江苏省高一数学试题
2023-2024学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，3，4}，N＝{2，4，5}，则M∩（∁U N）＝（）A．∅B．{4}C．{1，3}D．{2，5}2．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（3，√3），则函数y＝f（x）+f（2﹣x）的定义域为（）A．（﹣2，2）B．（0，2）C．（0，2]D．[0，2]3．“实数a＝﹣1”是“函数f（x）＝x2+2ax﹣3在（1，+∞）上具有单调性”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动．一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍．现假定对一张足够大的纸张（其厚度等同于0.0766毫米的胶版纸）进行无限次的对折．借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下：已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折（）次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离．A．41B．43C．45D．475．已知一个扇形的周长为40cm，面积为100cm2，则该扇形的圆心角的弧度数为（）A．12B．1C．32D．26．已知cosα﹣sinα＝2sinαtanα，其中α为第一象限角，则tanα＝（）A．﹣1B．12C．1D．27．已知f（x）为偶函数，对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3．若函数y＝f（x）的图象与函数g（x）＝log a|x|（a＞0，且a≠1）的图象恰有6个交点，则a的取值范围是（）A．（3，5）B．（3，5]C．（5，7）D．（5，7]8．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象过点（0，1），且f（x）在区间(π8，π4)上具有单调性，则ω的最大值为（）A．43B．4C．163D．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试 数学含答案
苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学（答案在最后）2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.22.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B.2C.12D.23.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.55.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若6b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A .等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2233f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x=对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A.1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = .（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为33，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用复数的商的运算法则求得z ，进而可求||z .【详解】11i 1i 1i 1i (1i)(21i)z --====-++-，则2||2z ==.故选：B .2.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B. C.12D.32【解析】【分析】利用诱导公式与两角差的正弦公式化简求值.【详解】()()sin164sin 44cos16sin 46sin 18016sin 9046cos16sin 46-=---()1sin16cos 46cos16sin 46sin 1646sin 302=-=-=-=-.故选：A.3.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.【答案】D 【解析】【分析】利用极差、中位数、平均数、标准差的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】某射击运动员射击6次，命中的环数从小到大排列如下：6，7，7，9，9，10，对A ，极差为1064-=，故A 错误；对B ，中位数为7982+=，故B 错误；对C ，平均数为677991086+++++=，故C 错误；对D ，标准差为=，故D 正确.故选：D4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.5【答案】B【分析】根据百分位数计算规则计算可得.【详解】因为()0.010.0250.035100.70.75++⨯=<，()0.010.0250.0350.02100.90.75+++⨯=>，所以第75百分位数位于[)80,90，设为x ，则()()0.010.0250.035100.02800.75x ++⨯+-=，解得82.5x =.故选：B5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理求出C ，即可求出A .【详解】由正弦定理sin sin c b C B=，则32sin 22sin 2c B C b ⨯===，又c b <，所以60C B <=︒，所以45C =︒，所以180604575A =︒-︒-︒=︒.故选：C6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】对于A ：若//l m ，//l α，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故A 错误；对于B ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故B 错误；对于C ：若//αβ，l ⊂α，则//l β，又m β⊂，则l 与m 平行或异面，故C 错误；对于D ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，若//m α，则在平面α内存在直线c ，使得//m c ，又m β⊥，则c β⊥，又c α⊂，所以αβ⊥；若m α⊂，又m β⊥，所以αβ⊥；综上可得，由l m ⊥，l α⊥，m β⊥，可得αβ⊥，故D 正确.故选：D7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式及正弦定理将角化边，即可判断.【详解】因为2cos 2cos 22cos A B C +=，所以22212sin 12sin 22sin A B C -+-=-，所以222sin sin sin A B C +=，由正弦定理可得222+=a b c ，所以ABC 为直角三角形.故选：C8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<【答案】B 【解析】【分析】计算事件M 和事件N 的概率，由互斥事件的性质和相互独立事件的定义，对选项进行判断即可.【详解】三个人随机选三篇文章研究，样本空间共33327⨯⨯=种，事件M ：“三人都没选择《子归》篇”共有：2228⨯⨯=，所以()827P M =，事件N ：“至少有两人选择的篇目一样”共有27621-=种，所以()1272P N =，()()1P M P N +>，所以M 与N 不互斥，A 错误，D 错误；事件MN 共有2338++=种，所以()782P MN =，B 正确；因为()()()P MN P M P N ≠，所以C 错误.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x =对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增【答案】BD 【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，在根据正弦函数的性质计算可得.【详解】因为2()sin 2sin 22f x x x x x=+=+132sin 2cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误；因为π1sin 213⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x ，所以()2f x ≥-，故B 正确；因为πππ2sin 2663f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π6x =对称，故C 错误；当π,04x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则,ππ233π6x ⎛⎫-∈ ⎝+⎪⎭，又sin y x =在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确.故选：BD10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A .1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =【答案】ACD 【解析】【分析】A 项，表达出12||z z 和12||||z z ，即可得出相等；B 项，作出示意图即可得出结论；C 项，写出12||z z -和12||z z +的表达式，利用120z z =得出两复数的实部和虚部的关系，即可得出结论；D 项，对1213z z z z =进行化简即可得出结论.