10.1压杆稳定的概念
压杆稳定专家讲座
固定，长度系数2=0.5，惯性半径
iy
Iy A
hb3 /12 bh
b 40 11.5 mm 12 12
则柔度
2
2l
iy
0.5 2.3 11.5 103
100
27
因为1>2，所以该杆将在xy平面内失稳。该
杆属于细长杆，可用欧拉公式计算其临界力。
Fc r
2EIz ( 1l ) 2
2Ebh3 /12 ( 1l ) 2
b
a
b
b
满足此条件旳杆件称为中柔度杆或中长压杆。
* < s旳压杆称为小柔度杆或短粗杆，属强度 破坏，其临界应力为极限应力。
32
2. 抛物线公式
cr u a2
式中，a 是与材料力学性能有关旳常数。 例如钢构造设计规范对小柔度杆提出了如下抛 物线型近似公式 ：
cr
f
1
1
c2 Biblioteka ( c ) ；第十章 压杆稳定
§10−1 压杆稳定旳概念 粗短压杆——强度破坏 低碳钢短柱：屈服破坏； 铸铁短柱：断裂破坏；
细长压杆——失稳破坏
s或 b
1
2
桁架构造
3
失稳破坏
4
稳定性：指构件或体系保持其原有平衡状态旳能力。 失 稳：指构件或体系丧失原始平衡状态旳稳定性，
由稳定平衡状态转变为不稳定状态。
两重性——既可在直线状态保持平衡，又可
在微弯状态维持平衡。
临界（压）力：压杆处于临界平衡状态时所受旳
Fcr
轴向压力。
或 使压杆保持直线状态平衡旳最大
轴向压力。
或 使压杆失稳旳最小轴向压力。
9
其他形式旳构件也存在稳定性问题：
第十章压杆稳定52298
我国根据自己的试验资料归纳出如下的
临界应力经验公式：
A、直线公式：
B、抛物线公式：
lj =ab
lj =ab2
式中为压杆的细长比，a、b为与材料有关的常数。
例如：
A3钢： lj =3041.12
lj =2350.006682
16锰钢： lj =4602.57
lj =3430.01422
4
桁架吊索式公路桥
5
塔式吊索式公路桥
6
7
压杆的工程实例
• 千斤鼎
• 发动机连杆
8
• 由于受压杆件失稳后将丧失继续承受原设计载荷的 能力，并且失稳现象又常常是突然发生的，所以结构 中受压构件的失稳常常造成严重的后果，甚至导致整 个结构的倒塌。
• 例如，1907年北美魁比克圣劳伦斯河上一座500多米 长的钢桥在施工修建过程中突然倒塌，1916年再次倒 塌，都是由于其桁架中的受压杆件失稳造成的。
235 D
C 134
A
lj= 2E
C
2
力
总
B
图
0
C=123
•界•分对应界A力3点钢和之制临所成界以的力取压，杆当C=，12当3，C=而12C不3=1是时23按时C经=按10验0欧，公拉是式公因计式为算计欧。算拉临公 式是以理想的中心压杆导出的，与实际之间存在着差28异。
抛
物
线 公
16 锰
lj
Plj =
n22EI L2
(n=0, 1, 2, ……)
式中若 n=0，则 Plj=0，这与讨论
的前提不符，并且n应取不为零的
最小值，即应取 n=1，所以
Plj
=
2EI L2
(12-1)
第10章 压杆稳定
EIw M x Fcr w
(a)
(a)
(b)
10
EIw M x Fcr w
(a)
令k2=Fcr /EI，将挠曲线近似微分方程(a)改写成
w k 2 w 0
该二阶常系数线性微分方程(b)的通解为
w A sin kx B cos kx
长度系数μ
p 2 EI
l2
16
=1
0.7
=0.5
=2
=1
0.5l
思考： 图a，b所示细长 中心压杆均与基础刚性连接， 但图a所示杆的基础置于弹性地
基上，图b所示杆的基础则置于
刚性地基上。试问两压杆的临 π 2 EImin 界力是否均为 Fcr ？ 2 2l 为什么？并由此判断压杆的长 度因数 是否可能大于2。
17
[例1]如图所示细长压杆的两端为球形铰，弹性模量E=200GPa， 截面形状(1)圆形截面，d=50mm；（2）16号工字钢。杆长为 l=2m，试用欧拉公式计算其临界荷载。 解：
p 2 EI p 3 Ed 4 （1）圆形截面杆 Fcr 2 64l 2 l
1
p 3 200109 54 108
在xz面
y 1l
iy
1l
Iy A
1l
b
0.5 3 51.96 12 0.1 12
在xy面
z 2l
