ，则“ 3x 2 4 ”是“ x x 2 0 ”的（ ）
D． 7
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．若定义在 R 上的函数 f (x) 是偶函数，当 0 x1 x2 时， x2 x1 f (x2 ) f (x1) 0 恒成立，若
狄利克雷在
1829
年给出了著名函数：
D
x
1, x为有理数 0,x为无理数
,以下说法正确的是（
）
A． D x的图像关于 y 轴对称
B． D x的值域是0,1
C． D x 1 D x
D． D D x 1
12．已知函数
f
(x)
定义域为
R
，且
f
(x)
x3
f
1 x
（x） , 0
0,
，
f x f y xy f x y，则下列说法正确的是（ ）
2．若命题 p : x 0, x3 x. 则命题 p 的否定为（ ）
A． x 0, x3 x.
B． x 0, x3 x.
C． x 0, x3 x.
D． x 0, x3 x.
f x 9 x2
3．函数
x 2 的定义域为（ ）
A． 3, 2 2,3 B． 3,3
C．3, 2 2,3 D．3,3
=D
x
，故
A
正确；
由题意可知 Dx0,1，故 B 错误；
浙江省9+1高中联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高一年级期中考试数学（答案在最后）考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1.已知集合{1,0,1,2,3},{2,3},{0,1}U A B =-==，则()U B A ⋂=ð（）A.{1,0,1}-B.{0,1}C.{0}D.{1}【答案】B 【解析】【分析】先计算补集{}1,0,1U A =-ð，再计算交集()U A B ⋂ð；【详解】{}(){}1,0,1,0,1U UA AB =-∴⋂= 痧,故选:B.2.命题“[)1,x ∃∈+∞，21x ≤”的否定形式为（）A.[)1,x ∀∈+∞，21x >B.(),1x ∀∈-∞，21x >C.[)1,x ∀∈+∞，21x ≤D.(),1x ∀∈-∞，21x ≤【答案】A 【解析】【分析】特称命题的否定：①∃⇒∀，②否定结论.【详解】命题“[)1,x ∃∈+∞，21x ≤”的否定形式为：“[)1,x ∀∈+∞，21x >”，故选：A.3.函数()f x =）A.[]1,3 B.1,12⎛⎫⎪⎝⎭C.1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】由根式有意义可以列出不等式求解.【详解】依题意得10210x ⎧≥⎪⎨-≥⎪⎩，解得112x ≤≤，所以()f x 的定义域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故选：D.4.已知()f x 在R 上的奇函数，当0x >时，2()21f x x x =--，则((1))f f -=（）A.2B.2- C.1D.1-【答案】D 【解析】【分析】利用函数奇偶性，由内向外求值即可.【详解】由题意()()112f f -=-=，所以((1))(2)1f f f -==-.故选：D5.已知R a b c ∈,,，则a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】当a b c ==时，222223,3a b c a ab bc ac a ++=++=，所以222a b c ab bc ac ++=++，当222a b c ab bc ac ++=++时，2220a b c ab bc ac ++---=，所以2222222220a b c ab bc ac ++---=，所以()()()2222222220a ab baac c b bc c -++-++-+=，所以()()()2220a b a c b c -+-+-=，因为()()()2220,0,0a b a c b c -≥-≥-≥，所以()()()2220a b a c b c -=-=-=，所以a b c ==，所以a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的充要条件，故选：C6.若函数()()2222422xx x x f x m --=+-++有且只有一个零点，则实数m 的值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的性质结合题意得()00f =即可求解.【详解】由题函数定义域为R ，关于原点对称，又由于()()()2222422,x x x x f x m f x ---=+-++=故()f x 为R 上的偶函数，由于()f x 只有一个零点，因此()00f =，故2420m -⨯+=，解得6m =，故选：D.7.当01a <<时，关于x 的不等式()()()3130x a x a ⎡⎤--+->⎣⎦的解集为（）A.33, 1a x x x a -⎧⎫><⎨⎬-⎩⎭∣或 B.331a x x a ⎧⎫-<<⎨⎬-⎩⎭C.33, 1a xx x a -⎧⎫<>⎨⎬-⎩⎭∣或 D.331a xx a ⎧⎫-<<⎨⎬-⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】确定二次项的系数符号和两根的大小关系，直接写出解集即可.【详解】因为333323=111a a a aa a a ---+--=---，又因为01a <<，所以201a a ->-，所以3>31a a --，又因为10a -<，于是()()()3130x a x a ⎡⎤--+->⎣⎦等价于()3301a x x a -⎡⎤--<⎢⎥-⎣⎦，可得331a x a -<<-，所以()()()3130x a x a ⎡⎤--+->⎣⎦的解集为331a x x a ⎧⎫-<<⎨⎬-⎩⎭.故选：B8.已知()()2,12,1xa x x f x x a xb x ⎧+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，存在实数(0a >且)1a ≠，对于R 上任意不相同的12,x x ，都有()()21211f x f x x x ->-，则实数b 的取值范围是（）A.()0,∞+ B.[)4,+∞ C.(]0,4 D.[]0,4【答案】A 【解析】【分析】先将问题转化为分段函数()()g x f x x =-的单调性问题，然后根据各段函数的单调性以及分段点处函数值大小关系得到,a b 的不等关系，再由题意可分析出b 的取值范围.【详解】对于R 上任意不相同的12,x x ，都有()()21211f x f x x x ->-，即对于R 上任意不相同的12,x x ，都有()()2211210f x x f x x x x ---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦>-，所以()()g x f x x =-是R 上的增函数，且()()2,11,1xa x g x x a xb x ⎧≤⎪=⎨--+>⎪⎩，所以()1111211a a a a b>⎧⎪-⎪≤⎨⎪≤--+⎪⎩，所以1322a b a <≤⎧⎨≥-⎩，故由题意可知，存在(]1,3a ∈使得22b a ≥-，所以()min 22b a ≥-，且22a -最小值无限逼近0，所以0b >，故选：A.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知0a b c >>>，则（）A.2a c b c +>+ B.ac bc >C.a ba cb c>++ D.cc a b <【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，利用特殊值可以排除；对于B 、C ，根据给定条件,利用不等式的性质可以判断；对于D ，结合幂函数性质判断即可.【详解】对于A ，因为0a b c >>>，不妨取3,2,1a b c ===，则42a c b c +=+=，5，此时2a c b c +<+，故A 错误；对于B ，因为0a b c >>>，由不等式的可乘性得ac bc >，故B 正确；对于C ，由B 知ac bc >，所以()()0a b ac bca cbc a c b c --=>++++，即a b a c b c>++，故C 正确；对于D ，函数c y x =在()0,∞+上单调递增，则c c a b >，故D 错误.故选:BC10.已知函数()f x 的定义域为R ，满足：①对于任意的x ，y ∈R ，都有()()()f xy f x f y =，②存在1x ，2x ∈R ，使得()()12f x f x ≠，则（）A.()00f = B.()22f =C.当()11f -=-时，()f x 为奇函数 D.当()11f -=时，()f x 为偶函数【答案】ACD 【解析】【分析】通过赋值，函数奇偶性的概念逐个判断即可.【详解】对于A ：令0x y ==，可得：()()200f f=，解得：()00f =或()01f =，当()01f =时，令0y =，可得：()()()00f f x f =，得()1f x =，不满足存在1x ，2x ∈R ，使得()()12f x f x ≠，舍去，故()00f =；正确；对于B ：令()2f x x =，满足()()()()222f xy xy f x f y x y ===，且存在1x ，2x ∈R ，使得()()12f x f x ≠，此时()24f =，故错误；对于C ：令1y =-，可得：()()f x f x -=-，奇函数，正确；对于D ：令1y =-，可得：()()f x f x -=，偶函数，正确；故选：ACD11.给定数集A =R ，(],0B ∞=-，方程2210s t ++=①，则（）A.任给s A ∈，对应关系f 使方程①的解s 与t 对应，则()t f s =为函数B.任给t B ∈，对应关系g 使方程①的解t 与s 对应，则()s g t =为函数C.任给方程①的两组不同解()11,s t ，()22,s t ，其中1s ，2s B ∈，则11221221t s t s t s t s +>+D.