3.差分与等距节点的插值公式解析
差分与等距节点newton插值
计算x0点附近的值
f
[x0 , x1 ,, xk ]
k f0 k!hk
14
k 1
k 1
k 1
k (x) (x xj ) (x0 th x0 jh) (t j)h
j 0
j0
j0
则插值公式
n
Nn(x) f0 f [x0 , x1 ,, xk ]k (x) k 1
化为
Nn( x) f ( x0 ) f [x0, x1]( x x0 )
f [x0, x1, xn ]( x x0 )( x x1)( x xn1)
f0
1 h f0(x
x0)
2 f0 2!h2
(x
x0 )( x
x1)
n f0 n!hn
(0.00083) 0.54711
2019/12/14
23
例3 给出 f (x) cos x 在 xk kh, k 0,1,,6, h 0.1 处的函数值，试用4次等距节点插值公式计算 f (0.048) 及 f (0.566) 的近似值并估计误差.
解 根据题意，插值条件为
4!
0.00044
0.00876
0.0502.2949885. 26
由余项公式（4.11）得误差估计
R4 (0.048)
M5 5!
t(t 1)(t 2)(t 3)(t 4) h5
1.5845107 ,
Rn其(x中) Mt(t5(1n)sin1()t!0.6n)h0n.51 f6(5n.1) ( ), (x0, xn ). （4.11）
2 fk fk 1 fk 为f (x)在 xk 处的二阶向前差分
计算方法第三章(插值法)解答
Aitken（埃特肯）算法 N 0,1,,k , p ( x) L( x) N 0,1,,k ( x)
N 0,1,,k 1, p ( x) N 0,1,,k ( x) x p xk
Neville（列维尔）算法
( x xk )
Ni ,i 1,,k ( x) L( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) Ni 1,i 2,k ( x) Ni ,i 1,,k 1 ( x) xk xi ( x xi )
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 )
容易求出，该函数为：
x x0 x x1 y y0 y1 x0 x1 x1 x0
一般插值问题：求过n+1个点
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),,( xn , yn )
的不超过n次多项式 Ln ( x )。
Ln ( x) yi li ( x )
例子：求方程 x3-2x-5=0 在(2 , 3)内的根 思路: 设 y = f(x) =x3-2x-5 ，其反函数为 x=f -1(y)，则 根为x* =f -1(0) 。先用3= f -1(16)， 2= f -1(-1)插值，得 N0,1 (y) ≈f -1(y), 计算N0,1 (0)= 2.058823, f(2.058823) = -0.39 ，以-0.39为新的节点，继续……
第三章 插值法
第一节 插值多项式的基本概念
假设已经获得n+1点上的函数值
f xi yi , i 0,1,, n,
即提供了一张数据表
x
y f x
x0
y0
x1
y1
x2
xn
y2
第三章 2等距节点插值和差分
§2 等距节点插值和差分摘要：在等距节点情况下，通过使用差分可减少Newton 插值公式的计算量。
本节首先介绍等距节点下的差分公式、差分与差商之间关系，根据待估值点x 的位置不同，引入表初公式、表末公式和Bessel 公式，最后说明在使用差分计算插值时需注意的两点：（1）不宜用高阶差分公式；（2）差分公式是一个不稳定的计算公式。
等距节点：1,1,2,,i i x x h i n +-==，h 称为步长2.2.1 差分概念一阶差分：()()()1i i i f x f x f x +∆=- 二阶差分：()()()21i i i f x f x f x +∆=∆-∆ … … … …k 阶差分：()()()111k k k i i i f x f x f x --+∆=∆-∆()()()()()()()()()123110231(1)(1)ki i k i k i k i k k k i i kk jk j j k k f x f x kf x f x x kf x f x k f x j ++-+-+--+-+=⎛⎫⎛⎫∆=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑2.2.2 差分与差商关系定理2.2.1 在等距节点的情况下 ()()1121,,,,!k k k k f x f x x x x h k +∆=.