常用求导公式表
导数公式大全
导数公式大全1.一元函数的导数公式：。
一元函数的导数公式为：y'=f'(x)，其中f'(x)为x的导数，表示对x求导数。
2.二元函数的导数公式：。
二元函数（即具有两个未知变量的函数）的导数公式为：∂f/∂x= limh→0 (f(x+h)-f(x))/h。
∂f/∂y= limh→0 (f(y+h)-f(y))/h。
其中∂f/∂x表示对x求偏导，∂f/∂y表示对y求偏导。
3.三元函数的导数公式：。
三元函数（即具有三个未知变量的函数）的导数公式为：∂f/∂x= limh→0 (f(x+h,y,z)-f(x,y,z))/h。
∂f/∂y= limh→0 (f(x,y+h,z)-f(x,y,z))/h。
∂f/∂z= limh→0 (f(x,y,z+h)-f(x,y,z))/h。
其中∂f/∂x表示对x求偏导，∂f/∂y表示对y求偏导，∂f/∂z表示对z 求偏导。
4.常用函数的导数公式：。
常用函数的导数公式有：（1）多项式函数的导数：n阶多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的导数为f'(x)=nanxn-1+n-1an-1xn-2+…+a1；。
（2）指数函数的导数：以a≠0，a≠1为底的指数函数f(x)=a^x的导数为f'(x)=ln|a|a^x；。
（3）对数函数的导数：以a≠0，a≠1为底的对数函数f(x)=ln|x|a 的导数为f'(x)=1/xa；。
（4）三角函数的导数：正弦函数sin(x)的导数为cos(x)；余弦函数cos(x)的导数为-sin(x)；正切函数tan(x)的导数为sec2(x)；反正切函数cot(x)的导数为-csc2(x)；反余弦函数arcsin(x)的导。
高中求导基本公式表
高中求导基本公式表介绍如下：
1.常数函数求导公式：$(C)'=0$，其中 $C$ 是常数。
2.幂函数求导公式：$(x^n)'=nx^{n-1}$，其中 $n$ 是正整数。
3.指数函数求导公式：$(a^x)'=a^x\ln a$，其中 $a$ 是正实数
且 $a\neq1$。
4.对数函数求导公式：$(\log_ax)'=\frac{1}{x\ln a}$，其中
$a$ 是正实数且 $a\neq1$。
5.正弦函数求导公式：$(\sin x)'=\cos x$。
6.余弦函数求导公式：$(\cos x)'=-\sin x$。
7.正切函数求导公式：$(\tan x)'=\sec^2x$。
8.余切函数求导公式：$(\cot x)'=-\csc^2x$。
9.反正弦函数求导公式：$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-
x^2}}$。
10.反余弦函数求导公式：$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-
x^2}}$。
11.反正切函数求导公式：$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$。
12.反余切函数求导公式：$(\mathrm{arccot}\ x)'=-
\frac{1}{1+x^2}$。
以上是高中求导基本公式表，这些公式是学习求导的基础，需要熟练掌握。
同时，还需要掌握函数求导的运算法则和求导技巧，不断练习，才能在数学学习中取得好成绩。
高中生常用的12个数学求导公式
高中生常用的12个数学求导公
式
高中数学中经常用到求导公式。
一般只要涉及到函数问题，求导是必不可少的。
求导时一定要用到一些导数公式，但是很多同学经常反映记不住这些公式。
今天潘老师整理了这些导数公式，方便学生学习。
让我们一起学起来吧！
1.y=c(c为常数) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.y=logax y'=logae/x
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx y'=1/1 x^2
12.y=arccotx y'=-1/1 x^2
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常用的基本求导公式
常用的基本求导公式求导是微积分中的基本运算，常用的基本求导公式包括常数求导法则、幂函数求导法则、指数函数与对数函数求导法则、三角函数与反三角函数求导法则、双曲函数与反双曲函数求导法则、复合函数求导法则等。
下面将详细介绍这些基本求导公式。
1.常数求导法则：若f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0。
2.幂函数求导法则：若f(x)=x^n，其中n为常数，则f'(x)=nx^(n-1)。
3.指数函数与对数函数求导法则：(1) 若f(x)=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，则f'(x)=a^x *ln(a)。
(2) 若f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，则f'(x)=1/(x * ln(a))。
4.三角函数与反三角函数求导法则：(1) 若f(x)=sin(x)，则f'(x)=cos(x)。
(2) 若f(x)=cos(x)，则f'(x)=-sin(x)。
(3) 若f(x)=tan(x)，则f'(x)=sec^2(x)。