存在方程①的两组不同解()11,s t ，()22,s t ，其中1s ，2s B ∈，使得1212(,)22s s t t ++也是方程①的解【答案】AC 【解析】【分析】根据函数的定义判断A,B 易得；对于C ，由题意得到211210s t ++=，222210s t ++=，化简整理得121212()()2()0s s s s t t +-+-=，根据12,(,0]s s ∈-∞推得1212()()0t t s s -->，展开即可判断；对于D ，运用反证法，假设1212(,22s s t t ++也是方程①的解，通过22121211,22s s t t ++=-=-，替代化简推出12s s =，得出矛盾即可.【详解】对于A ，由①可得，21122t s =--，对于任意的s A ∈，都有唯一确定的t 值与之对应，故()t f s =为函数，故A 正确；对于B ，由①可得221s t =--，因t B ∈，若取0t =，则21s =-，此时不存在实数s 与之对应，若考虑虚数解，会出现i s =±两个虚数与之对应，不符合函数的定义，故B 错误；对于C ，依题意，211210s t ++=，222210s t ++=，两式相减，整理得121212()()2()0s s s s t t +-+-=，因12s s ≠且12,(,0]s s ∈-∞，则有1212122()0t t s s s s -+=-<-，即得1212()()0t t s s -->，展开整理，即得11221221t s t s t s t s +>+，故C 正确；对于D ，由题意，12s s ≠，12,(,0]s s ∈-∞，假设1212(,22s s t t ++也是方程①的解，则有21212(2()1022s s t t++++=（*），因22121211,22s s t t ++=-=-，则22121212s s t t ++=--，代入（*）式，整理得：22121220s s s s +-=，即得12s s =，这与题意不符，故D 错误.故选：AC.【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的定义、方程的解的应用，属于难题.对于判断两个变量是否构成函数，主要根据函数的定义，检测对于每一个自变量的取值，是否一定存在唯一的另一个值与之对应；对于方程的解，一般应从字母范围，解析式特点等方面考虑.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.函数()11f x x =+，()1,x ∈+∞的值域是__________.【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由函数在()1,+∞的单调性得到函数值域.【详解】由反比例函数的图像可知：函数()f x 区间()1,-+∞上单调递减，∵()()1,1,+∞⊆-+∞，∴()f x 区间()1,+∞上单调递减，∴()()112f x f <=，又∵10x +>，∴()0f x >，∴()10,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.13.已知实数x ，y 满足0x >，0y >，231xy x y =++，则xy 的最小值是__________.【答案】42+【解析】【分析】利用基本不等式将题设方程转化成不等式210-≥，求出即得xy 的最小值.【详解】由231xy x y =++，可得213xy x y -=+≥，当且仅当3x y =时取等号，即210-≥，设t =2210t t --≥，解得352t ≤或352t ≥，因0t =>，故得235(2xy ≥，即4152xy +≥，由3231x y xy x y =⎧⎨=++⎩解得3632x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即当36x =，32y +=时，xy取得最小值为42+.故答案为：42+.14.已知=，R x ∈，且()03f =，()()()0.520.51f n f n =+，*n ∈N ，请写出()f x 的一个解析式__________.【答案】134xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】根据()()()0.520.51f n f n =+可考虑指数型函数，再设()x f x a b =⋅分析求解即可.【详解】设()xf x a b =⋅，由()()()0.520.51f n f n =+可得()0.50.512n n a b a b+⋅=⋅，即0.512b=，故4b =，又()03f =，故043a ⋅=，则3a =，134xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.故答案为：134xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（1）求值：)1112141431620.75624--⎛⎫⎛⎫+-+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）设22xm=，且0m >，求33x xxxm m m m--++的值.【答案】（1）2-；（2）32【解析】【分析】（1）根据指数幂及其运算性质化简求值即可；（2）运用三次方公式化简，再根据分数指数幂的运算性质求解即可.【详解】（1）)11121414331620.75624--⎛⎫⎛⎫++⨯⨯ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111124443272424-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭)1144432722344⎛⎫⎛⎫=-+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14432743234432⨯⎛⎫=+⨯=⨯= ⎪⨯⎝⎭.（2）因为22x m =，且0m >，所以()()3333xxxxx x x xm m mm m m m m ----++=++()()22xxxx x xx xm m mm m m m m ----+-⋅+=+.2222113112122x x x xm m m m -=-+=-+=-+=.16.已知集合{}2560A xx x =--≥∣，403x B x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭，{3}C x x a =-<.（1）求A B ；（2）若x B ∈是x C ∈的充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{4xx <∣或6}x ≥（2）{}6a a ≥【解析】【分析】（1）解二次不等式和分式不等式分别得到集合,A B ，再求并集；（2）解绝对值不等式得到集合C ，由充分条件得到包含关系，建立不等式，求得a 的取值范围.【小问1详解】因为{}2560{6A xx x x x =--≥=≥∣∣或1}x ≤-，40{34}3x B x x x x ⎧⎫-=<=-<<⎨⎬+⎩⎭∣，所以{4A B xx =< ∣或6}x ≥.【小问2详解】{3}{33}C x x a x a x a =-<=-+<<+∣若x B ∈是x C ∈的充分条件，则B C ⊆，所以3334a a -≤-⎧⎨+≥⎩，解得6a ≥，故a 的取值范围为{}6a a ≥.17.已知幂函数=经过点2,4（）.（1）求12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）记()()g x f x x =-，若()g x 在[]1,a -上是不单调的，求实数a 的取值范围；（3）记()()h x f x x b =++，若ℎ与()()h h x 值域相同，求实数b 的最大值.【答案】（1）14（2）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭（3）14-【解析】【分析】（1）待定系数法求函数解析式后计算求值；（2）根据二次函数的对称轴与定义域的关系列出不等式即可得解；（3）根据二次函数的性质，值域相同转化为1142b -≤-求解即可.【小问1详解】设幂函数为a y x =，42a ∴=，2a ∴=，2y x ∴=，∴当12x =时，21124y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.【小问2详解】()()221124g x f x x x x x ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭，因为()g x 在[]1,a -上是不单调的，所以12a >，所以a 的取值范围是1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭.【小问3详解】函数()22111,244h x x x b x b b ∞⎛⎫⎡⎫=++=++-∈-+ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，令()t h x =，则()()()221124h h x h t t t b t b ⎛⎫==++=++- ⎪⎝⎭，1,4t b ∞⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭，因为函数ℎ的值域和函数()()h h x 相同，可得1142b -≤-，解得14b ≤-，所以实数b 的最大值为14-.18.设矩形ABCD 的周长为20，其中AB AD >.如图所示，E 为CD 边上一动点，把四边形ABCE 沿AE 折叠，使得AB 与DC 交于点P .设DP x =，PE y =.（1）若3AD =，将y 表示成x 的函数=，并求定义域；（2）在（1）条件下，判断并证明=的单调性；（3）求ADP △面积的最大值.【答案】（1）29y x =+，200,7⎛⎤ ⎥⎝⎦（2）29y x =+200,7x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，证明见解析（3）752-.