【详解】由题意，设12i,i,,,,Rz a b z c d a b c d =+=+∈A 项，()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++=12z z ==∴1212||||||z z z z =,A 正确；B 项，当120z z ->时，若两复数是虚数1z ，2z 不能比较大小，B 错误；C 项，()()1212i,i z z a c b d z z a c b d -=-+-+=+++，12z z -==12z z +==，当120z z =时，12120z z z z ==0=，∴0,0a b ==，,c d 任取，或0,0c d ==，,a b 任取，即12,z z 至少有一个为0∴1212z z z z -=+=（其中至少有两项为0），C 正确；D 项，∵1213z z z z =，∴()1230z z z -=，∵10z ≠，∴230z z -=，即23z z =，D 正确；故选：ACD.11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为【答案】ACD 【解析】【分析】取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，即可得到正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，求出截面面积，即可判断D ；根据线面垂直的判定定理说明A ，证明1//AD 平面EFG ，即可说明B ，根据正方体的性质判断D.【详解】如图，取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，连接GK 、KF 、FL 、LE 、EM 、MG 、11A C 、MF 、AC 、1AD ，则11//GK A C ，//EL AC ，11////A C AC MF ，所以//GK MF ，所以G 、K 、F 、M 四点共面，又//EL MF ，所以L 、E 、F 、M 四点共面，同理可证//KF ME ，所以K 、E 、F 、M 四点共面，正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，又12EL AC ===，所以216sin 602LEMGKF S =⨯⨯⨯︒=D 正确；因为AC ⊥平面11DBB D ，1DB ⊂平面11DBB D ，所以1AC DB ⊥，则1EL DB ⊥同理可证1FL DB ⊥，又EL FL L = ，,EL FL ⊂平面LEMGKF ，所以1DB ⊥平面LEMGKF ，即1B D ⊥平面EFG ，故A 正确；因为1//GM AD ，GM ⊂平面LEMGKF ，1AD ⊄平面LEMGKF ，所以1//AD 平面LEMGKF ，即1//AD 平面EFG ，又1AH AD A = ，1,AH AD ⊂平面11AD A A ，平面EFG ⋂平面11AD A A GM =，所以AH 不平行平面EFG ，故B 错误；设O 为正方体的中心，即O 为1DB 的中点，根据正方体的性质可知1EF DB O = ，即1DB 交平面LEMGKF 于点O ，所以点1B ，D 到平面LEMGKF 的距离相等，即点1B ，D 到平面EFG 的距离相等，故D 正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.【答案】15##0.2【解析】【分析】求出p，利用m p ⊥ ，即可求出实数λ的值.【详解】由题意，(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，∴()4,32p λλ=+-∵m p ⊥ ，∴()()143320λλ⨯++-=，解得：15λ=，故答案为：15.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.【答案】13π【解析】【分析】证明,,HA HB HC '两两垂直，由,,HA HB HC '的边长，求出外接球半径，求表面积即可.【详解】直角三角形ABC 中，AC =2BC =，则斜边4AB =，30A = ，CH 为斜边AB 上的高，则CH =3AH =，1HB =，平面B CH '⊥平面ACH ，平面B CH ' 平面ACH CH =，B H CH '⊥，B H '⊂平面B CH '，则B H '⊥平面ACH ，又AH CH ⊥，所以,,HA HB HC '两两垂直，HC =3HA =，1HB '=，则三棱锥B ACH '-的外接球半径1322R ==，所以三棱锥B ACH '-的外接球表面积为24π13πS R ==.故答案为：13π.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.【解析】【分析】利用二倍角公式化简，即可求出C ，从而得到π3A B +=，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，再利用辅助角公式计算可得.【详解】因为cos 21sin 2cos 212C C C +=++，所以222cos sin 12sin cos 2cos 112C C C C C -+=+-+，即()()()cos sin cos sin 132cos cos sin 2C C C C C C C -+=+，所以cos sin 1113tan 2cos 222C C C C -=-=，所以tan C =，又()0,πC ∈，所以2π3C =，则π3A B +=，所以π3sin 2sin 3sin 2sin 3A B A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭()ππ3sin 2sin cos 2cos sin 2sin33A A A A A A ϕ=+-==+，取ϕ为锐角，其中sinϕ=，cos ϕ=1sin 2ϕ=>，所以π6ϕ>，所以当π2A ϕ+=时3sin 2sin AB +.【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出C 的值，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，结合辅助角公式求出最大值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先证BC ⊥平面PAB ，有BC AG ⊥，再由AG PB ⊥，可证AG ⊥平面PBC ；（2）连接BE 交AF于点H ，由AHE FHB ≅ ，得H 为BE 中点，可得//GH PE ，线面平行的判定定理得//PE 平面AFG .【小问1详解】底面ABCD 为矩形，所以BC AB ⊥，PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，则PA BC ⊥，AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，则BC ⊥平面PAB ，AG ⊂平面PAB ，所以BC AG ⊥，又PA AB =，G 为PB 中点，则AG PB ⊥，,BC PB ⊂平面PBC ，BC PB B = ，所以AG ⊥平面PBC .【小问2详解】连接BE 交AF 于点H ，连接GH ，由四边形ABCD 为矩形，,E F 分别为,AD BC 中点，所以AHE FHB ≅ ，则BH HE =，即H 为BE 中点，又因为G 为BP 中点，有//GH PE ，GH Ì平面AFG ，PE ⊄平面AFG ，所以//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.【答案】（1）()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=（2）()12P A =，()14P B =，()13P C =（3）()34P A B C ⋃⋃=【解析】【分析】（1）根据事件的定义列出样本空间即可；（2）根据古典概型概率计算公式计算即可；（3）根据古典概型概率计算公式计算即可.【小问1详解】样本空间()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=，Ω共有12个基本事件；【小问2详解】事件A 的基本事件为：()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4共6个基本事件，所以()12P A =，事件B 的基本事件为：()()(){}1,3,2,3,4,3共3个基本事件，所以()14P B =，事件C 的基本事件为：()()()(){}1,42,4,4,1,4,2共4个基本事件，所以()13P C =，【小问3详解】事件A ，B ，C 中至少有一个发生的基本事件为：()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,44,1,4,2,4,3共9个基本事件，所以()34P A B C ⋃⋃=.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.【答案】（1）12（2）7【解析】【分析】（1）由sin 14ABD ∠=，有cos 14ABD ∠=，又120AEB ∠= ，AEB △中，()sin sin BAE AEB ABD ∠=∠+∠，求值后由正弦定理求线段AE 的长；（2）在AED △和AEB △中，余弦定理得22222AB AD AE +=+，又:AB AD =解得13AE =，在ACD 中，由余弦定理求cos ADC ∠，再得sin ADC ∠.【小问1详解】因为BCE 为等边三角形，所以120AEB ∠= ，又sin 14ABD ∠=，所以cos 14ABD ∠=，在AEB △中，()()sin sin 180sin BAE AEB ABD AEB ABD ⎡⎤∠=-∠+∠=∠+∠⎣⎦，所以21sin sin cos cos sin 7BAE AEB ABD AEB ABD ∠=∠∠+∠∠=，由正弦定理得sin sin AE BEABD BAE =∠∠，21sin 114sin 2217BE ABD AE BAE ⋅∠===∠.【小问2详解】()cos cos 180cos AED AEB AEB ∠=-∠=-∠ ，1DE BE ==，在AED △中，由余弦定理，2222cos AD AE DE AE DE AED =+-⋅⋅∠，在AEB △中，由余弦定理，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠两式相加得222222222AB AD AE DE BE AE +=++=+，因为:AB AD =，所以设AB =，AD =，则AE =，在AEB △中，120AEB ∠= ，由余弦定理得，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠，得2211310112m m ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，化简得23m =由0m >，解得1m =或13m =，当1m =时，3AE BD =>，不合题意，舍去；当13m =时，13AE BD =<，符合题意，所以13AE =，43AC AE EC =+=，73AD ==，在DCE △中，1CE DE ==，120DEC ︒=∠，可得CD =，在ACD中，由余弦定理，222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠==⋅，所以sin 7ADC ∠=.