2 第2讲 等差数列及其前n项和
2 第2讲 等差数列及其前n项和
第2讲 等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝（a 1＋a n ）n2． 3．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 4．等差数列的增减性与最值公差d >0时为递增数列，且当a 1<0时，前n 项和S n 有最小值；公差d <0时为递减数列，且当a 1>0时，前n 项和S n 有最大值．5．等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可得a n ＝dn ＋(a 1－d )，如果设p ＝d ，q ＝a 1－d ，那么a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 是常数．当p ≠0时，(n ，a n )在一次函数y ＝px ＋q 的图象上，即公差不为零的等差数列的图象是直线y ＝px ＋q 上的均匀排开的一群孤立的点．当p ＝0时，a n ＝q ，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x 轴的直线(或x 轴)上的均匀排开的一群孤立的点．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (5)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(6)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)× [教材衍化]1．(必修5P38例1(1)改编)已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第100项为________．解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100＝－8＋99×5＝487. 答案：4872．(必修5P39练习T5改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________．解析：由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，所以a 5＝90，所以a 2＋a 8＝2a 5＝180.答案：1803．(必修5P46A 组T5改编)已知等差数列5，427，347，…，则前n 项和S n ＝________．解析：由题知公差d ＝－57，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝114(75n －5n 2)．答案：114(75n －5n 2)4．(必修5P46A 组T2改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8＝________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎨⎧a 1＝263，d ＝－43，所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.答案：32 [易错纠偏](1)忽视等差数列中项为0的情况；(2)考虑不全而忽视相邻项的符号； (3)等差数列各项的符号判断不正确．1．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使数列{a n }的前n 项和S n 取最大值的正整数n 的值是________．解析：由|a 3|＝|a 9|，d <0，得a 3＝－a 9， 即a 3＋a 9＝0，所以a 6＝a 3＋a 92＝0.所以a 5>0，a 6＝0，a 7<0.所以当n ＝5或6时，S n 取最大值． 答案：5或62．首项为30的等差数列{a n }，从第8项开始为负数，则公差d 的取值范围是________． 解析：由题意知a 1＝30，a 8<0，a 7≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧30＋7d <0，30＋6d ≥0，解得－5≤d <－307.答案：⎣⎡⎭⎫－5，－307 3．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________． 解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，所以n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案：130等差数列的基本运算(高频考点)等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多出现在选择题、填空题或解答题的第(1)问中，属容易题．主要命题角度有：(1)求公差d 、项数n 或首项a 1； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．角度一 求公差d 、项数n 或首项a 1(2020·浙江省高中学科基础测试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝16，a 6＝10，则公差d ＝________；S n 取最大值时的n ＝________．【解析】 a 6＝a 3＋(6－3)d ，所以10＝16＋3d ，所以d ＝－2，因为a 3＝a 1＋(3－1)d ，所以16＝a 1＋2×(－2)，所以a 1＝20，所以S n ＝－n 2＋21n ，当n ＝－212×（－1），由n ∈Z 得n ＝10或11时，S n 取最大值．【答案】 －2 10或11 角度二 求通项或特定项已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足 a 1＋a 5＝27a 23，S 7＝63.求数列{a n }的通项公式．【解】 法一：设正项等差数列{a n }的公差为d ， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝27（a 1＋2d ）2，7a 1＋21d ＝63，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝17（a 1＋2d ）2，a 1＋3d ＝9， 又因为a n ＞0， 所以a 3＝a 1＋2d ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋3d ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1(n ∈N *)． 法二：设正项等差数列{a n }的公差为d . 因为{a n }是等差数列，且a 1＋a 5＝27a 23，所以2a 3＝27a 23，又a n ＞0，所以a 3＝7.因为S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7a 4＝63，所以a 4＝9.所以d ＝a 4－a 3＝2，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n ＋1(n ∈N *)． 角度三 求前n 项和在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 【解】 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 即d 2－3d －4＝0.故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11， 则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可知三求二．解决这类问题一般设基本量a 1，d ，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2结合使用，体现整体代入的思想．1．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：选C.设等差数列{a n }的公差为d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，所以d ＝4，故选C. 2．(2020·嘉兴市高考模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1S 4＝110，则S 3S 5＝( )A.25 B.35 C.37D.47解析：选A.设公差为d ，则a 14a 1＋6d ＝110，d ＝a 1，所以S 3S 5＝3a 1＋3d 5a 1＋10d ＝25，故选A.3．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3，S k ＝－35，则k ＝________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由于a 1＝1，a 3＝－3，又a 3＝a 1＋2d ， 所以d ＝－2，因此a n ＝3－2n . 得S n ＝1＋（3－2n ）2n ＝2n －n 2，所以S k ＝2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5， 又因为k ∈N *，所以k ＝7. 答案：7等差数列的判定与证明(1)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列 (2)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝1a n －1(n ∈N *)，求证：数列{b n }是等差数列．【解】 (1)选A.