【解析】【分析】（1）通过几何关系确定AP EP =，利用R Rt ADP 的三边关系建立x ，y 的关系，再利用7x y +≤，进而确定x 的范围即可.（2）应用函数单调性的定义证明即可；（3）设AD m =，将面积表示为()5510m m S m ⨯⨯-=-，适当变形应用基本不等式求解最值即可.【小问1详解】解：根据题意，由3AD =，得7AB =，由已知PAE PEA ∠=∠，故AP EP y ==，又因为DP x=故在Rt ADP 中，则222AP AD DP =+，即229y x =+，整理得29y x =+又7x y +≤，则297x x ++≤297x x +≤-，2294914x x x+≤+-207x ≤，所以，定义域为200,7⎛⎤ ⎥⎝⎦.【小问2详解】解：因为y =200,7x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，任取1x ，2200,7x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦且12x x >，则12y y -+-=因为212007x x <<≤，所以120x x ->，120x x +>0>所以120y y ->，即y =200,7x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增.【小问3详解】解：易知，当E 点位于C 点时，ADP △面积最大.此时再设AD m =，DP n =，那么10AP n m =--，由222AP AD DP =+得501010m n m-=-，()0,5m ∈，所以，ADP △的面积()55115010221010m m m S nm m m m⨯⨯--==⋅=--，令10m t -=，则()10510m t t =-<<，10m t -=-，故()5510m m S m⨯⨯-=-()()510510t tt⨯-⨯+-=5051551575t t ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-≤-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当50t t=，即t =10m =-故当10AD =-ADP △的面积S 的最大值为75-.19.设A ，B 是非空实数集，如果对于集合A 中的任意两个实数x ，y ，按照某种确定的关系f ，在B 中都有唯一确定的数z 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个二元函数，记作(),z f x y =，x ，y A Î，其中A 称为二元函数f 的定义域.（1）已知(),f x y =若()11,1f x y =，()22,2f x y =，12122x x y y +=，求()1212,f x x y y ++；（2）设二元函数f 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x ∀，y I ∈，都有(),f x y M ≥，②0x ∃，0y I ∈，使得()00,f x y M =.那么，我们称M 是二元函数(),f x y 的下确界.若x ，()0,y ∈+∞，且111x y+=，判断函数()22,8f x y x y xy =+-是否存在下确界，若存在，求出此函数的下确界，若不存在，说明理由.（3）(),f x y 的定义域为R ，若0h ∃>，对于x ∀，y D ∈⊆R ，都有()(),,f x y f x h y h ≤++，则称f 在D 上是关于h 单调递增.已知()2,4ay f x y kx y =-+在[]1,2上是关于a 单调递增，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()1212,3f x x y y ++=（2）答案见解析（3）1,5∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）由二元函数的定义求解即可；（2）根据基本不等式即二次函数的性质判断即可；（3）根据二元函数在定义域上单调递增的定义求解即可；【小问1详解】由()11,1f x y =可得，22111x y +=，由()22,2f x y =可得，22224x y +=，由()1212,f x x y y ++==又12122x x y y +=，所以()1212,3f x x y y ++=；【小问2详解】由111x y+=可得，x y xy +=，由xy xy +=可得，x y xy +=≥，所以4xy ≥，()()()()22222,8101052525f x y x y xy x y xy xy xy xy =+-=+-=-=--≥-，当且仅当5xy =，即52x +=，552y =或52x =，52y +=时取等号.【小问3详解】因为()2,4ay f x y kx y =-+在[]1,2上是关于a 单调递增，所以()(),,f x y f x a y a ≤++，即存在0a >，对于任意的x ，[]1,2y ∈，都有()()()2244a y a ay kx k x a y y a +-≤+-+++，化简可得()()22044y a y k y y a ++-≥+++，即()()2224044a y ay k y a y +-+≥⎡⎤⎡⎤+++⎣⎦⎣⎦，下面求函数()()()222444a y ay g y y a y +-=⎡⎤⎡⎤+++⎣⎦⎣⎦的最小值，设24y ay t +-=，[]3,2t a a ∈-，()()2222224464164644416a y ay at a a t t a y a y t t +-==++++⎡⎤⎡⎤+++++⎣⎦⎣⎦，所以函数()246416ah t a t t=+++在[]3,2a a -递增，()()()2min 233525a a h t h a a a -=-=++，即存在0a >，使得()2230525a a k a a -+≥++，设()22325a a a a a ϕ-=++，0a >，①当03a <≤时，()223025a a a a a ϕ-=≤++，②当3a >时，()()22251312525a a a a a a a a ϕ+-==-++++，设14u a =+>，221110,42545a u a a u u u+⎛⎫==∈ ⎪+++⎝⎭+，所以()()2230,125a a a a a ϕ-=∈++，综上，105k +≥，所以k 的取值范围是1,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．。
浙江省杭州(2024年版)高一上学期期中考试数学试卷
浙江省杭州（紫金港校区）2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.已知命题:0p x ∀>>，则命题p 的否定是（ ）A.0x ∀>≤B.00x ∃≤≤C.00x ∃>≤D.0x ∀≤≤2.若集合155,1223A x x B x x ⎧⎫⎧⎫=+<=≤-⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭，则A B ⋃=（ ） A.(3,3)-B.(3,3]-C.(2,2)-D.[2,2)-3.设 2.52.35211,log ,333a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a b c 、、的大小关系为（ ）A.c a b <<B.a b c <<C.b a c <<D.a c b <<4.现使用一架两臂不等长的天平称20g 药品，操作方法如下：先将10g 的砝码放在天平左盘中，取出一些药品放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些药品放在天平左盘中，使得天平平衡.你认为两次实际称得的药品总重量（ ） A.等于20gB.大于20gC.小于20gD.以上都有可能5.若函数2242()21x x f x x ++=+的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ）A.1B.2C.3D.46.已知函数()y f x =的图象与函数x y e =的图象关于直线y x =对称，则函数y =()243f x x -+的单调递增区间为（ ） A.(,1)-∞B.(,2)-∞C.(2,)+∞D.(3,)+∞7.已知()(2)(3),()33x f x m x m x m g x =-++=-，若命题“R,()0x f x ∀∈<或()0g x <”为真命题，则m 的取值范围是（ ）A.14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B.(4,0)-C.10,2⎛⎫⎪⎝⎭ D.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭8.已知1(1),,2()(1)12,2xa x f x a a x x x ⎧-≤⎪⎪=>⎨⎪+->⎪⎩的值域为2,,5D D ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，则a 的取值范围是（ ）A.(1,2)B.19,210⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.(2,5)D.36,225⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.下列函数既是偶函数，又在(,0)-∞上是减函数的是A.54y x =B.||3x y =C.()2lg1y x =+D.14y x x=-+ 10.下列说法不正确的是（ ）A.()f x 的定义域为(1,2)-，则(21)f x -的定义域为(3,3)-B.不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充分不必要条件是30k -<< C.一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为(1,3)-，则2231b c a-+有最小值D.