分式培优
初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题 附答案详解)
（2）若商店按售价为每个书包 元，销售完这两批书包，总共获利多少元？
15．某服装加工厂计划加工4000套运动服，在加工完1600套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高 ，结果共用了18天完成全部任务．求原计划每天加工多少套运动服．
16．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
13．科幻小说《流浪地球》的销量急剧上升．为应对这种变化，某网店分别花20000元和30000元先后两次购进该小说，第二次的数量比第一次多500套，且两次进价相同．
（1）该科幻小说第一次购进多少套？每套进价多少元？
（2）根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250套；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10套．网店要求每套书的利润不低于10元且不高于18元．
11．小明家用 元网购的 型口罩与小磊家用 元在药店购买的 型口罩的数量相同， 型与 型口罩的单价之和为 元，求 两种口罩的单价各是多少元？
12．某市为治理污水，需要铺设一段全长为 的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加 ，结果提前 天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？
（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
6．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做5个，甲做80个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，问甲、乙两人每小时各做多少个零件？（用列方程的方法解答）
7．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．那么第一批饮料进货单价多少元？
分式培优练习题(完整答案)
分式 (一)一 选择1 下列运算正确的是（ ）A -40=1B （-3）-1=31 C （-2m-n ）2=4m-n D （a+b ）-1=a -1+b -12 分式28,9,12zy x xy z x x z y -+-的最简公分母是（ ） A 72xyz 2 B 108xyz C 72xyz D 96xyz 23 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是（ ）A 0.00036B -0.0036C -0.00036D -360004 若分式6522+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ）A 2B -2C 2或-2D 2或35计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1111112x x 的结果是（ ） A 1 B x+1 C x x 1+ D 11-x 6 工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程 ①3172=-x x ②72-x=3x ③x+3x=72 ④372=-xx 上述所列方程，正确的有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 47 在ma y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 58 若分式方程xa x a x +-=+-321有增根，则a 的值是（ ） A -1 B 0 C 1 D 29 若3,111--+=-ba ab b a b a 则的值是（ ） A -2 B 2 C 3 D -3 10 已知k b a c c a b c b a =+=+=+，则直线y=kx+2k 一定经过（ ） A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限二 填空1 一组按规律排列的式子：()0,,,,41138252≠--ab a b a b a b a b ，其中第7个式子是 第n 个式子是2 7m =3,7n =5,则72m-n =3 ()2312008410-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=4 若2222,2b a b ab a b a ++-=则= 三 化简 1 ()d cd b a c ab 234322222-∙-÷ 2 111122----÷-a a a a a a 3 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---÷--225262x x x x 四 解下列各题1 已知b ab a b ab a b a ---+=-2232,311求 的值2 若0<x<1,且xx x x 1,61-=+求 的值 五 （5）先化简代数式()()n m n m mn n m n m n m n m -+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+222222，然后在取一组m,n 的值代入求值六 解方程 1 12332-=-x x 2 1412112-=-++x x x 七 2008年5月12日，四川省发生8.0级地震，我校师生积极捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？分式(二)一、选择题：1．已知230.5x y z ==，则32x y z x y z +--+的值是（ ） A ．17 B.7 C.1 D.132．一轮船从A 地到B 地需7天，而从B 地到A 地只需5天，则一竹排从B 地漂到A 地需要的天数是（ ） A ．12 B.35 C.24 D.473．已知226a b ab +=，且0a b >>，则a b a b +-的值为（ ） A ．2 B ．2± C ．2 D ．2±二、填空题：4. 若关于x 的分式方程3232-=--x m x x 无解，则m 的值为__________. 5.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________． 6. 已知2242141x y y x y y +-=-+-，则的24y y x ++值为______. 三、解答题：7. 计算： ()3322232n m n m --⋅8. 计算（1）168422+--x x x x （2）m n n n m m m n n m -+-+--2 9. 先化简，后求值：222222()()12a a a a a b a ab b a b a b -÷-+--++-，其中2,33a b ==- 10. 解下列分式方程．11. 计算：（1）1111-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x （2）4214121111x x x x ++++++- 12．已知x 为整数，且918232322-++-++x x x x 为整数，求所有符合条件的x 的值． 13．先阅读下面一段文字，然后解答问题：一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．现有学生小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用()12-m 元，（m 为正整数，且12-m ＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用()12-m 元．设初三年级共有x 名学生，则①x 的取值范围是 ；②铅笔的零售价每支应为 元；③批发价每支应为 元．（用含x 、m 的代数式表示）．14． A 、B 两地相距20 km ，甲骑车自A 地出发向B 地方向行进30分钟后，乙骑车自B 地出发，以每小时比甲快2倍的速度向A 地驶去，两车在距B 地12 km 的C 地相遇，求甲、乙两人的车速.分式(三)一、填空题1、在有理式22xy ，πx ，11+a ，y x +1，122-m 中属于分式的有 .2、分式33+-x x 的值为0，则x= .3、分式x x 2-和它的倒数都有意义，则x 的取值范围是 .4、当_____=x 时，x --11的值为负数；当x 、y 满足 时，)(3)(2y x y x ++的值为32； 5、若分式y x y -3的值为4，则x,y 都扩大两倍后，这个分式的值为6、当x= 时，分式11+x 与11-x 互为相反数.7、若分式方程=-1x m 1-x -11有增根，则m= .8、要使方程=-11x a x -2有正数解，则a 的取值范围是9、+++)2)(1(1 x x )3)(2(1++x x +)2007)(2006(1.....+++x x =_____________10、若=a 3b 4=c 5，则分式222c b a ac bc ab +++-=____________二、选择题11、已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为倒数,|x|=2,则ab x x n m -++2的值为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、512. 下列式子:（1）y x y x yx -=--122；（2）c a b a a c a b --=--；（3）1-=--b a a b ；（4）y x yx y x yx +-=--+-中正确的是 （ ）A 、1个B 、2 个C 、3 个D 、4 个13. 下列分式方程有解的是（ ）A 、++12x 13-x =162-x B 、012=+x x C 、0122=-x D 、111=-x14. 若分式m x x ++212不论m 取何实数总有意义，则m 的取值范围是（ ）A 、m ≥1B 、m ＞1C 、m ≤1D 、m ＜115、晓晓根据下表，作了三个推测：①3-x-1x (x>0)的值随着x 的增大越来越小；②3-x-1x (x>0)的值有可能等于2；③3-x-1x (x>O)的值随着x 的增大越来越接近于2．则推测正确的有( ) A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个16. 已知分式xy yx -+1的值是a ，如果用x 、y 的相反数代入这个分式所得的值为b ，则a 、b 关系（）A 、相等B 、互为相反数C 、互为倒数D 、乘积为－1三、解答题17、化简：[22222a b a ab b -+++2ab ÷(1a +1b )2]·2222a b ab -+.18、当21,23-==b a 时，求⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-b a ab b a b a ab b a ＋44的值.19、A 玉米试验田是边长为a 米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下部分，B 玉米试验田是边长为（a －1）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了500千克.（1）那种玉米的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？四、探索题20、观察以下式子：1112122132+→=+＞，5527544264+→=+＜，3354355555+→=+＞， 773722232+→=+＜.请你猜想，将一个正分数的分子分母同时加上一个正数，这个分数的变化情况，并证明你的结论.21、甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料.谁的购货方式更合算？22、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款.小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，①这个八年级的学生总数在什么范围内？②若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？分式（一）参考答案一 CACBC CBBA B二 1 -()n n n ab a b 137201,--， 2 9/5， 3 2， 4 53 三 1 ac1 ，2 1-a a ，3 32+-x 四 1 提示：将所求式子的分子、分母同时除以ab 。
