离散数学结构 第5章 一阶逻辑等值演算与推理复习
05 一阶逻辑等值演算与推理
例
4
(3) C = xyL(x, y) (L(2, 2) L(2, 3)) (L(3, 2) L(3, 3)) (10) (01) 1.
例
4
(4) D = yxL(x, y) y(L(2, y)L(3, y)) (L(2, 2)L(3, 2)) (L(2, 3)L(3, 3)) (10) (01) 0. 一般地：y x L (x, y) x y L (x, y) 在实变函数上的应用举例
提 前 讲
证 只要证明在某个解释下两边的式子不等值.
(1)取解释 I: 个体域为 ; A(x) 为 x 是奇数; B(x) 为 x 是 偶数. 则 x(A(x) A(x)) 为真, 而 xA(x) xB(x) 为假.
(2)取解释 I 同(1), 则 x(A(x) B(x)) 为假, 而 xA(x) xB(x) 为真.
/quantifier elimination
3. 量词辖域收缩与扩张等值式
设 A(x) 含 x 的自由出现, 而 B 不含 x 的自由出现, 则
(1)
x(A(x)B) xA(x) B
x(A(x)B) xA(x) B x(A(x)B) xA(x) B x(BA(x)) B xA(x) (5.3)
/quantifier distribution
例 2
例2 证明 对 无分配律, 而 对 无分配律. (1) x(A(x)B(x)) xA(x) xB(x);
(2) x(A(x)B(x)) xA(x) xB(x),
其中 A(x), B(x) 含自由变元 x.
2、一阶逻辑中的基本等值式
第一组 代换实例 命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的 永真式, 因而命题逻辑中的等值式†给出的代换实例 都是一阶逻辑的等值式.
第五章+一阶逻辑等值演算与推理3
15
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
练习:在自然推理系统F中，构造下列推理的证明。
前提：∀x(F(x) ∨ G(x))， ⎤ ∃x G(x). 结论： ∃x F(x) . 证明：① ⎤ ∃x G(x) 前提引入 ② ∀x ⎤ G(x) ① 置换规则 ③ ⎤ G(a) ②UI ④ ∀x(F(x) ∨ G(x)) 前提引入 ⑤ F(a) ∨ G(a) ④UI ⑥ F(a) ③ ⑤析取三段论 ⑦ ∃x F(x) ⑥EG
3
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
(2) 由基本等值式生成的推理定律。例如： ∀x F(x) => ⎤ ⎤ ∀x F(x) ⎤ ⎤ ∀x F(x) => ∀x F(x) ⎤ ∀x A(x) => ∃x ⎤ A(x)
∃x ⎤ A(x) => ⎤ ∀x A(x) ……
4
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
(3) ∀x A(x)∨∀x B(x)=> ∀x (A(x)∨ B(x))① ③引入的顺序不可更改！
13
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
练习：试指出下面证明中的错误。
证明： ① ∀x (A(x)→B(x))
前提引入
① UI ② A(y)→B(y) 前提引入 ③ ∃x A(x) ④ A(y) ③EI ⑤ B(y) ②④假言推理 ⑥ ∀xB(x) ⑤UG 对∃x A(x)消去量词时，要求用特定的个体常项取代 x，而不能用变项y取代x，所以③到④有错。
证明：只要说明∃x A(x)→∃x B(x)为1时， ∃ x(A(x)→B(x))不为0即可。 （1）若有x使得A(x)为0，则∃ x(A(x)→B(x))为 1。 （2）若所有的x都使得A(x)为1，由∃x A(x)→∃x B(x为1得∃x B(x)为1，即有一个c使得B(c)为 1。因此A(c)→B(c)为1， ∃ x(A(x)→B(x))为 1。
离散数学 第5章 一阶逻辑等值演算与推理
例5.2 证明 （1） x(A(x)∨B(x)) <≠> xA(x)∨xB(x) （2） x(A(x)∧B(x)) <≠> xA(x)∧xB(x) 其中A(x)，B(x)为含x自由出现的公式。