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.【答案】（1）2（2）68,1111x y =-=（3）7-【解析】【分析】（1）由向量的线性运算可得1122EF AD AB =+，两边平方可求解；（2）由已知可得34DF DC CF AB AD =+=- ，12CE CB BE AD AB =+=--，可得结论；（3）利用向量的线性关系可得1255GE AB AD =-- ，933510GF AD AB =-+，计算可得结论.【小问1详解】若12m =，则1122BF BC AD == ，12BE AB =-，所以1122EF BF BE AD AB =-=+ ，两边平方可得22222211117()(2)(12122)44424EF AD AB AD AD AB AB =+=++=+⨯⨯⨯+= ，所以2EF =；【小问2详解】若14m =，则1144BF BC AD == ，所以34CF AD =-，34DF DC CF AB AD =+=- ①，12CE CB BE AD AB =+=-- ②，由①②可得681111AB CE DF =-+；【小问3详解】1122EF EB BF AB mBC AB mAD =+=+=+，1122EC EB BC AB BC AB AD =+=+=+ ，设2EG EC AB AD λλλ==+ ，又122AG AE EG AE AB AD AB AD λλλλ+=+=++=+，又AG EF ∥，所以1212m λλ=+①，由EG EC λ= ，可得GE CE λ= ，所以CE CG CE λ-=，所以(1)CG CE λ=- ，所以11(1)(1)()(1)22CG CE AB BC CB CD λλλλ-=-=---=-+ ，由BF mBC = ，可得(1)CF m CB =- ，11CB CF m=-所以11(1)12CG CE CF CD m λλλ--=-=+-，又,,D F G 三点共线，所以11112m λλ--+=-②，联立①②解11,23m λ==，所以1142EG AB AD =+ ，所以1142GE AB AD =--，111111242424CG CB CD BC DC AD AB =+=--=-- ，21111(32464GF CF CG AD AD AB AD AB =-=----=-+ ），所以2211111111····64422412168GE GF AD AB AB AD AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫=-+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111112412484=+--=-，又2222111111113()4216444444GE AB AD AB AB AD AD =--=++=++=，所以||2GE =，同理可得||6GF = ，所以1214cos ,726GE GF -==-.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB =.（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为3，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）19或7.【解析】【分析】（1）由已知可得//EF 平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，从而可证结论；（2）由余弦定理可得23DC =，从而可证AD CD ⊥，进而结合已知可证CD ⊥平面11ADD A ，可证结论；（3）延长,AD BC 交于N ，过1A 作1A M AD ⊥于M ，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，可得1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，求解即可.【小问1详解】因为12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = ，所以1EF A B ∥，又1A B ⊂平面1A BC ，EF ⊄平面1A BC ，所以//EF 平面1A BC ，2AF FB = ，3AB =，可得2AF =，又2AD =，60BAD ∠=︒，所以ADF △是等边三角形，所以2DF =，60AFD ∠=︒，又60ABC ∠=︒，所以DF BC ∥，又BC ⊂平面1A BC ，DF ⊄平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，又DF EF F = ，又,DF EF ⊂平面DEF ，所以平面DEF 平面1A BC ；【小问2详解】由侧面11CDD C 为矩形，可得1CD DD ⊥，连接CF ，可得BCF △是等边三角形，所以60BFC ∠=︒，所以60DFC ∠=︒，又2DF =，1CF =，由余弦定理可得22211221232DC =+-⨯⨯⨯=，所以222DC CF DF +=，所以90FCD ∠=︒，所以30FDC ∠=︒，所以90ADC ∠=︒，所以AD CD ⊥，又1AD DD D = ，1,AD DD ⊂平面11ADD A ，所以CD ⊥平面11ADD A ，又CD ⊂平面ABCD ，所以平面11ADD A ⊥平面ABCD ；【小问3详解】延长,AD BC 交于N ，可得ABN 是等边三角形，过1A 作1A M AD ⊥于M ，由（1）可知//EF 平面1A BC ，所以三棱锥1E A BC -的体积即为三棱锥1F A BC -的体积，又三棱锥1F A BC -的体积等于三棱锥1A BCF -的体积，由（2）可知平面11ADD A ⊥平面ABCD ，且两平面的交线为AD ，所以AM ⊥平面ABCD ，所以111111331133223B F BCF A C V S A M A M -==⨯⨯⨯⨯= ，解得14A M =，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，AM ⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以AM BN ⊥，又1HM A M M ⋂=，1,HM A M ⊂平面1A MH ，所以BN ⊥平面1A MH ，又1A H ⊂平面1A MH ，1BN A H ⊥，所以1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，若12A AD π∠<，则点M 在线段AD 上，且为AD 中点，又117AA =，由勾股定理可得1AM =，所以2MN =，所以3MH =131619A H =+=，所以1357cos 1919A HM ∠==，所以平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值为5719；若12A AD π∠>，则点M 在线段DA 延长线上，此时13,7MH A H ==，11321cos 727MH A HM A H ∠===.。
2023-2024学年江苏省淮安市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∪B＝（）A．{1，2}B．{﹣1，0，1，2，3}C．{0，1，2，3}D．{1，2，3}2．函数f(x)=ln(x−1)+1x−2的定义域为（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（1，2）∪（2，+∞）D．（1，2）3．若角α的终边经过点P（m，2）（m≠0），则（）A．sinα＞0B．sinα＜0C．cosα＞0D．cosα＜04．关于x的不等式x2﹣ax﹣b≤0的解集是[﹣2，4]，那么log a b＝（）A．1B．3C．2D．1 35．设a＞0且a≠1，“函数f（x）＝（3﹣a）x+1在R上是减函数”是“函数g（x）＝a x在R上是增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数y=e2−x2的图象大致为（）A．B．C．D．7．为了得到函数y=3sin(2x+2π3)的图象，只要把函数y=3sin(2x+π6)图象上所有的点（）A．向左平移π2个单位长度B．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度8．已知函数f(x)={−x 2+ax +1，x ＜0sin(ax +π3)，0≤x ≤π有且仅有3个零点，则正数a 的取值范围是（ ） A ．[23，53)B ．[53，83)C ．[83，113)D ．[83，113]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列化简或者运算正确的是（ ） A ．lg 5+lg 2＝1B ．a 23⋅a 12=a 76（a ＞0）C ．x −13=−√x 3（x ＞0）D ．2log 23=310．用“五点法”作函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数y ＝f （x ）描述正确的是（ ）A ．函数f （x ）的最小正周期是πB ．函数f （x ）的图象关于点(5π6，0)对称 C ．函数f （x ）的图象关于直线x =π3对称D ．函数f （x ）与g(x)=−2cos(2x +π3)+1表示同一函数11．定义在D 上的函数f （x ），如果满足：存在常数M ＞0，对任意x ∈D ，都有|f （x ）|≤M 成立，则称f （x ）是D 上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（ ） A ．y =2sin(2x +π3)B ．y ＝2xC ．y =x 2+1xD ．y ＝x ﹣[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）12．已知函数f （x ）满足：∀x 1，x 2∈R ，都有|f （x 1）+f （x 2）|≤|sin x 1+sin x 2|成立，则下列结论正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．函数y ＝f （x ）是偶函数C ．函数y ＝f （x ）是周期函数D ．