第十三章 压杆稳定
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压杆稳定(工程力学课件)
压杆稳定的概念
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
材料力学-压杆稳定
欧拉公式是针对着两端铰支的情况推得的。
Pcr
2 EI
l2
此时若杆件横截面不同时 ，取 I I m in ，弯曲发生在抗弯 能力最弱的平面内。称最小刚度平面。 对于其他约束条件，常数 c1, c2 , k 由约束条件确定，经推导得： 两端铰支： 1 微弯曲线为正弦半波形状 2 EI 一端固定一端自由： 2 微弯曲线为半个正弦半波 pcr 2 ( l ) 两端固定： 0.5 一端固定一端铰支： 0.7
n0 p 0
不符合情况
n 1 pcr
2 EI
l2
这就是确定两端铰支压杆临界载荷的 欧拉公式，其临界力称欧拉临界力。它 与抗弯刚度EI成正比，与杆长L2成反比。 这公式只适用于弹性稳定问题
7
此时挠度
n y ( x) c1 sin k x c1 sin x l x y ( x) c1 sin (0 x l ) 正弦半波形 l
10
§13-5
临界应力与柔度、三类不同的压杆
杆件尺寸不同，其失稳的形式也不同。P335 对于“细长”杆：发生弹性失稳的可能性较大。 ---“弹性屈曲” 对于“粗短”杆：发生材料屈服的可能性较大。 ---“屈服” 对于“中长”杆：有可能发生失稳，但其临界应力已超过比例极 限， 局部区域已进入塑性。 ----“弹塑性屈曲” 怎样区分三类不同的压杆？即多长的杆会发生弹性屈曲、屈服 、弹—塑性屈服？下面引入“柔度”概念。 临界应力 cr ： Pcr cr
3
当纵向力P较小时，可看到扰动除去后，杆经若干次振动 而恢复原来的直线形式，即表明此时压杆直线形式的弹性平衡 是稳定的。 当总向力P较大时，可看到扰动除去后，杆不能恢复原来 的直线形式，而且继续弯曲，最后转入新的稳定平衡形式。即 曲线形式或由于弯曲太甚而杆被折断，此表明原来的弹性平衡 不稳定。 这说明：当压力大于一定数值时，压杆存在两种可能的平衡 形式。即直线和弯曲的平衡形式。但直线形式是不稳定的。而 压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转变称为“失稳”或“ 弯曲”。 那么当压力多大时，直线平衡形式不稳定（被破坏）？
Pcr
2 EI
l2
此时若杆件横截面不同时 ，取 I I m in ，弯曲发生在抗弯 能力最弱的平面内。称最小刚度平面。 对于其他约束条件，常数 c1, c2 , k 由约束条件确定，经推导得： 两端铰支： 1 微弯曲线为正弦半波形状 2 EI 一端固定一端自由： 2 微弯曲线为半个正弦半波 pcr 2 ( l ) 两端固定： 0.5 一端固定一端铰支： 0.7
n0 p 0
不符合情况
n 1 pcr
2 EI
l2
这就是确定两端铰支压杆临界载荷的 欧拉公式，其临界力称欧拉临界力。它 与抗弯刚度EI成正比，与杆长L2成反比。 这公式只适用于弹性稳定问题
7
此时挠度
n y ( x) c1 sin k x c1 sin x l x y ( x) c1 sin (0 x l ) 正弦半波形 l
10
§13-5
临界应力与柔度、三类不同的压杆
杆件尺寸不同，其失稳的形式也不同。P335 对于“细长”杆：发生弹性失稳的可能性较大。 ---“弹性屈曲” 对于“粗短”杆：发生材料屈服的可能性较大。 ---“屈服” 对于“中长”杆：有可能发生失稳，但其临界应力已超过比例极 限， 局部区域已进入塑性。 ----“弹塑性屈曲” 怎样区分三类不同的压杆？即多长的杆会发生弹性屈曲、屈服 、弹—塑性屈服？下面引入“柔度”概念。 临界应力 cr ： Pcr cr
3
当纵向力P较小时，可看到扰动除去后，杆经若干次振动 而恢复原来的直线形式，即表明此时压杆直线形式的弹性平衡 是稳定的。 当总向力P较大时，可看到扰动除去后，杆不能恢复原来 的直线形式，而且继续弯曲，最后转入新的稳定平衡形式。即 曲线形式或由于弯曲太甚而杆被折断，此表明原来的弹性平衡 不稳定。 这说明：当压力大于一定数值时，压杆存在两种可能的平衡 形式。即直线和弯曲的平衡形式。但直线形式是不稳定的。而 压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转变称为“失稳”或“ 弯曲”。 那么当压力多大时，直线平衡形式不稳定（被破坏）？
压杆稳定教学课件PPT
P
cr
2E 2
细长压杆。
