高数a第二章习题答案

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高等数学测试及答案(第二章)

【解析】 .
20.设，求 .
【解析】因为，
所以 .
21.设
【解析】对等式两边同时求微分，可得，，
即，故 .
22.（8分）求曲线在处的切线方程和法线方程
【解析】因为，所以 .当时，x= ，， .
.
23.求由方程所确定的隐函数的二阶导数
【解析】对x求导，可得，，即 .
再对x求导，得 .
24.设函数，适当选择的值，使得在处可导
【解析】因为在处可导，则， .即 .
又知，，即 .
25.若，其中为可微函数，求
【解析】因为，对x求导可得，，即 .
四.证明题
26.设在点处连续，且 (A为常数)，证明在点处可导.
【证明】因为，则 .又因为在点处连续，所以 .于是 ,故在点处可导，且 .
高பைடு நூலகம்数学测试（第二章）
一．选择题（每小题２分，共20分）
1．设函数在处（）A．不连续B．连续但不可导C．可导D．可微
2．设函数在处可导，且，则等于（）A．1 B． C． D．
3．设函数在点处可导，则等于（）
A．0B． C． D．
4．设，，则（）
A． B． C． D．
5．设函数在内可导，则下列结论中正确的是（）
23.（5分）求由方程所确定的隐函数的二阶导数 .
24.（7分）设函数，适当选择的值，使得在处可导.
25.（8分）若，其中为可微函数，求 .
四.证明题（共10分）
26.（10分）设在点处连续，且 (A为常数)，证明在点处可导.
答案：
一.选择题1—5 BBCCA 6—10BBCAD

高数练习与答案第二章

第二章极限与连续例1 对于数列}{n x ，若)(,),(,212∞→→∞→→-k a x k a x k k ，证明 )(,∞→→n a x n 证明：,0>∀ε因为),(,12∞→→-k a x k 所以存在正整数1K ，当1K k >时，有ε<--||12a x k （1）因为),(,2∞→→k a x k 所以存在正整数2K ，当2K k >时，有ε<-||2a x k （2）取}2,12m ax {21K K N -=，则当N n >时，（1）、（2）同时成立。

若1112},12{K K N n k n >-≥>-∈，ε<-||a x n 若222},2{K K N n k n >≥>∈，ε<-||a x n 所以,0>∀ε,N ∃当N n >时，ε<-||a x n 成立，由定义得 )(,∞→→n a x n 。

例 2 设Λ,,21x x 是使不等式),2,1(,41)1(,101Λ=>-<<+n x x x n n n 成立的任何实数，证明：.21lim =∞→n n x 证明：因为,41)1(,≤-∈∀x x R x 因此,)1()1(1+-<-n n n n x x x x 又由 1<n x 知，,01>-n x 所以,1+<n n x x 故数列}{n x 单调递增维向量有上界1,故n n x ∞→lim 存在。

设,lim a x n n =∞→则由41)1(1>-+n n x x 知，a 必满足,41)1(≥-a a 于是必有,21=a 即.21lim =∞→n n x例3 .][lim nnx n ∞→解：因为,][nx nx nx ≤<-1即,][x nnx n x ≤<-1由夹逼定理可得.][lim x nnx n =∞→例4 .!!limn p np n ∑=∞→1解：因为 ,!)!1(2!)!1()!2)(2(!!1n n n n n n p n np +-<+-+--<<∑=所以 ,!)!(!!11211+-<<∑=n n n p np .!!lim 11=∑=∞→n p np n例5 利用定义证明34lim 5=+→x x 。

高等数学A(二)(答案及得分详解)

高等数学A （二）带答案一、单项选择题（每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B B A A D B C C BA 得分1、设三个向量,,a b c 满足关系式0a b c ++= ，则a b ⨯= （）。

(A) c b ⨯ (B) b c ⨯ (C) a c ⨯ (D) b a ⨯2、函数()22,y x y x f +=在点)2,1(处沿向量→l =（）的方向导数最大。

(A) )2,1( (B) )4,2( (C) )4,4( (D) )2,2(3、函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数都存在且连续是()y x f ,在该点处可微的（）条件。

(A) 充分 (B) 必要 (C) 充分必要 (D) 既不充分也不必要4、空间曲线3,1,1t z tt y t t x =+=+=在对应于1=t 的点处的切线方程是（）。

(A) 12142121-=--=-z y x (B) 121411-=--=z y x (C) 02184=-+-z y x (D) 0284=++-z y x 5、取}01),({22>≤+=x y x y x D ，，则下面二重积分中其值为0的是（）。

(A) ()σd y x D ⎰⎰+22 (B) ()σd xy x D⎰⎰+23(C) ()σd y x D ⎰⎰+33 (D) σd y x D ⎰⎰sin cos6、()=+⎰ds y x L22（），其中L 为圆周222=+y x 。

(A) π2- (B) π24 (C) 238π (D) 17、设曲面∑为上半球面2222x y z R ++=0)z ≥（，曲面1∑是曲面∑第一卦限的部分，则下面等式成立的是（）。

(A) 14xdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(B)14ydS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (C) 14zdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(D) 14xyzdS xyzdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 8、下列级数中，绝对收敛的是（）。

高等数学第二章答案

高等数学第二章答案【篇一：高等数学第二章复习题及答案】>第二章一、填空题f(a?x)?f(a?x)?x?0xf(3?h)?f(3)?2、设f?(3)?2，则lim。

h?0______________2h1、设f(x)在x?a可导，则lim。

3、设f(x)?e，则limh?0?1xf(2?h)?f(2)?。

_____________hcosx?,f?(x0)?2,(0?x0?)，则f(x0)?。

_______________________1?sinx2dy?5、已知x2y?y2x?2?0，则当经x＝1、y＝1时，。

dx_______________4、已知f(x)?6、f(x)?xex，则f???(ln2)?_______________。

__________7、如果y?ax(a?0)是y?x2?1的切线，则a?。

8、若f(x)为奇函数，f?(x0)?1且，则f?(?x0)?9、f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?n)，则f?(0)?10、y?ln(1?3?x)，则y??11、设f?(x0)??1，则limx?0______________________________________________________。

x。

?___________f(x0?2x)?f(x0?x)_________________________12、设x?y?tany，则dy?。

13、设y?y???(0)?。

_______________14、设函数y?f(x)由方程xy?2lnx?y4所确定，则曲线y?f(x)在点（1，1）处的切线方程是______________________。

1???xcos15、f(x)??x??0_______________________x?0x?0。

，其导数在x?0处连续，则?的取值范围是16、知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切，则b2可以通过a表示为二、选择题。

