微积分-期末复习总结整理-第一章.docx
高等数学一-微积分总结-知识归纳整理
导数微分学微分微积分不定积分积分学定积分无穷级数第一章函数及其特性1.1 集合一、定义：由具有共同特性的个体（元素）组成。
二、表达方式：集合A，B，C……（大写字母）元素a，b，c……（小写字母）A=｛a，b，c｝元素的罗列无重复，无顺序。
a属于A记作a∈A，1不属于A记作1∉A或1∈A三、分类有限集无限集空集Ф四、集合的运算1、子集：存在A、B两个集合，如果A中所有元素都在B中，则A叫做B的子集，A⊆B或B⊇A（空集是任何集合的子集）。
2、交集：存在A、B两个集合，由既在A中又在B中的元素组成的集合。
A B，A B⊆A，A B⊆B，Ф B=Ф（空集与任何集合的交集是Ф）。
3、并集：存在A、B两个集合，由所有在A、B中的元素组成的集合。
A B，A B⊇A，A B⊇B，Ф B=B。
4、补集：存在A、B两个集合，且A⊆B，由在B当中但不在A中的元素组成的集合，叫A的补集，B叫全集。
记作AB或A CB， ABA=Ф，ABA=B五、数、数轴、区间、邻域1、数实数虚数: 规定i2= -1，i叫虚数单位，ii3332==-2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
3、区间知识归纳整理(1)闭区间a ≤x ≤b,x ∈[a, b] (2)开区间a< x< b, x ∈(a, b) (3)半开区间a ≤x< b, x ∈[a, b)a< x ≤b, x ∈(a, b](4)无限区间 x ≤a, x ∈(-∞, a]x ≥b, x ∈[ b, +∞) x ∈R, x ∈(-∞, +∞)4、邻域：以x = x 0为圆心，以δ> 0（δ为非常小的正数）为半径作圆，与数轴相交于A 、B 两点，x 0 -δ< x 0 < x 0 +δ叫x 0的δ邻域。
例1 已知A=｛x ∈ -2≤x< 3｝，B=｛x ∈ -1< x ≤5｝，求A B ， A B 解：A 、B 集合中x 的取值范围在数轴表示如下所以A B=｛x ∈ -1< x< 3｝， A B=｛x ∈ -2≤x ≤5｝ 例2 已知A 、B 为两非空集合，则A B=A 是A=B 的[ (2) ] (1)充分条件 (2)充分必要条件 (3)必要条件 (4)无关条件注：如果A 成立，这么B 成立，即“A ⇒B ”，这么条件A 是B 成立的充分条件；如要使B 成立，必须有条件A ，但惟独A 不一定能使B 成立，则称A 是B 成立的必要条件；如果“A ⇒B ”，又有“B ⇒A ”，则称条件A 是B 成立的充分必要条件。
微积分定理归纳.doc
第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x) 2则K1函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)W, K2则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列｛xn｝不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列｛xn｝收敛，那么数列｛xn｝—定有界。
如果数列｛xn｝无界，那么数列｛xn｝—定发散；但如果数列｛xn｝有界，却不能断定数列｛xn｝—定收敛，例如数列1, -1, 1, -1, (-l)n+l该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列｛xn｝收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列｛xn｝有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列｛xn｝是发散的，如数列1,-1, 1,-1, (-l)n+l中子数列｛x2k-l｝收敛于1, ｛xnk｝收敛于-1, ｛xn｝却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中0<lx-x0l表示xH xO,所以x—xO时f(x)有没有极限与f(x)在点xO有没有定义无关。
定理(极限的局部保号性)如果lim(x ->x0)时f(x)=A,而且A>0(或A<0),就存在着点那么xO的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0),反之也成立。
函数f(x)当x-*xO时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(xO-O)=f(xO+O),若不相等则limf(x)不存在。
一般的说，如果lim(x —00 )f(x)=c,则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。
如果lim(x -*xO)f(x)= ,00则直线x=xO是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果Fl(x)2F2(x),而limF 1 (x)=a, limF2(x)=b,那么a2b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x f O)(sinx/x)=l ；lim(x -*00 )(l + l/x)x=1.夹逼准则如果数列｛xn｝、｛yn｝、｛zn｝满足下列条件：ynW xnW且znlimyn=a, limzn=a,那么limxn=a,对于函数该准则也成立。
微积分知识点小结
微积分知识点小结----0ab6e02d-6eb2-11ec-ae6d-7cb59b590d7d 第一章函数一、本章摘要基本概念函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，逆函数，复合函数，基本初等函数，初等函数第二章极限与连续一、第1章基本概念概述函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在单点连续性，连续函数，不连续性，第一类不连续性（可移动不连续性，跳跃不连续性），第二类不连续性2.基本公式(1)limsin口口1口口?0?1，（2） LIM（1×10）？E（嘴代表相同的变量）3.基本方法（1）利用函数的连续性来求极限；（2）使用这四种算法来寻找极限；（3）使用两个重要的极限来找到极限；（4）利用无穷小替换定理求极限；⑸利用分子、分母消去共同的非零公因子求00表格限制；??⑹利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限；（7）利用函数符号的可交换顺序和连续函数的极限符号的特性计算极限；（8）用“无穷小和有界函数的乘积仍然是无穷小”来求极限4.定理左右极限与极限的关系，单调有界原理，收缩准则，极限的唯一性，极限的符号保持，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质.第三章导数与微分一、本章提要1.基本概念1瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主成分，微分。