分式(培优材料)
第3课时 分式考点综述：中考中对于分式的要求是了解分式的概念，会利用分式基本性质约分和通分，会进行简单的分式运算。
中考的考查多以填空、选择、计算等形式出现，在解决相关问题时，还要求能结合类比转化等数学思想方法。
中考知识梳理1.弄清分式有意义,无意义和值为零的条件分式有意义的条件是分母不为零;无意义的条件是分母为零;值为零的条件是分子为零且分母不为零,弄懂这几个条件是做分式题很重要的一点.2.分式基本性质的灵活应用利用分式的基本性质熟练进行约分和通分,这是分式运算的基础,利用分式的基本性质时,要注意分子、分母同乘以和除以不为零的整式.3.会进行分式的四则运算分式的四则运算主要出现在化简中,与通分、约分、分式的基本性质联合,要保证最后结果为最简分式. 考点精析考点1 分式（1）分式的概念：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么代数式B A 叫做分式，其中A 是分式的分子，B 是分式的分母。
（2）分式有意义、无意义、等于0、大于0、小于0的条件①分式有意义的条件：分母不等于0；②分式无意义的条件：分母等于0；③分式的值等于0的条件：分子等于0且分母不等于0；④分式的值为正的条件：分子、分母同号；⑤分式的值为负的条件：分子、分母异号。
（3）有理式的定义 整式和分式统称为有理式，即⎩⎨⎧分式整式有理式。
考点2 分式的基本性质 （1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于0的数或整式，分式的值不变。
用式子表示为：M B M A B A ∙∙=,MB M A B A ÷÷=(其中M 是不等于0的数或整式)。
注意：①基本性质中的A 、B 、M 表示的是数或整式，其中B ≠0是已知条件中的隐含条件，一般在解题过程中不需要强调；M ≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M ≠0这个前提条件。
②应用分式的基本性质时，要深刻理解“都”和“同”这两个字的含义，避免犯只乘分子或分母一项的错误。
分式培优专题训练
1．（辨析题）不改变分式的值，使分式115101139x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ）A ．10B ．9C ．45D ．902．（探究题）下列等式：①()a b a b c c ---=-;②x y x y x x -+-=-;③a b a b c c -++=-;④m n m n m m ---=-中,成立的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④3．（探究题）不改变分式2323523x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（• ）A ．2332523x x x x +++-B ．2332523x x x x -++- C ．2332523x x x x +--+ D ．2332523x x x x ---+ 【题型2：分式的约分】4．（辨析题）分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（技能题）约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m-+-．【题型3：分式的定义及有无意义】1．（辨析题）下列各式πa ，11x +，15x y +，22a b a b --，23x -，0中，是分式的有___ ________；是整式的有_____ ____。
2．（辨析题）下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x + 3．（探究题）当x _______时，分式2212x x x -+-的值为零． 4．分式24x x -，当x _______时，分式有意义；当x _______时，分式的值为零． 5．分式31x a x +-中，当x a =-时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零；B ．分式无意义C ．若13a -≠时，分式的值为零； D ．若13a ≠时，分式的值为零7．下列各式中，可能取值为零的是（ ）A ．2211m m +-B ．211m m -+C ．211m m +- D ．211m m ++ 8．使分式||1x x -无意义，x 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．1±9．（2005．杭州市）当m =________时，分式2(1)(3)32mm m m ---+的值为零． 10．（妙法巧解题）已知13x y 1-=，求5352x xy y x xy y+---的值．1.下列运算正确的是（ ） A.326x xx = B.0=++y x y x C.1-=-+-y x y x D.ba xb x a =++ 2.下列分式运算，结果正确的是（ ） A.n m m n n m =•3454; B.bc ad d c b a =• C . 222242b a a b a a -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-; D.3334343y x y x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3.已知a-b 0≠,且2a-3b=0，则代数式ba b a --2的值是（ ）A.-12B.0C.4D.4或-124.已知72=y x ，则222273223y xy x y xy x +-+-的值是（ ） A.10328 B.1034 C.10320 D.1037 5.如果y=1-x x ,那么用y 的代数式表示x 为（ ） A. 1+-=y y x B. 1--=y y x C. 1+=y y x D. 1-=y y x 7.若将分式x x x +22化简得1+x x ，则x 应满足的条件是（ ） A. x>0 B. x<0 C.x 0≠ D. x 1-≠8.计算：(1)222210522y x ab b a y x -⋅+；（2） 232222)()()(x y xyxy x y y x -⋅+÷-；（3） (3))22(2222a b ab b a a b ab aba -÷-÷+--9.若m 等于它的倒数，求分式22444222-+÷-++m mm m m m 的值；1. 若432zyx ==,求222z y x zxyz xy ++++的值.2. 如果32=b a ，且a ≠2，求51-++-b a b a 的值。
分式培优练习题(完整标准答案)
分式培优练习题(完整标准答案)分式（一）选择1.下列运算正确的是（）。
A。
-4=1 B。
(-3)-1=1 C。
(-2m-n)2=4m-n D。
(a+b)-1=a-1+b-12.分式 y-z/x+z+x-y 的最简公分母是（）。
A。
2 B。
C。
D。
23.用科学计数法表示的数-3.6×10-4写成小数是（）。
A。
0. B。
-0.0036 C。
-0. D。
-0.若分式 x-2/x-5x+6 的值为 k，则 x 的值为（）。
A。
2 B。
-2 C。
2或-2 D。
2或35.计算 |1+(1/x-1)/(x-1)| 的结果是（）。
A。
1 B。
x+1 C。
x+1/x-1 D。
x/(x-1)6.工地调来 72 人参加挖土和运土，已知 3 人挖出的土 1 人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派 x 人挖土，其它的人运土，列方程①72-x=3x+72④=3.上述所列方程，正确的有（）个。
A。
1 B。
2 C。
3 D。
47.在分式a/(x^2+2πx+y)+m/(x-2) 中，分式的个数是（）。
A。
2 B。
3 C。
4 D。
58.若分式方程 (1-a)/(x-2)+(a+x)/(x-1)=3 有增根，则 a 的值是（）。
A。
-1 B。
C。
1 D。
29.若 1/(11-ba)=1/(ab+ba)=-3，则 (a-b)/(a+b) 的值是（）。
A。
-2 B。
2 C。
3 D。
-310.已知 b0，且ab≠0，其中第 7 个式子是 1/(a+7b)，一组按规律排列的式子：-b^2/a，-b^5/a^2，-b^8/a^3，-b^11/a^4，……，其中第 n 个式子是 -b^(3n-2)/a^n。
若 7m=3，7n=5，则 72m-n=（）。
A。
-1 B。
1 C。
2 D。
311.化简 (a^2-ab+b^2)/(a-b)^2.2.若 0<x<1，且 x+1/x=6，求 x-1/x 的值。
2024年中考数学复习-分式性质的拓展应用考点培优练习
分式性质的拓展应用考点培优练习考点直击1.分式定义：形如AB的式子叫分式，其中A，B是整式，且B中含有字母.(1) B=0时,分式无意义; B≠0时,分式有意义.(2) 分式的值为0:A=0,B≠0时,分式的值等于0.(3)分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫作分式的约分.方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式.(4)最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫作最简分式.分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式.(5)通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫作分式的通分.(6)最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积.(7)有理式：整式和分式统称有理式.2.分式的基本性质：(1)AB =A⋅MB⋅M(M是不为0的整式)；(2)AB =A÷MB÷M(M是不为0的整式)；(3)分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.例题精讲例1若实数a，b，c满足条件1a +1b+1c=1a+b+c,则a,b,c中( )A.必有两个数相等B.必有两个数互为相反的数C.必有两个数互为倒数D.每两个数都不等【思路点拨】首先把等式去分母得到b²c+bc²+a²c+ac²+a²b+ab²+2abc=0，用分组分解法将上式左边分解因式得(a+b)(b+c)(a+c)=0,，从而得到a+b=0或b+c=0或a+c=0，根据相反数的定义即可选出选项.举一反三1 (湖北中考)已知分式x+y1−xy的值是a，如果用x，y的相反数代入这个分式所得的值为b，则a，b ( )A. 