如图，记h n 为△A n B n B n ＋1的边B n B n ＋1上的高(n ∈N *)， 设锐角的大小为θ，根据图象可知， h n ＋1＝h n ＋|A n A n ＋1|·sin θ， 又|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，所以S n ＋1－S n ＝12||B n ＋1B n ＋2·h n ＋1－12|B n B n ＋1|·h n ＝12|B n B n ＋1|·(h n ＋1－h n )＝12|B n B n ＋1|·|A n A n ＋1|sin θ.根据题意，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1 B n ＋2|，|A n A n ＋1|＝|A n ＋1 A n ＋2|，所以12|B n B n ＋1|·|A n A n ＋1|sin θ为常数，所以{S n }为等差数列，故选A. (2)证明：因为a n ＝2－1a n －1，所以a n ＋1＝2－1a n.所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1，所以{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．判定数列{a n}是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，a n＋1－a n是同一个常数．(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2a n＝a n＋1＋a n－1.(3)通项公式法：数列的通项公式a n是n的一次函数．(4)前n项和公式法：数列的前n项和公式S n是n的二次函数，且常数项为0.[提醒]判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．(2020·嘉兴质检)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解：(1)证明：由题设知a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1，两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1，由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．等差数列性质的应用及最值(高频考点)等差数列的性质是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中、低档题．主要命题角度有：(1)等差数列项的性质的应用；(2)等差数列前n项和的性质的应用；(3)等差数列的最值．角度一 等差数列项的性质的应用(1)(2020·绍兴一中高三期中)设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 1＋a 4＋a 10＝27，则a 5＝________，S 9＝________．(2)(2020·宁波市高考模拟)已知{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，且A n ＝a n＋b n ，B n ＝a n b n .若A 1＝1，A 2＝3，则A n ＝________；若{B n }为等差数列，则d 1d 2＝________．【解析】 (1)由等差数列的性质可得：a 1＋a 4＋a 10＝27＝3a 5，解得a 5＝9， 所以S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝81.(2)因为{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，且A n ＝a n ＋b n ， 所以数列{A n }是等差数列， 又A 1＝1，A 2＝3，所以数列{A n }的公差d ＝A 2－A 1＝2. 则A n ＝1＋2(n －1)＝2n －1； 因为B n ＝a n b n ，且{B n }为等差数列， 所以B n ＋1－B n ＝a n ＋1b n ＋1－a n b n ＝(a n ＋d 1)(b n ＋d 2)－a n b n＝a n d 2＋b n d 1＋d 1d 2＝ [a 1＋(n －1)d 1]d 2＋[b 1＋(n －1)d 2]d 1＋d 1d 2 ＝a 1d 2＋b 1d 1－d 1d 2＋2d 1d 2n 为常数． 所以d 1d 2＝0.【答案】 (1)9 81 (2)2n －1 0 角度二 等差数列前n 项和的性质的应用等差数列{a n }的前m 项和为30，前3m 项和为90，则它的前2m 项和为________． 【解析】 由S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列， 可得2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ， 即S 2m ＝3S m ＋S 3m 3＝3×30＋903＝60.【答案】 60角度三 等差数列的最值(1)(2020·温州市高考数学模拟)已知{a n }是等差数列，其公差为非零常数d ，前n项和为S n ，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和为T n ，当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则a 1d 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52 B ．(－3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫－3，－52 D ．(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ (2)(2020·义乌市高三月考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 8>0，a 8＋a 9<0，则S n >0的最大n 是________；数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1≤n ≤15)中最大的项为第________项．【解析】 (1)因为S n n ＝d 2n ＋(a 1－d 2)，由题意知d <0，且⎩⎨⎧S 66＝a 1＋52d >0S 77＝a 1＋3d <0，得－3<a 1d <－52.(2)因为a 8>0，a 8＋a 9<0，所以S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8>0，S 16＝162(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0，所以S n >0的最大n 是15.因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 8>0，a 8＋a 9<0，所以该数列是递减数列，当n ＝8时，|a 8|最小，且|S 8|最大，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1≤n ≤15)中最大的项为第8项．【答案】 (1)C (2)15 8(1)等差数列和的性质在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)． ②S 2n －1＝(2n －1)a n .③当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中，S 奇∶S偶＝n ∶(n －1)．(2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法①函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解．②邻项变号法：〈1〉当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；〈2〉当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .1．一个等差数列{a n }的前12项的和为354，前12项中偶数项的和S 偶与前12项中奇数项的和S 奇的比值为3227，则公差d ＝________．解析：由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＋S 奇＝354，S偶S奇＝3227，所以⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又项数为12的等差数列中，S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝5. 答案：52．在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，前n 项和为S n ，若S 9＝S 12，则S n 取得最大值时，n ＝________，S n 的最大值为________．解析：法一：因为a 1＝10，S 9＝S 12， 所以9×10＋9×82d ＝12×10＋12×112d ，所以d ＝－1.所以a n ＝－n ＋11.所以a 11＝0，即当n ≤10时，a n ＞0，当n ≥12时，a n ＜0， 所以当n ＝10或11时，S n 取得最大值，且最大值为 S 10＝S 11＝10×10＋10×92×(－1)＝55.法二：同法一求得d ＝－1.所以S n ＝10n ＋n （n －1）2·(－1)＝－12n 2＋212n＝－12⎝⎛⎭⎫n －2122＋4418.因为n ∈N *，所以当n ＝10或11时，S n 有最大值，且最大值为S 10＝S 11＝55. 法三：同法一求得d ＝－1. 又由S 9＝S 12得a 10＋a 11＋a 12＝0.所以3a 11＝0，即a 11＝0.所以当n ＝10或11时，S n 有最大值． 且最大值为S 10＝S 11＝55. 