2基本公式基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式．3.基本方法（1）利用导数的定义计算导数；⑵利用导数公式与求导法则求导数；⑶利用复合函数求导法则求导数；⑷隐含数微分法；⑸参数方程微分法；⑹对数求导法；（7）使用微分算法计算微分或导数第四章微分学的应用一、第1章基本概念概述未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线．2.基本方法⑴用洛必达法则求未定型的极限；⑵函数单调性的判定；⑶单调区间的求法；（4）计算可能的极值点和最大（或最小）值；（5）求闭区间上连续函数的最大值和最小值；（6）找出实际问题最大（或最小）值的方法；（7）计算曲线的凹向和拐点；（8）曲线渐近线的计算方法；（9）一元函数图像的描述方法。
大一微积分复习总结
微积分期中复习第一章 函数与极限一、函数1、数轴、区间、领域2、函数的概念：设有两个变量x 和y ，如果当某非空集合D 内任取一个数值时， 变量y 按照一定的法则(对应规律)f ，都有唯一确定的值y 与之对应，则称y 是x 的函数。
记作()y f x =，其中变量x 称为自变量，它的取值范围D 称为函数的定义域；变量y 称为因变量，它的取值范围是函数的值域，记作()Z f ，即(){|(),}Z f y y f x x D ==∈。
函数的表示：函数的表示有三种。
公式法、表格法和图示法。
3、函数的几种特性函数的有界性、奇偶性、单调性和周期性。
4、初等函数(1) 基本初等函数① 幂函数：y x μ=(μ为任意实数)， y kx b =+， 2y ax bx c =++ ② 指数函数：x y a =(0a >且1a ≠) ③ 对数函数：log a y x =(0a >且1a ≠)。
恒等式： log (0,1)a N a N a a =>≠ 换底公式： log log log c a c bb a=运算的性质：log log log a a a xy x y =+，log log log aa a yy x x=-。
④ 三角函数：sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x y x y x y x y x ======。
⑤ 反三角函数：arcsin ,arccos ,arctan ,cot y x y x y x y arc x ====。
(2) 反函数： (3) 复合函数： 5、常见的经济函数(1) 成本函数、收益函数和利润函数01()()C x C C x =+， ()()R x p x x =⋅，()()()L x R x C x =-。
(2) 需求函数与供给函数 (),()d d s s Q f p Q f p ==二、极限的概念与性质1、数列的极限 (1) 数列(2) 数列极限的定义 (3) 数列极限的几何意义 2、函数的极限(1) 当自变量x →∞时函数()f x 的极限 (2) 当自变量0x x →时函数()f x 的极限 (3) 左右极限3、函数极限的主要性质极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。
微积分知识点总结(期末考研笔记)
微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。
3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。
\large δ：是邻域半径。
2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。
从左从右逼近相同值。
●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。
●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。
●极限运算性质1、满足四则运算。
2、满足复合函数嵌套极限。
3、极限存在则左右极限相等。
●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。
●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。
经济数学—微积分第1章内容总结
最大、最小值定理
介值定理 零点定理
第一章 内容总结
函数
第 一 章
极限
连续Leabharlann 数的概 念和性质概念 性质
反函数 复合函数
定义，定义域，值域，分段函数 单调性、奇偶性、周期性、有界性 定义，三角函数与反三角函数 定义，复合与分解，基本初等函数
函数
反函数与 复合函数
常用经济 函数
单利与复利公式
需求函数与供给函数 成本函数与平均成本函数
收益函数与利润函数
第一章 内容总结
函数
第 一 章
极限
连续
数列与函 数的极限
无穷大、无 穷小及其阶 的比较
定义 性质
收敛、发散，几个常用数列极限 有界性、唯一性、保号性， 极限存在的重要条件 无穷大与无穷小的关 系，无穷小的性质
定义和性质
利用左右极限
四则运算法则
极限
极限的 运算
复合运算法则——变量替换法 极限存在准则、两个重要极限 无穷小的性质、无穷大与无穷小的关系 等价无穷小替换 函数的连续性
第一章 内容总结
函数
第 一 章
极限
连续
连续的 概念
定义1 定义2 第一类 第二类
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
x 0
lim y 0
可去间断点、跳跃间断点 无穷间断点，振荡间断点
连续
间断点 的类型
连续函数 的性质
连续函数的四则运算、复合运算 闭区间上 连续函数 的性质
微积分第1章函数重点及要点汇总
( , ) R
第一章 函数
6
三、邻域
U (a , ) (a , a )
称作 a 的δ邻域
U o (a, ) (a , a ) (a, a ) 称作 a 的去心δ邻域 U (a , ) (a , a ] U ( a , ) [a , a )
| a | x | a | | x || a |; | ab || a | | b |, | a b | | a | | b |(b 0);
(三角不等式*)
| a | | b || a b || a | | b | .
