2013高三数学二轮复习专题—数列
2013高三数学总复习同步练习：6-3等比数列
6-3等比数列 基础巩固强化1.(文)(2011·北京朝阳一模)已知{a n }是由正数组成的等比数列，S n表示{a n }的前n 项的和，若a 1＝3，a 2a 4＝144，则S 5的值是( )A.692 B ．69 C ．93 D ．189 [答案] C[解析] 由a 2a 4＝a 23＝144得a 3＝12(a 3＝－12舍去)， 又a 1＝3，各项均为正数，则q ＝2. 所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝3×(1－32)1－2＝93.(理)(2012·哈尔滨质检)已知等比数列{a n }中，a 5、a 95为方程x 2＋10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( )A ．256B ．±256C ．64D ．±64 [答案] D[解析] 由韦达定理可得a 5a 95＝16，由等比中项可得a 5a 95＝(a 50)2＝16，故a 50＝±4，则a 20a 50a 80＝(a 50)3＝(±4)3＝±64.2．(2012·沈阳质检)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1、a ＋1、a ＋4，则该数列的通项a n ＝( )A ．4×(23)n －1B ．4×(23)nC ．4×(32)nD ．4×(32)n －1[答案] D[解析] 据前三项可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，故等比数列的首项为4，q ＝a 2a 1＝32，故a n ＝4×(32)n －1.3．(2012·北京文，6)已知数列{a n }为等比数列，下面结论中正确的是( )A ．a 1＋a 3≥2a 2B ．a 21＋a 23≥2a 22C ．若a 1＝a 3，则a 1＝a 2D ．若a 3＞a 1，则a 4＞a 2[答案] B[解析] 本题考查了等比数列、均值不等式等知识，可用排除法求解．当a 1<0，q <0时，a 1<0，a 2>0，a 3<0，所以A 错误；而当q ＝－1时，C 错误；当q <0时，由a 3>a 1得a 3q <a 1q ，即a 4<a 2，与D 项矛盾，所以B 项正确．[点评] B 选项可证明如下：设{a n }的公差为q ，则a 21＋a 23＝a 21(1＋q 4)≥a 21·2q 2＝2a 22.4．(2011·四川文，9)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．44＋1[答案] A[解析] ∵a n ＋1＝3S n ，① ∴a n ＝3S n －1(n ≥2)，②①－②得a n ＋1－a n ＝3S n －3S n －1＝3a n ， 即a n ＋1＝4a n ， ∴a n ＋1a n＝4(n ≥2)． 当n ＝2时，a 2＝3a 1＝3，∴a 2a 1＝3≠4， ∴a n 为从第2项起的等比数列，且公比q ＝4， ∴a 6＝a 2·q 4＝3·44.5．(文)已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29[答案] C[解析] 运用等比数列的性质 a 1a 4＝a 2a 3＝2a 1⇒a 4＝2，① a 4＋2a 7＝2×54，②由①②得⎩⎨⎧a 1＝16，q ＝12∴S 5＝16[1－(12)5]1－12＝31.(理)已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a 2n }的前n 项的和为( )A ．4n－1 B.13(4n－1) C.43(4n－1) D ．(2n －1)2[答案] B[解析] n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，又a 1＝S 1＝21－1＝1也满足，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．设b n ＝a 2n ，则b n＝(2n －1)2＝4n －1， ∴数列{b n }是首项b 1＝1，公比为4的等比数列，故{b n }的前n 项和T n ＝1×(4n －1)4－1＝13(4n－1)．6．(2012·深圳二调)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2[答案] C[解析] 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，∵a 5·a 2n －5＝a 1q 4·a 1q 2n －6＝22n ，即a 21·q 2n －2＝22n ⇒(a 1·q n －1)2＝22n ⇒a 2n ＝(2n )2，∵a n >0，∴a n ＝2n ，∴a 2n －1＝22n －1，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 22＋log 223＋…＋log 222n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝1＋(2n －1)2·n ＝n 2，故选C.7．(文)(2012·泉州五中模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ＝2.若a n ＝64，则n 的值为________．[答案] 7[解析] a n ＝a 1q n －1＝2n －1＝64，∴n ＝7.(理)等比数列{a n }的公比q >0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝______.[答案] 152[解析] ∵a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，∴a 3＋a 2＝6a 1.∵a 2＝1，a 2·q ＋a 2＝6a 2q ，∴q ＋1＝6q，∴q 2＋q －6＝0，∵q >0，∴q ＝2，∴a 1＝12a 3＝2，a 4＝4，∴S 4＝12＋1＋2＋4＝152.8．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1、a 3、a 7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n ＝________.[答案] n ＋1[解析] 设等差数列首项a 1，公差d ，则 ∵a 1、a 3、a 7成等比，∴a 23＝a 1a 7， ∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，∴a 1＝2d ， 又S 7＝7a 1＋7×62d ＝35d ＝35，∴d ＝1，∴a 1＝2，∴a n ＝n ＋1.9．(2012·江苏，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．[答案] 35[解析] 本题考查等比数列及古典概型的知识．