切比雪夫插值节点
切比雪夫多项式的应用
4 3.5 3 2.5 2
←f(x)
1.5 1 0.5
→L3(x)
0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
对于连续函数 g ( x) = x 20 , e x , sin(5πx), e − x sin(2πx) ，分别绘出 n = 10,13,20,21 次拉格朗日 插值多项式 Ln ( x) 的图像和原函数的图像如图 1-4 所示
>> k=0:1:10; >> X=cos((2*k+1)*pi/22); >> %求出 10 次切比雪夫多项式的零点 syms x >> F=inline('x.^20'); >> %要插值的原函数 f(x)=x.^20 >> t=linspace(-1,1,100000); >> yt=F(t); y=F(X); yi=interp1(X,y,t,'language'); plot(t,yt,'r--',t,yi,'k-')
k=0:1:20; X=cos((2*k+1)*pi/42); syms x >> F=inline('sin(5*pi*x)'); %要插值的原函数 f(x)=sin(5*pi*x) t=linspace(-1,1,100000); yt=F(t); y=F(X); yi=interp1(X,y,t,'language'); plot(t,yt,'r--',t,yi,'k-')
Rn ( x ) =
1 f ( n +1) (ξ x )ω n ( x) (n + 1)!
3.2.4 切比雪夫多项式零点插值
主讲: 施明辉 厦门大学
定理 6 在-1≤x ≤1 上，在首项系数为 1 的一切 n 次多项式 Hn (x)中
T~n
(x)
=
1 2 n −1
Tn
(x)
与零的偏差最小，且其偏差为 1 2 n−1
即，对于任何 p(x) ∈ H n (x) ，有
1 2 n −1
=
max
−1< x<1
T~n
(x)
−1< x<1
x0 )LL(x −
xn )
=
1 2n
取得极小，亦即只要插值节点 xk 取成 n + 1 次切比雪夫多项式的零点
xk
= cos(2k
+ 1) π 2(n + 1)
(k = 0, 1, 2, L, n)
则插值公式的余项在全区间[-1, 1]上的最大绝对值为极小，此时，有余项公式：
f
(x)
−
0
≤ max p(x) − 0 −1< x<1
从这个定理知，所有首项系数为 1 的 n 次多项式在区间[-1, 1]上的最大值满足
max
−1< x<1
p(x)
≥
1 2 n−1
该定理称为切比雪夫多项式的极性，这种极性也是切比雪夫多项式的一种重要性质。
作为应用，介绍一下多项式插值余项的极小化。
3.2.4 切比雪夫多项式零点插值
x= a+b+b−at 22
把函数变换成
f (x) = f ⎜⎛ a + b + b − a t ⎟⎞ = g(t)
⎝2
2⎠
其中 -1≤t ≤1，即可将定义在区间[a,b]上的函数 f (x)化为新变量 t 的定义在区间[-1, 1]上
插值MATLAB实现(牛顿差商插值误差龙格现象切比雪夫插值)
插值MATLAB实现（牛顿差商插值误差龙格现象切比雪夫插值）插值是数值分析中的一种方法，通过已知数据点的函数值来估计函数在其他点的值。
MATLAB提供了多种方法来实现插值，包括牛顿差商插值、插值误差分析、龙格现象和切比雪夫插值。
下面将详细介绍这些方法的实现原理和MATLAB代码示例。
1.牛顿差商插值：牛顿差商插值是一种基于多项式插值的方法，其中差商是一个连续性的差分商。
该方法的优势在于可以快速计算多项式的系数。
以下是MATLAB代码示例：```matlabfunction [coeff] = newton_interpolation(x, y)n = length(x);F = zeros(n, n);F(:,1)=y';for j = 2:nfor i = j:nF(i,j)=(F(i,j-1)-F(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1));endendcoeff = F(n, :);end```该代码中，输入参数x和y分别表示已知数据点的x坐标和y坐标，返回值coeff表示插值多项式的系数。
2.插值误差分析：插值误差是指插值函数与原始函数之间的差异。
一般来说，通过增加插值节点的数量或使用更高次的插值多项式可以减小插值误差。
以下是MATLAB代码示例：```matlabfunction [error] = interpolation_error(x, y, x_eval)n = length(x);p = polyfit(x, y, n-1);y_eval = polyval(p, x_eval);f_eval = sin(pi*x_eval);error = abs(f_eval - y_eval);end```该代码中，输入参数x和y分别表示已知数据点的x坐标和y坐标，x_eval表示插值节点的x坐标，error表示插值误差。
3.龙格现象：龙格现象是插值多项式在等距插值节点上错误增长的现象。
切比雪夫多项式零点证明