相等B.互为相反数C.互为倒数D.乘积为−1举一反三2 下列分式从左到右的变形一定正确的是 ( )A.b+xa+x =baB.b2a=b22abC.x−yx+y =y−xx+yD.−x−yx+y=−1举一反三3 要使1x+2=x−3x2−x−6成立，必须满足 ( )1A. x≠-2B.x≠−2且x≠3C. x≠3D.以上都不对例2 (南京统考)已知三个数x，y，z满足xyx+y =−2,yzy+z=43,xzx+z=−43,求xyzxy+yz+zx的值.【思路点拨】分式的分子是单项式，分母是多项式时，可以通过对等号两边同时取倒数来帮助运算.举一反三 4 已知代数式x⁴−x²+6x−8的值等于1，求代数式xx+1的值.举一反三5 已知xx2+x+1=13,求分式x2x4+x2+1的值.举一反三6 已知1x −1y=3,求分式2x−3xy−2yx−2xy−y的值.例3【探索】(1)若3x+4x+1=3+mx+1,则m=;(2) 若5x−3x+2=5+mx+2,则m= .【总结】若ax+bx+c =a+mx+c(其中a,b,c 为常数),则m=.【应用】利用上述结论解决：若代数式4x−3x−1的值为整数，求满足条件的整数x的值.举一反三7 已知x+1x =3,求x2x4+x2+1的值.11举一反三8 (西安统考)阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：83=6+23=2+23=223.在分式中，我们定义：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.如x−1x+1,x2x−1这样的分式就是假分式；再如3x+1,2xx2+1这样的分式就是真分式.类似的，假分式也可以化为带分式(即整式与真分式的和的形式).如x−1x+1=(x+1)−2x+1=1−2x+1;再如x2x−1=x2−1+1x−1=(x+1)(x−1)+11=x+1+1x−1.解决下列问题：(1) 分式2x是 (填“真分式”或“假分式”)；(2)将假分式x−1x+2化为带分式：；(3)如果分式2x−1x+1的值为整数，那么整数x的值为 .过关检测基础夯实1.下列各式中2x ,a+2b2,a+bπ,a+1a,(x−1)(x+2)x+2,a+√bb，分式的个数是 ( )A. 2B. 3C.4D. 52.使分式x−1x2−3x+2有意义的x 的取值范围是 ( ) A. x≠1 B. x≠2C. x≠1且x≠2D.x可为任何数3.若分式x2−4x+3(x−1)(x−2)的值为0，则( )A. x=1或x=3B. x=3C. x=1D. x≠1且. x≠24.下列约分正确的是 ( )A.a9a3=a3 B.x+1x+1=0 C.x2+2x+1x+1=x+1 D.a2+b2a+b=a+b5.a5,n2m,12π,ab+1,a+b3,y5−1z中,分式有个.6.当分式1x−3有意义时，则 x 满足的条件是 .7.若分式x+1x−1的值为 0，则 x 的值是8.利用分式的基本性质填空：(1)3a5xy =()10axy(a≠0);(2)a+2a2−4=1().9.约分:(1)a3b3a2b+ab ;(2)x2−2x+1(x2+1)2−4x2.10. 通分: 2m−3,12(m+3).能力拓展11. 当分式62x−3的值为整数时，自然数x 的取值可能有 ( )A.3个B. 4个C.6 个D.8个12. 如果分式a2a+b中的a，b都同时扩大2倍，那么该分式的值 ( ) A. 不变 B. 缩小 2倍C. 扩大 2倍D. 扩大 4 倍13. 设xyz≠0,且3x+2y—7z=0,7x+4y—15z=0,则4x2−5y2−6z2x2+2y2+3z2=¯.14.不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则a−23b12a+2b=15.x 取何值时，下列分式有意义：(1)x+22x−3;(2)6(x+3)|x|−12;(3)x+6x2+1.16. (1) 已知分式2x2−8x−2,x取何值时，分式的值为0?(2)x 为何值时,分式x2+23x−9的值为正数?17.已知实数a,b满足, 6ᵃ=2010,335ᵇ=2 010,求1a +1b的值.综合创新18. 设 a +b +c = abc(abc≠0),化简: a (1−b 2)(1−c 2)+b (1−c 2)(1−a 2)+c (1−a 2)(1−b )2aℎc= .19.若 x²+x −1=0,则x 4+(x−1)2−1x (x−1)的值为 .20.(舟山中考)给定下面一列分式(其中x≠ 0):x 3y,−x 5y2,x 7y3,−x 9y 4,⋯(1)把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律? (2)根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式.4 分式性质的拓展应用【例题精讲】 1. B 解析: 1a+1b+1c=1a+b+c,去分母并整理得 b²c +bc²+a²c +ac²+a²b + ab²+2abc =0,即 (b²c +2abc +a²c )+(bc²+ac²)+(a²b +ab²)=0,∴c(a + b)²+c²(a +b )+ab (a +b )=0,(a +b ). (ac +bc +c²+ab )=0,(a +b )(b +c )⋅(a+c)=0,即a+b=0或b+c=0或a+c=0，则a ，b ，c 中必有两个数互为相反数.2. --4 解析：由已知条件可得x+y xy= −12,y+zyz=34,z+xzx=−34,即 1x+ 1y=−12,1y+1z=34,1z+1x=−34,三式相加得 2x+2y+2z=−12,∴1x+ 1y+1z=−14,∴xy+yz+zxxyz=−14, ∴xyz xy+yz+zx=−4.3.【探索】(1)1 (2)-13【总结】b-ac 【应用】x=2或x=0 解析：【探索】(1)将已知等式整理得3x+4x+1=3x+3+m x+1,即3x+4=3x+3+m,解得m=1;(2) 将已知等式整理得5x−3x+2=5x+10+m x+2,即5x-3=5x+10+m,解得:m=-13.【应用】4x−3x−1=4(x−1)+1x−1=4+1x−1,:x 为整数且4x−3x−1为整数,∴x-1=±1,∴x=21或x=0.【举一反三】1.B 解析：根据题意，用x ，y 的相反数代入这个 分 式,即 b =−x−y1−(−x )(−y )= −x+y 1−xy=−a,所以a ，b 互为相反数.2. D 解析:当a≠0且x=0时,等式才能成立，A 错误；当b≠0时，从左到右的变形才能成立，B 错误；分式从左不能变形到右,C 错误;−x−y x+y=−(x+y )x+y=−1,D 正确.3. B 解析:x+2≠0,解得x≠--2,又∵x²-x--6≠0,(x+2)(x -3)≠0,解得x≠-2且x≠3,则x≠-2且x≠3时,等式成立.4.7±√136解析： ∵x⁴−x²+6x −8=1, ∴x⁴−x²+6x −9=0,∴x⁴−(x −3)²= ,∴(x²+x −3)(x²−x +3)=0,∴x²+(x--3=0或 x²−x +3=0.当 x²−x +3=0时，方程无解；当 x²+x −3=0时,x=−1±√132.当 x =−1+√132时, xx+1=−1+√132−1+√132+1√131+√13= 7−√136;当 x =−1−√132时,xx+1=−1−√132−1−√132+1√131−√13=7+√136. 5. 13解析：由x x 2+x+1=13整理变形得1x+1+1x=13,从而得 x +1x=2.而 x 2+x 2x 4+x 2+1=1x 2+1+1x2,1x 2=(x +1x)2−2=2, 故x2x4+x2+1=13.6. 35解析：∵1x−1y=3,∴y−x=3xy,∴x−y=−3xy,∴2x+3xy−2yx−2xy−y=2(x−y)+3xy(x−y)−2xy=2×(−3xy)+3xy−3xy−2xy=−3xy−5xy=35.7. 18解析：将x+1x=3两边同时乘x，得x2+1=3x,x2x4+x2+1=x2(x2+1)2−x2=x29x2−x2=18.8.(1) 真分式(2)1−3x+2(3)2或-4或0或-2解析：(3)2x−1x+1=2x+2−3x+1=2−3x+1.所以当x+1=3或-3或1或-1时，分式的值为整数.解得x=2或x=-4或x=0或x=-2.【过关检测】1. B 解析: a+2b2,a+bπ的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；a+√bb的分子不是整式，因此不是分式.2. C 解析: ∵x²−3x+2≠0即(x-1)(x-2)≠0,∴x-1≠0且x-2≠0,∴x≠1且x≠2.3. B 解析:∵分式x2−4x+3(x−1)(x−2)的值为0,∴x²−4x+3=0且(x--1)(x--2)≠0,∴x=3.4. C 解析:原式=a⁶,A错误;原式=1,B错误；该分式是最简分式，不需要约分，D错误.5.3 解析: n2m ,ab+1,y5−1z为分式.6. x≠3解析：由题意得x--3≠0，解得x≠3.7.-1 解析:由分式x+1x−1的值为0,得x+1=0且x-1≠0,解得x=-1.8.(1) 6a² (2)a-29.(1) 原式=a3b3ab(a+1)=a2b2a+1(2) 原式=(x−1)2(x2+1+2x)(x2+1−2x)=(x−1)2(x+1)2(x−1)2=1(x+1)210.2m−3=4(m+3)2(m+3)(m−3)12(m+3)=m−32(m+3)(m−3)11. B 解析:要使62x−3的值为整数，则2x-3只能取±1,±2,±3,±6,而x 是自然数,分析知2x-3可取±1或±3,对应得x为0,1,2,3.12. C 解析:∵分式a2a+b 中的a，b都同时扩大2倍, ∴(2a)22a+2b=2a2a+b,∴该分式的值扩大2倍.13.−116解析:∵xyz≠0,∴x≠0且y≠0且z≠0,{3x+2y−7z=0circle17x+4y−15z=0circle2②--①×2得7x-6x--15z+14z=0,∴x=z,将x=z代入①得3z+2y-7z=0,解得y=2x= 2z,原式=4z2−5×4z2−6z2z2+2×4z2+3z2=−22z212z2=−116.14.6a−4b3a+12b 解析a−23b12a+2b=6(a−23b)6(12a+2b)=6a−4b3a+12b.15.(1)x≠32(2)x≠±12 (3) x 为任意实数解析:(1)要使x+22x−3有意义,则2x-3≠0,解得x≠32.当x≠32时, x+22x−3有意义.(2)要使6(x+3)|x|−12有意义,则|x|-12≠0,解得x≠±12.当x≠±12时, 6(x+3)|x|−12有意义.(3)要使x+6x2+1有意义，则x²+1≠0.x为任意实数，x+6x2+1有意义.16.(1) -2 (2)x>3解析:(1)由2x2−8x−2=0,得2x²−8=0且x--2≠0,解得x=-2.当x=-2时,分式的值为0.(2)x2+23x−9的值为正数，得3x-9>0,解得x>3.当x>3时,分式x2+23x−9的值为正数.17. 1 解析: ∵6ᵃ=2010,335ᵇ=2010,∴6ᵃᵇ=2010ᵇ,335ᵃᵇ=2010ᵃ,∴6ᵃᵇ×335ᵃᵇ=2010ᵇ⁺ᵃ,(6×335)ᵃᵇ=2010ᵃ⁺ᵇ,∴ab=a+b,∴1a +1b=a+bab=1.18.4 解析:分子=a(1−b²−c²+b²c²)+b(1−c²−a²+a²c²)+c(1−a²−b²+a²b²)=(a+b+c)−ab(a+b)−bc(b+c)-ac(c+a)+abc(ab+ac+bc).∵a+b+c=abc,∴分子=abc-ab(abc-c)-bc(abc-a)-ac(abc-b)+abc(ab+ac+bc)=abc-abc(ab-1+bc-1+ac-1)+abc(ab+ac+bc)=abc+3abc=4abc.∴原式=4abcabc=4.19. 3 解析: ∵x²+x−1=0,∴x²=−(x−(1),x2+x=1,∴x4+(x−1)2−1x(x−1)=[−(x−1)]2+(x−1)2−1x(x−1)=2x2−4x+1x2+x−2x=2(1−x)−4x+11−2x=3(1−2x)1−2x=3.20.(1)任意一个分式除以前面一个分式恒等于−x2y(2)观察这一列分式：①发现分母上是y¹,y²,y³,…,故第7 个式子的分母是y⁷.②发现分子上是x³, x⁵,x⁷,…,i故第7个式子的分子是：x¹⁵.③再观察符号，发现第偶数个分式为负，第奇数个分式为正.综上，第 7 个分式应该是x15y7.。