粗短杆 中柔度杆
o
s
大柔度杆
P
l
i
粗短杆 中长杆 细长杆
细长杆—发生弹性屈曲 (p) 中长杆—发生弹塑性屈曲 (s < p) 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服 (< s)
四、注意问题：
1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。
2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时， 其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。
小球平衡的三种状态
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
受压直杆平衡的三种形式
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
电子式万能试
验机上的压杆稳定 实验
工程项目的 压杆稳定试验
§9-2 细长压杆临界压力的欧拉公式 一、两端铰支细长压杆的临界载荷
当达到临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡
1.287
91(kN)
例：图示立柱，L=6m，由两根10号槽型A3钢组成，下端固定，上 端为球铰支座，p 100 ，试 a=？时，截面最为合理。并求立柱的 临界压力最大值为多少？
解：1、对于单个10号槽钢，形心在C1点。 A1 12.74cm2, z0 1.52cm, Iz1 198.3cm4, I y1 25.6cm4.
细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯
曲变形而使结构丧失工作能力，并非因强度不
够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态
(a)
(b) 所致。这种现象称为失稳。
1907年加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥 （倒塌前正在进行悬臂法架设中跨施工）
材料力学第十三章压杆稳定ppt课件
2
11010 1 120 903 1012 12
1 32
该杆为中长杆。
σcr = 10.3MPa
79.9kN
Fcr = 111.5 kN
例2. 一压杆长l =2m，截面为10号工字钢，材料为Q 235钢， σs=235MPa，E =206GPa， σp =200MPa。压杆两端为柱 形铰，试求压杆的Fcr。
cos kl 0, kl n
2
, n 1,3,5...
Fcr
2EI
2l 2
Me x Fcr
l
w
x
2)、两端固定： M x Me Fcrw
EIw Me Fcr w
w kw k 2 M e Fcr
w Asin kx B cos kx M e Fcr
x 0, w 0, w 0; x l, w 0, w 0
cr a b, Fcr cr A
a、b为与材料有关的常数，单位：MPa。
适用范围： σP＜σ cr ＜σ u
或 λP＞λ ＞λ u
当λ≤λ u时，压杆为小柔度杆或短粗杆。短粗杆的破 坏是强度破坏。
显然， λ u是中柔度杆与短粗杆的分界值。
令σ cr = σ u得：
u
a
b
u
四、临界应力总图
（1） λ≥λP，大柔度杆，
Fcr
w Asin kx B cos kx F0 l x
Fcr
x
F0
Me
Fcr
x 0, w 0, w 0; x l, w 0;
A F0 , B F0l
kFcr
Fcr
w
F0 Fcr
1 k
sin kx l cos kx l
x
材料力学之压杆稳定课件
变形量等，绘制 压力与变形关系曲线。
分析实验数据，得出压 杆的临界压力和失稳形式。
实验结果分析
分析压杆在不同压力 下的变形情况，判断 压杆的稳定性。
总结临界压力与失稳 形式的规律，为实际 工程应用提供依据。
对比不同长度、直径、 材料等因素对压杆稳 定性的影响。
总结词
机械装置中的压杆在承受载荷时，其稳 定性对于机械的正常运转和安全性至关 重要。
VS
详细描述
在机械装置中，如压力机、压缩机等，压 杆是重要的承载元件。通过材料力学的方 法，可以分析压杆的稳定性，确定其临界 载荷和失稳模式，从而优化机械装置的设 计，提高其稳定性和安全性。
05
压杆稳定的应用与发展
工程实例二：建筑压杆
总结词
建筑压杆在高层建筑、大跨度结构等建筑中广泛应用，其稳定性是保证建筑安全的重要 因素。