若110,0,133a b a b a b>>+=++，则a b +的最小值为111.定义在(1,1)-的函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，且当10x -<<时，()0f x <，则（ ）A.()f x 是奇函数B.1115194f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C.111342f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.()f x 在(1,1)-上单调递增三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知幂函数()223()33m m f x m m x+-=--在(0,)+∞上是减函数，则m 的值为___________.13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()41x f x -=+，则函数()f x 的解析式为___________.14.已知函数265,0,()11,0,2xx x x f x x ⎧---<⎪=⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩若关于x 的方程22[()](23)()f x a f x a +-+-30a =有5个不同的实数根，则a 的取值范围为_____________․四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）求下列各式的值:（1561log 3074log 8log (0.2)2π;--⎛⋅+⋅ ⎝⎭（2）已知17(0)xx x -+=>，求3322x x-+.16.（本小题满分15分）已知集合{}3log (2)3,{242}A x x B x m x m =+≤=-<<+∣∣. （1）当0m =时，求(),RA B A B ⋃⋂;（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分15分）鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期.已知新鲜鸡蛋存储温度x （单位:摄氏度）与保鲜时间t （单位:小时）之间的函数关系式为()e ax b t x +=.新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时.（1）新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；（2）已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数） 参考数据：lg20.30,lg30.48≈≈18.（本小题满分17分）已知非常数函数19()log 2a xf x bx-=+是定义域为(2,2)-的奇函数.（1）求实数a b ，的值;（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）已知2()423x x g x m +=⋅-+，且()()12121(1,2),[1,1],2x x f x g x ∀∈∃∈-->-，求m 的取值范围. 19.（本小题满分17分）函数的不动点在数学领域有着重要的地位.对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.已知函数2()(1)8(0)f x mx n x n m =+-+-≠.（1）当1,0m n ==时， ①求函数()f x 的不动点;②记()h a 为函数()f x 在[,2]a a +上的最大值与最小值之差，求()h a ； （2）若()f x 的两个不动点为12,x x ，且()()122mf x f x m +=-+，当16m <<时，求实数n 的取值范围.。
2023-2024学年浙江省杭州市周边重点中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州市周边重点中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∀x＞0，x≥1”的否定是（）A．“∀x＞0，x＜1”B．“∃x＞0，x＜1”C．“∃x≤0，x＜1”D．“∃x≤0，x≥1”2．小明有50元钱去买水果，他发现如果买1kg阳光玫瑰和750g涌泉密桔则钱不够，若买1.2kg阳光玫瑰和400g涌泉蜜桔则钱有余，设800g阳光玫瑰与1.4kg涌泉蜜桔的价格分别为a，b（单位：元），则（）A．a＜b B．a＞bC．a＝b D．a，b大小无法比较3．下列方程中不能用二分法求近似解的为（）A．lnx+x＝0B．e x﹣3x＝0C．x3﹣3x+1＝0D．4x2−4√5x+5=04．函数f（x）＝log2（2x）•log2（4x）的值域为（）A．R B．[−124，+∞)C．[−14，+∞)D．[−32，+∞)5．函数f（x）＝2x+3﹣x的图象可能为（）A．B．C．D．6．已知集合A＝（a，b），集合B＝（c，d），则“a＜d且b＞c”是“A∩B≠∅”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件7．已知a＞b＞0且a2﹣b2＝4，则a2﹣ab+b2的最小值为（）A ．2√2B ．2√3C ．4D ．2√58．已知f(x)={|4−x 2|，x ≤0，1x ，x ＞0，若x 1＜x 2＜x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1x 2x 3的取值范围为（ ） A ．(0，2√3]B ．(0，√15]C ．[0，8]D ．（0.64]二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{a +b |a ，b ∈A }，则（ ） A ．集合A 有8个子集B ．集合B 中有6个元素C ．A ∪B ＝{1，2，3，4，5，6}D ．A ⊆B10．一元二次不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣2，1），则（ ） A ．a ＜0B ．c ＜0C ．a +b +c ＝0D ．a ﹣b +2c ＞011．已知x ＝log a b ，y ＝a b ，z ＝b a ，则下列不等式可能成立的为（ ） A ．y ＞z ＞x ＞1B ．z ＞y ＞x ＞1C ．y ＜z ＜x ＜1D ．z ＜y ＜x ＜112．已知定义在R 上的函数f （x ）的图象为一条连续不断的曲线，且关于点（a ，b ）与（b ，a ）对称（a ≠b ），则（ ）A ．存在非零实数T 使f （x +T ）＝f （x ）B ．函数y ＝f （x ）必存零点C ．存在实数t 使f （t ）＝tD ．存在实数t 使f （t ）＝﹣t三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知幂函数f （x ）＝（2m 2+m ）x m﹣1是偶函数，则m ＝ ．14．计算：3log 32+log 43⋅log 38＝ ．15．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）+xf （﹣x ）＝x 2+x ，则函数f （x ）的解析式f （x ）＝ ． 16．已知实数a ，b 满足2a−2+a =12，12b 2+log 2b =−34，则2a b2= ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x ||2x +1|＜|x ﹣4|}，B ={x|1x+a ＜1}． （Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．18．（12分）已知x 1，x 2是方程x 2﹣bx +c ＝0的实数解． （Ⅰ）若c ＞﹣2，x 1＝1，求b +9c+2的最小值；（Ⅱ）若1≤x 1≤2≤x 2≤3，求bc的取值范围．19．（12分）已知函数f(x)=log 1212x+1+kx 为偶函数． （Ⅰ）求实数k 的值；（Ⅱ）求不等式f （log 2x ）＞f （2）的解集．20．（12分）通货膨胀率被定义为物价总水平的增长率，已知某件商品2015年10月的定价为21.5，而该商品2023年10月的定价为22.8．该商品的增长率恰与某地区的物价总水平的增长率一致． （Ⅰ）求该地区2015年至2023年的年平均通货膨胀率；（Ⅱ）资金的增长率被称为名义利率，以欧文•费雪（IrvingFisher ）（20世纪一位伟大的货币经济学家）命名的费雪方程式给出了关于实际利率的定义，费雪方程式表明名义利率等于实际利率加上通货膨胀率．已知某银行三年期定期存款的利率如图所示（银行定期年利率为单利，三年存款的利息＝本金*年利率*3）．图中数据见下表：（i ）求该存款2020年至2023年的实际年平均利率（精确到1%）；（ii ）若在2015年至2023年间该存款以同样的年利率（3.8500%，单利）存五年定期，则其实际年平均利率与三年定期相比是大还是小？（只写出结论，不要求证明）参考数据：lg 22.8＝1.3579，lg 21.5＝1.3324，lg 1.0385≈0.0164，lg 1.1155＝0.0475，100.00283≈1.0065，100.0031875＝1.0074，100.011875≈1.0277，100.01583≈1.0371 21．（12分）已知函数f （x ）＝x |x ﹣a |（0＜a ＜7）． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调递减区间；（Ⅱ）若∃b ∈R ，使不等式﹣x +b ≤f （x ）≤kx +b 对∀x ∈[1，7]恒成立，求k 的最小值g （a ）及g （a ）的最小值．22．（12分）定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection ）．