一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。
【定理1】01>x ，02>x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b ，推论：01>x ，02>x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b上述推论结合二次函数图象不难得到。
例1若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。
【定理2】01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x ab x x ac b ，【定理3】210x x <<⇔0<ac例3 k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？【定理4】 ○101=x ，02>x ⇔0=c 且0<a b； ○201<x ，02=x ⇔0=c 且0>ab。
例4若一元二次方程03)12(2=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？二．一元二次方程的非零分布——k 分布设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。
k 为常数。
则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。
【定理1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k a b k af ac b 20)(042【定理2】k x x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆k a b k af ac b 20)(042。
一元二次方程根的分布【公开课教学PPT课件】
充要条件是：
a f (m) 0 a f (n) 0
（4）一元二次方程两个实根分别在（m, n）同一侧的
充要条件是： 分两类：
b2 4ac 0
（）在（m, n）右侧 a f (n) 0
n
b
2a
注：前提 m,n不是 方程（1）的根.
b2 4ac 0
解：（1）令f(x)=2kx2 2x 3k 2, k 0
由题 kf (1) 0, k(2k 2 3k 2) 0,
（k k 4）>0即 k 0或k 4.
(2) 已知二次方程 (m 2)x2 mx (2m 1) 0 的两根 分别属于（1，0）和（1，2）求 m 的取值范围.
实根分布问题.
（1）一元二次方程有且仅有一个实根属于（m, n）的
充要条件是： f (m) f (n) 0.
(2) 一元二次方程两个实根都属于（m, n）的充要条件是：
b2 4ac 0
a f (m) 0
a f (n) 0
m
b 2a
n
(3) 一元二次方程两个实根分别在（m, n）两侧的
（2）判别式 b2b 4ac
（3）对称轴
x 2a
（4）端点值 f (m) 的符号。
0
k1
பைடு நூலகம்
f (k1 ) f (k2 ) 0
k2
k1
或
b
k2
k1 2a k2
k1
k2
或
f
(k1
)
0 b
k1 2a
求解一元二次方程根的分布问题的途径
丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳丳一元二次方程根的分布问题，通常会给出一元二次方程根的分布区间，要求方程中参数的取值范围.解答此类问题，常需利用一元二次方程根的判别式、韦达定理以及一元二次函数的图象、性质.下面重点谈一谈一元二次方程根的分布问题的解法.一、采用直接法一元二次方程的根能够直接用配方法或因式分解法求出来，可采用直接法，将一元二次方程的根直接求出来，然后根据方程的根所在的区间建立不等式，解不等式即可确定参数的取值范围.例1.要使关于x的方程x2-2mx+m2-1=0的两个实根介于-1和4之间，求实数m的取值范围.分析：方程x2-2mx+m2-1=0的两个实根很容易用配方法或因式分解法求出来，可采用直接法求解.解：x2-2mx+m2-1=()x-m-1()x-m+1=0，解得x1=m-1，x2=m+1，由题意得-1＜m-1＜m+1＜4，解得0＜m＜3.有时可运用求根公式求得方程的根，但要注意对判别式的符号进行讨论.二、利用函数法一元二次方程与一元二次函数之间的联系紧密，若一元二次函数为f（x）=ax2+bx+c（a≠0），当函数f（x）=0时，它就会变成一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).而解方程实质上是求对应函数的零点，即函数图象与x轴交点的横坐标，所以在解答一元二次方程根的分布问题时，可构造一元二次函数，借助图象来讨论函数零点的位置或取值，以明确方程根的分布情况.例2.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两实根一个大于1，一个小于1，求实数k的取值范围.解：设f（x）=2kx2-2x-3k-2，画出如图1、2所示的函数图象，图1图2根据题意可得{k>0,f()1<0,或{k<0,f()1>0,即{k>0,-k-4<0,或{k<0,-k-4>0,解得k＞0或k＜-4.