证明
只要证明在某个解释下两边的式子不等值。
取解释I：个体域为自然数集合N； (1)取F(x)：x是奇数，代替A(x)； 取G(x)：x是偶数，代替B(x)。 则x(F(x)∨G(x))为真命题， 而xF(x)∨ xG(x)为假命题。 两边不等值。
1?xmxfx??xmxfx2?xfxgx??xfxgx3?x?yfxgyhxy??x?yfxgyhxy4?x?yfxgylxy??x?yfxgylxy1?xmxfx??xmxfx?xmxfx??xmxfx??xmxfx??xmxfx2?xfxgx??xfxgx?xfxgx??xfxgx??xfxgx??xfxgx3?x?yfxgyhxy??x?yfxgyhxy?x?yfxgyhxy??x?yfxgyhxy??x?yfxgyhxy??x?yfxgyhxy4?x?yfxgylxy??x?yfxgylxy?x?yfxgylxy??x?yfxgylxy??x?yfxgylxy??x?yfxgylxy??x?yfxgylxy一前束范式与命题公式的前束范式1
（3） ┐xy(F(x)∧G(y)→H(x，y)) xy(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y)) ┐xy(F(x)∧G(y)→H(x，y)) x┐(∀y(F(x)∧G(y)→H(x，y))) xy┐(┐(F(x)∧G(y))∨H(x，y)) xy(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y))
例5.4 给定解释I如下： （a）个体域 D＝{2,3} （b）D中特定元素: a 2 （c）D上的特定函数(x)为：f (2) 3，f (3) 2。 （d）D的特定谓词
一阶逻辑等值演算与推理课件(离散数学)分解
18
例题
(3)当个体域D={a,b}
xy( F ( x, y ) G( x, y ))
x((F ( x, a ) G( x, a )) ( F ( x, b) G( x, b)))
((F (a , a ) G(a , a )) ( F (a , b) G(a , b))) ((F (b, a ) G(b, a )) ( F (b, b) G(b, b)))
x( F ( x ) G( x ))
这句话相当于“有些学生没有上课”。
x( F ( x ) G( x ))
4
一、等值式的概念
定义：若AB为永真式，则称A与B是等 值的，记作 AB，并称AB为等值式。
其中A、B是一阶逻辑中任意的两个合式公
式。
5
二、基本等值式
1. 命题逻辑中16组基本等值式的代换实例
7
二、基本等值式
“并不是所有的人都是黄皮肤。” xA( x ) 这句话相当于 “有的人不是黄定等值式
xA( x ) xA( x ) xA( x ) xA( x )
8
二、基本等值式
4.
量词辖域收缩与扩张等值式
设A(x)是含x自由出现的公式，B中不含x的出现。 关于全称量词：
x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B
x(BA(x))BxA(x)
9
二、基本等值式
关于存在量词: x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
离散数学-第一部分-数理逻辑-第五章 一阶逻辑等值演算与推理
注意：对，对无分配律
5
量词分配等值式证明
设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则
（1）x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x) （2）x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨ xB(x)
置换规则、换名规则、代替规则
1. 置换规则
设(A)是含A的公式, 那么, 若AB, 则(A)(B).
2. 换名规则 设A为一公式，将A中某量词辖域中个体变项的所有约束 出现及相应的指导变元换成该量词辖域中未曾出现过的个 体变项符号，其余部分不变，设所得公式为A，则AA.
3. 代替规则 设A为一公式，将A中某个个体变项的所有自由出现用A中 未曾出现过的个体变项符号代替，其余部分不变，设所得 公式为A，则AA.