iz
2l
Iz A
2l
2b 12
23 103.92 2 0.1 12
z y
杆若失稳，将发生在xy面
(2)判定该压杆是否可用欧拉公式求临界力
第十章 压杆稳定
第 十 章 压杆稳定§10−1 压杆稳定的概念一、压杆稳定性的概念1、下面先以小球为例介绍平衡的的三种状态：如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置，当干扰消除以后，它能够回到原有的平衡位置，这种平衡状态称为稳定平衡状态，如图10–1a 所示；如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置，当干扰消除以后，它不能够回到原有的平衡位置，但能够在附近新的位置维持平衡，原有的平衡状态称为随遇平衡状态，如图10–1b 所示；如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置，当干扰消除以后，它不但不能回到原有的平衡位置，而且继续离去，那么原有的平衡状态称为不稳定平衡状态，如图10–1c2、压杆稳定性的概念 细长直杆两端受轴向压力作用，向压力作用，杆件处于直线形状下的平衡。
为判断平衡的稳定性，可以加一横向干扰力，使杆件发生微小的弯曲变形（图10–2a ），然后撤消此横向干扰力。
当轴向压力较小时，撤消横向干扰力后杆件能够恢复到原来的直线平衡状态（图10–2b ），则原有的平衡状态是稳定平衡状态；当轴向压力增大到一定值时，撤消横向干扰力后杆件不能再恢复到原来的直线平衡状态（图10–2c ），则原有的平衡状态是不稳定平衡状态。
压杆由稳定平衡过度到不稳定平衡时所受轴向压力的临界值称为临界压力，或简称临界力，用F c r 表示。
当F =F c r 时，压杆处于稳定平衡与不稳定平衡的临界状态，称为临界平衡状态，这种状态的特点是：不受横向干扰时，压杆可在直线位置保持平衡；若受微小横向干扰并将干扰撤消后，压杆又可在微弯位置维持平衡，因此临界平衡状态具有两重性。
压杆处于不稳定平衡状态时，称为丧失稳定性，简称为失稳。
显然结构中的受压杆件绝不允许失稳。
图 10−1(b)除压杆外，还有很多其它形式的工程构件同样存在稳定性问题，例如薄壁杆件的扭转与弯曲、薄壁容器承受外压以及薄拱等问题都存在稳定性问题，在图10−3中列举了几种薄壁结构的失稳现象。
材料力学笔记之——压杆稳定概念、欧拉公式
材料力学笔记之——压杆稳定概念、欧拉公式压杆稳定的概念构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。
稳定性是指构件在外力作用下保持其原有平衡状态的能力（受压直杆在压力作用下，保持原有直线平衡状态的能力）。
受轴向压力的细长杆，当压力超过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯，致使结构丧失承载能力，平衡形式的突然变化称为稳定失效，简称失稳或屈曲。
工程中的柱、桁架中的压杆、薄壳结构在压力作用下，都可能发生失稳。
构件的失稳往往是突然发生的，造成的事故往往是灾难性的。
因构件失稳而引起的重大事故，1907年加拿大劳伦斯河上，跨长五百多米的魁北克大桥，因压杆失稳而导致整座大桥倒塌，两次事故造成88人遇难。
倒塌的魁北克大桥魁北克大桥稳定失稳造成的事故现在仍时有发生，2000年10月25日，南京电视台演播中心工地，在施工浇筑混凝土中，因脚手架失稳，造成演播厅屋盖模板倒塌事故，部分施工人员被压，35人被送往医院抢救和治疗，并有5人死亡。
因此，稳定问题在工程设计中占有重要地位。
下端固定、上端自由的杆件如上图 (a) 所示，下端固定、上端自由的杆件，受到压力F 作用。
当载荷小于某一个临界力Fcr，如图(b) 所示，杆件若受到某种微小干扰力f 作用下，使杆件发生微小弯曲变形，杆件偏离直线平衡位置，当撤除干扰力后，杆件又回到原来的直线平衡位置。
当压力F等于临界力Fcr时，杆件可以保持原有的直线平衡状态，受到微小干扰力f作用下，杆件发生微小弯曲变形，但是当撤除干扰力后，杆件不再回到直线平衡位置，而是保持微小弯曲变形的平衡状态，如图 (c) 所示。