答案：10或1155思想方法系列3 整体思想在等差数列中的应用在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n .已知S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，则S m ＋n ＝________． 【解析】 设{a n }的公差为d ， 则由S n ＝m ，S m ＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧S n＝na 1＋n （n －1）2d ＝m ，①S m＝ma 1＋m （m －1）2d ＝n .②②－①得(m －n )a 1＋（m －n ）（m ＋n －1）2·d ＝n －m .因为m ≠n ，所以a 1＋m ＋n －12d ＝－1.所以S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋（m ＋n ）（m ＋n －1）2d＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋m ＋n －12d ＝－(m ＋n )．【答案】 －(m ＋n )从整体上认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等．在等差数列中，当要求的S n 所需要的条件未知或不易求出时，可以考虑整体代入．(2020·石家庄市第一次模拟)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，且f (x )在(－1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．－50D ．0解析：选B.因为函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝100（a 1＋a 100）2＝50(a 50＋a 51)＝－100，故选B.[基础题组练]1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．14解析：选C.由题知3a 1＋3×22d ＝12，因为a 1＝2，解得d ＝2，又a 6＝a 1＋5d ，所以a 6＝12，故选C.2．(2020·浙江新高考冲刺卷)已知等差数列{a n }，S n 是{a n }的前n 项和，则对于任意的n ∈N *，“a n >0”是“S n >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.对于任意的n ∈N *，“a n >0”能推出“S n >0”，是充分条件，反之，不成立，比如：数列5，3，1，－1，不满足条件，不是必要条件，故选A.3．已知等差数列{a n }，且3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，则数列{a n }的前13项之和为( )A ．24B ．39C ．104D ．52解析：选D.因为{a n }是等差数列，所以3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝6a 4＋6a 10＝48，所以a 4＋a 10＝8，其前13项的和为13（a 1＋a 13）2＝13（a 4＋a 10）2＝13×82＝52，故选D.4．(2020·金华十校联考)在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (3n －1) B.n （n ＋3）2C ．n (n ＋1)D.n （3n ＋1）2解析：选C.依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)，选C.5．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为( ) A ．22 B ．21 C ．24D ．23解析：选D.因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，又a 1＝15，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，且{a n }为递减数列，令a n ＝－23n ＋473＞0，得n ＜23.5，可知使a k ·a k ＋1＜0的k 值为23.6．(2020·温州十校联合体期初)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则( ) A ．若S 9>S 8，S 9>S 10，则S 17>0，S 18<0 B ．若S 17>0，S 18<0，则S 9>S 8，S 8>S 10 C ．若S 17>0，S 18<0，则a 17>0，a 18<0 D ．若a 17>0，a 18<0，则S 17>0，S 18<0解析：选B.A.由S 9>S 8，且S 9＝S 8＋a 9得a 9>0， 又S 9>S 10，S 10＝S 9＋a 10，则a 10<0，因为S 17＝17a 9>0，S 18＝9(a 10＋a 9)符号不确定，A 错误； B ．在等差数列{a n }中，S 17>0，且S 18<0， 则S 17＝17a 9>0，S 18＝9(a 10＋a 9)<0，所以a 9>0，a 10<0，且|a 10|>a 9，所以等差数列{a n }的公差d <0， 则S 9＝S 8＋a 9>S 8，S 10＝S 8＋a 9＋a 10<S 8，B 正确；C ．由B 知，a 1，a 2，…，a 9为正，a 10，a 11…为负，C 错误；D ．由a 17>0，a 18<0知，a 1，a 2，…，a 17为正，a 18，a 19，…为负， 所以S 17＝17a 9>0，S 18＝9(a 1＋a 18)＝9(a 2＋a 17)>0，D 错误．故选B.7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＋a 9＝a 10－a 8.若a n ＝0，则n ＝________． 解析：因为a 3＋a 9＝a 10－a 8，所以a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝a 1＋9d －(a 1＋7d )， 解得a 1＝－4d ，所以a n ＝－4d ＋(n －1)d ＝(n －5)d ， 令(n －5)d ＝0(d ≠0)，可解得n ＝5. 答案：58．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，说明⎩⎪⎨⎪⎧a 8＞0，a 9＜0.所以⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d ＞0，7＋8d ＜0.所以－1＜d ＜－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 9．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n成等差数列，则a n ＝________．解析：因为a n ，S n ，a 2n 成等差数列， 所以2S n ＝a n ＋a 2n ，当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 1＋a 21， 又a 1>0，所以a 1＝1，当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1， 所以(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， 又a n ＋a n －1>0，n ≥2， 所以a n －a n －1＝1，n ≥2，所以{a n }是等差数列，其公差为1， 因为a 1＝1， 所以a n ＝n (n ∈N *)． 答案：n10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 6＝4，S 5＝－5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |，求T 5的值．解：(1)由题知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝45a 1＋5×42d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5d ＝2， 故a n ＝2n －7(n ∈N *)． (2)由a n ＝2n －7＜0，得n ＜72，因为n ∈N *，即n ≤3，所以当n ≤3时，a n ＝2n －7＜0， 当n ≥4时，a n ＝2n －7＞0.易知S n ＝n 2－6n ，S 3＝－9，S 5＝－5，所以T 5＝－(a 1＋a 2＋a 3)＋a 4＋a 5＝－S 3＋(S 5－S 3)＝S 5－2S 3＝13. 11．(2020·嵊州模拟)已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7(n ∈N *)．(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：因为f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8， 所以a n ＝3n －8，因为a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3， 所以数列{a n }为等差数列． (2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|， 所以当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝b 1＋…＋b n ＝n （b 1＋b n ）2＝n [5＋（8－3n ）]2＝13n －3n 22；当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8) ＝7＋（n －2）[1＋（3n －8）]2＝3n 2－13n ＋282.