高数(高等教育出版社)第一版,第二章习题详解参考

第二章习题解答参考习题2-11．设f (x )=8 x，试按定义求 f (1) ．解2．设f1xf 1lim8 1x 8．f (1)= lim8x 0x x0x2bx c ，其中 a, b, c 为常数.按定义求 f (x ) ．f (x )= ax解f xf x x f x= limxx022a x xb x xc ax cbx limxx02 ax x a x2 b x2 ax b ．limxx03．证明(sin x ) = cos x ．证设 f x sin x ，则 f x x f x sin x x sin x 2 cosx x x sin222 cos xsinxf x x f x x2f x lim 2limx x x0x0sin xx2lim cos x cos x，2x2x0所以(sin x ) = cos x ．4．下列说法可否作为 f ( x )在 x 0可导的定义？f (x0 h ) f ( x 0h )（ 1）limh 存在；h 0解不能．因为从极限式中不能判断 f x0存在，也不能判断lim f ( xh ) f (x)存在．h0h例如 f x x 在x0 点不可导，但lim f (0h ) f (0 h)h hlim0h 0h h0h却存在．（ 2）lim f (x 0h)f (x)和lim f (x0h )f(x)存在且相等；h0h h 0h解可以．因为 lim f (x0h ) f ( x0 )f x0，hh0lim f ( x0h ) f ( x0 ) f ( x0h ) f ( x0)f x0，根据导数存在的充要h lim hh 0h0条件，可知 f x存在．5．求下列函数的导数：（ 1）y x 5；（2）y1；（3）x232（ 4）y log1x；（5）y x x；（6）3x 5解（1）y 5 x 5 1 5 x 4；y x37x ；y lg x ．（2）（3）（4）1131y x 22；x2 2 x x221522 x2 7x；y x 722x 777y11；1x ln 3x ln3（5）（6）2511512y x 32x66x 66；56x 1y．x ln 106．已知物体的运动规律为s t 3(米)，求这物体在 t2 (秒)时的速度．解因为 s t3， v ds3t 2，所以 t 2 时，v 2 3 2212 ．dt7．如果 f ( x )为偶函数，且 f (0)存在，证明 f (0)=0．证因为 f(0)=lim f x f 0，而 f ( x ) 为偶函数，故 f (x ) f ( x) ，x0x所以 f (0)limf x f0f xf 0，0lim f (0)x x x 0x所以 f (0)=0．8．抛物线y x 2在哪一点的切线平行于直线y 4 x 5 ？在哪一点的切线垂直于直线 2 x 6 y50 ？解由 y x2，可得 y 2 x ，若切点为x0 , x 02，则依题设 2 x 0 4 ，即 x0 2时，切线平行于直线11 ，即 x03y 4 x 5 ； 2 x0时，切线垂直于直线322 x 6 y 50；所以抛物线切线垂直于直线y x2 在点 2 , 4 的切线平行于直线y 4 x 5 ？在点3,9的242 x 6 y 50 ．9．在抛物线y x 2上取横坐标为x1 1 及 x2 3 的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解由题设可知 y 2 x，所取的两点为 1,1， 3, 9 ，连接两点的直线斜率为 k 4 ，依题设，应有 2 x 4 ，即 x 2 ，所以所求点为2, 4．10. 如果y f x在点4, 3处的切线过点0, 2 ，求 f4．解依题设，曲线在点4, 3处的切线为 y3f4x 4 ，满足 2 3 f404，从而f 41．411．讨论下列函数在x0 处的连续性与可导性：x21x0,（1）y3 x ；（2）ysin,x0 ,x0.解（ 1）因为lim 3 x0y0 ，所以 y 3 x在 x0 点连续，x03x1，所以 y3 x 在 x0 点不可导；而 limx lim2x 0xx 321（2）因为 limx 2 s in 1y 0 ，所以 yx sin x,x0, 在 x0 点连续，xx0 ,x0.211x sin12,x 0,又 limx0 ，所以 yx sinx 在 x0 点可导．lim x sinx 0 xxx0 ,x 0.12．设 f (x )=sin x , x 0在 x0 处可导，求 a, b 的值．axb , x 0解因为 f (x )=sin x , x0 处可导， axb , x在 x所以 lim f ( x)f0 ，且 ff，x 0又 limf ( x )0 ， limf ( x )b ， fb ，故 b0 ， f0 ，x 0x从而 f 0lim fxf 0 lim sin x1 ，xxxx 0flimf xf 0limaxa ，所以 a1 ．xxx 0x 0213．已知 f ( x)x , x 0，求 f (0)， f(0) 和 f (0)．x, x2f ( x)f 0x 2解因为 f ( x) x , x ，所以 f (0)limlim0 ，x, xxxx 0x 0f (0)f ( x)f 0 limx 1 ，所以 f(0) 不存在．limxxxx14．设函数 f ( x)=x 3 ,x 0 ，求 f (x ) ．3xx ,解当 x 0 时， f ( x )3 x 2 ，当 x 0 时， f ( x)3 x 2 ，当 x0 时， f (0)limf xf 0limx 3 0 ，xxxx 0f (0)lim f xf 0limx 3 0 ，所以 f(0)0 ，xxxx 02 所以 f(x )=3 x , x 0 ．3 x 2 , x 015．设所给的函数可导，证明：（1）奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数；（2）周期函数的导函数仍是周期函数．证（1）设 f x 为奇函数，则 fxfx ，而 ff xh f x，xlimhh 0fxlim fx hfxf x hf xhlimhhhf xhf xf x hfxx，limhlimhfhh 0所以 fx为偶函数；相似地，若 f x 为偶函数，则 fx f x，于是f xlimfxh fxfxhf xhlimhhh0lim f xhf xfx，所以 fx为奇函数．hh0（2）设 fx为周期函数，则存在 T ，使 f x Tf x，则fx Tf x Thf x Tf x hf xfx ，limhlimhhh所以 fx也是以 T 为周期的周期函数．16．设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为x ．于是分布在区间 [0, x ] 上细棒的质量 m 是 x 的函数 mm ( x ) ．应怎样确定细棒在点 x 0 处的线密度（对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫这细棒的线密度）?解设在 x 0 处的线密度为 x 0，给 x 0 以 x 的增量，则在区间 [ x 0 , x 0x ] 上细棒的平均线密度为m x 0x m x 0，x故x 0m x 0x m x 0mx 0 ．limxx 017．证明：双曲线 xy a 2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2 a 2 ．222证由 xya 2可得 y a , x 0 ，于是 ya2 , x 0 ，若切点为x 0 ,a ，x 0xx则该点处的切线为ya 2a 2 xx 0 ，它与两坐标轴的交点分别为2 x 0 , 0，x 0x 02220, 2 a，所以所求三角形的面积为 S 12 x 02a2 a 2 ．x 02x 018．设函数 f (x ) 在 x 0 处可导，试讨论函数 | f (x ) | 在 x 0 处的可导性．解因为函数 f(x ) 在 x0 处可导，所以 limf ( x)f 0f0 存在，xx而 fx 0 limf ( x)fxx，故x（1）若f ( 0 )f ( x)f 0f0 可知：f ( x ) f，其中xxxl i mx f，x，从而 f ( x )此时 fxlim x flimx f，x 0xxxx 0因此 | f ( x) | 在 x 0 点的左导数为f 0，右导数为 f，所以 |f ( x) | 在 x0 处可导的充要条件是 f 00 ；（ 2）若 f (0)0 ，设 f (0)0 ，则 lim f ( x)f 00 ，由保号性定理，0 ，x当 x U 0,时， f x0 ，此时有 ff ( x)f 0f ( x )f 0x x 0limxlimxf，相似地，x 0x若 f (0)0 ，则 limf ( x)f 00 ，由保号性定理，0 ，当 xU 0,时，xf ( x)f 0f ( x )f 0f x0 ，此时有 fxx 0limxlimxf；xx 0总之，若 f ( x) 在 x 0处可导，则当 f (0)0 时， | f (x ) | 在 x 0 处可导；当f (0) 0时，| f (x ) | 在 x 0处可导的充要条件是 f 00 ．习题2-21．求下列函数的导数：（1）（3）（5）（7）y 3cos2 x ；（ 2） y 3 x4cos2 x ；（4） 2e y 3e4 x1 ；（ 6） y1；（ 8）xln xy4sin(3 t1) ；y( x 1) 5 ；yx；21x y(x 2x1)( x 1) 3 ；2ln x x 3（9） yx 3 e x sin x ；（ 10） y 2 ．3ln x x解（ 1） y3 sin 2 x 2 x3 sin2 x 2 6 sin2 x；（ 2） y 4 cos(3 t1) 3t 1 12 cos(3 t1) ；（ 3）（ 4）y 2e 3 x 3 x4 sin 2 x 2 x 6e 3 x 8 sin 2 x ；y5( x 1) 4 x1 5( x1)4 ；（ 5）（ 6）（ 7）y3e 4 x 4 x12e 4 x ；1 2x2 xxx 21y2 1；221 x1 21 xxln x1xln xxlnx 1yx；222xln xxln xxln x（ 8） y32x 1) 3( x 2222 x 2；2 x 1 ( x 1)( x1)( x 1) 5 x（ 9） y2x3 x3x 2xx sin xx cos x；3 x e sin x x e sin xx e cos x x e3sin x2 23ln x233 2 xx 3 xx2ln x xx x 9 x 4 ln x x42 （ 10）y3 x2 xx 2 223ln x3ln xx 22．证明：（ 1） (cot x)csc 2 x；（） (csc x )csc xcot x．2证（1）(cot x )cos x sin x sin x2cos x cos x csc2x ；sin x sin x（2）(csc x)1cos x1cos xcsc x cot x ．2sin x sin xsin x sin x3．证明：（ 1）(arccos x )1；（2）(arccot x)1．221x1 x证（1）设y arccos x ，则其反函数为 x cos y ， y2,2，由于 x sin y ，由反函数求导法则，arccos x111；sin y12y12cos x（2）设y arc cot x ，则其反函数为 x cot y ， y0,，由于 x csc 2y ，由反函数求导法则，arccos x111．csc212y12y cot x4．求下列函数在给定点处的导数：2（1）y 2 cos x 3 sin x ，求y xπ ；（2）y32x，求 f (2) ．4x3解（1）因为y 2 sin x 3 cos x ，所以y xπ4ππ522 sin3 cos；442212 x22 x，所以 y2 2 210 ．（2）因为y232x 223x3x33233 5．写出曲线y 2 x1与 x 轴交点处的切线方程．2 x解令 y0 ，得曲线 y 2 x1与 x 轴交点为1, 0和1, 0，2 x22而 y21，所以 y1 4 ，222 x所以所求切线有两条，方程分别为y 4 x 2 ， y 4 x2．6．求下列函数的导数：（ 1）y(2 x 23) 5；（2）y sin (5 2 x 2 ) ；（ 3）（ 5）（ 7）（ 9）y e 3 x 22 x 1 ；（4） y sin ( x 2 ) ；y cos 2 x ；（6） y a 2x 2 ；y arctane x ；（8） y ( arccos x ) 2 ； yln sin x ；（10） ylog a (x 31) ．解（1） y5 (2 x 23) 4 (2 x 2 3)20 x (2 x 2 3)4；（ 2） ycos(5 2 x 2 ) (52 x 2 )4 x cos(5 2 x 2 ) ；（ 3） y e 3 x 23 x 26 x 2 e 3 x22 x 12 x 12 x 1；（ 4） y cos( x 2 ) ( x 2 ) 2 x cos( x2) ；（ 5） y 2 cos x cos x2 cos x sin xsin 2 x；（ 6） y1222 xx；2 a 2x 2a x2 a 2 x 2a 2x 21x（ 7） y2exe2 x；e x11 e（ 8）（ 9）y2(arccos x)(arccos x)2(arccos x)12 arccos x ；122x1 xy1 cos x cot x ；sin xxsin xsin12（ 10） y33 x．3 1) ln a ( x 1)( x 31) ln a ( x7．求下列函数的导数：（1）（3）（5）（7）（9）yarccos (1 2 x) ；（ 2） y y1ln x ；（4） y1ln xysin n x cos nx ；（ 6） yy e arctan x；（8） yy1 x 1 x ；（10）1 x1 xarcsin 1 ；x ln (xx 2a 2 ) ；1 sin2 x ； 1 sin 2 xln ln ( ln x) ；y arccot1 tan x ．2 2解（ 1） y121；(1 2 x )221 (12 x)x 1 x1 (12 x )（ 2）（ 3）y1 1 x 1x ；1x2x 222111xxx2x1 1ln x 1 lnx1x x2y22；1 ln xx 1 ln x12 x122122（ 4） yx2 x a ；2 2xa2xx22 2xaxaxa（ 5） yn sin n1xsin xcos nxsin n xsin nx nxn1cos x cos nxsin x sin nxn sin n 1 x cos n 1x；n sin x（ 6） y11 sin2 x1sin 2 x1 sin2 x2sin 2 x112 cos 2 x 1sin 2 x1 sin2 x 2 cos 2 x1 sin2 x1sin 2 x 22sin 2 x112 cos 2 x2 cos 2 x； 1 sin 2 x 1sin 2 x 1 sin 2 xcos 2 x 1sin 2 x（ 7）（ 8）（ 9）arctan xarctan xarctanx1 y ee1 xx1 ln ( ln x)1 1y x ) ln ( ln x) ln xln ( lnln xarctanxe；2 1 xx1；x ln x ln ( ln x)111 x1x1x112 1 x 2 1 x1 x2 1 x 2 1 xy21 x1x1 x 1 x21 x1 x 121x2；221 x 1 x1 x 1 x1 x 1 x（ 10）y11x41 2 x x1x2tan22sec2 122x2 tan24tan222xsec21．2x4tanx1223 cos28．设f ( x )1cos x ,x0，求 f x．ln (1 x )x cos x ,x0sin x,x0解当 x0 时， f (x )1cos x x sin x ,x0，1x2x x当 x 0 时，f(0)1cos x0lim 2 sin2lim sin x sin20 ，lim x x2xx0x0x02ln1x x cos x01f (0)lim ln1x cos x ln e 10 ，lim x xx0x0sin x ,x0所以 f00，从而 f(x )1cos x x sin x, x ．1x0 9．求函数y( sin x ) cos x 的导函数．解法 1因为y( sin x ) cos x e cos x ln sin x ，所以 y e cos x lnsin x cos x ln sin x sin xcos xsin x ln sin x cos xcosxsin xsin x sin x ln sin x2x ．cos xcossin x解法 2对数求导法，由 y( sin x) cos x，得 ln y cos x ln ( sin x ) ，两边同时对 x 求导，得ysin x ln sin x cos xcos x，y sin x所以 y sin x sin x ln sin x cos2x．cos xsin x10．设f(x )sin x ， (x )x3，求 f [(x )] ， f[(x )] ， { f [(x )]}．解因为 f (x )sin x ， ( x) x 3 ，所以 f ( x)cos x ，(x ) 3 x2，所以 f [( x)] f 3 x 2 sin 3 x 2 ，f [( x )]cos( x )cos x 3，{ f [ ( x)]} sin x 3 cos x 3 x 3 3 x 2 cos x 3 .11．设 f ( x) 存在，求下列函数的导数：（ 1） f n (cos x ) ；（ 2） cos n [ f ( x)] ．解（1） nn 1(cos x)f (cos x )n 1f (cos x)nf nf(cos x ) f (cos x) cos xn sin xfn 1(cos x ) f (cos x ) ；（2） cos n [ f (x)]n cos n 1 [ f ( x)] cos [ f (x )]n cos n 1 [ f (x)] sin [ f ( x)] f xn 1[ f (x )] fx ．n sin [ f ( x)] cos12. 求曲线 f x 2 sin x sin2所有具有水平切线的点．x解因为 fx2 cos x 2 sin x cos x ，令 fx0 ，得 cos x 1sin x0 ，于是 cos x 0 ，或 sin x1 ，推得 x k, k Z ，或 x 2k3Z ，2, k2所以所求的点为2 k, 3 ，2k3 1 ，其中 k Z ．,22习题2-31．求下列函数的二阶导数：（1）（3）ye3 x 5；（2） y 2x ln x ；（4） sinye t sin t；y tan x ；（5） yln( x4 x 2 ) ；（） y (1 x 2 ) arctan x．6解（ 1） y 3e 3 x 5 ， y9e 3 x 5 ；（2） yetsin t e t cos t e t cos t sin t，yetsin te tsin t cos t2etcos tcos t ；2（3） y2 sin x cos x ln xsin 2 x 1ln xsin 2 xsin x ，xxsin 2 x2sin x cos xx sin2y ln x 2 cos 2 x xxx22 sin 2 x22 x ln xsin x ；x 2 cosx 2（4）（5）22 sec x sec x tan x2ysec x ， y2 sec x tan x ；112 x1y，x4 22 4x 24 2xx13xy4x 222 x；2423x（6） y2 x arctan x1 ， y2 arctan xx．21x2． y x 3 e x，求 y ( 5 )(0)．