利用归纳法证明这个公式是在Newton 公式中使用差商的基础 2.2.3 差分表()()()()()()()()()()()()()()()11221233212344321234554321x f x x f x f x x f x f x f x x f x f x f x f x x f x f x f x f x f x ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆2.2.4 根据待估值点x 的位置不同选择不同的计算公式 给定等距节点组：{}12,,,n x x x● 表初公式：如果x 在节点中最小的那个节点附近 节点选取：1213111,,2,,.k x x x h x x h x x kh +=+=+=+x 的表示：1x x ph =+牛顿公式：()(1)(1)(1)2111112!!10.p p p p p k k k kjj P x ph f p f f f p f j --⋅⋅-+=+=+∆+∆++∆⎛⎫=∆ ⎪⎝⎭∑例2.2.1 有函数表x 0.5 0.6 0.7 0.8 f(x) 0.4794 0.5646 0.6442 0.7174 求f(0.54).解：差分表(1)(1)(2)23!0.540.5,0.1,0.4(0.54)0.47940.0852(0.0056)(0.0008)0.5142p p p p p x ph h p P p ---==+===+⨯+-+-=● 表末公式：如果x 在最大节点附近 节点选取与编号：010200(max),,2,,.k x x x h x x h x x kh ---=-=-=-x 的表示：0x x ph =-牛顿公式：()()(1)(1)(1)200122!!0()(1)1.p p p p p k kk kk kjjj j P x ph f x p f f f p f j --⋅⋅-+----=-=-∆+∆++-∆⎛⎫=-∆ ⎪⎝⎭∑● 贝塞尔(Bessel)公式：如果x 在中间节点附近 节点选取与编号：121012,,,,,,,,k k k x x x x x x x -+-+-第一种组序：01122(1),,,,,,k k x x x x x x x ----，Newton 公式1：()1121200011212k k j jj j j j p j p j P x ph f f f j j --+--==++-⎛⎫⎛⎫+=+∆+∆ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑∑ 第二种组序：()10211,,,,,,k k x x x x x x ---Newton 公式2：()112120110111212k k j jj j j j p j p j P x ph f f f j j --+--+==+-+-⎛⎫⎛⎫+=+∆+∆ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑∑ Bessel 公式：（Newton1+Newton2）/2()12101002211111/222211.22k j j j j jk j j j p j f f p P x ph f j j f f p j j -+-=---+=+-⎛⎫+-+=+∆+ ⎪+⎝⎭∆+∆+-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑Bessel 公式适合计算01,01x x x p <<<<，特别是12p =.()2244011021102132821282f f f f f f P x h ---+∆+∆∆+∆+=-++ 例 2.2.2 表2.10求()f 0.525Bessel 公式的截断误差：取2n 个节点()()22(2)22(1)11111(1),2!2222n n n nf R x n n h n x x ξξ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭<< 2.2.5 差分公式的缺点1）高阶差分容易造成有效数字的丢失，见表2.10 原因？2）差分容易扩大传播误差3322321123230012323411012332422110232433201123364x y x y y x y y y x y y y y x y y y y y x y y y y y x y y y y y εεεεεεεεεεεεε------------------∆∆∆+∆+∆+∆+∆-∆-∆-∆-∆∆+∆-∆+∆∆-∆∆-。
第四节差分与等距节点插值公式
第四节差分与等距节点插值公式差分与等距节点插值是数值计算中常用的一种插值方法，它使用离散的节点以及节点处的函数值，通过差分运算得到函数的近似值。
在本节中，将介绍差分和等距节点插值的基本思想和公式，并给出一些具体的例子和应用。
差分与等距节点插值的基本思想是利用函数在节点上的值来近似函数在其他点上的值，而节点之间的间隔是相等的。
具体来说，我们可以通过计算函数在节点上的导数来近似函数在其他点上的导数，进而得到函数在其他点上的近似值。
一维差分插值的基本公式是拉格朗日插值公式。