切比雪夫多项式零点证明切比雪夫多项式（Chebyshev polynomial）是一类在数学中具有重要应用的特殊多项式。
在实分析和数值计算中，切比雪夫多项式的零点分布具有独特的性质，可以用于插值、逼近和优化等领域。
本文将详细介绍切比雪夫多项式的零点证明。
首先，我们来定义切比雪夫多项式。
切比雪夫多项式可以用递归的方式定义，如下：T0(x) = 1T1(x) = xTn(x) = 2xTn-1(x) - Tn-2(x) (n ≥ 2)切比雪夫多项式的零点通常被称为切比雪夫节点。
切比雪夫多项式的第n个零点可以表示为：xk = cos(π(k + 0.5)/n) (0 ≤ k < n)为了证明这一结论，我们可以通过数学归纳法来进行证明。
首先，我们可以验证n=1和n=2的情况，这是基本情况。
当n=1时，切比雪夫多项式为T1(x) = x，其零点为x0 = 0，与结论一致。
当n=2时，切比雪夫多项式为T2(x) = 2x^2 - 1，其零点为x0 = -1/√2 和x1 = 1/√2，也与结论一致。
接下来，我们假设对于任意的n≥2，切比雪夫多项式的零点公式成立。
我们要证明对于n+1的情况，也能得到相应的结论。
假设切比雪夫多项式Tn(x)的零点为x0, x1, ..., xn-1。
我们定义新的多项式Un(x) = Tn(x) - λ，其中λ为待确定的常数。
根据切比雪夫多项式的递推关系，我们有：Un+1(x) = 2xUn(x) - Un-1(x)假设Un(x)有m个零点，我们用y0, y1, ..., ym-1来表示。
因为Un(x) = Tn(x) - λ，所以Un(x)的零点与Tn(x)的零点相同。
我们还可以得到：Un+1(yi) = 2yiUn(yi) - Un-1(yi) = 0现在，我们来确定λ的值，使得Un+1(x)的零点为切比雪夫多项式Tn+1(x)的零点。
我们假设Un(x)的零点在[-1,1]之间，因为切比雪夫多项式的定义域为[-1,1]。
数值分析实验报告--实验2--插值法
1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。
实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。
(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。
(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。
1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。
1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。
Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。
可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。
高中数学竞赛切比雪夫(Chebyshev)多项式知识整理-教学文档
方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cos n α都是关于2cos α的首项系数为1的、次数等于α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到cos n α的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式．在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cos n α是众所周知的偶函数，它的倍角公式如：2cos 22cos 1αα=- ，(1)3cos34cos 3cos ααα=-． (2)它们都是由余弦cos α的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos α的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得42cos 48cos 8cos 1ααα=-+ ，(3)53cos516cos 20cos 5cos αααα=-+ ．(4)观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos α的首系数为1的、次数等于公式左边α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测2cos n α也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．猜想2,02cos (1)(2cos )m n m n m m n a αα-==-∑，(;n N m N +∈∈) (5)(5)式可改写为：n/312112cos (2cos )(1)(2cos )ent n mm n m n m m n n C mααα----==+-∑ ，(9) (9)式称为n 倍角余弦公式．