—— 和的绝对值 ≤ 绝对值之和、≥ 绝对值之差
第一章 函数 13
三、复合函数
定义 设 u=g(x), y=f(u), 若 Z ( g )
D( f ) , 则称 y f [ g( x)], x { x | x D( g )且g( x) D( f )}
为 f 与 g 的复合函数.
例: 1. 已知 y u , u 2 v 2 , v cos x , 将 y 表示成 x 的函数.
O
2
x
定义域 ( , ),
值域 , . 2 2
定义域 ( , ), 值域 ( 0, ).
第一章 函数 23
基本初等函数：常函数 + 反对幂三指 2. 初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所 构成的函数称为初等函数.
例: 下列函数中不是初等函数的是（ C ） A) y x x , B) y | x |, C ) y sgn x, D)e x xy 1 0.
(0,1)
O
大一微积分每章知识点总结
大一微积分每章知识点总结微积分是数学的重要分支之一，用于研究变化率与累积效应。
在大一微积分课程中，我们学习了许多重要的知识点，这些知识点为我们进一步学习高级数学打下了坚实的基础。
本文将对大一微积分每章的知识点进行总结，以帮助读者巩固所学内容。
第一章：函数与极限在这一章中，我们学习了函数的概念与性质，以及极限的定义与运算法则。
函数是一种将一个数集映射到另一个数集的规则，可以用数学公式或图形表示。
极限是函数在某个点无限接近于某个值的情况，是微积分的基础概念之一。
第二章：导数与微分导数是用来描述函数变化率的概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。
我们学习了导数的计算方法，包括基本导数公式、加减乘除法则、链式法则等。
微分则是导数的应用，用于计算函数在某一点的近似值，并研究函数的局部特征。
第三章：微分中值定理与导数的应用在这一章中，我们学习了微分中值定理和导数的应用。
微分中值定理是描述函数在某个区间内存在某点的斜率等于该区间的平均斜率的定理，包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
导数的应用包括函数的单调性、极值点、凹凸性等的判断与求解。
第四章：不定积分不定积分是导数的逆运算，用于求解函数的原函数。
我们学习了不定积分的基本性质和常用的积分公式，包括换元法、分部积分法、有理函数的积分等。
通过不定积分，我们可以求解函数的面积、曲线长度等问题。
第五章：定积分与定积分的应用定积分是用来计算曲线下面积的工具，也可以表示变化率与累积效应。
我们学习了定积分的定义和性质，以及计算定积分的方法，如换元法、分部积分法和定积分的几何应用等。
定积分的应用包括计算曲线的弧长、质量、物体的质心等。
第六章：微分方程微分方程是用导数和未知函数构成的方程，研究函数之间的关系。
我们学习了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶线性微分方程和可分离变量的方程等。
微分方程是实际问题建模与求解的重要工具，应用广泛于物理、化学、工程等领域。
通过对大一微积分每章的知识点进行总结，我们回顾了函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分与定积分的应用、微分方程等内容，巩固了所学知识，并为之后学习高级数学打下了坚实的基础。
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第一章第一节常用符号介绍一，集合符号1.集合与元素之间符号“W”表示“属于”,符号F “表示”不属于“。
2.集合之间符号” W “表示”包含于“；符号”=“表示”等于“；符号” 0“表示”空集”；符号“U”表示“并”；符号“CI”表示“和”；符号表示“差”或“余”。
二，数集符号自然数集：表示为“N”；整数集：表示为“Z“；有理数集：表示为” Q”。
显然有NCZCQCR区间设a, b WR, a<bo常用的有限区间有开区间 (a, b) ={x I a<x<b }；闭区间【a, b] ={x I aWxWb }；半开半闭区间：(a,, b] ={x I aVxWb }或【a, b) =(x I aWxVb }o常用的无限区间有(a, +oo) ={x I x>a} ； [a, +oo) ={x I xNa}(-oo, a) ={x I xVa} ； (-oo, a] ={x I xWa}邻域设aWR,对任意5>0,记数集U (a, 8) =(x I x-a| <8}= (a-5, a+5),称作以a为中心，以6为半径的邻域。