设函数f(x)在等距节点x0, x1, ..., xn上的值分别为y0, y1, ..., yn，则拉格朗日插值公式可以表示为：f(x) ≈ P(x) = ∑[(x - xi) / (xj - xi)] * yj其中，i ≠ j，∑表示对j的求和，xi表示节点的值，xj表示其他任意点的值，yj表示其他节点处函数的值。
多维差分插值的基本公式也是类似的。
设函数f(x1, x2, ..., xn)在等距节点(xi1, xi2, ..., xin)上的值分别为yij，则多维拉格朗日插值公式可以表示为：f(x1, x2, ..., xn) ≈ P(x1, x2, ..., xn) = ∑[∏(xk - xik) / (xjk - xik)] * yij其中，∏表示对k的连乘，i ≠ j，xi1, xi2, ..., xin表示节点的值，xj1, xj2, ..., xjn表示其他任意点的值，yij表示其他节点处函数的值。
差分与等距节点插值在实际应用中有广泛的用途。
例如，在数值微分中，我们可以使用差分公式来近似计算函数在特定点上的导数。
其中，常用的差分公式有中心差分公式、向前差分公式和向后差分公式。
中心差分公式通过函数在相邻两个节点上的值来近似计算函数在中间点的导数。
向前差分公式通过函数在当前节点和下一个节点上的值来近似计算函数在当前点的导数。
4.2 牛顿插值公式
§2 差商、牛顿插值多项式在计算过程中，若需要再增加插值节点并求出新的插值函数，则Lagrange 插值公式所有的基函数都要重新计算，造成计算量的很大浪费。
而以下介绍的牛顿插值公式可以克服这一缺陷，可在原有插值多项式的基础上灵活的增加插值节点。
一、 差商及其性质： 1、相关定义设给出函数)(x f 在点0x ，1x ，… ，n x ，…上的函数值 ，则有：称],[10x x f 1010()()f x f x x x -=-为函数)(x f 在0x 、1x 点的一阶差商。
一阶差商的差商],,[210x x x f 121020],[],[x x x x f x x f --= 称为函数)(x f 在0x ,1x 和2x 点的二阶差商。
1-n 阶差商的差商],,,[10n x x x f 112020],,,[],,,[------=n n n n n n x x x x x f x x x f称为函数)(x f 在n x x x ,,,10 点的n 阶差商。
见插商表4-12、性质：性质1 ：差商],,,[10n x x x f 可表示为函数值的线性组合，即 ∑==ni i i n x f a x x x f 010)(],,,[ ，其中：∏≠=-=nij j j ii x xa ,0)(/1。
该性质表明：差商与节点的排列次序无关，即：],,,[10n x x x f ＝],,,[01n x x x f ＝…＝],,,[01x x x f n这就是差商的对称性。
性质 2101010[,,][,,][,,,]n n n n f x x f x x f x x x x x --=-01110[,,,][,,,]n n n f x x x f x x x x -=11100[,,][,,,]n n n f x x f x x x x x --=-10110[,,][,,,]n n n f x x f x x x x x --=-性质 3 设)(x f 在所含节点n x x x ,,,10 的区间],[b a 上有n 阶导数，则在该区间内至少有一点],[b a ∈ξ，使得：!/)(],,,[)(10n f x x x f n n ξ= 由该性质可知，若)(x f 为n 次多项式，则其n 阶差商为一常数。
差分与等距结点插值公式 共16页
向前差分 fkfk1fk
例 如f： [xk,xk1]
f(xk1)f(xk)fk
xk1xk
h
fk1 h
f[xk,xk1,xk2]
f[xk2,xk1]f[xk1,xk] xk2xk
h 1(fk1fk)
2h
22hf2k
h 1(fk2fk1) 2h
2 2h fk 22
xk fk=f(xk)
x0
f0
x1
f1
x2
f2
x3
f3
x4
f4
…
…
向前差分表
fk 2fk 3fk
f0
f1 2f0
f2 2f1 3f0
f3 2f2 3f1
…
…
…
4fk ……
4f0
…
…
向后差分表
xk fk=f(xk) ▽fk ▽2fk ▽3fk ▽4fk ……
x0
f0
x1
性质4：差分和导数的关系。 m f k m ! h m f [ x k , x k 1 , , x k m ] h m f ( m ) ( ) x k x k m
3、差分表的构造
f[x k ,x k 1 , ,x k m ] m ! 1 h m m fk m ! 1 h m m fk m(m 1 值的线性组合。
例如：
差分与等距节点插值法
xn −1 ≤ x ≤ xn
对分段二次及分段三次插值都没有相应的插值公式 若 xn − 2 ≤ x ≤ xn − 1 对分段三次插值也没有相应的插值公式 此时应改用Newton基本后插公式,此处只列出公式 (4) Newton − k阶基本后插公式，起点为xn − m