浙教版数学七年级下册分式培优题
浙教版数学七年级下册第五章《分式》培优题一．选择题（共6小题）1．若分式，则分式的值等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．2．对于正数x，规定f（x）=，例如：f（3）==，f（）==，则f（）+f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）的值为（）A．2016 B．2015 C．2015.5 D．2014.53．分式方程有增根，则m的值为（）A．0和2 B．1 C．1和﹣2 D．24．已知：a，b，c三个数满足，则的值为（）A．B．C．D．5．甲瓶盐水含盐量为，乙瓶盐水含盐量为，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为（）A． B．C．D．随所取盐水重量而变化6．已知x2﹣5x﹣1991=0，则代数式的值为（）A．1996 B．1997 C．1998 D．1999二．填空题（共6小题）7．有一个计算程序，每次运算这种运算的过程如下：则第n次运算的结果y n．（用含有x和n的式子表示）8．已知分式=，则=．9．读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为n，这里“∑”是求和符号，通过以上材料的阅读，计算=．10．如表：方程1、方程2、方程3…是按照一定规律排列的一列方程：﹣=1﹣=1﹣=1（1）若方程﹣=1（a＞b）的解是x1=6，x2=10，则a=b=．（2）请写出这列方程中第n个方程：方程的解：．11．已知a、b、c为整数，a2+b2+c2+49﹣4a﹣6b﹣12c＜1，则（++）abc=．12．若xyz≠0，并且满足3x=7y=63z，则=．三．解答题（共6小题）13．先化简代数式（x+2﹣）÷，然后选择取一个合适的x的值，代入求值．14．2015年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，挢梁垮塌，房屋大面积受损，该省民政厅急需将一批帐篷送往灾区．现有甲、乙两种货车，己知甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷，且甲种货车装运1000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐蓬所用车辆相等．（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少件帐蓬？（2）如果这批帐篷有1490件，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了50件，其它装满，求甲、乙两种汽车各有多少辆？15．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计）（1）该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度时原计划的1.5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个；（2）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完．16．2014年12月25日，石家庄至济南客运专线重点控制工程衡景特大桥箱梁架设任务全面展开，该项目在招标时接到了甲、乙两个施工单位的投标书，从投标书中得知如图所示的信息．（1）求甲、乙两个施工单位单独完成这项工程各需要多少天？（2）已知甲施工单位每天的施工费为18.3万元，乙施工单位每天的施费为15.6万元．根据实际情况，该工程由甲、乙两个施工单位共同完成，需要预算约多少万元？（不足一天按一天算）17．为了节约用水，石家庄物价局于2015年3月20日举行《市民用水阶梯价格分级用量听证会》，并提出超量加价．若民用自来水水费调整为每月用水量不超过15m3（包括15m3）时，则按规定标准2.8元/m3（含污染费和排污费），若每月用水量超过15m3，则超过的部分按3.8m3收费（含污染费和排污费）．（1）小敏家为了响应政府节约用水的号召，决定从2015年4月起计划平均每月用水量比2014年4月到2015年3月平均每月用水量减少4m3，这使小敏家在相同的月数内，从计划前180m3的用水量变为计划后132m3的用水量，求小敏家从2015年4月起计划平均每月用水量；（2）小敏家从2014年4月到2015年3月这一年中，有四个月超出现在计划月平均用水量的20%，有四个月超出现在计划月平均用水量的50%，其余的四个月的用水量与2014年4月到2015年3月的平均每月用水量相等．若按新的交费法，求小敏家从2014年4月到2015年3月这一年中应交的总水费．18．“十•一”期间，某商场举行促销活动，活动期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为450×0.8=360（元），获得优惠额为：450×0.2+30=120（元）．设购买商品的优惠率=．试问：（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）若一顾客购买了一套西装，得到的优惠率为，已知该套西装的标价高于700元，低于850元，该套西装的标价是多少元？浙教版数学七年级下册第五章《分式》培优题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2016•大庆校级自主招生）若分式，则分式的值等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．【分析】根据已知条件，将分式整理为y﹣x=2xy，再代入则分式中求值即可．【解答】解：整理已知条件得y﹣x=2xy；∴x﹣y=﹣2xy将x﹣y=﹣2xy整体代入分式得====．故答案为B．【点评】由题干条件找出x﹣y之间的关系，然后将其整体代入求出答案即可．2．（2015•湖南自主招生）对于正数x，规定f（x）=，例如：f（3）==，f（）==，则f（）+f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）的值为（）A．2016 B．2015 C．2015.5 D．2014.5【分析】根据题中所给出的例子找出规律，进而可得出结论．【解答】解：∵对于正数x，规定f（x）=，∴f（1）==，f（2）==，f（）==，f（3）==，f（）==…，∴f（n）+f（）=1，∴f（）+f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）=[f（）+f（2015）]+…+f（1）=2014+=2014.5．【点评】本题考查的是分式的化简求值，此题属规律性题目，根据题意找出规律是解答此题的关键．3．（2014春•靖江市校级月考）分式方程有增根，则m的值为（）A．0和2 B．1 C．1和﹣2 D．2【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母（x﹣1）（x+1）=0，所以增根是x=1或﹣1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得x+1﹣（x﹣1）（x+1）=m，∵方程有增根，∴最简公分母（x﹣1）（x+1）=0，即增根是x=1或﹣1，把x=1代入整式方程，得m=2，把x=﹣1代入整式方程，得m=0，经检验，m=0时，故选：A．【点评】本题主要考查解分式方程中产生增根的知识，有增根可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．4．已知：a，b，c三个数满足，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由已知可得，，，，则ac+bc=3abc，ab+ac=4abc，bc+ab=5abc，把三式相加，可得2（ab+bc+ca）=12abc，即可求解．【解答】解：由已知可得，，，，则ac+bc=3abc①，ab+ac=4abc②，bc+ab=5abc③，①+②+③得，2（ab+bc+ca）=12abc，即=．故选A．【点评】此题考查了分式的化简求值，要特别注意观察已知条件和所求代数式的关系，再进行化简．5．（2012•天水）甲瓶盐水含盐量为，乙瓶盐水含盐量为，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为（）A． B．C．D．随所取盐水重量而变化【分析】设从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水x，列式计算即可．【解答】解：设从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水x，则混合制成新盐水的含盐量为：=，故选：A．【点评】本题考查了分式的混合运算，一定要注意浓度问题的算法：溶质除以溶液．6．已知x2﹣5x﹣1991=0，则代数式的值为（）A．1996 B．1997 C．1998 D．1999【分析】首先要化简分式到最简，再把已知条件变形，代入即可．【解答】解：=====x2﹣5x+8；∵x2﹣5x﹣1991=0，∴x2﹣5x=1991，∴原式=1991+8=1999．故选D．【点评】解答此题的关键是把分式化到最简，这个过程难度较大．二．填空题（共6小题）7．（2015秋•孝南区期末）有一个计算程序，每次运算这种运算的过程如下：则第n次运算的结果y n．（用含有x和n的式子表示）【分析】把y1代入确定出y2，依此类推得到一般性规律，即可确定出第n次运算结果．【解答】解：把y1=代入得：y2==，把y2=代入得：y3==，依此类推，得到y n=，故答案为：【点评】此题考查了分式的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．8．（2015秋•浠水县期末）已知分式=，则=．【分析】已知等式左边分子分母除以x变形，求出x+，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：已知等式变形得：=，整理得：x+=4，则原式===，故答案为：【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（2015•泗洪县校级模拟）读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为n，这里“∑”是求和符号，通过以上材料的阅读，计算=．【分析】根据题中的新定义将原式变形，利用拆项法整理即可得到结果．【解答】解：原式=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，故答案为：．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（2015秋•北京校级期中）如表：方程1、方程2、方程3…是按照一定规律排列的一列方程： ﹣=1﹣=1﹣=1（1）若方程﹣=1（a ＞b ）的解是x 1=6，x 2=10，则a= 12 b= 5 ．