(4) 若f(x)=cot(x)，则f'(x)=-csc^2(x)。
(5) 若f(x)=sec(x)，则f'(x)=sec(x) * tan(x)。
(6) 若f(x)=csc(x)，则f'(x)=-csc(x) * cot(x)。
5.双曲函数与反双曲函数求导法则：(1) 若f(x)=sinh(x)，则f'(x)=cosh(x)。
(2) 若f(x)=cosh(x)，则f'(x)=sinh(x)。
(3) 若f(x)=tanh(x)，则f'(x)=sech^2(x)。
(4) 若f(x)=coth(x)，则f'(x)=-csch^2(x)。
(5) 若f(x)=sech(x)，则f'(x)=-sech(x) * tanh(x)。
(6) 若f(x)=csch(x)，则f'(x)=-csch(x) * coth(x)。
导数常用公式及练习题(最新最全)
常用导数公式表如下：c'=0(c为常数）(x^a)'=ax^(a-1),a为常数且a≠0 (a^x)'=a^xlna(e^x)'=e^x(logax)'=1/(xlna),a>0且 a≠1 (lnx)'=1/x(sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx(tanx)'=(secx)^2(secx)'=secxtanx(cotx)'=-(cscx)^2(cscx)'=-csxcotx(arcsinx)'=1/√(1-x^2) (arccosx)'=-1/√(1-x^2) (arctanx)'=1/(1+x^2)(arccotx)'=-1/(1+x^2)(shx)'=chx(chx)'=shxd(Cu)=Cdud(u+-v)=du+-dvd(uv)=vdu+udvd(u/v)=(vdu-udv)/v^21．已知函数()222x f x e x ax =+--.（1）当2a =时，求函数()f x 的极值；（2）若()()22g x f x x =-+，且()0g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.2．已知函数2()ln f x x mx =-，21()2g x mx x =+，m R ∈，令()()()F x f x g x =+. （1）当12m =时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值；3．已知函数)2(sin )(2e a ax x e x f x -+-=，其中R a ∈，⋅⋅⋅=71828.2e 为自然对数的底数.（1）当0=a 时，讨论函数)(x f 的单调性；（2）当121≤≤a 时，求证：对任意的),0[+∞∈x ，0)(<x f .4．已知函数()ln 2x m f x e x -=-.（1）若1m =，求函数()f x 的极小值；（2）设2m ≤，证明：()ln 20f x +>.5．已知函数()ln ,()x x f x x ax g x e =-=，其中a R ∈且0a ≠，e 为自然常数. （1）讨论()f x 的单调性和极值；（2）当1a =时，求使不等式()()f x mg x >恒成立的实数m 的取值范围.6．已知函数2()ln 1f x x x ax =+-，且(1)1f '=-.（1）求()f x 的解析式；（2）证明：函数2()e x y f x x x =-+的图象在直线1y x =--的图象下方.7．已知函数()()321ln 1,3x f x x ex mx g x x=-++=. （1）函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线()1240e x y --+=平行，求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 的导函数为()'f x ，对任意的()12,0,x x ∈+∞，若()()'12g x f x <恒成立，求m 的取值范围.8．设函数()ln (0)f x x x x =>．（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设，)R ()()(F 2∈'+=a x f ax x )(F x 是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当0x >时，证明：1)(+'>x f e x ．9．已知函数2(1)()ln 2x f x x -=-． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当1x >时，()1f x x <-；（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()()1f x k x >-．参考答案1．（1）函数()f x 极小值为()01f =-，无极大值；（2）(]0,2e .