专题13.3 数系的扩充与复数的引入-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(理)(原卷版)

第十三章 算法初步、推理与证明、复数专题3 数系的扩充与复数的引入（理科）【三年高考】1. 【2017课标1，理3】设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p2. 【2017课标II ，理1】31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 3．【2017课标3，理2】设复数z 满足(1+i )z =2i ，则∣z ∣=A ．12B ．22C ．2D ．24. 【2017北京，理2】若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 （A ）（–∞，1） （B ）（–∞，–1） （C ）（1，+∞） （D ）（–1，+∞）5．【2017天津，理9】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 . 6．【2016新课标1理】设(1)=1+,x i yi +其中x ,y 实数,则i =x y +( ) （A ）1 （B 2 （C 3（D ）2 7. 【2016高考新课标3理数】若i 12z =+，则4i1zz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C)i (D) i -8. 【2016高考新课标2理数】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(31)-， （B ）(13)-， （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--， 9. 【2016年高考北京理数】设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.10. 【2015高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．211. 【2015高考新课标1，理1】设复数z 满足11zz+-=i ，则|z|=( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）212.【2015高考上海，理15】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 【2017考试大纲】 1.复数的概念(1)理解复数的基本概念. (2)理解复数相等的充要条件.(3)了解复数的代数表示法及其几何意义. 2.复数的四则运算(1)会进行复数代数形式的四则运算.(2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，一般是选择题，难度不大，预计今后的高考还会保持这个趋势. 【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出，复数问题在高考中年年必有,复数的概念及其代数形式的运算成为命题的热点,通常分两种题型,选择题和填空题,一是考查复数的概念,如纯虚数，两个复数相等；二是复数代数形式的加、减、乘、除四则运算等知识.预测下一年的高考，仍会以考查复数的有关概念，包括实部与虚部、虚数与纯虚数以及复数的代数形式的运算为重点，继续稳定在一道选择题或填空题上,且属于中低档题.复数的概念及运算仍是考查的重点内容，以选择题为主.故预测2018年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点.复习建议：1．复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义．2．要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础．【2018年高考考点定位】高考对复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算，一般是选择题、填空题，难度不大． 【考点1】复数的有关概念 【备考知识梳理】1.i 称为虚数单位,规定21i =-；2.形如a bi +(,a b R ∈)的数叫复数，其中,a b 分别是它的实部和虚部．若0b =，则a bi +为实数；若0b ≠，则a bi +为虚数；若0a =且0b ≠，则a bi +为纯虚数．3.共轭复数：复数a bi -称为复数z a bi =+的共轭复数，记为z ，那么z 与z 对应复平面上的点关于实轴对称，且2z z a +=，2z z bi -=，222zz z a b ==+，z z z R =⇔∈a bi +与c di +共轭⇔,a cb d ==-(,a b ，,cd R ∈)．【规律方法技巧】1.解决复数概念问题的方法及注意事项：(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a bi +(,a b R ∈)的形式，以确定实部和虚部．2.复数是实数的条件：①0(,)z a bi R b a b R =+∈⇔=∈；②z R z z ∈⇔=；③20z R z ∈⇔≥.3.复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ⇔=且0(,)b a b R ≠∈； ②z 是纯虚数0(0)z z z ⇔+=≠；③z 是纯虚数20z ⇔<.4.复数与实数不同处：任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．【考点针对训练】1. 【黑龙江省大庆实验中学2017届高三考前得分训练（一）】复数212ii+-的虚部是（ ） A. i B. i - C. 1 D. 1-2. 【安徽省亳州市2017届高三质量检测】复数z 的共轭复数为z ，若1iz z i-⋅+为纯虚数，则z =（ ）A. 232 D. 1 【考点2】复数相等，复数的几何意义 【备考知识梳理】1.