14
实例
解法二
xy(F(x)G(y)) x(F(x)yG(y))
辖域缩小等值式
x(F(x)G(a)G(b)G(c))
(F(a)G(a)G(b)G(c))
(F(b)G(a)G(b)G(c))
(F(c)G(a)G(b)G(c))
15
实例
(2) xyF(x,y) xyF(x,y)
x(F(x,a)F(x,b)F(x,c)) (F(a,a)F(a,b)F(a,c))
而
x(F(x)G(x))
x(F(x)y(G(y)H(x,y))) 不是前束范式，
17
前束范式存在定理
定理5.1（前束范式存在定理） 一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式
例4 求下列公式的前束范式 (1) x(M(x)F(x)) 解 x(M(x)F(x))
离散数学 第五章
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则定义5.1设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若A B是永真式，则称A与B 是等值的。
记做A B，称A B是等值式。
谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关等值式类似。
下面主要讨论关于量词的等值式。
一、基本等值式第一组代换实例由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。
例如：xF(x)┐┐xF(x)x y(F(x,y)→G(x,y))┐┐x y(F(x,y)→G(x,y))等都是(2.1)式的代换实例。
又如：F(x)→G(y)┐F(x)∨G(y)x(F(x)→G(y))→zH(z)┐x(F(x)→G(y))∨zH(z))等都是(2.1)式的代换实例。
第二组消去量词等值式设个体域为有限域D={a1,a2,…,a n}，则有(1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(a n)(2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(a n) (5.1)第三组量词否定等值式设A(x)是任意的含有自由出现个体变项x的公式，则(1)┐xA(x)x┐A(x)(2)┐xA(x)x┐A(x)(5.2)(5.2)式的直观解释是容易的。
对于(1)式，“并不是所有的x都有性质A”与“存在x没有性质A”是一回事。
对于(2)式，“不存在有性质A的x”与“所有x都没有性质A”是一回事。
第四组量词辖域收缩与扩张等值式设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则(1)x(A(x)∨B)xA(x)∨Bx(A(x)∧B)xA(x)∧Bx(A(x)→B)xA(x)→Bx(B→A(x))B→xA(x) (5.3)(2)x(A(x)∨B)xA(x)∨Bx(A(x)∧B)xA(x)∧Bx(A(x)→B)xA(x)→Bx(B→A(x))B→xA(x) (5.4)注意：这些等值式的条件。
第五组量词分配等值式设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则(1)x(A(x)∧B(x)）xA(x)∧xB(x)(2)x(A(x)∨B(x)）xA(x)∨xB(x) (5.5)二、基本规则1．置换规则设Φ(A)是含公式A的公式，Φ(B)是用公式B取代Φ(A)中所有的A之后的公式，若A B，则Φ(A)Φ(B).一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形式上完全相同，只是在这里A，B 是一阶逻辑公式。
第五章等值演算与推理
22
5.2 前束范式
例：求下面公式的前束范式
❖ x F(x) x G(x) x F(x) x G(x) x F(x) y G(y) x y (F(x) G(y))
23
5.2 前束范式
例：求下面公式的前束范式
x F(x,y) y G(x,y)
P80,12(4)
G(c)) ❖ x y F(x,y) y (F(a,y) F(b,y) F(c,y)) (F(a,a) F(b,a) F(c,a)) (F(a,b)
F(b,b) F(c,b)) (F(a,c) F(b,c) F(c,c))
16
5.1 等值式与置换规则
给定解释I如下：
❖ D={2, 3} ❖ a* = 2 ❖ f*(2) = 3, f*(3) = 2 ❖ F*(2) = F, F*(3) = T ❖ G*(2,2)=G*(2,3)=G*(3,2)=T,
解 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误. x(F(x)G(x)) 或 x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x))
量词否定等值式 置换
置换
12
实例
(2) 不是所有的人都爱看电影 解 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影.