【解析】试题分析：（1）当2a =时，()()2222,'222x x f x e x x f x e x =+--=+-，通过二次求导可知函数()2'222x f x e x =+-在R 上单调递增，且()'00f =，所以当0x <时()'0f x <，当0x >时，()'0f x >因此函数()f x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，所以()f x 的极小值点为()0f ，无极大值点；（2）对函数()g x 求导可得()2'2x g x e a =-，分0a ≤和0a >讨论，显然0a ≤时，()'0g x >，函数()g x 在R 上单调递增，研究图象可知一定存在某个00x <，使得在区间()0,x -∞上函数2x y e =的图象在函数y ax =的图象的下方，即2x e ax <不恒成立，舍去；当0a >时，函数()g x 在区间1,ln 22a⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()min 1ln 022a g x g ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，解得02a e <≤. 试题解析：（1）函数()222x f x e x ax =+--的定义域是R ,当2a =时，()()2222'222x x f x e x x f x e x =+--=+-,易知函数()2'222x f x e x =+-的定义域是R 上单调递增函数，且()'00f =,所以令()'0f x <，得0x <；令()'0f x >，得0x >，所以函数()f x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增.所以函数()f x 极小值为()01f =-，无极大值.（2）()()22222222x x g x f x x e x ax x e ax =-+=+---+=-，则()2'2x g x e a =-. ①当0a ≤时，()'0g x >恒成立，所以函数()g x 在R 上单调递增， 且数形结合易知，一定存在某个00x <，使得在区间()0,x -∞上，函数2x y e =的图象在函数y ax =的图象的下方，即满足2x e ax <的图象即()0g x <.所以()0g x ≥不恒成立，故当0a ≤时，不符合题意，舍去；②当0a >时，令()'0g x <，得1ln 22a x <；()'0g x >，得1ln 22a x >；所以函数()g x 在区间1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.所以函数()g x 定义域R 上的最小值为1ln 22ag ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 若()0g x ≥恒成立，则需满足1ln 022a g ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即ln 21ln 022a a e a -⋅≥， 即1ln 0222a a a -⋅≥，即1ln 022a a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭. 又因为0a >，所以1ln 002a -≥，解得2a e ≤，所以02a e <≤.综上，实数a 的取值范围是(]0,2e .考点：利用导数研究函数的单调性及极值、最值.2．（1）(0,1)；（2）最小值为2．【解析】试题分析：（1）当12m =时,对()f x 求导求其单调增区间；（2）先化简()1F x mx ≤-为()10F x mx -+≤,恒成立问题,转化为求()()(1)G x F x mx =--的最大值来求解. 试题解析：（1）21()ln 2f x x x =-，0x >，2'11()x f x x x x -=-=，（0x >）. 由'()0f x >得210x ->又0x >，所以01x <<，所以()f x 的单增区间为(0,1).（2）令21()()(1)ln (1)12G x F x mx x mx m x =--=-+-+. 所以2'1(1)1()(1)mx m x G x mx m x x -+-+=-+-= 当0m ≤时，因为0x >，所以'()0G x >所以()G x 在(0,)+∞上是递增函数， 又因为3(1)202G m =-+>.所以关于x 的不等于()1G x mx ≤-不能恒成立.当0m >时，'1()(1)()m x x m G x x-+=-. 令'()0G x =得1x m =，所以当1(0,)x m ∈时，'()0G x >；当1(,)x m ∈+∞时，'()0G x <， 因此函数()G x 在1(0,)x m ∈是增函数，在1(,)x m ∈+∞是减函数.故函数()G x 的最大值为11()ln 2G m m m =-. 令1()ln 2h m m m =-，因为1(1)02h =>，1(2)ln 204h =-<. 又因为()h m 在(0,)m ∈+∞上是减函数，所以当2m ≥时，()0h m <， 所以整数m 的最小值为2.3．（1）函数)(x f 在R 上为减函数；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）对函数)(x f 求导,利用函数的单调性与导数的关系,得出函数)(x f 的单调性；（2）对任意的),0[+∞∈x ，0)(<x f 等价于对任意的),0[+∞∈x ，2sin 20x ax a e -+-<,再构造函数e a ax x x g -+-=2sin )(2,求导,利用导数,求出()g x 的最大值小于零. 