根据所给的一元二次方程构造一元二次函数，便可将问题转化为函数问题，采用函数法来求解.对一元二次函数的开口方向和两根的取值范围进行讨论，便能快速建立关于k的不等式，求得问题的答案.三、分离参数对于一些含参一元二次方程，可将参数分离，运用分离参数法来求参数的取值范围.利用分离参数法求解一元二次方程根的分布问题，需在分离参数后，构造函数模型，将问题转化为求函数的值域或函数图象的交点问题.例3.若方程x2+ax-2=0在区间[]1,5上有解，则实数a的取值范围为（）.A.（-235，+∞）B.（1，+∞）C.éëùû-235，1 D.（-∞，-235）解：因为x∈[]1,5，所以方程x2+ax-2=0可以变形为a=2x-x，令f(x)=2x-x，g(x)=a，故原方程在区间[]1,5上有解⇔f(x)与g(x)的图象在区间x∈[]1,5上有交点，由图3知f(x)=2x-x在[]1,5上单调递减，其值域为éëùû-235，1，所以实数a的取值范围是éëùû-235,1，本题应选C项.将方程x2+ax-2=0变形为a=2x-x，就能将参数分离，再构造函数f(x)、g(x)，便将问题转化为f(x)与g(x)的图象在区间x∈[]1,5上有交点的问题.总之，对于简单的一元二次方程根的分布的问题，可采用直接法求解；对于较为复杂的问题，就需灵活运用函数法和分离参数法求解.而每种方法的适用情况均不相同，同学们需根据解题需求选择合适的方法来求解，这样才能有效提升解题的效率.（作者单位：江苏省盐城市龙冈中学）赵爱华图3探索探索与与研研究究50。
一元二次方程根的基本分布
一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。
【定理1】01>x ，02>x (两个正根)⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩， 推论：01>x ，02>x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆0)0(0042b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到。
【例1】 若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。
分析：依题意有24(1)4(1)02(1)0101m m m m m m m ⎧⎪∆=++-≥⎪+⎪->⎨-⎪-⎪>⎪-⎩0<m <1。
【定理2】01<x ，02<x (两个负根)⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b ， 推论：01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆0)0(0042b c f a ac b 由二次函数图象易知它的正确性。
【例2】 若一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围。
（512-≤k 或k>3） 【定理3】210x x <<(一正根，一负根)⇔0<ac 【例3】 k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？ 分析：依题意有3k k-<0=>0<k <3 【定理4】 ○101=x ，02>x ⇔0=c 且0<a b ； ○201<x ，02=x ⇔0=c 且0>ab 。
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表〔每种情况对应的均是充要条件〕表一：〔两根与0的大小比拟即根的正负情况〕分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象〔>a 〕得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象〔<a 〕得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论〔不讨论a〕()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a表二：〔两根与k 的大小比拟〕分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象〔>a 〕得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象〔<a 〕得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论〔不讨论a〕()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk表三：〔根在区间上的分布〕分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内〔图象有两种情况，只画了一种〕 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象〔>a 〕得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象〔<a 〕得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 综合结论〔不讨论a〕——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，〔图形分别如下〕需满足的条件是〔1〕0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； 〔2〕0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： 〔1〕两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：假设()0f m =或()0f n =，那么此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