定义2：集合X 上的一个拓扑（topo log y ）乃是X 的子集为元素的一个族Γ，它满足以下条件：（1）∅和X 在Γ中：（2）Γ的任意子集的元素的并在Γ中；（3）Γ的任意有限子集的元素的交在Γ中．（Ⅰ）族P＝{∅，X}，族Q＝{x|x⊆X}，判断族P与族Q是否为集合X的拓扑；（Ⅱ）设有限集X为全集，（i）证明：∁X（A1∩A2∩…∩A n）＝（∁X A1）∪（∁X A2）∪…∪（∁X A n）（n∈N*）；（ii）族Γ为集合X上的一个拓扑，证明：由族Γ所有元素的补集构成的族Γf为集合X上的一个拓扑．2023-2024学年浙江省杭州市周边重点中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∀x ＞0，x ≥1”的否定是（ ） A ．“∀x ＞0，x ＜1” B ．“∃x ＞0，x ＜1” C ．“∃x ≤0，x ＜1”D ．“∃x ≤0，x ≥1”解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x ＞0，x ＜1． 故选：B ．2．小明有50元钱去买水果，他发现如果买1kg 阳光玫瑰和750g 涌泉密桔则钱不够，若买1.2kg 阳光玫瑰和400g 涌泉蜜桔则钱有余，设800g 阳光玫瑰与1.4kg 涌泉蜜桔的价格分别为a ，b （单位：元），则（ ） A ．a ＜b B ．a ＞bC ．a ＝bD ．a ，b 大小无法比较解：设每千克阳光玫瑰x 元，每千克涌泉密桔y 元，根据题意可得 {x +0.75y ＞501.2x +0.4y ＜50x ＞0y ＞0,，z =a −b =0.8x −1.4y ，作出可行域，由图可知，当直线z ＝0.8x ﹣1.4y 经过点A 时，此时有最大值， 由{x +0.75y =501.2x +0.4y =50，解得A （35，20）， 所以z max ＝0.8×35﹣1.4×20＝0，由于A （35，20）点不满足{x +0.75y ＞501.2x +0.4y ＜50，所以a＜b．故选：A．3．下列方程中不能用二分法求近似解的为（）A．lnx+x＝0B．e x﹣3x＝0C．x3﹣3x+1＝0D．4x2−4√5x+5=0解：对于A，显然f（x）＝lnx+x在定义域上单调进增，且f(1e)=−1+1e＜0，f(1)=1＞0，可以使用二分法，故A错误；对于B，f（x）＝e x﹣3x在定义域上连续，有f（0）＝1＞0，f（1）＝e﹣3＜0，f（2）＝e2﹣6＞0，可以使用二分法，故B错误；对于C，f（x）＝x3﹣3x+1 在定义域上连续，且有f（﹣2）＝﹣1＜0，f（0）＝1＞0，f（1）＝﹣1＜0，f（3）＝19＞0，可以使用二分法，故C错误；对于D，4x2−4√5x+5=(2x−√5)2=0⇒x=√52，且f(x)=4x2−4√5x+5只有一个零点，故不可以使用二分法，故D正确．故选：D．4．函数f（x）＝log2（2x）•log2（4x）的值域为（）A．R B．[−124，+∞)C．[−14，+∞)D．[−32，+∞)解：f（x）＝log2（2x）•log2（4x）＝（1+log2x）（2+log2x）=(log2x)2+3log2x）+2=(log2x+32)2−14，∵x＞0，∴log2x∈R，∴f（x）=(log2x+32)2−14≥−14，∴f（x）∈[−14，+∞）．故选：C．5．函数f（x）＝2x+3﹣x的图象可能为（）A．B．C ．D ．解：因为f （x ）＝2x +3﹣x ，所以f （﹣1）＝2﹣1+31=72，f （0）＝20+30＝2，f （1）＝21+3﹣1=73，所以f （﹣1）＞f （1）＞f （0）， 对比选项知，只有A 符合题意． 故选：A ．6．已知集合A ＝（a ，b ），集合B ＝（c ，d ），则“a ＜d 且b ＞c ”是“A ∩B ≠∅”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解：若集合A ＝（a ，b ），集合B ＝（c ，d ），且A ∩B ≠∅，则a ＜d 且b ＞c ，反之，若a ＜d 且b ＞c ，则A ∩B ≠∅，所以“a ＜d 且b ＞c ”是“A ∩B ≠∅”成立的充要条件． 故选：C ．7．已知a ＞b ＞0且a 2﹣b 2＝4，则a 2﹣ab +b 2的最小值为（ ） A ．2√2B ．2√3C ．4D ．2√5解：设λa 2+μb 2≥2√λμab ，其中λ＞0，μ＞0，2√λμ=1，1﹣λ＝﹣（1﹣μ），λ＜μ， 解得λ=1−√32，μ=1+√32，即(1−√32)a 2+(1+√32)b 2≥ab ，故a 2−ab +b 2≥a 2+b 2−(1−√32)a 2−(1+√32)b 2=√32(a 2−b 2)=2√3， 当且仅当(1−√32)a 2=(1+√32)b 2，即a 2=43√3+2，b 2=43√3−2时等号成立． 故选：B ．8．已知f(x)={|4−x 2|，x ≤0，1x ，x ＞0，若x 1＜x 2＜x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1x 2x 3的取值范围为（ ）A ．(0，2√3]B ．(0，√15]C ．[0，8]D ．（0.64]解：f(x)={|4−x 2|，x ≤01x，x ＞0={ x 2−4，x ＜−24−x 2，−2≤x ≤01x ，x ＞0，画出函数图像，如图所示，设f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝a ，则a ∈（0，4]，x 1=−√4+a ，x 2=−√4−a ，x 3=1a， 所以x 1x 2x 3=a ⋅√16−a 2≥0，且x 1x 2x 3=a ⋅√16−a 2≤a 2+16−a 22=8，当且仅当a =√16−a 2，即a =2√2时等号成立，故x 1x 2x 3的取值范围为[0，8]．故选：C ．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{a +b |a ，b ∈A }，则（ ） A ．集合A 有8个子集B ．集合B 中有6个元素C ．A ∪B ＝{1，2，3，4，5，6}D ．A ⊆B解：因为集合A ＝{1，2，3}，所以集合A 的子集个数为23＝8个，A 正确；因为B ＝{a +b |a ，b ∈A }＝{2，3，4，5，6}，B ，D 错误； 则A ∪B ＝{1，2，3，4，5，6}，C 正确． 故选：AC ．10．一元二次不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣2，1），则（ ） A ．a ＜0B ．c ＜0C ．a +b +c ＝0D ．a ﹣b +2c ＞0解：因为一元二次不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣2，1），所以a ＜0，选项A 正确； 又因为﹣2和1是方程ax 2+bx +c ＝0的两根，所以a +b +c ＝0，选项C 正确；由根与系数的关系知，{−2+1=−ba −2×1=c a ，解得b ＝a ，c ＝﹣2a ＞0，选项B 错误；因为a ﹣b +2c ＝a ﹣a +2×（﹣2a ）＝﹣4a ＞0，所以选项D 正确． 故选：ACD ．11．已知x ＝log a b ，y ＝a b ，z ＝b a ，则下列不等式可能成立的为（ ） A ．y ＞z ＞x ＞1B ．z ＞y ＞x ＞1C ．y ＜z ＜x ＜1D ．z ＜y ＜x ＜1解：A 选项，若a ＝3，b ＝4，则x ＝log 34∈（1，2），y ＝34＝8，z ＝43＝64，则y ＞z ＞x ＞1，A 正确； B 选项，若a ＝2，b ＝3，则x ＝log 23∈（1.2），y ＝23＝8，z ＝32＝9，则z ＞y ＞x ＞1，B 正确； CD 选项，由定义域可知，a ＞0，b ＞0，故0＜y ＜1，0＜z ＜1，x ＜1成立时， 则必有0＜a ＜b ＜1，此时y 1ab =(a b )1ab =a 1a ，z 1ab =(b a )1ab =b 1b ， 由于0＜a ＜b ＜1，故y =x 1a 在（0，+∞）上单调递增，故a 1a ＜b 1a ， 又y ＝b x在R上单调递减，故b 1a ＜b 1a ，故a 1a ＜b 1a ＜b 1b ，即y 1ab ＜z 1ab ，所以y ＜z ，D 错误； 下面比较x ＝log a b 与z ＝b a 的大小，不妨设a =13，b =1e ，此时x =log 131e =log 3e ，因为e ＞2.7，所以e 5＞2.75＞143＞81＝34，故e ＞345， 故x =log 3e ＞log 3345=0.8，又z =(1e)13=e −13，又因为e ＞(54)3，所以z =e −13＜[(54)3]−13=0.8，满足z ＜x ，则y ＜z ＜x ＜1成立，C 正确． 故选：ABC ．12．已知定义在R 上的函数f （x ）的图象为一条连续不断的曲线，且关于点（a ，b ）与（b ，a ）对称（a ≠b ），则（ ）A ．存在非零实数T 使f （x +T ）＝f （x ）B ．函数y ＝f （x ）必存零点C ．存在实数t 使f （t ）＝tD ．存在实数t 使f （t ）＝﹣t解：函数f （x ）的图象为一条连续不断的曲线，且关于点（a ，b ）与（b ，a ）对称（a ≠b ）， 点（a ，b ）与点（b ，a ）关于直线y ＝x 对称，故f （x ）关于直线y ＝x 对称． 对选项A ：取f （x ）＝﹣x +a +b ，满足条件，不是周期函数，故A 错误； 对选项B ：取（x 1，y 1），x 1＞0，关于y ＝x 对称点（y 1，x 1）在x 轴上方；取（x 2，y 2），x 2＜0，关于y ＝x 对称点（y 2，x 2）在x 轴下方， 函数连续，故函数y ＝f （x ）必存零点，故B 正确； 对选项C ：取f （x ）上一点（x 0，y 0）， 若x 0＝y 0，存在实数t 使f （t ）＝t 成立；若x 0≠y 0，则关于y ＝x 的对称点为（y 0，x 0），两点在y ＝x 异侧， 函数连续，故存在实数t 使f （t ）＝t ，故C 正确； 对选项D ：取f （x ）＝﹣x +a +b ，满足条件， 当a +b ≠0时，f （t ）＝﹣t 无解，故D 错误． 