解设 u x 3 ， v e x，则 u3 x 2 ， u 6 x ， u6 ， u n 0, n 4 ； v ne x , n N ，代入莱布尼兹公式，得y ( 5 )u 5 v5 u 4 v 10 u v10 u v5u v 4uv 510 6e x10 6 xe x5 3 x 2e xx 3 e x ，所以(5 )60．y (0)3． yx 2 e 2 x ，求 y ( 20 ) ．解设 ux 2 ， v e 2 x ，则 u2 x ， u2 ， u n0,n 3 ； v n2 n e 2 x , n N，20181920代入莱布尼兹公式，得y ( 20 )C 20k u nkv kC 202C 201 C 200 u vu vuvk 0190 2 218 e 2 x C 201 2 x 219 e 2 x C 200 x 2 2 20 e 2 x2 20 e 2 x95 20 xx 2 ．4．试从dx1导出：（ 1）d 2 xy3；（2）d 3 x3( y ) 2y y．2( y ) d y 35dy yd y( y )解因为d x1，所以 d 2 x d 1 d 1 dx y 1y 3，d yy2dy ydx ydyy2yd yy3dydy dxd x3dyy 3dx3dydyy322yy y 3 yy13 yy y．6y5yy5．证明：函数 y C 1e xC 2 ex（ ,C 1 , C 2 是常数）满足关系式 y2y 0 ．解因为 y C 1 e xC 2 ex，所以所以xxxx2x2xyC 1 eC 2eC 1eC 2 e， yC 1 e C 2 e，y2y2C 1e x 2C 2 ex2C 1 e x C 2 ex0 ．6. 求常数的值，使得函数 ye x 满足方程 y5 y6 y．解因为 ye x ，所以 y ex， y2ex，代入方程 y5 y6 y 0 ，得256 e x0 ，因为 e x0,xR ，所以256，解得 1 6 ， 21 ．7. 设 fxsin xa ， g xb sin xc cos x ，求常数 b, c 的值，使得f 0g 0，且 f 0g0 .解因为 fxsin x a， g xb sin xc cos x ，所以 f x cos x a， g xb cos xc sin x ,所以由 f 0g 0， f 0g 0，可得 c sin a ，且 bcos a ．8．求下列函数的 n 阶导数．（1） y x na 1 x n 1 a 2 x n 2a n 1 x a n （ a 1 , a 2 , a n 是常数）；（2） y xe x ；（3） ysin 2 x ；（4） yx 2 16．5 x解（1） yn 1n 1 a 1 xn 2n 3a n 1 ，nxn 2 a 2 xn 2n 3n 4a ，根据幂函数的导数公式特点：每求导一次，幂函数降一次幂，故y n n ! ．（2）y e x xe x e x x 1 ， y e x x 1 e x e x x 2，yxx2x xx 3 ，由此可见，每求一次导数，增加一个e x，e e e所以n xx n， n N；y e（3）y sin 2 x1cos 2 x11cos 2 x，222y 2 sin x cos x sin 2 x cos 2 x2，y 2 cos 2 x 2 cos 2 x22，y 2 2sin 2 x 2 2cos 2 x32，42 3cos 2 x23 cos 2 x4，y2所以n2n1 cos 2 x n， n N ．y2（4）因为y111，x 2 5 x6x3x2而1x32112x3，x3，x331123x34x3，1n可见，123n x n 11nx3n1x33n !，1n同理，123n x n11nx2n1x22n !，所以n n n1n1n 11．y 1 n ! x 3x 2 1 n !x3n 1xn 12习题2-41．求由下列方程所确定的隐函数的导数d y ：d x（1） x y e xy0 ；（2） 2 x 2 y xy 2 y 30 ；（3） e xyy ln xsin 2 x ；（） xya（ a 0 的常数）．4解（ 1）将方程两边同时对 x 求导，得dydydy ye xyxy，变形得：1；1ey x0 dx1xydx dxxe（2）将方程两边同时对 x 求导，得2dyy2dy2dy 0，2 2 xy xx 2 y3 ydxdx dx变形整理得：dy224 xy y 2；dx2 x 2 xy3 y（3）将方程两边同时对 x 求导，得e xyy xdydyln xy 2 cos 2 x ，dxdxx变形整理得：dy2 x cos 2 xyxy exy；dxx ln x 2xyx e（4）将方程两边同时对 x 求导，得11dy ，2 x2y dx变形整理得：dyy, x．dxx2．求曲线 x 2 y 52 xy0 在点 (1,1) 处的切线方程．解将方程两边同时对 x 求导，得： 2 x5 y 4 dy2 yx dy0 ，dx dx将 x1 ， y 1 代入，解得：dy1,10 ，dx所以曲线在点 (1,1) 处的切线方程为： y1 ．3．已知 y sinx cos( xy )0 ，求隐函数 yy x 在点 0, π的导数值．2解将方程两边同时对 x 求导，得：dyy cos xsin( x y ) dy ，sin x1dxdx将 x0 ， y2 代入，解得： dy1．dx0,222 4．求下列方程所确定的隐函数的二阶导数 d y ．dx 2（1） y tan( x y ) ；（2） y 1x e y ；（3） y lny xy ；（4） arctany ln x 2 y 2 .x解（1）将方程两边同时对 x 求导，得：dysec 2 ( xy ) 1dy，dxdx解得dycsc 2 ( xy ) ，dxd 2dy再求导，得：y2 csc( xy)csc( xy ) cot xy，21dxdx将 dy2csc 2( xy) 代入，整理得：d y2 csc 2 ( x y) cot3 xy ；dxdx 2（2）将方程两边同时对 x 求导，得：dye yx e y dy，dxdxe y dy1 xe ye ye yx e y dy解得：dyy，再求导，得： d 2 y dxdxe y 2y2，dx1xedx1xedy y22 y2 xe y2 y3 y将 e代入，整理化简得：d yeey2y 33；dx1 xedx12 yxe（3）将方程两边同时对 x 求导，得：dyln ydy 1 dy ， dxdxdx1 dy解得：dy1d 2 yy dx 2 ，，再求导，得： 2dxln y dxln y将 dyd 2 y13；1代入，整理化简得：2ydx ln ydx ln ydyxy2 x 2 ydy（4）将方程两边同时对 x 求导，得：1dx1 dx，y 2222y 21xxx1dy x yx y 1dy解得：dy x y，再求导，得：d 2 ydxdx，dxx ydx 22x y222将 dyx y代入，整理化简得：dy 2 xy.3dxxydx 2xy5．用对数求导法求下列函数的导数：（1） y(sinx) cos x ；（2） y(tan 2 x ) x；x x（3） y；（4） y (2 x 1) x (3 x 1) x 1 ．1 x解（ 1）两边取自然对数，得： ln ycos x ln(sin x ) ，两边同时对 x 求导，得：1 dysin x ln sin xcos x cos x ,y dxsin x整理化简得：dy(sin x) cos xsin x ln sin xcos x cot x ；dx（2）两边取自然对数，得： ln y x ln(tan2 x ) ，两边同时对 x 求导，得：1dy ln(tan 2 x )xsec 2 2 x2tan 2 x ，y dx整理化简得：dy(tan 2 x) xln(tan 2 x)4 x ；dxsin 4 x（3）两边取自然对数，得： lny x lnx x ln xln1 x，1x两边同时对 x 求导，得：1dy ln x ln 1 xx 1 1 1 y dxxxx整理化简得：dyx ln x x1 1；dx1 x1 x（4）两边取自然对数，得： ln yln(2 x1)1x1ln(3 x1)1 x1 ，ln 4 ln28两边同时对 x 求导，得：1 dy2 1 131)81， y dx 2 x 2 x 4(3 x x 1整理化简得：dy(2 x1) x(3 x1) x 12 1 1 31) 8 11dx2 x 2 x 4(3 x x 6．求下列参数方程所确定的函数的导数d y ： d x2 atxa cos btb sin atxt21 （ a 为常数）．（1）（ a , b 为常数）；（2）2ya sin btb cos ata (1 )ty1t2解（1）因为dxab sinbtab cosat ，dyab cosbtab sinat，dtdt所以d yab cos btab sin atcos btsin at；d xab sin btab cos atsinbtcos at2 a 1 t22 at 2t2（2）因为dx2 a 1 t，22dt1212ttdy2at 1 2a (1 2) 2 t4 atttdt221 t 21 2t所以dy1 2 t 2 t ．dxt 2 t 2 17．求曲线x tet1 在 t0 处的切线方程与法线方程．t 2 )ey (2 t t解因为 dxe tte t ， dy2 2 t e t(2 t t 2 )e t ，dtdt所以dy2 t 2 ， dyt 02 ，又 x t 0 1, y t 0dx1 tdx故所求切线为： y2 x 1，法线为：y1 x 1 ． 28 ．已知曲线 x2n在 ttm t0 时过原点，且在该点处的切线与ype t2e2 x3 y5 0 平行，求常数 m , n, p ．解因为 dxm ，dyp e t ，故dyt2 tp e ，dtdtdx2t m由题设可知： x tn0 ， yt 0p2e0 ，dyt 0p 2 ，dxm3所以所求常数为： n0 ， p2e， m3e ．注：此题的书后答案有误．29．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 dy ：d x 2（1）x1 t 2；（2）xe t cos t ；y tt 3yte sin tx ln 12xf ( t )t；（4）（ f(t ) 存在且不为零）．（3）y tf ( t )f (t )yt arctan t（ 1）因为dx2 t ，dy，所以dy13 t 21 3t ，解13t 2dt dtdx2 t2t221 322于是 d yd13t dt2t 21 3t；2dt2 t2dx2 t3dx4t（2）因为dxe tcos te tsin t ，dye t sin t e t cos t ，dtdt所以dye t sin te t cos tsin t cos t ，于是dxt cos t tsin tcos tsin te ed 2 yd sin tcos tdt cos tsin 2sin t2 1tcos t2dtcos tsin tdxcos tsin 2tcos ttsin tdxte e2；e tcos tsin t 311dx2tdy1dy12t1，1t（3）因为 dtt 2dt1t 2 ，所以dx2 t2 ，1 t 221221于是 d yt；22 t4 tdx1 t 2（4）因为dxf( t ) ，dyf ( t ) tf ( t )f (t ) tf (t )，所以dyt ，dtdtdx于是 d 2 y1．2f (t )dx10．将水注入深 8 米、上顶直径 8 米的正圆锥形容器中，注水速率为4 吨/分钟．当水深为 5 米时，其表面上升的速率为多少？解如图所示，设在 t 时刻容器中水面的高度为h t（米），此时水面的半径为 rt（米），则依题意应有1 r 2t h t4 t ，而h tr t ， 384所以 1h 3 t4t ，两边同时对时间 t 求导，12可得1h2t dh4 ，当 h t5 时，可求得dh16 ， 4dt dt2516 所以当水深为 5 米时，其表面上升的速率为m m in ．2511．汽车 A 以 50 公里 / 小时的速度向西行驶，汽车 B 以 6 0 公里 / 小时的速度向北行驶，两辆车都朝着两条路的交叉口行驶．当汽车 A 距离交叉路口 0.3 公里，汽车 B 距离交叉路口 0.4 公里时，两辆车以什么速率接近？解如图所示，设在 t 时刻，汽车 A 距离交叉路口x t ，汽车 B 距离交叉路口 y t ，则两车之间的直线距离为 st x 2y 2t t ，两边同时对时间 t 求导，可得x tdxy dytdxdydsdtdt60 ，，依题意可知 50 ，dt2y 2dtdtx t t故当 x t0.3 ， y t0.4 时，ds 0.350 0.4 6078 ，即当汽车 A 距离交叉dt0.32 20.4路口 0.3 公里，汽车 B 距离交叉路口 0.4 公里时，两辆车以78 km / h 的速率接近．12．一个路灯安装在 1 5 英尺高的柱子上，一个身高为6 英尺的人从柱子下以5 英尺/秒的速度沿直线走离柱子，当他距离柱子4 0 英尺时，他身影的顶端以多快的速率移动？解如图所示，设在 t 时刻，此人离灯柱的水平距离为x t，身影的顶端离灯柱的水平距离为y t，则依题意有：dx，6y tx t5，515，可见y tx tdt y t3两边同时对时间 t 求导，得dy5dx25 ，dt3dt3所以他身影的顶端以25 feet / s 的速率移动，与他离灯柱的水平3距离无关，只与他的前进速度、身高、灯柱高有关．习题2-51．函数y x2，求当 x 1 ，而 x0.1 ， 0.01 时，y 与 d y 之差是多少？解当 x 1 ， x0.1 时，y20.21， d y 2 x x0.2 ，1.11所以y dy0.01；当x 1 ，x0.01时， y 1.01 210.0201， d y 2 x x0.02 ，所以y dy0.0001；2．求函数y x2x 在 x 3 处， x等于 0.1 ， 0.01时的增量与微分．解因为 y x 2x ，所以dy 2 x1x ，当 x 3 ， x0.1 时，2 3.1230.71， dy0.7；y 3.13当 x 3 ， x0.01 时，y 3.012 3.0120.0701， dy0.07 ．333．函数y x 3x ，求自变量x由 2变到 1.99时在 x 2 处的微分．解因为y3x ，所以 dy21x ，x 3 x当 x2， x0.01 时， dy3210.010.11 ．24．求下列函数的微分（1）（3）（5）y x 2 x 2 1 x3x 4；（ 2）3yx；（ 4）1 x2y3ln cos x；（ 6）y xe x2；y tan 2 (1x 2 ) ；y e ax sin bx ．23解（1）dy 1 4 x x 4 x dx ；x 2x 22x 2x 2x 2 2；（ 2） dy e dx xe dxe dx xe2 x dx e1 2 x dx22221 x dx xd 1 x1 x dx x2 x dx（ 3） dy1 xdx ；2221 2121 2xxx（ 4） dy2 tan(12) d tan(1 x22 tan(1x 222) d (12x )) sec (1x x )4 x tan(12) sec 22；x (1 x ) dx（ 5） dy 3 ln cos x ln 3dln cos x3 ln cos x ln 31 d cos xcos xln cos x3ln 3 tan xdx ；（ 6） dyaxax sin bxaxcos bx d bxaxa sin bxb cos bxdx ．e d e e5．将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：（1） d( ) sintd t ；（ 2） d()（3） d ( )x；（ 4） d ( )d x1 x2（5） d ( ) x 2（ 6） d ()xe d x ；23 xd x ；secd x；x 2a 2ln xd x .x解（1）1 cost；（）1tan 3 x ；（） 1x 2；233（4） 1arctanx ；（5） 1e x ；（6） 1l n 2 x ．2aa 226．某扩音器的插头为圆柱形，其截面半径r 为 0.15 厘米，长度 L 为 4 厘米，为了提高它的导电性能，要在圆柱的侧面镀一层厚度为 0.001 厘米的铜，问每个插头约需要多少克纯铜？（铜的密度为8.9 克/ 立方厘米，3.1416 ）解因为圆柱形的扩音器插头的体积为Vr2L ，侧面镀层的体积约为VdV2 rLr ，当 r 0.15 ， r 0.001L4时， V32 3.1416 0.15 4 0.0013.7699210 ，，故所需铜的重量约为 m3.769921030.03355克．8.97．设有一凸透镜，镜面是半径为R 的球面，镜面的口径为 2h ，若 h 比 R 小h 2 得多，试证明透镜的厚度 D．2 R解如下图所示，镜面半径 R 、镜面口径 2h 、透镜厚度 D 之间有关系：h 222，化简得： h22RDD20 ，R DR2R4R 2 4 h 2h 得： DR R 12R2 2，若 h 比 R 小得多，则1 h 21h 2，22 R 2R222故DRR1hR R 1h h ．R 22 R 22 R8．利用微分求下列函数值的近似值（1）；（2）；（3）；（ 4） e 1.01 ；（）26 ；（） 3 ．996cos 59tan 46lg 1156解（1） cos 59coscoscossin6013 18033180130.5151 ；2 2180（ 2） tan 46 tan 0tantan245141804sec18041 21801.0349；（ 3） lg 11 lg 10 1lg 10111.0434；10 ln 10（ 4） e1.01e1 0.01ee 0.01 2.7455；（ 5） 2625 1251 15.1 ；22512（6） 3 996310004310001000349.9867 ．39．当 | x | 较小时，证明下列近似公式：（ 1） sin x x ；（2） (1x )1x ；（ 3） ln(1 x ) x ．解（1）设 fx sin x ，则 fxcos x ，当 | x | 较小时， fxsin xsin 0 cos 0 xx ，所以 sin x x ；（ 2）设 f x(1 x) ，则 fx1(1 x )当 | x | 较小时， f x(1 x ) f 1f 1 x1x ，所以 (1x )1x ；（3）设 f x ln(1 x) ，则 fx1，1x当 | x | 较小时， f xln(1 x ) f 1 f 1 x x ，所以 ln(1x )x ．习题2-61. 一飞机在离地面 2000 米的高度，以 200 公里 / 小时的速度飞临某目标之上空，以便进行航空摄影．试求飞机飞至该目标上方时摄影机转动的速度．解如右图示意，A 为摄影目标，B 为其正上方的点，设 t 时刻飞机离 B 点的水平距离为 x t ，摄影机镜头 C 与 A 点连线与飞机的水平飞行方向成夹角，则co tx t ， xtx200000t ，两边同时对时间20003600t 求导，可得 csc 2d1 dx t1，即dt 2000 dt36d 1，当飞机飞至该目标上方时，，dtsin2362代入解得：d1 360 5rad / s ．dt36 22. 一架飞机着陆的路径如图 2-11 所示，并且满足下列条件：（ⅰ）降落点为原点，飞机开始降落时水平距离为 l ，飞行高度为h ．（ⅱ）在整个降落过程中，飞行员必须使飞机保持恒定的水平速度 v ．（ⅲ）垂直方向的加速度的绝对值不能超过常数 k （必须比重力加速度小很多）．3图 2-11（ 1）求一个三次多项式 P x2ax bxcx d ，通过在开始降落和着陆的点对P x 和 P x施加一定的条件限制，使它满足条件。

