一次函数与反比例函数综合题型
一次函数与反比例函数综合题型：专题1
一、选择题
1．在反比例函数y=2x 的图象上的一个点的坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，12） D ．（12，2） 2．函数y=（a-1）x a 是反比例函数，则此函数图象位于（ ）
A ．第一、三象限；
B ．第二、四象限；
C ．第一、四象限；
D ．第二、三象限
3．已知正比例函数y=（3k-1）x ，y 随着x 的增大而增大，则k 的取值范围是（ ）
A ．k<0
B ．k>0
C ．k<13
D ．k>13
4.如图,关于x 的函数y=k(x-1)和y=-k x
(k ≠0), 它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）
5．在函数y=k x
（k>0）的图象上有三点A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），A 3（x 3，y 3），已知x 1<x 2<0<x 3，则下列各式中，正确的是（ ）
A ．y 1<y 2<y 3
B ．y 3<y 2<y 1
C ．y 2<y 1<y 3
D ．y 3<y 1<y 2
6．在同一平面直角坐标系中，对于函数①y=-x-1，②y=x+1，③y=-x+1，④y=-2（x+1）的图象，下列说法正确的是（ ）
A ．通过点（-1，0）的是①③
B ．交点在y 轴上的是②④
C ．相互平行的是①③
D ．关于x 轴对称的是②④
7．无论m 、n 为何实数，直线y=-3x+1与y=mx+n 的交点不可能在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
8．一次函数y=kx+（k-3）的函数图象不可能是（ ）
二、填空题
9．一次函数y=kx+b 中，y 随x 的增大而减小，且kb>0，则这个函数的图象一定不经过第______象限．
10．如图6-2，点A 在反比例函数y=
k x
的图象上，AB 垂直于x 轴，若S △AOB =4，•那么这个反比例函数的解析式为________． O
y
x A O y x C O x B y O x D
11．如图6-3，弹簧总长y （cm ）与所挂质量x （kg ）之间是一次函数关系，则该弹簧不挂物体时的长度为________．
12．已知函数y=（k+1）x+k 2-1，当k_______时，它是一次函数；当k______时，它是正比例函数．
13．一次函数图象与y=6-x 交于点A （5，k ），且与直线y=2x-3无交点，则这个一次函数的解析式为y=________．
14．已知函数y=3x+m 与函数y=-3x+n 交于点（a ，16），则m+n=________．
三、简答题
15．已知一次函数y=x+m 与反比例函数y=1m x
+的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）． （1）求x 0的值；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．
16．如图，正比例函数12
y x =的图象与反比例函数k y x =(0)k ≠在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知OAM ∆的面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点
（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA PB +最小.
O M x y A (第16题)
17．如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反比例函数
42
(0)
m
y x
x
-
=>的图象于点A、B，交x轴于点
C．
(1)求m的取值范围；
(2)若点A的坐标是(2，－4)，且BC
AB＝
1
3，求m的值和一次函数的解析式．
18、如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．
19、如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P，使A M⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
一次函数与反比例函数综合题型：专题1
1~5ABDBC 6~8 CCA
9、一 10、xy=-8 11、12 12、不等于-1；1 13、y=2x-9 14、32.
15．解：（1）x 0=1，（2）y=x+2，y=3x ． 16解：（1） 设A 点的坐标为（a ，b ），则k b a =
.∴ab k =. ∵112ab =,∴112
k =.∴2k =. ∴反比例函数的解析式为2y x
=. ···················································· 3分 (2) 由212
y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 得2,1.x y =⎧⎨=⎩ ∴A 为（2，1）. ······································ 4分 设A 点关于x 轴的对称点为C ，则C 点的坐标为（2，1-）.
令直线BC 的解析式为y mx n =+.
∵B 为（1，2）∴2,12.m n m n =+⎧⎨-=+⎩∴3,5.
m n =-⎧⎨=⎩ ∴BC 的解析式为35y x =-+. ························································· 6分 当0y =时，53x =
.∴P 点为（53，0）. ·········································· 7分
17 解：(1)因为反比例函数42(0)m y x x
-=>的图象在第四象限， 所以420m -<，解得2m >． (2)因为点A(2，4-)在函数42m y x -=
图象上， 所以4242
m --=，解得6m =． 过点A 、B 分别作AM ⊥OC 于点M ，BN ⊥OC 于点N ，
所以∠BNC=∠AMC=90°．
又因为∠BCN=∠ACM ，
所以△BCN ∽△ACM ，所以
BN BC AM AC
=． 因为14BC AB =，所-以14BC AC =，即14BN AM =． 因为AM=4，所以BN=1．
因为点B 在反比例函数8y x =-的图象上，所以当1y =-时，8x =． 所以点B 的坐标是(8．1-)．
因为一次函数y kx b =+的图象过点A(2，4-)、B(8，1-)．
∴2481k b k b +=-⎧⎨+=-⎩，解得125
k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ 所以一次函数的解析式是152
y x =--． 18解：（1）∵点A （2，3）在y=的图象上，
∴m=6，
∴反比例函数的解析式为：y=，
∴n==﹣2，
∵A（2，3），B （﹣3，﹣2）两点在y=kx+b 上，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y=x+1；
（3）以BC 为底，则BC 边上的高为3+2=5，
∴S △ABC =×2×5=5．。
反比例函数与一次函数综合(面积问题、线段和差,函数值比较大小)—2024年二轮热点题型(全国通用)
反比例函数与一次函数综合目录热点题型归纳 (1)题型01 面积问题 (1)题型02 两线段和差最值问题 (3)题型03 两函数值比较大小问题 (15)中考练场 (31)题型01 面积问题【解题策略】【典例分析】例．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，直线AB 与反比例函数()0k y x x=<的图象交于点()2,A m −，(),2B n ，过点A 作AC y 轴交x 轴于点C ，在x 轴正半轴上取一点D ，使2OC OD =，连接BC ，AD ．若ACD 的面积是6．(1)求反比例函数的解析式．(2)点P 为第一象限内直线AB 上一点，且PAC △的面积等于BAC 面积的2倍，求点P 的坐标．【答案】(1)8y x =−；(2)()2,8P【分析】（1）根据2OC OD =，可得三角形面积之比，计算出AOC 的面积，面积乘2即为8k =，解析式可得；（2）根据点的坐标求出直线AB 的解析式为6y x =+，设符合条件的点(),6P m m +，利用面积的倍数关系建立方程解出即可．【详解】（1）解：∵2OC OD =，ACD 的面积是6，∴4AOC S =V ， ∴8k =，∵图象在第二象限，∴8k =−，∴反比例函数解析式为：8y x =−；（2）∵点()2,A m −，(),2B n ，在8y x =−的图象上， ∴4m =，n =−4，∴()2,4A −，()4,2B −，设直线AB 的解析式为y kx b =+，2442k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得：16k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为6y x =+，∵AC y 轴交x 轴于点C ，∴()2,0C −， ∴14242ABC S =⨯⨯=，设直线AB 上在第一象限的点(),6P m m +， ∴()142282PAC ABC S m S =⨯⨯+==，∴248m +=，∴2m =，∴()2,8P ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式．【变式演练】1．（2023·山东泰安·三模）如图，一次函数1112y x =+的图象与反比例函数2(0)k y x x =>的图象交于点(),3A a ，与y 轴交于点B ．(1)求a ，k 的值；(2)请直接写出在第一象限124y y <<时，x 的取值范围．(3)直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC AD =，连接.CB 求ABC 的面积．【答案】(1)412a k ==，(2)34x <<(3)8【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，解决问题的关键是画出图形．（1）用待定系数法即可求解；（2）根据图象直接得出答案；（3）求出()2,6C ，由1144822ABC A S CE x =⋅=⨯⨯=△，即可求解．【详解】（1）将点A 的坐标代入一次函数表达式得：1312a =+， 解得：4a =，则点()4,3A ，将点A 的坐标代入反比例函数表达式得：34k=， 解得：12k =；（2）把4y =代入12y x =，得3x =， 由图可知24y <时，3x >， 由图可知12y y <时，4x <， 124y y ∴<<时，34x <<；（3）点()4,3A ，D 点的纵坐标是0，AD AC =， ∴点C 的纵坐标是3206⨯−=，把6y =代入12y x =，得2x =， ()2,6C ∴，如图1，作CD x ⊥轴于D ，交AB 于E ，当2x =时，12122y =⨯+=，()2,2E ∴， ()2,6C ，624CE ∴=−=，∴由1144822ABC A S CE x =⋅=⨯⨯=△．2．（2023·山东泰安·一模）如图，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象相交于()1,2A ，()2,B n −两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式．(2)根据图象，直接写出满足21k k x b x+<的x 的取值范围． (3)若点P 在线段AB 上，且1:3AOP BOP S S =△△：，求点P 的坐标．【答案】(1)2y x =，1y x =+(2)01x <<或<2x − (3)15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）把()1,2A 坐标代入2k y x =可得解析式，继而求出n ，用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据图象直接写出21k k x b x +<的x 的取值范围即可；（3）利用1:3AOP BOP S S =△△：得出3PB PA =，设P 坐标(),1x x +利用勾股定理建立方程求出x 即可． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．【详解】（1）解：反比例函数2k y x =经过()1,2A ， 2122k ∴=⨯=，∴反比例函数解析式为2y x =，()2B n −，在反比例函数2y x =的图象上， 212n ∴==−−，()21B ∴−−，，直线1y k x b =+经过()1,2A ，()2,1B −−，11221k b k b +=⎧∴⎨−+=−⎩，解得111k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为1y x =+；（2）解：观察函数图象可知21k k x b x +<的x 的取值范围是01x <<或<2x −；（3）解：设()1P x x +，，∵1:3AOP BOP S S =△△：:1:3AP BP ∴=，即3PB PA =，()()()()22222119112x x x x ⎡⎤∴++++=−++−⎣⎦， 解得15(4x =舍去)，214x =， P ∴点坐标为1544⎛⎫ ⎪⎝⎭，3．（2023·广东潮州·二模）如图，反比例函数2y x=的图象与一次函数y kx b =+的图象交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别为1，2−，一次函数图象与y 轴的交于点C ，与x 轴交于点D ．(1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数2y x=，当1y <−时，写出x 的取值范围； (3)点P 是第三象限内反比例图象上的一点，若点P 满足S △BDP ＝12S △ODA ，请求出点P 的坐标．【答案】(1)1y x =+(2)20x −<<(3)(或(1−【分析】本题主要考查二次函数性质，一次函数性质，图形的面积等，解题的关键在于利用反比例函数得出交点坐标，从而求出一次函数解析式，以及懂得观察图象，获取图象信息，从而得到自变量的取值范围，以及利用割补法求面积．（1）利用反比例函数求出交点A 、点B 的坐标分别为()1,2，()2−,-1，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式．（2）当1y <−时，即为B 点右侧图象，观察图象，从而得出此段图象对应的自变量的取值范围为20x −<<．（3）先求出ODP 的面积为1，从而确定BDP △的面积为12，再通过点P 的不同的位置，设点P 的坐标为2,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据图形面积列出方程，即可求出点P 的坐标．【详解】（1）解：∵反比例函数2y x =的图象与一次函数y kx b =+的图象交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别为1，﹣2；∴A ()1,2，B()2,1−−； 把A 、B 的坐标代入y kx b =+得221k b k b +=⎧⎨−+=−⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩；∴一次函数的解析式为1y x =+．（2）∵()2,1B −−；由图象可知，当20x −<<时，1y <−．（3）∵一次函数为1y x =+；∴D ()1,0−；∵A ()1,2， ∴1212ODA S =⨯⨯V ； ∴1122BDP ODA S S ==V V ， 设点P 的坐标为： 2,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0x <；∴ON x =−，2PN x =−；当P 在直线下方时，如图1，则；()()()121211=1212112222BDP BDM PDNBMNP S S S S x x x x =+−⎛⎫⎛⎫−++−−−−−⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭梯形；解得x =∴点P (．当P 在直线AB 的上方时，如图2，则；()()()1211112211122222BDF BDM PDN BMNP SS S S x x x x =+−⎛⎫⎛⎫=−−−+−⨯−−−−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭梯形；解得1x =−∴点P (1−；综上可得：点P的坐标为：( 或(1− ．4．（2023·广东云浮·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数m y x=在第一象限内的图象交于点C ，CD x ⊥轴， 1tan BAO 2∠=，42OA OD ==，．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)若点E 是反比例函数在第三象限内图象上的点，过点E 作EF ⊥y 轴，垂足为点F ，连接OE AF 、，如果4BAF EFO SS =，求点E 的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为122y x =+，反比例函数解析式为6y x =(2)342E ⎛⎫−− ⎪⎝⎭， 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．