一元二次方程根的两个特性及简单运用
一元二次方程的根的性质
一元二次方程的根的性质一元二次方程是数学中的基础知识之一，也是解析几何和数学建模中常见的问题类型。
一个一元二次方程的一般形式为：ax² + bx + c = 0,其中a、b、c是已知实数且a ≠ 0。
一元二次方程的解也被称为方程的根。
在本文中，我们将探讨一元二次方程的根的性质。
1. 判别式（Discriminant）判别式是一个一元二次方程与0相等的左边部分的差的平方，它起着判断方程有几个根以及根的类型的作用。
一元二次方程的判别式是b² - 4ac。
（1）当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根。
若判别式是正数，方程图像将与x轴有两个交点，也即有两个不相等的实数根。
（2）当判别式等于0时，方程有一个实平方根。
若判别式为0，方程图像将与x轴有一个交点，也就是有一个实数根。
此时，可以发现方程因式分解为一个完全平方的形式。
（3）当判别式小于0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
若判别式是负数，方程图像将与x轴没有交点，也即没有实数根。
不过，这并不意味着方程没有根，而是有两个共轭复根。
2. 求根公式（Root formula）求根公式是用来求解一元二次方程的根的一种方法。
对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，它的求根公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a（1）当判别式大于0时，使用求根公式可以求得两个不相等的实根。
由于判别式大于0时，求根公式的根内部是存在实数的，因此可以通过计算求得两个实数根。
（2）当判别式等于0时，使用求根公式可以求得一个实平方根。
当判别式等于0时，求根公式根内部的平方根为0，因此只能求得一个实数根。
（3）当判别式小于0时，使用求根公式可以求得两个共轭复根。
当判别式小于0时，求根公式根内部的平方根为虚数，因此只能求得两个共轭的复数根。
需要注意的是，一元二次方程除了根的性质外，还有其他一些重要的性质，例如两根之和、两根之积等。
一元二次方程有什么特点
一元二次方程有什么特点一元二次方程是数学中的一种重要方程，具有鲜明的特点。
它在各个领域中有着广泛的应用，如物理、化学、工程等领域。
接下来，我们将详细探讨一元二次方程的特点，以及它在实际问题中的应用。
一、一元二次方程的定义及形式一元二次方程是指只含有一个未知数，且该未知数的最高次数为2的方程。
它的一般形式为：ax²+bx+c=0其中，a、b、c为已知常数，且a≠0。
二、一元二次方程的特点1.二次项系数不为零：在一元二次方程中，二次项系数a不为零，这是它与一元一次方程的主要区别。
二次项系数a的正负性决定了方程的性质。
2.图像特征：一元二次方程的解可以表示为抛物线。
通过分析二次项系数a、一次项系数b和常数项c，可以确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.根的判别式：一元二次方程的根的判别式为Δ=b²-4ac。
根据判别式的值，可以判断方程的根的情况：-Δ>0：方程有两个不相等的实根；-Δ=0：方程有两个相等的实根，即两个相同的实根；-Δ<0：方程无实根，但有两个共轭复根。
4.解的求法：一元二次方程有三种求解方法，分别是直接开平方法、配方法和解根公式法。
求解过程中，需要根据方程的特点和根的判别式选择合适的方法。
三、一元二次方程在实际问题中的应用1.物理学：在一元二次方程中，引力定律、简谐振动等问题中涉及到物体运动轨迹的解析，可以通过一元二次方程来描述。
2.工程学：在建筑、机械等领域，一些构件的尺寸和形状可以通过一元二次方程来表示，如抛物线、椭圆等。
3.经济学：在经济学中，一元二次方程可以用来描述成本、收益等函数关系，如成本函数、收益函数等。
4.生物学：在生物学中，一元二次方程可以用来描述种群增长模型，如Logistic曲线。
总之，一元二次方程具有独特的特点，它在各个领域的应用十分广泛。
通过深入理解和掌握一元二次方程的性质，我们可以更好地解决实际问题。
一元二次方程的根与系数关系及应用
代数：一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程的根与系数关系：二、一元二次方程的根与系数关系的应用应用1，验根，不解方程求一元二次方程两根和与两根积，检验两个数是不是一元二次方程的两个根. 应用2，已知方程的一个根，求另一根及方程中未知参数. 应用3，不解方程，利用定理求出关于x 1,x 2的对称式的值..,11,,,11,,213231212132312221等等如x x x x x x x x x x x x ++++++ 应用4，已知方程的两根，求作这个一元二次方程. 应用5，已知两数的和与积，求这两个数. 应用6，求作一个新的一元二次方程，使它的两根与已知方程的两根有某些特殊关系. 应用7，已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值.应用8，解决其他问题，如讨论根的范围，根的符号及判定三角形的形状等.三、相关练习1．不解方程，求下列各方程两根之和，两根之积.x x 1.025.0.12-= x x 21231.22+= 22322.32=+x x )(4)(.42222222b a b a a b xx b a ≠-=-- 2．已知方程5x 2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.已知方程7x 2+kx-5=0的一个根是3，求另一个根及k 的值.3．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2+3x-1=0两个根的（1）平方和，（2）倒数和，（3）立方和，（4）x 1-x 2，（5）1221x x x x + 4．设x 1、x 2是方程3x 2-9x-7=0的两个根，不解方程，求下列各式的值.221122221221)2()1(x x x x x x x x ++ （3）（2x 1+5）（2x 2+5） （4）x 1-x 25．求作一个一元二次方程，使它的两个根是212,313- 6．