该结论是错误的，原因在于
c不在Γ的任何公式出现
36
5.3 推理理论
全称量词引入规则(UG)，给定前提 Γ={A1,…,An} A(x) 结论：x A(x)
条件：
❖x不在Γ中任何公式自由出现
思考：假设Γ={F(x), F(x)G(x)}
❖Γ⊢ G(x) ❖是否有Γ⊢ x G(x)？
5.3 一阶逻辑推理理论
2．全称量词引入规则 ( 简记为 ． 简记为UG 规则或 规则或UG )
A( y) ∴∀xA( x)
该式成立的条件是： 该式成立的条件是： 取何值， （1）无论 A( y) 中自由出现的个体变项 y 取何值， ）
A( y)应该均为真. 应该均为真
中约束出现. （2）取代自由出现的 y 的 x 也不能在 A( y)中约束出现 ）
分别为命题逻辑中化简律和附加律的代换实例. 分别为命题逻辑中化简律和附加律的代换实例
第二组 由基本等值式生成的推理定律
上一节给出的两组等值式中的每个等值式可生成 两个推理定律. 两个推理定律 例如： 例如：
∀xF( x) ⇒ ¬¬∀xF( x) ¬¬∀xF( x) ⇒ ∀xF( x)
和
¬∀xF( x) ⇒ ∃x¬F( x)
在自然推理系统F 构造下面推理的证明： 例5.9 在自然推理系统 中，构造下面推理的证明： 任何自然数都是整数；存在着自然数 任何自然数都是整数；存在着自然数. 所以存在 着整数. 个体域为实数集合R. 着整数 个体域为实数集合 解 先将原子命题符号化 先将原子命题符号化. 为自然数， 为整数. 设 F( x): x为自然数， G( x): x为整数 前提： 前提： 结论： 结论：
（9） 析取三段论规则 ） 析取三段论规则. （10）构造性二难推理规则 ）构造性二难推理规则. （11）合取引入规则 ）合取引入规则. 规则. （12）UI规则 ） 规则 （13）UG规则 规则. ） 规则 规则. （14）EI规则 ） 规则 规则. （15）EG规则 ） 规则 F 中的推理过程类似命题演算自然推理系统 P.
∀x(F( x) →G( x)) F(c) →G(c) ∃xF( x) F(c)
前提引入 ①UI规则 规则 前提引入 ③EI规则 规则
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第5章一阶逻辑等值演算与推理主要内容1. 等值式与基本的等值式①在有限个体域中消去量词等值式②量词否定等值式③量词辖域收缩与扩张等值式④量词分配等值式2. 基本规则①置换规则②换名规则③代替规则3. 前束范式4. 推理理论①推理的形式结构②推理正确③构造证明④新的推理规则全称量词消去规则，记为UI全称量词引入规则，记为UG存在量词消去规则，记为EI存在量词引入规则，记为EG学习要求1. 深刻理解重要的等值式，并能熟练地使用它们。
2. 熟练地使用置换规则、换名规则和代替规则。
3. 准确地求出给定公式的前束范式（形式可不唯一）。
4. 正确地使用UI、UG、EI、EG规则，特别地要注意它们之间的关系。
5. 对于给定的推理，正确地构造出它的证明。
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则定义5.1设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若A B是永真式，则称A与B是等值的。
记做A B，称A B是等值式。
谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关等值式类似。
下面主要讨论关于量词的等值式。
一、基本等值式第一组代换实例由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。
例如：xF(x)┐┐xF(x)x y(F(x,y)→G(x,y))┐┐x y(F(x,y)→G(x,y))等都是(2.1)式的代换实例。
又如：F(x)→G(y)┐F(x)∨G(y)x(F(x)→G(y))→zH(z)┐x(F(x)→G(y))∨zH(z))等都是(2.1)式的代换实例。
第二组消去量词等值式设个体域为有限域D={a1,a2,…,a n}，则有(1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(a n)(2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(a n) (5.1)第三组量词否定等值式设A(x)是任意的含有自由出现个体变项x的公式，则(1)┐xA(x)x┐A(x)(2)┐xA(x)x┐A(x) (5.2)(5.2)式的直观解释是容易的。