但当压力F超过临界力Fcr时，在干扰力作用下，杆件不再回到直线平衡位置，载荷稍大于临界力，就足以使杆产生很大的挠度。
当F≥Fcr 时，原有的直线平衡形式是不稳定的。
使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，简称为临界力，用Fcr表示。
压杆的稳定性
19
解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为： N 1 = P cosθ ， N 2 = P sin θ
两杆的临界压力分别为： π 2E I π 2E I Pc r 1 = ， Pc r 2 = 2 l1 l2 2 要使P最大，只有N 1 、N 2 都达
θ
①
到临界压力，即 π 2E I P cosθ = 2
5
钢板尺： 钢板尺：一端固定 一端自由
实际上， 钢尺就被压弯。可见， 实际上，当压力不到 40N 时，钢尺就被压弯。可见， 钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度， 钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度， 有关。 而是与 受压时变弯 有关。
6
一、稳定性的概念
稳定性就是系统自身抵抗干扰保持某一平衡状态的能力. 稳定性就是系统自身抵抗干扰保持某一平衡状态的能力.
五、其它失稳问题
受外压的柱体、壳体，工字梁的腹板等受压构件。 受外压的柱体、壳体，工字梁的腹板等受压构件。
10
§10–2 细长压杆的临界压力 10 2
一、两端铰支压杆的临界力
1、确定Pcr Pcr的基本思想 压杆保持微小弯曲平衡时的最小压力即为临界压力。 压杆保持微小弯曲平衡时的最小压力即为临界压力。 因此由微小弯曲状态去分析临界压力
临界力
= 269×10 N = 269kN
3
12
三、欧拉公式的普遍形式
π 2 EI P = cr (µL)2
µ—长度系数（或约束系数）。 长度系数（或约束系数）
四、不同支座条件的长度系数 µ
1.一端固定、 1.一端固定、一端自由µ=2； =2； 一端固定 2.两端铰支 =1； 2.两端铰支µ=1； 3.一端固定、 3.一端固定、一端铰支µ=0.7； =0.7； 一端固定 4.两端固定 4.两端固定µ=0.5 。
压杆·稳定性
=
2 ，因为 h＞b ，则 I y
=
hb3 12
＜ bh3 12
=
Iz ，由式（10.3）得
Pcr
=
π 2 EI (μl)2
=
π2
× (200 ×103
MPa) × ( 1 × 40 mm × (20 12
(2 ×1000 mm)2
mm)3 ) ≈13200
N
= 13.2
kN
10.2.2 临界应力
当压杆受临界压力作用而维持其不稳定直线平衡时，横截面上的压应力仍然可按轴向压
10.3.2 临界应力经验公式与临界应力总图
在工程实际中，常见压杆的柔度λ 往往小于 λp ，即 λ＜λp ，这样的压杆横截面上的应力 已超过材料的比例极限，属于弹塑性稳定问题。这类压杆的临界应力可通过解析方法求得， 但通常采用经验公式进行计算。常见的经验公式有直线公式与抛物线公式等，这里仅介绍直 线公式。把临界应力 σcr 与柔度λ 表示为下列直线关系称为直线公式。
式中，λ 称为压杆的柔度或长细比，为无量纲量，它综合反映了压杆的长度、约束形式及截 面几何性质对临界应力的影响。于是，式（10.4）中的临界应力可以改写为
·219·
材料力学
σ cr
=
π2E λ2
式（10.6）是欧拉公式（10.3）的另一种表达形式，两者并无实质性差别。
（10.6）
10.3 欧拉公式的适用范围·临界应力总图·直线公式
2
≤σ
p
或
λ≥π E σp
（10.7）
令
于是条件式（10.7），可以写成
λP = π
E σp
（10.8）
λ ≥ λp
（10.9）
压杆稳定的概念
二、压杆的失稳12-2 细长压杆临界力公式——欧拉公式一、两端钝支细长压杆的j l P令： EI K j =则： Y K Y ⋅-=即： 02=⋅+''Y K Y此微分方程的通解：Y=C ；kx C kx cos sin 2+ ——（1） 边界条件： 当X=0， 02=C ， kx C Y sin 1= ——（2） 又杆上端边界条件：X=l 代入（2）式kl sin 0=——（3） 若要使（3）式成立必有1C 或0sin =kl 方可。