（2）请写出这列方程中第n 个方程：方程的解： x 1=n +2，x 2=2n +2 ．【分析】首先根据已知方程两个重要数字、方程的解，找出与方程序号之间的关系，写出第n 个方程，即可同时求出（1）、（2）两个问题答案．【解答】解：（1）根据已知方程序号、方程两个重要数字、方程的解发现以下规律：序号1，6=2×1+4 2=1+1 3=1+2 4=2×1+2；序号2，8=2×2+4 3=2+1 4=2+2 6=2×2+2；序号3，10=2×3+4 4=3+1 5=2+2 8=2×3+2；序号4，12=2×4+4 5=4+1 6=4+2 10=2×4+2；由序号4可以发现方程（a ＞b ）解x 1=6，x 2=10，12=2×4+4 5=4+1，∴a=12，b=5．故答案为：12，5．（2）有（1）分析得：序号n，2n+4=2×n+4 n+1=n+1 n+2=n+2 2n+2=2×n+2；∴这列方程中第n个方程：，且方程的解为：x1=n+2，x2=2n+2．故答案为：，x1=n+2，x2=2n+2．【点评】题目考查了分式方程的解，同时也是规律型题目求解，解决此类问题关键是学生找出题目中规律所在，题目难度适中，重点考查学生的观察能力和总结能力．11．（2014•雨花区校级自主招生）已知a、b、c为整数，a2+b2+c2+49﹣4a﹣6b ﹣12c＜1，则（++）abc=1．【分析】利用条件和因式分解可得：0≤（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣6）2＜1，即a=2，b=3，c=6，然后代入原式即可求出答案．【解答】解：∵a2+b2+c2+49﹣4a﹣6b﹣12c＜1，∴（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣6）2＜1，∵（a﹣2）2≥0，（b﹣3）2≥0，（c﹣6）2≥0，∴0≤（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣6）2＜1，∵a、b、c为整数，∴（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣6）2也是整数，∴（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣6）2=0，∴a=2，b=3，c=6，∴原式=（++）36=1【点评】本题考查分式化简求值，涉及因式分解，不等式的性质等知识，综合程度较高．12．若xyz≠0，并且满足3x=7y=63z，则=4．【分析】先根据3x=7y=63z，得出3x•7y=34z×72z，进而得到x=4z，y=2z，最后代入代数式进行化简计算即可．【解答】解：∵3x=7y=63z，∴3x•7y=（63z）2，又∵（63z）2=632z=（32×7）2z=34z×72z，∴3x•7y=34z×72z，即x=4z，y=2z，∴===4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了分式求值问题，解决问题的关键是从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．三．解答题（共6小题）13．（2013春•怀宁县期末）先化简代数式（x+2﹣）÷，然后选择取一个合适的x的值，代入求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=÷=•=，当x=1时，原式==1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．14．（2015•铜仁市）2015年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，挢梁垮塌，房屋大面积受损，该省民政厅急需将一批帐篷送往灾区．现有甲、乙两种货车，己知甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷，且甲种货车装运1000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐蓬所用车辆相等．（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少件帐蓬？（2）如果这批帐篷有1490件，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了50件，其它装满，求甲、乙两种汽车各有多少辆？【分析】（1）可设甲种货车每辆车可装x件帐蓬，乙种货车每辆车可装y件帐蓬，根据等量关系：①甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷；②甲种货车装运1000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐蓬所用车辆相等；列出方程组求解即可；（2）可设甲种汽车有z辆，乙种汽车有（16﹣z）辆，根据等量关系：这批帐篷有1490件，列出方程求解即可．【解答】解：（1）设甲种货车每辆车可装x件帐蓬，乙种货车每辆车可装y件帐蓬，依题意有，解得，经检验，是原方程组的解．故甲种货车每辆车可装100件帐蓬，乙种货车每辆车可装80件帐蓬；（2）设甲种汽车有z辆，乙种汽车有（16﹣z）辆，依题意有100z+80（16﹣z﹣1）+50=1490，解得z=12，16﹣z=16﹣12=4．故甲种汽车有12辆，乙种汽车有4辆．【点评】考查了分式方程的应用和二元一次方程组的应用，利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．15．（2015春•杭州期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计）（1）该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度时原计划的1.5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个；（2）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完．【分析】（1）设原计划每天加工x个，则现在每天加工1.5x个，根据题意可得，现在加工240个比原计划加工200个少用2天，据此列方程求解；（2）设加工竖式纸盒m个，横式纸盒n个，根据正方形纸板有1000张，长方形纸板有2000张列方程组求解．【解答】解：（1）设原计划每天加工x个，则现在每天加工1.5x个，由题意得，﹣2=，解得：x=20，经检验：x=20是原分式方程的解，且符合题意，答：原计划每天加工20个；（2）设加工竖式纸盒m个，横式纸盒n个，由题意得，，解得：．答：加工竖式纸盒200个，横式纸盒400个恰好能将购进的纸板全部用完．【点评】本题考查了分式方程和二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．16．（2015秋•南皮县期中）2014年12月25日，石家庄至济南客运专线重点控制工程衡景特大桥箱梁架设任务全面展开，该项目在招标时接到了甲、乙两个施工单位的投标书，从投标书中得知如图所示的信息．（1）求甲、乙两个施工单位单独完成这项工程各需要多少天？（2）已知甲施工单位每天的施工费为18.3万元，乙施工单位每天的施费为15.6万元．根据实际情况，该工程由甲、乙两个施工单位共同完成，需要预算约多少万元？（不足一天按一天算）【分析】（1）首先设乙施工单位单独完成这项工程需要x天，则甲施工单位单独完成这项工程需要x天，根据题意可得等量关系：甲10天的工作量+甲乙合作50天的工作量=1，根据等量关系列出方程，再解即可；（2）首先计算出甲乙合作需要的天数，再利用两对合作每天的费用×时间可得答案．【解答】解：（1）设乙施工单位单独完成这项工程需要x天，由题意得：+（+）×50=1，解得：x=125，经检验：x=125是分式方程的解，×125=100（天）．答：乙施工单位单独完成这项工程需要125天，甲施工单位单独完成这项工程需要100天；（2）1÷（+）=≈56（天），费用：（18.3+15.6）×56=1898.4（元）．答：需要预算约1898.4万元．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．注意不要忘记检验．17．（2015秋•故城县校级月考）为了节约用水，石家庄物价局于2015年3月20日举行《市民用水阶梯价格分级用量听证会》，并提出超量加价．若民用自来水水费调整为每月用水量不超过15m3（包括15m3）时，则按规定标准2.8元/m3（含污染费和排污费），若每月用水量超过15m3，则超过的部分按3.8m3收费（含污染费和排污费）．（1）小敏家为了响应政府节约用水的号召，决定从2015年4月起计划平均每月用水量比2014年4月到2015年3月平均每月用水量减少4m3，这使小敏家在相同的月数内，从计划前180m3的用水量变为计划后132m3的用水量，求小敏家从2015年4月起计划平均每月用水量；（2）小敏家从2014年4月到2015年3月这一年中，有四个月超出现在计划月平均用水量的20%，有四个月超出现在计划月平均用水量的50%，其余的四个月的用水量与2014年4月到2015年3月的平均每月用水量相等．若按新的交费法，求小敏家从2014年4月到2015年3月这一年中应交的总水费．【分析】（1）设小敏家计划平均每月用水量是xm3，则计划前每月用水量为（x+4）m3，找出等量关系：在相同的月数内，从计划前180m3的用水量变为计划后132m3的用水量，列方程求解即可；（2）分别计算出水量超20%和50%时每月的用水量，根据题意计算出相应的水费，相加即可得出一年应共交水费．【解答】解：（1）设小敏家计划平均每月用水量是xm3，则计划前每月用水量为（x+4）m3，由题意得，=，解得：x=11．经检验：x=11是原方程的解，即小敏家计划平均每月用水量是8.25m3；（2）计划用水量为8.25cm3，超过计划用水量20%时，用水量=8.25×（1+20%）=9.9，超过计划用水量50%时，用水量=8.25×（1+50%）=12.375cm 3，设2014年4月到2015年3月的平均每月用水量为a ，则9.9×4+12.375×4+4a=12a 解得：a=11.1375则应交水费：12×11.13758×2.8=374.22（元）．答：小玲家从2005年4月到2006年3月的这一年中应共交水费374.22元．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．18．“十•一”期间，某商场举行促销活动，活动期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为450×0.8=360（元），获得优惠额为：450×0.2+30=120（元）．设购买商品的优惠率=．试问：（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）若一顾客购买了一套西装，得到的优惠率为，已知该套西装的标价高于700元，低于850元，该套西装的标价是多少元？【分析】（1）由800元×80%得出消费金额，再根据表中规定应享受100元优惠．则根据题目提供的优惠计算方法即可求出优惠额，从而得到优惠率；（2）因为西服标价低于850，所以其消费额最大为850×0.8=680（元），低于700元，因此获得的奖券金额为100元，设西服标价x 元，根据题意可列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）消费金额为800×0.8=640（元），获得优惠额为：800×0.2+100=260（元），所以优惠率为：=32.5%；（2）设西服标价x元，根据题意得，解之得x=750经检验，x=750是原方程的根．答：该套西装的标价为750元．【点评】列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．要注意题中给出的判断条件．此题关键是套用优惠率的公式．。