所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧13n －3n 22，1≤n ≤2，3n 2－13n ＋282，n ≥3.[综合题组练]1．下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：选D.由a n ＋1－a n ＝d ＞0，知数列{a n }是递增数列，可知p 1是真命题；由(n ＋1)a n＋1－na n ＝(n ＋1)(a 1＋nd )－n [a 1＋(n －1)d ]＝a 1＋2nd ，仅由d ＞0是无法判断a 1＋2nd 的正负的，因而不能判定(n ＋1)a n ＋1，na n 的大小关系，故p 2是假命题；显然，当a n ＝n 时，a nn＝1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数数列，不是递增数列，故p 3是假命题；数列的第n ＋1项减去数列的第n 项[a n ＋1＋3(n ＋1)d ]－(a n ＋3nd )＝(a n ＋1－a n )＋[3(n ＋1)d －3nd ]＝d ＋3d ＝4d ＞0，所以a n ＋1＋3(n ＋1)d ＞a n ＋3nd ，即数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4是真命题．2．(2020·金华市东阳二中高三调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则a n ＝( )A.n 2n －1B.n ＋12n －1＋1C.2n －12n －1D.n ＋12n ＋1 解析：选A.设b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ，则b 1＝4，b 2＝8，因为{b n }为等差数列，所以b n ＝4n ，即nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n ，S n ＋⎝⎛⎭⎫1＋2n a n ＝4. 当n ≥2时，S n －S n －1＋⎝⎛⎭⎫1＋2n a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n －1a n －1＝0，所以2（n ＋1）n a n ＝n ＋1n －1·a n －1，即2·a n n ＝a n －1n －1，又因为a 11＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1(n ∈N *)，即a n ＝n2n －1(n ∈N *)，故选A.3．已知等差数列{a n }满足a 9＜0，且a 8＞|a 9|，数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，{b n }的前n 项和为S n ，当S n 取得最大值时，n 的值为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 9<0，且a 8>|a 9|，所以d <0，a 8＋a 9>0，a 8>－a 9>0. 所以当n ≤8时，a n >0；当n ≥9时，a n <0.S n ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a 6a 7a 8＋a 7a 8a 9＋a 8a 9a 10＋a 9a 10a 11＋…＋a n a n ＋1a n ＋2， 当n ≤6时，a n a n ＋1a n ＋2>0，当n ≥9时， a n a n ＋1a n ＋2<0，而a 7a 8a 9<0，a 8a 9a 10>0，又a 7a 8a 9＋a 8a 9a 10＝a 8a 9(a 7＋a 10)＝a 8a 9(a 8＋a 9)<0， 所以当S n 取得最大值时，n ＝6. 答案：64．(2020·舟山市普陀三中高三期中)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26.记T n ＝S nn 2，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，T n ≤M 都成立，则M 的最小值是________．解析：因为{a n }为等差数列，由a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26， 可解得S n ＝2n 2－n ，所以T n ＝2－1n ，若T n ≤M 对一切正整数n 恒成立，则只需T n 的最大值小于或等于M 即可．又T n ＝2－1n<2，所以只需2≤M ，故M 的最小值是2. 答案：25．已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d ＞0，所以d ＝2，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以m ＝5，k ＝4.6．(2020·衢州市高考数学模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，2a n a n ＋1＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，并求{a n }的通项公式；(2)若ta n ＋1(a n －1)＋1≥0对任意n ≥2的整数恒成立，求实数t 的取值范围． 解：(1)由题意得，2a n a n ＋1＋a n ＋1－a n ＝0， 两边同除a n a n ＋1得，1a n ＋1－1a n＝2，因为a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，则1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 所以a n ＝12n －1.(2)由(1)得，ta n ＋1(a n －1)＋1≥0 即为t ·12n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－1＋1≥0，由n ≥2化简得，t ≤（2n －1）（2n ＋1）2（n －1），设b n ＝（2n －1）（2n ＋1）2（n －1），则b n ＋1－b n ＝（2n ＋1）（2n ＋3）2n －（2n －1）（2n ＋1）2（n －1）＝2n ＋12·（2n ＋3）（n －1）－n （2n －1）n （n －1）＝（2n ＋1）（2n －3）2n （n －1）>0，所以当n ≥2时，数列{b n }是递增数列， 则（2n －1）（2n ＋1）2（n －1）≥152， 所以实数t 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，152.。
2013高考数学(理)一轮复习教案：第六篇_数列第2讲_等差数列及其前n项和
第2讲 等差数列及其前n 项和泊头一中韩俊华 【2013年高考会这样考】1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题（知三求二问题，知三求一问题）．2．考查等差数列的性质、前n 项和公式及综合应用． 【复习指导】1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n 项和公式等．2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．基础梳理1．等差数列的定义（1）文字定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做 等差数列的 ，通常用字母d 表示（2）符号定义： ①． ② 2．等差数列的通项公式：n a = ，变式：d = ()1n ≠或n a = ，变式：d = ()n m ≠（其中*,m n N ∈）或n a = 。
（函数的一次式） 3．等差中项如果A ＝a ＋b2A 叫做a 与b 的等差中项．4 等差数列的判定方法 ①定义法：②等差中项法： ③通项公式法： 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则 (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别的若：m ＋n ＝2p ，则(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为 的等差数列(4)在有穷等差数列中与首末两项等距离的任意两项的和相等：即： (5)等差数列的单调性：若d ＞0,则数列{a n }为 若d=0,则数列{a n }为 若d ＜0,则数列{a n }为（6）等差数列中公差d= = (7)等差数列中a n =m ,a m =n 则a m+n =(8)若数列{a n } {b n }均为等差数列，则若{c a n +kb n }仍为 ，另外数列 (9)若项数为2n ，则 ①S S -=奇偶； ②S S =偶奇； ③2n S =（用1,n n a a +表示，1,n n a a +为中间两项） (10)若项数为21n +，则 ①S S -=奇偶； ②S S =奇偶； ③21n S +=（用1n a +表示，1n a +为中间项）(11)若等差数列{n a }，{n b }的前n 项和分别为n n S T ，，则2121n n nn a S b T --=（12）.23243m m m m m m m S S S S S S S --- ，，，，为等差数列。
第二节 等差数列及其前n项和
16 ×15 所以 S1 6 ＝1 6 ×3＋ 2 ×(－1 ) ＝－7 2 . 答案： －72
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
等差数列及其前n项和 结
束
]设 等 差 数 { 5.[考 点 二 列 an}的前 n 项 和 为 S n， 已知前 6项和为 36， 最后 6 项 的 和 为 18， 0 Sn＝3 2 4n( ＞6)， 求 数 列 {an}的 项 数 及 a9 ＋a1 0 .
