大物理论课实验6新4-5有效数字及数据处理
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大学物理实验—有效数字
有效数字的特点
（1）位数与小数点的位置无关。 35.76cm = 0.3576m = 0.0003576km （2）0 的地位 0.0003576 3.005 3.000 都是四位
0在数字中间和末位有效,在小数点前面或紧接 小数点后的是无效的.
北方民族大学物理实验中心 Fundamental physics experiment
大学物理实验
北方民族大学物理实验中心
Fundamental physics experiment
1
§3.有效数字的记录与计算
一．有效数字的概念
1．有效数字定义及其意义
先看一个例子：用米尺（最小刻度是1mm） 测量钢棒的长度:4.26cm，4.27cm，或 4.28cm？
“4.2” -确切数字 6、7、8（第三位数） ——可疑数字
13
（4）对数运算，小数点后的后面的位数取成与 真数的位数相同；例如：ln56.7=4.038 指数函数运算结果的有效数字中，小数点后的 位数取成与指数中小数点后的位数相同； 例如：
e9.14=1.03×104
(5)三角函数运算-试探法 sin 924 0.163325962 (计算器)
1 3 5. 8 0 1 6
= 1 .4×102
北方民族大学物理实验中心 Fundamental physics experiment
12
(3)乘方、立方、开方
有效数字位数与底数的相同
7.889 62.24
2
103.45 10.171
北方民族大学物理实验中心 Fundamental physics experiment
3.5350 3.54
3.5450 3.54
3.5466 3.55
大学物理实验有效数字和不确定度ppt四川大学物理系描述
– 仪器误差 – 理论误差 – 观测误差
l 1 2 T 2 1 sin g 4
• 系统误差又分
– 已定系统误差，如千分尺的零差 – 未定系统误差，如给定级别的电表
三、测量结果的不确定度与评定
• 不确定度的概念及其估算方法 • 测量结果的表达 • 各种测量结果的评定
课前预习——实验能否取得主动的关键
课前认真阅读实验教材，填写实验报告中的实验名 称、目的、原理、步骤及内容、仪器等项目，并根 据实验内容按列表法记录数据的要求在原始数据记 录单绘制原始数据记录表格。 进实验室签到时必须携带课前写好的预习材料。
课堂实际操作
按老师要求完成实验，测量数据用钢笔或圆珠笔填 写在原始数据记录表格中（注意有效数字位数）。 测量完成后，保持仪器的测量状态，根据实验原理 核对数据，数据不合理时应重新测量。时间允许时 应进行数据处理，测量无误，且时间超过规定课时 的2/3时，可将数据交指导老师检查、签字。 签字后，应整理实验仪器、打扫卫生。
• 直接测量数据的末位（可疑位，应与仪器误差位对 齐）粗略表明了测量结果的不确定度，而有效数字 位数的多少（取决于待测量的大小和选用仪器的精 度）则大致反映了测量结果的相对不确定度，因此 实际测量时即使是估读的“0”也要记下。
2. 有效数字的运算与修约
• 加、减运算
32.1＋26.65-3.926 = 54.824 = 54.8
100%（取两位有效数字）
• 常用于比较不同测量结果的好坏，E越小，测量 结果质量越好。例： 比较L1=(85.07±0.05)cm与L2=(3.246±0.005)mm 测量结果的优劣。
EL1=0.05/85.07=0.059%，L2=0.005/3.246=0.15%
l 1 2 T 2 1 sin g 4
• 系统误差又分
– 已定系统误差，如千分尺的零差 – 未定系统误差，如给定级别的电表
三、测量结果的不确定度与评定
• 不确定度的概念及其估算方法 • 测量结果的表达 • 各种测量结果的评定
课前预习——实验能否取得主动的关键
课前认真阅读实验教材，填写实验报告中的实验名 称、目的、原理、步骤及内容、仪器等项目，并根 据实验内容按列表法记录数据的要求在原始数据记 录单绘制原始数据记录表格。 进实验室签到时必须携带课前写好的预习材料。
课堂实际操作
按老师要求完成实验，测量数据用钢笔或圆珠笔填 写在原始数据记录表格中（注意有效数字位数）。 测量完成后，保持仪器的测量状态，根据实验原理 核对数据，数据不合理时应重新测量。时间允许时 应进行数据处理，测量无误，且时间超过规定课时 的2/3时，可将数据交指导老师检查、签字。 签字后，应整理实验仪器、打扫卫生。
• 直接测量数据的末位（可疑位，应与仪器误差位对 齐）粗略表明了测量结果的不确定度，而有效数字 位数的多少（取决于待测量的大小和选用仪器的精 度）则大致反映了测量结果的相对不确定度，因此 实际测量时即使是估读的“0”也要记下。
2. 有效数字的运算与修约
• 加、减运算
32.1＋26.65-3.926 = 54.824 = 54.8
100%（取两位有效数字）
• 常用于比较不同测量结果的好坏，E越小，测量 结果质量越好。例： 比较L1=(85.07±0.05)cm与L2=(3.246±0.005)mm 测量结果的优劣。
EL1=0.05/85.07=0.059%，L2=0.005/3.246=0.15%
大物实验数据处理总结
产生原因：
仪器误差 方法误差 环境误差 人为误差
.