根的分布
一元二次方程实根的分布一元二次方程实根的分布是二次方程中的重要内容，在各类竞赛和中考中经常出现。
这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）的运用。
本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。
一．一元二次方程实根的基本分布——零分布一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）即可判别。
一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实数根为1x 、2x ，则1x 、2x 均为正⇔△≥0，1x ＋2x ＞0，1x 2x ＞0； 1x 、2x 均为负⇔△≥0，1x ＋2x ＜0，1x 2x ＞0；1x 、2x 一正一负⇔1x 2x ＜0。
例1．关于x 的一元二次方程28(1)70x m x m +++-=有两个负数根，求实数m 取值范围。
解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212000x x x x ∆⎧⎪+< ⎨⎪> ⎩≥ ①②③由①得：2(1)32(7)0m m +--≥，2(15)0m -≥，恒成立。
由②得：18m +-＜0，解之，m ＞1-。
由③得：78m -＞0，解之，m ＞7。
综上，m 的取值范围是m ＞7。
例2．若n ＞0，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的正实数根，求mn 的值。
解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212000x x x x ∆= ⎧⎪+⎨⎪> ⎩①＞ ②③由①得：2(2)0m n mn --=，()(4)0m n m n --=，∴m n =或4m n =。
若m n =，则1x ＋2x 22m n n n n =-=-=-＜0，不符合②，舍去。
一元二次方程根的分布
一元二次方程的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
一元二次方程根的分布取决于方程的解的个数，有如下三种情况：1 两个不相等的实根：如果一元二次方程有两个不相等的实根，那么方程的解为x1=r1、x2=r2，其中r1和r2是方程的两个实根。
2 两个相等的实根：如果一元二次方程有两个相等的实根，那么方程的解为x1=x2=r，其中r是方程的两个相等的实根。
3 两个复数根：如果一元二次方程有两个复数根，那么方程的解为x1=r1+r2i、x2=r1-r2i，其中r1和r2是方程的两个复数根的实部和虚部。
一元二次方程的根分布可以通过求解方程的判别式来确定。
判别式为b^2-4ac，如果判别式>0，则方程有两个不相等的实根；如果判别式=0，则方程有两个相等的实根；如果判别式<0，则方程有两个复数根。
在数学中，一元二次方程是由一个二次项和一个一次项组成的方程。
它的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
解决一元二次方程的方法有多种，常见的方法有求解公式法、因式分解法、二分法、牛顿迭代法等。
求解公式法是最常见的求解一元二次方程的方法，它的公式为：x1= (-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)x2= (-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)其中sqrt(b^2-4ac)表示根号内的值。
因式分解法是将一元二次方程写成两个一次方程的形式，然后分别求解两个一次方程的解。
二分法是一种数值解法，通过取方程的两个端点的中点来逐步缩小解的范围，最终得到方程的解。
牛顿迭代法是一种逐步迭代的方法，通过不断迭代来逼近方程的解，最终得到方程的解。
在解决一元二次方程时，应根据具体情况选择合适的方法。
一元二次方程实根的分布
一元二次方程实根的分布一元二次方程实根的分布是二次方程中的重要内容，在各类竞赛和中考中经常出现。
这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）的运用。
本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。
一．一元二次方程实根的基本分布——零分布一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）即可判别。