等比数列的通项公式为a n ＝(－3)n －1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．若a n ≥8，则n 为奇数且(－3)n －1＝3n －1≥8，则n －1≥2，∴n ≥3，∴n ＝3,5,7,9，共四项满足要求．∴p ＝1－410＝35.[点评] 直接考虑情况较多时，可以从其对立面来考虑问题． 10．(2012·河南豫北六校精英联考)已知等比数列{a n }是递增数列，a 2a 5＝32，a 3＋a 4＝12.数列{b n }满足b n ＝1a n.(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{nb n }的前n 项和S n .[解析] (1)因为数列{a n }为等比数列且a 2a 5＝32，所以a 3a 4＝32，又a 3＋a 4＝12，解得：⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝4，a 4＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 4＝4.(由{a n }是递增数列知不合题意，舍去)所以q ＝2，a 1＝1，所以a n ＝2n －1，即b n ＝12n －1.(2)由(1)知，∴nb n ＝n 2n －1.设S n ＝1＋22＋322＋…＋n2n －1，①则12S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，② 由①－②得，12S n ＝1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－n 2n＝1－(12)n1－12－n 2n 2－22n －n2n ＝2－n ＋22n ，所以，S n ＝4－n ＋22n －1.能力拓展提升11.(文)(2011·山东济南模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16[答案] D[解析] 由题意可知，a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.(理)(2011·辽宁六校模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3 C.a n ＋1a n D.S n ＋1S n[答案] D[解析] 数列{a n }为等比数列，由8a 2＋a 5＝0，知8a 2＋a 2q 3＝0，因为a 2≠0，所以q ＝－2，a 5a 3＝q 2＝4；S 5S 3＝1－q 51－q 3＝113；a n ＋1a n＝q ＝－2；S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－q ，其值与n 有关，故选D. 12．(文)已知等比数列{a n }的公比q >0，其前n 项的和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( )A ．S 4a 5<S 5a 4B ．S 4a 5>S 5a 4C ．S 4a 5＝S 5a 4D ．不确定[答案] A[解析] (1)当q ＝1时，S 4a 5－S 5a 4＝4a 21－5a 21＝－a 21<0.(2)当q ≠1且q >0时，S 4a 5－S 5a 4＝a 211－q (q 4－q 8－q 3＋q 8)＝a 21q31－q(q －1)＝－a 21q 3<0.[点评] 作差，依据前n 项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论，请再做下题：已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，试比较S 3a 3与S 5a 5的大小．[解析] 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5；当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 1(1－q 3)a 1q 2(1－q )－a 1(1－q 5)a 1q 4(1－q )＝q 2(1－q 3)－(1－q 5)q 4(1－q )＝－q －1q 4<0， 所以有S 3a 3<S 5a 5.综上可知有S 3a 3<S 5a 5.(理)(2012·云南省二检)已知等比数列{a n }的公比q ＝2，它的前9项的平均值等于5113，若从中去掉一项a m ，剩下的8项的平均值等于14378，则m 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8[答案] B[解析] 数列{a n }前9项的和为S 9＝5113×9＝1533，即a 1(1－29)1－2＝1533，解得a 1＝3.又知a m ＝S 9－14378×8＝96，而a m ＝3·2m －1，即3·2m－1＝96，解得m ＝6.13．已知a 、b 、c 成等比数列，如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，则a x ＋cy＝________.[答案] 2[解析] 由条件知x ＝a ＋b 2，y ＝b ＋c 2，c ＝bq ，a ＝bq ，∴a x ＋c y ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝2bq b q ＋b ＋2bq b ＋bq＝21＋q ＋2q 1＋q＝2. 14．(2012·北京东城练习)已知等差数列{a n }首项为a ，公差为b ，等比数列{b n }首项为b ，公比为a ，其中a 、b 都是大于1的正整数，且a 1<b 1，b 2<a 3，那么a ＝________；若对于任意的n ∈N *，总存在m ∈N *，使得b n ＝a m ＋3成立，则a n ＝________.[答案] 2 5n －3[解析] 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a <b ，ab <a ＋2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，(a －2)b <a ，若a ＝2，显然符合条件；若a >2，则a <b <aa －2，解得a <3，即2<a <3，即不存在a 满足条件，由此可得a ＝2.当a ＝2时，a n ＝2＋(n －1)b ，b n ＝b ×2n －1，若存在m ∈N *，使得b n ＝a m ＋3成立，则b ×2n －1＝2＋(m －1)b ＋3，即得b ×2n －1＝bm ＋5－b ，当b ＝5时，方程2n －1＝m 总有解，此时a n ＝5n －3.15．(2012·北京东城练习)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n＝4a n －3(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．