8
1. 系统误差
仪器误差
天平不等臂所造成的
系统误差
.
9
方法误差
内接
VR
VA
A
外接
IR A
V
用V作为VR的近似值 时，求
R V VR VA
I
I
VR VA VR I II
V IV
RV I
V V
I R IV I R
.
10
环境误差
输入
市电的干扰
不确定度
1、不确定度的定义 “由于测量误差的存在而对被测量量值不 能肯定的程度，是具有一定置信概率的误 差估值的绝对值”
对测量值的准确程度给出一个量化的表述。
x 测量结果x＝ Δ （单位）
不确定度Δ值可以通过一定的方法估算。
.
18
2、测量结果的表达（报告）方法
测量结果的科学表达方法：
XX（单位）
E 8 .9 0 0 .0 7% 4 0 1 .00 g /c 33 m 6
（5）密度测量的最后结果为
8.900 7.00(g 3c6m 3)
四、实验数据的有效位数
对没有小数位且以若干个零结尾的数值， 从非零数字最左一位向右数得到的位数 减去无效零（仅为定位用的零）的个数， 就是有效位数；
对其他十进位数，从非零数字最左一位 向右数而得到的位数，就是有效位数。
设n次测量结果为x1,x2,xn的误差为 i
由
1 n
n i
1
xi
a n
n i
i
可知
在确定的测量条件下可增加测量次数减小
随机误差，多次测量的算术平均值可作为
大学物理实验绪论实验报告有效数字和数据处理
读法：先读仪器能分辨的可靠数字，
再估计最小分度的下一位。
(a)分度值1mm
01 2 34
L=3.23cm
三位
(b)分度值1cm
0 1 2 34
L=3.2cm
二位
2、定步长仪器 如游标卡、数字显示仪表等
读法：最小步长量
3、等级仪器 如电压表、电流表等
读法：仪量程 等级 %
有效数字中的基本问题
1、有效数字位数越多，测量精度越高 米 尺： L=5.2 mm 游标卡尺： L=5.22 mm 千 分 尺： L=5.221 mm
(3)乘方、立方、开方运算 有效数字位数与底数的相同
7.88296.224 10.34510.171
(5)常数
不参与有效数字运算
数据处理的基本方法
一、列表法
表1 不同温度下的金属电阻值
n
1
2
3
4
5
6
7
t(C) 10.5 26.0 38.3 51.0 62.8 75.5 85.7
R() 10.423 10.892 11.201 11.586 12.025 12.344 12.670
作图步骤
1.选择坐标分度值，确定坐标纸大小
坐标分度值的应能基本反映测量值的准确度或精密度。 U 轴可选1mm对应于0.20V，I 轴可选1mm对应于0.40mA； 定坐标纸略大于数据范围（如130mm×130mm）。
1.选择坐标分度值，确定坐标纸大小
坐标分度值的应能基本反映测量值的准确度或精密度。 U 轴选1mm对应于0.20V，I 轴选1mm对应于0.40mA； 定坐标纸略大于数据范围（如130mm×130mm）。
弹 簧x(伸cm长)位71置(x2x1 x1)x2 (线理均xx3性量值3等连，。x间续求x24隔)变其地化间 x测的隔5 量物平(xx68xx7 7)x8
再估计最小分度的下一位。
(a)分度值1mm
01 2 34
L=3.23cm
三位
(b)分度值1cm
0 1 2 34
L=3.2cm
二位
2、定步长仪器 如游标卡、数字显示仪表等
读法：最小步长量
3、等级仪器 如电压表、电流表等
读法：仪量程 等级 %
有效数字中的基本问题
1、有效数字位数越多，测量精度越高 米 尺： L=5.2 mm 游标卡尺： L=5.22 mm 千 分 尺： L=5.221 mm
(3)乘方、立方、开方运算 有效数字位数与底数的相同
7.88296.224 10.34510.171
(5)常数
不参与有效数字运算
数据处理的基本方法
一、列表法
表1 不同温度下的金属电阻值
n
1
2
3
4
5
6
7
t(C) 10.5 26.0 38.3 51.0 62.8 75.5 85.7
R() 10.423 10.892 11.201 11.586 12.025 12.344 12.670
作图步骤
1.选择坐标分度值，确定坐标纸大小
坐标分度值的应能基本反映测量值的准确度或精密度。 U 轴可选1mm对应于0.20V，I 轴可选1mm对应于0.40mA； 定坐标纸略大于数据范围（如130mm×130mm）。
1.选择坐标分度值，确定坐标纸大小
坐标分度值的应能基本反映测量值的准确度或精密度。 U 轴选1mm对应于0.20V，I 轴选1mm对应于0.40mA； 定坐标纸略大于数据范围（如130mm×130mm）。