分式方程同步培优题典(解析版)
专题5.6分式方程姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•郏县期末）下列关于x 的方程是分式方程的为（ ） A ．3+x2−x =2+x5B ．12+x =1−2x C ．xπ+1=2−x3D ．2x−17=x2【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【解析】A 、方程分母中不含未知数，故不是分式方程； B 、方程分母中含未知数x ，故是分式方程； C 、方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数； D 、方程分母中不含未知数，故不是分式方程． 故选：B ．2．（2019秋•嘉定区期末）下列关于x 的方程：1x+x ＝1，x3+3x 4=25，1x−1=4x，x 2−1x+1=2中，分式方程的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】由分式方程的定义可知：x3+3x 4=25不是分式方程．【解析】x3+3x 4=25不是分式方程，是整式方程，故选：C ．3．（2020•滨城区二模）下列数值是方程3x−1=1−11−x根的是（ ）A ．1B ．3C ．0D ．﹣1【分析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解； 【解析】方程整理得：3x−1−1x−1=1，去分母得：2＝x ﹣1，解得：x＝3，经检验x＝3是原分式方程的根，所以，3是方程3x−1=1−11−x的根，故选：B．4．（2020春•上蔡县期末）方程1x−1−32x+3=0的解的情况为（）A．x＝2B．x＝3C．x＝6D．x＝8【分析】根据解分式方程的方法，求出分式方程1x−1−32x+3=0的解即可，注意验根．【解析】去分母，可得：2x+3﹣3（x﹣1）＝0，去括号，得：2x+3﹣3x+3＝0，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解．故选：C．5．（2020春•龙华区校级月考）解分式方程2x−1=1x，两边要同时乘以（）A．x﹣1B．x C．x（x﹣1）D．x（x+1）【分析】找出分式方程各分母的最简公分母即可．【解析】解分式方程2x−1=1x，两边要同时乘以x（x﹣1）．故选：C．6．（2020春•永春县期末）方程3x+1=2x−1的解是（）A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝7【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】去分母得：3（x﹣1）＝2（x+1），去括号得：3x﹣3＝2x+2，解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解．故选：B．7．（2020春•卧龙区期中）分式方程xx−1−2=k1−x去分母后，正确的是（）A ．x ﹣2＝kB ．x ﹣2＝﹣kC ．x ﹣2（x ﹣1）＝kD ．x ﹣2（x ﹣1）＝﹣k【分析】分式方程变形后，去分母得到结果，即可作出判断． 【解析】分式方程变形得：x x−1−2=−kx−1，去分母得：x ﹣2（x ﹣1）＝﹣k ． 故选：D ．8．（2020•广元）按照如图所示的流程，若输出的M ＝﹣6，则输入的m 为（ ）A ．3B ．1C ．0D ．﹣1【分析】根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得m 的值，从而可以解答本题． 【解析】当m 2﹣2m ≥0时，6m−1=−6，解得m ＝0，经检验，m ＝0是原方程的解，并且满足m 2﹣2m ≥0， 当m 2﹣2m ＜0时，m ﹣3＝﹣6，解得m ＝﹣3，不满足m 2﹣2m ＜0，舍去． 故输入的m 为0． 故选：C ．9．（2020•遵化市三模）解分式方程：x−1x−3=2+2x−3的步骤为：①方程两边同时乘最简公分母（x ﹣3）；②得整式方程：x ﹣1＝2（x ﹣3）+2；③解得x ＝3；④故原方程的解为3．其中有误的一步为（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】检查解分式方程步骤，发现第四步错误，原因是没有检验． 【解析】解分式方程：x−1x−3=2+2x−3的步骤为：①方程两边同时乘最简公分母（x ﹣3）； ②得整式方程：x ﹣1＝2（x ﹣3）+2； ③解得x ＝3； ④故原方程的解为3．其中有误的一步为④． 故选：D ．10．（2020春•安吉县期末）对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号Max {a ，b }表示a ，b 中的较大的值，如Max {2，4}＝4，按照这个规定，方程Max {1x，2x }＝1−3x 的解是（ ）A ．x ＝4B ．x ＝5C ．x ＝4或x ＝5D ．无实数解【分析】根据1x与2x的大小关系，取1x与2x中的最大值化简所求方程，求出解即可． 【解析】当1x＞2x，即x ＜0时，方程为1x=1−3x ，去分母得：1＝x ﹣3， 解得：x ＝4（舍去），当1x＜2x，即x ＞0时，方程为2x=1−3x，去分母得：2＝x ﹣3， 解得：x ＝5，经检验，x ＝5是分式方程的解． 故选：B ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2020•海东市三模）分式方程x+2x−1+1=0的解为 x =−12．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】去分母得：x +2+x ﹣1＝0， 解得：x =−12，经检验x =−12是分式方程的解． 故答案为：x =−12． 12．（2020春•泉州月考）方程21−x=1的解是 x ＝﹣1 ．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】去分母得：2＝1﹣x ，解得：x ＝﹣1，经检验x ＝﹣1是分式方程的解． 故答案为：x ＝﹣1． 13．（2020•济南）代数式3x−1与代数式2x−3的值相等，则x ＝ 7 ．【分析】根据题意列出分式方程，求出解即可． 【解析】根据题意得：3x−1=2x−3，去分母得：3x ﹣9＝2x ﹣2， 解得：x ＝7，经检验x ＝7是分式方程的解． 故答案为：7．14．（2020春•青岛期末）小颖在解分式方程x−2x−3=△x−3+2时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小颖猜测一下△处的数应是 1 ．【分析】由分式方程无解，得到x ﹣3＝0，即x ＝3，分式方程去分母转化为整式方程，把x ＝3代入计算即可求出所求．【解析】去分母得：x ﹣2＝△+2（x ﹣3）， 由分式方程无解，得到x ﹣3＝0，即x ＝3， 把x ＝3代入整式方程得：△＝1． 故答案为：1．15．（2020•樊城区模拟）定义：a *b =ab，则方程2*（x +3）＝1*（x +3）的解为 无解 ． 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【解析】根据题中的新定义得：2x+3=1x+3，去分母得：2＝1， 则此方程无解． 故答案为：无解．16．（2020春•梁平区期末）若关于x 的分式方程m x−2=1−x 2−x−3无解，则实数m 的值是 1 ．【分析】先按照解分式方程的步骤，用含m 的式子表示出x 的值，再根据原方程无解，得出关于m 的方程，解得m 的值即可．【解析】关于x 的分式方程m x−2=1−x 2−x−3两边同时乘以（x ﹣2）得：m ＝x ﹣1﹣3（x ﹣2）， ∴m ＝x ﹣1﹣3x +6， ∴2x ＝5﹣m ， ∴x =5−m2， ∵原方程无解， ∴5−m 2=2，∴m ＝1． 故答案为：1．17．（2020春•沙坪坝区校级月考）若关于x 的分式方程x x−2−m =2m2−x无解，则m 的值为 1或﹣1 ． 【分析】将分式方程化成整式方程，按照一元一次方程无解的条件及分式方程无解的条件求得m 的值即可． 【解析】方程x x−2−m =2m2−x 两边同时乘以（x ﹣2）得：x ﹣m （x ﹣2）＝﹣2m ， 整理得：（1﹣m ）x ＝﹣4m ， ∵无解，∴1﹣m ＝0，即m ＝1时，方程无解；当x ﹣2＝0时，方程也无解，此时x ＝2，则有x =−4m1−m =2， ∴﹣4m ＝2﹣2m ， ∴m ＝﹣1．故答案为：1或﹣1．18．（2018秋•沛县期末）观察分析下列方程：①x +2x=3；②x +6x=5；③x +12x=7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n 个方程是 x +n(n+1)x =n +（n +1） ． 【分析】方程中的分式的分子变化规律为：n （n +1），方程的右边的变化规律为n +（n +1）． 【解析】∵第1个方程为x +1×2x =1+2， 第2个方程为x +2×3x =2+3，第3个方程为x+3×4x=3+4，…∴第n个方程为x+n(n+1)x=n+（n+1）．故答案是：x+n(n+1)x=n+（n+1）．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•皇姑区校级月考）解分式方程：−5x−3=2+x3−x−1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】去分母得：﹣5＝﹣2﹣x﹣x+3，解得：x＝3，经检验x＝3是增根，分式方程无解．20．（2020春•历下区期末）解方程：（1）1x−1=1x2−1；（2）1x−3=x−2x−3+1．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】（1）去分母得：x+1＝1，解得：x＝0，经检验x＝0是分式方程的解；（2）去分母得：1＝x﹣2+x﹣3，解得：x＝3，经检验x＝3是增根，分式方程无解．21．（2020春•梁平区期末）解下列分式方程：（1）1a+1+32−a=0；（2）xx+1=2x3x+3+1．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到未知数的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】（1）去分母得：2﹣a +3（a +1）＝0， 解得：a =−52，经检验a =−52是分式方程的解； （2）去分母得：3x ＝2x +3x +3， 解得：x =−32，经检验x =−32是分式方程的解．22．（2020•富阳区一模）若关于x 的分式方程m−3x−1=1的解为x ＝2，求m 的值，【分析】方程两边都乘以x ﹣1得到整式方程，解之求得x ＝m ﹣2，结合x ＝2求解可得． 【解析】方程两边都乘以x ﹣1，得：m ﹣3＝x ﹣1， 解得x ＝m ﹣2， ∵x ＝2， ∴m ﹣2＝2， 解得m ＝4．23．（2020春•百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：2x−3+mx x 2−9=3x+3．（1）若该分式方程有增根，则增根为 x 1＝3，x 2＝﹣3 ． （2）在（1）的条件下，求出m 的值，【分析】（1）分式方程会产生增根，即最简公分母等于0，则x 2﹣9＝0，故方程产生的增根有两种可能：x 1＝3，x 2＝﹣3；（2）由增根的定义可知，x 1＝3，x 2＝﹣3是原方程去分母后化成的整式方程的根，把其代入整式方程即可求出m 的值． 【解析】（1）2x−3+mx x 2−9=3x+3，方程两边都乘（x +3）（x ﹣3）得2（x +3）+mx ＝3（x ﹣3） ∵原方程有增根， ∴x 2﹣9＝0，解得x 1＝3，x 2＝﹣3．故答案为：x 1＝3，x 2＝﹣3； （2）当x ＝3时，m ＝﹣4， 当x ＝﹣3时，m ＝6． 故m 的值为﹣4或6．24．（2020•潍坊三模）关于x 的方程：ax+1x−1−21−x=1．（1）当a ＝3时，求这个方程的解； （2）若这个方程有增根，求a 的值．【分析】（1）把a 的值代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x 的值，代入整式方程即可求出a 的值． 【解析】（1）当a ＝3时，原方程为3x+1x−1−21−x=1，方程两边同时乘以（x ﹣1）得：3x +1+2＝x ﹣1， 解这个整式方程得：x ＝﹣2，检验：将x ＝﹣2代入x ﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0， ∴x ＝﹣2是原方程的解；（2）方程两边同时乘以（x ﹣1）得ax +1+2＝x ﹣1，即（a ﹣1）x ＝﹣4， 当a ≠1时，若原方程有增根，则x ﹣1＝0， 解得：x ＝1，将x ＝1代入整式方程得：a +1+2＝0， 解得：a ＝﹣3， 综上，a 的值为﹣3．。