当不需要证明邻域半径5时，常将它表示为U(a),简称为a的邻域记数集U (a, 8) = (x I 0< x-a | <8}= (a—& a+6) Ta}, 即在a的5的邻域u(a, 5)中去掉a,称为a的6去心邻域。
第二节函数的概念一，函数的定义给定一个数集A,假设其中的元素为xo现对A中的元素x施加对应法则f,记作f (x),得到另一数集B。
假设B中的元素为y。
则y与x之间的等量关系可以用y=f (x)表示。
我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。
函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。
其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。
符号函数(1, x>0Y=sgnx< 0, x = 0(-1/ x <ro绝对值函数I . (—X, x<0 Y=|x|=I x, x > 0迪利克雷函数黎曼函数1 V一，X = 一Y 二q qto, x = 0, 1和3D内的无理数第三节数列的极限1.定义：设有数列｛%｝ , a是常数，若对任意的£>0 ,总存在自然数N ,对任意的自然数n>N ,有|a孔-a\ < £ ,则称数列｛%｝的极限是a , 或数列｛%｝收敛于a,表示为ZiTna” = a71T002.重点性质：唯一性，有界性，保序性3.数列收敛的判别方法：两边夹定理（夹逼定理），单调有界定理•夹逼定理:如果数列｛Xn｝,｛Yn｝及｛Zn｝满足下列条件：（1 ）当n>N0 时，其中NOeN* ,有YnWXnWZn ,（2 ）｛Yn｝、｛Zn｝有相同的极限a ,设-»<a<+oo单调性对任一数列｛Xj,如果从某一项Xk开始，满足Xk <X k+l <X k+2 < ......则称数列（从第k项开始）是单调递增的。
特别地，如果上式全部取小于号，则称数列是严格单调递增的。
同样地，如果从某一项k开始，满足Xk >X k+l > X k+2 > .....则称数列（从第k项开始）是单调递减的。
特别地，如果上式全部取大于号，则称数列是严格单调递减的。
单调递增数列和单调递减数列统称单调数列。
m有界性对任一数列｛X｝如果存在某个实数A使不等式x n>A恒成立，则称实数A是数列的一个下界；同样地，如果存在某个实数B使不等式x…<B恒成立，则称实数B是数列的一个上界。
如果一个数列既有上界又有下界，则称这个数列是有界的。
此时，存在一个正数M, 使不等式lx…l < M成立。
根据数列有界的定义可知，如果一个数列有界，那么它一定有上界和下界。
反过来, 如果一个数列只有上界或只有下界，则不能得出数列有界的结论。
4.子数列的概念：设有数列｛%｝，若硫(k=1,2,3 , ........ )是一列自然数，且a】<n2 < n3 V -<n k<…，则称｛财｝是数列｛%｝的一个子数列若数列0厢收敛于a ,则其任意子数列也收敛于a5.主要题型题型一：运用两边夹定理求下列极限：+ sin2 nTIT CO解：ZimV2 + 0 < lim\/2 + sin n n <+ 171T8 n->00 71T00由两边夹定理可知，该题的极限为1.题型二：求数列极限.x n = 9血［(1+号)(1+土)…"(1+忌)］求lim x nn—8解：因为ln(l+*) V*1"1+ £) +In (l + £) + ~ + ln(l+ £)<£ + * + ••. + £1 1 V 1 -------------- p • • • -12x1 n(n - 1)1 1 111 1 1 1 + 271+- + <^l) = 1 + 1-2 + 2-3 + '"- + ^l +n 1 =2--< 2 n lim x n = e 2 n-»oo第四节 1.定义： 设函数f(x)在区间(a,+oo)上有定义，入是常数。
若Vs > 0 , 3M > 0 , V% > M ,有忻%)-人| V £ ,则称函数f( X )当x-> +oo 时存在极 限或收敛，极限是A 或收敛于A 记作 lim /(X)= AX-»+oo 2.重点性质：唯一性，局部有界性，局部保序性 3.四则运算法则： (t )- limf(x) ./(x) = f —(3)x )t) 、) ] = M ) 土 既"x )； =lini/( A ) • limg(x)；4.两个重要极限：sinx lim ------- = 0XT O x lim fl + - x.5.主要题型 题型一：运用重要极限 求1丽迎耍 XTO X 原式=lim 迎sinx).四,令 x - 0.x —0 sinx-x原式=iimy.lim^=|x| = ly-0 y XTO X此题是对lim 竺堂=1的运用，在运用时要注意x 应趋向0.XT 。