弹 簧x(伸cm长)位71置(x2x1 x1)x2 (线理均xx3性量值3等连，。x间续求x24隔)变其地化间 x测的隔5 量物平(xx68xx7 7)x8
3第三章4--5-4 有效数字及其应用
±0.002%
±0.02% ±0.2%
5
4 3
2．数据中零的作用
数字零在数据中具有双重作用： （1）作普通数字用，如 0.5180 4位有效数字 5.18010－1
（2）作定位用：如 0.0518
3位有效数字 5.1810－2
3．改变单位，不改变有效数字的位数
如： 24.01mL 24.0110－3 L
4．注意点
（1）容量器皿；滴定管；移液管；容量瓶；4位有效数字
（2）分析天平（万分之一）取4位有效数字
（3）标准溶液的浓度，用4位有效数字表示: 0.1000 mol/L
（4）pH 4.34
,小数点后的数字位数为有效数字位数
对数值，lgX =2.38；lg(2.4102)
第三章
误差和分析数据和得理
第三章
误差和分析数据和得理
一、有效数字的意义及位数
有效数字是指在分析工作中实际上能测量到的 数字。记录数据和计算结果时究竟应该保留几位数 字，须根据测定方法和使用仪器的准确程度来决定。 在记录数据和计算结果时，所保留的有效数字中， 只有最后一位是可疑的数字。
例如：坩埚重18.5734克 六位有效数字 18.5734±0.0001克 标准溶液体积24.41毫升 四位有效数字 24.41±0.01毫升
第三章
误差和分析数据பைடு நூலகம்得理
0.53664→0.5366 0.58346→0.5835 10.2750→10.28 16.4050→16.40 27.1850→27.18 18.06501→18.07 必须注意：进行数字修约时只能一次修 约到指定的位数，不能数次修约。
三、运算规则
1. 加减运算
结果的位数取决于绝对误差最大的数据的位数 例： 0.0121 25.64 1.057 26.7091 绝对误差：0.0001 0.01 0.001
大学物理实验报告示例(含数据处理)
大学物理实验报告示例(含数据处理)实验项目:长度和质量的测量【实验题目】长度和质量的测量【实验目的】1. 掌握米尺、游标卡尺、螺旋测微计等几种常用测长仪器的读数原理和使用方法。
2. 学会物理天平的调节使用方法，掌握测质量的方法。
3. 学会直接测量和间接测量数据的处理，会对实验结果的不确定度进行估算和分析，能正确地表示测量结果。
【实验仪器】(应记录具体型号规格等，进实验室后按实填写)直尺(50cm)、游标卡尺(0.02mm)、螺旋测微计(0～25mm,0.01mm),物理天平(TW-1B 型，分度值0.1g ，灵敏度1div/100mg),被测物体【实验原理】(在理解基础上，简明扼要表述原理，主要公式、重要原理图等)一、游标卡尺主尺分度值：x=1mm,游标卡尺分度数：n （游标的n 个小格宽度与主尺的n-1小格长度相等）,游标尺分度值：x nn 1-（50分度卡尺为0.98mm,20分度的为：0.95mm ）,主尺分度值与游标尺分度值的差值为：nxx n n x =--1,即为游标卡尺的分度值。
如50分度卡尺的分度值为：1/50=0.02mm,20分度的为：1/20=0.05mm 。
读数原理：如图，整毫米数L 0由主尺读取，不足1格的小数部分l ∆需根据游标尺与主尺对齐的刻线数k 和卡尺的分度值x/n 读取：nxk x n n k kx l =--=∆1 读数方法（分两步）：(1)从游标零线位置读出主尺的读数.(2)根据游标尺上与主尺对齐的刻线k 读出不足一分格的小数,二者相加即为测量值.即: nxkl l l l +=∆+=00,对于50分度卡尺：02.00⨯+=k ll ;对20分度：05.00⨯+=k ll 。
实际读数时采取直读法读数。
二、螺旋测微器原理：测微螺杆的螺距为0.5mm ，微分筒上的刻度通常为50分度。
当微分筒转一周时，测微螺杆前进或后退0.5mm ，而微分筒每转一格时，测微螺杆前进或后退0.5/50=0.01mm 。
物理实验数据处理
例1(p6):螺旋测微计测直径6次，y分别为，8.345mm、 8.348mm、8.344mm、8.343mm、8.347mm、8.343mm， 测前0点读数为－0.003mm， △INS ＝0.004mm。
1.算术平均值：
d=(8.345+8.348+8.344+8.343+8.347+8.343)/6＝8.345mm
• 均偏大或偏小；
• 可以修正，使其减小到最小；
• 用增加测量次数是不能减小这类误差的。
关于测量次数n：通常取n=4～10
• 增加测量次数n，计算平均值时，抵偿效果好； • 但并非n越多越好。 • 测量时间、环境变化会引入新的误差，测量代价高；