[解析] (1)证明：因为S n ＝4a n －3，所以n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43(2)因为a n ＝(43)n －1，b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝(43)n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝2＋1－(43)n －11－43＝3·(43)n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时也符合上式，∴b n ＝3·(43)n －1－1.16．(文)(2012·吉林省实验中学模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1＝1，公比为q ，且b 2＋S 2＝12，q ＝S 2b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设数列{c n }满足c n ＝1S n ，求{c n }的前n 项和T n .[解析] (1)设数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎨⎧b 2＋S 2＝12，q ＝S 2b 2.∴b 2＋b 2q ＝12，∴b 1q ＋b 1q 2＝12，∵b 1＝1，∴q ＋q 2＝12，∵b n >0，∴q >0，∴q ＝3，∴b 2＝3，S 2＝9， 又a 1＝3，∴a 2＝6，公差d ＝3， ∴a n ＝3n ，b n ＝3n －1. (2)S n ＝n (3＋3n )2＝3n (n ＋1)2，∴C n ＝1S n ＝23n (n ＋1)＝23(1n －1n ＋1)，∴T n ＝C 1＋C 2＋…＋C n ＝23[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝23(1－1n ＋1)＝2n3(n ＋1).(理)(2012·浙江绍兴质量调研)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且对任意n ∈N *，有a n ＋1＝kS n ＋1(k 为常数)．(1)当k ＝2时，求a 2、a 3的值；(2)试判断数列{a n }是否为等比数列？请说明理由． [解析] (1)当k ＝2时，a n ＋1＝2S n ＋1，令n ＝1得a 2＝2S 1＋1，又a 1＝S 1＝1，得a 2＝3； 令n ＝2得a 3＝2S 2＋1＝2(a 1＋a 2)＋1＝9，∴a 3＝9. ∴a 2＝3，a 3＝9.(2)由a n ＋1＝kS n ＋1，得a n ＝kS n －1＋1， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝ka n (n ≥2)，即a n ＋1＝(k ＋1)a n (n ≥2)，且a 2a 1＝k ＋11＝k ＋1，故a n ＋1＝(k ＋1)a n . 故当k ＝－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，(n ＝1)，0.(n ≥2).此时，{a n }不是等比数列；当k ≠－1时，a n ＋1a n＝k ＋1≠0，此时，{a n }是首项为1，公比为k＋1的等比数列．综上，当k ＝－1时，{a n }不是等比数列； 当k ≠－1时，{a n }是等比数列．1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，令T n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1，则T n 等于( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) [答案] C [解析]a n a n ＋1a n －1a n＝q 2，即数列{a n a n ＋1}是以q 2为公比的等比数列．由a 2＝2，a 5＝14得q ＝12，∴a 1＝4，a 1a 2＝8，所以T n ＝8[1－(14)n]1－14＝323[1－(14)n ]．2．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a >b ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e 等于( )A.32B.152 C.13 D.133[答案] D[解析] ∵a ＋b ＝5，a ·b ＝6，a >b >0， ∴a ＝3，b ＝2.∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝133.3．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1、a 3、a 4成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( )A ．2B ．3 C.15 D ．不存在[答案] A[解析] 由条件a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，∴a 1d ＋4d2＝0，∵d ≠0，∴a 1＝－4d ，∴S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝－2d －d＝2.4．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，P 与Q 的大小关系是( )A ．P ≥QB ．P <QC ．P ≤QD ．P >Q[答案] D[解析] P ＝log 0.5a 5a 7＝log 0.5a 3a 9，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，∵q ≠1，∴a 3≠a 9，∴a 3＋a 92>a 3a 9，又∵y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上递减， ∴log 0.5a 3＋a 92<log 0.5a 3a 9，即Q <P .故选D.5．已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形状：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 ……………………记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (11,12)＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1367B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1368C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13111 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 [答案] D[解析] 由图形知，各行数字的个数构成首项为1，公差为2的等差数列，∴前10行数字个数的和为10×1＋10×92×2＝100，故A (11,12)为{a n }的第112项，∴A (11,12)＝a 112＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112.6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A．