（1）先求出A 、D 坐标，以及AD 的长，解直角三角形求出CD 的长，进而得到点C 的坐标，然后利用待定系数法求出对应的函数解析式即可；（2）设出点E 坐标，求出OEF 的面积为3，进而得到ABF △的面积为12，再求出点B 的坐标，得到OB 的长，利用面积法求出BF 的长进而求出点E 的坐标即可．【详解】（1）解：∵42OA OD ==，，∴()()4020A D −，，，，426AD OA OD =+=+=，∵BAO CAD ∠=∠， ∴1tan tan 2BAO CAD ∠=∠=， ∵CD x ⊥轴， ∴1tan 2CD CAD AD ∠== ， ∴132CD AD ==，∴点C 的坐标为()23，，∴把()()4023A C −，，，代入y kx b =+中得4023k b k b −+=⎧⎨+=⎩，解得122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为122y x =+，∵点C 在反比例函数my x =的图象上，∴将()23C ，代入m y x =中得32m=， 解得：6m =，∴反比例函数解析式为6y x =；（2）解：设6E m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，， ∴6EF m OF m ==，∴132EFOSOF EF =⋅=，∴142BAFEFOSS==，∵一次函数解析式为122y x =+，∴()02B ，，∴2OB =，又∵4OA =，12ABF S BF OA =⋅=△，∴()2212OF +=，∴626m +=，∴32m =， ∴342E ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，． 题型02 两线段和差最值问题【解题策略】例．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角三角形ABC 的直角顶点()30C ，，顶点A 、()6B m ，恰好落在反比例函数ky x=第一象限的图象上．(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB 所对应的一次函数的表达式；(2)在x 轴上是否存在一点P ，使ABP 周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)6y x =，142y x =−+(2)在x 轴上存在一点()5,0P ，使ABP 周长的值最小,最小值是【分析】（1）过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，证明()AAS ACE CBD ≌，则3,CD AE BD EC m ====，由3OE m =−得到点A 的坐标是()3,3m −，由A 、()6B m ，恰好落在反比例函数ky x =第一象限的图象上得到()336m m−=，解得1m =，得到点A 的坐标是()2,3，点B 的坐标是()6,1，进一步用待定系数法即可得到答案；（2）延长AE 至点A '，使得EA AE '=，连接A B '交x 轴于点P ，连接AP ，利用轴对称的性质得到AP A P '=，()2,3A '−，则AP PB A B '+=，由AB =AB 是定值，此时ABP 的周长为AP PB AB AB A B '++=+最小，利用待定系数法求出直线A B '的解析式，求出点P 的坐标，再求出周长最小值即可．【详解】（1）解：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ， 则90AEC CDB ∠=∠=︒，∵点()30C ，，()6B m ，，∴3,6,OC OD ==BD m =， ∴3CD OD OC =−=， ∵ABC 是等腰直角三角形， ∴90,ACB AC BC ∠=︒=，∵90ACE BCD CBD BCD ∠+∠=∠+∠=︒， ∴ACE CBD ∠=∠， ∴()AAS ACE CBD ≌，∴3,CD AE BD EC m ====， ∴3OE OC EC m =−=−， ∴点A 的坐标是()3,3m −，∵A 、()6B m ，恰好落在反比例函数ky x =第一象限的图象上．∴()336m m−=，解得1m =，∴点A 的坐标是()2,3，点B 的坐标是()6,1，∴66k m ==，∴反比例函数的解析式是6y x =，设直线AB 所对应的一次函数的表达式为y px q =+，把点A 和点B 的坐标代入得，2361p q p q +=⎧⎨+=⎩，解得124p q ⎧=−⎪⎨⎪=⎩,∴直线AB 所对应的一次函数的表达式为142y x =−+，（2）延长AE 至点A '，使得EA AE '=，连接A B '交x 轴于点P ，连接AP ，∴点A 与点A '关于x 轴对称， ∴AP A P '=，()2,3A '−，∵AP PB A P PB A B ''+=+=， ∴AP PB +的最小值是A B '的长度，∵AB =AB 是定值，∴此时ABP 的周长为AP PB AB AB A B '++=+最小， 设直线A B '的解析式是y nx t =+，则2361n t n t +=−⎧⎨+=⎩，解得15n t =⎧⎨=−⎩， ∴直线A B '的解析式是5y x =−， 当0y =时，05x =−，解得5x =，即点P 的坐标是()5,0，此时AP PB AB AB A B '++=+=综上可知，在x 轴上存在一点()5,0P，使ABP周长的值最小，最小值是【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．【变式演练】1．（2023·河南濮阳·三模）如图，一次函数6y x =−+与反比例函数()0ky x x=>交于A 、B 两点，交x 轴于点C ，已知点A 的坐标为()2,a ．(1)求反比例函数解析式； (2)直接写出不等式()60kx x x−+>>的解集______． (3)在x 轴是否存在点P ，使得PA PB −有最大值，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数解析式为：y ＝8x ．(2)24x <<．(3)在x 轴上存在点P ，使PA PB −有最大值为AB 此时P 点坐标是()6,0．【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、三角形的三边关系的应用等知识点，熟练掌握待定系数法和数形结合法是解题关键．（1）先求解A 的坐标，再利用待定系数法求解反比例函数的解析式即可； （2）先求解函数的交点坐标，再结合图象可得答案；（3）先求解一次函数与x 轴的交点坐标，再结合三角形的三边关系确定P 的位置即可．【详解】（1）解：∵点A 的坐标为()2,a 在一次函数6y x =−+上，∴264a =−+=，∴()2,4A ，∵()2,4A 在反比例函数()0ky x x =>上，∴248k =⨯=，∴反比例函数解析式为：8y x =．（2）联立一次函数和反比例函数得析式为：86y x y x ⎧=⎪⎨⎪=−+⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或42x y =⎧⎨=⎩，∴()2,4A ，()4,2B ， 由图示可知：不等式()60kx x x −+>>的解集是24x <<．（3）∵直线AB 的解析式是6y x =−+，令0y =， 则06x =−+，则6x =，∴()6,0C ，∴当P 点坐标是()6,0，PA PB −有最大值理由如下：在PAB 中，根据三边关系，PA PB AB −<，当P 在点C 处时，PA PB AB −=．即最大值为AB ．故在x 轴上存在点P ，使PA PB −有最大值为AB 此时P 点坐标是()6,0．2．（2023·辽宁盘锦·二模）如图，一次函数4y x =+的图象与反比例函数ky x=（k 为常数且0k ≠）的图象交于()1,A a −，B 两点．(1)求此反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)当反比例函数值大于一次函数值时，直接写出x 的取值范围；(3)在y 轴上存在点P ，使得APB △的周长最小，求点P 的坐标并直接写出APB △的周长．【答案】(1)3y x =−，()3,1B −(2)10x −<<或3x <−(3)点P 的坐标为50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，轴对称最短路径问题，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先把点A 坐标代入一次函数解析式求出点A 的坐标，再把点A 的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再联立一次函数与反比例函数解析式即可求出点B 的坐标； （2）利用图象法求解即可；（3）如图所示，作点A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '交y 轴于点P ，此时PA PB +的值最小，则APB △的周长最小，再求出直线BA '的解析式即可求出点P 的坐标，由()1,3A −，()3,1B −，()1,3A '，可求出AB 、A B '的值，最后根据APB△的周长为PA PB AB A B AB '++=+．【详解】（1）解：点()1,A a −在一次函数4y x =+的图象上，∴143a =−+=， ∴点()1,3A −，点()1,3A −在反比例函数ky x =的图象上，∴133k =−⨯=−，∴反比例函数的表达式为3y x =−，联立34y x y x ⎧=−⎪⎨⎪=+⎩， 解得： 13x y =−⎧⎨=⎩或31x y =−⎧⎨=⎩， ∴()3,1B −；（2）观察函数图象可知：当10x −<<或3x <−时，一次函数4y x =+的图象在3y x =−的图象的下方，∴当反比例函数值大于一次函数值时，x 的取值范围为：10x −<<或3x <−；（3）作点A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '交y 轴于点P ，此时PA PB +的值最小，则APB △的周长最小，如图所示．点()1,3A −，∴点()1,3A '，设直线BA '的表达式为()0y mx n m =+≠，则331m n m n +=⎧⎨−+=⎩，得：1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BA '的表达式为1522y x =+，在1522y x =+中，令0x =，则52y =，∴点50,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,3A −，()3,1B −，()1,3A '，∴AB =A B =='∴APB △的周长为PA PB AB A B AB '++=+=3．（2023·广东云浮·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在坐标轴上，且2OA =，4OC =，连接OB ．反比例函数1(0)k y x x=>的图象经过线段OB 的中点D ，并与AB 、BC 分别交于点B 、F ．一次函数2y k x b =+的图象经过E 、F 两点．(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式．(2)点P 是x 轴上一动点，当PE PF +的值最小时，求点P 的坐标．【答案】(1)一次函数的解析式为1522y x =−+，反比例函数表达式为2y x =；(2)17,05⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）由矩形的性质及中点坐标公式可得(2,1)D ，从而可得反比例函数表达式；再求出点E 、F 坐标可用待定系数法解得一次函数的解析式；（2）作点E 关于x 轴的对称点E '，连接E F '交x 轴于点P ，则此时PE PF +最小．求出直线E F '的解析式后令0y =，即可得到点P 坐标． 【详解】（1）解：四边形OABC 为矩形，2OA BC ==，4OC =，(4,2)B ∴．由中点坐标公式可得点D 坐标为(2,1)，反比例函数1(0)k y x x =>的图象经过线段OB 的中点D ，1212k xy ∴==⨯=，故反比例函数表达式为2y x =．令2y =，则1x =；令4x =，则12y =．故点E 坐标为(1,2)，1(4,)2F ． 设直线EF 的解析式为2y k x b =+，代入E 、F 坐标得：222142k b k b =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：21252k b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故一次函数的解析式为1522y x =−+．（2）作点E 关于x 轴的对称点E '，连接E F '交x 轴于点P ，则此时PE PF +最小．如图． 由E 坐标可得对称点(1,2)E '−，设直线E F '的解析式为y mx n =+，代入点E '、F 坐标，得：2142m n m n −=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：56176m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩． 则直线E F '的解析式为51766y x =−，令0y =，则751x =．∴点P 坐标为17(5，0)．故答案为：17(5，0)．【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，反比例函数图象与一次函数图象的交点，中点坐标公式，矩形的性质，待定系数法求函数解析式，最短路径问题（将军饮马）．解题关键在于牢固掌握待定系数法求函数解析式、将军饮马解题模型．题型03 两函数值比较大小问题【解题策略】例．（2023·山东淄博·中考真题）如图，直线y kx b =+与双曲线m y x=相交于点()2,3A ，(),1B n ．(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；(2)将直线AB 向下平移至CD 处，其中点()2,0C −，点D 在y 轴上．连接AD ，BD ，求ABD △的面积；(3)请直接写出关于x 的不等式m kx b x +>的解集． 【答案】(1)6y x =，142y x =−+ (2)10 (3)26x <<或0x <【分析】()1将()2,3A 代入双曲线m y x =，求出m 的值，从而确定双曲线的解析式，再将点(),1B n 代入6y x =，确定B 点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；()2由平行求出直线CD 的解析式为11,2y x =−−过点D 作DG AB ⊥交于G ，设直线AB 与y 轴的交点为H ，与x 轴的交点为F , 可推导出HDG HFO ∠=∠, 再由cos HFO ∠=，求出DG ==则ABD 的面积110;2=⨯ ()3数形结合求出x 的范围即可.【详解】（1）将()2,3A 代入双曲线m y x =，∴6m =, ∴双曲线的解析式为6y x =， 将点(),1B n 代入6y x =，∴6n =,∴()6,1B ,将()()2,3,6,1A B 代入y kx b =+, 2361k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，解得124k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴直线解析式为142y x =−+；（2）∵直线AB 向下平移至CD ,∴AB CD ,设直线CD 的解析式为12y x n =−+，将点()2,0C −代入1,2y x n =−+∴10n +=，解得1n =−∴直线CD 的解析式为112y x =−−∴()0,1D −过点D 作DG AB ⊥交于G ,设直线AB 与y 轴的交点为H ，与x 轴的交点为 F ,∴()()0,4,8,0H F ,∵90,90HFO OHF OHG HDG ∠+∠=︒∠+∠=︒,∴HDG HFO ∠=∠,∵4,8OH OF ==,HF ∴=cosHFO ∴∠=∵5DH =，DG DH ∴==， 2AB =∴ABD 的面积1102=⨯= （3）由图可知26x <<或0x <时,161.2x x −−> 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直线平移是性质，数形结合是解题的关键.【变式演练】1．（2023·山东青岛·一模）如图，一次函数y ax b =+与反比例函数k y x=的图象交于A 、B 两点，点A 坐标为(,2)m ，点B 坐标为(4,)n −，OA 与x 轴正半轴夹角的正切值为13，直线AB 交y 轴于点C ，过C 作y 轴的垂线，交反比例函数图象于点D ，连接OD 、BD ．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求四边形OCBD 的面积；(3)请你根据图象直接写出不等式k ax b x+>的解集． 【答案】(1)一次函数表达式为112y x =−，反比例函数表达式为12y x =； (2)18；(3)6x >或40x −<<． 