分式混合运算培优学案,附练习题含参考答案
分式混合运算学案知识梳理1.在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母因式分解．分式的乘除要约分，加减要通分，最后的结果要化成最简分式或整式．2.运算顺序：先乘除、后加减，有括号先算括号.例1：混合运算：412222x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭． 【过程书写】2244122241622422(4)(4)14x x x x x x x x x x x x x x ---=-÷----=-÷----=-⋅-+-=-+解：原式例2：先化简(1)211x x x x x x+⎡⎤+÷⎢⎥--⎣⎦，然后在22x -≤≤的范围内选取一个你认为合适的整数x 代入求值．【过程书写】2221122112x x x x x x xx x x x x++--=⋅--=⋅-=-解：原式 ∵22x -≤≤，且x 为整数∴使原式有意义的x 的值为-2，-1或2当x =2时，原式=-2练习题1. 分式的混合运算：（1）242222x x x x x⎛⎫++÷ ⎪--⎝⎭； （2）2111122x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭；（3）24142a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭； （4）2344111x x x x x -+⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭；（5）222112x x x x x ⎛⎫-+÷+ ⎪-⎝⎭； （6）11-+a a 221a a a -÷-+a 1．2. 化简求值：（1）先化简，再求值：22112111x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，其中4x =．（2）先化简，再求值：2222211b a ab b a a ab a a b ⎛⎫-+⎛⎫÷++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中11a b ==，．（3）先化简分式221221x x x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭，然后从13x -≤≤中选取一个你认为合适的整数x 代入求值．（4）先化简分式3423332a a a a a a a +-+⎛⎫-÷⋅ ⎪+++⎝⎭，然后从不等式组 25<324a a --⎧⎨⎩≤的解集中选取一个你认为符合题意的a 代入求值．3. 化简：22111a a ab a ab--÷⋅+，并选取一组你喜欢的整数a ，b 代入求值．小刚计算这一题的过程如下：22(1)(1)1111(1)(1)1a a a ab a aba a ab a a ab ab+--=÷⋅++-=⨯⋅+-=解：原式①②③当a =1，b =1时，原式=1． ④ 以上过程有两处错误，第一次出错在第______步（填写序号），原因：_____________________________________________；还有第_______步出错（填写序号），原因：___________________________________________________．请你写出此题的正确解答过程．4. 课堂上，王老师出了这样一道题：已知2015x =-，求代数式22213111x x x x x -+-⎛⎫÷+ ⎪-+⎝⎭的值． 小明觉得直接代入计算太复杂了，同学小刚帮他解决了问题，并解释说：“结果与x 无关”．解答过程如下：2(1)13(1)(1)1111112(1)12_________x x x x x x x x x x x x -++-=÷+-+-=÷+-+=⋅+-=原式①②③④当2015x =-时，12=原式． （1）从原式到步骤①，用到的数学知识有_______________；（2）步骤②中空白处的代数式应为_____________________；（3）从步骤③到步骤④，用到的数学知识有_____________．5. 有两个熟练工人甲和乙，已知甲每小时能制作a 个零件，乙每小时能制作b个零件．现要赶制一批零件，如果甲单独完成需要m 小时，那么甲、乙两人同时工作，可比甲单独完成提前_______________小时．6. 若把分式x y x y+-中的x 和y 都扩大为原来的m 倍，则分式的值（ ） A ．扩大为原来的m 倍 B ．不变C ．缩小为原来的1mD ．不能确定7. 若把分式2x y xy+中的x 和y 都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A ．扩大为原来的3倍 B ．不变C ．缩小为原来的13D ．缩小为原来的168. 已知53m n =，则222m m n m n m n m n +-=+--__________．9. 已知34(1)(2)12x A B x x x x -=+----，则A =______，B =______． 10. 计算：（1）22221244x y x y x y x xy y ---÷+++； （2）211121a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭；（3）22221a a b a ab a b ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭； （4）2286911y y y y y y ⎛⎫-+--÷ ⎪-+⎝⎭；（5）2221122a ab b a b b a -+⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭； （6）24421x x x x -+⎛⎫÷- ⎪⎝⎭；（7）2234221121x x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭；（8）352242x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭；（9）253263x x x x --⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭； （10）211(1)111x x x ⎛⎫--- ⎪-+⎝⎭；（11）22221113x y x y x y x xy x y ⎛⎫⎛⎫--⋅÷-- ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭．11.化简求值：（1）先化简，再求值：2121122x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中1x =．（2）先化简，再求值：2222225321x y x x y y x x y xy ⎛⎫++÷ ⎪---⎝⎭，其中x =y =（3）先化简22212211211x x x xx x x x ++-⎛⎫+÷+ ⎪--+-⎝⎭，然后在22x -≤≤的范围内选取一个合适的整数x 代入求值．（4）已知222111x x xA x x ++=---．①化简A ；②当x 满足不等式组1030x x -⎧⎨-<⎩≥，且x 为整数时，求A 的值．12.不改变分式2132113x yx -+的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（） A ．263x y x -+ B ．218326x yx -+C ．2331x y x -+D ．218323x yx -+13.把分式32a bab -中的分子、分母的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（）A ．不变B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的1214.把分式34a b ab-中a ，b 的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的1215.把分式222xy x y +中x ，y 的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A ．不变B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的1216.已知47(2)(3)23x A B x x x x +=+-+-+，则A =_______，B =_______． 【参考答案】1. （1）2x （2）4x （3）2a a +（4）22x x +-（5）11x +（6）21(1)a -- 2. （1）原式，当4x =时，原式（2）原式1ab=-，当11a b ==，时，原式1=- （3）原式12x =--，当x =3时，原式1=- （4）原式=a +3，当0a =时，原式3=3. ③，约分出错④，a 的取值不能为1，当a =1时，原分式无意义正确的解答过程略 4. （1）分解因式，通分，分式的基本性质（2）221x x -+ （3）约分，分式的基本性质5. bm a b+ 6. B41x =+=7. C8. 41169. 1，210. （1）（2）（3）21a（4）（5）（6） （7）（8）（9）（10）（11） 11. （1）原式11x =+，当1x =时，原式=（2）原式=3xy，当x =y =-时，原式=3（3）原式241x x -=+，当x =2时，原式=0 （4）①11x -；②1 12. B13. A14. D15. A16. 3，1 y x y -+1a -22(1)(27)(1)(3)y y y y y y +----2ab 2x -+11x x -+126x -+124x -+23x -+y x y -+。
《分式》培优题