试题解析：解：（1）当0=a 时，)(sin )(e x e x f x -=，R x ∈，])4sin(2[)cos (sin )(e x e e x x e x f x x -+=-+='π，∵当R x ∈时，2)4sin(2≤+πx ，∴0)(<'x f . ∴)(x f 在R 上为减函数.（2）设e a ax x x g -+-=2sin )(2，),0[+∞∈x ，ax x x g 2cos )(-='，令ax x x g x h 2cos )()(-='=，),0[+∞∈x ，则a x x h 2sin )(--='， 当121≤≤a 时，),0[+∞∈x ，有0)(≤'x h ，∴)(x h 在),0[+∞上是减函数，即)(x g '在),0[+∞上是减函数，又∵01)0(>='g ，022222)4(<-≤-='ππax g ， ∴)(x g '存在唯一的)4,0(0π∈x ，使得02cos )(000=-='ax x x g ， ∴当),0(00x x ∈时，0)(>'x g ，)(x g 在区间),0(0x 单调递增；当),(00+∞∈x x 时，0)(<'x g ，)(x g 在区间),(0+∞x 单调递减，因此在区间),0[+∞上e a ax x x g x g -+-==2sin )()(2000max ，∵02cos 00=-ax x ，∴00cos 21x ax =，将其代入上式得 e a ax x a e a x a x x g -+-+=-+-=241sin sin 412cos 41sin )(002020max ， 令0sin x t =，)4,0(0π∈x ，则)22,0(∈t ，即有e a at t a t p -+-+=24141)(2，)22,0(∈t ， ∵)(t p 的对称轴02<-=a t ，∴函数)(t p 在区间)22,0(上是增函数，且121≤≤a ， ∴)121(,08152228122)22()(≤≤<-+<-+-=<a e e a a p t p ， 即任意),0[+∞∈x ，0)(<x g ，∴0)()(<=x g e x f x ，因此任意),0[+∞∈x ，0)(<x f .考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.导数的综合应用.【思路点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性,导数的综合应用等知识点,是压轴题.在（2）中,注意等价转换,对任意的),0[+∞∈x ，0)(<x f 等价于对任意的),0[+∞∈x ，2sin 20x ax a e -+-<,再构造函数e a ax x x g -+-=2sin )(2,利用单调性,求出函数()g x 的最大值, 即e a ax x a e a x a x x g -+-+=-+-=241sin sin 412cos 41sin )(002020max ,把0sin x 看成一个整体,就转化为二次函数最大值.本题多次等价转化,难度大,综合性强.4．（1）()11ln 2f =-；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）当1m =时，()1111x x f x e e e x x -'=⋅-=-得其零点1x =，判断()f x 在()0,+∞上的单调性，可知()f x 有极小值()1f ；（2）把函数()f x 放缩()2ln 2ln 2x m x f x e x e x --=-≥-，构造函数221()ln 2ln 2ln x x g x e x e x e -=-=⋅--，利用导数研究函数()g x 的单调性，并求出其最小值的范围即可证得结论.试题解析：（1）()11ln 2ln 2ln x x f x e x e x e-=-=⋅--，所以()1111x x f x e e e x x-'=⋅-=-， 观察得()111101f e e '=⋅-=，而()1111x x f x e e e x x -'=⋅-=-在(0,)+∞上单调递增，所以当(0,1)x ∈时()0f x '<，当()1+∞，时()0f x '>；所以()f x 在()0,1单调递减，()f x 在()1+∞，单调递增，故()f x 有极小值()11ln 2f =-． 证明：（2）因为2m ≤，所以()2ln 2ln 2x m x f x e x e x --=-≥-， 令221()ln 2ln 2ln x x g x e x e x e -=-=⋅--，则21()x g x e x-'=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递增，1(1)10g e '=-<，1(2)102g '=->，所以设02001()0x g x e x -'=-=，则0(1,2)x ∈；当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>；所以()g x 在()00,x 上单调递减，()0,x +∞上单调递增，所以02min 00()()ln 2x g x g x e x -==-，又因为02001()0x g x e x -'=-=，故0201x e x -=， 所以02000001ln ln 2ln 2ln x e x x x x x -=⇒-=-⇒-=， 所以0022min 000()()ln 2ln 2ln x x g x g x e x e x --==-=-- 001ln 22x x =--+ 0012ln 2ln 2x x =+--≥-当且仅当001x x =，即01x =时等号成立，而0(1,2)x ∈，所以min ()ln 2g x >-，即()ln 2g x >-，所以()ln 2f x >-，即()ln 20f x +>．