【分析】本题考查了反比例函数的综合题，涉及解直角三角形，待定系法求函数解析式，三角形面积等，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．（1）先求出点A 坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析，再根据点B 在反比例函数图象上，可得点B 的坐标，进一步利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）先求出点C 和点D 坐标，再根据OCD BCD OCBD S S S ∆∆=+四边形求解即可；（3）根据图象即可确定不等式的解集．【详解】（1）解：OA 与x 轴正半轴夹角的正切值为13，∴13AE OE =，点(,2)A m ，2AE ∴=，6OE m ==，∴点A 坐标为(6,2)，6212k ∴=⨯=，点B 在反比例函数图象上，412n ∴−=，解得3n =−，∴点B 坐标为(4,3)−−，将点(6,2)A ，点(4,3)B −−代入一次函数y ax b =+，得6243a b a b +=⎧⎨−+=−⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，∴一次函数表达式为112y x =−，反比例函数表达式为12y x =； （2）解：当0x =时，1112y x =−=−， ∴点C 坐标为(0,1)−，CD y ⊥轴， ∴点D 纵坐标为1−，点D 在反比例函数12y x =上，∴点D 横坐标为12−，12CD ∴=，∴111211221822OCD BCD OCBD S S S ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=四边形；（3）解：由图象可知，不等式kax b x +>的解集是6x >或40x −<<．．2．（2023·广西桂林·一模）如图，直线1y kx b =+与双曲线2a y x=相交于A 、B 两点，直线AB 与x 轴相交于点C ，点B 的坐标是()3m m ，，5OA =，E 为x 轴正半轴上一点，且3os 5c AOE ∠=．(1)双曲线2y 的解析式是 ，直线1y 的解析式是 ．(2)求证：3AOB COB S S =△△．(3)当12y y >时，x 的取值范围是 ．【答案】(1)122,23y y x x ==+ (2)见解析(3)60x −<<或3x >【分析】（1）根据三角函数的定义求出点A 的坐标，代入反比例函数解析式求出结果即可；求出点B 的坐标，用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）根据A 、B 两点的坐标分别表示出AOB 和BOC 的面积即可得出答案；（3）根据函数图象得出x 的取值范围即可．【详解】（1）解：过点A 作AD x ⊥轴于点D ，如图所示：∵3cos 55OD AOE ∠==， ∴3OD =，∴4AD ，∴()34A ，，将点A 的坐标代入反比例函数2y x =12a =， ∴双曲线2y 的解析式为12y x =，∵点()3B m m ，在反比例函数12y x =图象上， ∴123m m =，解得2m =±，∴()6,2B −−，把()34A ，，()6,2B −−代入1y kx b =+得3462k b k b +=⎧⎨−+=−⎩，解得232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线1y 的解析式是223y x =+；（2）解：∵()34A ，，()6,2B −−，∴AOC 的面积1422OC OC =⨯⨯=，BOC 的面积122OC OC =⨯⨯=，∴AOB 的面积3OC =，∴3AOB BOC S S =△△；（3）解：根据函数图象可知，当60x −<<或3x >时，一次函数在反比例函数图象的上面，∴当12y y >时，x 的取值范围为60x −<<或3x >．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数和反比例函数的解析式，三角函数的应用，解题的关键是数形结合，根据三角函数求出点A 的坐标．3.（2023·四川泸州·一模）如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于第一象限()1,4C ，()4D m ，两点，与坐标轴交于A 、B 两点，连接OC ，OD ．（O 是坐标原点）(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)直接写出当一次函数值小于反比例函数值时x 的取值范围；(3)将直线AB 向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数(0)k y x x =>图象只有一个交点？【答案】(1)4y x =，5y x =−+； (2)01x <<或>4x ；(3)1．【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键．（1）根据待定系数法求解即可；（2）结合图象找出反比例函数图象高于直线部分对应的x 的范围即可；（3）设出平移后直线的解析式结合一元二次方程的根的判别式解答即可；【详解】（1）解：∵反比例函数ky x =过点()1,4C ，()4,D m ， ∴144k m =⨯=，解得：4k =，1m = 反比例函数解析式为：4y x =，点()4,1D ， ∵一次函数解析式y ax b =+过点C ，D ，∴441a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：15a b =−⎧⎨=⎩∴一次函数解析式为：5y x =−+；（2）解：根据图象，不等式kax x +<的解集为：01x <<或>4x ； （3）解：设直线AB 向下平移n 个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，则平移后的解析式为5y x n =−+−， 联立两个函数得：45x n x =−+−，整理得：2(5n)40x x −−+=，2(5)4140n ∆=−−⨯⨯=，∴54n −=±，9n =或1，∵点(0,5)B ，∴9n =不符合题意舍去．∴直线AB 向下平移1个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点．4．（2024·新疆·一模）如图，一次函数()110y k x b k =+≠与反比例函数()220k y k x=≠的图象交于点()()2,3,,1A B n −．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)判断点()2,1P −是否在一次函数1y k x b =+的图象上，并说明理由；(3)直接写出不等式21k k x b x+≥的解集． 【答案】(1)反比例函数解析式为6y x =，一次函数的解析式为122y x =+ (2)点()2,1P −在一次函数122y x =+的图象上，理由见解析(3)60x −≤<或2x ≥【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：（1）先利用点A 求出反比例函数的解析式，由此求出点B 的坐标，再利用点A 及点B 的坐标求出一次函数的解析式；（2）在一次函数中求出2x =−时的函数值即可得到结论；（3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方或二者交点处时自变量的取值范围即可得到答案．【详解】（1）解：将点()2,3A 代入反比例函数()220k y k x =≠中，得2236k =⨯=， ∴反比例函数解析式为6y x =；将点(),1B n −代入6y x =中，得6n −=，∴6n =−，∴()6,1B −−，将点()2,3A 、()6,1B −−代入一次函数()110y k x b k =+≠中，得112361k b k b +=⎧⎨−+=−⎩，∴1122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为122y x =+；（2）解：点()2,1P −在一次函数122y x =+的图象上，理由如下：在122y x =+中，当2x =−时，()12212y =⨯−+=，∴点()2,1P −在一次函数122y x =+的图象上；（3）解：由图象可知：当60x −≤<或2x ≥时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方或二者的交点处，即21k k x b x +≥，∴当60x −≤<或2x ≥时，21k k x b x +≥．1．（2023·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，反比例函数()0ky x x=>的图象分别与,AB BC 交于点()4,1D 和点E ，且点D 为AB 的中点．(1)求反比例函数的表达式和点E 的坐标；(2)若一次函数y x m =+与反比例函数()0k y x x=>的图象相交于点M ，当点M 在反比例函数图象上,D E 之间的部分时（点M 可与点,D E 重合），直接写出m 的取值范围．【答案】(1)反比例函数解析式为4y x =，()22E ，(2)30m −≤≤【分析】（1）根据矩形的性质得到BC OAAB OA ∥，⊥，再由()4,1D 是AB 的中点得到()42B ，，从而得到点E 的纵坐标为2，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E 的坐标即可； （2）求出直线y x m =+恰好经过D 和恰好经过E 时m 的值，即可得到答案．【详解】（1）解：∵四边形OABC 是矩形，∴BC OAAB OA ∥，⊥， ∵()4,1D 是AB 的中点，∴()42B ，，∴点E 的纵坐标为2，∵反比例函数()0k y x x =>的图象分别与,AB BC 交于点()4,1D 和点E ，∴14k =，∴4k =，∴反比例函数解析式为4y x =，在4y x =中，当42y x ==时，2x =，∴()22E ，；（2）解：当直线 y x m =+经过点()22E ，时，则22m +=，解得0m =； 当直线 y x m =+经过点()41D ，时，则41m +=，解得3m =−；∵一次函数y x m =+与反比例函数()0ky x x =>的图象相交于点M ，当点M 在反比例函数图象上,D E 之间的部分时（点M 可与点,D E 重合），∴30m −≤≤．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．2．（2023·山东聊城·中考真题）如图，一次函数y kx b =+的图像与反比例函数my x=的图像相交于()1,4A −，(),1B a −两点．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)点(),0P n 在x 轴负半轴上，连接AP ，过点B 作BQ AP ∥，交my x=的图像于点Q ，连接PQ ．当BQ AP =时，若四边形APQB 的面积为36，求n 的值．【答案】(1)4y x =−，3y x =−+(2)215n =−【分析】（1）根据反比例函数过点()1,4A −，(),1B a −两点，确定()4,1B −，待定系数法计算即可．（2）根据平移思想，设解析式求解即可．【详解】（1）解：∵一次函数y kx b =+的图像与反比例函数my x =的图像相交于()1,4A −，(),1B a −两点，∴144m =−⨯=−，故反比例函数的解析式为4y x =−，∴441a =−=−，故()4,1B −，∴414k b k b +=−⎧⎨−+=⎩，解得13k b =−⎧⎨=⎩， ∴直线的解析式为3y x =−+．（2）∵()1,4A −，()4,1B −，(),0P n ，BQ AP ∥，BQ AP =，∴四边形APQB 是平行四边形，∴点A 到点P 的平移规律是向左平移1n −−个单位，向下平移4个单位，∴点()4,1B −到点Q 的平移规律也是向左平移1n −−个单位，向下平移4个单位，故()5,5Q n +−， ∵()5,5Q n +−在4y x =−上，∴44555n +=−=−，解得：215n =−，∴点P 的坐标为210,5⎛⎫− ⎪⎝⎭， 设AB 与x 轴交于点C ，连接PB ，如图所示：把0y =代入3y x =−+，解得：3x =，∴()3,0C ，∴2136355PC ⎛⎫=−−=⎪⎝⎭， ∴()136411825APBS=⨯⨯−−=⎡⎤⎣⎦，∵四边形APQB 为平行四边形， ∴236APBAPQB S S==四边形，∴当215n =−时，符合题意．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，平移规律计算，熟练掌握规律是解题的关键． 3．（2023·四川乐山·中考真题）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数4y x=的图象交于点(),4A m ，与x 轴交于点B ， 与y 轴交于点()0,3C ．(1)求m 的值和一次函数的表达式； (2)已知P 为反比例函数4y x=图象上的一点，2OBP OAC S S =△△，求点P 的坐标． 【答案】(1)3y x =+ (2)()2,2P 或()2,2−−【分析】（1）先把点A 坐标代入反比例函数解析式求出m 的值，进而求出点A 的坐标，再把点A 和点C 的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；（2）先求出3OB =，3OC =，过点A 作AH y ⊥轴于点H ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，如图所示，根据2OBPOACS S =△△可得11222OB PD OC AH⋅=⨯⋅，求出2PD =，则点P 的纵坐标为2或2−，由此即可得到答案．【详解】（1）解：点(),4A m 在反比例函数4y x =的图象上，44m ∴=，1m ∴=，()1,4A ∴，又点()1,4A ，()0,3C 都在一次函数y kx b =+的图象上，43k bb =+⎧∴⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为3y x =+．（2）解：对于3y x =+，当0y =时，3x =−，∴()30B −，，3OB ∴=，∵()0,3C ，3OC ∴=过点A 作AH y ⊥轴于点H ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，如图所示．2OBP AOC S S =△△，11222OB PD OC AH ∴⋅=⨯⋅． 11323122PD ∴⨯⨯=⨯⨯⨯，解得2PD =． ∴点P 的纵坐标为2或2−．将2y =代入4y x =得2x =， 将=2y −代入4y x =得2x =−，∴点()2,2P 或()2,2−−．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．4．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，一次函数(0)y kx b k =+>的图像与反比例函数8(0)y x x=>的图像交于点A ，与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，AD x ⊥轴于点D ，CB CD =，点C 关于直线AD 的对称点为点E ． (1)点E 是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由； (2)连接AE 、DE ，若四边形ACDE 为正方形． ①求k 、b 的值；②若点P 在y 轴上，当PE PB −最大时，求点P 的坐标．【答案】(1)点E 在这个反比例函数的图像上，理由见解析 (2)①1k =，2b =；②点P 的坐标为(0,2)−【分析】（1）设点A 的坐标为8(,)m m ，根据轴对称的性质得到AD CE ⊥，AD 平分CE ，如图，连接CE 交AD 于H ，得到CH EH =，再结合等腰三角形三线合一得到CH 为ACD ∆边AD 上的中线，即AH HD =，求出4,H m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而求得4(2,)E m m ，于是得到点E 在这个反比例函数的图像上；（2）①根据正方形的性质得到AD CE =，AD 垂直平分CE ，求得12CH AD=，设点A 的坐标为8(,)m m ，得到2m =（负值舍去），求得(2,4)A ，(0,2)C ，把(2,4)A ，(0,2)C 代入y kx b =+得，解方程组即可得到结论；②延长ED 交y 轴于P ，根据已知条件得到点B 与点D 关于y 轴对称，求得PE PD PE PB−=−，则点P 即为符合条件的点，求得直线DE 的解析式为2y x =−，于是得到结论．【详解】（1）解：点E 在这个反比例函数的图像上． 理由如下：一次函数(0)y kx b k =+>的图像与反比例函数8(0)y x x =>的图像交于点A ，∴设点A 的坐标为8(,)m m ，点C 关于直线AD 的对称点为点E ，AD CE ∴⊥，AD 平分CE ，连接CE 交AD 于H ，如图所示：CH EH ∴=， AD x ⊥轴于D ，CE x ∴∥轴，90ADB ∠=︒， 90CDO ADC ∴∠+∠=︒， CB CD =， CBO CDO ∴∠=∠，在Rt ABD ∆中，90ABD BAD ∠+∠=︒，CAD CDA ∴∠=∠，CH ∴为ACD ∆边AD 上的中线，即AH HD =，4,H m m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，4(2,)E m m ∴，428m m ⨯=，∴点E 在这个反比例函数的图像上；（2）解：①四边形ACDE 为正方形，AD CE ∴=，AD 垂直平分CE ，12CH AD ∴=，设点A 的坐标为8(,)m m ，CH m ∴=，8AD m =，182m m ∴=⨯，2m ∴=（负值舍去），(2,4)A ∴，(0,2)C ，把(2,4)A ，(0,2)C 代入y kx b =+得242k b b +==⎧⎨⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩； ②延长ED 交y 轴于P ，如图所示：CB CD =，OC BD ⊥，∴点B 与点D 关于y 轴对称，PE PD PE PB∴−=−，则点P 即为符合条件的点，由①知，(2,4)A ，(0,2)C ，(2,0)D ∴，(4,2)E ，设直线DE 的解析式为y ax n=+，∴2042a n a n +=+=⎧⎨⎩，解得12a n ==−⎧⎨⎩，∴直线DE 的解析式为2y x =−， 当0x =时，=2y −，即()0,2−，故当PE PB −最大时，点P 的坐标为(0,2)−．【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．。