g （x ）＝f （x ）﹣sin x ，x ∈（﹣1，1），若﹣1＜x 1＜x 2＜1，则g （x 1）≥g （x 2） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年江苏省扬州市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．命题“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定为（ ） A ．∃x ∈R ，sin x ＞1 B ．∃x ∈R ，sin x ≤1 C ．∀x ∈R ，sin x ＞1D ．∀x ∈R ，sin x ＜12．下列四个函数中，与y ＝2x 有相同单调性和奇偶性的是（ ） A ．y ＝2xB ．y ＝x 3C ．y ＝e xD ．y ＝sin x3．若全集U ＝R ，A ={x|12＜x ＜1}，B ={x|x−1x＜0}，则（∁U A ）∩B ＝（ ）A ．（0，1）B ．(0，12)C ．(0，12]D ．[0，1]4．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA ＝20cm ，∠AOB ＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 25．若实数m ，n 满足2m ＝3n ＝6，则下列关系中正确的是（ ） A ．1m+1n=1 B ．1m+2n=2 C ．2m+1n=2 D ．1m+2n =126．若p ：cosα≤12，q ：α≤π3，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金（ ） A ．小于20克 B ．不大于20克C ．大于20克D ．不小于20克8．若α、β∈(0，π2)且满足sin αcos α+sin βcos β＞2cos αcos β，设t ＝tan αtan β，f(x)=1−t 2xtx ，则下列判断正确的是（ ） A ．f （sin α）＜f （sin β） B ．f （cos α）＜f （cos β） C ．f （sin α）＜f （cos β）D ．f （cos α）＜f （sin β）二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的有（ ） A ．−3π4是第二象限角 B ．tan225°＝1 C ．小于90°的角一定是锐角D ．sin2＞010．下列命题为真命题的有（ ） A ．若a ，b ∈R ，则a 2+b 2≥2ab B ．若a ＞b ＞0，m ＞0，则a+m b+m＞abC ．若a ＜b ＜0，则1a ＞1bD ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b11．已知函数f(x)=sinx −2sin2x，则下列结论正确的有（ ） A ．f （x ）为奇函数B ．f （x ）是以π为周期的函数C ．f （x ）的图象关于直线x =π2对称D ．x ∈(0，π4]时，f （x ）的最大值为√22−212．如图，过函数f （x ）＝log c x （c ＞1）图象上的两点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M （a ，0），N （b ，0）（b ＞a ＞1），线段BN 与函数g （x ）＝log m x （m ＞c ＞1）的图象交于点C ，且AC 与x 轴平行．下列结论正确的有（ ）A ．点C 的坐标为（b ，log c a ）B ．当a ＝2，b ＝4，c ＝3时，m 的值为9C ．当b ＝a 2时，m ＝2c 2D ．当a ＝2，b ＝4时，若x 1，x 2为区间（a ，b ）内任意两个变量，且x 1＜x 2，则a f(x 2)＜b f(x 1) 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知角α的终边经过点（1，﹣2），则tan α•cos α的值为 ． 14．已知x ＞1，y ＞1，xy ＝10，则lgx •lgy 的最大值为 ．15．已知定义域为R 的奇函数f （x ），当x ＞0时，f(x)={x 2−x +1，0＜x ≤112x−1，x ＞1，若当x ∈[m ，0）时，f（x ）的最大值为−34，则m 的最小值为 ．16．定义域为D 的函数f （x ），如果对于区间I 内（I ⊆D ）的任意三个数x 1，x 2，x 3，当x 1＜x 2＜x 3时，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜f(x 3)−f(x 2)x 3−x 2，那么称此函数为区间I 上的“递进函数”，若函数f(x)=x 3+ax 是区间[1，2]为“递进函数”，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）化简求值： （1）3log 32+(827)13+lg5−lg 12； （2）若x 12+x−12=√5，求x 2+x﹣2的值．18．（12分）已知tan α＝3．求值：（1）cos(α+π2)−sin(3π2+α)2sin(α+π)+cos(2π−α)；（2）2sin 2α+sin αcos α．19．（12分）已知函数f(x)=log 12(4−x)x−1的定义域为集合A ，函数g(x)=m √2x +5（x ∈[−12，112]）的值域为B ． （1）当m ＝1时，求A ∪B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 20．（12分）已知f(x)=sin(ωx +π6)，ω＞0．（1）若f （x 1）＝1，f （x 2）＝﹣1，且|x 1−x 2|min =π2，求函数f （x ）的单调增区间；（2）若f （x ）的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于y 轴对称，当ω取最小值时，方程f （x ）＝m 在区间[π6，π2]上有解，求实数m 的取值范围．21．（12分）已知函数f(x)=1−5x1+5x ，g(x)=acosx +√1+sinx +√1−sinx ，其中a ＜0．（1）判断并证明f （x ）的单调性；（2）①设t =√1+sinx +√1−sinx ，x ∈[−π2，π2]，求t 的取值范围，并把g （x ）表示为t 的函数h（t ）；②若对任意的x 1∈[﹣1，0]，总存在x 2∈[−π，π]使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知函数f(x)=log2(2x+m)−x2．（1）若f（x）为定义在R上的偶函数，求实数m的值；（2）若∀x∈[0，2]，f（x）+m≤1恒成立，求实数m的取值范围．2023-2024学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．命题“∀x∈R，sin x≤1”的否定为（）A．∃x∈R，sin x＞1B．∃x∈R，sin x≤1C．∀x∈R，sin x＞1D．∀x∈R，sin x＜1解：命题：“∀x∈R，sin x≤1”为全称命题，全称命题的否定是特称命题，即∃x∈R，sin x＞1．故选：A．2．下列四个函数中，与y＝2x有相同单调性和奇偶性的是（）A．y＝2x B．y＝x3C．y＝e x D．y＝sin x解：根据题意，函数y＝2x为奇函数，在R上为增函数，据此分析选项：对于A，y＝2x是非奇非偶函数，不符合题意；对于B，y＝x3，其定义域为R，关于原点对称，满足f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3＝﹣f（x），f（x）为奇函数，且y′＝3x2≥0，恒成立，所以在R上为增函数，符合题意；对于C，y＝e x，是非奇非偶函数，不符合题意；对于D，y＝sin x，f（﹣x）＝sin（﹣x）＝﹣sin x＝﹣f（x），f（x）为奇函数，但y＝sin x在R上不是增函数，不符合题意．故选：B．3．若全集U＝R，A={x|12＜x＜1}，B={x|x−1x＜0}，则（∁U A）∩B＝（）A．（0，1）B．(0，12)C．(0，12]D．[0，1]解：∵x−1x＜0，∴x（x﹣1）＜0，∴0＜x＜1，B＝（0，1），A＝（12，1），∁U A＝（﹣∞，12]∪[1，+∞），则（∁U A）∩B＝（0，12]．故选：C．4．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA＝20cm，∠AOB＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 2解：扇面（图中扇环）部分的面积S =12αr 2−12α(r 2)2=38αr 2=38×2π3×400=100π．故选：B ．5．若实数m ，n 满足2m ＝3n ＝6，则下列关系中正确的是（ ） A ．1m+1n=1 B ．1m+2n=2 C ．2m+1n=2 D ．1m+2n =12解：2m ＝3n ＝6，则m ＝log 26，n ＝log 36， 故1m +1n =1log 26+1log 36=log 62+log 63＝log 6（2×3）＝log 66＝1，故A 正确，B 错误，又2m+1n=2•log 62+log 63＝log 6（22×3）＝log 612≠2，故C 错误，1m +2n=log 62+2•log 63＝log 6（2×32）＝log 618≠12，故D 错误．故选：A ．6．若p ：cosα≤12，q ：α≤π3，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若p ：cosα≤12，则2kπ−π3≤α≤2kπ+π3，k ∈Z ，又“2kπ−π3≤α≤2kπ+π3，k ∈Z ”是“α≤π3“的既不充分也不必要条件， 则p 是q 的既不充分也不必要条件． 故选：D ．7．某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金（ ） A ．小于20克 B ．不大于20克C ．大于20克D ．不小于20克解：根据题意，设天平的左臂长为a ，右臂长b ，售货员现将10g 的砝码放在左盘，将黄金xg 放在右盘使之平衡；然后又将10g 的砝码放入右盘，将另一黄金yg放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为x+y（g）．则10a＝bx，ya＝10b，故x+y=10ab+10ba=10（ab+ba）≥10×2√ab×ba=20，当且仅当a＝b时等号成立，则该顾客实际所得黄金不小于20克．故选：D．8．若α、β∈(0，π2)且满足sinαcosα+sinβcosβ＞2cosαcosβ，设t＝tanαtanβ，f(x)=1−t 2xt x，则下列判断正确的是（）A．