N k (x) = f n − m + ∑ f [ xn − m , xn − m −1 , ⋯ , xn − m −i ]∏ ( x − xn − m − j )
处的函数值为在等距节点四阶差分三阶差分二阶差分一阶差分是等距节点如果节点newton插值公式为如果假设th则插值公式化为其余项化为10如果假设th可得newton向后插值公式2newton向后差分插值公式12五newton插值公式的使用由于高次插值多项式的runge现象newton插值公式一般也采用分段低次插值newton分段二次插值13余项为余项为阶基本后插公式起点从23两种情况可知若对分段三次插值也没有相应的插值公式此时应改用newton基本后插公式此处只列出公式分段二次newton向前差分插值16次插值多项式则使用在误差范围内很接近分段二次newton向后差分插值依此类推请同学们写出分段三次向前和向后newton公式及余项在实际应用中究竟使用几次插值多项式呢
−1<t <0
k = n, n − 1
依此类推,请同学们写出分段三次 向前和向后Newton公式及余项 在实际应用中,究竟使用几次插值多项式呢? 如果m + 1阶差
商(差分)很接近(在误差范围内), 则使用m次插值多项式
16
Newton插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时, 计算只要增加一项,这是Lagrange插值无法比的.
(k ) 1
数值分析插值知识点总结
数值分析插值知识点总结一、插值的基本概念插值是指在已知数据点的基础上，通过某种数学方法求得两个已知数据点之间的未知数值。
插值方法的基本思想是在已知数据点之间找出一个合适的函数形式，使得该函数穿过已知数据点，并预测未知点的数值。
插值问题通常出现在实际工程、科学计算中，比如天气预报、经济数据的预测、地震勘探等领域。
插值可以帮助人们预测未知点的数值，从而更好地了解数据之间的关系。
二、插值的分类根据插值的基本原理，插值方法可以分为多种类型，常见的插值方法包括：拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、立方插值、样条插值等。
1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
2. 牛顿插值牛顿插值是利用牛顿插值多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
3. 分段插值分段插值是将插值区间分割成多个小区间，然后在每个小区间内采用简单的插值方法进行插值。
常见的分段插值方法包括线性插值和抛物线插值。
4. 立方插值立方插值是一种通过构造三次多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
5. 样条插值样条插值是一种通过构造分段三次多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个分段三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
三、插值的应用插值方法在实际工程中有着广泛的应用，常见的应用包括图像处理、声音处理、地图绘制、气象预测、经济预测等领域。
1. 图像处理在图像处理中，插值方法主要用于图像的放大、缩小以及图像的重构等操作。
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f(xn) △f(xn-1)
计算方法四③
4/58
向后差分表
x x0 y f(x0) 一阶差分 二阶差分 ...... n阶差分
x1
x2 x3 ... xn
f(x1) ▽f(x1)
f(x2) ▽ f(x2) f(x3) ▽ f(x3) ... ...... f ( x n) ▽ f ( x n) ▽ 2f(x2) ▽ 2f(x3) ...... ▽ 2f(xn)
▽fi=fi –fi-1
...... ...... ...... ▽ nf ( x n)
计算方法四③
5/58
例3:
已知函数y=sinx的如下函数表， xi sin(xi) 0.4 0.38942 0.5 0.47943 0.6 0.56464
建立差分表 解: x y 0.4 0.38942 0.5 0.47943 0.6 0.56464
f(0.6)
计算方法四③
向前差分表 一阶差分
f(0.4)
向后差分表 二阶差分
▽ 2f(0.6) -0.00480 △2f(0.4)
▽f(0.5) 0.09001 △f(0.4)
0.08521
▽f(0.6)
▽ 2f(0.6)
6/58
例4 证明当节点xi是等距离(xi=x0+ih,yi=f(xi)) 时，差分与差商存在如下关系： n
x
x0 x1 x2 x3
y
f ( x 0)
一阶差分 二阶差分
△fi=fi+1 -fi △2f(x0) △2f(x1)
......
n阶差分
f(x1) △f(x0) f(x2) △f(x1) f(x3) △f(x2) ......