详细描述
高层建筑和大跨度结构的稳定性分析中，建筑压杆的稳定性分析占据重要地位。通过材 料力学的方法，可以对建筑压杆的承载能力和稳定性进行精确计算，从而为建筑设计提
供可靠的支持。
工程实例三：机械装置压杆
数值模拟
随着计算机技术的发展，数值模 拟方法在压杆稳定性分析中得到 广泛应用，能够更精确地预测结
构的稳定性。
材料性能研究
新型材料的不断涌现，对压杆稳定 性的影响也日益受到关注，相关研 究正在不断深入。
多因素耦合分析
在实际工程中，多种因素如载荷、 温度、腐蚀等会对压杆稳定性产生 影响，因此需要开展多因素耦合分析。
欧拉公式是由瑞士科学家欧拉提出的一个公式，用于计算等截面直杆的临界应力。 根据欧拉公式，临界应力只与压杆的材料性质和截面形状有关，而与压杆的长度 和外载大小无关。
稳定性校核
分析实验数据，得出压 杆的临界压力和失稳形式。
实验结果分析
分析压杆在不同压力 下的变形情况，判断 压杆的稳定性。
总结临界压力与失稳 形式的规律，为实际 工程应用提供依据。
对比不同长度、直径、 材料等因素对压杆稳 定性的影响。
总结词
机械装置中的压杆在承受载荷时，其稳 定性对于机械的正常运转和安全性至关 重要。
VS
详细描述
在机械装置中，如压力机、压缩机等，压 杆是重要的承载元件。通过材料力学的方 法，可以分析压杆的稳定性，确定其临界 载荷和失稳模式，从而优化机械装置的设 计，提高其稳定性和安全性。
05
压杆稳定的应用与发展
工程实例二：建筑压杆
总结词
建筑压杆在高层建筑、大跨度结构等建筑中广泛应用，其稳定性是保证建筑安全的重要 因素。
详细描述
高层建筑和大跨度结构的稳定性分析中，建筑压杆的稳定性分析占据重要地位。通过材 料力学的方法，可以对建筑压杆的承载能力和稳定性进行精确计算，从而为建筑设计提
供可靠的支持。
工程实例三：机械装置压杆
数值模拟
随着计算机技术的发展，数值模 拟方法在压杆稳定性分析中得到 广泛应用，能够更精确地预测结
构的稳定性。
材料性能研究
新型材料的不断涌现，对压杆稳定 性的影响也日益受到关注，相关研 究正在不断深入。
多因素耦合分析
在实际工程中，多种因素如载荷、 温度、腐蚀等会对压杆稳定性产生 影响，因此需要开展多因素耦合分析。
欧拉公式是由瑞士科学家欧拉提出的一个公式，用于计算等截面直杆的临界应力。 根据欧拉公式，临界应力只与压杆的材料性质和截面形状有关，而与压杆的长度 和外载大小无关。
稳定性校核
第十三章压杆的稳定性
(a)
(b)
7
§ 13-2
细长压杆的临界力
w A sin kx B cos kx (c)
将边界条件x=0，w=0代入式(c)得 B=0。于是根据(c)式并利用边界条件 x=l，w=0得到
A sin kl 0
由于B=0，故上式中的A不可能等于零，则
sin kl 0
w
解得：kl 0，π, 2π，
φ28 800 C
P=30kN
1
μ1l1 0.5 900 75 i1 6 s 1 P
解： 1.根据已知条件求 s ,P cr1 304 1.12 75 220MPa
a - s 304 - 240 s 57.1 b 1.12
3
§ 13-1
压杆稳定性的概念
2. 理想中心杆件 1. 压杆轴线是理想直线即无初弯曲， 2. 压力作用线与轴线完全重合， 3. 材料是绝对均匀的。
二、失稳（屈曲）
压杆丧失其直线平衡而过渡到曲线平衡，
称为丧失稳定性，简称失稳或屈曲。
4
§ 13-1
压杆稳定性的概念
F<Fcr
F=Fcr
F>Fcr
Fcr：临界压力
F 30 103 2 48.72MPa A2 p 282 4
24
§ 13-4
压杆的稳定性计算
作业：P1076； P10916 思考：P11017； P11018
25
§ 13-4
压杆的稳定性计算
答疑通知
地点：工科二号楼A424（力学系）
时间：17周的周二下午两点；
26
§ 13-4
P=30kN
n2
第十三章-压杆稳定知识讲解
第十三章压杆稳定
1基本概念及知识要点
1.1基本概念
理想受压直杆、理想受压直杆稳定性、屈曲、临界压力。
1.2临界压力
细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。
1.3稳定计算
为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算：
稳定计算要求掌握安全系数法。
解析方法：稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。临界压力根据柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。