12424cos 2(cos )(cos )(cos )n n n n n n n αααααα-----=-++…，其中i α为正整数． 因为余弦cos α在[]0,απ∈上单调，对应值为1降到1-，即cos α[]1,1∈-，[]0,απ∈ ．因此存在反函数，若令cos x α=，则arccos x α=，[]1,1x ∈-，[]0,απ∈．因此，在余弦n 倍角公式中令arccos x α=，[]0,απ∈，[]1,1x ∈-，则倍角公式为于是cos(arccos )n x 首项系数为12n -的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x 的幂依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零．若记cos(arccos )n x =()n T x ，则()n T x 满足，12()2()()n n n T x xT x T x --=-，()n T x 称为切比雪夫多项式．从递推关系可以得到：第一类切比雪夫多项式有许多良好的性质，例如：1．(cos )cos(),,n T n R n N θθθ=∈∈．(分析：令cos x θ=，arccos x θ=) 2．()(1)()n n n T x T x -=-，,x C n N ∈∈．这表明()n T x 当n 为奇(偶)数时是奇(偶)函数．3．()1,,1n T x x R x ≤∈≤．4．21(0)0m T +=，2(0)(1),m m T m N =-∈．5．函数列{}()n T x 的生成函数为（分析：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．）6．函数列{}()n T x 满足2阶递推关系（分析：由三角恒等式cos(1)cos(1)2cos cos n n n θθθθ++-=）最小偏差切比雪夫在1857年提出这样一个问题：在最高项系数为1的n 次多项式中，寻求在区间[]1,1-上与零的偏差最小的多项式．换句话说，就是寻求[]1,1n x C ∈-在1n H -中的最佳一致逼近多项式1()n P x *-，这里定理 在区间[]1,1-上所有最高项系数为1的多项式中，与零的偏差最小，其偏差为112n -． ()n U x 称为第n 个第二类切比雪夫多项式，前7个第二类切比雪夫多项式为： 第二类切比雪夫多项式也有许多良好的性质，例如：1．()(1)(),,n n n U x U x x C n N -=-∈∈．即当以为奇(偶)数时是奇(偶)函数． 2．21(0)0m U +=，2(0)(1)m m U =-，(1)1n U n =+,(1)(1)(1)n n U n -=-+，m N ∈．3．函数列{}()n U x 的生成函数为4．()1,,1n U x n x R x ≤+∈≤．5．函数列{}()n U x 满足2阶递推关系两类切比雪夫多项式的关系定理1设()n T x 和()n U x 分别为第一类和第二类切比雪夫多项式，0n ≥为整数，则证明 由两类切比雪夫多项式的定义得而则比较式在子两边n t 项的系数，即有4切比雪夫多项式的应用4.1切比雪夫多项式插值切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用．这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值．相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近． 切比雪夫多项式插值法：定理：设01,,x x …,n x 为区间[],a b 上1n +个互不相同的点，[]1(),n f x C a b +∈，则对任何[],x a b ∈,存在[]01,,,x n x x x ξ∈，使得拉格朗日插值余()()()n R x f x L x =-，满足其中插值多项式的余项极小化：要使拉格朗日插值多项式()n L x 尽量逼近()f x ，就要使余项()n R x 尽量小．在 ()n R x 中，()f x 是固定的，而 x ξ又是未知数，所以要减小()n R x ，只有恰当选择节点集，使得在插值区间内余项的最大值为极小值．为了应用切比雪夫多项式，首先应将插值区间[],a b ,通过简单变换归一化到区间[−1,1],做变换()12k k z b a x b a =-++⎡⎤⎣⎦ 所以插值节点应取为()121cos 222k k z b a b a n π+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦. 其中0,1,2,,1k n =-，所以下面我们只需要讨论区间[−1,1]上的函数的切比雪夫插值法： 当取定第一类切比雪夫点21cos ,0,1,2,,22k k x k n n π+==+后，令()1111max n n x M f x ++-≤≤=，则有()()11max 1max (1)!2(1)!n n n n x R x M M n n ++=≤++∏，故切比雪夫插值法可以使得余项的最大值极小化，得到较佳逼近多项式.。
精选-高中数学竞赛切比雪夫(Chebyshev)多项式知识整理-文档