§3 不确定度
• 已定系统误差对测量结果的影响可以消除或加以修正； • 随机误差的影响和未定系统误差的影响如何描述？
因为多次测量中，误差平均分布，符号为正的误差和
符号为负的误差，分布基本对称，具有抵偿性。
所以一般取多次测 量的算术平均值作为
n
yi
其中每次测得的数值不 可能完全相同，偏高或 偏低，具有随机性。
被测量的最佳估计值
y i1 （n是测量次数） n
问题：如何衡量实验结果是否精确
比较 测量1：104 100 96 测量2：101 100 99
2）由仪表的准确度等级N和其允许测量的最大量限来 决定。 △INS =N%×量程
如准确度等级为1.5级，量程为5mA的电流表 △INS ＝1.5%×5＝0.075mA
3器），△能I够NS 精取确仪读器出最的小最分小度量值值（）所的使一用半的。测量工具或仪
如米尺 △INS ＝0.5mm
3. 总不确定度的合成( 采用方和根法)
大物实验之实验数据的处理PPT课件
重新进行判断
第26页/共126页
第27页/共126页
实验结果的表示
测量结果最常用的表示方式是均值和标准偏差。 前者表征测试量的大小，后者表征测试的精密 度。
与之有关的是有效位的取舍. 所谓有效位是指某 种测量所达到的精度. 如下列测试值：和，其均 值为，标准偏差为0.0130.但测试值仅准确到小 数点后面第一位，而第二位为可疑位，故结果 的表示为：
剔除是否合理，即判定已被剔除的那个数据是否含有粗大误差。
第24页/共126页
在剔除某一数据xi后，重新计算均值和 方差，如果时，剔除坏值xi
i k(,n)s
其中
k(,n)t(,f)[n/n (1)
12
]
T为t分布，自由度f=n-2
第25页/共126页
Dixon 准则
• 狄克松(Dixon)准则采用了极差比的方法，不必求方差。 • 对于某一等精度重复测量，按测量值的大小排列为
21
2.26
200
3.02
12
2.03
22
2.28
500
3.20
第21页/共126页
Grubbs准则
格拉布斯(F．E．Grubbs)准则同样适用 于对同一参数进行重复测量得到的一列测 量数据的处理。
这个准则经蒙持卡罗法考验后，认为是最 有效的判别方法。
同上，当 i (,n)s 时则认为xi是含有 粗值的坏值，应予剔除
• 在自然界中，有很多的现象是不能用我们以前所学的知识所能 解决的－研究动机
• 比如我们在耐液锌蚀腐蚀合金研究过程中，它是由许多种元素 配合，再通过高温熔炼而成。可以用多少种成份来配料，熔炼 温度需要多高，后续如何处理？这些往往都是未知数。而且没 有一定的规律可言。那就需要我们进行大量的试验来寻找它的 配方及烧制温度。
第26页/共126页
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实验结果的表示
测量结果最常用的表示方式是均值和标准偏差。 前者表征测试量的大小，后者表征测试的精密 度。
与之有关的是有效位的取舍. 所谓有效位是指某 种测量所达到的精度. 如下列测试值：和，其均 值为，标准偏差为0.0130.但测试值仅准确到小 数点后面第一位，而第二位为可疑位，故结果 的表示为：
剔除是否合理，即判定已被剔除的那个数据是否含有粗大误差。
第24页/共126页
在剔除某一数据xi后，重新计算均值和 方差，如果时，剔除坏值xi
i k(,n)s
其中
k(,n)t(,f)[n/n (1)
12
]
T为t分布，自由度f=n-2
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Dixon 准则
• 狄克松(Dixon)准则采用了极差比的方法，不必求方差。 • 对于某一等精度重复测量，按测量值的大小排列为
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3.02
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2.03
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2.28
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Grubbs准则
格拉布斯(F．E．Grubbs)准则同样适用 于对同一参数进行重复测量得到的一列测 量数据的处理。
这个准则经蒙持卡罗法考验后，认为是最 有效的判别方法。
同上，当 i (,n)s 时则认为xi是含有 粗值的坏值，应予剔除
• 在自然界中，有很多的现象是不能用我们以前所学的知识所能 解决的－研究动机