4 B．5C．6 D．7[答案] D[解析]由程序框图可知，S＝1＋2＋22＋…＋2k＝2k＋1－1，由S<100得，2k＋1<101，∵26＝64,27＝128，∴k＋1＝7，∴k＝6，结合语句k＝k＋1在S ＝S＋2k后面知，当k＝6时，S＝127，k的值再增加1后输出k值为7.[点评]这是最容易出错的地方，解这类题时，既要考虑等比数列求和，在k取何值时，恰满足S≥100，又要顾及S与k的赋值语句的先后顺序．7．(2011·山东临沂一模)已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(1a1＋1a2)，a3＋a4＝32(1a3＋1a4)．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝a2n＋log2a n，求数列{b n}的前n项和T n.[解析](1)设等比数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1，由已知得a1＋a1q＝2(1a1＋1a1q)，a 1q 2＋a 1q 3＝32(1a 1q 2＋1a 1q3)．化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q (q ＋1)＝2(q ＋1)，a 21q 5(q ＋1)＝32(q ＋1)，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 5＝32.又∵a 1>0，q >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.∴a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝a 2n ＋log 2a n＝4n －1＋(n －1)， ∴T n ＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n －1) ＝4n －14－1＋n (n －1)2＝4n －13＋n (n －1)2.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ＋2，S n ＋1)在直线y ＝4x －5上，其中n ∈N *.令b n ＝a n ＋1－2a n ，且a 1＝1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)若f (x )＝b 1x ＋b 2x 2＋b 3x 3＋…＋b n x n ，求f ′(1)的表达式． [解析] (1)∵S n ＋1＝4(a n ＋2)－5，∴S n ＋1＝4a n ＋3. ∴S n ＝4a n －1＋3(n ≥2)，∴a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2) ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∴b n b n －1＝a n ＋1－2a na n －2a n －1＝2(n ≥2)． ∴数列{b n }为等比数列，其公比为q ＝2，首项b 1＝a 2－2a 1， 而a 1＋a 2＝4a 1＋3，且a 1＝1，∴a 2＝6. ∴b 1＝6－2＝4，∴b n ＝4×2n －1＝2n ＋1. (2)∵f (x )＝b 1x ＋b 2x 2＋b 3x 3＋…＋b n x n ， ∴f ′(1)＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n . ∴f ′(1)＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1① ∴2f ′(1)＝23＋2·24＋3·25＋…＋n ·2n ＋2②①－②得－f ′(1)＝22＋23＋24＋…＋2n ＋1－n ·2n ＋2 ＝4(1－2n )1－2－n ·2n ＋2＝－4(1－2n )－n ·2n ＋2，∴f ′(1)＝4＋(n －1)·2n ＋2.9．已知{a n }是首项为a 1、公比q (q ≠1)为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且有5S 2＝4S 4，设b n ＝q ＋S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若是，求出a 1的值；若不是，请说明理由．[解析] (1)由题意知5S 2＝4S 4， S 2＝a 1(1－q 2)1－q ，S 4＝a 1(1－q 4)1－q ，∴5(1－q 2)＝4(1－q 4)，又q >0，∴q ＝12.(2)∵S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，于是b n ＝q ＋S n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，若{b n }是等比数列，则12＋2a 1＝0，∴a 1＝－14.此时，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12，∴数列{b n }是等比数列． 所以存在实数a 1＝－14，使数列{b n }为等比数列．。
高考数学二轮复习第一篇专题四数列第2讲数列求和及简单应用课件理
+2an+1=4S
n+1+3.
可得
a2 n 1
-
an2
+2(an+1- an)=4an+1,即
2(an+1+an)=
a2 n 1
-
an2
= (an+1+an)(an+1-an).
由于 an>0,可得 an+1-an=2.
又 a12 +2a1=4a1+3, 解得 a1=-1(舍去)或 a1=3.
所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n+1.
第二个使用累积的方法、第三个可以使用待定系数法化为等比数列(设 an+1+λ =p(an+λ),展开比较系数得出λ);(3)周期数列,通过验证或者推理得出数列的 周期性后得出其通项公式.
热点训练 1:(1)(2018·湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)在数列{an}
中,a1=2, an1 = an +ln(1+ 1 ),则 an 等于( )
n
所以
1 =2（1- 1 + 1 - 1 +…+ 1 -
1
）
S k 1 k
223
n n1
=2(1- 1 ) n 1
= 2n . n 1
答案: 2n n 1
3.(2015·全国Ⅱ卷,理16)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则
Sn=
.