考点：利用导数研究函数的单调性、极值、最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了转化的数学思想和函数思想的应用，属于难题.要研究函数的极值，先研究定义域内的单调性，本题（1）中导函数的零点不能直接求出，解答时应分析解析式的特点，利用指数函数的性质找出极值点；解答的难点是（2）证明不等式，可利用函数()f x 的单调性进行放缩，转化为研究不含参数的函数2()ln 2x g x e x -=-的最小值，这是本题的技巧之一，导函数的零点同样不能直接解出，作为证明题，在判断单调性的前提下可以设出极值点，表示出函数值通过基本不等式证明即可，这是本题的另一个技巧.5．（1）当0a >时，0x >，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()f x 有极小值(1)1ln f a =-；当0a <时，0x <，'1()0x f x x-=>，所以()f x 在(,0)-∞上单调递增，无极值；（2）(,)e -∞．【解析】试题分析：（1）求导，利用讨论导数的符号确定函数的单调性，进而确定函数的极值；（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数求其最值．试题解析：（1）因为()ln ,0,f x x ax a a R =-≠∈，所以当0a >时，()f x 的定义域为(0,)+∞；当0a <，()f x 的定义域为(,0)-∞.又()ln ln ln f x x ax x x a =-=--，'11()1x f x x x -=-=， 故当0a >时，0x >，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ()f x 有极小值(1)1ln f a =-；当0a <时，0x <，'1()0x f x x-=>，所以()f x 在(,0)-∞上单调递增，无极值.（2）解法一： 当1a =时，()ln f x x x =-，由（1）知当且仅当1x =时，min ()1f x =， 因为'1(),0x x g x x e -=>，所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，当且仅当1x =时，max 1()g x e =.当0m ≤时，由于min ()0,()1x x g x f x e =>=，所以()()f x mg x >恒成立； 当0m >时，max [()]m mg x e=，要使不等式()()f x mg x >恒成立，只需1me>， 即m e <.综上得所求实数m 的取值范围为(,)e -∞. 解法二：当1a =时()ln f x x x =-，所以0,()0x xx g x e>=>， 故()(ln )()()()x f x e x x f x mg x m g x x->⇔<= 令(ln )()x e x x F x x -=，则'2(1)(ln 1)()x x e x x F x x --+=.由（1）可知ln 0x x ->，所以当1x >时，'()0F x >，当01x <<时，'()0F x <， 所以min ()(1)F x F e ==.故当m e <时，不等式()()f x mg x >恒成立.考点：1.导数在研究函数中的应用；2.导数在研究不等式恒成立问题中的应用．【方法点睛】本题考查导数在研究函数单调性和最值中的应用以及导数在研究不等式恒成立中的应用，综合性较强，属于难题；利用导数处理不等式恒成立问题，往往优先考虑分离参数，利用M x f ≥)(恒成立M x f ≥⇔min )(转化为求函数的最值问题，再利用导数求最值，要求学生有较高的逻辑思维能力和较强的运算化简能力. 6．（1） 2()ln 1f x x x x =--； （2）见解析. 【解析】试题分析：（1）求导，由(1)1f '=-求出a 即可；（2）“函数2()e x y f x x x =-+的图象在直线1y x =--的下方”等价于ln 10x x e -+<，构造函数()ln 1x h x x e =-+，，求导，研究函数()ln 1x h x x e =-+的单调性与最值，证max ()0h x <即可.试题解析：对()f x 求导，得()1ln 2f x x ax '=++，(1)121f a '=+=-，1a =-， 所以2()ln 1f x x x x =--（2）证明：“函数2()e x y f x x x =-+的图象在直线1--=x y 的下方”等价于即要证01ln <+-x e x ， 所以只要证.1ln )(+-=x e x x h ， 1()x h x e x'=- ，x 趋于0时，0)(>'x h ，存在一个极值0x )1,0(∈ 使得001x e x = 等价于0001()ln 1(01)h x x x x =-+<<所以()0h x < 故函数2()e x y f x x x =-+的图象在直线1--=x y 的下方. 2考点：1.导数的运算法则；2.导数与函数的单调性、极值、最值；3.函数与不等式.7．（1）()f x 的单调区间为[)(]2,,,0e +∞-∞，单调减区间为()0,2e ；（2）21m e e>+.