• 比如我们在耐液锌蚀腐蚀合金研究过程中，它是由许多种元素 配合，再通过高温熔炼而成。可以用多少种成份来配料，熔炼 温度需要多高，后续如何处理？这些往往都是未知数。而且没 有一定的规律可言。那就需要我们进行大量的试验来寻找它的 配方及烧制温度。
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乘除运算后结果的有效数字一般以参与运算 各数中有效数字位数最少的为准。
– – – 例 5 3.21 6.5 = – 21 3.21 – 6.5 ————— –– ––
– ————— 结果为 21 –– ––
1605 – 1926
20.865
3.乘方与开方 结果的有效数字与其底或被开 运算规则：
②.小数点前面的“0” 和紧接 小数点后面的“0”不算作有效 数字
如：0.0123dm、0.123cm、0.00123m 均是3位有效数字。
注意：在十进制单位中，进行 单位换算时，有效数字的位数 不变。
（二）数值的科学记数法
数据过大或过小时，可以 用科学表达式。
某电阻值为20000（欧姆），保留三位有 效数字时写成 2.00104 又如数据为0.0000325 m，使用科学记数 法写成3.2510-5 m
f (H Z ) f S (H Z )
25.0 26.1 1.1
f ( H Z )
（二）作图规则
① 决定作图参量、选取坐标纸。
测量数据中的可靠数字在图上也应是可靠的，即图 纸上一小格对应数据中可靠数字的最后一位，而误 差位在小格之间估计。
坐标原点不一定与变量的零点一致。如果曲线上某一 段相对于x或y基本不变化，也可以省略这一部分（用 图线省略标记“∫∫”表示，如省略了一段的横线表示为 “—∫∫—”），以把有限的图幅用于其它部分。
U (V)
至此一张图才算完成
电阻伏安特性曲线
3. 校正曲线
举例：用电势差计校准量程为1mV的毫伏表， 测量数据如下（表中单位均为mV）。在如 图所示的坐标中画出毫伏表的校准曲线，并 对毫伏表定级别。
毫伏表读数 电势差计读数 修正值△U 毫伏表读数 电势差计读数 修正值△U 0.100 0.1050 0.005 0.600 0.6030 0.003 0.200 0.2150 0.015 0.700 0.6970 -0.003 0.300 0.3130 0.013 0.800 0.7850 -0.015 0.400 0.4070 0.007 0.900 0.8920 -0.008 0.500 0.5100 0.010 1.000 1.0070 0.007
利用校正曲线可以提高仪器的准确度。
一信号源的输出频率有较大的误 差，可利用高精度的信号源对它 进行校正，校正结果如下：
次数 低精度信号源 高精度信号源 修正值 1 2 50.0 48.0 -2.0 3 75.0 77.0 2.0 4 100.0 100.0 0.0 5 125.0 124.0 -1.0
3.标实验点：
实验点可用“ ”、 “ ”、“ ”等符号标 出（同一坐标系下不同曲 线用不同的符号）。
4. 连成图线：
2.00
用直尺、曲线板等把 0 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 U (V) 点连成直线、光滑曲线。 一般不强求直线或曲线通 过每个实验点，应使图线两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图 线正穿过实验点时可以在点处断开。
2 2 2 2 2 2
2 65
2 N 0.957 0.03cm 65
（3）根据误差（不确定度）决定有效数字，有：
N 0.96 0.03cm
（二）通过有效数字的运算法则确定 1.加减法 运算规则：
加减法运算后的有效数字，取到参与运算各 数中 最靠前出现可疑数的那一位。
例3
应适当地选择比例和坐标原点，使曲线比较对称地充 满整个图纸，不要偏于一角或一边
I／mA
V／V
（c）省略不变化的部分（x轴−2.5 V − 0V之间）图线的I −V曲线 −2.5 − 0V之间省略
②标明坐标轴 和图名
I (mA)
20.00 18.00 16.00 14.00 12.00 10.00 8.00 6.00 4.00 2.00
0
1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00
U (V)
电阻伏安特性曲线
③标点
④连线
（三）常用的图表类型及应用
1．平滑曲线
图1 某气体在20℃时的p −V曲线系图
2. 拟合直线和拟合曲线
作图时要先整理出数据表格，并要用坐标纸作图。
●
作图步骤：实验数据列表如下.