一次函数、反比例函数综合练习卷(中等难度)
一次函数、反比例函数综合小测试(总分100分，30分钟完成)姓名 评分一、选择题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1、若直线111b x k y +=与222b x k y +=的图象交于y 轴上，则（ ） A 、21k k = B 、21b b = C 、2121b b k k =D 、2211b k b k +=+ 1、下列语句叙述正确的有（ ）个①横坐标与纵坐标互为相反数的点在直线y= -x 上，②直线y= -nx+2n （n ≠0）不经过第三象限，③点P （2，0）在y 轴上，④若点P 的坐标为（a ，b ），且ab=0，则P 点是坐标原点，⑤函数xy 3-=中y 的值随x 的增大而增大。
A 、1B 、2C 、3D 、4 3、当k<0时，反比例函数xky =和一次函数y=kx-k 的图象大致为（ ）4、已知一次函数4)2(2-++=k x k y 的图象经过原点，则（ ） A 、k=±2 B 、k=2 C 、k= -2 D 、无法确定5、许老师骑摩托车上班，最初以某一速度匀速前进，中途由于摩托车出现故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，许老师加快了行车速度，但仍保持匀速前进，结果准时到校，在课堂上，许老师画出摩托车行进路程s （千米）与行进时间t （小时）之间的函数关系图象的示意图，其中正确的是（ ）二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)6、函数23+-=x x y 中自变量x 的取值范围是 ；7、如右图，P 是反比例函数图象上一点，图中的阴影部分的面积为3，则反比例函数的解析式为 ；8、已知点P （x 1，y 1）和点Q （x 2，y 2）在函数3-=xy 的图象上，若x 1> x 2>0，则y xCxDBxAx9、已知点P 在第一、三象限夹角的平分线上，且到y 轴的距离为24，则P 点的坐标为 10、函数4+=kx y 与坐标轴围成的三角形的面积为6，则k 的值为 ； 11、如图，D 为△ABC 的边BC 上一点，DE ∥AB ，DF ∥AC,分别交AC 、AB 于E 、F 。
反比例函数与一次函数的综合应用 参考答案与试题解析
反比例函数与一次函数的综合应用1．已知一次函数y1＝kx﹣b与反比例函数y2＝，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则当kx＜+b时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜3B．﹣1＜x＜0或x＞3C．﹣3＜x＜0或x＞1D．x＞32．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，若点C坐标是（3，6），且AB＝BC．（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；（2）求△COD的面积；（3）直接写出当x取何值时，k1x+b＜．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数相交于A（2，m）和B（6，2）．（1）求直线AB的表达式；（2）△AOB的面积是；（3）点A到OB的距离AH的长度是．4．如图，一次函数y1＝﹣2x+b的图象分别交x轴，y轴于D，C两点，交反比例函数y2＝图象于A（﹣1，6），B（m，﹣2）两点．（1）求k，b的值；（2）点E是y轴上点C下方一点，若S＝，求E点的坐标；△AEB（3）当y1＞y2时，x的取值范围是．5．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；（3）若点P在线段AB上，且S：S△BOP＝1：4，求点P的坐标．△AOP参考答案与试题解析1．已知一次函数y1＝kx﹣b与反比例函数y2＝，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则当kx＜+b时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜3B．﹣1＜x＜0或x＞3C．﹣3＜x＜0或x＞1D．x＞3【解答】解：根据题意得：当y1＜y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞3，∴当kx＜+b时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞3．故选：B．2．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，若点C坐标是（3，6），且AB＝BC．（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；（2）求△COD的面积；（3）直接写出当x取何值时，k1x+b＜．【解答】解：（1）∵点C（3，6）在反比例函数y＝的图象上，∴k2＝3×6＝18，∴反比例函数的解析式为y＝；如图，作CE⊥x轴于E，∵C（3，6），AB＝BC，∴B（0，3），∵B、C在y＝k1x+b的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+3；（2）由，解得或，∴D（﹣6，﹣3），＝S△BOC+S△BOD＝×3×3+×3×6＝；∴S△COD（3）由图象可得，当0＜x＜3或x＜﹣6时，k1x+b＜．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数相交于A（2，m）和B（6，2）．（1）求直线AB的表达式；（2）△AOB的面积是16；（3）点A到OB的距离AH的长度是．【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝，由题意可知：k＝6×2＝12，∴y＝，∵A（2，m）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝＝6，∴A（2，6），∵A（2，6）、B（6，2）在一次函数y＝ax+b的图象上，∴，解得，∴直线AB的表达式为y＝﹣x+8；（2）设直线AB与x轴的交点为C，令y＝0，则﹣x+8＝0，解得x＝8，∴C（8，0），＝S△AOC﹣S△BOC＝﹣＝16，∴S△AOB故答案为：16；（3）∵B（6，2），∴OB＝＝2，∵S＝OB•AH＝16，△AOB∴AH＝＝，故答案为：．4．如图，一次函数y1＝﹣2x+b的图象分别交x轴，y轴于D，C两点，交反比例函数y2＝图象于A（﹣1，6），B（m，﹣2）两点．（1）求k，b的值；＝，求E点的坐标；（2）点E是y轴上点C下方一点，若S△AEB（3）当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜3．【解答】解：（1）将A（﹣1，6）代入一次函数y＝﹣2x+b，得b＝4；将A（﹣1，6）代入，得k＝﹣6．（2）设E（a，0），将B（m，﹣2）代入，得m＝3，∴B（3，﹣2）∴）＝2CE＝2（4﹣a）＝，∴E（0，）；（3）观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜3，故答案为：x＜﹣1或0＜x＜3．5．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；：S△BOP＝1：4，求点P的坐标．（3）若点P在线段AB上，且S△AOP【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过A（1，2），∴k2＝1×2＝2，∴反比例函数解析式为y＝，∵B（﹣2，n）在比例函数y＝的图象上，∴n＝＝﹣1，∴B（﹣2，﹣1），∵直线y＝k1x+b经过A（1，2），B（﹣2，﹣1），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）观察图象，k1x+b＞的x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1；（3）设P（x，x+1），：S△BOP＝1：4，∵S△AOP∴AP：PB＝1：4，即PB＝4PA，∴（x+2）2+（x+1+1）2＝16[（x﹣1）2+（x+1﹣2）2]，解得x1＝，x2＝2（舍去），∴P点坐标为（，）．。
八年级反比例函数和一次函数综合题型含答案解析
反比例函数与一次函数综合一．选择题（共12小题）1．已知反比例函数的图象，当x取1，2，3，…，n时，对应在反比例图象上的点分别为M1，M2，M3…，M n，则= _________ ．2．如图，正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线，交x轴于点B，连接BC．若△ABC的面积为S，则（）3．如图，已知点A是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限的交点，AB⊥x轴于点B，点C在x轴的负半轴上，且OA=OC，△AOB的面积为，则AC的长为（）4．已知直线y1=x，，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最小值，则y的最大值为（）5．如图，直线y=+3与双曲线y=（x＞0）相交于B，D两点，交x轴于C点，若点D是BC的中点，则k=（）6．如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE，有下列结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤△CEF的面积等于，其中正确的个数有（）A．2B．3C．4D．57．函数的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；②当x＞2时，y2＞y1；③当x=1时，BC=3；④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是（）A．①③④B．①②③C．②③④D．①②③④8．如图，已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点C，AB⊥x 轴于B，△AOB的面积为1，则AC的长为（）9．正比例函数y=x与反比例函数的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D（如图），则四边形ABCD 的面积为（）10．如图，直线AB交y轴于点C，与双曲线（k＜0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），Q为线段BC上的点（不与B、C重合），过点A、P、Q分别向x轴作垂线，垂足分别为D、E、F，连接OA、OP、OQ，设△AOD的面积为S1、△POE的面积为S2、△QOF的面积为S3，则有（）11．如图，点A是直线y=﹣x+5和双曲线在第一象限的一个交点，过A作∠OAB=∠AOX交x轴于B点，AC⊥x 轴，垂足为C，则△ABC的周长为（）12．如图，函数y=x与y=的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为C，则△BOC的面积为（）二．解答题（共18小题）13．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，1）、B（﹣1，﹣2）两点，与x轴交于点C．（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）；（2）连接OA，求△AOC的面积．14．如图，一次函数y=x+1与反比例函数的图象相交于点A（2，3）和点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）过点B作BC⊥x轴于C，求S△ABC．15．如图，直线y=x与双曲线y=相交于A、B两点，BC⊥x轴于点C（﹣4，0）．（1）求A、B两点的坐标及双曲线的解析式；（2）若经过点A的直线与x轴的正半轴交于点D，与y轴的正半轴交于点E，且△AOE的面积为10，求CD的长．16．如图，已知反比例函数（k1＞0）与一次函数y2=k2x+1（k2≠0）相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C．若△OAC 的面积为1，且tan∠AOC=2．（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值？17．如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限的交点为M，若△OBM的面积为2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．18．如图，已知函数的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（1，m），B（n，2）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）将一次函数y=kx+b的图象沿x轴负方向平移a（a＞0）个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数的图象只有一个交点M时a的值及交点M的坐标．19．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于M（﹣2，1），N（1，t）两点．（1）求k、t的值．（2）求一次函数的解析式．（3）在x轴上取点A（2，0），求△AMN的面积．20．如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积．21．已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中A点的横坐标与B点的纵坐标都是2，如图：（1）求这个一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）在y轴是否存在一点P使△OAP为等腰三角形？若存在，请在坐标轴相应位置上用P1，P2，P3…标出符合条件的点P；（尺规作图完成）若不存在，请说明理由．22．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于两点A（1，3），B（n，﹣1）．（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；（2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）连接AO、BO，求△ABO的面积；（4）在反比例函数的图象上找点P，使得点A，O，P构成等腰三角形，直接写出两个满足条件的点P的坐标．23．如图，已知反比例函数的图象经过点，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为．（1）求k和m的值；（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求|AO|：|AC|的值；（3）若D为坐标轴上一点，使△AOD是以AO为一腰的等腰三角形，请写出所有满足条件的D点的坐标．24．阅读下面材料，然后解答问题：在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为（，）．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=（x＜0）和y=（x＞0）的图象关于y轴对称，直线y=+与两个图象分别交于A（a，1），B（1，b）两点，点C为线段AB的中点，连接OC、OB．（1）求a、b、k的值及点C的坐标；（2）若在坐标平面上有一点D，使得以O、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标．25．（如图，已知反比例函数（m是常数，m≠0），一次函数y=ax+b（a、b为常数，a≠0），其中一次函数与x轴，y轴的交点分别是A（﹣4，0），B（0，2）．