对于(1)式，“并不是所有的x都有性质A”与“存在x没有性质A”是一回事。
对于(2)式，“不存在有性质A的x”与“所有x都没有性质A”是一回事。
第四组量词辖域收缩与扩张等值式设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则(1)x(A(x)∨B)xA(x)∨Bx(A(x)∧B)xA(x)∧Bx(A(x)→B)xA(x)→Bx(B→A(x))B→xA(x) (5.3)(2)x(A(x)∨B)xA(x)∨Bx(A(x)∧B)xA(x)∧Bx(A(x)→B)xA(x)→Bx(B→A(x))B→xA(x) (5.4)注意：这些等值式的条件。
第五组量词分配等值式设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则(1)x(A(x)∧B(x)）xA(x)∧xB(x)(2)x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x) (5.5)二、基本规则1．置换规则设Φ(A)是含公式A的公式，Φ(B)是用公式B取代Φ(A)中所有的A之后的公式，若A B，则Φ(A)Φ(B).一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形式上完全相同，只是在这里A，B 是一阶逻辑公式。
2．换名规则设A为一公式，将A中某量词辖域中某约束变项的所有出现及相应的指导变元改成该量词辖域中未曾出现过的某个体变项符号，公式的其余部分不变，设所得公式为A'，则A' A.3．代替规则设A为一公式，将A中某个自由出现的个体变项的所有出现用A中未曾出现过的个体变项符号代替，A中其余部分不变，设所得公式为A'，则A' A.三、等值演算例将下面公式化成与之等值的公式，使其没有既是约束出现又是自由出现的个体变项。
(1)xF(x,y,z)→yG(x,y,z)(2)x(F(x,y)→yG(x,y,z))解(1)xF(x,y,z)→yG(x,y,z)tF(t,y,z)→yG(x,y,z) (换名规则)tF(t,y,z)→wG(x,w,z) (换名规则)原公式中，x，y都是既约束出现又有自由出现的个体变项，只有z仅自由出现。
而在最后得到的公式中，x，y，z，t，w中再无既是约束出现又有自由出现个体变项了。
还可以如下演算，也可以达到要求。
xF(x,y,z)→yG(x,y,z)xF(x,t,z)→yG(x,y,z) (代替规则)xF(x,t,z)→yG(w,y,z) (代替规则)(2)x(F(x,y)→yG(x,y,z))x(F(x,t)→yG(x,y,z)) (代替规则)或者x(F(x,y)→yG(x,y,z))x(F(x,y)→tG(x,t,z)) (换名规则)例5.2证明(1)x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)(2)x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)其中A(x)，B(x)为含x自由出现的公式。
证(1)只要证明在某个解释下两边的式子不等值。
取解释I：个体域为自然数集合N；取F(x)：x是奇数，代替A(x)；取G(x)：x是偶数，代替B(x). 则x(F(x)∨G(x))为真命题，而x F(x)∨x G(x)为假命题。
两边不等值。
对于(2)可以类似证明。
例5.2说明，全称量词""对"∨"无分配律。
同样的，存在量词""对"∧"无分配律。
但当B(x)换成没有x出现的B时，则有x(A(x)∨B)xA(x)∨Bx(A(x)∧B)xA(x)∧B这是式(5.3)和式(5.4)中出现的两个等值式。
例5.3设个体域为D＝{a,b,c}，将下面各公式的量词消去：(1)x(F(x)→G(x))(2)x(F(x)∨yG(y))(3)x yF(x,y)解(1) x(F(x)→G(x))(F(a)→G(a))∧(F(b)→G(b))∧(F(c)→G(c))(2) x(F(x)∨yG(y))xF(x,a)∨yG(y) (公式5.3)(F(a)∧F(b)∧F(c))∨(G(a)∨G(b)∨G(c))如果不用公式(5.3)将量词的辖域缩小，演算过程较长。
注意，此时yG(y)是与x无关的公式B.(3) x yF(x,y)x(F(x,a)∧F(x,b)∧F(x,c))(F(a,a)∧F(a,b)∧F(a,c))∨(F(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c))∨(F(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c))在演算中先消去存在量词也可以，得到结果是等值的。