3典型问题解析
3.1临界压力
例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图13－1所示，面积均为3.2×103mm2，截面尺寸分别为(1)、b=40mm、(2)、a=56.5mm、(3)、d=63.8mm、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm。若已知材料的E=200GPa，σs=235MPa，σcr=304－1.12λ，λp=100，λs=61.4，试计算各杆的临界荷载。
解题指导：
1．计算压杆的临界压力时，需要综合考虑压杆的材料、约束、长度、惯性半径，即需要首先计算压杆的柔度，根据柔度值，代入相应的公式计算压杆的临界压力。当
λ＞λP时压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力；
λs<λ<λP时压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力；
λ<λs时压杆为短粗杆，压杆将首先发生强度破坏。
压杆的柔度
iy=iz=i
由于
所以，λ＞λP压杆为大柔度杆
用欧拉公式计算临界压力
例题13.4所示工字钢直杆在温度t1=20℃时安装，此时杆不受力，已知杆长l=6m，材料的λP=132,E= 200GPa，线膨胀系数α=12.5×10-6/℃。试问当温度升高到多少度时杆将失稳。
1基本概念及知识要点
1.1基本概念
理想受压直杆、理想受压直杆稳定性、屈曲、临界压力。
1.2临界压力
细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。
1.3稳定计算
为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算：
稳定计算要求掌握安全系数法。
解析方法：稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。临界压力根据柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。
3典型问题解析
3.1临界压力
例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图13－1所示，面积均为3.2×103mm2，截面尺寸分别为(1)、b=40mm、(2)、a=56.5mm、(3)、d=63.8mm、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm。若已知材料的E=200GPa，σs=235MPa，σcr=304－1.12λ，λp=100，λs=61.4，试计算各杆的临界荷载。
解题指导：
1．计算压杆的临界压力时，需要综合考虑压杆的材料、约束、长度、惯性半径，即需要首先计算压杆的柔度，根据柔度值，代入相应的公式计算压杆的临界压力。当
λ＞λP时压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力；
λs<λ<λP时压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力；
λ<λs时压杆为短粗杆，压杆将首先发生强度破坏。
压杆的柔度
iy=iz=i
由于
所以，λ＞λP压杆为大柔度杆
用欧拉公式计算临界压力
例题13.4所示工字钢直杆在温度t1=20℃时安装，此时杆不受力，已知杆长l=6m，材料的λP=132,E= 200GPa，线膨胀系数α=12.5×10-6/℃。试问当温度升高到多少度时杆将失稳。
压杆稳定
178第二十三章 压杆稳定一、 内容提要1、稳定的概念压杆的稳定性：压杆保持初始直线平衡状态的能力。
压杆的失稳：压杆丧失直线形状的平衡状态。
临界载荷：保持压杆稳定平衡时杆件所能承受的最大外力。
2、临界应力的计算大柔度杆（ ）中柔度杆（ ）小柔度杆（ ） 说明：(1)压杆的临界应力在稳定问题中相当于强度问题中的极限应力，是确定稳定许用应力的依据。
(2)一种材料的极限应力是由材料本身的性质决定的。
压杆的临界应力除决定于材料外，还与杆的柔度有关，(3)根据 的值判断压杆的类别（大柔度杆、中柔度杆或小柔度杆），选用相应的计算临界力的公式。
3、压杆的稳定计算压杆的稳定性条件其中 安全系数法折减系数法说明(1)与强度问题类似，稳定计算也存在三方面的问题：稳定校核、截面设计、计算许可载荷。