突
破
点
一
突
破
点
二
突
破
点
三
课时达标检测
等差数列及其前n项和 结
束
法二：由 等 差 数 列 的 性 质 ，可 S3， S 知 S9－S6， „， 6－S3， S2 1 －S1 8成 等 差 数 列 ， 设 此 数 列 公 D差 . 为 5 所以 5＋2D＝1 0 ，所以 D＝2. 所以 a1 9 ＋a2 0 ＋a2 1 ＝S2 1 －S1 8 ＝5＋6D＝5＋1 5 ＝2 0 . [答案] 20
突
破
点
一
突
破
点
二
突
破
点
三
课时达标检测
等差数列及其前n项和 结
束
]设 Sn 为 等 差 数 { 4[ .考 点 一 列 an}的前 n 项 和 ， a1 2 ＝－8，S9＝－9， 则 S1 6 ＝_ _ _ _ _ _ _ _ .
解析： 设等差数{ 列 an}的 首 项 为 a1， 公 差 为 d， ＝a1＋11d＝－8， a1 2 由已知， 得 9×8 S ＝9a1＋ 2 d＝－9， 9
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
第二节 等差数列及其前n项和
2 ． 将 本 例 条 件 “an ＋ 2SnSn － 1 ＝ 0
(n≥2)
，
a1＝
1 2
”
变
为
“Sn(Sn
－an)不变，试求解． 解：(1)证明：当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 且 Sn(Sn－an)＋2an＝0，
所以 Sn[Sn－(Sn－Sn－1)]＋2(Sn－Sn－1)＝0，
分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，
环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增
加 9 块．下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9
块．已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石板 (不
含天心石)
()
A．3 699 块
B．3 474 块
那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为 an＋1－an＝d (n∈N *，d 为常数)．
(2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 A＝a＋2 b ，其中 A 叫做 a，b
的等差中项．
(3)通项公式：an＝ a1＋(n－1)d ，可推广为 an＝am＋ (n－m)d .
(4)前 n 项和公式：Sn＝
解得 d＝－0.1，故 a5＝a2＋3d＝1.3－0.3＝1.故选 B.
答案：B
4．(2020·全国卷Ⅱ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a1＝－2，a2＋a6＝2，
则 S10＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为 d， 则由 a2＋a6＝2，得 a1＋d＋a1＋5d＝2， 即－4＋6d＝2，解得 d＝1， 所以 S10＝10×(－2)＋10×2 9×1＝25. 答案：25
a1＝－1， d＝4，
第二讲：等差数列及其前n项和
第二讲：等差数列及其前n 项和知识体系：一、等差数列1、等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
定义的表达式为1,n n a a d d +-=为常数。
2、等差中项：若a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
3、等差数列的通项公式及其变形： 通项公式：，其中1a 是首项，d 是公差。
通项公式的变形：(),n m a a n m d n m =+-≠注意：等差数列通项公式的应用：（1）由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，可知： ① 已知等差数列的首项和公差，可以求得这个数列的任何一项； ② 已知1,,,n a d n a ,这四个量中的任意三个，可以求得另一个量；（2）由等差数列通项公式变形可知，已知等差数列中的任意两项就可以确定等差数列中的任何一项。
4、等差数列和一次函数的关系由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-可得1()n a dn a d =+-，如果设1,p d q a d ==-那么n a pn q =+，其中p ，q 是常数。
当p ≠0时，（n ，a ）在一次函数y=px+q 的图像上，即公差不为零的等差数列的图像是直线y=px+q 上的均匀排开的一群孤立的点。
当p=0时，n a q =，等差数列为常数列，此时数列的图像是平行于x 轴的直线（或x 轴）上的均匀排开的一群孤立的点。
等差数列的单调性：当d ＞0时，数列{}n a 为递增数列；当d ＜0时，数列{}n a 为递减数列；当d =0时，数列{}n a 为常数列； 二、等差数列的前n 和：1、等差数列的前n 项和：等差数列的前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+； 等差数列前n 项和公式与函数的关系：由1(1)2n n n S na d -=+可得21()22n d dS n a n =+-，设1,22d da b a ==-，则有2n S an bn =+。
第二节 等差数列及其前n项和
末页
第二节
等差数列及其前n项和
结束
[解] (1)证明：当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，① ∴Sn(1＋2Sn－1)＝Sn－1. 由上式知若 Sn－1≠0，则 Sn≠0. ∵S1＝a1≠0， 由递推关系知 Sn≠0(n∈N*)， 1 1 由①式得S － ＝2(n≥2)． Sn－1 n
数学
首页
上一页
下一页
末页
第二节
等差数列及其前n项和
结束
解析：根据已知条件，得到 am 和 am＋1，再根据等差数列的定义 得到公差 d，最后建立关于 a1 和 m 的方程组求解．由 Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得 am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1 －Sm＝3，所以等差数列的公差为 d＝am＋1－am＝3－2＝1， am＝a1＋m－1d＝2， 由 1 S ＝a1m＋2mm－1d＝0， m a1＋m－1＝2， a1＝－2， 得 解得 1 a1m＋2mm－1＝0， m＝5. 答案：C
结束
[类题通法]
1．判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而 通项公式法和前 n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的 简单判断． 2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子 an＋1－an＝d 和 an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”， 否则 n＝1 时，a0 无定义．
下一页
末页
第二节
等差数列及其前n项和
结束
1．要注意概念中的“从第 2 项起”．如果一个数列不是从 第 2 项起， 而是从第 3 项或第 4 项起， 每一项与它前一项的差是 同一个常数，那么此数列不是等差数列．
2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
2020版高考数学一轮复习 第六章 数列 第2讲 理(含解析)新人教A版
第2讲 等差数列及其前n 项和配套课时作业1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得S 3＝3×2＋3×22d＝12，解得d ＝2，则a 6＝a 1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12.故选C.2．(2019·宁德模拟)等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24 D ．－8 答案 C解析 因为a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，所以a 8＝24，所以2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B解析 S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，即9,27，a 7＋a 8＋a 9成等差数列，∴a 7＋a 8＋a 9＝54－9＝45.故选B.4．(2019·山东济南调研)已知数列{a n }为等差数列，且满足a 2＋a 8＝8，a 6＝5，则其前10项和S 10的值为( )A ．50B ．45C ．55D ．40 答案 B解析 因为数列{a n }为等差数列，且a 2＋a 8＝8，所以根据等差数列的性质得2a 5＝8，所以a 5＝4，又因为a 6＝5，所以S 10＝10a 1＋a 102＝10a 5＋a 62＝45.故选B.5．(2019·陕西咸阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝54，则a 2＋a 4＋a 9＝( )A ．9B ．15C ．18D ．36答案 C解析 由等差数列的通项公式及性质，可得S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝54，a 5＝6，则a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝18.故选C.6．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( ) A ．30B ．45C ．90D ．186答案 C解析 因为a 2＝6，a 5＝15，所以a 5－a 2＝3d ，d ＝3，所以{b n }是公差为6的等差数列，其前5项和为5a 2＋10×6＝90.故选C.7．(2019·福建模拟)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9T 9＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 A解析 由a 5＝2b 5，得a 5b 5＝2，所以S 9T 9＝9a 1＋a 929b 1＋b 92＝a 5b 5＝2，故选A.8．(2019·洛阳统考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13答案 C解析 ∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.