解析:因为 an+1=S n+1-Sn,所以 Sn+1-Sn=Sn+1Sn,
高三数学二轮复习数列的综合应用课件
P2
P1
Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，
求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1
所围成的区域的面积Tn．
O
x 1 x2
x3
x4
x
已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2．
（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，
（1）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn ＝
1
7
≤|Tn|≤ ．
3
9
−1
，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，
已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*)．
（1）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn ＝
Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝
xn＋1所围成的区域的面积Tn．
y
P4
P3
P2
P1
O
x1 x2
x3
x4
x
数列求和的
基本方法
01
公式法
02
分组求和法
03
错位相减法
04
倒序相加法
05
裂项相消法
考点2：数列与不等式综合问题
已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*)．
1
7
≤|Tn|≤ ．
3
9
−1
，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，
高三数学第二轮复习专题 数列数列通项的求法(教案及测试;含详解答案)
城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求：1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项；4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆：回忆近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考察，往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识，因此，假设这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关： 数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，其中是数列的第n 项，我们把上面数列简记为. 数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、 数列.数列的通项公式：1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕，且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()na f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案： 数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动 数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式 递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法，其本质就是通过观察数列的特征，找出各项一一共同的构成规律，横向看各项之间的关系构造，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1.数列12，14，58-，1316，2932-，6164，…．写出数列的一个通项公式．分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．解析：先看符号，第一项有点违犯规律，需改写为12--，由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即{23}n -． 所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-． 点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.分析：对于数列{}n a ，是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可.解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d，∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式，从而求出na 。
高三数学二轮复习数列[1]
![高三数学二轮复习数列[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/e1d65aff9e314332396893b5.png)
高三数学二轮复习教学案——等差数列与等比数列一、【填空】1.已知各项均为实数的数列{a n }为等比数列，且满足a 1＋a 2＝12，a 2a 4＝1，则a 1＝_______.2. 在等差数列{a n }中，若a 1，a 2 011为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 006＋a 2 010＝__________________.3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝______________. 4．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为---------------5.等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝____________.6. 已知等比数列{}n a 中，214S ,23a 33==，则1a =_____________________. 二、【解答】7. 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．8.设{}n a 数列为等比数列，{}n b 数列为等差数列，且10b =，n n n c a b =+，若{}n c 是1,1,2,, 求{}n c 的前10项和.9. 等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足：b n＝a n＋(－1)n ln a n，求数列{b n}的前n项和S n.10. 已知数列{a n}满足如下图所示的程序框图．(1)写出数列{a n}的一个递推关系式；(2)证明：{a n＋1－3a n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；(3)求数列{n(a n＋3n－1)}的前n项和T n.。
2013届高三数学二轮复习 小题狂练3 理
小题狂练(三)(限时40分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝[2，＋∞)， 则图中阴影部分所表示的集合为( )．A ．{0,1,2}B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{1} 2．命题“∃x ∈R ，x 3－2x ＋1＝0”的否定是( )．A ．∃x ∈R ，x 3－2x ＋1≠0B ．不存在x ∈R ，x 3－2x ＋1≠0C ．∀x ∈R ，x 3－2x ＋1＝0D ．∀x ∈R ，x 3－2x ＋1≠0 3．设i 是虚数单位，则i1－i3＝( )．A.12－12B ．1＋12iC.12＋12D ．1－12i4．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝a 3a 5，则a 7＝( )．A.116 B.18 C.14 D.125．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象 ( )．A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位6．设随机变量X 服从正态分布N (0,1)，P (X >1)＝p ，则P (X >－1)＝( )．A ．pB ．1－pC ．1－2pD ．2p7．在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →²CB →等于( )．A ．2B ．3C ．4D ．68．某同学设计右面的程序框图用以计算12＋22＋32＋…＋202的值，则在判断 框中应填写 ( )．A ．i ≤19B ．i ≥19C ．i ≤20D ．i ≤219．已知函数f (x )＝sin x －12x (x ∈[0，π])，那么下列结论正确的是( )．A ．f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π上是减函数C ．∃x ∈[0，π]，f (x )>f ⎝⎛⎭⎫π3D ．∀x ∈[0，π]，f (x )≤f⎝⎛⎫π3 10．函数y ＝e sin x (－π≤x ≤π)的大致图象为( )．11．过点(－2,0)且倾斜角为π4的直线l 与圆x 2＋y 2＝5相交于M 、N 两点，则线段MN 的长为( )．A ．2 2B ．3C ．2 3D ．612．已知抛物线y 2＝4x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，且此双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的焦距等于( )．A. 5 B ．2 5 C. 3D ．2 3二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．在区间[0,9]上随机取一实数x ，则该实数x 满足不等式1≤log 2x ≤2的概率为________． 14．一个棱锥的三视图如图所示， 则这个棱锥的体积为________．