厦门理工学院高数练习题答案第二章答案高数

高等数学练习题第二章导数与微分系专业班姓名学号第一节导数概念一．填空题 1.若)(0x f '存在，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000= )(0x f '-2.hh x f h x f h )()(lim000--+→= )(20x f ' ，又当0)0(=f 时x x f x )(lim 0→= )0(f '3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim)000x f x x f xx 414.已知物体的运动规律为2t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒）5.曲线x y co s =上点（3π，21）处的切线方程为03123=--+πy x ，法线方程为0322332=-+-πy x 6.用箭头⇒或⇏表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系，可微 ⇔ 可导 ⇐/⇒ 连续 ⇐/⇒ 极限存在。

二、选择题1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则xx f x )(lim0→= [ B ]（A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 21)0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则xx b x f x a x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim 0 = [ B ]（A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2ba +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要（B ）必要但不是充分（C ）充分必要（D ）即非充分也非必要 4．设曲线22-+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)5.设函数|sin |)(x x f =，则 )(x f 在0=x 处 [ B ] （A ）不连续。

必修二数学a第二章测试题答案及解析

必修二数学a第二章测试题答案及解析一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-1)的值。

A. 1B. -1C. 3D. -3答案：D解析：将x=-1代入函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，得到f(-1) =2*(-1)^2 + 3*(-1) - 5 = 2 - 3 - 5 = -6。

2. 计算下列不等式中x的取值范围：x^2 - 4x + 4 ≤ 0。

A. x ≤ 2B. x ≥ 2C. 0 ≤ x ≤ 4D. -2 ≤ x ≤ 2答案：D解析：将不等式x^2 - 4x + 4 ≤ 0进行因式分解，得到(x-2)^2 ≤ 0，由于平方项非负，所以(x-2)^2 = 0，解得x = 2。

因此，x的取值范围为-2 ≤ x ≤ 2。

二、填空题3. 已知等差数列{a_n}的首项a_1 = 3，公差d = 2，求第5项a_5的值。

答案：13解析：根据等差数列的通项公式a_n = a_1 + (n-1)d，代入n=5，得到a_5 = 3 + (5-1)*2 = 3 + 8 = 11。

4. 计算圆的面积，已知半径r = 4。

答案：50π解析：圆的面积公式为A = πr^2，代入半径r = 4，得到A =π*4^2 = 16π。

三、解答题5. 求函数y = x^3 - 3x^2 + 4在x = 1处的导数。

答案：4解析：首先求函数y = x^3 - 3x^2 + 4的导数，得到y' = 3x^2 - 6x。

然后代入x = 1，得到y'(1) = 3*1^2 - 6*1 = 3 - 6 = -3。

6. 已知抛物线方程为y = ax^2 + bx + c，且抛物线过点(1,2)和(2,5)，求a的值。

答案：1解析：将点(1,2)和(2,5)代入抛物线方程，得到两个方程：2 = a*1^2 + b*1 + c5 = a*2^2 + b*2 + c解这个方程组，得到a = 1，b = -2，c = 3。

高等数学第二章测验题答案

易知 , f ( x ) 在 | x | 1 处连续 . 在 x 1 处， x 1 f ( x ) f ( 1) 1 , (1) lim f lim x 1 x 1 x 1 x ( 1)
f (1) lim f ( x ) f ( 1) x 1 x ( 1)
2. f ( x )在x a可导，则F ( x ) | f ( x ) | 在x a
2.
应选 (B ) .
不可导的充要条件是 ( ), 并说明理由 . ( A) f (a ) 0, f (a ) 0; ( B ) f (a ) 0, f (a ) 0;
(C ) f (a ) 0, f (a ) 0; ( D) f (a ) 0, f (a ) 0.
由于 f ( 1) f ( 1) , 故 f ( x ) 在 x 1 处不可导 . 在 x 1 处，

x 1 ( x 1)2 lim 4 0. x 1 x 1
x 1 , x 1 x 1 ( x 1)2 , f ( x) 4 1 x 1 x 1, x 1
同样可求导y2 x
tan x
tan x [sec x ln x ] x
2
2 y log 2 log 3 log 5 x;
解：令 y 1 1 (log3 log5 x) ln 2 log3 log5 x
1 1 1 1 (log5 x) ln 2 log3 log5 x ln 3 log5 x 1 1 1 1 1 1 ln 2 ln 3 ln 5 log3 log5 x log5 x x
一、 1.
应选 ( A) .
1. 设f ( x )可导，F ( x ) f ( x )(1 | sin x |),

高数课后习题及答案--第二章-2.7

高数课后习题及答案--第二章-2.71．()()()()211110,11)()21,121,2()(),1,122,()12(),:lim ()0,lim ()lim 213lim ()x x x x x f x x x x x f x f x f x x x f x f x f x x f x -++-→→→→<⎧⎪=+≤<⎨⎪+≥⎩-∞+∞==-∞+∞==+=若若若解：由题设可知是一个分段函数，由分段函数的特点可知在区间，是连续的，因此只要证明出在点，处的连续性，便可得出函数在定义域上的连续性，具体如下因为，12222222lim ()()1lim ()lim 215,lim ()lim 15lim ()lim ()(2)5()2x x x x x x x f x f x x f x x f x x f x f x f f x x +--++-+→→→→→→→≠==+==+=====所以在处不连续又因为，所以在处连续()()()0000sin ,02)()1,0,0()(),0,0,()0(),:sin lim ()lim 1,lim ()lim 1x x x x x x xx x f x x e x f x f x f x x f x xf x f x e x --++--→→→→⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩-∞+∞=-∞+∞====若若解：由题设可知是一个分段函数，由分段函数的特点可知在区间是连续的，因此只要证明出在点处的连续性，便可得出函数在定义域上的连续性，具体如下因为，f(0)=1即0lim ()lim ()()0x x f x f x f x x -+→→===f(0)=1所以在处连续()()()()22001sin ,0;3)()0,0;()(),0,0,()0(),:1lim ()lim sin 0(0),()0(),x x x x f x xx f x f x f x x f x f x x f f x x xf x →→⎧≠⎪=⎨⎪=⎩-∞+∞=-∞+∞====-∞+∞若若解：由题设可知是一个分段函数，由分段函数的特点可知在区间是连续的，因此只要证明出在点处的连续性，便可判定函数在定义域上是否连续，具体如下所以可知函数在处的连续，函数在定义域20001sin()01'(0)limlim lim sin 0x x x x f x x f x x x x→→→-====-上连续。