复数的相等设复数1112221122,(,,,)z a bi z a b i a b a b R =+=+∈，那么12z z =的充要条件是：1122a b a b ==且．特别00z a bi a b =+=⇔==.2.复数的模：向量OZ 的模r 叫做复数z a bi =+ (,a b R ∈)的模，记作z 或a bi +，即22z a bi a b =+=+.3.复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面x 轴叫做实轴，y 轴除去原点叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示虚数.复数的几何表示：复数z a bi =+ (,a b R ∈)可用平面直角坐标系内点(),Z a b 来表示．这时称此平面为复平面，这样，全体复数集C 与复平面上全体点集是一一对应的． 复数的几何意义 （1）复数z a bi=+复平面内的点(),Z a b (,a b R ∈).（2）复数z a bi =+ (,a b R ∈)(),OZ a b =.4.复平面内复数z 对应的点的几个基本轨迹： （1）0(z z r r -=是正常数）↔轨迹是一个圆.（2）1212(z z z z z z -=-、是复常数）↔轨迹是一条直线.（3）12122(z z z z a z z -+-=、是复常数，a 是正常数）↔轨迹有三种可能情形：a)当212z z a ->时，轨迹为椭圆；b)当212z z a -=时，轨迹为一条线段；c)当212z z a -<时，轨迹不存在.（4）122(z z z z a a ---=是正常数）↔轨迹有三种可能情形：a)当212z z a -<时，轨迹为双曲线；b)当212z z a -=时，轨迹为两条射线；c)当212z z a ->时，轨迹不存在. 【规律方法技巧】1. 对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点z 及向量OZ 相互联系，即z a bi =+ (,a b R ∈)(),Z a b ⇔⇔ OZ (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．2. 注意复数相等的充要条件中必须把两个复数都化为“标准的代数形式”．3. 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z a bi =+ (,a b R ∈)，由它的实部与虚部唯一确定，故复数z 与点(),Z a b 相对应. 【考点针对训练】1. 【江西省赣州市2017届高三第二次模拟】已知复数z 满足()21i 12i z -⋅=+，则在复平面内复数z 对应的点为 A. 11,2⎛⎫--⎪⎝⎭ B. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭2. 【北京市昌平区2017年高三第二次统考】设a R ∈，若()()1i 2i a i +-=-，则a =______ . 【考点3】复数的运算 【备考知识梳理】1. 复数的加、减、乘、除运算法则 设1z a bi =+,2(,,,)z c di a b c d R =+∈,则①加法：12()()z z a bi c di +=+++=()()a c b d i +++； ②减法：12()()z z a bi c di -=+-+=()()a c b d i -+-； ③乘法：12()()z z a bi c di =++=()()ac bd ad bc i -++；④除法：1222222(0)z a bi ac bd bc adi z z c di c d c d++-==+≠+++ 2．复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何123,,z z z C ∈，有1221z z z z +=+，()()123123z z z z z z ++=++. 3. 复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R 中整数指数幂的运算律，在复数集C 中仍然成立，即对任何，，及，有：，，；4.复数集内的三角形不等式是：212121z z z z z z +≤±≤-，其中左边在复数12,z z 对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数12,z z 对应的向量共线且同向（反向）时取等号. 【规律方法技巧】 1. 几个重要的结论：⑴2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+；⑵22||||z z z z ⋅==；⑶若z 为虚数,则22||z z ≠. 2. 常用计算结论： ⑴2(1)2i i ±=±；⑵11i ii +-=,11i ii -+=-；⑶1230()n n n n i i i i n N ++++++=∈；⑷1||11zz zz z =⇔=⇔=；132ω=-+，2132ωω=--=，31ω=，210ωω++=. 3. 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i 的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i 的特点及熟练应用运算技巧．，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 4.在复数相关问题的处理中，一般要将复数转化为一般形式(),z a bi a R b R =+∈∈，明确复数的实部与虚部，在求解复数的过程中，可以利用到复数的四则运算，然后利用相关的知识求解复数的相关问题. 5.实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．学科*网 【考点针对训练】1. 【2017届山西省高三3月一模】 设z 是复数z 的共轭复数，若11z i i=+-，则•z z =（ ） 55210 D. 10 2. 