故选C.9．(2019·广雅中学模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝8，若a b n ＝3n －1，则b 2019＝( )A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020答案 D解析 由a 2＝2，a 4＝8，得公差d ＝8－22＝3，所以a n ＝2＋(n －2)×3＝3n －4，所以a n＋1＝3n －1.又由数列{a n }的公差不为0，知数列{a n }为单调数列，所以结合a b n ＝3n －1，可得b n ＝n ＋1，故b 2019＝2020.故选D.10．已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 6D ．S 6，S 7均为S n 的最大值 答案 C解析 因为S 5<S 6，所以S 5<S 5＋a 6，所以a 6>0，因为S 6＝S 7，所以S 6＝S 6＋a 7，所以a 7＝0，因为S 7>S 8，所以S 7>S 7＋a 8，所以a 8<0，所以d <0且S 6，S 7均为S n 的最大值，所以S 9<S 6.故选C.11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，m ≥2，m ∈N *，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 ∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.又S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1. 又S m ＝m a 1＋a m2＝m a 1＋22＝0，∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5. 12．(2019·苏州模拟)定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2019a 2017＝( ) A ．4×20192－1 B ．4×20182－1 C ．4×20172－1 D ．4×20172答案 C解析 由题意知{a n }为等差比数列，a 2a 1＝1，a 3a 2＝3，a 3a 2－a 2a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n ＋1a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，则a 2019a 2017＝a 2019a 2018×a 2018a 2017＝(2×2018－1)×(2×2017－1)＝4×20172－1.故选C.13．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 51＝________.答案 676解析 ∵a n ＋2－a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，2，n 为偶数，∴数列{a n }的奇数项为常数1，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列，∴a 1＋a 2＋…＋a 51 ＝(a 1＋a 3＋…＋a 51)＋(a 2＋a 4＋…＋a 50)＝26＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25×2＋25×242×2＝676. 14．(2019·武汉模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78解析 由题意，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，说明⎩⎪⎨⎪⎧a 8>0，a 9<0.所以⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d >0，7＋8d <0.所以－1<d <－78.15．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于________．答案 10解析 ∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0， ∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝2(2n －1)＝38， 解得n ＝10.16．若两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n 与B n ，且满足A n B n ＝7n ＋14n ＋27(n ∈N ＋)，则a 11b 11的值是________． 答案 43解析 根据等差数列的性质得：a 11b 11＝2a 112b 11＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝21a 1＋a 21221b 1＋b 212＝A 21B 21＝148111＝43. 17．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．解 (1)设{a n }的公差为d ，由题意，得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7，得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)，得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16. 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.18．(2019·广东惠州调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为S n ，求使不等式S n <k 对一切n ∈N *恒成立的实数k 的取值范围．解 (1)证明：因为a n ＋1＝a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝1a n＋2. 因为a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以1a n＝2n －1，所以a n ＝12n －1. (2)由b n ＝a n2n ＋1，得b n ＝12n ＋12n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12，所以要使不等式S n <k 对一切n ∈N *恒成立，则k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.19．(2019·洛阳市统考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n－3(n ∈N *)．(1)求a 2的值并证明a n ＋2－a n ＝2； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)令n ＝1得2a 1a 2＝4S 1－3， 又a 1＝1，所以a 2＝12.2a n a n ＋1＝4S n －3，① 2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. 因为a n ≠0，所以a n ＋2－a n ＝2.(2)由(1)可知，数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1， 所以a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1， 即n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2， 首项为12，所以a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，即n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，n －32，n 为偶数.20．(2019·唐山模拟)已知{a n }是公差为正数的等差数列，且a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a n ＝b 1＋b 23＋b 35＋…＋b n2n －1，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)∵{a n }是公差d >0的等差数列， ∴由a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16＝a 3＋a 6， 解得a 3＝5，a 6＝11，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋5d ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.(2)∵a n ＝b 1＋b 23＋b 35＋…＋b n2n －1，∴a n －1＝b 1＋b 23＋b 35＋…＋b n －12n －3(n ≥2，n ∈N *)，两式相减，得b n2n －1＝2(n ≥2，n ∈N *)， 则b n ＝4n －2(n ≥2，n ∈N *)， 当n ＝1时，b 1＝1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，4n －2，n ≥2，∴当n ≥2时，S n ＝1＋n －16＋4n －22＝2n 2－1.又n ＝1时，S 1＝1，适合上式， 所以S n ＝2n 2－1.。
第2讲 等差数列及其前n项和 讲义