高等数学上册第六版课后习题详细图文答案第二章

高等数学上册第六版课后习题详细答案第二章习题2-11. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t ]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的函数: θ=θ(t ). 如果旋转是匀速的, 那么称tθω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解在时间间隔[t 0, t 0+∆t ]内的平均角速度ω为tt t t t ∆-∆+=∆∆=)()(00θθθω, 故t 0时刻的角速度为)()()(l i m l i m l i m 000000t tt t t t t t t θθθθωω'=∆-∆+=∆∆==→∆→∆→∆. 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T (t ), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解物体在时间间隔[t 0, t 0+∆t ]内, 温度的改变量为∆T =T (t +∆t )-T (t ),平均冷却速度为tt T t t T t T ∆-∆+=∆∆)()(, 故物体在时刻t 的冷却速度为)()()(lim lim 00t T tt T t t T t T t t '=∆-∆+=∆∆→∆→∆. 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f (x )元, 此函数f (x )称为成本函数, 成本函数f (x )的导数f '(x )在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x )的实际意义.解 f (x +∆x )-f (x )表示当产量由x 改变到x +∆x 时成本的改变量.xx f x x f ∆-∆+)()(表示当产量由x 改变到x +∆x 时单位产量的成本. xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0表示当产量为x 时单位产量的成本. 4. 设f (x )=10x 2, 试按定义, 求f '(-1).解 xx x f x f f x x ∆--∆+-=∆--∆+-=-'→∆→∆2200)1(10)1(10lim )1()1(lim)1( 20)2(lim 102lim 10020-=∆+-=∆∆+∆-=→∆→∆x x x x x x . 5. 证明(cos x )'=-sin x .解 xx x x x x ∆-∆+='→∆cos )cos(lim )(cos 0xx x x x ∆∆∆+-=→∆2s i n )2s i n (2lim 0 x x x x x x s i n ]22s i n )2s i n ([lim 0-=∆∆∆+-=→∆. 6. 下列各题中均假定f '(x 0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A 表示什么:(1)A xx f x x f x =∆-∆-→∆)()(lim000; 解 xx f x x f A x ∆-∆-=→∆)()(lim 000 )()()(lim 0000x f xx f x x f x '-=∆--∆--=→∆-. (2)A xx f x =→)(lim 0, 其中f (0)=0, 且f '(0)存在; 解 )0()0()0(lim )(lim 00f xf x f x x f A x x '=-+==→→. (3)A hh x f h x f h =--+→)()(lim 000. 解 hh x f h x f A h )()(lim 000--+=→ hx f h x f x f h x f h )]()([)]()([lim 00000----+=→ h x f h x f h x f h x f h h )()(lim )()(lim 000000----+=→→ =f '(x 0)-[-f '(x 0)]=2f '(x 0).7. 求下列函数的导数:(1)y =x 4;(2)32x y =;(3)y =x 1. 6;(4)xy 1=; (5)21xy =; (6)53x x y =;(7)5322x x x y =; 解 (1)y '=(x 4)'=4x 4-1=4x 3 .(2)3113232323232)()(--=='='='x x x x y . (3)y '=(x 1. 6)'=1.6x 1. 6-1=1.6x 0. 6.(4)23121212121)()1(-----=-='='='x x x x y . (5)3222)()1(---='='='x x x y . (6)511151651653516516)()(x x x x x y =='='='-. (7)651616153226161)()(--=='='='x x x x x x y . 8. 已知物体的运动规律为s =t 3(m). 求这物体在t =2秒(s )时的速度. 解v =(s )'=3t 2, v |t =2=12(米/秒).9. 如果f (x )为偶函数, 且f (0)存在, 证明f (0)=0.证明当f (x )为偶函数时, f (-x )=f (x ), 所以)0(0)0()(l i m 0)0()(l i m 0)0()(l i m )0(000f x f x f x f x f x f x f f x x x '-=-----=---=--='→-→→, 从而有2f '(0)=0, 即f '(0)=0.10. 求曲线y =sin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率: π32=x , x =π. 解因为y '=cos x , 所以斜率分别为2132c o s 1-==πk , 1cos 2-==πk . 11. 求曲线y =cos x 上点)21 ,3(π处的切线方程和法线方程式. 解y '=-sin x , 233sin 3-=-='=ππx y , 故在点)21 ,3(π处, 切线方程为)3(2321π--=-x y , 法线方程为)3(3221π--=-x y . 12. 求曲线y =e x 在点(0,1)处的切线方程.解y '=e x , y '|x =0=1, 故在(0, 1)处的切线方程为y -1=1⋅(x -0), 即y =x +1.13. 在抛物线y =x 2上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点, 作过这两点的割线, 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 y '=2x , 割线斜率为421913)1()3(=-=--=y y k . 令2x =4, 得x =2. 因此抛物线y =x 2上点(2, 4)处的切线平行于这条割线.14. 讨论下列函数在x =0处的连续性与可导性:(1)y =|sin x |;(2)⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000 1sin 2x x x x y . 解 (1)因为y (0)=0, 0)sin (lim |sin |lim lim 000=-==---→→→x x y x x x , 0sin lim |sin |lim lim 000===+++→→→x x y x x x , 所以函数在x =0处连续.又因为1s i n l i m 0|0s i n ||s i n |l i m 0)0()(l i m )0(000-=-=--=--='---→→→-xx x x x y x y y x x x , 1s i n lim 0|0sin ||sin |lim 0)0()(lim )0(000==--=--='+++→→→+xx x x x y x y y x x x , 而y '-(0)≠y '+(0), 所以函数在x =0处不可导.解因为01sin lim )(lim 200==→→xx x y x x , 又y (0)=0, 所以函数在x =0处连续. 又因为01s i n l i m 01s i n l i m 0)0()(l i m 0200==-=--→→→xx x x x x y x y x x x , 所以函数在点x =0处可导, 且y '(0)=0.15. 设函数⎩⎨⎧>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f 为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？解因为1lim )(lim 211==--→→x x f x x , b a b ax x f x x +=+=++→→)(lim )(lim 11, f (1)=a +b , 所以要使函数在x =1处连续, 必须a +b =1 .又因为当a +b =1时211l i m )1(21=--='-→-x x f x ,a x x a xb a x a x b ax f x x x =--=--++-=--+='+++→→→+1)1(lim 11)1(lim 11lim )1(111, 所以要使函数在x =1处可导, 必须a =2, 此时b =-1.16. 已知⎩⎨⎧<-≥=00 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？解因为f -'(0)=10lim )0()(lim 00-=--=---→→xx x f x f x x , f +'(0)=00lim )0()(lim 200=-=-++→→xx x f x f x x , 而f -'(0)≠f +'(0), 所以f '(0)不存在. 17. 已知f (x )=⎩⎨⎧≥<0 0 sin x x x x , 求f '(x ) . 解当x <0时, f (x )=sin x , f '(x )=cos x ;当x >0时, f (x )=x , f '(x )=1;因为 f -'(0)=10sin lim )0()(lim 00=-=---→→xx x f x f x x , f +'(0)=10lim )0()(lim 00=-=-++→→xx x f x f x x , 所以f '(0)=1, 从而 f '(x )=⎩⎨⎧≥<0 10 cos x x x . 18. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 .解由xy =a 2得x a y 2=, 22x a y k -='=. 设(x 0, y 0)为曲线上任一点, 则过该点的切线方程为)(02020x x x a y y --=-. 令y =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得0022002x x a x y x =+=, 为切线在x 轴上的距. 令x =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得00022y y x a y =+=, 为切线在y 轴上的距. 此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为200002||2|2||2|21a y x y x S ===.习题 2-21. 推导余切函数及余割函数的导数公式:(cot x )'=-csc 2x ; (csc x )'=-csc x cot x .解 xx x x x x x x 2sin cos cos sin sin )sin cos ()(cot ⋅-⋅-='=' x xx x x 22222c s c s i n 1s i n c o s s i n -=-=+-=. x x xx x x c o t c s c s i n c os )s i n 1()(c s c 2⋅-=-='='. 2. 求下列函数的导数:(1)1227445+-+=xx x y ; (2) y =5x 3-2x +3e x ;(3) y =2tan x +sec x -1;(4) y =sin x ⋅cos x ;(5) y =x 2ln x ;(6) y =3e x cos x ;(7)xx y ln =; (8)3ln 2+=xe y x ; (9) y =x 2ln x cos x ;(10)tt s cos 1sin 1++=; 解 (1))12274()12274(14545'+-+='+-+='---x x x xx x y 2562562282022820x x x x x x +--=+--=---. (2) y '=(5x 3-2x +3e x )'=15x 2-2x ln2+3e x .(3) y '=(2tan x +sec x -1)'=2sec 2x +sec x ⋅tan x =sec x (2sec x +tan x ).(4) y '=(sin x ⋅cos x )'=(sin x )'⋅cos x +sin x ⋅(cos x )'=cos x ⋅cos x +sin x ⋅(-sin x )=cos 2x .(5) y '=(x 2ln x )'=2x ⋅ln x +x 2⋅x1=x (2ln x +1) . (6) y '=(3e x cos x )'=3e x ⋅cos x +3e x ⋅(-sin x )=3e x (cos x -sin x ).(7)22ln 1ln 1)ln (x x x x x x x x y -=-⋅='='. (8)3422)2(2)3ln (x x e x x e x e x e y x x x x -=⋅-⋅='+='. (9) y '=(x 2ln x cos x )'=2x ⋅ln x cos x +x 2⋅x1⋅cos x +x 2 ln x ⋅(-sin x )2x ln x cos x +x cos x -x 2 ln x sin x .(10)22)cos 1(cos sin 1)cos 1()sin )(sin 1()cos 1(cos )cos 1sin 1(t t t t t t t t tt s +++=+-+-+='++='.3. 求下列函数在给定点处的导数:(1) y =sin x -cos x , 求6π='x y 和4π='x y .(2)θθθρcos 21sin +=,求4πθθρ=d d .(3)553)(2x x x f +-=, 求f '(0)和f '(2) . 解 (1)y '=cos x +sin x ,21321236s i n 6c o s 6+=+=+='=πππx y , 222224s i n 4c o s 4=+=+='=πππx y . (2)θθθθθθθρcos sin 21sin 21cos sin +=-+=d d , )21(4222422214c o s 44s i n 214πππππθρπθ+=⋅+⋅=+==d d . (3)x x x f 52)5(3)(2+-=', 253)0(='f , 1517)2(='f . 4. 以初速v 0竖直上抛的物体, 其上升高度s 与时间t 的关系是2021gt t v s -=. 求:(1)该物体的速度v (t );(2)该物体达到最高点的时刻.解 (1)v (t )=s '(t )=v 0-gt .(2)令v (t )=0, 即v 0-gt =0, 得gv t 0=, 这就是物体达到最高点的时刻. 5. 求曲线y =2sin x +x 2上横坐标为x =0的点处的切线方程和法线方程. 解因为y '=2cos x +2x , y '|x =0=2, 又当x =0时, y =0, 所以所求的切线方程为 y =2x ,所求的法线方程为x y 21-=, 即x +2y =0. 6. 求下列函数的导数:(1) y =(2x +5)4(2) y =cos(4-3x );(3)23x e y -=;(4) y =ln(1+x 2);(5) y =sin 2x ;(6)22x a y -=;(7) y =tan(x 2);(8) y =arctan(e x );(9) y =(arcsin x )2;(10) y =lncos x .解 (1) y '=4(2x +5)4-1⋅(2x +5)'=4(2x +5)3⋅2=8(2x +5)3.(2) y '=-sin(4-3x )⋅(4-3x )'=-sin(4-3x )⋅(-3)=3sin(4-3x ).(3)22233236)6()3(x x x xe x e x e y ----=-⋅='-⋅='.(4)222212211)1(11xxx x x x y +=⋅+='+⋅+='. (5) y '=2sin x ⋅(sin x )'=2sin x ⋅cos x =sin 2x .(6))()(21])[(221122122'-⋅-='-='-x a x a x a y 222122)2()(21x a x x x a --=-⋅-=-. (7) y '=sec 2(x 2)⋅(x 2)'=2x sec 2(x 2).(8)xx x x e e e e y 221)()(11+='⋅+='. (9) y '21arcsin 2)(arcsin arcsin 2xx x x -='⋅=. (10)x x xx x y tan )sin (cos 1)(cos cos 1-=-='⋅='. 7. 求下列函数的导数:(1) y =arcsin(1-2x );(2)211x y -=; (3)x e y x3cos 2-=;(4)xy 1arccos =; (5)xx y ln 1ln 1+-=; (6)xx y 2sin =; (7)x y arcsin =;(8))ln(22x a x y ++=;(9) y =ln(sec x +tan x );(10) y =ln(csc x -cot x ).解 (1)2221)21(12)21()21(11x x x x x y --=---='-⋅--='. (2))1()1(21])1[(21212212'-⋅--='-='---x x x y 222321)1()2()1(21xx x x x --=-⋅--=-. (3))3)(3sin (3cos )2()3(cos 3cos )(2222'-+'-='+'='----x x e x x e x e x e y x xx x )3s i n 63(c o s 213s i n 33c o s 21222x x e x e x e x xx +-=--=---. (4)1||)1()1(11)1()1(1122222-=---='--='x x x x xx x y . (5)22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x x y +-=+--+-='. (6)222sin 2cos 212sin 22cos x x xx x x xx y -=⋅-⋅⋅='. (7)2222121)(11)()(11x x x x x x y -=⋅-='⋅-='.