f（sinα）＜f（sinβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（cosα）＜f（sinβ）解：因为sinαcosα+sinβcosβ＞2cosαcosβ，两边同时除以cosαcosβ，得sinαcosβ+sinβcosα＞2，因为α，β∈(0，π2)，若α+β≤π2则0＜α≤π2−β＜π2，sinα≤sin(π2−β)=cosβ，则sinαcosβ≤1，同理sinβcosα≤1，则sinαcosβ+sinβcosα≤2与sinαcosβ+sinβcosα＞2矛盾，所以α+β＞π2，则π2＞α＞π2−β＞0，sinα＞sin(π2−β)=cosβ，则sinαcosβ＞1，同理sinβcosα＞1，所以t=tanαtanβ=sinαcosβ⋅sinβcosα＞1，又f(x)=1−t2xt x=(1t)x−t x，t＞1，因为函数y=(1t)x，t＞1单调递减，y＝t x，t＞1单调递增，所以f(x)=1−t2xt x=(1t)x−t x，t＞1单调递减．对于AB：由于sinα与sinβ，cosα与cosβ大小关系不确定，故AB错误；对于CD：由于sinα＞cosβ，sinβ＞cosα，所以f（sinα）＜f（cosβ），f（cosα）＞f（sinβ），故C正确，D错误．故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列说法正确的有（）A．−3π4是第二象限角B．tan225°＝1C．小于90°的角一定是锐角D．sin2＞0解：对于A：−3π4为第三象限角，故A错误；对于B ：tan225°＝tan （180°+45°）＝tan45°＝1，故B 正确； 对于C ：小于90°的角是锐角或负角，故C 错误； 对于D ：由于sin2≈√32＞0，故D 正确．故选：BD ．10．下列命题为真命题的有（ ） A ．若a ，b ∈R ，则a 2+b 2≥2ab B ．若a ＞b ＞0，m ＞0，则a+m b+m＞abC ．若a ＜b ＜0，则1a ＞1bD ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b解：根据题意，依次分析选项：对于A ，a 2+b 2﹣2ab ＝（a ﹣b ）2≥0，则有a 2+b 2≥2ab ，A 正确； 对于B ，当a ＝3，b ＝2，m ＝1时，a+m b+m=43＜ab =32，B 错误； 对于C ，若a ＜b ＜0，则b ﹣a ＞0，ab ＞0，则有1a −1b =b−aab＞0，C 正确；对于D ，若ac 2＞bc 2，则有ac 2﹣bc 2＝（a ﹣b ）c 2＞0，由于c ≠0，则有a ﹣b ＞0，即a ＞b ，D 正确． 故选：ACD ．11．已知函数f(x)=sinx −2sin2x，则下列结论正确的有（ ） A ．f （x ）为奇函数B ．f （x ）是以π为周期的函数C ．f （x ）的图象关于直线x =π2对称D ．x ∈(0，π4]时，f （x ）的最大值为√22−2解：∵f(x)=sinx −2sin2x （x ≠kπ2，k ∈Z ）， ∴f （﹣x ）＝﹣sin x +2sin2x=−f （x ），∴f （x ）为奇函数，A 正确； 又f （x +π）＝﹣sin x −2sin2x≠f （x ），∴f （x ）不是以π为周期的函数，B 错误； ∵f （π﹣x ）＝sin x +2sin2x ≠f （x ），∴f （x ）的图象不关于直线x =π2对称，C 错误； ∵x ∈(0，π4]⇒2x ∈（0，π2]，∴y ＝sin x 与y =−2sin2x 在(0，π4]上均为增函数，∴f(x)=sinx −2sin2x 在(0，π4]上单调递增，∴f （x ）max ＝f （π4）=√22−2．D 正确． 故选：AD ．12．如图，过函数f （x ）＝log c x （c ＞1）图象上的两点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M （a ，0），N （b ，0）（b ＞a ＞1），线段BN 与函数g （x ）＝log m x （m ＞c ＞1）的图象交于点C ，且AC 与x 轴平行．下列结论正确的有（ ）A．点C的坐标为（b，log c a）B．当a＝2，b＝4，c＝3时，m的值为9C．当b＝a2时，m＝2c2D．当a＝2，b＝4时，若x1，x2为区间（a，b）内任意两个变量，且x1＜x2，则a f(x2)＜b f(x1)解：对于A，由图可知，若设A（a，t），则C（b，t），又A在f（x）＝log c x上，则t＝log c a，∴C（b，log c a），故A正确；对于B，由题意得A（2，log32），B（4，log34），C（4，log m4），且AC与x轴平行，∴log m4＝log32，解得m＝9，故B正确；对于C，由题意得A（a，log c a），B（b，log c b），C（b，log m b），且AC与x轴平行，∴log m b＝log c a，∵b＝a2，∴m＝c2，故C错误；对于D，∵a＜x1＜x2＜b，且c＞1，∴log c a＜log c x1＜log c x2＜log c b，∵b＞a＞1，∴a log c x2＜a log c b，b log c a＜b log c x1，∵log c b•log c a＝log c a•log c b，∴log c a log c b=log c b log c a，∴a log c b=b log c a，∴a log a x2＜b log c x1，∴a f(x2)＜b f(x1)，故D正确．故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知角α的终边经过点（1，﹣2），则tanα•cosα的值为−2√55．解：由于角α的终边经过点（1，﹣2），所以sinα=25=−2√55，故tanα⋅cosα=sinα=−2√55．故答案为：−2√5 5．14．已知x＞1，y＞1，xy＝10，则lgx•lgy的最大值为14．解：∵x＞1，y＞1，xy＝10，∴lgx＞0，lgy＞0，∴√lgxlgy≤lgx+lgy2=lgxy2=lg102=12，当且仅当lgx＝lgy，即x＝y=√10时，取等号．∴lgx•lgy≤14，∴lgx•lgy的最大值为14．故答案为：1 4．15．已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f(x)={x2−x+1，0＜x≤112x−1，x＞1，若当x∈[m，0）时，f（x）的最大值为−34，则m的最小值为−76．解：因为f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[m，0）时，f（x）的最大值为−3 4，则x∈（0，﹣m]时，最小值为3 4，又当0＜x≤1时，f(x)=x2−x+1=(x−12)2+34，根据二次函数的性质可知，当x=12时，f（x）min=34，当x＞1时，f(x)=12x−1单调递减，又当f(x)=12x−1=34时，x=76，故x∈（0，﹣m]时，最小值为34，必有12≤−m≤76，则−76≤m≤−12，故m的最小值为−76．故答案为：−7 6．16．定义域为D的函数f（x），如果对于区间I内（I⊆D）的任意三个数x1，x2，x3，当x1＜x2＜x3时，有f(x2)−f(x1) x2−x1＜f(x3)−f(x2)x3−x2，那么称此函数为区间I上的“递进函数”，若函数f(x)=x3+ax是区间[1，2]为“递进函数”，则实数a的取值范围是[﹣3，+∞）．解：∵函数f(x)=x3+ax是区间[1，2]为“递进函数”，∴f′(x)=3x2−ax2的递增区间为[1，2]，令g(x)=3x2−ax2，则g′(x)=6x+2ax3≥0在[1，2]上恒成立，即a≥﹣3x4在[1，2]上恒成立，∴a≥﹣3，故答案为：[﹣3，+∞）．四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）化简求值：（1）3log32+(827)13+lg5−lg12；（2）若x 12+x−12=√5，求x2+x﹣2的值．解：（1）原式=2+[(23)3]13+lg5+lg2=2+23+lg5+lg2=113；（2）由题意得(x 12+x−12)2=x+x−1+2=5，得x+x﹣1＝3，同理（x+x﹣1）2＝x2+x﹣2+2＝9，故x2+x﹣2＝7．18．（12分）已知tan α＝3．求值：（1）cos(α+π2)−sin(3π2+α)2sin(α+π)+cos(2π−α)；（2）2sin 2α+sin αcos α．解：（1）因为tan α＝3，所以cos(α+π2)−sin(3π2+α)2sin(α+π)+cos(2π−α)=−sinα+cosα−2sinα+cosα=−tanα+1−2tanα+1=25；（2）因为tan α＝3，所以2sin 2α+sin αcos α=2sin 2α+sinαcosαsin 2α+cos 2α =2tan 2α+tanαtan 2α+1=2110．19．（12分）已知函数f(x)=log 12(4−x)1x−1的定义域为集合A ，函数g(x)=m √2x +5（x ∈[−12，112]）的值域为B ． （1）当m ＝1时，求A ∪B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：（1）函数f(x)=log 12(4−x)+√x−1则{4−x ＞0x −1＞0，解得1＜x ＜4， 故A ＝（1，4）；当m ＝1时，g(x)=√2x +5在[−12，112]上单调增，则B ＝[2，4]，∴A ∪B ＝（1，4]；（2）若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，则B 是A 的真子集． 当m ＞0时，g(x)=m √2x +5在[−12，2]上单调增，则B ＝[2m ，4m ]，所以1＜2m ＜4m ＜4，解得12＜m ＜1；当m ＝0时，B ＝{0}，不符合题意；当m ＜0时，g(x)=m √2x +5在[−12，2]上单调减，则B ＝[4m ，2m ]，不符合题意；综上所述，实数m 的取值范围为（12，1）．20．（12分）已知f(x)=sin(ωx +π6)，ω＞0．（1）若f （x 1）＝1，f （x 2）＝﹣1，且|x 1−x 2|min =π2，求函数f （x ）的单调增区间；（2）若f （x ）的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于y 轴对称，当ω取最小值时，方程f （x ）＝m 在区间[π6，π2]上有解，求实数m 的取值范围．