（1）求一次函数的关系式；（2）反比例函数图象上有一点P满足：①PA⊥x轴；②PO=（O为坐标原点），求反比例函数的关系式；（3）求点P关于原点的对称点Q的坐标，判断点Q是否在该反比例函数的图象上．26．如图．已知A、B两点的坐标分别为A（0，），B（2，0）．直线AB与反比例函数的图象交于点C和点D（﹣1，a）．（1）求直线AB和反比例函数的解析式．（2）求∠ACO的度数．（3）将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少时，OC′⊥AB，并求此时线段AB’的长．27．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，反比例函数y=的图象经过点（1，4），菱形OABC的顶点A在函数的图象上，对角线OB在x轴上．（1）求反比例函数的关系式；（2）直接写出菱形OABC的面积．28．如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数（x＞0）的图象经过点B．（1）求k的值；（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数（x ＞0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．29．如图所示，直线y=kx+6与函数y=（x＞0，m＞0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且与x轴、y轴分别交于D、C两点．又AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．已知△COD的面积是△AOB面积的倍．（1）求y1﹣y2的值．（2）求k与m之间的函数关系式，并画出该函数图象的草图．（3）是否存在实数k和m，使梯形AEFB的面积为6？若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由．30．●探究：（1）在图中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．①若A（﹣1，0），B（3，0），则E点坐标为_________ ；②若C（﹣2，2），D（﹣2，﹣1），则F点坐标为_________ ；（2）在图中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d 的代数式表示），并给出求解过程．●归纳：无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y）时，x= _________ ，y= _________ ．（不必证明）●运用：在图中，一次函数y=x﹣2与反比例函数的图象交点为A，B．①求出交点A，B的坐标；②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标．八年级反比例函数与一次函数综合参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2012•江）已知反比例函数的图象，当x取1，2，3，…，n时，对应在反比例图象上的点分别为M1，M2，M3…，M n，则= ．2．（2000•天津）如图，正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线，交x轴于点B，连接BC．若△ABC的面积为S，则（）3．如图，已知点A是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限的交点，AB⊥x轴于点B，点C在x轴的负半轴上，且OA=OC，△AOB的面积为，则AC的长为（）4．已知直线y1=x，，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1、y2、y3中的最小值，则y的最大值为（）5．如图，直线y=+3与双曲线y=（x＞0）相交于B，D两点，交x轴于C点，若点D是BC的中点，则k=（）∴x1=2×4﹣6=2，由③2k=x1x2=8，那么k=4．故选D．点评：此题主要考查了一次函数与反比例函数的交点坐标问题，同时也利用了中点坐标的公式，其中利用方程组和待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．6．如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE，有下列结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤△CEF的面积等于，其中正确的个数有（）A．2B．3C．4D．57．函数的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点A的坐标为（2，2）；②当x＞2时，y2＞y1；③当x=1时，BC=3；④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是（）8．如图，已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点C，AB⊥x 轴于B，△AOB的面积为1，则AC的长为（）9．正比例函数y=x与反比例函数的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D（如图），则四边形ABCD 的面积为（）10．如图，直线AB交y轴于点C，与双曲线（k＜0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），Q为线段BC上的点（不与B、C重合），过点A、P、Q分别向x轴作垂线，垂足分别为D、E、F，连接OA、OP、OQ，设△AOD的面积为S1、△POE的面积为S2、△QOF的面积为S3，则有（）11．如图，点A是直线y=﹣x+5和双曲线在第一象限的一个交点，过A作∠OAB=∠AOX交x轴于B点，AC⊥x 轴，垂足为C，则△ABC的周长为（）12．如图，函数y=x与y=的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为C，则△BOC的面积为（）二．解答题（共18小题）13．（2012•）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，1）、B（﹣1，﹣2）两点，与x轴交于点C．（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）；（2）连接OA，求△AOC的面积．14．（2012•）如图，一次函数y=x+1与反比例函数的图象相交于点A（2，3）和点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）过点B作BC⊥x轴于C，求S△ABC．15．（2012•贵港）如图，直线y=x与双曲线y=相交于A、B两点，BC⊥x轴于点C（﹣4，0）．（1）求A、B两点的坐标及双曲线的解析式；（2）若经过点A的直线与x轴的正半轴交于点D，与y轴的正半轴交于点E，且△AOE的面积为10，求CD的长．16．（2011•）如图，已知反比例函数（k1＞0）与一次函数y2=k2x+1（k2≠0）相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C．若△OAC的面积为1，且tan∠AOC=2．（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值？17．（2011•）如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限的交点为M，若△OBM的面积为2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．18．（2011•）如图，已知函数的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（1，m），B（n，2）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）将一次函数y=kx+b的图象沿x轴负方向平移a（a＞0）个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数的图象只有一个交点M时a的值及交点M的坐标．19．（2010•）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于M（﹣2，1），N（1，t）两点．（1）求k、t的值．（2）求一次函数的解析式．（3）在x轴上取点A（2，0），求△AMN的面积．20．（2009•达州）如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积．21．已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中A点的横坐标与B点的纵坐标都是2，如图：（1）求这个一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）在y轴是否存在一点P使△OAP为等腰三角形？若存在，请在坐标轴相应位置上用P1，P2，P3…标出符合条件的点P；（尺规作图完成）若不存在，请说明理由．点评：此题主要考查了一次函数、反比例函数、待定系数法以及等腰三角形的性质等，难易程度适中．22．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于两点A（1，3），B（n，﹣1）．（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；（2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）连接AO、BO，求△ABO的面积；（4）在反比例函数的图象上找点P，使得点A，O，P构成等腰三角形，直接写出两个满足条件的点P的坐标．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：待定系数法．分析：（1）根据待定系数法就可以求出函数的解析式；（2）观察图象可得出一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值围；（3）先求出一次函数与x轴的交点坐标，再利用分割法将三角形的面积分为△BOC和△AOC的面积之和进行求解；23．如图，已知反比例函数的图象经过点，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为．（1）求k和m的值；（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求|AO|：|AC|的值；（3）若D为坐标轴上一点，使△AOD是以AO为一腰的等腰三角形，请写出所有满足条件的D点的坐标．24．（2012•）阅读下面材料，然后解答问题：在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为（，）．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=（x＜0）和y=（x＞0）的图象关于y轴对称，直线y=+与两个图象分别交于A（a，1），B（1，b）两点，点C为线段AB的中点，连接OC、OB．（1）求a、b、k的值及点C的坐标；（2）若在坐标平面上有一点D，使得以O、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标．25．（2011•）如图，已知反比例函数（m是常数，m≠0），一次函数y=ax+b（a、b为常数，a≠0），其中一次函数与x轴，y轴的交点分别是A（﹣4，0），B（0，2）．（1）求一次函数的关系式；（2）反比例函数图象上有一点P满足：①PA⊥x轴；②PO=（O为坐标原点），求反比例函数的关系式；（3）求点P关于原点的对称点Q的坐标，判断点Q是否在该反比例函数的图象上．26．（2011•）如图．已知A、B两点的坐标分别为A（0，），B（2，0）．直线AB与反比例函数的图象交于点C和点D（﹣1，a）．（1）求直线AB和反比例函数的解析式．（2）求∠ACO的度数．（3）将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少时，OC′⊥AB，并求此时线段AB’的长．。
一次函数和反比例函数综合问题(3易错7题型)—2024年中考数学(全国通用)(解析版)
一次函数和反比例函数综合问题目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略 【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）一次函数和反比例函数是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容.每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分.1．从考点频率看，一次函数和反比例函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点，所以对一次函数和反比例函数的图象和性质必须熟记.2．从题型角度看，以解答题的第三题或第四题为主，分值8分左右，着实不少！易错点一 一次函数与反比例函数中由面积求点坐标【例1】（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数图象5y x =−+与y 轴交于点A ，与反比例函数ky x=的图象的一个交点为(),4B a ，过点B 作AB 的垂线l ．(1)求点A 的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点C 在直线l 上，且ABC 的面积为5，求点C 的坐标；S=ABCABCS=【例2】（2024·甘肃陇南·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4y x =−与反比例函数ky x=的图象交于A ，B 两点，与x 轴相交于点C ，已知点A ，B 的坐标分别为()5,n n 和(),5m −．(1)求反比例函数的解析式； (2)点P 为反比例函数ky x=图象上任意一点，若2POC AOC S S =△△，求点P 的坐标．【例3】（2024·山东济宁·一模）如图，点()3,6A ，()6,B a 是反比例函数y x=的图象上的两点，连接OA 、OB ．(1)求a 的值； (2)求AOB 的面积；(3)若点C 的坐标为()9,0，点P 是反比例函数图象上的点，若POC △的面积等于AOB 面积的3倍，求点P的坐标． )AOB 的面积为AODBOES S=，由BOEAODAOEB S SS S=−四边形，可得AOBS=1273322POCAOBSOC PE S =⨯⨯==⨯，即可求解，【详解】（1）解：∵点()3,6A ，()6,B a 是反比例函数y x=的图象上的两点， ∴63m=，解得：18m =， ∴反比例函数解析式为：18y x=， ∴186a =，解得：3a =， 故答案为：3a =，（2）解：过点A ，B ，作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为D ，E ，由（1）可知，点()3,6A ，()6,3B 是反比例函数18y x=的图象上的两点， ∴6AC =，3OD =，3BD =,6OE =，AODBOES S=，∵BOEAODAOEB AOEB S SS S−=−四边形四边形，∴()()()()()1112763632222AOBADEB SS AD BE DE AD BE OE OD ==+⋅=+⋅−=+−=梯形， 故答案为：AOB 的面积为272， （3）解：设点P 坐标为18,p p ⎛⎫⎪⎝⎭，过点P ，作PE x ⊥轴，垂足为E ，∴18180PE p p=−=，9OC =， ∴1273322POCAOBSOC PE S =⨯⨯==⨯， 即：118279322p ⨯⨯=⨯，解得：2p =或2p =−， ∴()2,9P 或()2,9P −−，故答案为：点P 的坐标为()2,9或()2,9−−．一次函数中平移问题【例1】（2024·河北邯郸·二模）如图，直线1:4l y x =+与y 轴，x 轴交于点A ，点B ，直线2l 与y 轴，x 轴交于点A ，点,2C OC OA =．(1)求点A 的坐标及直线2l 的解析式；(2)点13,22D m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在直线3l 上．①直接写出直线3l 的解析式；②若点D 在ABC 内部（含边界），求m 的取值范围；③横纵坐标都为整数的点为整点，将直线3l 向上平移n 个单位长度（n 为整数），直线3l 在第二象限恰有4个整点，直接写出n的值．=OC OA2①点在ABC 内部（含边界）【例2】（2024·河北石家庄·一模）如图，平面直角坐标系中，线段AB 的端点为(2,2)A ，(4,1)B ．直线:2l y x =+与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，动点P 从点D 出发，沿y 轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，设移动时间为t 秒．某同学设计了一个动画：线段AB 为蓝色光带，当有动点或动直线经过线段AB 时，蓝色光带会变成红色．(1)求直线AB 的解析式；(2)①若直线l 随点P 向下平移，当2t =时，蓝色光带是否变红？