已知两数和是8，积是-9，求这两个数.7．已知方程2x 2+4x-3=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的一个根为已知方程两根差的平方，另一根为已知方程两根和的倒数.试求且和分别满足方程、已知实数,1,030311.822≠=-+=-+ab b b a ab a (一)选择题 1．如果方程03622=+-x x 的两个实数根分别为21,x x ，那么21x x ⋅的值是（ ）（A ）3 （B ）–3 （C ）23-（D ）32-2．若21,x x 是方程0532=-+x x 的两个根，则()()1121++x x 的值为（ ） （A ）–7 （B ）1 （C ）291+- （D ）291--3．方程2x 2－ax ＋10=0的一个根为2，则a 的值为 ( ) (A) 25 （B ）29- （C ）49 （D ）9 4．已知方程 2x 2＋kx －2k ＋1=0 两实根的平方和为429 ，则k 的值是： (A) －11 (B) 3或－11 (C) 3 (D) 以上都不对5．若方程 x 2－kx ＋6=0 的两根分别比方程x 2＋kx ＋6=0 的两根大5，则k 的值是：(A) 5 (B) －5 (C) 852 (D) 856．方程x 2－ax －2a=0的两根之和为4a －3，则两根之积为 ( )(A) 1 （B ）－2 （C ）2 （D ）－1(二)填空题1．已知方程01932=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是_____，m 的值为______。
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，b那么x1+x2=-ac，x1x2=a4. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系22.根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝．b4ac3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b2－4ac≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
【例题罗列】根的判别式类型1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x2－2x－1＝0；（2）y2＝2y－4；（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．（系数中有字母的情况）解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根．(3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．(4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36，∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数，∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．升级:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况．这是一类需要自己找出隐含条件的题解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10．又y 2＋my －2m ＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20当m ＜－10时，m 2＋8m －20>0，即Δ2>0．∴方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两个不相等的实数根．类型2：1.已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0．k 取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?解：Δ＝(2k )2－4（k －1）（k ＋3）＝－8k ＋12．(1)当－8k ＋12＞0，且k －1≠0，即k ＜且k ≠1时，方程有两个不相等23的实数根；(2)当－8k ＋12＝0，且k －1≠0，即k ＝时，方程有两个相等的实数根；23(3)当－8k ＋12＜0，且k －1≠0，即k ＞时，方程没有实数根．23说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．2．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相等的实数根，则此三角形为（ ）A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式解：原方程可化为（a+c ）x 2＋2bx ＋a-c ＝0，Δ＝(2b)2－4（a +c ）（a -c ）＝0得到a 2=b 2+c 2，因此此三角形为直角三角形。
一元二次方程根的判别式知识点
一元二次方程根的判别式知识点及应用1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b24ac若△＞0则方程有两个不相等的实数根若△=0则方程有两个相等的实数根若△＜0则方程没有实数根2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b24ac若方程有两个不相等的实数根，则△＞0若方程有两个相等的实数根，则△=0若方程没有实数根，则△＜0特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)（Δ=b24ac）3、一元二次方程根的判别式的多种应用：一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。