(8)])(211[1)(12222222222'+++⋅++='++⋅++='x a x a x a x x a x x a x y 2222221)]2(211[1x a x x a x a x +=++⋅++=. (9) x xx x x x x x x x y sec tan sec sec tan sec )tan (sec tan sec 12=++='+⋅+='. (10) x xx x x x x x x x y csc cot csc csc cot csc )cot (csc cot csc 12=-+-='-⋅-='.8. 求下列函数的导数:(1)2)2(arcsin x y =; (2)2tan ln x y =; (3)x y 2ln 1+=;(4)x e y arctan =;(5)y =sin n x cos nx ;(6)11arctan -+=x x y ; (7)xx y arccos arcsin =; (8) y =ln[ln(ln x )] ;(9)xx x x y -++--+1111; (10)xx y +-=11arcsin . 解 (1)'⋅=')2(arcsin )2(arcsin 2x x y )2()2(11)2(a r c s i n 22'⋅-⋅=x x x21)2(11)2(a r c s i n 22⋅-⋅=x x . 242a r c s i n 2x x -= (2))2(2sec 2tan 1)2(tan 2tan 12'⋅⋅='⋅='x x x x xy x x x c s c 212s e c 2t a n 12=⋅⋅=. (3))ln 1(ln 121ln 1222'+⋅+=+='x xx y )(l n ln 2ln 1212'⋅⋅+=x x x x x x1ln 2ln 1212⋅⋅+= xx x 2ln 1ln +=. (4))(arctan arctan '⋅='x e y x )()(112arctan '⋅+⋅=x x e x)1(221)(11a r c t a n 2a r c t a n x x e x x e x x +=⋅+⋅=. (5) y '=n sin n -1x ⋅(sin x )'⋅cos nx +sin n x ⋅(-sin nx )⋅(nx )'=n sin n -1x ⋅cos x ⋅cos nx +sin n x ⋅(-sin nx )⋅n=n sin n -1x ⋅(cos x ⋅cos nx -sin x ⋅sin nx )= n sin n -1x cos(n +1)x .(6)222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x x x x x x x y +-=-+--⋅-++='-+⋅-++='. (7)222)(arccos arcsin 11arccos 11x x x x x y -+-=' 22)(a r c c o s a r c s i n a r c c o s 11x x x x +⋅-=22)(a r c c o s 12x x -=π. (8))(ln ln 1)ln(ln 1])[ln(ln )ln(ln 1'⋅⋅='⋅='x xx x x y )l n (l n ln 11ln 1)ln(ln 1x x x x x x ⋅=⋅⋅=.(9)2)11()121121)(11()11)(121121(x x x x x x x x xx y -++--+--+--++-++=' 22111x x -+-=. (10)2)1()1()1(1111)11(1111x x x xx x x x x y +--+-⋅+--='+-⋅+--=' )1(2)1(1x x x -+-=. 9. 设函数f (x )和g (x )可导, 且f 2(x )+g 2(x )≠0, 试求函数)()(22x g x f y +=的导数.解 ])()([)()(212222'+⋅+='x g x f x g x f y )]()(2)()(2[)()(2122x g x g x f x f x g x f '+'⋅+= )()()()()()(22x g x f x g x g x f x f +'+'=. 10. 设f (x )可导, 求下列函数y 的导数dx dy : (1) y =f (x 2);(2) y =f (sin 2x )+f (cos 2x ).解 (1) y '=f '(x 2)⋅(x 2)'= f '(x 2)⋅2x =2x ⋅f '(x 2).(2) y '=f '(sin 2x )⋅(sin 2x )'+f '(cos 2x )⋅(cos 2x )'= f '(sin 2x )⋅2sin x ⋅cos x +f '(cos 2x )⋅2cos x ⋅(-sin x )=sin 2x [f '(sin 2x )- f '(cos 2x )].11. 求下列函数的导数:(1) y =ch(sh x );(2) y =sh x ⋅e ch x ;(3) y =th(ln x );(4) y =sh 3x +ch 2x ;(5) y =th(1-x 2);(6) y =arch(x 2+1);(7) y =arch(e 2x );(8) y =arctan(th x );(9)xx y 2ch 21ch ln +=; (10))11(ch 2+-=x x y 解 (1) y '=sh(sh x )⋅(sh x )'=sh(sh x )⋅ch x .(2) y '=ch x ⋅e ch x +sh x ⋅e ch x ⋅sh x =e ch x (ch x +sh 2x ) .(3))(ln ch 1)(ln )(ln ch 122x x x x y ⋅='⋅='. (4) y '=3sh 2x ⋅ch x +2ch x ⋅sh x =sh x ⋅ch x ⋅(3sh x +2) .(5))1(ch 2)1()1(ch 122222x x x x y --=-⋅-='. (6)222)1()1(112422++='+⋅++='x x x x x y . (7)12)(1)(142222-='⋅-='x x x x e ee e y . (8)xxx x x x x y 222222ch 1ch sh 11ch 1th 11)th ()th (11⋅+=⋅+='⋅+=' xx x 222sh 211sh ch 1+=+=. (9))ch (ch 21)ch (ch 124'⋅-'⋅='x xx x y x x xx x sh ch 2ch 21ch sh 4⋅⋅-= xx x x x x x x 323ch sh ch sh ch sh ch sh -⋅=-= x xx x x x 33332th ch sh ch )1ch (sh ==-⋅=. (10)'+-⋅+-⋅+-='+-⋅+-=')11()11(sh )11(ch 2])11(ch [)11(ch 2x x x x x x x x x x y )112(sh )1(2)1()1()1()112(sh 22+-⋅+=+--+⋅+-⋅=x x x x x x x x . 12. 求下列函数的导数:(1) y =e -x (x 2-2x +3);(2) y =sin 2x ⋅sin(x 2);(3)2)2(arctan x y =; (4)n xx y ln=;(5)t t t t ee e e y --+-=; (6)xy 1cos ln =; (7)x e y 1sin 2-=;(8)x x y +=;(9) 242arcsin x x x y -+=; (10)212arcsin tty +=. 解 (1) y '=-e -x (x 2-2x +3)+e -x (2x -2)=e -x (-x 2+4x -5).(2) y '=2sin x ⋅cos x ⋅sin(x 2)+sin 2x ⋅cos(x 2)⋅2x=sin2x ⋅sin(x 2)+2x ⋅sin 2x ⋅cos(x 2).(3)2arctan 44214112arctan 222x x xx y +=⋅+⋅='. (4)121ln 1ln 1+--=⋅-⋅='n n n n x x n x nx x x xy . (5)2222)1(4)())(())((+=+---++='-----t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e y . (6)x x x x x x x y 1tan 1)1()1sin (1sec )1(cos 1sec 22=-⋅-⋅='⋅='. (7))1(1cos )1sin 2()1sin (21sin 21sin 22x x x e xe y x x -⋅⋅-⋅='-⋅='-- x e x x1s i n 222s i n 1-⋅⋅=. (8))211(21)(21x xx x x x x y +⋅+='+⋅+=' xx x x +⋅+=412. (9)2arcsin )2(421214112arcsin 22x x x x x x y =-⋅-+⋅-⋅+='.(10)22222222)1()2(2)1(2)12(11)12()12(11t t t t tt t t t t y +⋅-+⋅⋅+-='+⋅+-=' )1(|1|)1(2)1()1(2)1(1222222222t t t t t t t +--=+-⋅-+=.习题 2-31. 求函数的二阶导数:(1) y =2x 2+ln x ;(2) y =e 2x -1;(3) y =x cos x ;(4) y =e -t sin t ;(5)22x a y -=;(6) y =ln(1-x 2)(7) y =tan x ;(8)113+=x y ; (9) y =(1+x 2)arctan x ;(10)xe y x =; (11)2x xe y =;(12))1ln(2x x y ++=.解 (1)x x y 14+=', 14x y -=''. (2) y '=e 2x -1 ⋅2=2e 2x -1, y ''=2e 2x -1 ⋅2=4e 2x -1.(3) y =x cos x ; y '=cos x -x sin x ,y ''=-sin x -sin x -x cos x =-2sin x -x cos x .(4) y '=-e -t sin t +e -t cos t =e -t (cos t -sin t )y ''=-e -t (cos t -sin t )+e -t (-sin t -cos t )=-2e -t cos t .(5)222222)(21xa x x a x a y --='-⋅-=', 22222222222)(xa x a a x a x a x x x a y ---=---⋅---=''.(6) 22212)1(11xxx x y --='-⋅-=', 22)1()1(2)1()2(2)1(2x x x x x x y -+-=--⋅---=''. (7) y '=sec 2 x ,y ''=2sec x ⋅(sec x )'=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x .(8)232233)1(3)1()1(+-=+'+-='x x x x y , 333433223)1()12(6)1(3)1(23)1(6+-=+⋅+⋅-+⋅-=''x x x x x x x x x y . (9)1arctan 211)1(arctan 222+=+⋅++='x x xx x x y , 212a r c t a n 2xxx y ++=''. (10)22)1(1xx e x e x e y x x x -=⋅-⋅=', 3242)22(2)1(])1([x x x e x x x e x e x e y x x x x +-=⋅--⋅+-=''. (11))21()2(2222x e x e x e y x x x +=⋅⋅+=',)23(24)21(222222x xe x e x x e y x x x +=⋅++⋅⋅=''.(12)2222211)1221(11)1(11x x x x x x x x x y +=++⋅++='++⋅++=', xx x x x x x x y ++-=+⋅+-='⋅+⋅+-=''1)1()12211)1(1122222. 2. 设f (x )=(x +10)6, f '''(2)=?解f '(x )=6(x +10)5, f ''(x )=30(x +10)4, f '''(x )=120(x +10)3,f '''(2)=120(2+10)3=207360.3. 若f ''(x )存在, 求下列函数y 的二阶导数22dxy d : (1) y =f (x 2);(2) y =ln[f (x )] .解 (1)y '= f '(x 2)⋅(x 2)'=2xf '(x 2),y ''=2f '(x 2)+2x ⋅2xf ''(x 2)=2f '(x 2)+4x 2f ''(x 2).(2))()(1x f x f y '=',2)]([)()()()(x f x f x f x f x f y ''-''=''22)]([)]([)()(x f x f x f x f '-''=. 4. 试从y dy dx '=1导出: (1)322)(y y dy x d '''-=; (2)5233)()(3y y y y dy x d '''''-''=. 解 (1)()()()3222)(1)(11y y y y y dy dx y dx d y dy d dy dx dy d dy xd '''-='⋅'''-=⋅'='==. (2)(())(())dy dx y y dx d y y dy d dy x d ⋅'''-='''-=3333 223)()(31)()(3)(y y y y y y y y y y y ''''-''=⋅'''⋅''-''''-=.5. 已知物体的运动规律为s =A sin ωt (A 、ω是常数), 求物体运动的加速度, 并验证:0222=+s dts d ω. 解 t A dtds ωωcos =, t A dts d ωωsin 222-=. 22dt s d 就是物体运动的加速度. 0s i n s i n 22222=+-=+t A t A s dts d ωωωωω. 6. 验证函数y =C 1e λx +C 2e -λx (λ,C 1, C 2是常数)满足关系式:y ''-λ2y =0 .解 y '=C 1λe λx -C 2λe -λx ,y ''=C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx .y ''-λ2y =(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )-λ2(C 1e λx +C 2e -λx )=(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )-(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )=0 .7. 验证函数y =e x sin x 满足关系式:y ''-2y '+2y =0 .解 y '=e x sin x +e x cos x =e x (sin x +cos x ),y ''=e x (sin x +cos x )+e x (cos x -sin x )=2e x cos x .y ''-2y '+2y =2e x cos x -2e x (sin x +cos x )+2e x sin x=2e x cos x -2e x sin x -2e x cos x +2e x sin x =0 . 8. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式:(1) y =x n +a 1x n -1+a 2x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 都是常数);(2) y =sin 2x ;(3) y =x ln x ;(4) y =xe x .解 (1) y '=nx n -1+(n -1)a 1x n -2+(n -2)a 2x n -3+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1, y ''=n (n -1)x n -2+(n -1)(n -2)a 1x n -3+(n -2)(n -3)a 2x n -4+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2, ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=n (n -1)(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅1x 0=n ! .(2) y '=2sin x cos x =sin2x ,)22s i n (22c o s 2π+==''x x y , )222s i n (2)22c o s (222ππ⋅+=+='''x x y , )232s i n (2)222c o s (233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y , ⋅ ⋅ ⋅,]2)1(2s i n [21)(π⋅-+=-n x y n n . (3) 1ln +='x y ,11-==''x xy , y '''=(-1)x -2,y (4)=(-1)(-2)x -3,⋅ ⋅ ⋅,y (n )=(-1)(-2)(-3)⋅ ⋅ ⋅(-n +2)x -n +1112)!2()1()!2()1(-----=--=n n n n x n x n . (4) y '=e x +xe x ,y ''=e x +e x +xe x =2e x +xe x ,y '''=2e x +e x +xe x =3e x +xe x ,⋅ ⋅ ⋅,y (n )=ne x +xe x =e x (n +x ) .9. 求下列函数所指定的阶的导数:(1) y =e x cos x , 求y (4) ;(2) y =x sh x , 求y (100) ;(3) y =x 2sin 2x , 求y (50) .解 (1)令u =e x , v =cos x , 有u '=u ''=u '''=u (4)=e x ;v '=-sin x , v ''=-cos x , v '''=sin x , v (4)=cos x ,所以 y (4)=u (4)⋅v +4u '''⋅v '+6u ''⋅v ''+4u '⋅v '''+u ⋅v (4)=e x [cos x +4(-sin x )+6(-cos x )+4sin x +cos x ]=-4e x cos x .(2)令u =x , v =sh x , 则有u '=1, u ''=0;v '=ch x , v ''=sh x , ⋅ ⋅ ⋅ , v (99)=ch x , v (100)=sh x ,所以)100()99(99100)98(98100)98(2100)99(1100)100()100( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅==100ch x +x sh x .