1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × )(4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ )1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 答案 B解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，故选B.2．(2016·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C解析 由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.3．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 答案 60解析 ∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60.5．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10 C.52 D.54(2)(2016·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________. 答案 (1)C (2)6解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×12＝52.(2)∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0. 又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2. ∴S 6＝6×6＋6×(6－1)2×(－2)＝6.思维升华 等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49D ．63(2)(2016·江苏)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 答案 (1)C (2)20解析 (1)∵a 1＋a 7＝a 2＋a 6＝3＋11＝14， ∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝49.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3， 则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20. 题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解 由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n .思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 A解析 由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n.(2)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. ①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； ②求{a n }的通项公式．①证明 由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2， 得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2， 即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． ②解 由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑nk ＝1 (a k ＋1－a k )＝∑nk ＝1(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2. 题型三 等差数列性质的应用 命题点1 等差数列项的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. (2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________. 答案 (1)10 (2)21解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. 命题点2 等差数列前n 项和的性质例4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－12，S 9＝45，则S 12＝________. (2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值等于( )A ．－2 018B ．－2 016C ．－2 019D ．－2 017答案 (1)114 (2)A解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，所以2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，即2(S 6＋12)＝－12＋(45－S 6)，解得S 6＝3. 又2(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)＋(S 12－S 9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)，解得S 12＝114. (2)由题意知，数列{S nn }为等差数列，其公差为1，∴S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1 ＝－2 018＋2 017＝－1. ∴S 2 018＝－2 018.思维升华 等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差． (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143D ．176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727 B.3828 C.3929D.4030答案 (1)B (2)A解析 (1)S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. (2)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.6．等差数列的前n 项和及其最值考点分析 公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现．题型有小题，也有大题，难度不大．典例1 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( ) A ．45 B ．60 C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________. 解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45.(2)方法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.方法二 因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2， 所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110.答案 (1)A (2)－110典例2 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值． 规范解答解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.方法一 由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653， 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值， 且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.方法二 S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53 ＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.方法三 由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0.∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.1．(2016·重庆一诊)在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，a 2＝5，则{a n }的前4项和为( )A ．9B ．22C ．24D ．32答案 C解析 由a n ＋1－a n ＝2，知{a n }为等差数列且公差d ＝2，∴由a 2＝5，得a 1＝3，a 3＝7，a 4＝9，∴前4项和为3＋5＋7＋9＝24，故选C.2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.54钱 B.53钱 C.32钱 D.43钱 答案 D解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，⎩⎨⎧ a 1＝43，d ＝－16，故选D.3．(2017·佛山调研)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案 C解析 由S n －S n －3＝51，得a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10. 4．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于( ) A ．24B ．48C ．66D ．132 答案 D解析 方法一 由a 1＋8d ＝12(a 1＋11d )＋6， 得a 1＋5d ＝12，∴a 1＝12－5d .又S 11＝11a 1＋11×102d ＝11a 1＋55d ＝11(12－5d )＋55d ＝132.方法二 由a 9＝12a 12＋6，得2a 9－a 12＝12. 由等差数列的性质得，a 6＋a 12－a 12＝12，a 6＝12，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝132，故选D. 5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( )A ．7B ．8C ．7或8D ．8或9 答案 C解析 由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或n ＝8，故选C.*6.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n S 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1 DD ．