二、例1、判断下列方程根的情况三、2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、?已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。
例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？三、?证明方程根的性质。
例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
四、?判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。
例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
五、?判定二次三项式为完全平方式。
例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。
例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。
六、?利用判别式构造一元二次方程。
例7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y）求证：2y=x+z七、?限制一元二次方程的根与系数关系的应用。
例8、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。
一元二次方程两根和_概述说明以及解释
一元二次方程两根和概述说明以及解释1. 引言1.1 概述一元二次方程在数学中扮演着重要的角色，它是高中阶段数学课程的重点内容之一。
通过解一元二次方程，我们可以找到方程的根，即方程等式两侧相等的值。
而本文将聚焦于探讨一元二次方程两根和这一特定概念。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、正文、解释两根和的计算方法、应用举例分析与证明以及结论。
在引言中，我们将简要介绍文章的概述、结构以及目的；正文部分将详细阐述一元二次方程、根的概念以及两根和的重要性；接下来，我们会解释计算两根和的方法，并讨论特殊情况；随后，我们会通过实际生活中的应用场景分析和数学上的证明方法应用举例解析来展示该理论的实际意义和有效性；最后，在结论部分，我们将总结文章主要内容并提出未来研究方向建议。
1.3 目的本文旨在揭示一元二次方程中两根和这一概念对于数学理论和实际应用领域的重要性。
通过本文的探讨，读者可以更好地理解一元二次方程的基本概念和特点，并学会如何计算两根和以及探寻其在各个领域中的应用价值。
同时，本文还旨在为未来研究提供参考和指导，鼓励更多深入探索与发现。
2. 正文:2.1 一元二次方程介绍:一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中a, b 和c 是实数且a ≠0。
它是数学中重要的代数方程之一，常被用于描述各种现象和问题。
2.2 一元二次方程的根的概念:一元二次方程的根指的是满足该方程的变量值。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果存在实数解，则称其为实根；如果存在复数解，则称其为复根。
通过求解一元二次方程的根，我们可以获得关于变量x 的特定值来满足等式。
2.3 两根和的重要性:"两根和"指的是一元二次方程的两个实根之和。
计算两根和有助于研究方程性质、解析曲线、确定函数最值等问题。
在应用中，例如物理学中的运动学问题或经济学中的成本与收益分析等领域，计算两根和也具有重要意义。
一元二次方程的根的性质与解的唯一性讲解
一元二次方程的根的性质与解的唯一性讲解一元二次方程是代数学中的重要概念，它涉及到根的性质和解的唯一性问题。
本文将详细讲解一元二次方程的根的性质以及解的唯一性，帮助读者更好地理解和应用该知识。
一、一元二次方程的定义与一般形式一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是已知常数，而x是未知数，且a ≠ 0。
一般形式的一元二次方程包括三个系数。
二、一元二次方程的解的定义一元二次方程的解即满足方程的x值，也就是能够使方程两边等于0的x值。
解可以是实数解或者复数解。
三、一元二次方程的根的性质1. 实根与复根一元二次方程的根可以分为实根和复根两种情况。
实根是指方程的解为实数，能够在实数范围内找到对应的x值，使得方程成立。
例如，x^2 - 4x + 3 = 0的解x = 3和x = 1即为实根。
复根是指方程的解为复数，无法在实数范围内找到对应的x值，使得方程成立。
例如，x^2 + 4 = 0的解x = ± 2i即为复根，其中i为虚数单位。
2. 根的数量一元二次方程的根的数量与方程的判别式有关，判别式Δ = b^2 -4ac。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实根；当Δ < 0时，方程有两个共轭的复根。
3. 根的性质一元二次方程的根具有以下特点：（1）有理根和无理根根可以分为有理根和无理根两种。
有理根是指能够表示为两个整数的比的根，例如1、2、-3等都为有理根。
无理根是指不能表示为两个整数的比的根，例如√2、√3等都为无理根。
（2）根的和与根的积设方程的两个根为α和β，则有以下关系：α + β = -b/aα * β = c/a此外，还有一个重要的推论：一元二次方程的两个根之和等于系数b的相反数除以系数a，两个根的积等于常数项c除以系数a。
四、一元二次方程解的唯一性对于一元二次方程，解的唯一性意味着方程只有一组解，即只有一个满足方程的x值。
一元二次方程的解法与性质
一元二次方程的解法与性质一元二次方程是数学中常见的方程形式，其解法和性质是初等代数中的重要知识点。
本文将介绍一元二次方程的解法和性质，并探讨其在实际问题中的应用。
一、一元二次方程的解法一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知的实数系数，且a ≠ 0。
下面将介绍一元二次方程的解法。
1. 求解一元二次方程的根根据求根公式可得一元二次方程的根为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
其中，±表示两个根，分别对应正负号。