解：（1）由于f （x 1）＝1，f （x 2）＝﹣1，且|x 1−x 2|min =π，所以T 2=12×2πω=π2，则ω＝2，所以f(x)=sin(2x +π6)； 由−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ，解得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ，k ∈Z ， 所以函数f （x ）的单调增区间为[−π3+kπ，π6+kπ]，k ∈Z ． （2）将f （x ）的图象向左平移π3个单位长度后得到y =sin[ω(x +π3)+π6]=sin(ωx +ωπ3+π6)， 若所得图象关于y 轴对称，则ωπ3+π6=π2+kπ，得ω＝1+3k ，k ∈Z ，因为ω＞0，所以ωmin ＝1； x ∈[π6，π2]，得x +π6∈[π3，2π3]，f(x)∈[√32，1]， 所以m 的取值范围为[√32，1]．21．（12分）已知函数f(x)=1−5x 1+5x ，g(x)=acosx +√1+sinx +√1−sinx ，其中a ＜0． （1）判断并证明f （x ）的单调性；（2）①设t =√1+sinx +√1−sinx ，x ∈[−π2，π2]，求t 的取值范围，并把g （x ）表示为t 的函数h （t ）；②若对任意的x 1∈[﹣1，0]，总存在x 2∈[−π2，π2]使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）f （x ）是R 上的单调减函数，证明如下：在R 上任取x 1，x 2且x 1＜x 2，则5x 1−5x 2＜0，1+5x 1＞0，1+5x 2＞0，所以f(x 2)−f(x 1)=1−5x 21+5x 2−1−5x 11+5x 1=2(5x 1−5x2)(1+5x 1)(1+5x 2)＜0， 故f （x ）是R 上单调减函数；（2）①t =√1+sinx +√1−sinx ，则t 2=(√1+sinx +√1−sinx)2=2+2√1−sin 2x =2+2|cosx|，又因为x ∈[−π2，π2]，所以cos x ≥0，从而t 2∈[2，4]． 又因为t ＞0，所以t ∈[√2，2]，因为cosx =12t 2−1，所以ℎ(t)=12at 2+t −a ，t ∈[√2，2]； ②设f （x ）在x ∈[﹣1，0]时值域为A ，则由f （x ）的单调性可知，A =[0，23]； 设h （t ）在t ∈[√2，2]时的值域为B ，由题意得A ⊆B ，（ⅰ）当−12≤a ＜0时，即−1a≥2，h （t ）在[√2，2]上单调增，则B =[√2，a +2]， 因为√2＞0，显然不满足A ⊆B ；（ⅱ）当√2−2＜a＜−12时，即√2+22＜−1a＜2，h（t）在[√2，−1a]上单调增，在[−1a，2]上单调减，且ℎ(2)＞ℎ(√2)，所以B=[√2，−12a−a]，显然不满足A⊆B；（ⅲ）当−√22＜a≤√2−2时，即√2＜−1a≤√2+22，h（t）在[√2，−1a]上单调增，在[−1a，2]上单调减，且ℎ(√2)＞ℎ(2)，所以B=[a+2，−12a−a]，且a+2＞0，所以不满足A⊆B；（ⅳ）当a≤−√22时，−1a≤√2，h（t）在[√2，2]上单调减，所以B=[a+2，√2]，因为A⊆B，所以a+2≤0且√2＞23，所以a≤﹣2，综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．22．（12分）已知函数f(x)=log2(2x+m)−x2．（1）若f（x）为定义在R上的偶函数，求实数m的值；（2）若∀x∈[0，2]，f（x）+m≤1恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）因为函数f（x）为定义在R上的偶函数，则f（﹣x）＝f（x）对x∈R恒成立，所以f(x)−f(−x)=log2(2x+m)+x2−[log2(2−x+m)−−x2]=log22x+m(2−x+m)⋅2x=0，化简得2x+m(2−x+m)⋅2x=1，即（2x﹣1）（1﹣m）＝0，所以m＝1；（2）不等式f（x）+m≤1可化为log2(2x+m)−x2+m≤1（*），由题意得：2x+m＞0对任意x∈[0，2]恒成立，则m＞﹣1；（*）可化为log2(2x+m)≤log22(x2−m+1)，所以0＜2x+m≤2x2⋅(12)m−1，对于不等式2x+m≤2x2⋅(12)m−1，令t=2x2，因为x∈[0，2]，所以t∈[1，2]，∀x∈[0，2]，2x+m≤2x2⋅(12)m−1恒成立⇔∀t∈[1，2]，t2−(12)m−1t+m≤0恒成立；令F(t)=t2−(12)m−1t+m，可得{F(1)≤0，F(2)≤0，，即{(12)m−1−m≥1，2⋅(12)m−1−m≥4.（**），由于函数r(m)=2⋅(12)m−1−m为R上的减函数，且r（0）＝4，所以不等式2⋅(12)m−1−m≥4的解集为m≤0；由于函数t(m)=(12)m−1−m为R上的减函数，所以当m≤0时，t（m）≥t（0）＝2≥1恒成立，所以（**）式的解为m≤0．综上，m的取值范围为（﹣1，0]．。
2023-2024学年江苏省徐州市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷一、选择题。
本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={x|14＜2x ＜4}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝（ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，1，2}2．已知扇形的半径为2cm ，弧长为4cm ，则该扇形的面积为（ ） A ．1cm 2B ．2cm 2C ．4cm 2D ．8cm 23．若命题“∃x ∈R ，x 2+4x +t ＜0“是假命题，则实数t 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．84．已知a ＞b ，则下列不等式中，正确的是（ ） A ．a 2＞b 2 B ．|a |＞|b |C ．sin a ＞sin bD ．2a ＞2b5．若α=4π3，则√1−sinα1+sinα+√1+sinα1−sinα=（ ） A ．4B ．2C ．4√33D ．2√336．2023年12月30日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭成功发射卫星互联网技术试验卫星．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （单位：km /s ）和燃料的质量M （单位：kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系是v =alg(1+Mm)（a 是参数）．当M ＝5000m 时，v 大约为（ ）（参考数据：1g 2≈0.3010） A ．2.097aB ．3.699aC ．3.903aD ．4.699a7．已知函数f(x)=1x 2+1−e 4x +1e2x ，若a ＝tan171°，b ＝tan188°，c ＝tan365°，则（ ）A ．f （a ）＜f （b ）＜f （c ）B ．f （b ）＜f （a ）＜f （c ）C ．f （b ）＜f （c ）＜f （a ）D ．f （c ）＜f （b ）＜f （a ）8．已知函数f （x ）＝x +1x −2，且关于x 的方程f （|e x ﹣1|）+2k|e x −1|−3k 2＝0有三个不同的实数解，则实数k 的取值范围为（ ） A ．(0，23)B ．(−12，0)∪(23，+∞)C ．(1+√73，+∞) D ．{−12}∪(1+√73，+∞)二、选择题。
2023-2024学年江苏省南通市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南通市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若扇形的圆心角为2rad，半径为1，则该扇形的面积为（）A．12B．1C．2D．42．已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．{x|﹣1≤x≤3}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|﹣2≤x＜4}3．函数f(x)=4x+9x+1，x∈（﹣1，+∞）的最小值为（）A．6B．8C．10D．124．若角θ的终边经过点P（1，3），则sinθcosθ+cos2θ＝（）A．−65B．−25C．25D．655．函数f（x）＝2log3x+2x﹣5的零点所在区间是（）A．（0，1）B．(1，32)C．(32，2)D．（2，3）6．设函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω＞0)的最小正周期为T．若2π＜T＜3π，且对任意x∈R，f(x)+f(π3)≥0恒成立，则ω＝（）A．23B．34C．45D．567．已知函数f（x）的定义域为R，y＝2f（x）﹣sin x是偶函数，y＝f（x）﹣cos x是奇函数，则[f(x)]2+[f(π2+x)]2=（）A．5B．2C．32D．548．已知函数f（x）＝lg|x|﹣cos x，记a＝f（log0.51.5），b＝f（1.50.5），c＝f（sin（1﹣π）），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列各式中，计算结果为1的是（）A．sin75°cos15°+cos75°sin15°B．cos222.5°﹣sin222.5°C．√3−tan15°1+√3tan15°D．tan22.5°1−tan222.5°10．若a＞b＞0，c＞d＞0，则（）A ．a ﹣c ＞b ﹣dB ．a （a +c ）＞b （b +d ）C ．d a+d＜c b+cD ．b+d b+c＜a+d a+c11．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y =x −23B ．y ＝2|x |+1C ．y ＝x 2﹣x ﹣2D ．y ＝2x ﹣2﹣x12．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为10（单位：cm ），它在t （单位：s ）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度hcm 由关系式ℎ=Asin(πt +π4)确定，其中A ＞0，t ≥0．则下列说法正确的是（ ）A ．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时2sB ．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为20cmC ．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为12sD ．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为10次，则所用时间的范围是[2014，2114)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省扬州中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题