指针在82mA与84mA之间： 可读为82mA、83mA或84mA
指针正好在82mA上：读为82mA
四、间接测量量有效数字的确定
(一）用不确定度来确定
A 62.5 0.1cm 2 N A B C 其中：
解：
B 1.234 0.003cm , C 5.43 0.06cm 试确定N的有效数字，写出其结果。
表1：伏安法测电阻实验数据
0.74 2.00 1.52 4.01 2.33 6.22 3.08 8.20 3.66 4.49 5.24 5.98 6.76 7.50 9.75 12.00 13.99 15.92 18.00 20.01
U (V ) I (mA)
1.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小
方数的有效数字位数相同。
如：
49 = 7.0
100=10.0
2=100102 100
4.02=16
2=16.0 4.0
正确
49 = 7
错误
4、对数 lgx的尾数与x的位数相同
例7
lg 100 = 2.000 lg 1.983 = 0.297322714 0.297 lg 1983 = 3.29732714 3.2973
例如指针式电流表的仪器误差为1mA，零差为12mA是两位有效数字，修正值 −12mA也是两位有效数字。
2.偶然误差、不确定度及不确定度分量、相对 不确定度等，所有位数都是可疑的，没有可靠 位数，只有可疑位数，都是一位有效数字。
为了减少计算误差，一般用两位可疑数字数字表示，但有效位数仍是一位。 u 例如 uA N = 0.053cm， 卷尺 = 0.29mm， g 0.14m/ s2 ， T 0.70% 都是一位
T
2 2 有效数字；g (9.9 0.1)m/s 中g是两位有效数字，g (9.87 0.14)m/s 中g也 是两位有效数字。
三、直接测量有效数字的确定 ——如何读数
读数的一般规则： 读至仪器误差所在的位置
如果误差不知道时，读至仪器最小分度的下一位
（1）用米尺测长度
（2）用0.1级量程为100mA电流表测电流
（三）有效数字与仪器的关系
有效数字的位数
测量值本身的大小、仪器的准确度
米尺 L=2.52cm （三位有效数字） 20分度游标卡尺 L=2.数
1.已定的系统误差（比如零差）及相应的相对
误差、修正值具有若干位可靠数字和一位可疑 数字，即有多位有效数字。
根据表１数据U 轴可选1mm对应于0.10V，I 轴可选1mm对应于 0.20mA，并可定坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围） 约 为130mm×130mm。
2. 标明坐标轴：
用粗实线画坐标轴， 用箭头标轴方向，标坐标 轴的名称或符号、单位, 再按顺序标出坐标轴整分 格上的量值。
I (mA)
20.00 18.00 16.00 14.00 12.00 10.00 8.00 6.00 4.00
T (C )
RT ()
二、作图法
（一）作用与优、缺点 A.图线是依据许多
。 。 。 。 。
。
数据点描出的平滑 曲线，因而具有取 平均的效果，从图 线我们可以看出偶 然误差的大小以及 判断是否存在系统 误差。
B.直接得到经验公式(求斜率与截距）
直线方程为 y=ax+b
斜率为 a=
x x
第三节
有效数字及运算法则
一、有效数字的一般概念 例：用米尺测量物体的长度
L1= 3.4 5 L2= 3.4 6
一、有效数字的概念
定义：在测量结果的数字表示 中，由若干位可靠数字加一位 可疑数字，便组成了有效数字。
L＝34.5mm或34.6mm，如此米尺的仪器误差
是 米尺 0.15mm ，有效数字的最后一位是误差的 第一位。
电阻（RT） 温度（T）关系 ~
次数 1 5.0 10.32 2 10.0 10.51 3 15.0 10.64 4 20.0 10.79 5 25.0 10.94 6 30.3 11.08
(样品：铜 )
7 35.0 11.22 8 40.0 11.36 9 45.0 11.53 10 50.0 11.66
62 . 5 + 1. 234 = – 63 . 7 62.5 – + ————— 1.234 – – 63.7 – 结果为 63.7 34
–
–
–
例4
63 . 7 - 5. 43 = 58 – 63. 7 – 5. ————— 43 – – 58. 27 – 结果为 58.3
–
–
–
2.乘除法
运算规则:
当物体长度在24㎜与25㎜之间时， 读数为24.*㎜
被测物体
当读数正好为24㎜时读数为24.0㎜
对于0.1级表：
△仪= 100mA×0.1% = 0.1mA