2. 判别式的作用一元二次方程的判别式为Δ=b^2-4ac，根据判别式可以判断方程有几个实根，以及根的性质。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实根；- 当Δ<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
3. 几种特殊情况的解法- 当a=0时，方程变为一元一次方程，解法与一元一次方程相同；- 当b=0，且c≠0时，方程的解为x=±√(-c/a)，即只有一个实根；- 当c=0时，方程的解为x=0和x=-b/a，即有两个实根。
二、一元二次方程的性质1. 图像特征一元二次方程对应的函数图像是一个抛物线，其开口方向由二次项的系数a的正负确定。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
2. 对称性质一元二次方程的图像关于直线x = -b / (2a) 对称。
也就是说，对于方程y = ax^2 + bx + c，该抛物线上任意一点P(x1, y1)，若存在点Q(x2, y2)，则点Q关于直线x = -b / (2a)对称。
3. 零点性质一元二次方程的零点为方程的解，也就是使方程等于零的x值。
根据二次函数的图像特点，如果抛物线与x轴相交于两点，则方程有两个不相等的实根；如果抛物线与x轴相切于一个点，则方程有两个相等的实根；如果抛物线与x轴没有交点，则方程没有实根。
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一元二次方程根的两个特性及简单运用
我们知道方程的解是由方程的系数（包括常数项）决定的。
因此，一元二次方程的根与其系数有着密切的联系。
教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为1的情况下的两根之和、两根之积与系数的关系。
现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程20(0)
ax bx c a
++=≠的两根之和、两根之积与系数的关系。
例1、先阅读，再填空解题：
(1)方程：x2-4x-12=0 的根是：x
1=6, x
2
=-2，则x
1
+x
2
=4，x
1
·x
2
=-12；
(2)方程2x2-7x+3=0的根是：x
1=
1
2
, x
2
=3，则x
1
+x
2
=
7
2
，x
1
·x
2
=
3
2
；
(3)方程3x2+6x-2=0的根是：x
1= , x
2
= .则x
1
+x
2
= ，
x 1·x
2
= ；
根据以上（1）(2)(3)你能否猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0且a、b、c为常数）的两根为x
1、x
2
，那么x
1
+x
2
、x
1
x
2
与系数a、b、c有
什么关系？请写出来你的猜想并说明理由。
解析：方程3x2+5x-2=0的根是：x
1=
1
3
x
2
=-2。
则x
1
+x
2
=
5
3
-，x1·x2=
2
3
-。
能猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数）
的两根为x
1、x
2
，那么x
1
+x
2
a
b
-
=、x1x2
a
c
=。
理由如下：
根据求根公式可知，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c 为常数）的两根为：
a ac
b
b
x
2
4 2
1
-
+
-
=，
a
ac
b
b
x
2
4
2
2
-
-
-
=
所以x
1+x
2
=
a
ac
b
b
2
4
2-
+
-
+
a
ac
b
b
2
4
2-
-
-
a
b
-
=
x 1x
2
=
a
ac
b
b
2
4
2-
+
-
·
a
ac
b
b
2
4
2-
-
-
a
c
=
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，这个方程的两个根与系数的关系是：两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商．
下面我们再来探索一元二次方程根的另一个特性。
例2、计算并观察下列一元二次方程根的特点：
(1)x 2-x-3=0 (2)2x 2-8x+5=0 (3)x 2-3x+1=0 观察以上（1）(2)(3)的解，你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2+nx+p=0（m ≠0且m 、n 、p 为有理数，mp n 42-为无理数）的两根为x 1、x 2，那么x 1与x 2之间什么关系？请写出你的猜想并说明理由。
解析：(1)方程：x 2-x-3=0的根是：x 1=21321+
,x 2=2
13
21-； (2)方程2x 2-8x+5=0的根是：x 1=262+
, x 2=2
62-； (3)方程x 2-3x+1=0的根是：x 1=2523+, x 2=2
5
23-。
能猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2+nx+p=0（m ≠0且m 、n 、p 为有理数，
mp n 42-为无理数）的两根为x 1、x 2，那么x 1与x 2之间的关系是：两根均b
k a +和b k a -，即“有理部分”相同，“无理部分”互为相反数。
理由如下：
根据求根公式可知，关于x 的一元二次方程mx 2+nx+p=0（m ≠0且m 、n 、p 为有理数，mp n 42-为无理数）的两根为：
m mp n m n x 24221-+-=，m
mp n m n
x 24222---=
两根均为b k a +和b k a -的形式，即“有理部分”相同，“无理部分”互为相反数。
下面我们运用以上性质来巧解一题。
例3、如果一个有理系数的一元二次方程x 2+bx+c=0的一个根为32+，求b+c 的值。
解析：因为有理系数的一元二次方程x 2+bx+c=0的一个根为32+，则该方程的另一个根为32-。
再利用根与系数的关系可得：b=-4，c=1。
所以b+c=-3。
关于一元二次方程的根与系数的关系还有许多运用，希望大家在今后的学习中逐步体会。