江苏省扬州中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题一、单选题1．已知集合{|02}A x x =<<，{|14}B x x =<<，则A B = （）A ．{|02}x x <<B ．{|24}x x <<C ．{|04}x x <<D ．{2|x x <或4}x >2．已知a 为常数，集合{}260A xx x =+-=∣，集合{20}B x ax =-=∣，且B A ⊆，则a 的所有取值构成的集合元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．设op 为奇函数，且当0x ≥时，2()f x x x =+，则当0x <时，()f x =（）A ．2x x +B ．2x x -+C ．2x x-D ．2x x--4．函数1y x +=+）A ．(]2-∞，B ．()2-∞，C ．()02，D ．[)2+∞，5．已知函数(2)f x +的定义域为(3,4)-，则函数()g x =）A ．(1,6)B ．(1,2)C ．(1,6)-D ．(1,4)6．若不等式20ax bx c ++>的解集为{}12x x -<<，那么不等式()()2112a x b x c ax ++-+>的解集为（）A ．{}21x x -<<B ．{|2x x <-或>1C ．{|0x x <或}3x >D ．{}03x x <<7．命题()()28:2103P f x ax x a =++≥在[]1,2-单调增函数，命题()()2,2:R 2,2ax x Q g x a a x x-≤⎧⎪=∈-⎨>⎪⎩在R 上为增函数，则命题P 是命题Q 的（）条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要8．已知1121,,12121a b a b >>+=--，则11a b+的最大值为（）A ．23B ．34C ．45D ．56二、多选题9．下列说法中，正确的是（）A ．若22a b c c >，则a b >B ．若22a b >，0ab >，则11a b<C ．若a b >，c d <，则a c b d ->-D ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+10．关于函数()422f x x =--性质描述，正确的是（）A ．()f x 的定义域为[)(]2,00,2-UB ．()f x 的值域为[]1,1-C ．()f x 的图象关于原点对称D ．()f x 在定义域上是增函数11．用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()()()()()()()(),,C A C B C A C B A B C B C A C A C B ⎧-≥⎪*=⎨-<⎪⎩，已知集合{}()(){}2220,R 10A x x x B x x ax x ax =+==∈+++=∣∣，则下面正确结论正确的是（）．A ．()R,3a CB ∃∈=；B ．()R,2aC B ∀∈≥；C ．“0a =”是“1A B *=”的充分不必要条件；D ．若{}R1S a A B =∈*=∣，则()3C S =三、填空题12．已知()f x 是一次函数，且满足()()94f f x x =+，请写出符合条件的的一个．．函数解析式()f x =．13．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有人.14．设,a b 为正实数，112a b+≤，23()()a b ab -=，则log ()ab =4．四、解答题15．化简：(1))20.5233727229643-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)ln 332lg100e25log 32log 3++-⋅16．已知函数()2723x f x x+=(1)求()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；(2)若()()53g x f x x=+，用单调性定义证明：函数()g x 在()0,1上是减函数．17．中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI ）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出x 万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本()V x （单位：万元），已知当05x <≤时，()125V x =；当520x <≤时，()240100V x x x =+-；当20x >时，()160081600V x x x=+-，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.(1)已知2024年该型芯片生产线的利润为()P x （单位：万元），试求出()P x 的函数解析式；(2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.18．已知函数()26x b f x x a +=+为定义在上的奇函数，且()312f =．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若[]1,3x ∃∈，使得不等式()1f x m -≤成立，求实数m 的取值范围；(3)若[]0,1n ∀∈，()0,t ∞∀∈+，使得不等式()03t f t nf s ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭成立，求实数s 的最小值．19．已知函数()(1||)R f x x a x a =+∈，．(1)若0a <，求函数()f x 在[1,2]上的最小值.(2)若函数()y f x =在(,)m n 上既有最大值又有最小值，试探究m 、n 分别满足的条件（结果用a 表示）．(3)设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎣⎦，求实数a 的取值范围．。
2024-2025学年江苏省某中学高一(上)期末数学模拟试卷(含答案)
2024-2025学年江苏省某中学高一（上）期末数学模拟试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角α终边经过点P(3,−4)，则sinα的值为( )A. 35B. −35C. 45D. −452.已知α，β是平行四边形的两个内角，则“α=β”是“sinα=sinβ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.设f(x)={f(f(x+5)),x<102x−15,x≥10，则f(9)的值为( )A. 9B. 11C. 28D. 144.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为( )(1010≈1.259)A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.65.函数f(x)=x2sinx的图像大致为( )A. B. C. D.6.已知函数f(x)=(2m−1)x m为幂函数，若函数g(x)=lnx+2f(x)−6，则y=g(x)的零点所在区间为( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)7.中国的扇文化有着极其深厚的人文底蕴，折扇从明代开始流行，扇面书画、扇骨雕琢，深得文人雅士的喜爱(如图1).制作折扇的扇面时，先从一个圆面中剪下扇形OBD，再从扇形OBD中剪去扇形OAC(如图2).记圆面面积为S1，扇形OBD的面积为S2，把满足S2S1−S2=5−12且OAAB=5−12的扇面称为“完美扇面”，现有用半径为20cm 的圆面制作而成的“完美扇面”，则弧AC 的长为( )cm ．A. 20( 5+1)πB. 20(3− 5)πC. 20( 5−2)πD. 20(7−3 5)π8.定义：正割sec α=1cos α，余割csc α=1sin α.已知m 为正实数，且m ⋅csc 2x +tan 2x ≥15对任意的实数x(x ≠kπ+π2,k ∈Z)均成立，则m 的最小值为( )A. 1B. 4C. 8D. 9二、多选题：本题共4小题，共20分。
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练习一一、选择题。
1. 下列判断错误的是（ ）A ．命题“若q 则p ”与命题“若p 则q ”互为逆否命题B ．“am 2<bm 2”是“a<b ”的充要条件C ．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假D ．命题“}2,1{4}2,1{∈⊂或φ”为真（其中φ为空集）2.设集合{}{}22|1,,|45,,A x x a a N B y y b b b N ==+∈==-+∈则下述关系中正确的是( )(A)A B = (B) A B ⊃ (C) A B ⊂ (D) A B =∅I3.已知221log [(1)]4y ax a x =+-+的定义域是一切实数,则实数a 的取值范围( )(A)3(0,2+ (B) 3(2-(C) )+∞U (D) 4．方程2(2)50x a x a --+-=的两根都大于2，则实数a 的范围是( ) (A)2a <- (B) 52a -<<- (C) 54a -<<- (D)4a >或4a <-二、填空题。