例5.4给定解释I如下：（a）个体域D＝{2,3}.（b）D中特定元素=2（c）D上的特定函数(x)为：(2)=3,(3)=2 .（d）D上的特定谓词(x,y)为：(2,2)=(2,3)=(3,2)=1,(3,3)=0。
(x,y)为：(2,2)=(3,3)=1,(2,3)=(3,2)=0。
(x)为：(2)=0，(3)=1.在I下求下列各式的真值。
(1)x(F(x)∧G(x,a))(2)x(F(f(x))∧G(x,f(x)))(3)x yL(x，y)(4)y xL(x，y)解设以上公式分别为A，B，C，D(1) A(F(2)∧G(2,2))∧(F(3)∧G(3,2))(0∧1)∧(1∧1)0(2) B(F(f(2))∧G(2,f(2)))∨(F(f(3))∧G(3,f(3)))(F(3)∧G(2,3))∨(F(2))∧G(3,2))(1∧1)∨(0∧1) 1(3) C(L(2,2)∨L(2,3))∧(L(3,2)∨L(3,3))(1∨0)∧(0∨1) 1(4) D y(L(2,y)∧L(3,y))(L(2,2)∧L(3,2))∨(L(2,3)∧L(3,3))(1∧0)∨(0∧1)0由(3)，(4)的结果进一步可以说明量词的次序不能随意颠倒。
5.2 一阶逻辑的前束范式一、一阶逻辑公式的标准形——前束范式定义5.2设A为一个一阶逻辑公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2…Q k x k B则称A为前束范式，其中Q i(1≤i≤k)为或，B为不含量词的公式。
例如，x y(F(x)∧G(y)→H(x，y))x y z(F(x)∧G(y)∧H(z)→L(x，y，z))等公式都是前束范式，而x(F(x)→y(G(y)∧H(x，y)))x(F(x)∧y(G(y)→H(x，y)))等都不是前束范式。
可证明每个一阶逻辑公式都能找到与之等价的前束范式。
定理5.1 (前束范式存在定理)一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式。
下面用一阶逻辑的等值演算求前束范式。
例5.6求下面公式的前束范式：(1)xF(x)∧┐xG(x)(2)xF(x)∨┐xG(x)解(1)xF(x)∧┐xG(x)xF(x)∧┐yG(y) (换名规则)xF(x)∧y┐G(y) ((5.2)第二式)x(F(x)∧y┐G(y)) ((5.3)第二式)x y(F(x)∧┐G(y)) ((5.3)第二式)或者xF(x)∧┐xG(x)xF(x)∧x┐G(x) ((5.2)第二式)x y(F(x)∧┐G(x)) ((5.5)第一式)由此可知，(1)中公式的前束范式是不唯一的。
另外，y x(F(x)∧┐G(y))也是(1)中公式的前束范式。
(2)xF(x)∨┐xG(x)xF(x)∨x┐G(x) ((5.2)第二式)xF(x)∨y┐G(y) (换名规则)x(F(x)∨y┐G(y)) ((5.3)第一式)x y(F(x)∨┐G(x)) ((5.3)第一式)5.3 一阶逻辑推理理论5.1节给出了等值演算理论，本节进一步讨论推理理论。
一、推理定律第一组命题逻辑推理定律的代换实例。
例如：xF(x)∧yG(y)xF(x)xF(x)xF(x)∨yG(y)∨…分别为命题逻辑中化简律和附加律的代换实例。
第二组由基本等值式生成的推理定律。
上一节给出的两组等值式中的每个等值式可生成两个推理定律。
例如：xF(x)┐┐xF(x)┐┐xF(x)xF(x)和┐xF(x)x┐F(x)x┐F(x)┐xF(x)分别由双重否定律和量词否定等值式生成。
第三组还有下面各重要推理定律。
例如：(1)xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))(2)x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)(3)x(A(x)→B(x))x A(x)→x B(x)(4)x(A(x)→B(x))xA(x)→xB(x)二、推理规则1．全称量词消去规则(简记为UI规则或UI)两式成立的条件是：（1）在第一式中，取代x的y应为任意的不在A(x)中约束出现的个体变项。
（2）在第二式中，c为任意个体变项。
（3）用y或c去取代A(x)中自由出现的x时，一定要在x自由出现的一切地方进行取代。
2．全称量词引入规则(简记为UG规则或UG)该式成立的条件是：（1）无论A(y)中自由出现的个体变项y取何值，A(y)应该均为真。