15．已知双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，那么双曲线的离心率为________．16．已知函数f (x )＝3 sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2 cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 参考答案【小题狂练(三)】1．D [阴影部分的元素x ∈A 且x ∉B ，即A ∩∁U B ，选项D 符合要求．] 2．D [根据含有量词的命题的否定知D 正确．]3．C [i 1－i 3＝i 1＋i ＝i²1－i 1＋i 1－i ＝1＋i 2＝12＋i2，故选C.]4．B [由题意知，a 4＝1，所以q ＝12a 7＝a 1q 6＝18.]5．D [要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，只需将函数y ＝sin 2x 中的x 减去π6，即得到y＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.]6．B [∵P (X <－1)＝P (X >1)，则P (X >－1)＝1－p .]7．B [CM →²CB →＝(CB →＋BM →)²CB →＝|CB →|2＋BM →²CB →＝9＋3³22³cos 135°＝3.] 8．C [由计算式可知程序到i ＝20终止，因此判断框中应填i ≤20.]9．D [注意到f ′(x )＝cos x －12，当x ∈⎝⎛⎭0，π3时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫π3，π时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在⎝⎛⎭0，π3上是增函数，在⎝⎛⎭⎫π3，π上是减函数，f (x )在[0，π]内的最大值是f ⎝⎛⎭⎫π3，即∀x ∈[0，π]，都有f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3，因此D 正确．]10．D [取x ＝－π，0，π这三个值，可得y 总是1，故排除A 、C ；当0<x <π2时，sinx 是增函数，e x 也是增函数，故y ＝e sin x 也是增函数，故选D.]11．C [直线l 的方程为：x －y ＋2＝0，圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝22＝ 2.则|MN |＝252－22＝2 3.]12．B [∵抛物线y 2＝4x 的淮线x ＝－1过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，∴a＝1，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±bx .∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，∴b ＝2，∴c ＝a 2＋b 2＝5，∴双曲线的焦距为2 5.]13．解析 由1≤log 2x ≤2得：2≤x ≤4，故所求概率为29.答案 2914．解析 依题意得，该棱锥的体积等于13³(3³4)³3＝12.答案 1215．解析 双曲线kx 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±kx ， 直线2x ＋y ＋1＝0的斜率为－2，∴k ³(－2)＝－1，即k ＝14.∴e ＝c a＝22＋124＝52. 答案5216．解析 由对称轴完全相同知两函数周期相同，∴ω＝2，∴f (x )＝3 sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得－π6≤2x －π6≤56π，∴－32≤f (x )≤3.答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3。
2013届高三数学二轮复习保温特训4 数列、不等式 理
n
fx ≤0 直 接 转 化 为 gx
f(x)·g(x)≤0，而忽视 g(x)≠0.
8．易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数
f(x)＝ x2＋2＋
1
x ＋2
2
3 的最值， 就不能利用基本不等式求解最值； 求解函数 y＝x＋ (x<0)
x
时应先转化为正数再求解． 9．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如
保温特训(四)
数列、不等式
基础回扣训练(限时 40 分钟) 1．公差不为零的等差数列第 2,3,6 项构成等比数列，则公比为 ( A．1 B．2 C．3 D．4 )．
1 1 2．若 < <0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b 中，正确的不等式有
a b
( A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
)．
5．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，Sn 为{an}的前 n 项和， 则 S10 的值为 ( A．－110 C．90 B．－90 D．110 )． )．
6．已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3＝5，a4a5a6＝5 2，则 a7a8a9＝( A．10 B．2 2
n
不能取 2，所以既要考虑函数的单调性，又要注意 n 的取值限制． 2．已知数列的前 n 项和求 an 时，易忽视 n＝1 的情况，直接用 Sn－Sn－1 表示 an；应注意 an，
S1，n＝1， Sn 的关系中是分段的，即 an＝ Sn－Sn－1，n≥2.
2
3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活利用整体代换等方法进行基本 运算，如等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，已知 ＝ 确赋值求解结果． 4．易忽视等比数列的性质，导致增解、漏解现象，如忽视等比数列的奇数项或偶数项符号 相同而造成增解；在等比数列求和问题中忽视公比为 1 的情况导致漏解，在等比数列中
高三数学二轮专题复习教案数列
高三数学二轮专题复习教案――数列 一、本章知识结构：二、重点知识回顾１．数列的概念及表示方法（１）定义：按照一定顺序排列着的一列数．（２）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．（３）分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．（４）n a 与n S 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥． 2．等差数列和等比数列的比较（１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为0）的数列叫做等比数列． （２）递推公式：110n n n n a a d a a q q n *++-==≠∈N ，·，，．（３）通项公式：111(1)n n n a a n d a a q n -*=+-=∈N ，，．（４）性质等差数列的主要性质：①单调性：0d ≥时为递增数列，0d ≤时为递减数列，0d =时为常数列．②若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ，，，．特别地，当2m n p +=时，有2m n p a a a +=．③()()n m a a n m d m n *-=-∈N ，．④232k k k k k S S S S S --，，，…成等差数列．等比数列的主要性质：①单调性：当1001a q <⎧⎨<<⎩，或101a q >⎧⎨>⎩时，为递增数列；当101a q <⎧⎨>⎩，，，或1001a q >⎧⎨<<⎩时，为递减数列；当0q <时，为摆动数列；当1q =时，为常数列．②若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q *=∈N ··，，，．特别地，若2m n p +=，则2m n pa a a =·．③(0)n m nm a q m n q a -*=∈≠N ，，．④232k k k k kS S S S S --，，，…，当1q ≠-时为等比数列；当1q =-时，若k 为偶数，不是等比数列．若k 为奇数，是公比为1-的等比数列． 三、考点剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质 例1. （2008深圳模拟）已知数列.12}{2n n S n a n n -=项和的前（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列.|}{|n n T n a 项和的前解：（1）当111112,1211=-⨯===S a n 时；、 当.213])1()1(12[)12(,2221n n n n n S S a n n n n -=-----=-=≥-时，.213111的形式也符合n a -=.213}{,n a a n n -=的通项公式为数列所以、（2）令.6,,0213*≤∈≥-=n n n a n 解得又N当2212112||||||,6n n S a a a a a a T n n n n n -==+++=+++=≤ΛΛ时；当||||||||||,67621n n a a a a a T n ++++++=>ΛΛ时na a a a a a ----+++=ΛΛ87621.7212)12()6612(222226+-=---⨯⨯=-=n n n n S S n综上，⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=.6,7212,6,1222n n n n n n T n 点评：本题考查了数列的前n 项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n ＝１时情况，在解题时经常会忘记。
13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编6：数列
曲线 C 的切线,切点为 T2 ,设 T2 在 x 轴上的投影是点 H 2 ,,依次下去,得到第 n 1 (n N) 个切点 Tn 1 .则点 Tn 1 的坐标为______.