b n ＝2n ＋1答案 B解析 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n＝k ，因为b 1＝1， 则n ＋12n (n －1)d ＝k [2n ＋12×2n (2n －1)d ]， 即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，又公差d ≠0，解得d ＝2，k ＝14. 所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.7．(2015·安徽)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．答案 27解析 由题意知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.8．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案 14解析 由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4， 故a 10＝14. 9．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 答案1941 解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941. 10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k＝－12，则正整数k ＝________. 答案 13解析 S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212， 又S k ＋1＝(k ＋1)(a 1＋a k ＋1)2＝(k ＋1)⎝⎛⎭⎫－3＋322＝－212， 解得k ＝13.11．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2. 由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N *，故k ＝7.12．已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3. 所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3. 记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式，当n ＝1时，不满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ≥2. *13.已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4， 即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n－1＝－a n－1，则a n＋a n－1＝1.而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{a n}的各项均为正数相矛盾，所以a n－1＝a n－1，即a n－a n－1＝1，因此数列{a n}是首项为3，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{a n}的通项公式a n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即a n＝n＋2.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六章 数列
1．(一题多解)(2019·惠州模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为
Sn，且 a2＋a3＋a4＝15，a7＝13，则 S5＝( )
A．28
B．25
C．20
D．18
栏目 导引
第六章 数列
解析：选 B.通解：设等差数列{an}的公差为 d，由已知得
a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝15， a1＋6d＝13，
B．120
C．390
D．540
(2)在等差数列{an}中，a1＝－2018，其前 n 项和为 Sn，若S1122－S1100
＝2，则 S2018 的值等于( )
A．－2018
B．－2016
C．－2019
D．－2017
栏目 导引
第六章 数列
【解析】 (1)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，则 S10，S20－ S10，S30－S20 成等差数列， 所以 2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)， 又等差数列{an}的前 10 项和为 30，前 30 项和为 210， 所以 2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得 S20＝100. (2)由题意知，数列Snn为等差数列，其公差为 1，所以2S0201188＝S11 ＋(2018－1)×1＝－2018＋2017＝－1. 所以 S2018＝－2018. 【答案】 (1)A (2)A
栏目 导引
第六章 数列
2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝_a_1_＋__(_n_－__1_)_d_． (2)前 n 项和公式：Sn＝_n_a_1＋__n__（__n_2－__1_）__d_＝__（__a_1＋_2_a_n_）__n__．
栏目 导引
第六章 数列
3．等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn 是其前 n 项和． (1)通项公式的推广：an＝am＋___(_n_－__m_)_d___ (n，m∈N*)． (2)若 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__a_k_＋__a_l＝__a_m_＋__a_n__． (3)若{an}的公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差为_2_d__． (4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
第六章 数列
第 2 讲 等差数列及其前 n 项和
第六章 数列
1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从_第__2_项__起，每一项与它的前一项的差 都等于_同__一__个__常__数__，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示 为__a_n_＋_1_－__a_n＝__d__ (n∈N*，d 为常数)． (2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 ___A_＝__a_＋_2_b___，其中 A 叫做 a，b 的__等__差__中__项____．
解
得
பைடு நூலகம்
ad1＝＝－127411，2，故选 D.
优解：由等差数列的性质知，a3＋a6＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＝(a1
＋a4)＋4d＝56，又 a1＋a4＝76，所以 d＝－112.故选 D.
栏目 导引
第六章 数列
(2)设等差数列{an}的公差为 d，因为 3S3＝S2＋S4，所以 3(3a1 ＋3×2 2d)＝2a1＋d＋4a1＋4×2 3d，解得 d＝－32a1，因为 a1＝2， 所以 d＝－3，所以 a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选 B. (3)设等差数列{an}的公差为 d，由 a2＝3a1，即 a1＋d＝3a1，得 d＝2a1， 所以SS150＝105aa11＋ ＋150×2× 249dd＝105aa11＋＋150×2× 249××22aa1 1＝12050＝4. 【答案】 (1)D (2)B (3)4
解得SS偶奇＝＝119622，.
又 S 偶－S 奇＝6d，所以 d＝192－6 162＝5. 【答案】 (1)C (2)5
栏目 导引
角度二 等差数列前 n 项和性质的应用
第六章 数列
(1)已知等差数列{an}的前 10 项和为 30，它的前 30 项和 为 210，则前 20 项和为( )
A．100
栏目 导引
等差数列性质的应用(多维探究)
第六章 数列
角度一 等差数列项的性质的应用
(1)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则 2a9－a10 的值 是( )
A．20
B．22
C．24
D．－8
(2)一个等差数列的前 12 项的和为 354，前 12 项中偶数项的和
与奇数项的和的比为 32∶27，则该数列的公差 d 为________．
解
得
a1＝1， d＝2，
所
以
S5 ＝ 5a1 ＋
5×2 4d＝5×1＋5×2 4×2＝25，故选 B.
优解：由{an}是等差数列，可得 a2＋a4＝2a3，所以 a3＝5，所以
S5＝5（a1＋ 2 a5）＝5×22a3＝25，故选 B.
栏目 导引
第六章 数列
2．等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，若TSnn＝32nn－ ＋21，
栏目 导引
【解析】 (1)因为 a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，
第六章 数列
所以 a8＝24，所以 2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
(2)设等差数列的前 12 项中奇数项的和为 S 奇，偶数项的和为
S 偶，等差数列的公差为 d.
由已知条件，得SS奇偶＋∶SS偶奇＝＝33524∶，27，
栏目 导引
第六章 数列
等差数列基本量的计算(师生共研)
(1)(一题多解)(2019·贵阳模拟)已知等差数列{an}中，a1＋
a4＝76，a3＋a6＝56，则公差 d＝(
)
A.
1 6
B.
1 12
C．－16
D．－112
栏目 导引
第六章 数列
(2)(2018·高考全国卷Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 3S3
＝S2＋S4，a1＝2，则 a5＝( )
A．－12
B．－10
C．10
D．12
(3)(2019·高考全国卷Ⅲ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a1
≠0，a2＝3a1，则SS150＝________．
栏目 导引
第六章 数列
【解析】
(1)
通
解
：
由
a1＋a4＝76， a3＋a6＝56，
得
2a1＋3d＝76， 2a1＋7d＝56，