【宁夏银川一中2017届高三第二次模拟】复数z 满足()1313z i i +=+，则z 等于（ ）A. 13i -B. 1C. 132312i - 【应试技巧点拨】1.解决复数概念问题的方法及注意事项：(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a bi +(,a b R ∈)的形式，以确定实部和虚部．2.复数是实数的条件：①0(,)z a bi R b a b R =+∈⇔=∈；②z R z z ∈⇔=；③20z R z ∈⇔≥.3.复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ⇔=且0(,)b a b R ≠∈； ②z 是纯虚数0(0)z z z ⇔+=≠；③z 是纯虚数20z ⇔<.4. 对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点z 及向量OZ 相互联系，即z a bi =+ (,a b R ∈)(),Z a b ⇔⇔ OZ ； (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．5. 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i 的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i 的特点及熟练应用运算技巧．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．1.【2017届山东省济宁市高三3月模拟】复数z 满足()3243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.【2017届福建省泉州市高三3月质量检测】已知z 为复数z 的共轭复数，且()11i z i -=+，则z 为（ ） A. i - B. i C. 1i - D. 1i +3. 【2017届安徽省宣城市第二次调研】设()()12i x yi ++=，其中i 为虚数单位， x ， y 是实数，则2x yi +=（ ）A. 14. 【2017届四川省资阳市高三一模】i 为虚数单位，已知复数z 满足21z i i=++，则z =（ ） A. 1i + B. 1i -+ C. 12i + D. 12i -5. 【安徽省亳州市2017届高三质量检测】复数()()()1a i i a R --∈的实部与虚部相等，则实数a =（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 26. 【江西省南昌市2017届高三第三次模拟】已知()21i z m m =-+在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是A. ()1,1-B. ()1,0-C. (),1∞-D. ()0,17.【河南省新乡市2017届高三第三次模拟】设复数34i z =+，则复数z z z+的虚部为（ ）A.165 B. 16i 5 C. 185 D. 18i 58.【山东省日照市2017届高三第三次模拟】若复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称， 12i z =- ，则12z z ⋅=A. 5-B. 5C. 4i -+D. 4i--9.【福建省莆田2017届第二次模拟】已知复数4m xi =-， 32n i =+，若复数nR m∈，则实数x 的值为（ ）A. 6-B. 6C.83 D. 83- 10.【内蒙古包钢2017届高三适应性考试】设复数1z ， 2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称， 12z i =+，则21z z =（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 11. 【2016年江西省九江市三模】复数i+12在复平面内所对应的点位于（ ） 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12. 【2016年南昌高三一模】设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于实轴对称，z 1=1+i ，则z 1z 2= (A) -2 (B)2 (C)1一i (D)1+i13. 【2016年湖北华师一附中高三模考】若复数43(cos )(sin )55z i θθ=-+-是纯虚数（i 为虚数单位），则tan ()4πθ-的值为( )A ．7-B ．17- C ．7D ．7-或17-14. 【2016年湖北四校高三四次联考】已知a 为实数，若复数2(9)(3)z a a i =-++为纯虚数，则191a i i++的值为（ ）A.12i -- B ．12i -+ C ．12i + D ．12i - 15. 【2016年安徽淮北一中高三模考】如果复数()()12bi i ++是纯虚数，则231b ibi++的值为________.【一年原创真预测】1. 已知a ∈R ，i 是虚数单位.若i 2i a -+与5i3i 2i--互为共轭复数，则a =（ ） A ．13B ．13- C ．3- D ．32. 已知i 是虚数单位，复数i z a =+()a ∈R ，且满足13i1z z -=+，则||z =（ ） A 2 B 3 C 5 D ．33. 复数z 满足(2i)1+i z -=，其中i 为虚数单位，则z 所对应的点所在的象限为 （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限4. 已知复数15i z a =-在复平面上对应的点在直线520x y +=上，复数152iz z +=（i 是虚数单位），则2017z =（ ）A．1 B．1- C．i- D．i5. 在复平面内，复数23i32iz-++对应的点的坐标为()2,2-，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限。