（2）杆件丧失稳定是一种整体性行为，横截面的局部削弱对稳定的临界应力影响不大，因此在稳定计算时采用横截面的毛面积。
二、 基本要求1. 明确稳定平衡、不稳定平衡和临界载荷的概念，理解两端铰支压杆临界载荷公式的推导过程。
2. 理解长度系数的力学意义，熟练掌握四种常见的约束形式下细长压杆的临界载荷的计算。
p s λλλ≤≤p λλ>s λλ<22λπσE cr =λσb a cr -=scr σσ=λ[]crA N σσ≤=[]w crcr n σσ=[][]σϕσ=cr1793. 明确压杆柔度、临界应力和临界应力总图的概念，熟练掌握大柔度、中柔度和小柔度三类压杆的判别方法及其临界载荷的计算和稳定性的校核方法。
4. 了解根据压杆稳定性条件设计杆件截面的折减系数法。
5. 了解提高压杆稳定性的主要措施。
三、 典型例题分析例1 三根圆截面压杆直径均为 ，材料为 钢， MPa b 12.1=)， ， ， , 两端均为铰支，长度分别为 且 , 试计算各杆的临界力。
解 （1）有关数据（2）计算各杆的临界力1杆 属大柔度杆2杆 属中柔度杆3杆属小柔度杆mm d 160=MPa E5102⨯=MPa p 200=σMPa s 240=σ,,,321l l l m l l l 542321===,304(MPa a =3A 2222210202.016.044mm d A -⨯==⨯==ππ45441022.316.06464md I -⨯=⨯==ππm d i 04.0416.04===1=μ10010200102611=⨯⨯==πσπλpp E5712.1240304=-=-=ba ss σλ10012504.05111=>=⨯==p il λμλKNl EIP cr 2540)(212==μπ5.6204.05.2122=⨯==il μλMPab a cr 2342=-=λσKNA P cr cr 46801021023426=⨯⨯⨯=⋅=-σ2.3104.025.1133=⨯==il μλ180例2 截面为 的矩形木柱，长 ， 。
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临界力为
Fccrr21c2Er A77c.r1Md4P2a 151KN
压杆2为中柔度杆，对于Q235钢，a=310MPa,b=1.24MPa，临界应力为
临界力为
σcr
Fcr
crA cr
d 2 4
414 KN
压杆3为小柔度杆，因为Q235钢为塑性材料，故其临界应力为
临界力为
σcr
Fcr
sA s
d 2 4
➢ 合理选择截面形状 应该选择Iz=Iy的截面，使压杆在各个平面内的稳定性相同。
➢ 减小压杆长度 在条件允许时，应尽量减小压杆的长度或在压杆中间增加支座。
➢ 改善支承条件 压杆与其他构件连接时，应尽可能制作成刚性连接或采用较紧 密的配合。
习题参考解答或提示
2EI ( l ) 2
μ——压杆的长度因数
➢ 杆端约束情况的简化
焊接或铆接
螺母和丝杠连接
柱形铰约束
对于与坚实的基础固结成一体的柱脚，可简化为固定端。
§13－3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力
➢ 临界应力的欧拉公式
cr
2E 2
i——压杆横截面的惯性半径，单位为mm； λ——压杆的柔度,无量纲，柔度越大,则临界应力越小,压 杆越容易失稳。
解 (1)计算各压杆的柔度 因压杆两端为铰链支承,查表得长度系数μ=1。圆形截 面对y轴和z轴的惯性矩相等,均为故圆形截Βιβλιοθήκη 的惯性半径为各压杆的柔度分别为
(2) 计算各压杆的临界应力和临界力
对于Q235钢λ p=100， λ s=60。对于压杆1,其柔度λ 1=160> λ p，所以压杆 1为大柔度杆，临界应力用欧拉公式计算。
压杆的临界力越大，稳定性越强
§13－2 临界力和临界应力
➢ 理想压杆的临界力
由于临界力也认为是压杆处于微弯平 衡状态，当挠度趋向于零时承受的压力。 因此，对一般截面形状、载荷及支座情况 不复杂的细长压杆，可根据压杆处于微弯 平衡状态下的挠曲线近似微分方程式进行 求解，这一方法称为静力法。
1. 两端铰支压杆的临界力
cr
2E 2
cr a b
（3）对于小柔度杆（ λ≤λp ）， 材料为塑性材料时，σcr= σs 材料为脆性材料时， σcr= σby
例13-1 如图所示,用Q235钢制成的三根压杆,两端均为铰链支承,
横截面为圆形，直径d=50mm，长度分别为l1=2m， l2=1m， l3=0.5m，材料的弹性模量E=200GPa，屈服点σs=235MPa，求三 根压杆的临界应力和临界力。