指针在82mA与83mA之间：读为82.* mA 指针正好在82mA上：读为82.0mA
对于1.0级表 △仪=100mA×1.0%=1mA
小结
一.有效数字的概念 二.直接测量时有效数字的确定
三间接测量有效数字的运算规则
第四节
数 据 处 理
一、列表法
要求： 要把原始数据和必要的
运算过程中的中间结果 引入表中。 必须标明每个符号所代表 的物理量的意义，并写 明单位。 表中的数据要正确地反 映测量结果的有效数字。
– – – 例 5 3.21 6.5 = – 21 3.21 – 6.5 ————— –– ––
– ————— 结果为 21 –– ––
1605 – 1926
20.865
3.乘方与开方 结果的有效数字与其底或被开 运算规则：
②.小数点前面的“0” 和紧接 小数点后面的“0”不算作有效 数字
如：0.0123dm、0.123cm、0.00123m 均是3位有效数字。
注意：在十进制单位中，进行 单位换算时，有效数字的位数 不变。
（二）数值的科学记数法
数据过大或过小时，可以 用科学表达式。
某电阻值为20000（欧姆），保留三位有 效数字时写成 2.00104 又如数据为0.0000325 m，使用科学记数 法写成3.2510-5 m
f (H Z ) f S (H Z )
25.0 26.1 1.1
f ( H Z )
（二）作图规则
① 决定作图参量、选取坐标纸。
测量数据中的可靠数字在图上也应是可靠的，即图 纸上一小格对应数据中可靠数字的最后一位，而误 差位在小格之间估计。
坐标原点不一定与变量的零点一致。如果曲线上某一 段相对于x或y基本不变化，也可以省略这一部分（用 图线省略标记“∫∫”表示，如省略了一段的横线表示为 “—∫∫—”），以把有限的图幅用于其它部分。
U (V)
至此一张图才算完成
电阻伏安特性曲线
3. 校正曲线
举例：用电势差计校准量程为1mV的毫伏表， 测量数据如下（表中单位均为mV）。在如 图所示的坐标中画出毫伏表的校准曲线，并 对毫伏表定级别。
毫伏表读数 电势差计读数 修正值△U 毫伏表读数 电势差计读数 修正值△U 0.100 0.1050 0.005 0.600 0.6030 0.003 0.200 0.2150 0.015 0.700 0.6970 -0.003 0.300 0.3130 0.013 0.800 0.7850 -0.015 0.400 0.4070 0.007 0.900 0.8920 -0.008 0.500 0.5100 0.010 1.000 1.0070 0.007
利用校正曲线可以提高仪器的准确度。
一信号源的输出频率有较大的误 差，可利用高精度的信号源对它 进行校正，校正结果如下：
次数 低精度信号源 高精度信号源 修正值 1 2 50.0 48.0 -2.0 3 75.0 77.0 2.0 4 100.0 100.0 0.0 5 125.0 124.0 -1.0
3.标实验点：
实验点可用“ ”、 “ ”、“ ”等符号标 出（同一坐标系下不同曲 线用不同的符号）。
4. 连成图线：
2.00
用直尺、曲线板等把 0 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 U (V) 点连成直线、光滑曲线。 一般不强求直线或曲线通 过每个实验点，应使图线两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图 线正穿过实验点时可以在点处断开。
2 2 2 2 2 2
2 65
2 N 0.957 0.03cm 65
（3）根据误差（不确定度）决定有效数字，有：
N 0.96 0.03cm
（二）通过有效数字的运算法则确定 1.加减法 运算规则：
加减法运算后的有效数字，取到参与运算各 数中 最靠前出现可疑数的那一位。
例3
应适当地选择比例和坐标原点，使曲线比较对称地充 满整个图纸，不要偏于一角或一边
I／mA
V／V
（c）省略不变化的部分（x轴−2.5 V − 0V之间）图线的I −V曲线 −2.5 − 0V之间省略
②标明坐标轴 和图名
I (mA)
20.00 18.00 16.00 14.00 12.00 10.00 8.00 6.00 4.00 2.00
0
1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00
U (V)
电阻伏安特性曲线
③标点
④连线
（三）常用的图表类型及应用
1．平滑曲线
图1 某气体在20℃时的p −V曲线系图
2. 拟合直线和拟合曲线
作图时要先整理出数据表格，并要用坐标纸作图。
●
作图步骤：实验数据列表如下.