【答案】 n， en
2
9 ． （江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市 2013 届高三第三次调研测试数学试卷）已知
(1) n (n 15) bn = n 16 an
(ii)当 n<16 时,
当 n 为偶数时
1 bn (n 15) = =-1n 16 n 16 an
n=14 时(
1 b 13 bn )max=- ( n )min=2 an 14 an 1 1 14 bn n 15 b = =1+ , n=1 , ( n )max=1= , n 16 15 15 an n 16 an
14（ ．江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷） 等差数列{an}的公差为-2,且 a1,a3,a4
成等比数列,则 a20=_______________.
【答案】 30 15（ ．南京市、 盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷） 已知数列{an}的通项公式为 an=-n+p,
an 满 足
a1 1, an 1 1 an (an 1) , (n N ) ,且
____.
【答案】 二、解答题
1 1 1 =2,则 a2013 4a1 的最小值为 a1 a2 a2012
7 2
25． （江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题）设数列
an 的各项均为正
数,其前 n 项的和为 S n ,对于任意正整数 m , n , S m n (1)若 a1 1 ,求 a2 , a3 , a4 及数列 an 的通项公式; (2)若 a4 a2 (a1 a2 1) ,求证:数列 an 成等比数列.
数列的单调性讲义-高三数学二轮专题复习
数列的单调性所谓数列，由前面的基础知识可知，实则就是函数图像上一个个孤立的点，而单调性作为函数最重要的性质之一，自然而然的单调性也是数列的一个基本性质之一.本节就数列的单调性问题进行相关总结.一、研究数列单调性的基本方法1、 作差法：例1、已知数列{a n }满足a n =n+12n ，证明：数列{a n }单调递减. 证明：∵a n =n+12n ∴a n+1=n+22n+1.则a n+1−a n =n+22n+1−n+12n =−n 2n+1<0恒成立故数列{a n }单调递减2、 作商法：例2、已知a n =(n +1)(1011)n (n ∈N ∗)，证明：数列{a n }先递增后递减.证明：令a n a n−1≥1(n ≥2) 即(n+1)(1011)n n∙(1011)n−1≥1整理得：n+1n≥1110，得n ≤10 同理，令a n a n+1≥1 即(n+1)(1011)n (n+2)∙(1011)n+1≥1整理得：n+1n+2≥1011，得n ≥9∴{a n }从第1项到第9项递增，从第10项开始递减，得证.3、 函数法(导数法)例4、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值.解：（1）略（29n a n =-）（2） 方法一：我们可以借助一个二次函数函数()28,0f x x x x =-≥，很明显这个函数在[)0,4上单调递减，在[)4,+∞上单调递增，那么可以得到最小值()()min 416f x f ==-，从而2=8n S n n -的最小值为416S =-.方法二：由于数列{}n a 的通项公式29n a n =-，可以借助函数()29,0f x x x =-≥.在90,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，()0f x <；在9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，()0f x ≥，所以数列{}n a 的前4项均为负数，故而n S 的最小值为416S =-.变式:（1）如果一个数列的前n 项和为2=9n S n n -，那么求n S 取得最小值时序号n 是多少？很显然，4n =或5n =.(取得最值时为n =4.5，但n 只能取整数)（2）在（1）的前提下，求n nS 取得最小值时序号n 是多少？可以借助函数()329,0f x x x x =-≥，求导()'23183(6),0f x x x x x x =-=-≥.()f x 在[)0,6单调递减，在[)6,+∞上单调递增，从而()()min 6108f x f ==-.故而n nS 取得最小值时序号n 是6.例5、已知单调递增数列{}n a 的通项公式()2,4,01,6,4n n a n a a a a n a n -⎧<⎪=>≠⎨--≥⎪⎩其中且求a 的取值范围.解：这一个题我们很容易想到这样题目：设()y f x =在R 上是的一个增函数，且()()2,4,01,6,4x a x f x a a a x a x -⎧<⎪=>≠⎨--≥⎪⎩其中且 求a 的取值范围.只需要()4216064a a a a a -⎧>⎪->⎨⎪≤-⋅-⎩，可以求得a 的范围是(]1,3.对于数列{}n a 就有一点问题，因为数列在直角坐标系所对应的点是不连续的限制条件应该为34160a a a a >⎧⎪->⎨⎪<⎩，即()3216064a a a a a -⎧>⎪->⎨⎪<-⋅-⎩，求得a 的范围是()1,4.变式：（1）设函数f (x )={(a −2)x ，x ≥2，(12)x −1，x <2，，a n =f(n)，若数列{}n a 是递减数列，求实数a 的取值范围.由题意()()2012a f f -<⎧⎪⎨>⎪⎩即可，可得a 的取值范围7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）已知数列{}n a 中，()()*11,,021n a n N a R a a n =+∈∈≠+-.对任意的*n N ∈，都有6n a a ≤成立，求a 的取值范围.由题意，可借助函数()()112112212f x a a x x =+=+-+-- 在2,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，2,2a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减 再结合数列的离散性特点，可得限制条件2562a -<<，得到a 的范围为()10,8--. 总结：我们在利用函数与数列共性来解题时，还要注意数列的特殊性（离散性），它的图像是一系列孤立的点，而不像我们研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解题中应该充分利用这一特殊性.在研究数列单调性时，只要这些点每个比它的前一个点高（即1n n a a +<），则图象呈上升趋势；反之，呈下降趋势.二、课后练习1、 已知c n =(n +1)1n+1，则数列c n 的最大值为：_______.2、已知f (x )={(3−a )x −3，x ≤7，a x−6，x >7，，数列a n =f(n)(n ∈N ∗)，且a n 是递增数列，则a 的取值范围为：_________.1、解：令f (x )=ln x x则f’(x)=1−ln xx2当x≥3时，ln x>1，1−ln x<0，f’(x)<0在[3，+∞)内，f(x)单调递减所以当n≥2时，{ln c n}单调递减即c n是递减数列又∵c1<c2，所以c max=c2=√33.2、解：由题意得：{3−a>0f(8)>f(7)，解得a∈(2，3)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三数学二轮复习专题—数列【高频考点解读】 一、等差数列的性质1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ 推广： d m n a a m n )(-+=． 