1. 化简：ααααcos 1cos ·2cos 12sin ++= ▲ ．.2. ,αβ为锐角三角形的两内角，函数()f x 为(0,1)上的增函数,则(sin )f α ▲ (cos )f β（填>或填<号）3.已知角α的终边不在坐标轴上，cos sin tan (),sin cos tan f ααααααα=++则(f α）的值域是 4. 一个半径为2的扇形，若它的周长为243π+，则扇形的圆心角是 弧度. 5. 已知：(2,3),(1,7),A B -则与AB u u u r共线的单位向量是 .6.函数()sin()(0)f x x ωφω=+>对任意实数x 均有12()()()f x f x f x ≤≤，则12||x x -的最小值为 ，若]4,3[)0(sin 2)(ππωω->=在区间x x f 上的最大值是2，则ω的最小值等于 .7. 将sin y x =图象上的每一点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），把所得函数的图象向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象上每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），则所得图象的解析式为 .8．已知扇形的周长为8cm ，则该扇形的面积S 的最大值为 ▲ cm 2．9．若1a =r ,b =r若()a b a -⊥r r r ，则向量a r 与b r 的夹角为 ▲ ．10、过点A （0,3），被圆（x －1)2＋y 2＝4截得的弦长为23的直线方程是 ． 11、设圆C ：223x y +=，直线063:=-+y x l ，点()l y x P ∈00,，使得存在点C Q ∈，使60OPQ ∠=o (O 为坐标原点),则0x 的取值范围是 ． 12．已知sin cos tan 2,sin cos a aa a a+=-+则的值是 ▲ 。
13．已知向量,a b 的夹角为90o，1,3a b ==，则4a b -的值是 ▲ 。
14．将函数sin y x =的图象向右平移三个单位长度得到图象1C ，再将图象1C 上的所 有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得到图象1C ，则1C 的函数解析式为 ▲ 。
15．已知偶函数()f x 的定义域为{{}|0,x x x R ≠∈，且当x>O 时，2()log f x x =，则满 足6()()5f x f x =+的所有x 之和为 ▲ 。
三、解答题16．已知：向量12,e e u r u u r不共线。
（1）121212,28,33.AB e e BC e e CD e e =-=-=+u u u r u r u u r u u u r u r u u r u u u r u r u u r求证：,,A B D 共线。
（2）若向量12e e λ-u r u u r 与12e e λ-u r u u r共线，求实数λ的值。
17．（1）已知：角α终边上一点(),P y 且sin ,y α=求cos ,tan .αα 18. （本题满分16分）x在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．其中23=b ，且 3tantan tan 3tantan tan ππC A C A =++．（1）求角B 的大小； （2）求a +c 的取值范围．19．已知函数)||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 在一个周期内的图象如下图所示.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间；（3）设π<<x 0，且方程m x f =)(有两个 125π 不同的实数根，求实数m 的取值范围. 20.21．如图，在半径为2，圆心角为45o的扇形的AB 弧上任取一点P ，作扇形的内接平行四边形MNPQ ，使点Q 在OA 上，点M ，N 在0B 上，设BOP θ∠=，MNPQ Y 的面积为S ． (1)求S 与θ之间的函数关系式； (2)求S 的最大值及相应的口值．22．已知△OAB 的顶点坐标为(0,0)O ,(2,9)A ,(6,3)B -, 点P 的横坐标为14，且OP PB λ=u u u r u u u r ，点Q 是边AB 上一点,且0OQ AP ⋅=u u u r u u u r.(1)求实数λ的值与点P 的坐标； (2)求点Q 的坐标；(3)若R 为线段OQ 上的一个动点，试求()RO RA RB ⋅+u u u r u u u r u u u r的取值范围.23、已知圆O:221x y +=和定点A （2，1），由圆O 外一点),(b a P 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PA PQ =（1）求实数a 、b 间满足的等量关系； （2）求线段PQ 长的最小值；（3）若以P 为圆心所做的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取最小值时，圆P 的方程。
O 1211πy2 1-224．已知：二次函数2()f x ax bx c =++满足：①对于任意实数,x 都有(),f x x ≥且当(1,3)x ∈时，21()(2)8f x x ≤+恒成立，②(2)0f -=（1）求证:(2)2f =(2) 求()f x 的解析式。
（3）若(),g x x m =+对于任意[]2,2,x ∈-存在[]02,2,x ∈-使得0()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围。
一．1.D; 2.A; 3.C; 8.C;二．1.tan2α； 2. ＞； 3.{}3,1- ； 4.3π 5.3434(,)5555--或（，） ; 6.πω ，2 7.2sin(2)3y x π=- ； 8 . 4； 9. 4π ；10.;11. 没做 ; 12.3； 13.5 14.y=sin(2x-PAI/4) 15解：∵偶函数f （x ），令x ＜0，则-x ＞0∴f（-x ）=log2（-x ）∴f（x ）=f （-x ）=log2（-x ） 所以x=+-(6)/(x+5) ，得x=1,-2,-3或-2 ∴1-2-3-6=-10 故答案为：-10．三．16、解：（1）12555BD BC CD e e AB =+=-=u u u r u u u r u u u r u r u u r u u u r………………………………3分BD AB ∴u u u r u u u r与共线…………………………………………5分∴A 、B 、D 共线………………………………7分（2）1212e e e e λλ--u r u u r u r u u rQ 与共线∴存在实数k 使得1212()e e k e e λλ-=-u r u u r u r u u r 12ke ke λ=-u r u u r…………9分 1e u r Q 、2e u u r 不共线1k kλλ=⎧∴⎨-=-⎩…………………………………………12分1λ∴=± ………………………………………14分 17.解：23OP y =+1分23sin 43y y α∴==+………………………………………3分 210y y ∴==或………………………………………5分 ①0cos 1,tan 0y αα==-=时，………………………………………8分 ②2137cos ,tan 4y αα==-=11分 ③2137cos ,tan 4y αα==-=14分18．解：(1)由3tantan tan 3tantan tan ππC A C A =++得可知0tan tan 1≠-C A ，否则有，1tan tan =C A ，0tan tan =+C A ，互相矛盾．3tan tan tan 1tan tan π-=-+C A C A ，即3)tan(-=+C A而π<+<C A 0，所以32π=+C A ．∴ B=3π．(2)由正弦定理有，13sin23sin sin sin ====πBb Cc A a ，∴A a sin =，)32sin(sin A C c -==π， ∴)6sin(3cos 23sin 23)32sin(sin ππ+=+=-+=+A A A A A c a ∵320π<<A ，∴ 6566πππ<+<A ， 于是1)6sin(21≤+<πA ，则a +c 的取值范围是]3,23(． 19. （1）)62sin(2)(π+=x x f .（2）单调增区间为z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,6,3ππππ.（3）2112<<<<-m m 或. 20.21.22. (1)设(14,)P y ，则(14,),(8,3)OP y PB y ==---u u u r u u u r，由OP PB λ=u u u r u u u r ，得(14,)(8,3)y y λ=---，解得7,74y λ=-=-，所以点(14,7)P -。
(2)设点(,)Q a b ，则(,)OQ a b =u u u r ，又(12,16)AP =-u u u r ，则由0OQ AP ⋅=u u u r u u u r，得34a b =①又点Q 在边AB 上，所以12346b a +=--，即3150a b +-=② 联立①②，解得4,3a b ==，所以点(4,3)Q(3)因为R 为线段OQ 上的一个动点，故设(4,3)R t t ，且01t ≤≤，则(4,3)RO t t =--u u u r，(24,93)RA t t =--u u u r，(64,33)RB t t =---u u u r，+(88,66)RA RB t t =--u u u r u u u r，则()4(88)3(66)RO RA RB t t t t ⋅+=----u u u r u u u r u u u r 25050(01)t t t =-≤≤，故()RO RA RB ⋅+u u u r u u u r u u u r 的取值范围为25[,0]2-. 23.(1) (2) (3)解析: （1）连为切点，，由勾股定理有.又由已知，故.即：.化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：.（2）由，得.=.故当时，即线段PQ 长的最小值为解法2：由(1)知，点P 在直线l ：2x + y －3 = 0 上. ∴ | PQ |min = | PA |min ，即求点A 到直线 l 的距离..（3）设圆P 的半径为，圆P 与圆O 有公共点，圆O 的半径为1，即且.而，故当时，此时, ，.得半径取最小值时圆P 的方程为．24、解：（1）由①知道21(2)2(2)(22)28f f ≥≤+=且 (2)2f ∴=………………………4分 （2）1(2)422,(2)420,1452f a b c f a b c b c a =++=-=-+=∴==-⋅⋅⋅Q 分 ∴ 211402ax x a -+-≥对于任意实数x 都成立 又因为0a ≠014(14)04a a a >⎧⎪∴⎨=--≤⎪⎩V ………………………7分11,82a c ∴==………………………8分 此时22211111()(2),(1,3)()(2)82288f x x x x x f x x =++=+∈≤+时成立21()(2)8f x x ∴=+………………………10分（3）[]())22y f x y g x A ==-设函数、（在区间，上的值域分别为、B 则[][]0,2,2,2A B m m ==-+………………………11分 由题意得A B ⊆………………………12分 2022m m -≤⎧∴⎨+≥⎩………………………14分02m ∴≤≤………………………16分。