则对任何 x a,b ,存在 x x0 , x1, , xn ，使得拉格朗日插值余 Rn x f x L x ，
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满足 其中 插值多项式的余项极小化：
要使拉格朗日插值多项式 Ln x 尽量逼近 f x ，就要使余项 Rn x 尽量 小．在 Rn x 中， f x 是固定的，而 x 又是未知数，所以要减小 Rn x ，只 有恰当选择节点集， 使得在插值区间内余项的最大值为极小值． 为了应用切比雪
夫多项式，首先应将插值区间 a, b ,通过简单变换归一化到区间 [-1,1], 做变换
函数．
3． Tn (x) 1, x R, x 1 ． 4． T2m 1 (0) 0 ， T2m (0) ( 1) m, m N ．
5．函数列 Tn (x) 的生成函数为
（分析：生成函数又叫母函数， 在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数， 其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息． 使用母函数解决问题的方法称为 母函数方法． 母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来， 把离散数列 间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系， 最后由幂级数形式来确定离散 数列的构造． 母函数是解决组合计数问题的有效工具之一， 其思想方法是把组合 问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．）
6．函数列 Tn (x) 满足 2阶递推关系 （分析：由三角恒等式 cos(n 1) cos(n 1) 2cos n cos ）
最小偏差 切比雪夫在 1857年提出这样一个问题：在最高项系数为 1的n次多项式
中，寻求在区间 1,1 上与零的偏差最小的多项式．换句话说，就是寻求 xn C 1,1 在 H n 1中的最佳一致逼近多项式 Pn 1( x) ，这里
切比雪夫插值节点
Chebyshev多项式(page59) n阶切比雪夫多项式: Tn(x)=cos(n arccosx)
当n 0时，T0 ( x) 1; 当n 1时，T1 ( x) cos(arccos x) x; 当n 2时，T2 ( x) cos(2arccos x)
1
0 .5
0
-0 . 5 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
6/18
5
1 f ( x) 例1. 函数 x ∈ [-5, 5] 2 1 x 取等距插值结点: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 f (11) ( n ) f ( x ) L10 ( x ) 11 ( x )
11 !
11(x)=(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
y arccos x
cos(2 y) 2cos 2 y 1 2 x 2 1;
n阶切比雪夫多项式: Tn(x)=cos(n arccosx)
性质1：Tn+1 ( x) 2 xTn ( x) Tn 1 ( x); 性质2： deg(Tn ( x)) n, 且首项系数是2 ; 性质3：Tn ( x)在[-1,1]上的最大绝对值是1. 性质4：Tn ( x)的n个零点全部位于[-1,1]，且 i xi cos( ), i 1,3,..., 2n 1. 2n
11(x)
4/18
在[-5, 1) xk 5 cos( ) ( k=10, 9, 8, · · · , 1, 0 ) 22
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1(x) 0 1
1(x) 0 0
1( x) 0 0
1( x) 0 1
9/18
两点Hermite插值的误差估计式
R( x)
f (x) H3(x)
f
(4) (
4!
)
[(
x
x0
)(
x
x1
)]2
证明: 由插值条件知
R(x0)=R’(x0)=0, R(x1)=R’(x1)=0
取 x 异于 x0 和 x1, 设
max
a xb
|
n1
(
x)
|
min
结论: 切比雪夫多项式Tn+1(x)的全部零点。
2/18
f(x)∈C[–1, 1], 令 x = cos , 则有 [–1, 1] [0, ]
将g( ) = f(cos )展开成余弦级数
g(
)
1 2
a0
n1
an
cos
n
n+1阶切比雪夫多项式: Tn+1=cos(n+1)
F (t ) f (t ) H (t ) C( x)(t x0 )2 (t x1 )2
F (4) ( ) f (4) ( ) C( x)(4!) 0
f (4) ( )
C(x)
4!
R( x) C( x)( x x0 )2 ( x x1 )2
f
(4) (
4!
)
[(
x
x0
)(
x
x1 )]2
x1
y1
m1
7/18
例2. 已知插值条件:
x
0
1
求3次插值函数.