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2）数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． ⑶ 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：①一般可设通项1(1)n a a n d =+-②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. （4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列（6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等差数列（7）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和1.当项数为偶数n 2时， ()121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶 ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇11n n n n S na a S na a ++==奇偶 2、当项数为奇数12+n 时，则21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．（8）{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n A f n B =，则2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.（9）等差数列{}n a 的前n 项和m S n =，前m 项和n S m =，则前m+n 项和()m n S m n +=-+(10)求n S 的最值法一：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和即当，，001<>d a 由⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值．（2）“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。
即 当，，001><d a 由⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值．或求{}n a 中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，n S 取最大值（或最小值）。
若S p = S q 则其对称轴为2p qn +=二、等比数列的性质 1. 等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2. 通项公式： ()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠， 推广：n m n m a a q -=， 3. 等比中项（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2A ab =或A ab =±注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列⇔211n n n a a a -+=⋅ 4. 等比数列的前n 项和n S 公式： (1) 当1q =时， 1n S na = (2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S qq --==--11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n na a qa q q a a ++==≠或为常数，⇔{}n a 为等比数列 （2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列 （3） 通项公式：()0n n a A B A B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列（4） 前n 项和公式：()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为等比数列 6. 等比数列的证明方法 依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列 7. 注意（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；11n n a a q -=如奇数个数成等差，可设为…，22,,,,a aa aq aq q q …（公比为q ，中间项用a 表示）；8. 等比数列的性质 (1) 当1q ≠时①等比数列通项公式()1110n nn n a a a q q A B A B q-===⋅⋅≠关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A qq q q--==-=-⋅=-----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q(2) 对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t ∈*N ),则n m s t a a a a ⋅=⋅.特别的,当n+m=2k 时,得2n m k a a a ⋅= 注：12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅(4) 列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}nka ,{}n k a ⋅,{}k n a ,{}n n k ab ⋅⋅{}n n a b (k 为非零常数) 均为等比数列.(5) 数列{}n a 为等比数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等比数列 (6) 如果{}n a 是各项均为正数的等比数列,则数列{log }a n a 是等差数列 (7) 若{}n a 为等比数列,则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -⋅⋅⋅，成等比数列(8) 若{}n a 为等比数列,则数列12n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 122n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 21223n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列(9) ①当1q >时，110{}0{}{n n a a a a ><，则为递增数列，则为递减数列 ②当1q <0<时，110{}0{}{n n a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q<0时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列{}n a 中, 当项数为2n (n ∈*N )时,1S S q=奇偶,.(11)若{}n a 是公比为q 的等比数列,则n n m n m S S q S +=+⋅ 三、递推数列类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。