②点M 是直线l 上的一点，若点M 向下平移4个单位长度的过程中，能使蓝色光带变红，求点M 的横坐标M x 的取值范围；Q m n三点共线时，直接写出m与t的函数关系式．(3)当点C，点P与蓝色光带上的点(,)直线过直线又直线②点A）()20C −，易错点三 一次函数与反比例函数中求线段和的最小值问题【例1】（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，一次函数8y x =+的图象与反比例函数()0ky x x=<的图象交于(),6A a ，B 两点．(1)求此反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)在y 轴上存在点P ，使得AP BP +的值最小，求AP BP +的最小值．则AP BP +的最小值A =【例2】（2023·辽宁盘锦·二模）如图，一次函数4y x =+的图象与反比例函数ky x=（k 为常数且0k ≠）的图象交于()1,A a −，B 两点．(1)求此反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)当反比例函数值大于一次函数值时，直接写出x 的取值范围；(3)在y 轴上存在点P ，使得APB △的周长最小，求点P 的坐标并直接写出APB △的周长． ）解：点点点A题型一 一次函数的图象和性质【例1】（2024·浙江·模拟预测）已知点()11,A m n ，()22,B m n ()12m m <在一次函数y kx b =+的图像上． (1)用含有1m ，1n ，2m ，2n 的代数式表示k 的值．(2)若123m m b +=，124n n kb +=+，2b >．试比较1n 和2n 的大小，并说明理由．【例2】（2024·浙江杭州·一模）设一次函数31y ax a =++（a 是常数，0a ≠）． (1)无论a 取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标： (2)若24x ≤≤时，该一次函数的最大值是6，求a 的值． 【详解】（1）解：一次函数1， 当3x =−时，11y =，∴无论a 取何值，该一次函数图象始终过定点(3,1)−；（2）解：当0a >时，当4x =时，一次函数14316y a a =++=，1．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2−，与x 轴交于点A ．(1)求该一次函数的表达式及点A 的坐标；(2)当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围．解：一次函数2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知一次函数10y mx n mn =+≠．(1)已知关于x 的一元二次方程20x mx n +−=必有两个不相等的实数根，试说明一次函数1y mx n =+的图象过第一和第二象限．(2)在（1）的条件下，已知另一函数2y nx m =+的图象与y 1图象的交点在第四象限，求不等式12y y >的解． 【答案】(1)见解析解：∵关于x 的一元二次方程20x mx n +−=的解，可看作抛物线2y x =与直线y mx n =−+的交点， 根据题意得，抛物线2y x =与直线y mx n =−+必有两个不同的交点， ∴0n >，∴一次函数1y mx n =+的图象过第一和第二象限； （2）解：∵2y nx m =+，0n >，∴直线2y nx m =+一定经过第一、三象限， ∵直线2y nx m =+与y 1图象的交点在第四象限，∴直线2y nx m =+一定经过第一、三、四象限， ∴0m <， ∴0m n −<， ∵12y y >， ∴mx n nx m +>+， 整理得()m n x m n −>−， ∴1x <，即不等式12y y >的解集为1x <．题型二 反比例函数的图象和性质【例1】（2024·陕西西安·一模）已知反比例函数3my x−=． (1)若该反比例函数图象在每一个象限内，y 都随着x 的增大而减小，求m 的取值范围； (2)若点()2,3A 在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式．1．（2024·福建南平·一模）反比例函数ky x=图象经过点(1,6)A ，(,3)B a ． (1)求a 的值；(2)若点(,)C m n 在反比例函数ky x=图象上，其中3n <，求m 的取值范围． 题型三 一次函数和反比例函数与不等式综合问题【例1】（2024·贵州毕节·一模）如图，一次函数()0y ax b a =+≠与反比例函数()0ky k x=≠的图象在第一象限交于()2,3A 和()3,B m 两点，与x 轴交于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出关于x 的不等式(0)kax b x x+>>的解集． ）解：点又B【例2】（2024·陕西宝鸡·一模）如图所示，一次函数1y x m =−+图象与反比例函数2ky x=图象相交于点(,3)A n 和点(3,1)B −．(1)求反比例函数解析式； (2)当12y y >时，求x 的取值范围．1．（2024·山西朔州·一模）如图，反比例函数()1110,0k y k x x=>>与一次函数()2220y k x b k =+≠的图象交于()2,3A ，3,2B m ⎛⎫⎪⎝⎭两点．(1)求m 的值及一次函数的表达式． (2)直接写出当12y y >时，x 的取值范围．）解：反比例函数与一次函数的图象交于当24x <<时，12y y <，所以，当12y y >时， x 的取值范围为02x <<或4x >．2．（2024·江西九江·一模）如图一次函数y kx b =+的图象与反比例函数4y x=−的图象相交于点()1,A m −，(),1B n −．(1)求一次函数的解析式；(2)结合图象，直接写出不等式4kx b x+>−的解集．3．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，一次函数12y x =−的图象与反比例函数(0)y k x=≠的图象交于()(),12,A a B b −，两点，与x 轴相交于点C ．(1)求反比例函数的表达式；(2)观察图象，直接写出不等式112kx x−<的解集；(3)若(),0P m 为x 轴上的一动点，连接AP ，当APC △的面积为52时，求点P 的坐标． ）解：函数）函数在112y x =−中， 当y =解得：2x =，()2,0C ∴， ()0,P m ，APC S =△题型四 一次函数和反比例函数中求三角形面积问题【例1】（2024·山西大同·一模）如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数()0ky k x=>的图象相交于点()6,32A n −−，点(),3B n −，与y 轴交于点C ．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)点D 是点C 关于x 轴的对称点，连接AD BD 、，求ABD △的面积．S=ABD【例2】（2024·吉林白山·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数5y x =−+的图象与反比例函数(0)ky k x=>的图象相交于()1,A m 、()4,B n 两点，与x 轴相交于点C ，连接OA 、OB ．(1)求反比例函数的解析式； (2)求AOB 的面积． AOBS=1．（2024·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数32y x b =−+与反比例函数()0ky k x=≠交于()(),6,4,3A m B −两点，与y 轴交于点C ，连接,OA OB ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求AOB 的面积．解：点解：点AOBAOCBOCS SS=+与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点()1,C a ，D 是反比例函数图象上的一个动点，过点D 向y 轴作垂线与一次函数图象交于点E ，其中点A 的坐标为(3,0)−．(1)求反比例函数的表达式；(2)连接,DB DC ，当DCE △的面积等于DBC △面积的2倍时，求点E 的坐标；(3)若P 是x 轴上的一个动点，连接,EP DP ，当DPE 与AOB 相似时，求点D 的纵坐标． 坐标，根据DPE 与AOB 相似计算即可，注意分情况讨论．()033b =⨯−+∵过点D向y轴作垂线与一次函数图象交于点∴设12D mm⎛⎫⎪⎝⎭，，则点E纵坐标为∴1239y xm=+=，解得x412⎛⎫当AOB PED∽时，当时，AOB PED ∽，此时时，P AOB DE ∽，此时∴12PD m =，DE m ⎛=− ⎝∴1243PD m DE m m m ==⎛⎫−− ⎪⎝⎭时，E AOB PD ∽，此时时，P AOB ED ∽，此时，则N EPM PD ∽∴EM MP PEPN DN PD== 此时12EM DN m==，DE 当D AOB EP ∽时，PE PD 同理当AOB DPE ∽时，PD综上所述，当DPE 与AOB 相似时，求点题型五 一次函数和反比例函数中求证问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·河南周口·一模）如图，反比例函数ky x=与正比例函数y ax =交于点()3,2A 和点C ，与正比例函数6y x =交于点B 和点D ．(1)求k 与a 的值，并求点B ，C ，D 的坐标； (2)求证：CBD ADB ∠=∠．1．（2024·湖南怀化·一模）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点．如图，一次函数y ax b =+（a 为常数，0a ≠）与反比例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象相交于点()25A ，和点()4B m −，．(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)过点A 作y 轴的垂线，过点B 作x 轴的垂线，相交于点C ；过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，相交于点D ．求证：C ，O ，D 三点在同一条直线上．2．（2024·河南平顶山·一模）如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数y x=的图象交于第一象限(1,4)C ，D(4,m)两点，与坐标轴交于A 、B 两点，连接OC ，OD （O 是坐标原点）.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)当kax bx+<时，直接写出x的取值范围；(3)将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？题型六一次函数和反比例函数中求线段长问题【例1】（2024·广东珠海·一模）如图1．直线21y x =+与y 轴交于点B ，与反比例函数()0ky x x=>的图象交于点()1,A a ．图2将线段AB 向右平移m 个单位长度()0m >，得到对应线段CD ，连接AC ，BD ．当点D 恰好落在反比例函数图象上时，过点C 作CF x ⊥轴于点F ，交反比函数图象于点E ．(1)求反比例函数表达式； (2)求EF 的长度．1．（2024·河南·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数1y ()0kx b k =+≠的图象与反比例函数2y ()0mm x=≠的图象相交于第二、四象限内的()1,3A −，(),1B a −两点，与y 轴交于点C ．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)在x 轴上找一点P ，使PA PC −最大，求PA PC −的最大值及点P 的坐标．一次函数的解析式为Rt ADC中，由勾股定理可得题型七利用反比例函数的图象和性质探究平移问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·广东深圳·模拟预测）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数1yx=−的图象与性质．其探究过程如下：(1)绘制函数图象，如图，列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=；描点：根据表中各组对应值,x y，在平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整；(2)通过观察函数图象，写出该函数的一条性质：．(3)利用函数图象，解不等式1230xx−+＜．观察图形得出函数的性质：图象关于y轴对称；故答案为：图象关于y轴对称；（3）【例2】（2024·陕西西安·一模）乐乐同学在学习了反比例函数的基础上，进一步探究函数21y x =-的性质．以下是他的研究过程，请补充完整．(1)如表是y 与x 的几组对应值．(2)在平面直角坐标系xOy 中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(3)观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为______；(4)若直线2y x =与函数21y x =-的图象交于第一象限内一点(),P x y ，则下面关于x 的取值范围描述正确的是（ ）A ．1 1.25x <<B ．1.25 1.5x <<C ．1.5 1.75x <<D ．1.752x <<【详解】（1）解：①4x =时，413y ==−， 23m ∴=， 故答案为：23； （2）解：如图：（3）解：观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为(1,0)；故答案为：(1,0)；（4）解：作出直线2y x =如图：把3y =代入2y x =求得 1.5x =，把3y =代入21y x =-，求得53x =， 观察图象，若直线2y x =与函数21y x =-的图象交于第一象限内一点(,)P x y ，则x 的取值范围是51.53x <<， ∴关于x 的取值范围描述正确的是C ，故答案为：C ．1．（2024·山西大同·一模）中考新考法：注重过程性学习，某数学小组在研究函数221x y −+=+时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：(1)①x 与y 的几组对应值如下表，请补全表格；②在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；(2)我们知道，函数()()20,0,0y a x h k a h k =−+≠>>的图象是由二次函数2y ax =的图象向右平移h 个单位，再向上平移k 个单位得到的．类似地，请直接写出将2y x =−的图象经过怎样的平移可以得到221x y −+=+的图象；(3)若一次函数123y x =−+的图象与函数221x y −+=+的图象交于A B 、两点，连接OA OB 、，求AOB 的面积． 【答案】(1)见解析，(2)向左平移1个单位，向上平移2个单位(3)5（2）2y x=−的图象向左平移1（3）一次函数123y x =−+的图象，如图，可知∴AOB 的面积为()12232⨯⨯+=。
一次函数和反比例函数综合题型