【解析】试题分析：（1）根据()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线()1240e x y --+=平行，可得()'112f e =-，据此可求得m ，研究()f x '的符号变化即得函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的()12,0,x x ∈+∞，若()()'12g x f x <恒成立，则有()()'max min g x f x <，分别求出()min f x '和()g x 的最大值即可求得m 的取值范围.试题解析：（1）()'22f x x ex m =-+，()'11212,0f e m e m =-+=-∴=即()()'222f x x ex x x e =-=-，令()'0f x ≥，解得2x e ≥或0x ≤， 所以函数()f x 的单调区间为[)(]2,,,0e +∞-∞，单调减区间为()0,2e ； （2）()()'21ln 0x g x x x -=>，令()'21ln 00x g x x e x-=≥⇒<≤ 函数()g x 的单调为(]0,e ，单调减区间为[),e +∞. 当x e =时，()max 1g x e=，又()()2'222f x x ex m x e m e =-+=-+-，()'2min f x m e =-()()'12g x f x <恒成立，2211m e m e e e∴<-⇒>+.考点：导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、求函数在给定区间上的最值等.8．（Ⅰ）)(x f 的单调增区间为),1(+∞e，)(x f 的单调减区间为)1,0(e；（Ⅱ）当0≥a 时，)(F x 无极值；当0<a 时，)(F x 有极大值a21ln 21-+，无极小值．（Ⅲ）证明详见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用一阶导数的符号来求单调区间．（Ⅱ）对a 进行分类讨论，)(F x 的极值．（Ⅲ）把证明不等式转化求函数的最小值大于0．试题解析：（Ⅰ）)0(1ln )(>+='x x x f ．令0)(>'x f ，即01ln >+x ，得ex 1>，故)(x f 的增区间为),1(+∞e ； 令0)(<'x f ，即01ln <+x ，得e x 1<，故)(x f 的减区间为)1,0(e；∴)(x f 的单调增区间为),1(+∞e ，)(x f 的单调减区间为)1,0(e．（Ⅱ）)0(1ln )(F 2>++=x x ax x ，)0(1212)(F 2>+=+='x xax x ax x当0≥a 时，恒有0)(F >'x ∴)(F x 在),0(+∞上为增函数，故)(F x 在),0(+∞∈x 上无极值；当0<a 时，令0)(F ='x ，得ax 21-=,当)(F 0)(F )21,0(x x a x ，，>'-∈单调递增， 当)(F 0)(F )21(x x ax ，，，<'∞+-∈单调递减． ∴aa x 21ln 21)21(F )(F -+=-=极大值，)(F x 无极小值； 综上所述：0≥a 时，)(F x 无极值0<a 时，)(F x 有极大值a21ln 21-+,无极小值．（Ⅲ）证明：设，)0(ln )(>-=x x e x g x 则即证2)(>x g ，只要证2)(min >x g ． ∵，xe x g x1)(-='∴027.12)5.0(21<-<-='e g ，01)1(>-='e g又xe x g x 1)(-='在),0(+∞上单调递增∴方程0)(='x g 有唯一的实根t x =，且)1,5.0(∈t ．∵当),0(t x ∈时，0(t)g )(='<'x g ．当),(+∞∈t x 时，0(t)g )(='>'x g ∴当t x =时，t e x g t ln )(min -=∵0)(='t g 即te t 1=，则t e t -= ∴t e t x g --=ln 1)(min 12t t =+>=9．（Ⅰ）()f x 的单调递增区间是⎛ ⎝；（Ⅱ）详见解析； （Ⅲ）(),1-∞．【解析】试题分析：（Ⅰ）求导，令导数大于0得增区间． （Ⅱ）令()()()F 1x f x x =--，求导，讨论导数的正负，得函数的单调区间，从而可得函数的最值，只需其最大值小于0即可． （Ⅲ）由（Ⅱ）知1k =或1k >时均不成立． 当1k <时，令()()()G 1x f x k x =--，求导，讨论导数的正负，得函数的增减区间．根据单调性可得其最大值，使其最大值大于0即可．试题解析：（Ⅰ）()2111x x f x x x x-++'=-+=，()0,x ∈+∞．由()0f x '>得2010x x x >⎧⎨-++>⎩解得0x <<故()f x 的单调递增区间是⎛⎝． （Ⅱ）令()()()F 1x f x x =--，()0,x ∈+∞．则有()21F x x x-'=．当()1,x ∈+∞时，()F 0x '<， 所以()F x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x >时，()()F F 10x <=，即当1x >时，()1f x x <-． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意．当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意．当1k <时，令()()()G 1x f x k x =--，()0,x ∈+∞，则有()()2111G 1x k x x x k x x-+-+'=-+-=．由()G 0x '=得，()2110x k x -+-+=．解得10x =<，21x =>．当()21,x x ∈时，()G 0x '>，故()G x 在[)21,x 内单调递增． 从而当()21,x x ∈时，()()G G 10x >=，即()()1f x k x >-， 综上，k 的取值范围是(),1-∞． 考点：用导数研究函数的性质．。