指针在82mA与84mA之间： 可读为82mA、83mA或84mA
指针正好在82mA上：读为82mA
四、间接测量量有效数字的确定
(一）用不确定度来确定
A 62.5 0.1cm 2 N A B C 其中：
解：
B 1.234 0.003cm , C 5.43 0.06cm 试确定N的有效数字，写出其结果。
表1：伏安法测电阻实验数据
0.74 2.00 1.52 4.01 2.33 6.22 3.08 8.20 3.66 4.49 5.24 5.98 6.76 7.50 9.75 12.00 13.99 15.92 18.00 20.01
U (V ) I (mA)
1.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小
方数的有效数字位数相同。
如：
49 = 7.0
100=10.0
2=100102 100
4.02=16
2=16.0 4.0
正确
49 = 7
错误
4、对数 lgx的尾数与x的位数相同
例7
lg 100 = 2.000 lg 1.983 = 0.297322714 0.297 lg 1983 = 3.29732714 3.2973
例如指针式电流表的仪器误差为1mA，零差为12mA是两位有效数字，修正值 −12mA也是两位有效数字。
2.偶然误差、不确定度及不确定度分量、相对 不确定度等，所有位数都是可疑的，没有可靠 位数，只有可疑位数，都是一位有效数字。
为了减少计算误差，一般用两位可疑数字数字表示，但有效位数仍是一位。 u 例如 uA N = 0.053cm， 卷尺 = 0.29mm， g 0.14m/ s2 ， T 0.70% 都是一位
T
2 2 有效数字；g (9.9 0.1)m/s 中g是两位有效数字，g (9.87 0.14)m/s 中g也 是两位有效数字。
三、直接测量有效数字的确定 ——如何读数
读数的一般规则： 读至仪器误差所在的位置
如果误差不知道时，读至仪器最小分度的下一位
（1）用米尺测长度
（2）用0.1级量程为100mA电流表测电流
（三）有效数字与仪器的关系
有效数字的位数
测量值本身的大小、仪器的准确度
米尺 L=2.52cm （三位有效数字） 20分度游标卡尺 L=2.数
1.已定的系统误差（比如零差）及相应的相对
误差、修正值具有若干位可靠数字和一位可疑 数字，即有多位有效数字。
根据表１数据U 轴可选1mm对应于0.10V，I 轴可选1mm对应于 0.20mA，并可定坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围） 约 为130mm×130mm。
2. 标明坐标轴：
用粗实线画坐标轴， 用箭头标轴方向，标坐标 轴的名称或符号、单位, 再按顺序标出坐标轴整分 格上的量值。
I (mA)
20.00 18.00 16.00 14.00 12.00 10.00 8.00 6.00 4.00
T (C )
RT ()
二、作图法
（一）作用与优、缺点 A.图线是依据许多
。 。 。 。 。
。
数据点描出的平滑 曲线，因而具有取 平均的效果，从图 线我们可以看出偶 然误差的大小以及 判断是否存在系统 误差。
B.直接得到经验公式(求斜率与截距）
直线方程为 y=ax+b
斜率为 a=
x x
第三节
有效数字及运算法则
一、有效数字的一般概念 例：用米尺测量物体的长度
L1= 3.4 5 L2= 3.4 6
一、有效数字的概念
定义：在测量结果的数字表示 中，由若干位可靠数字加一位 可疑数字，便组成了有效数字。
L＝34.5mm或34.6mm，如此米尺的仪器误差
是 米尺 0.15mm ，有效数字的最后一位是误差的 第一位。
电阻（RT） 温度（T）关系 ~
次数 1 5.0 10.32 2 10.0 10.51 3 15.0 10.64 4 20.0 10.79 5 25.0 10.94 6 30.3 11.08
(样品：铜 )
7 35.0 11.22 8 40.0 11.36 9 45.0 11.53 10 50.0 11.66
62 . 5 + 1. 234 = – 63 . 7 62.5 – + ————— 1.234 – – 63.7 – 结果为 63.7 34
–
–
–
例4
63 . 7 - 5. 43 = 58 – 63. 7 – 5. ————— 43 – – 58. 27 – 结果为 58.3
–
–
–
2.乘除法
运算规则:
当物体长度在24㎜与25㎜之间时， 读数为24.*㎜
被测物体
当读数正好为24㎜时读数为24.0㎜
对于0.1级表：
△仪= 100mA×0.1% = 0.1mA
指针在82mA与83mA之间：读为82.* mA 指针正好在82mA上：读为82.0mA
对于1.0级表 △仪=100mA×1.0%=1mA
小结
一.有效数字的概念 二.直接测量时有效数字的确定
三间接测量有效数字的运算规则
第四节
数 据 处 理
一、列表法
要求： 要把原始数据和必要的
运算过程中的中间结果 引入表中。 必须标明每个符号所代表 的物理量的意义，并写 明单位。 表中的数据要正确地反 映测量结果的有效数字。