H(x)
0
1
H’(x)
0
0
解:设 H ( x) a0 a1x a2 x2 a3 x3
得 a0=0, a1=0, 列出方程组 求解, 得
a2a2 2a33 a31 0
a2 = 3 , a3 = – 2 1 0.8
所以,有
0.6
0.4
cos = x 代入得 Tn+1( x ) = cos((n+1) arccos x )
取 (n 1)arccos x (2k 1) ( k=0,1,···,n )
2
即
xk
cos((2k 1)
2(n 1)
)
——切比雪夫结点
3/18
例1. 函数
1
f ( x) 1 x2 x∈[-5, 5]
(2k 1)
xk 5cos( 22 )
( k=10, 9, 8, ···, 1, 0 )
-4.9491 -4.5482 -3.7787 -2.7032 -1.4087 0.0000 1.4087
2.7032 3.7787 4.5482 4.9491
11(x)=(x – x0)(x – x1)(x – x2)······(x – x10)
12/18
分段三次Hermite插值
取 a≤x0<x1<······<xn≤b,已知函数值和导数值 yj=f (xj), mj = f ’(xj) ( j= 0,1,2,···,n)
当 x∈[xj，xj+1]时, 两点Hermite插值
Hh(x)
(1
2
x xj x j1 x j
)(
x j1 x x j1 x j
11(x)
5/18
插值函数L10(x)取 切比雪夫结点插值
插值函数L10(x)取 等距结点插值
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
2-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
1.5
1
0.5
0
-0.5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4 65/18
三次Hermite插值问题
已知节点x0和x1处的函数值及导数值
11/18
分段线性插值
插值节点满足: x0<x1<······<xn 已知 yj=f (xj) ( j= 0,1,2,···,n)
x∈[xj，xj+1]时, 线性插值函数
Lh( x)
x j1 x x j1 x j
yj
x xj x j1 x j
y j1
( j= 0,1,···,n-1)
······ ····
拉格朗日插值余项
取插值结点: a≤x0＜x1＜······＜xn≤b
满足Ln(xk)=f(xk)的 n 次多项式插值余项
Rn ( x)
f ( x) Ln ( x)
f (n1) (n
( n
1)!
)
n1
(
x
)
其中, n1( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
选取: x0, x1 ,······, xn , 使
2
x x1
x0 x0
)(
x1 x1
x x0
)2
0
(
x)
(
x
x0
)(
x1 x1
x x0
)2 .
1(
x)
(1
2
x1 x x1 x0
)(
x x1
x0 x0
)2
1(
x)
(
x
x1
)(
x x1
x0 x0
)2
x
x0 x1
x x0 x1
0(x) 1 0 0 ( x) 0 0
0(x) 0 0 0( x) 1 00.2Biblioteka H(x) = 3x2– 2x3
0
= (3 – 2x)x2
-0.2
-0.4
-0.6 -0.4
-0.2
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4 1.6
8/18
利用基函数表示Hermite插值
H ( x) y00 ( x) y11( x) m00 ( x) m11( x)
0(
x)
(1
R( x) C( x)( x x0 )2 ( x x1 )2
利用 f(x) – H(x)=C(x)(x – x0)2(x – x1)2
构造辅助函数
F (t ) f (t ) H (t ) C( x)(t x0 )2 (t x1 )2
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显然,F(t)有三个零点x0, x, x1,由Roll定理知,存 在F’(t)的两个零点t0,t1满足x0<t0<t1<x1,而x0和 x1也是F’(x)的零点,故F’(x)有四个相异零点. 反复应用Roll定理,得F(4)(t)有一个零点设为ξ
f ( x0 ) y0 f ( x1 ) y1 f ( x0 ) m0 f ( x1 ) m1 求三次插值函数
H(x)= a0 + a1x + a2x2 + a3x3 满足插值条件 H ( x j ) y j H ( x j ) m j (j = 0,1)
x
x0
H(x)
y0
H’(x)
m0
)2
yj
(1
2
x j1 x x j1 x j
)(
x xj x j1 x j
取等距插值结点: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
f ( x) L10 ( x)
f
(11) ( n
11 !
)
11 (
x)
11(x)=(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
11(x)
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在[-5, 5]区间上,取11个切比雪夫结点