求导公式总结
求导公式总结
求导公式是微积分中非常重要的一部分，它们可以用于计算函数的导数，帮助我们解决各种问题。
以下是一些常用的求导公式：
1. 常数函数的导数为0
2. 幂函数的导数为其指数乘以系数，即f(x)=ax^n，则
f'(x)=anx^(n-1)
3. 指数函数的导数为其自身乘以常数，即f(x)=a^x，则
f'(x)=a^x * ln(a)
4. 对数函数的导数为其自变量的倒数，即f(x)=ln(x)，则
f'(x)=1/x
5. 三角函数的导数为其导数的周期性函数，即f(x)=sin(x)，则f'(x)=cos(x)，f(x)=cos(x)，则f'(x)=-sin(x)
6. 反三角函数的导数为其导函数的形式，即f(x)=arcsin(x)，则f'(x)=1/√(1-x^2)
这些公式只是求导公式中的一小部分，但它们是最基本和最常用的公式之一。
理解和熟练掌握这些公式可以帮助我们更好地解决各种求导问题。
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求导计算公式
求导计算公式
求导是微积分中的一个重要概念，计算求导需要掌握以下公式：
1. 常数函数求导：$(C)'=0$，其中 $C$ 为常数。
2. 幂函数求导：$(x^n)'=nx^{n-1}$，其中 $n$ 为常数，$x$ 为自变量。
3. 指数函数求导：$(e^x)'=e^x$。
4. 三角函数求导：
$sin x$ 的导数为 $cos x$。
$cos x$ 的导数为 $-sin x$。
$tan x$ 的导数为 $sec^2 x$。
5. 对数函数求导：$(ln x)'=frac{1}{x}$。
6. 复合函数求导：如果 $y=f(u)$，$u=g(x)$，则
$frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}$。
7. 和、差、积、商的求导公式：
和差的求导公式：$(f(x)pm g(x))'=f'(x)pm g'(x)$。
积的求导公式：$(f(x)cdot g(x))'=f'(x)cdot g(x)+f(x)cdot g'(x)$。
商的求导公式：
$left(frac{f(x)}{g(x)}right)'=frac{f'(x)cdot g(x)-f(x)cdot g'(x)}{g^2(x)}$。
以上是常见的求导公式，需要反复练习和掌握，才能在求导的过程中得心应手。
高等数学常用导数公式大全
高等数学常用导数公式大全在高等数学中，导数是描述函数变化率的重要概念之一。
导数的应用十分广泛，特别是在求解极值、曲线切线以及函数图像的特征等方面具有重要作用。
本文将总结高等数学中常用的导数公式，供同学们参考使用。
常见函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.常数函数：f(f)=f，导数为f′(f)=0。
2.幂函数：f(f)=f f，导数为f′(f)=ff f−1。
3.指数函数：f(f)=f f，导数为 $f'(x) = a^x \\ln a$。
4.对数函数：$f(x) = \\log_a x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{x \\ln a}$。
5.三角函数：$f(x) = \\sin x$，导数为 $f'(x) = \\cosx$；$f(x) = \\cos x$，导数为 $f'(x) = -\\sin x$。
6.反三角函数：$f(x) = \\arcsin x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$；$f(x) = \\arccos x$，导数为$f'(x) = -\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。
复合函数的导数公式1.链式法则：若f=f(f)，f=f(f)，则f=f(f(f))的导数为 $\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx}$。
高阶导数公式1.二阶导数：若f=f(f)的一阶导数为f′，则f″表示f′的导数，即 $y'' = \\frac{d}{dx} (f'(x))$。
隐函数求导公式1.隐函数求导：对于方程f(f,f)=0，当不能解出f对f的显式表达时，可利用隐函数求导公式，即$\\frac{dy}{dx} = - \\frac{F_x}{F_y}$。
常用函数导数总结在高等数学中，经常会遇到一些复杂函数的导数计算，下面给出一些常用函数的导数总结：1.反函数的导数计算：若f=f(f)的反函数为f=f−1(f)，则f−1(f)的导数为 $\\frac{dx}{dy} =\\frac{1}{\\frac{dy}{dx}}$。