故选：BC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知幂函数f （x ）＝（2m 2+m ）x m﹣1是偶函数，则m ＝ ﹣1 ．解：令2m 2+m ＝1，解得m ＝﹣1或m =12， 当m =12时，f （x ）=1√x 不为偶函数，舍去，当m ＝﹣1时，f （x ）=1x 2为偶函数，符合题意， 综上所述，m ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 14．计算：3log 32+log 43⋅log 38＝72．解：原式＝2+lg32lg2•3lg2lg3=2+32=72． 故答案为：72．15．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）+xf （﹣x ）＝x 2+x ，则函数f （x ）的解析式f （x ）＝ 2x 2+x−x 31+x 2．解：因为f （x ）+xf （﹣x ）＝x 2+x ，把x 换成﹣x 有f （﹣x ）﹣xf （x ）＝x 2﹣x ， 联立{f(x)+xf(−x)=x 2+x f(−x)−xf(x)=x 2−x ，解得f(x)=2x 2+x−x 31+x 2．故答案为：2x 2+x−x 31+x 2．16．已知实数a ，b 满足2a−2+a =12，12b 2+log 2b =−34，则2a b2= 4 ．解：由12b 2+log 2b =−34，得b 2+2log 2b =−32，即b 2+log 2b 2+32=0，即2log 2b 2+log 2b 2+32=0，又2a−2+a =12，即2a−2+(a −2)+32=0， 设函数f(x)=2x +x +32， 所以f （x ）在R 上单调递增， 又f(log 2b 2)=f(a −2)=0， 即log 2b 2=a −2， 所以b 2＝2a ﹣2，所以2a b 2=2a 2a−2=4．故答案为：4．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x ||2x +1|＜|x ﹣4|}，B ={x|1x+a＜1}． （Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）|2x +1|＜|x ﹣4|两边同时平方可得，（2x +1）2＜（x ﹣4）2， 化简整理可得，（x +5）（x ﹣1）＜0， 故集合A ＝{x |﹣5＜x ＜1}；（Ⅱ）B ={x|1x+a ＜1}=（﹣∞，﹣a ）∪（﹣a +1，+∞）． 由A ⊆B 得﹣a ≥1或1﹣a ≤﹣5，解得a ≤﹣1或a ≥6， 故实数a 的取值范围为{a |a ≤﹣1或a ≥6}．18．（12分）已知x 1，x 2是方程x 2﹣bx +c ＝0的实数解． （Ⅰ）若c ＞﹣2，x 1＝1，求b +9c+2的最小值； （Ⅱ）若1≤x 1≤2≤x 2≤3，求b c的取值范围． 解：（Ⅰ）由题意得b ＝c +1，所以b +9c+2=c +2+9c+2−1≥5，当且仅当c +2=9c+2，即c ＝1时取等号， 故当c ＝1时b +9c+2取到最小值5． （Ⅱ）由题意得{1−b +c ≥04−2b +c ≤09−3b +c ≥0，解得5c ≤6b ≤9c ，故56≤b c≤32，故bc 的取值范围为[56，32]． 19．（12分）已知函数f(x)=log 1212x+1+kx 为偶函数．（Ⅰ）求实数k 的值；（Ⅱ）求不等式f （log 2x ）＞f （2）的解集． 解：（Ⅰ）因为函数f(x)=log 1212x+1+kx 为偶函数， 所以f （﹣x ）＝f （x ），即log 1212−x +1−kx =log 1212x+1+kx ， 化简得lo g 122x ＝2kx ，即﹣x ＝2kx ，解得k =−12． （Ⅱ）函数f(x)=log 2(2x 2+2−x2)，令u =2x 2，t ＝u +1u，y ＝log 2t ，函数u =2x2在[0，+∞）上单调递增，且u ≥1，由对勾函数的的性质知t ＝u +1u 在[1，+∞）上单调递增，又y ＝log 2t 在定义域上单调递增， 故由复合函数的单调性可知f （x ）在[0，+∞）上单调递增， 又函数f （x ）为偶函数，所以由不等式f （log 2x ）＞f （2）可得|log 2x |＞2， 所以log 2x ＞2或log 2x ＜﹣2，所以x ＞4或0＜x ＜14， 所以不等式的解集为(0，14)∪(4，+∞)．20．（12分）通货膨胀率被定义为物价总水平的增长率，已知某件商品2015年10月的定价为21.5，而该商品2023年10月的定价为22.8．该商品的增长率恰与某地区的物价总水平的增长率一致． （Ⅰ）求该地区2015年至2023年的年平均通货膨胀率；（Ⅱ）资金的增长率被称为名义利率，以欧文•费雪（IrvingFisher ）（20世纪一位伟大的货币经济学家）命名的费雪方程式给出了关于实际利率的定义，费雪方程式表明名义利率等于实际利率加上通货膨胀率．已知某银行三年期定期存款的利率如图所示（银行定期年利率为单利，三年存款的利息＝本金*年利率*3）．图中数据见下表：（i）求该存款2020年至2023年的实际年平均利率（精确到1%）；（ii）若在2015年至2023年间该存款以同样的年利率（3.8500%，单利）存五年定期，则其实际年平均利率与三年定期相比是大还是小？（只写出结论，不要求证明）参考数据：lg22.8＝1.3579，lg21.5＝1.3324，lg1.0385≈0.0164，lg1.1155＝0.0475，100.00283≈1.0065，100.0031875＝1.0074，100.011875≈1.0277，100.01583≈1.0371解：（Ⅰ）设年平均通货膨胀率为r，由21.5×（1+r）2023﹣2015＝22.8，即（1+r）8=22.8 21.5，解得r＝0.0074，所以年平均通货膨胀率为0.74%．（Ⅱ）（i）设名义年平均利率为p，由（1+p）3＝1+0.0385×3＝1.1155，解得p＝0.0371，则p﹣r＝0.0297，所以实际年平均利率约为3%．（ii）五年期实际年平均利率小于三年期年平均利率．将五年分解为3+2年与三年比较，前三年的实际利率是相同的，考虑五年期后2年的利率于三年的利率比较，由于通货膨胀会使得实际利率不断减小，所以后2年的利率低于前3年的利率，所以整合后五年期利率小于三年期利率．21．（12分）已知函数f（x）＝x|x﹣a|（0＜a＜7）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若∃b∈R，使不等式﹣x+b≤f（x）≤kx+b对∀x∈[1，7]恒成立，求k的最小值g（a）及g（a）的最小值．解：（Ⅰ）∵f(x)=x|x−a|={x2−ax，x＞a −x2+ax，x≤a，当x＞a时，f（x）＝x2﹣ax，单调递增；当x ≤a 时，f （x ）＝﹣x 2+ax 在(−∞，a2)上单调递增，在[a 2，a]上单调递减； ∴函数f （x ）的单调递减区间是[a2，a]．（Ⅱ）当0＜a ≤1时，﹣x +b ≤x 2﹣ax 对∀x ∈[1，7]恒成立， 得b ≤x 2﹣（a ﹣1）x ，y ＝x 2﹣（a ﹣1）x 在[1，7]上单调递增，∴y min ＝2﹣a ，∴b ≤2﹣a ，取b ＝2﹣a ，x 2﹣ax ≤kx +b 对∀x ∈[1，7]恒成立， 即k ≥x −a −bx =x −a −2−ax ，y =x −a −2−ax 在[1，7]上单调递增， ∴y max =7−a −2−a 7=47−6a 7，∴k ≥47−6a7； 当1＜a ＜7时，﹣x +b ≤ax ﹣x 2对∀x ∈[1，a ]恒成立，则b ≤（a +1）x ﹣x 2， {−x 2+(a +1)x}min =min{−1+a +1，−a 2+a 2+a}=a ， 故b ≤a ，取b ＝a ，ax ﹣x 2≤kx +b 对∀x ∈[1，a ]恒成立， k ≥−x +a −ax ，−x +a −ax ≤a −2√a ， 当且仅当x =√a 时等号成立，故k ≥a −2√a ； 当1＜a ＜7时，﹣x +b ≤x 2﹣ax 对∀x ∈[a ，7]恒成立，则b ≤x 2﹣（a ﹣1）x ，y ＝x 2﹣（a ﹣1）x 在[a ，7]上单调递增，y min ＝a ， 故b ≤a ，取b ＝a ，x 2﹣ax ≤kx +b 对∀x ∈[a ，7]恒成立，k ≥x −a −ax， 故k ≥49−8a 7，∴k ≥max{49−8a7，a −2√a}． 取49−8a 7=a −2√a ，解得a =499， 当1＜a ＜499时，49−8a 7＞a −2√a ； 当499＜a ＜7时，49−8a 7＜a −2√a ，∴g （a ）={ 47−6a7，0＜a ≤149−8a 7，1＜a ≤499a −2√a ，499＜a ＜7， ∴g(a)min =g(499)=79．22．（12分）定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection ）．定义2：集合X 上的一个拓扑（topo log y ）乃是X 的子集为元素的一个族Γ，它满足以下条件：（1）∅和X 在Γ中：（2）Γ的任意子集的元素的并在Γ中；（3）Γ的任意有限子集的元素的交在Γ中． （Ⅰ）族P ＝{∅，X }，族Q ＝{x |x ⊆X }，判断族P 与族Q 是否为集合X 的拓扑；（Ⅱ）设有限集X为全集，（i）证明：∁X（A1∩A2∩…∩A n）＝（∁X A1）∪（∁X A2）∪…∪（∁X A n）（n∈N*）；（ii）族Γ为集合X上的一个拓扑，证明：由族Γ所有元素的补集构成的族Γf为集合X上的一个拓扑．解：（Ⅰ）族P＝{∅，X}，Q＝{x|x⊆X}都是集合x的拓扑．（Ⅱ）（i）证明：设x∈∁x（A1）∪∁x（A2）∪...∪∁x（A n），则x∉A1∩A2∩...∩A n，故存在整数i（1≤i≤n）使x∉A i，因此x∈∁x A i，得x∈（∁x A1）∪（∁x A2）∪⋯∪（∁x A n），设x∈（∁x A1）∪（∁x A2）∪⋯∪（∁x A n），则存在整数j（1≤j≤n）使x∈∁x A j，故x∉A j，因此x∉A1∩A2∩⋯∩A n，得x∈∁x（A1∩A2∩﹣⋯∩A n）．（ii）因为∅，X∈Γ，所以∅，X∈Γf；设M＝{A1，A2，﹣﹣A n}为Γf的任意子集，则N＝{∁x A1，∁x A2，⋯，∁x A n}⊆Γ，A1∩A2∩⋯∩A n＝∁x（（∁x A1）∪（∁x A2）∪...∪（∁x A n）），因为（∁x A1）∪（∁x A2）∪⋯∪（∁x A n）∈Γ，故A1∩A2∩⋯∩A n∈Γf；A1∪A2∪⋯∪A n＝∁x（（∁x A1）∩（∁x A2）∩⋯∩（∁x A n）），因为（∁x A1）∩（∁x A2）∩...∩（∁x A n）∈Γ，故A1∪A2∪...∪A n∈Γf•。