一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实数根为1x 、2x ，则1x 、2x 均为正⇔△≥0，1x ＋2x ＞0，1x 2x ＞0； 1x 、2x 均为负⇔△≥0，1x ＋2x ＜0，1x 2x ＞0；1x 、2x 一正一负⇔1x 2x ＜0。
例1．关于x 的一元二次方程28(1)70x m x m +++-=有两个负数根，求实数m 取值范围。
解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212000x x x x ∆⎧⎪+< ⎨⎪> ⎩≥ ①②③由①得：2(1)32(7)0m m +--≥，2(15)0m -≥，恒成立。
由②得：18m +-＜0，解之，m ＞1-。
由③得：78m -＞0，解之，m ＞7。
综上，m 的取值范围是m ＞7。
例2．若n ＞0，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的正实数根，求mn 的值。
解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212000x x x x ∆= ⎧⎪+⎨⎪> ⎩①＞ ②③由①得：2(2)0m n mn --=，()(4)0m n m n --=，∴m n =或4m n =。
若m n =，则1x ＋2x 22m n n n n =-=-=-＜0，不符合②，舍去。
人教版必修一：3.1一元二次方程根的分布(共15张PPT)
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（6） 两个根都在（0 , 2）内
(m 3) 4m 0 3 m 2 0 2 f (0) m 0 f (2) 3m 2 0
2
2 m m 1 3
2019/1/10
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（2）有两个负根
(m 3) 4m 0 3 m 0 m 0
2
m m 9
2019/1/10
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（3） 两个根都小于1
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
一般情况
两个根都在（k1 .k2)内
y
两个根有且仅有 一个在（k1 .k 2 )内
x 1∈(m,n) x ∈ (p,q) 2k1k2x Nhomakorabeak1
k2
m
n p
q
小 结
0 b k2 k1 2a f (k1 ) 0 f (k 2 ) 0
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（8） 一个根在（-2 ,0）内，另一个根在（1 ,3）内
f (2) m 10 0 f (0) m 0 f ( 1 ) 2 m 2 0 f (3) 4m 0
Ø
2019/1/10
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
y
一元二次方程根的分布问题
一元二次方程根的分布问题一元二次方程的两根就是相应二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标，因此在讨论方程的根的分布时，一定要分析方程对应的函数图象与坐标轴的交点情况，列出等价的不等式（组）求解。
在列不等式组时，一般情况下需要从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴与区间端点的关系，有时也可以利用韦达定理。
1. 判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a-+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．2.韦达定理如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．3. 一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为c bx ax x f ++=2)(，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()nm,内两根有且仅有一根在()nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()nm,内，另一根在()q p,内，qpnm<<<大致图象（0 > a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（0 < a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a ）——————()()0<⋅nfmf()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩4.例题例 1．已知2(3)0x m x m +-+=，分别求方程的根满足下列条件下的m 的取值范围：（1）两个正根； （2）两个负根； （3）两根都小于1； （4）两根都大于1； （5）一根大于1，一根小于1；（6）两根都在区间（0,2）内； （7）两根有且仅有一个在区间（0,2）内；解：（1）由1212000,0200b x x a x x c a ⎧⎪∆>∆>⎧⎪⎪⎪->+>⎨⎨⎪⎪>⎩⎪>⎪⎩即，得01m <≤。