Fcr
2 EI l2
EI ——压杆的抗弯刚度。 l ——压杆的长度，单位为mm。
欧拉公式表明：
1）压杆的临界力与其抗弯刚度成正比
2）压杆的临界力与压杆长度的平方成正比
3）压杆的临界力与压杆的支承情况有关，压杆两端的支 承越牢固，压杆抵抗弯曲变形的能力越强,临界力越大。
2.其他约束情况下压杆的临界力
Fcr
(2)计算临界力Fcr。因为λz >λp，故压杆最先在xy面内失稳。按λz计算临 界应力，因λz >λp，即压杆在xy面内是细长压杆，可用欧拉公式计算 其临界压力，得
(3) 确定该压杆的许用压力F。由稳定条件可得压杆的许用压力F为
§13－5 提高压杆稳定性的措施
➢ 合理选择材料 对于大柔度杆，宜选用普通钢材。 对于中柔度杆，选用高强度钢。
两端用柱销联接。设联接部分配合精密。已知l=2300mm， b=40mm，h=60mm，E=206GPa，λp=100，规定稳定安全因数 [nW]= 4，试确定该压杆的许用压力F。
解(1)计算柔度λ。在xy平面，压杆两端可简化为铰支μxy=l，则 在xz平面，压杆两端可简化为固定端,μxz=0.5，则
压杆的临界压力取决于整个杆件的弯曲刚度。 但在工程实际中, 压杆局部有截面削弱的情况, 在确定临界压力 或临界应力时，此时可以不考虑杆件局部截面削弱的影响, 仍按 未削弱的截面面积、最小惯性矩和惯性半径等进行计算。但对这 类杆件,还需对削弱的截面进行强度校核。
例13-3 如图所示为一根Q235A钢制成的矩形截面压杆AB，A、B
Iy<Iz,所以压杆的横截面必定绕着y轴转动而失稳
截面对y轴的惯性半径为
得压杆的柔度为
(2)计算临界应力和临界力 对于Q235钢λ p=100，则λ > λ p，故临界应力用欧拉公式计算。 σcr
临界力为 Fcr cr A 40.3KN
§13－4 压杆的稳定性计算
压杆稳定计算，通常采用安全系数法。为了保证压杆不失
第十三章 压杆稳定
主要内容：
压杆稳定的概念及失稳分析 临界力和临界应力 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力 压杆的稳定性计算 提高压杆稳定性的措施
§13－1 压杆稳定的概念及失稳分析
➢ 压杆稳定的概念
压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称为压杆的稳定性；反之， 压杆丧失其原有直线平衡状态而破坏的现象，称为压杆的失稳。
➢ 中、小柔度杆临界应力的计算
λ ≤ λp的压杆称为小柔度杆或短粗杆
小柔度杆的临界应力按其制作材料不同分为两种情况：
对塑性材料
cr s
对脆性材料 cr by
λs ≤ λ ≤ λp的压杆称为中柔度杆
中柔度杆临界应力的计算，通常采用建立在实验基础上的经验公式
cr a b
归纳：
（1）对于大柔度杆（ λ≥λp ），用欧拉公式计算
条形钢板的失稳
机械中的细长压杆
➢ 压杆失稳分析
对于细长压杆,其直线平 衡状态是否稳定,与轴向 压力F的大小有关。当压 力为某一数值FQ时,压杆 处于稳定的直线平衡状 态和不稳定的直线平衡 状态之间，这一状态称 为临界状态
压杆的失稳过程
压杆处于临界状态的压力值，称为压杆的临界压力，简称临界力， 用符号F1j表示
压杆越细长、支承情况越不牢固、横截 面尺寸越小则柔度越大,临界应力越小
➢ 欧拉公式的适用范围
λp为临界应力等于材料比例极限时的柔度，是允许应用欧拉公式 的最小柔度值 例如：Q235钢，其弹性模量E=200GPa，比例极限σp =200MPa， 则λp值为
对于Q235钢制成的压杆,当其柔度λ≥100时，才能应用欧拉公式。 λ ≥ λp的压杆称为大柔度杆或细长杆,其临界力或临界应力可用欧拉 公式计算。
461KN
例13-2 如图所示,一长度l=750mm的压杆,两端固定,横 截面为矩形,尺寸如图。压杆的材料为Q235钢,其弹性 模量E=200GPa，计算压杆的临界应力和临界力
解 (1)计算压杆的柔度 压杆两端固定，查表得长度系 数μ= 0.5。矩形截面对y轴和z轴 的惯性矩分别为
I y hb3 12 2880mm4 Iz hb3 12 8000mm4
稳，并具有一定的稳定储备，压杆的稳定条件可表示为
n=Fcr/F=σcr/σ≥[nW]
Fcr—压杆的临界压力 F —压杆的工作压力 N —压杆工作安全系数 σcr —压杆的临界应力 σ —压杆的工作压应力 [nW] —规定的稳定安全系数,它表示要求受 压杆件必须达到的稳定储备程度。
几种常用零件稳定安全系数的参考值