2023-2024学年浙江省杭州高一上学期期中数学质量检测模拟试题1(含答案)
2023-2024学年浙江省杭州高一上册期中数学试题一、单选题1．已知集合{|2 1}A x x =-<≤，{2,1,0}B =--，则A B = （）A ．{2,1,0,1}--B ．{1,0,1}-C ．{1,0}-D ．{}2,1,0---【正确答案】C【分析】利用交集定义直接求解．【详解】因为集合{|21}A x x =-<≤，{2,1,0}B =--，2A -∉，1A -∈，0A ∈，所以{1,0}A B ⋂=-．故选：C ．2．设集合{}|2A x Q x =∈>-，则（）A ．A ∅∈B AC ． πA∉D ．{A⊆【正确答案】C【分析】利用集合、元素的概念、关系进行判断.【详解】因为集合{}|2A x Q x =∈>-，对于A ，A ∅⊆，故A 错误；对于B A ，故B 错误；对于C ，因为π是无理数，所以 πA ∉，故C 正确；对于D ，因为是无理数，所以{不是A 的子集，故D 错误.故选：C.3．已知全集为N ，集合{}2,5A =，{}2,3,4B =，则图中阴影部分所表示的集合是（）A ．{}5B ．{}3,4C ．{}2D ．{}2,3,4,5【正确答案】B【分析】根据图形可得，阴影部分表示的集合为()N A B ⋂ð，求出即可.【详解】根据图形可得，阴影部分表示的集合为()N A B ⋂ð，{}2,5A =，{2,3,4}B =(){}3,4N A B ∴⋂=ð.故选：B.4．下列各组函数表示相同函数的是（）A ．()f x =()2g x =B ．()=1f x 和()0g x x=C ．()f x x =和,0,(),0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩D ．()1f x x =+和()211x g x x -=-【正确答案】C【分析】根据函数的定义域及对应法则判断是否为同一函数即可.【详解】对于A 中，函数()f x =R ，函数2()g x =的定义域为[0,)+∞，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；对于B 中，函数()1f x =的定义域为R ，函数0()g x x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；对于C 中，函数,0(),0x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩与,0(),0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域和对应法则都相同，所以表示相同的函数；对于D 中，函数()1f x x =+的定义域为R ，函数21()1x g x x -=-的定义域为{|1}x x ≠，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数.故选：C 5．函数0()(2)f x x =++的定义域为（）A ．(,2)(2,)-∞⋃+∞B ．(,2)(2,2)-∞-- C ．(,2)-∞-D ．(,2)-∞【正确答案】B【分析】根据给定的函数，直接列出不等式组求解作答.【详解】函数0()(2)f x x =++有意义，则有2020x x ->⎧⎨+≠⎩，解得2x <且2x ≠-，所以函数0()(2)f x x =++的定义域为(,2)(2,2)-∞-- .故选：B 6．不等式的3303xx-≥+解集为（）A ．(3,1]-B ．[3,1]-C ．(,3)[1,)-∞-+∞ D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞【正确答案】A【分析】分式不等式转化为一元二次不等式，并注意分母不等于0.【详解】不等式3303xx -≥+等价于(33)(3)0,30,x x x -+≥⎧⎨+≠⎩即(1)(3)0,30,x x x -+≤⎧⎨+≠⎩所以31x <≤-，所以原不等式的解集为(3,1]-.故选:A.7．已知函数()2,12,1x x f x x x +<-⎧=⎨-+≥-⎩，则92f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．52-B ．12-C ．52D ．132【正确答案】B【分析】根据分段函数的定义域分别代入求值.【详解】由题意可得：9952222f ⎛⎫=-+=-⎪⎝⎭∴955122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B.8．已知()f x 是一次函数，2(2)3(1)5f f -=，()()2011f f --=-，则()f x =（）A ．32x +B ．32x -C ．23x +D ．23x -【正确答案】D【分析】设出函数()f x 的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.【详解】依题意，设(),0f x kx b k =+≠，则有2(2)3()52()1k b k b b k b +-+=⎧⎨--+=-⎩，解得2,3k b ==-，所以()23f x x =-.故选：D9．已知()22143f x x +=+，则()f x =（）．A ．224x x -+B ．22x x+C ．221x x --D ．223x x ++【正确答案】A【分析】利用配凑法直接得出函数的解析式.【详解】因为()()()222143212214f x x x x +=+=+-++，所以()224f x x x =-+．故选：A10．函数()2f x x x =-的单调递减区间是（）A ．[1,2]B ．[1,0]-C ．(0,2]D ．[2,)+∞【正确答案】A【分析】根据给定的函数，借助二次函数分段讨论其单调性作答.【详解】当2x ≤时，2()2f x x x =-+，则函数()f x 在(,1]-∞上单调递增，在[1,2]上单调递减，当2x >时，2()2f x x x =-，则函数()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以函数()2f x x x =-的单调递减区间是[1,2].故选：A11．函数y ）A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)0,∞+D ．(],3-∞-【正确答案】D【分析】先求出函数(,3]-∞-的定义域，再利用复合函数的单调性，结合幂函数与二次函数的单调性即可得解.【详解】由题意，得230x x +≥，解得3x ≤-或0x ≥，所以函数y (,3][0,)-∞-+∞ ，令23t x x =+，则23t x x =+开口向上，对称轴为32x =-，所以23t x x =+在(,3]-∞-上单调递减，在[0,)+∞上单调递增，而y =在[0,)+∞上单调递增，所以函数y (,3]-∞-.故选：D.12．若06x <<，则26x x -有（）A ．最小值3B ．最大值3C ．最小值9D ．最大值9【正确答案】D【分析】根据二次函数的性质进行求解即可.【详解】令22(3)69y x x x =---+=，对称轴为3x =，开口向下，因为06x <<，所以当3x =时，26x x -有最大值9，没有最小值，故选：D13．若函数()y f x =的值域是[]1,3-，则函数()()321g x f x =-+的值域为（）A ．[]3,5-B ．[]1,7-C ．[]5,3-D ．[]2,6【正确答案】A【分析】由()113f x -≤+≤可推导得到()g x 的范围，即为所求值域.【详解】()y f x = 的值域为[]1,3-，()113f x ∴-≤+≤，()33215f x ∴-≤-+≤，即()g x 的值域为[]3,5-.故选：A.14．3y x =+）A ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【正确答案】D【分析】先求得x 的范围，再由单调性求值域．【详解】解：因为3y x =+120x -≥，12x ∴≤，即函数的定义域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，又3y x =+1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦时单调递增，所以当12x =时，函数取得最大值为72，所以值域是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选：D.15．已知函数()21,=,2x c f x xx x c x ⎧-<⎪⎨⎪-≤≤⎩，若()f x 值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数c 的范围是（）A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,-+∞【正确答案】A【分析】由函数的解析式确定区间端点处函数值，结合函数图象，数形结合，确定参数的范围，即得答案.【详解】当=2x 时，()()221112422,244f f x x x x ⎛⎫=-==-=--≥- ⎪⎝⎭，()f x 值域为1,2,4⎡⎤-∴⎢⎥⎣⎦当x c <时，由()12f x x =-=，得12x =-，此时12c ≤-，由()22f x x x =-=，得220x x --=，得=2x 或=1x -，此时112c -≤≤-，综上112c -≤≤-，即实数c 的取值范围是11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选：A 二、多选题16．