如果 01=C 式就不成立，所以必定是0sin =kl πn kl =当 ππππn kl 3,2,,0=时，0sin =kl 得 ln EI P K jl π==又得 222l EI n P j l π= n=1 时， 2min2l EI P j l π=——临界力欧拉公式j l P ——临界力min I ——截面z I 、y I 选小值l ——杆长二、其他支座j l P()2min25.0l EI P j l π= u=0.5三、临界应力()()()2222min22min2r ul EAul EI Aul EI AP lj l j πππσ====——（1）式中： AI r min= ——截面的回转半径λ=rul——压杆的长细比 （1）式可成： 22λπσEjl =12-3 临界应力总图目的： 了解临界应力适应范围 关键是看懂j l σ总图一、临界应力的公式的适用范围（因为挠曲线近似微分方程只在材料服从虎克定律的前提下成立，即在材料不超过比例极限时成立，而j l P 又是通过挠曲线微分方程推倒出来的故p l j σσ≤）P l E jσλπσ≤=22 即： P p EE σπσπλ=≥2 即只有当λ大于或等于极限值p p Eσπλ=时 22λπσEjl *=方成立。
那么j l σ适用的范围总：p λλ≥ 如：钢 100≥p λ 铸铁 80≥p λ 木材 100≥p λ二、超过p σ后压杆的临界应力⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21c l j λλασσ ——经验公式其中： s σ——材料的屈服极限 α——系数 0.43 Sc Eσπλ57.0=例： S A 钢： cmkgs 2400=σ 26102cm kgE ⨯=20715.02400λσ-=j l三、j l σ总图总图：p l j σσ≤和p l j σσ>的图形， j l σλ-曲线图12-4 压杆稳定计算一、压杆的稳定条件： []σϕσ≤=APjj l l K P P ≤其中j l P 压杆的临界力jl K 稳定安全系数，随λ变化比例强度安全系数K 的实际作用在杆上的应力则： []j jjj j l l l l l K K A P A Pσσσ==*≤=其中σ为实际杆内力[]j l σ为稳定许用应力稳定条件：[]j l σσ≤ []jjj l ll K σσ=，[]Kσσ=[]︒*=∴σσσKK JJJ L LL ，[][]σϕσ= 其中 ϕ 为折减系数，可查表 又[]σϕσ≤=∴AP说明：（1）式中j l σ总小于︒σ，()︒<σσj l ；k K j l > 故ϕ是小于1的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
压杆的而过 屈 曲 渡到不稳定平衡状态的现象 (buckling)
压杆的 临界压力
——压杆由(直线)稳定平衡过渡到微 弯不稳定平衡的压力临界值（Fcr ）
注意： 临界压力是压杆所具有的维持稳定平 衡能力的一个力学指标。
压杆失稳的实例
1.1907年加拿大在圣劳伦斯河架奎 伯克桥时，由于悬臂桁架中的一根压杆 失稳，造成桥梁倒塌，9000吨钢材变成 一堆废墟。
2.1922年冬天下大雪，美国华盛 顿尼克尔卜克尔剧院由于屋顶结 构中的一根压杆超载失稳，造成 剧院倒塌，死98人，伤100余人。
3.2000年10月25日 上午10时30分，在南京 电视台演播中心演播厅 屋顶的浇筑混凝土施工 中，因脚手架失稳，造 成演播厅屋顶模板倒塌， 死5人，伤35人。
第十章 压杆的稳定
§10-1 压杆稳定的概念
不稳定平衡
微小扰动就使小球远离原 来的平衡位置
11-1
稳定平衡
微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置
F
F
F'
F<Fcr
F=Fcr
F>Fcr
F
F
F
F
F
稳 定 平 衡——压杆 能 恢复到原(直线)状态的平衡 不稳定平衡——压杆不能恢复到原(直线)状态的平衡