一次函数与反比例函数综合题型：专题1一、选择题1．在反比例函数y=2x的图象上的一个点的坐标是（）A．（2，1）B．（-2，1）C．（2，12）D．（12，2）2．函数y=（a-1）x a是反比例函数，则此函数图象位于（）A．第一、三象限；B．第二、四象限；C．第一、四象限；D．第二、三象限3．已知正比例函数y=（3k-1）x，y随着x的增大而增大，则k的取值X围是（）A．k<0 B．k>0 C．k<13D．k>134.如图,关于x的函数y=k(x-1)和y=-kx(k≠0), 它们在同一坐标系内的图象大致是（）5．在函数y=kx（k>0）的图象上有三点A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），已知x1<x2<0<x3，则下列各式中，正确的是（）A．y1<y2<y3B．y3<y2<y1C．y2<y1<y3D．y3<y1<y26．在同一平面直角坐标系中，对于函数①y=-x-1，②y=x+1，③y=-x+1，④y=-2（x+1）的图象，下列说法正确的是（）A．通过点（-1，0）的是①③B．交点在y轴上的是②④C．相互平行的是①③D．关于x轴对称的是②④7．无论m、n为何实数，直线y=-3x+1与y=mx+n的交点不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．一次函数y=kx+（k-3）的函数图象不可能是（）二、填空题9．一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，且kb>0，则这个函数的图象一定不经过第______象限．10．如图6-2，点A在反比例函数y=kx的图象上，AB垂直于x轴，若S△AOB=4，•那么这个反比例函数的解析式为________．OyxAOyxCO xByO xD11．如图6-3，弹簧总长y（cm）与所挂质量x（kg）之间是一次函数关系，则该弹簧不挂物体时的长度为________．12．已知函数y=（k+1）x+k2-1，当k_______时，它是一次函数；当k______时，它是正比例函数．13．一次函数图象与y=6-x交于点A（5，k），且与直线y=2x-3无交点，则这个一次函数的解析式为y=________．14．已知函数y=3x+m与函数y=-3x+n交于点（a，16），则m+n=________．三、简答题15．已知一次函数y=x+m与反比例函数y=1mx+的图象在第一象限内的交点为P（x0，3）．（1）求x0的值；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．16．如图，正比例函数12y x=的图象与反比例函数kyx=(0)k≠在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知OAM∆的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA PB+最小.17．如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象交反比例函数42(0)m y x x-=>的图象于点A 、B ，交x 轴于点C ．(1)求m 的取值X 围；(2)若点A 的坐标是(2，－4)，且BC AB ＝13，求m 的值和一次函数的解析式．18、如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数y=的图象相交于A （2，3），B （﹣3，n ）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，求S △ABC ．19、如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．一次函数与反比例函数综合题型：专题11~5ABDBC 6~8 CCA9、一10、xy=-8 11、12 12、不等于-1；1 13、y=2x-9 14、32. 15．解：（1）x0=1，（2）y=x+2，y=．16解：（1）设点的坐标为（，），则.∴.∵,∴.∴.∴反比例函数的解析式为. ···················3分(2) 由得∴为（，）. ························4分设点关于轴的对称点为，则点的坐标为（，）.令直线的解析式为.∵为（，）∴∴∴的解析式为. ·························6分当时，.∴点为（，）. ······················7分17 解：(1)因为反比例函数的图象在第四象限，所以，解得．(2)因为点A(2，)在函数图象上，所以，解得．过点A、B分别作AM⊥OC于点M，BN⊥OC于点N，所以∠BNC=∠AMC=90°．又因为∠B=∠ACM，所以△B∽△ACM，所以．因为，所-以，即．因为AM=4，所以BN=1．所以点B的纵坐标是．因为点B在反比例函数的图象上，所以当时，．所以点B的坐标是(8．)．因为一次函数的图象过点A(2，)、B(8，)．∴，解得所以一次函数的解析式是．18解：（1）∵点A（2，3）在y=的图象上，∴m=6，∴反比例函数的解析式为：y=，∴n==﹣2，∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y=kx+b上，∴，解得：，∴一次函数的解析式为：y=x+1；（3）以BC为底，则BC边上的高为3+2=5，∴S△ABC=×2×5=5．。
中考一次函数与反比例函数[含答案]
反比例函数与一次函数综合题针对演练1. 已知正比例函数y ＝2x 的图象与反比例函数y ＝k x(k ≠0)在第一象限内的图象交于点A ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点P ，已知△OAP 的面积为1. (1)求反比例函数的解析式；(2)有一点B 的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x 轴上是否存在一点M ，使得MA ＋MB 最小若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2. 如图，反比例函数2y x=的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别为1、－2，一次函数图象与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D . (1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数2y x=，当y ＜－1时，写出x 的取值范围；(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝2S△OCA若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图3. 已知，如图，一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝nx(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点⊥x轴，垂足为D.若OB＝2OA＝3OD＝6.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式：kx＋b≤nx的解集．4. 如图，点A (－2，n )，B(1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y＝mx的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围；(3)若C 是x 轴上一动点，设t ＝CB －CA ，求t 的最大值，并求出此时点C 的坐标．第4题图5. 如图，直线y 1＝14x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y 2＝m x (x >0)的图象交于点P ，过点P 作PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC . (1)求点P 的坐标和反比例函数y 2的解析式； (2)请直接写出y 1>y 2时，x 的取值范围；(3)反比例函数y 2图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．第5题图6. 如图，直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，与y轴交于点B，并与双曲线y＝mx(x＜0)交于点A(－1，n)．(1)求直线与双曲线的解析式；(2)连接OA，求∠OAB的正弦值；(3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形△OAB相似若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由．第6题图7. 如图，直线y＝33x－3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝kx(k＞0)图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.(1)求点A的坐标；(2)若AE＝AC.①求k的值；②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称并说明理由．第7题图8. 如图，已知双曲线y＝kx经过点D(6，1)，点C是双曲线第三象限上的动点，过点C作CA⊥x轴，过点D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC.(1)求k的值；(2)若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；(3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由．第8题图9. 如图，点B 为双曲线y ＝kx(x ＞0)上一点，直线AB 平行于y 轴，交直线y ＝x于点A ，交x 轴于点D ，双曲线y ＝k x与直线y ＝x 交于点C ，若OB 2－AB 2＝4.(1)求k 的值；(2)点B 的横坐标为4时，求△ABC 的面积；(3)双曲线上是否存在点P ，使△APC ∽△AOD 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图答案1．解：(1)设A点的坐标为(x，y)，则OP＝x，PA＝y，∵△OAP的面积为1，∴12xy＝1，∴xy＝2，即k＝2，∴反比例函数的解析式为2yx；(2)存在，如解图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，此时MA＋MB最小，∵点B的横坐标为2，∴点B的纵坐标为y＝22＝1，即点B的坐标为（2,1）.又∵两个函数图象在第一象限交于A点，∴2 2xx=，解得x1＝1，x2＝－1(舍去)．∴y＝2，∴点A的坐标为(1，2)，∴点A关于x轴的对称点A′(1，－2)，设直线A′B的解析式为y＝kx＋b，代入A′(1，－2)，B(2，1)得，23,215k b kk b b+=-=⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩解得，∴直线A′B的解析式为y＝3x－5，令y＝0，得x＝53，∴直线y＝3x－5与x轴的交点为(53，0)，即点M的坐标为(53，0)．第1题解图2．解：(1)∵反比例函数y＝2x图象上的点A、B的横坐标分别为1、－2，∴点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(－2，－1)，∵点A (1，2)、B (－2，－1)在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，∴21,211k b k k b b +==⎧⎧⎨⎨-+=-=⎩⎩解得，∴一次函数的解析式为y ＝x ＋1；(2)由图象知，对于反比例函数2y x=，当y ＜－1时，x 的取值范围是－2＜x＜0；(3)存在．对于y ＝x ＋1，当y ＝0时，x ＝－1，当x ＝0时，y ＝1， ∴点D 的坐标为(－1，0)，点C 的坐标为(0，1)， 设点P (m ，n )，∵S △ODP ＝2S △OCA ，∴12×1×(－n )＝2×12×1×1，∴n ＝－2，∵点P (m ，－2)在反比例函数图象上，∴－2＝ 2m， ∴m ＝－1，∴点P 的坐标为(－1，－2)． 3．解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6， ∴OA ＝3，OD ＝2.∴A (3，0)，B (0，6)，D (－2，0)．将点A (3，0)和B (0，6)代入y ＝kx ＋b 得，302,66k b k b b +==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－2x ＋6. ……………………(3分) 将x ＝－2代入y ＝－2x ＋6，得y ＝－2×(－2)＋6＝10， ∴点C 的坐标为(－2，10)．将点C (－2，10)代入y ＝nx ，得10＝2n -，解得n ＝－20，∴反比例函数的解析式为20y x=-；………………………(5分) (2)将两个函数解析式组成方程组，得26,20y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩解得x 1＝－2，x 2＝5. ………………………………………(7分)将x ＝5代入204,y x=-=- ∴两函数图象的另一个交点坐标是(5，－4)； …………… (8分) (3)－2≤x＜0或x≥5. …………………………………… (10分)【解法提示】不等式kx ＋b ≤nx的解集，即是直线位于双曲线下方的部分所对应的自变量x 的取值范围，也就是－2≤x ＜0或x ≥5.4．解：(1)∵点A (－2，n )，B (1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝mx的图象的两个交点，∴m ＝－2，∴反比例函数解析式为2y x=-，∴n ＝1，∴点A (－2，1)，将点A (－2，1)，B (1，－2)代入y ＝kx ＋b ，得211,21k b k k b b -+==-⎧⎧⎨⎨+=-=-⎩⎩解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－x －1；(2)结合图象知：当－2＜x ＜0或x ＞1时，一次函数的值小于反比例函数的值；(3)如解图，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接BA ′延长交x 轴于点C ，则点C 即为所求，∵A (－2，1)， ∴A ′(－2，－1)，设直线A ′B 的解析式为y ＝mx ＋n ，1123,253m m n m n n ⎧=-⎪-=-+⎧⎪⎨⎨-=+⎩⎪=-⎪⎩解得， ∴y ＝－13x －53，令y＝0，得x＝－5，则C点坐标为(－5，0)，∴t的最大值为A′B＝（－2－1）2＋（－1＋2）2＝10.第4题解图5．解：(1)∵一次函数y1＝14x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴A(－4，0)，C(0，1)，又∵AC＝BC，CO⊥AB，∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2，∴点P的坐标为(4，2)，将点P(4，2)代入y2＝mx，得m＝8，∴反比例函数的解析式为y2＝8 x；(2)x>4；【解法提示】由图象可知，当y1＞y2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量x的取值范围是x＞4.(3)存在．假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如解图，连接DC 与PB交于点E，∵四边形BCPD为菱形，∴CE＝DE＝4，∴CD＝8，∴D点的坐标为(8，1)，将D(8，1)代入反比例函数8yx=，D点坐标满足函数关系式，即反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D点坐标为(8，1)．第5题解图6．解：(1)∵直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，∴把点C(4，0)代入y＝x＋b，得b＝－4，∴直线的解析式为y＝x－4，∵直线也过A点，∴把点A(－1，n)代入y＝x－4，得n＝－5，∴A(－1，－5)，将A(－1，－5)代入y＝mx(x＜0)，得m＝5，∴双曲线的解析式为5yx=；(2)如解图，过点O作OM⊥AC于点M，∵点B是直线y＝x－4与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝－4，∴点B(0，－4)，∴OC＝OB＝4，∴△OCB是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴在△OMB中，sin45°＝OMOB＝4OM，∴OM＝22，∵AO＝12＋52＝26，∴在△AOM中，sin∠OAB＝OMOA＝2226＝21313；第6题解图(3)存在．如解图，过点A作AN⊥y轴于点N，则AN＝1，BN＝1，∴AB＝12＋12＝2，∵OB＝OC＝4，∴BC＝42＋42＝42，又∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠OBA＝∠BCD＝135°，∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，∴OBBC＝BACD或OBDC＝BABC，即442＝2CD或4DC＝242，∴CD＝2或CD＝16，∵点C(4，0)，∴点D的坐标是(6，0)或(20，0)．7．解：(1)当y ＝0时，得0＝33x －3，解得x ＝3.∴点A 的坐标为(3，0)； ……………………………………(2分) (2)①如解图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F . 设AE ＝AC ＝t , 点E 的坐标是(3，t ).在Rt △AOB 中， tan ∠OAB ＝OB OA ＝33，∴∠OAB ＝30°.在Rt △ACF 中，∠CAF ＝30°，∴CF ＝12t ，AF ＝AC ·cos30°＝32t ，∴点C 的坐标是(3＋32t ，12t )．∵点C 、E 在y ＝kx 的图象上，∴(3＋32t )×12t ＝3t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝23，∴k ＝3t ＝63； …………………………………………… (5分) ②点E 与点D 关于原点O 成中心对称，理由如下： 由①知，点E 的坐标为(3，23)， 设点D 的坐标是(x ，33x －3)，∴x (33x －3)＝63，解得x 1＝6(舍去)，x 2＝－3， ∴点D 的坐标是(－3，－23)，∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称．…………………(8分)第7题解图8．