(3)令u =x 2 , v =sin 2x , 则有u '=2x , u ''=2, u '''=0;x x v 2s i n 2)2482sin(24848)48(=⋅+=π, v (49)=249cos 2x , v (50)=-250sin 2x ,所以 )50()49(4950)48(4850)48(250)49(1150)50()50( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅=)50()49(4950)48(4850v u v u C v u C ⋅+⋅'+⋅''=)2s i n 2(2c o s 22502sin 22249505024928x x x x x -⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅= )2s i n 212252c o s 502sin (2250x x x x x ++-=.习题2-41. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy : (1) y 2-2x y +9=0;(2) x 3+y 3-3axy =0;(3) xy =e x +y ;(4) y =1-xe y .解 (1)方程两边求导数得2y y '-2y -2x y ' =0 ,于是 (y -x )y '=y ,xy y y -='. (2)方程两边求导数得3x 2+3y 2y '-2ay -3axy '=0,于是 (y 2-ax )y '=ay -x 2 ,axy x ay y --='22. (3)方程两边求导数得y +xy '=e x +y (1+y '),于是 (x -e x +y )y '=e x +y -y ,yx y x e x y e y ++--='. (4)方程两边求导数得y '=-e y -xe y y ',于是 (1+xe y )y '=-e y ,y y xeey +-='1. 2. 求曲线323232a y x =+在点)42 ,42(a a 处的切线方程和法线方程. 解方程两边求导数得 032323131='+--y y x , 于是 3131---='y x y , 在点)42 ,42(a a 处y '=-1. 所求切线方程为)42(42a x a y --=-, 即a y x 22=+. 所求法线方程为)42(42a x a y -=-, 即x -y =0. 3. 求由下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22dx y d : (1) x 2-y 2=1;(2) b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2;(3) y =tan(x +y );(4) y =1+xe y .解 (1)方程两边求导数得2x -2yy '=0,y '=yx , 3322221)(y y x y y y xx y y y x y y x y -=-=-='-='=''. (2)方程两边求导数得2b 2x +2a 2yy '=0,yx a b y ⋅-='22, 22222222)(y y x a b x y a by y x y a by ⋅--⋅-='-⋅-='' 32432222222ya b y a x b y a a b -=+⋅-=. (3)方程两边求导数得y '=sec 2(x +y )⋅(1+y '),1)(c o s 1)(s e c 1)(s e c 222-+=+-+='y x y x y x y 222211)(s i n )(c o s )(s i n y y x y x y x --=+-+++=, 52233)1(2)11(22yy y y y y y +-=--='=''. (4)方程两边求导数得y '=e y +xe y y ',ye y e xe e y y y y y -=--=-='2)1(11, 3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=-'-=-'---'=''. 4. 用对数求导法求下列函数的导数:(1) x xx y )1(+=;(2)55225+-=x x y ;(3)54)1()3(2+-+=x x x y ; (4)x e x x y -=1sin .解 (1)两边取对数得ln y =x ln|x |-x ln|1+x |，两边求导得xx x x x x y y +⋅-+-⋅+='11)1l n (1ln 1, 于是 ]111[l n )1(xx x x x y x ++++='. (2)两边取对数得)2l n (251|5|ln 51ln 2+--=x x y , 两边求导得22251515112+⋅--⋅='x x x y y , 于是 ]225151[25512552+⋅--=+-='x x x x x y . (3)两边取对数得)1l n (5)3l n (4)2l n (21ln +--++=x x x y , 两边求导得1534)2(211+---+='x x x y y , 于是 ]1534)2(21[)1()3(254+--+++-+='x x x x x x y (4)两边取对数得)1l n (41s i n ln 21ln 21ln x e x x y -++=, 两边求导得)1(4c o t 21211x e e x x y y --+=', 于是 ])1(4c o t 2121[1s i n x x xe e x x e x x y --+-=' ]1c o t 22[1s i n 41-++-=x x x e e x x e x x . 5. 求下列参数方程所确定的函数的导数dxdy : (1) ⎩⎨⎧==22bt y at x ; (2) ⎩⎨⎧=-=θθθθcos )sin 1(y x .解 (1)t ab at bt x y dx dy t t 23232==''=. (2)θθθθθθθθcos sin 1sin cos ---=''=x y dx dy . 6. 已知⎩⎨⎧==.cos ,sin t e y t e x t t 求当3π=t 时dx dy 的值. 解 tt t t t e t e t e t e x y dx dy t t t t t t cos sin sin cos cos sin sin cos +-=+-=''=, 当3π=t 时, 23313123212321-=+-=+-=dx dy . 7. 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程:(1) ⎩⎨⎧==t y t x 2cos sin , 在4π=t 处; (2) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2221313taty t atx , 在t =2处.解 (1)tt x y dx dy t t cos 2sin 2-=''=. 当4π=t 时, 222224cos )42sin(2-=-=⋅-=ππdx dy , 220=x , 00=y , 所求切线方程为)22(22--=x y , 即0222=-+y x ; 所求法线方程为)22(221---=x y , 即0142=--y x . (2)222222)1(6)1(23)1(6t at t t at t at y t +=+⋅-+=', 222222)1(33)1(23)1(3t at a t t at t a x t +-=+⋅-+=', 2212336ttat a atx y dx dy t t -=-=''=. 当t =2时, 3421222-=-⋅=dx dy , a x 560=, a y 5120=, 所求切线方程为)56(34512a x a y --=-, 即4x +3y -12a =0; 所求法线方程为)56(43512a x a y -=-, 即3x -4y +6a =0. 8. 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxy d : (1) ⎪⎩⎪⎨⎧-==.122t y t x ;(2) ⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos ; (3) ⎩⎨⎧==-t t ey e x 23; (4) ⎩⎨⎧-==)()()(t f t tf y t f x t t , 设f ''(t )存在且不为零. 解 (1) t x y dx dy t t 1-=''=, 322211)(t t t x y dx y d t t x =='''=. (2) t ab t a t b x y dx dy t t cot sin cos -=-=''=, ta b t a t a b x y dx y d t t x 32222sin sin csc )(-=-='''=. (3) t t t t t e e e x y dx dy 23232-=-=''=-, t t t t x e e e x y dx y d 322943232)(=-⋅-=''=. (4) t t f t f t f t t f x y dx dy t t ='''-''+'=''=)()()()(, )(1)(22t f x y dx y d t t x ''='''=. 9. 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数33dxy d : (1)⎩⎨⎧-=-=321t t y t x ; (2)⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2. 解(1)tt t t t dx dy 231)1()(223--='-'-=, )31(412)231(3222t t t t t dx y d +-=-'--=,)1(832)31(4125333t t t t t dx y d +-=-'+-=. (2)t tt t t t t dx dy 2112111])1[ln()arctan (22=++-='+'-=, t t t t t dxy d 4112)21(2222+=+'=, 3422338112)41(t t tt t t dx y d -=+'+=. 10. 落在平静水面上的石头, 产生同心波纹, 若最外一圈波半径的增大率总是6m/s , 问在2秒末扰动水面面积的增大率为多少？解设波的半径为r , 对应圆面积为S , 则S =πr 2, 两边同时对t 求导得 S t '=2πrr '.当t =2时, r =6⋅2=12, r 't =6,故S t '|t =2=2⋅12⋅6π=144π (米2/秒).11. 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中, 其速率为4m 2/min . 当水深为5m 时, 其表面上升的速度为多少？解水深为h 时, 水面半径为h r 21=, 水面面积为π241h S =, 水的体积为3212413131h h h hS V ππ=⋅==, dt dh h dt dV ⋅⋅=2312π, dtdV h dt dh ⋅=24π. 已知h =5(m)，4=dtdV (m 3/min), 因此 πππ2516425442=⋅=⋅=dt dV h dt dh (m/min).12. 溶液自深18cm 直径12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形筒中, 开始时漏斗中盛满了溶液, 已知当溶液在漏斗中深为12cm 时, 其表面下降的速率为1cm/min . 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解设在t 时刻漏斗在的水深为y , 圆柱形筒中水深为h . 于是有h y r 22253118631=-⋅⋅ππ. 由186y r =, 得3y r =, 代入上式得 h y y 2225)3(3118631=-⋅⋅ππ, 即 h y 233253118631=-⋅⋅π. 两边对t 求导得h y y t '='-222531. 当y =12时, y 't =-1代入上式得64.025165)1(1231222≈=-⋅⋅-='t h (cm/min)..2-71. 已知y =x 3-x , 计算在x =2处当∆x 分别等于1, 0.1, 0.01时的∆y 及dy . 解 ∆y |x =2, ∆x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18,dy |x =2, ∆x =1=(3x 2-1)∆x |x =2, ∆x =1=11;∆y |x =2, ∆x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161,dy |x =2, ∆x =0.1=(3x 2-1)∆x |x =2, ∆x =0.1=1.1;∆y |x =2, ∆x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601,dy |x =2, ∆x =0.01=(3x 2-1)∆x |x =2, ∆x =0.01=0.11.2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、∆y 及∆y -d y 并说明其正负.解 (a )∆y >0, dy >0, ∆y -dy >0.(b )∆y >0, dy >0, ∆y -dy <0.(c )∆y <0, dy <0, ∆y -dy <0.(d )∆y <0, dy <0, ∆y -dy >0.3. 求下列函数的微分:(1)x xy 21+=; (2) y =x sin 2x ;(3)12+=x xy ;(4) y =ln 2(1-x );(5) y =x 2e 2x ;(6) y =e -x cos(3-x );(7)21arcsin x y -=;(8) y =tan 2(1+2x 2);(9)2211arctan x x y +-=; (10) s =A sin(ωt +ϕ) (A , ω, ϕ是常数) .解 (1)因为xx y 112+-=', 所以dx x x dy )11(2+-=. (2)因为y '=sin2x +2x cos2x , 所以dy =(sin2x +2x cos2x )dx .(3)因为1)1(111122222++=++⋅-+='x x x x x x y , 所以dx x x dy 1)1(122++=. (4)dx x x dx x x dx x dx y dy )1ln(12])1(1)1ln(2[])1([ln 2--=--⋅-='-='=. (5)dy =y 'dx =(x 2e 2x )'dx =(2xe 2x +2x 2e 2x )dx =2x (1+x )e 2x .(6) dy =y 'dx =[e -x cos(3-x )]dx =[-e -x cos(3-x )+e -x sin(3-x )]dx=e -x [sin(3-x )-cos(3-x )]dx .(7)dx xx x dx x x dx x dx y dy 22221||)12()1(11)1(arcsin --=--⋅--='-='=. (8) dy =d tan 2(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)d tan(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)d (1+2x 2)=2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)⋅4xdx=8x ⋅tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)dx .(9))11()11(1111arctan 2222222x x d x x x x d dy +-+-+=+-= dx x x dx x x x x x x x 4222222214)1()1(2)1(2)11(11+-=+--+-⋅+-+=.(10) dy =d [A sin(ω t +ϕ)]=A cos(ω t +ϕ)d (ωt +ϕ)=A ω cos(ωt +ϕ)dx .4. 将适当的函数填入下列括号内, 使等式成立:(1) d ( )=2dx ;(2) d ( )=3xdx ;(3) d ( )=cos tdt ;(4) d ( )=sin ωxdx ;(5) d ( )dx x 11+=; (6) d ( )=e -2x dx ;(7) d ( )dx x1=; (8) d ( )=sec 23xdx .解 (1) d ( 2x +C )=2dx .(2) d (C x +223)=3xdx . (3) d ( sin t +C )=cos tdt .(4) d (C x +-ωωcos 1)=sin ωxdx . (5) d ( ln(1+x )+C )dx x 11+=. (6) d (C e x +--221)=e -2x dx . (7) d (C x +2)dx x1=. (8) d (C x +3tan 31)=sec 23xdx .5. 如图所示的电缆B O A的长为s , 跨度为2l , 电缆的最低点O 与杆顶连线AB 的距离为f , 则电缆长可按下面公式计算:)321(222lf l s +=, 当f 变化了∆f 时, 电缆长的变化约为多少？解 f f l df lf l dS S ∆='+=≈∆38)321(222. 6. 设扇形的圆心角α=60︒, 半径R =100cm(如图), 如果R 不变, α 减少30', 问扇形面积大约改变了多少？又如果α 不变, R 增加1cm , 问扇形面积大约改变了多少？解 (1)扇形面积221R S α=, αααα∆='=≈∆2221)21(R d R dS S . 将α=60︒3π=, R =100, 36003πα-='-=∆ 代入上式得 63.43)360(100212-≈-⋅⋅≈∆πS (cm 2). (2) R R dR R dS S R ∆='=≈∆αα)21(2. 将α=60︒3π=, R =100, ∆R =1代入上式得 72.10411003≈⋅⋅≈∆πS (cm 2). 7. 计算下列三角函数值的近似值:(1) cos29︒;(2) tan136︒.解 (1)已知f (x +∆x )≈f (x )+f '(x )∆x , 当f (x )=cos x 时, 有cos(x +∆x )≈cos x -sin x ⋅∆x , 所以cos29︒=87467.01802123)180(6sin 6cos )1806cos(≈⋅+=-⋅-≈-ππππππ. (2)已知f (x +∆x )≈f (x )+f '(x )∆x , 当f (x )=tan x 时, 有tan(x +∆x )≈tan x +sec 2x ⋅∆x , 所以。