设集合{}1,3M =，{}30,R N x ax a =+=∈且M N N ⋂=，则实数a 可以是（）A ．1-B ．1C ．3-D ．0【正确答案】ACD【分析】由M N N ⋂=，可得N M ⊆，对集合N 分类讨论可得结果.【详解】{}1,3M =，因为M N N ⋂=，所以N M ⊆，因为{}30,R N x ax a =+=∈，所以当0a =时，N =∅，满足N M ⊆，当1a =-时，{}3N =，满足N M ⊆，当3a =-时，{}1N =，满足N M ⊆，故选：ACD.17．下列命题，其中正确的命题是（）A ．函数221y x x =++在()0,∞+上是增函数B ．函数11y x =-在()(),11,-∞+∞ 上是减函数C ．函数y =[)2,+∞D ．已知()f x 在R 上是增函数，若0a b +>，则有()()()()f a f b f a f b +>-+-【正确答案】AD【分析】根据函数的定义域及单调性分别判断各选项.【详解】A 选项：221y x x =++对称轴为14x =-，函数的单调递增区间为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，又()10,,4⎡⎫+∞⊆-+∞⎪⎢⎣⎭，所以函数在()0,∞+上是增函数，A 选项正确；B 选项：函数11y x =-在(),1-∞和()1,+∞上单调递减，B 选项错误；C 选项：y =[]1,5-，且函数254y x x =+-的对称轴为2x =，所以函数y =的单调递减区间为[]2,5，C 选项错误；D 选项：()f x 在R 上是增函数，若0a b +>，则a b >-，b a >-，所以()()f a f b >-，()()f b f a >-，则()()()()f a f b f a f b +>-+-，D 选项正确；故选：AD.18．设函数()21,21,ax x af x x ax x a -<⎧=⎨-+≥⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【正确答案】ABC【分析】根据函数解析式，分0a >、0a =、a<0三种情况讨论，当a<0时根据二次函数的性质只需函数在断点处左侧的函数值不小于右侧的函数值即可；【详解】解：因为()21,21,ax x af x x ax x a -<⎧=⎨-+≥⎩，若0a >，当x a <时()1f x ax =-在(),a -∞上单调递增，当x →-∞时()f x →-∞，此时函数不存在最小值；若0a =，则()21,01,0x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩，此时()min 1f x =-，符合题意；若a<0，当x a <时()1f x ax =-在(),a -∞上单调递减，当x a ≥时()221f x x ax =-+，二次函数221y x ax =-+对称轴为x a =，开口向上，此时()f x 在[),a +∞上单调递增，要使函数()f x 存在最小值，只需222121a a a a <⎧⎨-≥-+⎩，解得1a ≤-，综上可得(]{},10a ∈-∞- .故选：ABC 三、填空题19．已知集合{}22,2A a a a =++，若3A ∈，则实数a 的值为___________.【正确答案】32-/ 1.5-【分析】依题意可得23a +=或223a a +=，求出a 的值，再代入检验即可.【详解】解：因为{}22,2A a a a =++且3A ∈，所以23a +=或223a a +=，解得1a =或32a =-，当1a =时2232a a a ++==，此时不满足集合元素的互异性，故舍去；当32a =-时，1,32⎧⎫=⎨⎬⎩⎭A 符合题意；故32-20．函数()f x 的定义域为____________________．【正确答案】1(,0)(0,]3-∞ 【分析】只需解不等式组1300x x -≥⎧⎨≠⎩即可.【详解】()f x x=，1300x x -≥⎧∴⎨≠⎩，解得13x ≤，且0x ≠.所以函数()f x 的定义域为1(,0)(0,]3-∞ .故答案为.1(,0)(0,]3-∞ 四、双空题21．已知函数()2f x x x x =-+，则()f x 的单调增区间为______；若[]2,1x ∈-则()f x 最小值为______．【正确答案】[]1,1-1-【分析】先通过奇函数的定义判断函数为奇函数，再利用奇函数及二次函数的单调性求解单调区间，利用函数的单调性求最值即可.【详解】函数()f x 的定义域为R ，且()()2f x x x x f x -=-=-，所以函数()f x 为奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-+，由二次函数性质得函数()f x 在区间[]0,1单调递增，在[1,2]上单调递减.由奇函数在对称区间的单调性一致得，函数()f x 在[]1,0-上单调递增，且()00f =，所以()f x 的单调增区间为[]1,1-，同样根据奇函数的对称性可得函数()f x 在[]2,1--上单调递减，所以在[-2,1]上()f x 的最小值为(1)112(1)1f -=⨯+⨯-=-.故[]1,1-；1-.五、填空题22．对于任意实数x ，不等式()()222240a x a x ----≥无解，则实数a 的取值范围是___________.【正确答案】22a -<≤【分析】这是含参的不等式问题，通过对二次项系数进行讨论以及利用一元二次函数、∆进行求解处理.【详解】当20a -=时，即2a =，则40->，无解，所以2a =；当20a -≠时，即2a ≠，要使不等式()()222240a x a x ----≥无解，则220[2(2)]4(2)(4)0a a a -<⎧⎨∆=-----<⎩，解得22a -<<；综上，22a -<≤.故答案为.22a -<≤六、解答题23．已知集合{}34A x x =-≤<，{}211B x m x m =-≤≤+．(1)当1m =时，求出R A C B ⋂；(2)若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1){|31x x -≤<或}24x <<(2)1m ≥-【分析】（1）先求出B ,再求出R A B ð得解；（2）对集合B 分两种情况讨论，解不等式即得解.【详解】（1）（1）当1m =时，{}|12B x x =≤≤,所以R B ð={|1x x <或}2x >，所以()R A B ⋂ð={|31x x -≤<或}24x <<.（2）（2）由A B A B A ⋃=⇒⊆.①当B 为空集时，121,2m m m +<-∴>成立.②当B 不是空集时，B A ⊆ ，12121314m m m m +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩，12m ∴-≤≤综上①②，1m ≥-.24．已知函数2y ax x a b =---．(1)若20ax x a b ---<的解集为()1,2-，求a ，b 的值.(2)若0a >，求解不等式210ax x a --+<.【正确答案】(1)1a b ==(2)当102a <<时，210ax x a --+<的解集为1(1,1)a-+；当12a =时，210ax x a --+<的解集为φ；当12a >时，210ax x a --+<的解集为1(1,1)a-+.【分析】（1）由已知得方程20ax x a b ---=的两个实根分别为1-，2，且0a >，直接将根代入即可得出答案；（2）分类讨论结合判别式即可求解.【详解】（1）20ax x a b ---< 的解集为()1,2-，∴方程20ax x a b ---=的两个实根分别为1-，2，且0a >，则10420a a b a a b +--=⎧⎨---=⎩，解得.11a b =⎧⎨=⎩（2）210ax x a --+<中，当0a >时，则()()2141210a a a ∆=--+=-≥，210ax x a --+<化为()()110ax a x +--<，若11a a -->时，即102a <<，解得111x a<<-+，若11a a --=时，即12a =，无解，若11a a --<时，即12a >，解得111x a-+<<；综上，当102a <<时，210ax x a --+<的解集为1(1,1)a -+；当12a =时，210ax x a --+<的解集为φ；当12a >时，210ax x a --+<的解集为1(1,1)a-+.25．已知二次函数()2f x ax bx c =++，且满足()02f =，()()121f x f x x +-=+．(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【正确答案】(1)()22f x x =+(2)()222,0 2,2046,2t tg t t t t t ⎧+≥⎪=-<<⎨⎪++≤-⎩【分析】（1）根据已知条件可建立关于a ，b ，c 的方程，解出a ，b ，c 即可求得函数解析式；（2）结合已知区间与对称轴的位置关系进行分类讨论即可求解．【详解】（1）由()02f =，得2c =由()()121f x f x x +-=+，得()()()221121a x b x c ax bx c x ++++-++=+，即221ax b a x ++=+所以221a b a =⎧⎨+=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩因此()22f x x =+．（2）因为()22f x x =+的图象是以直线0x =为对称轴，且开口向上的抛物线，当0t ≥时，()22f x x =+在[],2t t +上单调递增，则()()2min 2f x f t t ==+；当20t +≤，即2t ≤-时，()22f x x =+在[],2t t +上单调递减，则()()()22min 22246f x f t t t t =+=++=++；当02t t <<+，即20t -<<时，()()min 02f x f ==，综上()222,0 2,2046,2t t g t t t t t ⎧+≥⎪=-<<⎨⎪++≤-⎩。