X求 lim （1 + 里—）X —>oo \ %+3 /令 y=x+3-> oo ,原式=lim （1 + '）' •（!.+；）= e -1-3 = e 题型二：分子有理化求 lim ______F (A /1 + %2 -1)(71 +sin X -1)解：边+好_1〜;*2..... ___ 1 . 1 A/l + sinx-l~-Sinx~-X(sin x 一 tan x)( Jl + sin x +1)sin x(l ---- —)(J1 + sin x +1)= lim --------- ------------------------(寸1 + 妒一 i )sinx1 - COS X z R : --- 1、 ------------------- (Jl + sin x +1) = lim ——c°s* ------ :寸1 + / 一i-1 + cosx Jl + sinx + 1 —hm / ——x ------------5 寸 1 + 工2_] COSX_r "T 2 -lim — X —I 。
丈 1T=-3 原式=lim ..... ------ --------------- ---------------5 (寸1 + J —1)(71 +sin x -1)(71 +sin x +sin x - tan %第五节：无穷大和无穷小—. 无穷大1.无穷大的定义：设函数f(x)在X。
的某去心领域U(Xo )内有定义。
若VM > 0 , 38 > 0 , Vx : 0 < |x x0| < 5 ,有|f(x)| > M,则称函数f ( x )是无穷大(也称f ( x )在x°的极限是无穷大)，表示为lim f(x) — oo 或f ( x ) — oo ( x — X。
)。
XTXo2.性质：(1 )无穷大X无穷大=无穷大(2 )无穷大+有界=无穷大(3 )若f ( x ) ( x — X。
)是无穷小(无穷大)且f ( x ) A 0，则」一f(x) (X T X0 )是无穷大(无穷小)二.无穷小1.无穷小的定义：若lim f(x) = 0 ,则称函数f ( x )是当x — X。
时的无XTXo穷小。
可记作f(x) = o[l] ( x T Xo )2.无穷小的性质：(1 )无穷小+无穷小=无穷小(2 )无穷小x无穷小=无穷小(3 ) lim f(x) = A 〜f(x) = A + a(x)其中a( x )是无穷小(x t x° ) XTXo三.无穷小的比较1.无穷小阶的定义：设f ( x )与g ( x )都是无穷小，且g ( x ) 0 , Vx e U ( x0 )f ( X )(1 ) lim -------------- — 0，则称f(x)是当x — X。
时比g(x)高阶的无穷小XTXo g(x)记作f ( X ) =0 g ( X )f ( X )(2 ) K «------------- « L ( K , L 为正)，则称当x t X。
时f(x)g ( X )与g(x)是同价无穷小(3 ) lim " *)= 1 ,则称当x — X。
时f(x)与g(x)是等价无穷小XTXo g ( X )记作f ( x ) ~g ( x ) (x T Xo)(4 ) 若以X ( X T 0 )为标准无穷小，且f ( X )与xa是同阶无穷小，则称f ( x )是关于x的a阶无穷小。
2.无穷小替换定义：设f ( x ), g ( x ), h ( x )在X。
的去心领域有定义，且f ( x ) ~g ( x )( XTXO )(1 ) 若lim f(x)h(x) = A则lim g(x)h(x) = AX—Xo X—Xo(2 ) 若lim " M)— B 贝U lim ”危)—BXTX0 f ( x ) XTX0 g ( x )(注：只能替换乘除，不能替换加减)主要题型：-:用于求极限例1 ：求下列极限lim tanx-sinxsinx-sinxcosx 解:原式=limXT 。
1-sinx1 2 -X z =lim —— X —O X Z COSX_1—21 3 解：原式=lim§-X —°§X2罪=3应该掌握的几个常见等价无穷小：sinx 〜x , tanx 〜x , arctanx 〜xtanx-sinx~-x 3 , V1 + x~-x 2 ni 1 2 1-COSX 〜一x' 2第六节连续函数1. 连续函数的概念定义：设函数f(x)在U (X 。