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高数A （一）习题答案习题2-1 (A)1.63. 4. (1) ;)(0x f ' (2) ;)(0x f '- (3) ;)0(f ' (4) .)(20x f '5. (1);54x (2);3231-x (3) ;3.231.x (4) 32--x ; (5) 2527x ; (6) 1013x 103--.6. (1) 19.6 米； 19.6 米/秒 .7. 切线方程 ,0632=--+πy x法线方程 .03232=-+-πy x 8.（2，4）.9. (1)在0=x 连续且可导； (2)在0=x 连续且可导. 10. ;0)0(='+f ;-1)0(='-f )(x f 在点0=x 处不可导.习题2-1 (B)4.e1. 7. 0)0(='f .习题2-2 (A)1.(1) 33464xx x --; (2) 21232121----x x ; (3) x x sin 5cos 3+;(4) x x x x x x tan sec cos sin 22++; (5) 1ln +x ; (6)x x x x x22csc sec tan 21-+; (7) 2ln log 22xx x +; (8) b a x --2; (9)2)cos 1(1sin cos x x x +++;(10)2sin cos x xx x -; (11)2ln 1xx- (12)3)2(xe x x-; (13) x x x x x x x x sin ln cos cos ln 22⋅⋅-+⋅⋅;(14) x x cos 2;2. (1) 218332ππ-; (2) )42(22π-; (3) 181-;(4) 1517)2(,253)0(='='f f . 3. 3t 2t ==或.4. 切线方程 x y 2=，法线方程 x y 21-=.5. (1) 410; (2) 0 ; (3) 410- .13.(1)4)32(10+x ; (2) )31(cos 3x --; (3)212x x+; (4) a a e xxln +; (5)22)110(ln10102e 2+⋅+-x x x x x ; (6) 4x12-x ; (7) 222sin x a x x ---; (8) )(sec 3322x x ;(9) x2x ee +1; (10) a x x x 2ln )1(12+++. 14.(1) 322)41(38-+x x ; (2) )2(cos 2ln 2x x ⋅(3) x e x e xx 3sec 33tan 21222--+-; (4) 122-x x x ;(5)x xarctan 122+; (6)xxx-33sin 3ln 3cos 3;(7)221xx -; (8)22xa +1;(9) sec x ; (10) csc x .15.(1) )(cos 22cos 22x x x-; (2) csc x ; (3)2ln 22)1(22arctanx xx x x e ++; (4))(ln ln ln 1x x x ;(5)22)arccos (12x x x-; (6) -2sec2x .16.(1) cosh(cosh x )sinh x (2))(ln cosh 12x x ; (3) (3sinh x +2)sinh x cosh x (4) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+a x a 1x e x cosh 2sinh 22cosh ; (5) )1(cosh 222x x --; (6) 22224++x x x;(7)1242-x x e e ; (8) x 3tanh .17. (1))32(2x x +; (2) )3sin 93cos 7(x x e x --;(3) 2ln 2cos 2sin 2ln 2sin xxxx +; (4)222)arcsin (1arcsin 1x x x -x x --;(5)1ln 1+-n x x n ; (6) 3xx arctan 962+;(7) x cosh 12; (8) 222arctan2x)()4x 1()4x 1(2arctan2x )4x 1(4++-+.习题2-2 (B)1. (1)22)1(2x x-; (2) 23323)2()321()(-)2()211(x x-x-x x x x-x++;(3) )cos (cos )cos sin ()cos (sin )sin (sin αx x αx x x x x α++++-;(4) 23)cos 1(sin 2sin )cos 1(x xx x +++; (5) 22)tan (sec 2-tan 2x x x x x +;(6) )sec 2()ln 2(cos )tan (cos 1)tan ()ln 2(sinx 222x x x x x x x xx x x +-++-+--;(7) )49283(224+-x x x ; (8))ln (1x x 2-+.2.2)()(d xx g x g x dx y -'=. 3. 切线方程：022=--y x 和 022=+-y x .6. (1) 400英尺；(2) v(2) = 96英尺/秒； v(8) = - 96英尺/秒； (3) 10秒 7. (1) )()(e ()()(x x x f x f x e f x f e )e f e '+'; (2) )()]([x f x f f '';(3) x x f x x f )sin2(cos )sin2(sin 22'-'; (4) )(n n 1n b ax f x a -+'. 8. (1))()()()()()(d 22x x x x x x dx y ψϕψϕϕψ+'-'=. (2))()()()()()(d 22x x x x x x dx y ψϕψϕϕψ+'+'=. 9. x21)(='x f ; 21)21(='f .10. x xx f 121)(3---='. 12. (1) 211x +; (2)xx x xxx +++++2)21(1211; (3) 242x -;(4) xx x 2455ln 212⋅++; (5) a b a b x b b a a x a b xa b ln 11⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-;(6) ()2111ln ln a aa x axa xa a x a a x a a +-+-++; (7) 222-1)(1)-(12xx x +;(8) x e x x 1sin 222sin-; (9) 3/22)(1arcsin x x x -; (10) xx x x 21254e11ln55151++--. 13. )1(sin )1(sin 1cos 22x f x f x x'-. 14.)(22x xcos dx y d =; )()(22x cos x d y d =; )(32)(23x cos x x d y d =. 15. )2arcsin()]([x x f ='ϕ; 411)]([xx f -='ϕ; 412])]([[xx x f -='ϕ.16.1sin cos 222+πππe e e .17.)()1(2x 2x xe sin x xe dx yd +=. 18. 2e .习题2-3 (A)1. (1) 214x-; (2) x e 214-; (3) x x x sin cos 2-; (4) x exsin 22-; (5) 2/3222)(x a a --; (6) 232)1(/x x +-; (7) )23(222x xe x +; (8) 3)22(xx x e 2x +--; (9) x x tan sec 22; (10) 212tan 2xxx arc ++.习题2-3 (B)1. (1) n! (2) 1)1(!2)1(+--n nx n (3) )2(!)2()1(1≥---n xn n n ;(4) ]2)1(2[21π-+n x sin -n ; (5) )(n x e x +;(6) ])1(1)2(1[!)1(11++----n n n x x n ; (7) ])(1)()1([!)1(1nn n nbx a bx a b n -++---; (8) n m x n mm m m -++---1)1()11()21()11(1 ;(9) ]22[2π⋅+-n x cos n(10) 11)21(!2+--n n x n 2. (1) x cos e y x 4)4(-=; (2) x cosh xsinhx y 100)100(+=; (3) )2sin 212252cos 502sin (2250)0(x x x x x y 5++-=; 3. (1) )()(222x f 4x x f 2''+'; (2) 22x f x f x f x f )]([)]([)()('-''. 5. 21+=x y , 3x y )2(2+=''. 7. 0=+y dt yd 22.8. 0=+y dt yd 22.习题2-4 (A)1.(1) x y y -; (2) ax y x ay 22--; (3) yy xe e +-1; (4) y x y x e x y e ++-- (5) )(1)(11xy cos x yxy cos y x +-+ (6) )(1)(2222y x f 2y y x f 2x +'-+'. 3. 切线方程：022=-+a y x ；法线方程：0=-y x .4. (1) ]1)1([)1(222x2xsinxx cos ln cosx x sinx +++⋅+; (2) ]2222[)(2x cot x sec cosx x tan ln sinx tanx cosx ⋅⋅+⋅-;(3) ]163112[)1(3)1(232x xx x x x x 2++--++-+; (4)])(251121[2)1(3122x x x x x x x 35-+++-+; (5) ])1(21[121xx xe e cotx x e sinx x --+-; (6) )1()1()(1lnx x lnxlnlnx lnx 2x x-++-;(7) )1(1+++-lnx x ln x x x ππππ;(8) ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛x a b b a ln a x x b b a ba x .5. (1)t 2a 3b dx y d =; (2) t cos 2cos2tdx y d =; (3)ϕtan dxy d -=; (4) θθθθθθcos -sin -sin -cos dx y d 1=. 6. (1) 切线方程：042=-+y x ; 法线方程：032=-+y x . (2) 切线方程：01234=-+a y x ; 法线方程：0643=+-a y x .习题2-4 (B)1. (1) )()()()()()()(x ln x x ln x x ln x x 2ϕϕψϕϕψψ'-';(2) )()()()()()()()()(x x x ln x x x x x 2x ψϕψψϕϕψψϕ'-'. 2. ye e x y d dx yx y x --=++.3. (1) θθa sec dx y d 222=; (2) )(1t f dxy d 22''=;(3) )1(2222t t 6dyx d +=; (4) )1(832533t t dx y d +-=;(5) 343381tt dx y d -=; 4.4π. 5. 2e .6. 0 .8. (1) a (1)= - 6 (m/s 2) ; a (3)= 6 (m/s 2 ). (2) |v(2)| = 3 (m/s) ;9. 144π (m 2/s)10. 20402516.π≈(m/min). 11.640225144.π=(cm/min).12. 70 英里/小时. 习题2-5 (A)2. (a ) 0dy y 0dy 0y >->>∆∆,,;(b ) 0dy y 0dy 0y <->>∆∆,,; (c ) 0dy y 0dy 0y <-<<∆∆,,; (d ) 0dy y 0dy 0y >-<<∆∆,,.3. (1) dx x x)12(3+-; (2) dx x x x )2cos 22(sin +; (3) dx e x x 2x )1(2+; (4)dx xx412+-; (5) dx x x e x )]cos(3)[sin(3----; (6) dx x x x )21(sec )21(tan 8223++;(7)dx x xx 222)]1([ln 16---; (8)dx x x x xxx +++++2)211(211.4. (1)dx xy x +--182; (2) dx y x csc )(2+-; 5. (1) C x +2; (2) C x +223; (3) C t sin +; (4) C t cos 1+-ωω;(5) C x ++)(1ln ; (6) C e x +--221; (7) C x +2; (8) C x +3tan 31.习题2-5 (B)1. h R 0π2.2. 7683,4,0010,.V l .r l r V 2='===∆π, 0037680.dV V =≈∆; 用铜约为033550.(克).3. 0021021603.π-≈-. 4. 050.T =∆(秒)，设摆长约需加长 d l , d l 2292140050..≈⨯=π(厘米) .5. R 约增加了43.63 cm 2, 扇形面积约增加了 104.72 cm 2 .6. (1) 0. 87476 ; (2) - 0. 96509 .7. (1) 7430''o ; (2) 260'o .8. (3) 01309054tan .≈'; 0020)0021(ln ..≈.9. (1) 9.9867; (2) 2.0052 .总复习题二一、1. B 2. D 3. A 4. A 5. D 二、1. 充分；必要；充要.2. t 2e t t f =)(, t 2e 2t t f )1()(+='.3.1)1='-0(x f . 4. 1+=x y . 5. b. 6. [10, 20] .三、1. 212xx y +='.2. (1))]}([)]([)]([)({)]([)(2222222222x f sin x f x f cos x f x 4x f cos x f dx yd 2'-''+'=;(2) )(4)(2)()(2)]([2222222x f x x f x f x f x f dxyd ''+'+''+'=.3.xx ydx y d ln 2-=. 4. 32222)1ln ()1ln ()1ln (++-+=y xy x x y y dx y d . 5. 322)1(f f dx y d '-''=. 6. ⎪⎩⎪⎨⎧>-<≤<='1,110,20,3)(2x x x x x x f7. (1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-''≠++-'='-0,21)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x;(2) )(x f ' 在 ),(∞+-∞上是连续函数。