《分式》培优题1、下列各式中，分式有2、下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x + 3、当x _____时，分式392+-x x 有意义．当x ____时，分式392+-x x 的值为0． 4、当 x __________________时，分式325x -－12x +有意义． 5、当x= 时，分式2323x x x ---的值为0. 6、若分式23xx -的值为负数，则x 的取值范围 ． 7、与分式y x y x --+--相等的分式为（ ） y x y x A -+)( y x y x B +-)( y x y x C -+-)( xy x y D +-)( 8、若把分式y x xy +中的x 和y 都扩大为原来的3倍,那么分式的值( ). A ．扩大3倍 B ．扩大9倍 C ．缩小到原来的31 D ．不变 9、如果m 为整数，那么使分式13++m m 的值为整数的m 的值有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个10、在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V 1千米，下坡时的速度为每小时V 2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（ ）。
A 、221v v +千米B 、2121v v v v +千米C 、21212v v v v +千米 D 无法确定 11、用科学记数法表示：12．5毫克=_______ _吨． 12、若的值为则分式y xy x y xy x y x ---+=-2232,311（ ） A ． 53 B. 53- C . 1 D. 532xx xy b a y x m x 27,26,615),(314,233,22,311）（）（）（）（）（）（）（π-+-x x x x x x x x -÷+----+4)44122(2213、化简：① ②35(2)242a a a a -÷+---14、（1）先化简 代数式1)12111(2-÷+-+-+a a a a a a ; 然后从0、1、2中选取一个你喜欢的a 值代入求值.的值求若34121311,012)2(2222+++-⋅-+-+=-+a a a a a a a a a15、计算：(1)(－1)2 013－|－7|＋2-31-）（×(2016－π)0＋（-2）3； (2)(m 3n )－2·(2m －2n －3)－2÷(m －1n )3.16、若111312-++=--x N x M x x ，试求N M ,的值.17、用换元法解方程222026133x x x x+-=+ ，若设x 2+3x =y ，，则原方程可化为关于y 的整式方程为____________． 18、解方程114112=---+x x x19. 已知两个分式：A=442-x ，B=x x -++2121，其中x ≠±2 ． 下面有三个结论：①A=B ； ②A 、B 互为倒数； ③A 、B 互为相反数．请问哪个正确?为什么?20、若关于的分式方程无解，则 ． 21．已知a 、b 为实数，且ab ＝1，设M ＝11+++b b a a ，N ＝1111+++b a ，比较M 、N 的大小关。
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分式
【知识点总结】
一. 分式
※1. 两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.
整式A 除以整式B,可以表示成B A 的形式.如果除式B 中含有字母,那么称B
A 为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.
※2. 整式和分式统称为有理式,即有: ⎩⎨⎧分式
整式有理式
※3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.
)0(,≠÷÷=⨯⨯=M M
B M A B A M B M A B A ※4. 一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时
除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.
二. 分式的乘除法
※1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、
分母颠倒位置后,与被除式相乘.
即: BD AC D C B A =⋅, C
B D A
C
D B A D C B A ⋅⋅=⋅=÷ ※2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方.
即: )(为正整数n B A B A n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛ 逆向运用n n n B A B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=,当n 为整数时,仍然有n n n B A B A =⎪⎭
⎫ ⎝⎛成立. ※3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.
三. 分式的加减法
※1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分
式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.
※2. 分式的加减法:
分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.
(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;
上述法则用式子表示是:C
B A
C B C A ±=± (2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;
上述法则用式子表示是:BD
BC AD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 四. 分式方程
※1. 解分式方程的一般步骤:
①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;
②解这个整式方程;
③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,
必须舍去.
※2. 列分式方程解应用题的一般步骤:
①审清题意;
②设未知数;
③根据题意找相等关系,列出(分式)方程;
④解方程,并验根;
⑤写出答案.
【培优训练】
一选择题（每小题3分，共30分）
1、在下列各式m
a m x x
b a x x a ,),1()3(,43,2,3222--÷++π中，是分式的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个
2、要使分式7
33-x x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A 、x=37 B 、x>37 C 、x<37 D 、x ≠3
7 3、若分式4
242--x x 的值为零，则x 等于（ ）A 、2 B 、-2 C 、2± D 、0 4、如果分式x
+16 的值为正整数，则整数x 的值的个数是（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个
5、有游客m 人，若果每n 个人住一个房间，结果还有一个人无房住，这客房的间数为（ ）
A 、n m 1-
B 、1-n m
C 、n m 1+
D 、1+n
m 6、把a 千克盐溶于b 千克水中，得到一种盐水，若有这种盐水x 千克，则其中含盐（ ） A 、
b a ax +千克 B 、b a bx +千克 C 、b a x a ++千克 D 、b ax 千克 7、在下列各题中，结论正确的是（ ）
A 、若a>0,b<0, 则
0>a
b B 、若a>b, 则a-b ＜0 C 、若 a<0,b<0, 则ab>0 D 、 若a>b, a<0, 则0<a b 8、若⎪⎩
⎪⎨⎧<<><<c x b x a x x c b a 的不等式组，则关于的解集是（ ）
A ．a <x <b
B ．a <x <c
C ．b <x <c
D ．无解
9、当x=33时，代数式)23(232x
x x x x -+÷--的值是（ ） A 、213- B 、213+ C 、 313- D 、3
13+ 10、某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走。
怎样调配劳动力才能使挖出的
土能及时运走且不窝工。
解决此问题，可设派x 人挖土，其他人运土，列方程为①
3172=-x x ②72-x=3x ③x+3x=72 ④372=-x
x 上述所列方程正确的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
二、填空题（每小题3分，共30分）
11、若分式)3)(2(2
+--a a a 的值为0，则a=
12、已知当x=-2时，分式a
x b x -- 无意义，x=4时，此分式的值为0，则a+b= 13、已知,1
1x y y =-+用x 的代数式表示y 为 14、若关于x 的方程组⎩
⎨⎧-=++=+134123p y x p y x 的解满足x >y ， 则P 的取值范围是 15、使分式方程3
232
-=--x m x x 产生增根，m 的值为 16、要使
15-x 与2
4-x 的值相等，则x= 17、化简=-+-a b b b a a 18、已知5
922=-+b a b a ，则a ：b= 19、若121-x 与)4(31+x 互为倒数，则x= 20、汛期将至，我军机械化工兵连的官兵为驻地群众办实事，计划加固驻地附近20千米的河堤。
根据气象部门预测，今年的汛期有可能提前，因此官兵们发扬我军不怕苦，不怕累的优良传统，找出晚归，使实际施工速度提高到计划的1.5倍，结果比计划提前10天完成，问该连实际每天加固河堤多少千米？列方程解此应用题时，若计划每天加固河堤x 千米,则实际每天加固1.5x 千米，根据题意可列方程为
三解答题（共60分）
21、（5分）计算（22+--x x x x ）24-÷x x 22、（5分）化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷--ab b a b a b a 22222
23、（8分）某水果批发市场规定，批发苹果不少于1000千克时，可享受每千克2.2元的最优惠批发价.个体户小王携款x 元到该批发市场除留200元作生活费外，全部以最优惠批发价买进苹果。
用不等式表示问题中x 与已知数量之间的不等关系，并求x 的最小值。
24、若关于x 的方程x
x x k --=+-3423有增根，试求k 的值。
25、（8分）A,B 两地相距80千米，一辆公共汽车从A 地出发开往B 地，2小时后，又从A 地开来一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的3倍。
结果小汽车比公共汽车早到40分钟到达B 地。
求两种车的速度。
26、（10分）某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共4350元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共4750元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的3
2，厂家需付甲、丙两队共2750元。
（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
（2）若工期要求不超过20天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。