解：(1)∵双曲线y ＝kx 经过点D (6，1)，∴6k ＝1，解得k ＝6；(2)设点C 到BD 的距离为h ，∵点D 的坐标为(6，1)，DB ⊥y 轴， ∴BD ＝6，∴S △BCD ＝12×6×h ＝12，解得h ＝4，∵点C 是双曲线第三象限上的动点，点D 的纵坐标为1，∴点C 的纵坐标为1－4＝－3，∴6x＝－3，解得x ＝－2，∴点C 的坐标为(－2，－3)，设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b ，则123,2612k b k k b b ⎧-+=-=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=-⎩解得，∴直线CD 的解析式为y ＝12x －2； (3)AB ∥CD .理由如下：∵CA ⊥x 轴，DB ⊥y 轴，点D 的坐标为(6，1)，设点C 的坐标为(c ，6c)，∴点A 、B 的坐标分别为A (c ，0)，B (0，1)， 设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ，则10,11mc n m c n n ⎧+==-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩解得，∴直线AB 的解析式为y ＝－1x c＋1，设直线CD 的解析式为y ＝ex ＋f ，则16,661e ec f cc c e f f c ⎧=-⎧⎪+=⎪⎪⎨⎨+⎪⎪+==⎩⎪⎩解得， ∴直线CD 的解析式为y ＝－1x c ＋6c c +，∵AB 、CD 的解析式中k 都等于1c-，∴AB 与CD 的位置关系是AB ∥CD . 9．解：(1)设D 点坐标为(a ，0)，∵AB ∥y 轴，点A 在直线y ＝x 上，B 为双曲线y ＝kx(x ＞0)上一点，∴A 点坐标为(a ，a )，B 点坐标为(a ，k a)，∴AB ＝a －k a ，BD ＝k a ，在Rt △OBD 中，OB 2＝BD 2＋OD 2＝(k a)2＋a 2，∵OB 2－AB 2＝4，∴(k a )2＋a 2－(a －k a)2＝4，∴k ＝2；(2)如解图，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，,2y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩联立2222x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩解得（舍去），∴C 点坐标为(2，2)， 第9题解图∵点B 的横坐标为4，∴A 点坐标为(4，4)，B 点坐标为(4，12)，∴AB ＝4－12＝72，CM ＝4－2，∴S △ABC ＝12CM ·AB ＝12×(4－2)×72 ＝7－724；(3)不存在，理由如下：若△APC ∽△AOD ，∵△AOD 为等腰直角三角形，∴△APC 为等腰直角三角形，∠ACP ＝90°，∴CM ＝12AP ，设P 点坐标为(a ，2a )，则A 点坐标为(a ，a )，∴AP ＝|a －2a|，∵C 点坐标为(2，2)，∴CM ＝|a －2|，∴|a －2|＝12|a －2a|，∴(a －2)2＝14×222(2)a a -，即(a －2)2＝14×222((a a a +⨯-，∴4a 2－(a ＋2)2＝0，解得a ＝2或a ＝－23(舍去)，∴P 点坐标为(2，2)，则此时点C 与点P 重合，所以不能构成三角形，故不存在．。
反比例函数与一次函数综合
反比例函数与一次函数综合1．如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数的图象交于A （﹣2，1），B （1，n ）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB 的面积；（3）直接写出0-≥+xm b kx 时x 的取值范围．2．如图，直线y ＝kx +b 与双曲线y ＝相交于A （1，2），B 两点，与x 轴相交于点 C （4，0）．（1）分别求直线AC 和双曲线对应的函数表达式；（2）连接OA ，OB ，求△AOB 的面积；（3）直接写出当x ＞0时，关于x 的不等式kx +b ＞的解集．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝的图象交于A （2，3）、B （﹣3，n ）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出不等式＞kx +b 的解集；（3）若P 是y 轴上一点，且满足△P AB 的面积是5，求点P 的坐标．4．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，与x轴交于点C（5，0），若OC＝AC，且S△OAC＝10．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）请直接写出不等式ax+b＞的解集．5．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于第一象限C（1，4），D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD（O是坐标原点）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）当ax+b＜时，直接写出x的取值范围．（3）将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？6.如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．7．如图，过原点O的直线与反比例函数（k≠0）的图象交于A（1，2），B两点，一次函数y2＝mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C（2，n）．（1）求反比例函数的解析式；（2）当y1＞y2时，根据图象直接写出x的取值范围；（3）在y轴上是否存在点M，使得△COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y＝的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值．9．柚子含有极为丰富的维生素，胡萝卜素，钙、钾、铁等微量元素，可以预防血栓、糖尿病．某超市从果农处进购柚子的成本价为3元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？10、在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．。
专题02 反比例函数与一次函数综合(解析版)
专题02 反比例函数与一次函数综合类型一、解不等式例．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形DOBC 是矩形，且D （0，4），B （6，0），若反比例函数y =1k x（x ＞0）的图象经过线段OC 的中点A ，交DC 于点E ，交BC 于点F ．设直线EF 的解析式为y =k 2x +b ．(1)求反比例函数和直线EF 的解析式；(2)求△OEF 的面积；(3)请直接写出不等式k 2x +b ﹣1k x＜0的解集．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点B 在y 轴正半轴上，点C 在x 轴负半轴上，且点C 的坐标为(2,0)-，30CBO Ð=°，将BCO D 沿着BC 翻折得到BCA D ，点O 的对应点A 恰好落在反比例函数m y x=的图象上，一次函数y kx b =+的图象经过点A ，C ．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)直接写出当0x >时，不等式0m kx b x+->的解集．【变式训练2】如图，一次函数()1y kx b k 0=+¹与反比例函数()2m y m 0x=¹的图像交于点()1,2A 和(),1B a -，与y 轴交于点M ．(1)求一次函数和反比例函数的解析式．(2)在x 轴上求一点N ，当ABN V 的面积为3时，则点N 的坐标为______．(3)将直线1y 向下平移2个单位后得到直线3y ，当函数值123y y y >>时，求x 的取值范围．类型二、交点问题例1．已知：如图1，点(4,)A n 是反比例函数8(0)y x x=>图象上的一点．(1)求n 的值和直线OA 的解析式；(2)如图2，将反比例函数8(0)y x x=>的图象绕原点O 逆时针旋转45°后，与y 轴交于点M ，求线段OM 的长度；(3)如图3，将直线OA 绕原点O 逆时针旋转45°，与反比例函数8(0)y x x =>的图象交于点B ，求点B 的坐标．例2．如图，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴负半轴，B 在x 轴正半轴，D 在第二象限，C 在第一象限，CD 交y 轴于点M ．△ABD 沿直线BD 翻转，A 点恰好落在y 轴的点E 处，BE 交CD 于点F ．EM ＝3，DM ＝4．双曲线过点C ．(1)分别求出直线BE 和双曲线的解析式；(2)把直线BE 向上平移n 个单位长度，平移后的直线与双曲线只有一个交点，求n 的值．∴CD y ^轴，∴在Rt DME V 中，2232345DE EM DM =+=+=．由折叠的性质可得5AD DE ==，BE =∵在矩形ABCD 中，BAD ABC Ð=Ð=Ð例3.在平面直角坐标系中，直线l：y＝32x与反比例函数y＝kx（x＞0）的图象交于点A（2，a）．(1)a＝，k＝；(2)横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P（m，n）为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交函数y＝kx（x＞0）的图象于点B，C．由线段PB，PC和函数y＝kx（x＞0）的图象在点B，C之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W．利用函数图象解决下列问题：①若PA＝OA，则区域W内有个整点；②若区域W内恰有5个整点，求m的取值范围．结合函数图象可知，区域W内有5个整点，故答案为：5；②当点P在点A下方时，如图，结合函数图象可知，当23≤m ＜1时，区域当点P 在点A 上方时，如图，结合函数图象可知，当103＜m ≤4时，区域综上所述：当103＜m ≤4或23≤m ＜1，区域【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，直线l 与反比例函数(0)ky x x =>的图像交于点A （a ，4－a ）点B（b ，4－b ），其中a b <，与坐标轴的交点分别是C 、D ．(1)求a b +的值；(2)求直线l 的函数表达式(3)若1a =，过点(0,)(0)P t t >作平行于x 轴的直线与直线AB 和反比例函数k y x =的图象分别交于点E 、F ．①当1EF £时，求t 的取值范围．②若线段EF 上横坐标为整数的点只有1个（不包括端点），直接写出t 的取值范围．类型三、定值、最值问题例1．如图1，在平面直角坐标系中，点()1,2A -绕原点顺时针旋转90°至点B ，恰好落在反比例函数k y x=的图像上，连接OA ，OB ，过点B 作BC x ^轴交于点C ，点(),P m n 是第一象限内双曲线上一动点．(1)求反比例函数的解析式；(2)若4POC PBC S S =△△，求P 的坐标；(3)如图2，连接PO 并延长交双曲线于(),C m n --，平面内有一点()1,2Q m n -+，PQ 与GA 的延长线交于点H ；①若2m =，求点H 的坐标；②当1m ¹时，记H 的坐标为(),a b ，试判断()()24a b +-是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由．则∠AHO =90°，∴∠HAO +∠AOH =90°∵BC ⊥x 轴，∴∠BCO =90°，例2．如图，一次函数(0)y kx b k =+>的图像与反比例函数8(0)y x x=>的图像交于点A ，与x 轴交于点B，与y 轴交于点C ，AD x ^轴于点D ，CB CD =，点C 关于直线AD 的对称点为点E ．(1)点E 是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；(2)连接AE 、DE ，若四边形ACDE 为正方形．①求k 、b 的值；②若点P 在y 轴上，当PE PB -最大时，求点P 的坐标．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，有函数13y x=（0x >），2k y x =（0k <，0x >），36y kx =+．(1)若2y 与3y 相交于点()2A m ，①求k 与m 的值；②结合图像，直接写出23y y <时x 的取值范围；(2)在x 轴上有一点(),0P a 且0a >，过点P 作y 轴平行线，分别交1y 、2y 、3y 于点B 、C 、D ，经计算发现，不论k 取何值，BC BD -的值均为定值，请求出此定值和点B 的坐标．【答案】(1)①m 的值为-2，k 的值为-4．②0＜x ＜2．(2)BC BD -=6，点B 的坐标为（1，3）【变式训练2】将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也V为此一次称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么ABO函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）．(1)如果点C 在x 轴上，将ABC V 沿着直线AB 翻折，使点C 落在点()0,18D 上，求直线BC 的坐标三角形的面积；(2)如果一次函数y =kx -7的坐标三角形的周长是21，求k 值；(3)在（1）（2）条件下，如果点E 的坐标是()0,8，直线AB 上有一点P ，使得PDE △周长最小，且点P 正好落在某一个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的解析式．。
专题22反比例函数与一次函数综合类选择题精炼(原卷版)
2023年中考数学以三种题型出现必考（难点）压轴题27个小微专题精炼 专题22 反比例函数与一次函数综合类选择题精炼1. 一次函数1y ax =+与反比例函数a y x=-在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 2. 在同一平面直角坐标系中，函数1y kx =+与k y x=- （k 为常数且0k ≠）的图象大致是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，则y kx b =-+与b y x=的图象为（ ）A. B. C. D.4．一次函数y ＝ax+b 与反比列函数y ＝的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2+bx+c 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5. 如图，函数1y x =+与函数22y x=的图象相交于点()()1,,2,M m N n -．若12y y >，则x 的取值范围 是（ ）A ．2x <-或01x <<B ．2x <-或1x >C ．20x -<<或01x <<D ．20x -<<或1x > 6. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x 与反比例函数y ＝4x（x ＞0）的图象交于点A ，将直线y ＝x 沿y 轴向上平移b 个单位长度，交y 轴于点B ，交反比例函数图象于点C ．若OA ＝2BC ，则b 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数443y x =+的图象与x 轴、y 轴分别相交于点B ，点A ，以线段AB 为边作正方形ABCD ，且点C 在反比例函数(0)k y x x =<的图象上，则k 的值为（ ） A ．12- B ．42- C ．42 D ．21-8．如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k 1x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B ，连接B0．若S △OBC =1，tan∠BOC=，则k 2的值是（ ）A ．﹣3B ．1C ．2D ．39．如图，直线3y x =-+与y 轴交于点A ，与反比例函数k y x =（0k ≠）的图象交于点C ，过点C 作CB ⊥x 轴于点B ，AO =3BO ，则反比例函数的解析式为（ ）A ．4y x =B ．4y x =-C ．2y x =D ．2y x=- 10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边BC 与x 轴平行，A ，B 两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y ＝经过A ，B 两点，若菱形ABCD 面积为8，则k 值为（ ）A．﹣8B．﹣2C．﹣8 D．﹣611. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（k＞0，x ＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（）A．B．C．2 D．3。