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候，一准儿会有三五成群的秃头小子们连蹦带跳地跑来河边，毫无顾忌地脱光了跳到河里去尽情地戏水洗澡。估摸着快起晌了，他们 就自觉地上岸来，穿好衣服跑到别处玩，或者下地帮大人干活儿去了，把这条小河留给了很快就要来河边洗衣裳的女人们。结伴儿去 小河边洗衣裳是小镇上女人们最乐意做的一件家务事儿。每天上午或午后，尤其是闷热天起晌后，她们总会挎上个装满衣服或鞋袜的 竹篮子，再带上一块胰子、一个棒槌，也许还会再带一把猪鬃刷子，互相招呼着高高兴兴地来到河边洗衣裳。沿着河岸有几颗大柳树， 树下一溜儿不远不近略略倾斜摆放着几十块平整光滑的洗衣石。来这里洗衣裳的女人们，年轻的大闺女和小媳妇们不嫌累，干脆就蹲 在洗衣石后面洗；上了年纪的女人们嫌蹲着洗衣服累得慌，就搬一块适合的石头放在洗衣石的后面，再在这块石头上垫一件准备洗的 衣裳，然后舒舒服服地坐着洗。金色的太阳、蓝蓝的天空、缓缓移动的白云、轻轻吹拂的凉风、揺荡着的垂柳枝条、潺潺流动的河水、 时不时跃出水面的银色鲢鱼、成群结队的小蝌蚪、河边闪光的洗衣石、草丛上晾晒的花花绿绿的衣裳，以及高一声低一声嘻嘻哈哈的 说笑声、棒槌此起彼伏的敲打声构成了一幅无与伦比的乡间美丽画卷，也奏响了一曲美妙动听的乡间美妙交响乐！每逢农忙季节，当 人们在自家地里劳作完了以后回家的时候，只要途经这条清澈见底的小河，必然会放下手里的家伙什儿，蹲下来洗脸、洗手、洗脚， 洗去尘土和疲乏，然后干干净净高高兴兴一身轻松地回家去。在小河上游不到一里远的地方，有一大片自然形成的泉眼，清澈透明的 泉水源源不断地从泉眼里咕嘟咕嘟地涌出来。这些泉眼分布在四个大水塘里，而这四个水塘的面积几乎一样大，并且都是方方正正的 样子。一个呈“十”字形，足足有两步宽的青石堤把它们分割开来。在这些青石堤的大约中间位置，各有一个半步宽的洞口使四个水 塘相互连通。在西南方向的那个水塘的外侧有一个宽大的开口；泉水从开口处溢出后，就毫无阻挡地流到小河里去了。由于泉水冬暖 夏凉，所以，这条混合了大量泉水的小河，即使在严寒的冬季里，流经小镇的河段上也绝对不会结冰。不过，在天儿冷了的时候，尽 管小河仍然流淌得很欢畅，但河水还是有些冰手的。所以，每年的这个时候，就很少有人再在小河边上洗衣服了，她们宁愿多走几百 步，也要到水塘边上来洗衣裳。这里的四个水塘都没有多深，最深的地方也没不过成年人的脖子。水塘的底子都是些青石板，站在水 塘边向水里望去，连石头缝儿也看得清清楚楚。在每一个水塘里面，都有成群结队的青虾和小鱼游来游去。偶尔地，会有人来这里捕 捞鱼虾。在小镇周围村子里人们的眼里，小镇是一
f ( m) 0 5.x1<m<n<x2 f ( n) 0
6.若f(m) ·f(n)<0，则方程必有一根在m与n之间
例3: 方程mx2+(2m－1)x－3(m－1)=0
两根都大于3，求实数m的取值范围。
例4: 命题p:-2<k<2命题q:方程x2+(k2－1)x+k－2=0 有一根大于1另一根小于1，则p是q的（ C） A.充要条件 B.充分不必要条件来自6. 方程一根大于m另一根小于m
( x1 m) ( x2 m) 0
• 例1: 方程x2+2ax+1=0有两个不等负 根，求实数a的取值范围。 (a>1) 例2: 方程mx2+(2m－1)x－3(m－1)=0 两根都大于3，求实数m的取值范围。
• 二、二次方程与二次函数联系紧密，关于二次 方程问题求解的另一思路是转化为二次函数来 解，因此一元二次方程根的分布问题可借助二 次函数图象来研究求解。(函数法） 抓△，对称轴的位置，特殊点的函数值 令f(x)=ax2+bx+c(a>0) 则有如下结论 0 1 .方程两根都大于m f (m) 0 b m 2a
C.必要不充分条件
D.既不必要不充分条件
例5:求方程3x2－2mx+m+1=0一根在0,1之 间另一根在1,2之间的充要条件
13 4m 3
例6 : 抛物线y=－x2+3x－m与直线y=3－x在 0<x<3时只有一个交点,求m的范围. －3<m≤0或m=1 例7 设m,n分别是关于x的二次方程ax2+bx+c=0 与－ax2+bx+c=0 的一个非零实根，且m≠n, a 2 求证：方程 x bx c 0 必有一根在m,n之间。 2
一、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a,b,c∈R,a≠0)的根的问题，常利用韦达 定理和判别式来解。常用结论有：
b 2 4ac 0 b 方程有两个正根 x1 x2 a 0 c x1 x2 0 a
2
1
b 4ac 0 2 方程有两个负根 x1 x2 0 x x 0 1 2
3.方程有一个正根一个负根
x1 x2 0(或ac 0)
0 4.方程两根都大于m ( x1 m) ( x2 m) 0 ( x m) ( x m) 0 2 1
0 5 .方程两根都小于m ( x1 m) ( x2 m) 0 ( x m) ( x m) 0 2 1
0 2.方程两根都小于m f ( m) 0 b m 2a
3.方程一个根大于m另一根小于m
f (m) 0
0 f ( m) 0 4.方程两根都大于m且都小于n f (n) 0 m b n 2a