...
xn
...
......
......
△2f(xn-2)
......
...... △ n f ( x 0)
n
由此可得牛顿向前插值公式。
Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+
计算方法四③
令x=x0+th，
......+f[xo,x1,...,xn,](x-x0) (x-x1)... (x-xn-1 ) (*)
10/58
Nn ( x) f [ x0 , x1,...,xk ] ( x x j )
、、
——为f(x)在xi处以h为步长的一阶中心差分 分别称为向前、后、中心差分算子
Ifi=fi，称I为不变算子， Efi=fi+1 ，称 E为移位算子。
计算方法四③
2/58
由一阶差分可以定义二阶差分：
2 f i f i 1f i f i 2 2 f i 1 f i ,
计算方法四③
m1
7/58
y0 f [ x0 , x1,, xm1 ] m1 (m 1)!h m1 y1 f [ x1, x2 ,, xm ] m1 (m 1)!h
于是n=m时
f [ x1 , x2 ,, xm ] f [ x0 , x1 ,, xm1 ] f [ x0 , x1 ,, xm ] xm x0
证：用数学归纳法证明. 当n=1时，有
y0 f [ x0 , x1 ,, xn ] n n!h
y1 y0 y0 f ( x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ] 等式成立. x1 x0 h h
假设对n=m-1(m个节点)时结论成立，即
y0 f [ x0 , x1,, xm1 ] m1 (m 1)!h
m1
y0 y1 m 1 m 1 (m 1)!h (m 1)!h mh
m 1
m 1
计算方法四③
8/58
y0 1 m 1 m 1 y1 y0 m m m!h m!h n y 0 故对一切n，有 f [ x0 , x1 ,, xn ] n n!h n yn 同理可证 f [ x0 , x1 ,, xn ] n n!h
令x=x0+th，则有：
n k 0 n
k 1 j 0
x x 0 0 y0 t , y y 0 0 ( t j ) h k!
n k k 1 j 0 k 0
y0 [(x0 th) ( x0 jh)] k k 0 k!h j 0
k k 1
2 y0 n y0 y0 y0t t (t 1) ... t (t 1) (t n 1) 2! n! 其中 (t与x有关)
计算方法四③
11/58 n次牛顿向前插值公式 2 y0 n y0 N n ( x) y0 y0t t (t 1) ... t (t 1) (t n 1) 2! n! 如： N1 ( x) y0 y0t 一次牛顿向前插值公式
n n
n 1
f i 1
n 1
fi , f i 1 ,
1 i 2
fi
计算方法四③
Байду номын сангаас
n 1
fi
1 i 2
n 1
k fi k 1 f i1 k 1 fi ,
(k=1,2,…,n)
n f i n1 f
n 1 f
,
3/58
向前差分表
1/58
定义 设函数y=f(x)在等距节点xi=x0+ih(i=0,1,...,n)上 的函数值为f(xi)=fi，其中h为常数，称为步长。 称△fi=fi+1 -fi—为f(x)在xi处以h为步长的一阶向前差分
▽fi=fi –fi-1—为f(x)在xi处以h为步长的一阶向后差分
h h δfi f ( xi ) f ( xi ) f 1 f 1 i i 2 2 2 2
m
y0 f [ x0 , x1 ,, xk ] k k! h
k
由此可得牛顿向 前插值公式。
计算方法四③
9/58
例4 证明当节点xi是等距离(xi=x0+ih,yi=f(xi)) 时，差分与差商存在如下关系：
同理可证
y0 f [ x0 , x1 ,, xn ] n n!h n yn f [ x0 , x1 ,, xn ] n n!h
2
二阶向前差分
f i f i f i 1 f i 2 f i 1 f i 2 , 二阶向后差分
2 f i f
1 i 2
f
1 i 2
f i 1 2 f i f i 1 , 二阶中心差分
k阶差分
一般地，可定义n阶差分为
fi